2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之概率大题(学生版)
高考十(理科)分项版 专题12 概率和统计(浙江专版)(原卷版)
一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.理12】随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.2. 【2011年.浙江卷.理9】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A ）15 （B ）25 （C ）35 D 453. 【2007年.浙江卷.理5】已知随机变量服从正态分布2(2,),(4)0.84N P σξ≤=，则(0)P ξ≤=（A ）0.16 （B ）0.32 （C ）0.68 （D ）0.84 4. 【2007年.浙江卷.理15】随机变量ξ的分布列如下：ξ-1 0 1Pabc其中,,a b c 成等差数列.若3E ξ=，则D ξ的值是_____________. 二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.理9】.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<2. 【2013年.浙江卷.理19】(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.3. 【2012年.浙江卷.理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．4. 【2011年.浙江卷.理15】某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案(最新整理)
10．已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则
(A) a ⊥ e
(B) a ⊥( a － e ) (C) e ⊥( a － e ) (D) ( a ＋ e )⊥( a － e )
第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置
2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1 23 n
1． lim
＝(
n
n2
(A) 2
(B) 4
1
(C)
2
) (D)0
2．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( )
(Ⅰ)求函数 g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|．
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左
准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使
6
6
6
（2） f x 3 cos 2x 3 1 sin 2x
2
22
f
2
3 cos 1 sin
2
2
3 1 24
3 2
16sin2 4sin 11 0 ，
解得 sin 1 3 5 8
0, ,sin 0
故 sin 1 3 5 8
J02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(浙江卷.理)
浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)2解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
浙江近五年高考理科数学试题及参考答案
，
y
x
的最小正周期是。
，
分
22
,,1:F F y x C =+
（4）下列命题中错误的是
13）若二项式6
()(a x a x
->
（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2
（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
（21）（本题满分15分）已知抛物线＝，圆的圆心为点M 。
1:C 2x y 2:C 22
(4)1x y +-=
（Ⅰ）求点M 到抛物线的准线的距离；
1C （Ⅱ）已知点P 是抛物线上一点（异于原点），过点P 1C 作圆的两条切线，交抛物线于A ，B 两点，若过M ，P 2C 1C 两点的直线垂足于AB ，求直线的方程.
l l
（22）（本题满分14分）设函数＝，∈R
()f x 2
()ln x a x -a （Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；
x e ()y f x =a （Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立. a x e ()f x 2
e 注：为自然对数的底数。
e 。
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之圆锥曲线大题(学生版)
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之圆锥曲线大题（学生版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23。
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点， 求证：∠ATM=∠AF 1T 。
3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．4、（2008年）已知曲线C 是到点P （）和到直线距离相等的点的轨迹。
是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在上）的动点；A 、B 在上， 轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。
83,21-85-=y l l ,MA l MB x ⊥⊥l QAQB25、（2009年）已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设点P 在抛物线2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于 点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．6、（2010年）已知1>m ，直线,02:2=--m my x l 椭圆21222,,1:F F y mx C =+ 分别为椭圆C 的左、右 焦点.（I ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，21F AF ∆，21F BF ∆的重心分别为G ，H.若原点O 在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围.OxyAP MN7、（2011年）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。
2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案
M
N
所成角的大小等于_________．
x2
13．过双曲线
a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于
A
B
x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲 线的离心率等于_________． 14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取 2 个元素排成 一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母 O，Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法 种数是_________．(用数字作答)．
2－4n－
1 2n1
，
xn 由以下方法得到：
x1＝1，点
P2(x2，2)在抛物线
C1：y＝x2＋a1x＋b1
上，点
A1(x1，0)到
P 2
的距离是
A 1
到
C 1
上点的最短距离，…，点 Pn1 (xn1 , 2n ) 在抛物线 Cn ：y＝x2＋an x＋bn 上，点 An ( xn ，0)
到 Pn1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离．
(Ⅰ)求函数 g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|．
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左
准线
l
与
x
轴的交点为
M，|MA |∶|A F |＝2∶1．
1
11
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝Байду номын сангаас(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，
三、解答题：本大题共 6 小题，每小题 14 分，共 84 分 解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤
近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--概率统计(解
2011（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解：（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 201218．（本小题满分12分） 某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩（2）（i ）X 可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 60 70 80 P0.10.20.7600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯= 222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4 y=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476>得：应购进17枝201319．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝41113161616264⨯+⨯=.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝41111161616--=，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为EX＝111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25.201418. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)Nμδ，其中μ近似为样本平均数x，2δ近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z<<；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.150若Z～2(,)Nμδ，则()P Zμδμδ-<<+=0.6826，(22)P Zμδμδ-<<+=0.9544.【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s=-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而(187.8212.2)P Z<<=(20012.220012.2)0.6826P Z-<<+=………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B:，所以1000.682668.26EX=⨯=………12分2015（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15概率、随机变量及其分布)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、随机变量及其分布）一、选择题：1. (2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ C ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．2．(2005湖北理)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ）A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518解：以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形共有2856C =个, 从中随机取出两个三角形共有256C =28×55种取法,其中两个三角形共面的为2412126C =⨯,故不共面的两个三角形共有(28×55-12×6)种取法,∴．以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为43673674385385⨯=⨯,选(A) 3．(2005江西理)将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.【正确解答】将1,22-------9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为了4,所以答案为B【解后反思】这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a ，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b ，最后要求的概率就是b a.4(2005山东文、理)10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，先求没有1人中奖的概率，57510112C P C ==，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.5. (2005天津文、理)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解. 【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选A 解法2：三次射击行为互不影响。
2005年理科数学浙江省高考真题含答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P（ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 . 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种 数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； NDABC（Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?P19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程；（Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之三角函数大题(学生版)
2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之三角函数大题（学生版）1、（2005年）已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ)求f (256π)的值；(Ⅱ)设α∈(0，π)，f (2α)＝41－32，求sin α的值．2、（2006年）如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）。
(Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。
3、（2007年）已知ABC △21+，且sin sin 2A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．4、（2009年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．5、（2010年）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.412cos -=C （I ）求C sin 的值；（II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.6、（2011年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7、（2012年）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
已知cosA=23，sin 5B C =。
（Ⅰ）求tan C 的值；(Ⅱ)若2a =，求△ABC 的面积。
8、（2014年）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小；（II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.9、（2015年）在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知A =4π,b 2-a 2=21c 2（I ）求tan C 的值；（II ）若△ABC 的面积为3,求b 的值10、（2016年）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知2cos .b c a B +=（1）证明：2;A B =（2）若ABC △的面积2,4a S =求出角A 的大小.11、(2017年)已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23sin x cos x （x ∈R ）．（1）求f （2π3）的值．（2）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．12、(2018年)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值13、(2019年)设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15概率、随机变量及其分布)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、随机变量及其分布）一、选择题：1. (2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ C ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．2．(2005湖北理)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ）A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518解：以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形共有2856C =个, 从中随机取出两个三角形共有256C =28×55种取法,其中两个三角形共面的为2412126C =⨯,故不共面的两个三角形共有(28×55-12×6)种取法,∴．以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为43673674385385⨯=⨯,选(A)3．(2005江西理)将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.【正确解答】将1,22-------9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为了4,所以答案为B【解后反思】这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a ，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b ，最后要求的概率就是b a.4(2005山东文、理)10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中， 先求没有1人中奖的概率，57510112C P C ==，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.5. (2005天津文、理)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解. 【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选A 解法2：三次射击行为互不影响。
2005年高考试题分类解析(高三概率与统计)
2005年全国高考数学试题分类汇编——高三概率与统计一、统计1.（2005全国卷Ⅲ文第13题）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人2.（2005江苏卷第7题）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：( )9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为:( A ) 9.4 , 0.484 ( B ) 9.4 , 0.016 ( C ) 9.5 , 0.04 ( D ) 9.5 , 0.0163.（2005江西卷文第12题） 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,834.（2005浙江卷文第6题）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.375．（2005湖北卷理第11题，文第12题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样6.(2005湖南卷理第11题，文第12题)一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了________件产品.7. （2005山东文第13题）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。
历年高考数学题分类之概率与统计解答题
1.( 2005年全国卷Ⅰ)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（精确到01.0）（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(，所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C2.( 2005年全国卷Ⅰ)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。
（精确到01.0）20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为31(10.5)8-=所以甲坑不需要补种的概率为 .87811=-3个坑都不需要补种的概率,670.0)87()81(303=⨯⨯ C恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为22317()0.041,88C ⨯⨯= 3个坑都需要补种的概率为330317()()0.002.88C ⨯⨯=补种费用ξ的分布为ξ的数学期望为00.670100.287200.041300.002 3.75E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=3.（2005年全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4 比赛三局结束有两种情况，甲队胜3局或乙队胜3局，因而 334.06.0)3(+==ξp =0.28比赛4局结束有两种情况：前3局甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而3744.0)4.06.04.06.04.06.0()4(2223=⨯⨯+⨯⨯⨯==c p ξ比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜，因而，3456.0)4.06.04.06.04.06.0()5(222224=⨯⨯+⨯⨯==c p ξ 所以ξ的概率分布表如下所以ξ4.（2005年全国卷Ⅱ）)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率； (Ⅱ) 本场比赛乙队以3:2取胜的概率． (精确到0.001)解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4 (I)记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则3223()0.60.216,()0.60.40.432P A P B C ===⨯⨯=∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648(II)若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。
2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题 教师版
1 1
，解得
x1 x2 1,
因此 T (1, 1) 2
2
因为 tan AF1T
6 2
1，又 tan TAM
1 2
，
tan
TMF2
2 ，得 6
2 1
tan ATM 6 1
2 1
6 2
1，因此， ATM
AF1T
6
3、（2007 年）如图，直线 y kx b 与椭圆 x2 y2 1交于 A，B 两点，记 △AOB 的面积为 S ． 4
x 2 2
y ．
所以 |
QA |2 | QM
|2
|
MA |2
(x 1)2 4(1 k 2)
(kx
2)2
.
| QA | | x 1|| kx 2 | ， | QB |2
2 1 k2
| QA |
2(1 k 2 ) 1 k 2 x 1
|k|
x 2
．
k
当 k 2 时， | QB |2 5 5 ， | QA |
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使 F1PF2
最大的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标(用 m 表示)．
解析：(Ⅰ)设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，半焦距为 c ，
则
MA1
a2 c
a, A1F1
ac
，由题意,得
a2 2ca
a 4
2
a
c
a2 b2 c2
2
1b2
所以
S
1 2
b
|
x1
x2
|
2b
1 b 2 b 2 1 b 2 1 ，当且仅当 b
浙江近五年高考理科数学试题及参考答案
2007年一般高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）“1x >”是“2x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，）的最小正周期是π，且(0)f ，则（ ） A ． B ． C ．D ．（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6（5）已知随机变量ξ听从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.84（6）若P 两条异面直线l m ，外的随意一点，则（ ）Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 （7）若非零向量，a b 满意+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =与()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的是（ ）（P 是2PF = ）Ｃ．2 Ｄ．3（10）设()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = ． （12）已知，且，则cos2θ的值是 ． （13）不等式211x x --<的解集是 ．A ．B ．C ．D（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． （15）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若，则D ξ的值是 ．（16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的随意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是．（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．（18）（本题14分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为，求角C 的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． （21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k ka a -，是关于x的方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项与2n S ； （Ⅲ）记， 求证：．（22）（本题15分）设，对随意实数t ，记． （I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对随意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对随意正实数t 成立． 2007年一般高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考察根本学问与根本运算．每小题5分，满分50分． （1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B（7）C（8）D（9）B（10）C二、填空题：本题考察根本学问与根本运算．每小题4分，满分28分．EDCMA（第20（11）1 （12）725-（13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）三、解答题（18）解：（I）由题意与正弦定理，得1AB BC AC ++=， 两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=所以60C =．（19）本题主要考察空间线面关系、空间向量的概念与运算等根底学问，同时考察空间想象实力与推理运算实力．满分14分． 方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．FCM ∠是直线CM 与平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ， 所以MH ED ⊥，又因为CM ⊥平面EDM ，ED CMABEH所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥． 设EA a =，2BD BC AC a ===， 在直角梯形ABDE 中，AB =，M 是AB 的中点，所以3DE a =，EM =，MD =， 得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以．在Rt CMF △中，， 所以45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴与y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，． （I ）证明：因为()EM a a a =--，，，(0)CM a a =，，，所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ， 即0CE =n ，0CD =n ．因为(20)CE a a =，，，(022)CD a a =，，，所以02y =，02x =-，x即(122)=-，，n ，直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM 夹角的余角， 所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45．（20）本题主要考察椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等根底学问，考察解析几何的根本思想方法与综合解题实力．满分14分． （Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由，解得12x =±，所以当且仅当时，S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 设O 到AB 的间隔 为d ，则 又因为，所以221b k =+，代入②式并整理，得 解得，，代入①式检验，0∆>， 故直线AB 的方程是 或或，或．21．本题主要考察等差、等比数列的根本学问，考察运算与推理实力．满分15分．（I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以， 当3n ≥时，同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++综上，当n ∈N*时，．22．本题主要考察函数的根本性质，导数的应用与不等式的证明等根底学问，以与综合运用所学学问分析与解决问题的实力．满分15分． （I ）解：．由240y x '=-=，得因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对随意正实数t 成立． 方法二：对随意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 由()0h t '=，得3t x =． 当30t x <<时，()0h t '>． 当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 获得最大值．因此当0x >时，()()f x g x ≥对随意正实数t 成立． （ii ）方法一：由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对随意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对随意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时， 由（i ）得，，再取30t x =，得，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满意00()()x t g x g x ≥对随意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对随意正实数t 成立． 方法二：对随意00x >，，因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对随意正实数成立的充分必要条件是： 即200(2)(4)0x x -+≤，①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =， 使得00()()x t g x g x ≥对随意正实数t 成立．2008年一般高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考公式：假如事务A B ，互斥，那么球的外表积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 假如事务A B ，互相独立，那么球的体积公式()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径假如事务A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a =（ ） A ．1B ．1-C D ．2．已知U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =-≤，则()()UUA B BA =（ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >-或≤3．已知a b ，都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的绽开式中，含4x 的项的系数是（ ） A ．15-B ．85C ．120-D ．2745．在同一平面直角坐标系中，函数（[02π]x ∈，）的图象与直线的交点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．46．已知{}n a 是等比数列，22a =，，则12231n n a a a a a a ++++=（ ）A ．16(14)n --B ．16(12)n --C ．D ．7．若双曲线的两个焦点到一条准线的间隔 之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．5CD8．若cos 2sin αα+=，则tan α=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满意()()0--=a c b c ，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．2 CD．210．如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线2008年一般高等学校招生全国统一考试数 学（理科）第Ⅱ卷（共100分）留意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先运用2B 铅笔，确定后必需运用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = ．12．已知12F F ，为椭圆的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．ABPα （第10题）13．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若)cos cos c A a C -=，则cos A = ．14．如图，已知球O 的面上四点A B C D ，，，，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ===，则球O 的体积等于 ．15．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t = ．16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1与2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）17．若00a b ，≥≥，且当时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本题14分）如图，矩形ABCD 与梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=，AD =2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小一样的黑球，白球与红球．已知从袋中随意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中随意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （Ⅰ）若袋中共有10个球，ABC D（第14D A BEFC（第18（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中随意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ．（Ⅱ）求证：从袋中随意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 20．（本题15分） 已知曲线C 是到点与到直线间隔 相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得为常数．21．（本题15分）已知a是实数，函数())f x x a =-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[02]，上的最小值． （ⅰ）写出()g a 的表达式；（ⅱ）求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．22．（本题14分）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ． 记：12n n S a a a =+++，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++．求证：当*n ∈N 时，2008年一般高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考察根本学问与根本运算．每小题5分，满分50分（第201．A 2．D 3．D 4．A 5．C6．C 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题：本题考察根本学问与根本运算．每小题4分，满分28分． 11．1 12．8 13．3 14． 9π215．1 16．40 17．1 三、解答题18．本题主要考察空间线面关系、空间向量的概念与运算等根底学问，同时考察空间想象实力与推理运算实力．满分14分． 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．D A B EFC HG在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．于是sin 2BH BE BEH =∠=． 因为tan AB BH AHB =∠，所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，与CD 分别作为x 轴，y 轴与z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，则(000)C ，，，)A a ，，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，，所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ． 因为CB ⊥平面DCF ， 所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =--，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而 解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，则0n AE =，0n EF =， 解得．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，， 所以||31|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===，，得到．所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．19．本题主要考察排列组合、对立事务、互相独立事务的概率与随机变量分布列与数学期望等概念，同时考察学生的逻辑思维实力与分析问题以与解决问题的实力．满分14分．（Ⅰ）解：（i ）记“从袋中随意摸出两个球，至少得到一个白球”为事务A ，设袋中白球的个数为x ，则，得到5x =． 故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ的数学期望（Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得， 所以2y n <，21y n -≤，故．记“从袋中随意摸出两个球，至少有1个黑球”为事务B ，则 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ．故袋中红球个数最少．20．本题主要考察求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等根底学问，考察解析几何的根本思想方法与综合解题实力．满分15分． （Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则N 到直线的间隔 为．58y =+． 化简，得曲线C 的方程为． （Ⅱ）解法一：设，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x =+．在Rt QMA △中，因为所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 当2k =时，，从而所求直线l 方程为220x y -+=．解法二：设，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而 过Q (10)-，垂直于l 的直线． 因为||||QA MH =，所以， 当2k =时，，从而所求直线l 方程为220x y -+=．21．本题主要考察函数的性质、求导、导数的应用等根底学问，同时考察分类探讨思想以与综合运用所学学问分析问题与解决问题的实力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，， 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．若0a >，令()0f x '=，得， 当时，()0f x '<， 当时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．若06a <<，()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-．综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪⎪=<<⎨-，≤，，，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥，解得62a +≤≤． 故a的取值范围为32a +≤≤22．本题主要考察数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等根底学问与根本技能，同时考察逻辑推理实力．满分14分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<， 因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．依据①与②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<与2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得 所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥， 故当3n ≥时，21111322n n T -<++++<，又因为123T T T <<， 所以3n T <． 绝密★考试完毕前2009年一般高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科） 本试题卷分选择题与非选择题两局部。
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2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之概率大题
（学生版）
1、（2005年）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是
31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25
，求p 的值．
2、（2006年）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球。
现从甲，乙两袋中各任取2个球。
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为4
3，求n.
3、（2008年）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。
已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的
概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是9
7。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
10
7。
并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
4、（2009年）在1,2,3,,9L 这9个自然数中，任取3个数．
（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数
1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
5、（2010年）如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C ，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1，2，3等奖.
（I ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量ξ为获得)3,2,1(=k k 等奖的
折
扣率，求随机变量ξ的分布列及数学期望.ξE
（II ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求
P （2=η）.
6、（2012年）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。
现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和。
（Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）求X 的数学期望()E X 。
7、（2013年）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄
球得2分，取出一个蓝球得3分.
(Ⅰ)当3,2,1a b c ===时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为
取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
ⅠⅠ()从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若
55,,39
E D ηη==求::a b c .。