高中数学必修四北师大版 6.2 余弦函数的性质作业含答案

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北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析

14．已知函数y＝－cos2x＋acosx－ a－的最大值为1，求a的值．
解析：y＝－cos2x＋acosx－ a－
＝－ 2＋－－ .
∵－1≤cosx≤1，于是
①当 <－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，
ymax＝－ a－ .
由－ a－＝1，得a＝－ >－2(舍去)；
②当－1≤ ≤1，即－2≤a≤2时，
解析：由题意，知0≤cosx≤1，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案： (k∈Z)
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
(2)sin194°与cos160°.
解析：(1)cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ，
∵0< < <π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．函数y＝sin 是()
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：y＝sin
＝sin
＝－sin ＝－cos2 010x，
所以为偶函数．
答案：B
3．函数y＝cosx－2在x∈[－π，π]上的图像是()
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与x轴有无数多个交点；

高一数学北师大版必修4第一章6.1余弦函数图象的性质

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：王广青包级领导签字：学生：上课时间：集体备课个人空间一、课题： 6.1-6.2余弦函数图象的性质二、学习目标1.会用“五点法”画余弦函数的图像；2.了解正弦函数、余弦函数图像之间的关系；3.掌握余弦函数的性质及其应用。

三、教学过程【自主预习】阅读课本P 30内容，完成下列任务。

1. 在下列坐标系中画出y =cosx 的图像；2. 总结y=cosx 图像的画法：（1）变换法，将正弦曲线y=sinx 的图像向平移个单位长度得到。

（2）五点法，在平面直角坐标系中描出五个关键点：，，，，。

然后用光滑曲线将五个点连接起来，得y=cosx,x ∈[0,2π]的图像，再向左、右平移得到y=cosx 的图像。

3. 思考：如何刻画余弦线，运用余弦线作出函数图像。

xyo【合作探究】阅读课本P 31内容，思考下列问题。

1. 余弦函数y=cosx,x ∈R 的性质：2. 定义域： ; 值域： ;3. 最值：当x = 时，y 取最大值1；当x = 时，y 取最小值-1;4. 周期性：最小正周期是；5. 单调性：增区间；减区间；6.奇偶性：函数。

【检测训练】0cos )2(21cos 1.1>≤x x x ）（的集合求满足下面条件的1cos 3y 1.2+-=x ）（最小值：求下列函数的最大值及xx x f cos )(1.32-=）（判断下列函数的奇偶性x 2cos y .4=区间求下列函数的单调递增反思栏。

【高中数学必修四】第1章正弦函数、余弦函数的性质(二)

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增，在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示由余弦函数的单调性可知正确．类型一求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．反思与感悟用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断解令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 cos 1>cos 2>cos 3解析由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )，从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点余弦函数的最大值与最小值答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 B解析由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 (－π，0]解析因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 D解析因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 B解析由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 C解析作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3，定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3，故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________．考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________．考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间．则π2≤x －π6≤5π6，即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 D解析由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。

高中数学必修四北师大版 6.2 余弦函数的性质作业2 含答案

双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2的值域是( )．A ．[0,1]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析画出y ＝cos x ，x ∈[－π6，π2]的图像，从而得出y ∈[0,1]，故选A. 答案 A2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( )．A ．y ＝1sin x B ．y ＝－1cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选D. 答案 D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π的一个对称中心是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 解析对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0符合要求，故选B. 答案 B4．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是________．解析 sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110；－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，又π＞32＞π2－110＞π－74＞0，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 32＜sin 110＜－cos 74.答案 cos 32＜sin 110＜－cos 745．函数y ＝ 2 cos x ＋1的定义域是________．解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z6．求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14. ∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.综合提高 (限时25分钟)7．要得到y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将此函数向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像．答案 D8．对于函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )．A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )＜0解析画图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，x ＝2k π或x ＝2k π＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D. 答案 D9．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析画出y ＝cos x 的图像，观察其单调性可知－π＜a ≤0. 答案 (－π，0]10．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实数解．答案 211．求函数y ＝2cos x －3的单调递增区间．解由2cos x －3≥0，得cos x ≥32，即2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )，又y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，∴函数y ＝2cos x －3的单调递增区间是[2k π－π6，2k π]，k ∈Z .12．(创新拓展)作出函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |的简图，并写出它的定义域、值域、最小正周期、递增区间、递减区间、奇偶性．解 f (x )＝⎩⎨⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，图像如图．函数的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，最小正周期为2π，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π4＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π4＋2k π，其中k ∈Z ，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，－π2＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，π＋2k π，其中k ∈Z ，函数既不是奇函数，也不是偶函数．。

北师大版高考数学总复习三角函数-余弦函数的图像与性质名师点悟+易错盘点

时作
要
业
点
导
学
第18页
第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
自主
(1)求函数 f(x)＝ 2cos x－ 2的定义域；
预
习
(2) 已知 x ∈ －π3，23π ，则 y ＝ cos x 的值域为课
时
要 __________________；
作业
点导
(3)求函数 y＝3cos2x－4cos x＋1 的最大值和最小值．
自主
点？
预
习
提示：余弦曲线的对称中心是余弦曲线与 x 轴的交点，即
要
kπ＋π2，0，余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低
课时作业
点
导学
点，方程为 x＝kπ，k∈Z，此时余弦值取得最大或最小.
第10页
第一章 §6 6.1、2
自主预习要点导学
第11页
北师大版 ·数学 ·必修4
课时作
要
点导
所以当 x＝0 时，y＝cos x 取得最大值 1.
业
学
当 x＝23π时，y＝cos x 取得最小值－12.
所以值域为－12，1.
第22页
第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
(3)令 t＝cos x，则－1≤t≤1，问题转化为求函数 y＝3t2－4t
自主
＋1(－1≤t≤1)的最大值和最小值．
作业
32π，0，(2π，1)．
第6页
第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
问题探究 1：余弦函数的图像还有什么画法？
自主

高中数学北师大版必修四教学案第一章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含答案

[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
．如何由＝，∈的图像得到＝，∈的图像？
提示：只需将＝，∈的图像向右平移个单位即可得到＝，∈的图像，并且方法不唯一．
．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数＝在[，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如°和°都是
第一象限的角，虽然°>°，但°＝，°＝.却有°< °.所以函数＝在第一象限内不是减函数．
．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是＝π(∈)；它的对称中心有无数个，其坐标为(π＋，)(∈)．
讲一讲
．画出函数＝－，∈[，π]的图像．
[尝试解答] 按五个关键点列表：
如图所示：
．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标
是(，)，，(π，－)，，(π，)．
．形如＝＋，∈[，π]的函数，也可由五点法画图像．
练一练
．用“五点法”画出＝＋(∈[，π])的图像．
解：()列表。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

北师大版数学必修4《余弦函数的图像与性质》同步导学练习案附思维导图答案解析

北师⼤版数学必修4《余弦函数的图像与性质》同步导学练习案附思维导图答案解析第6课时余弦函数的图像与性质1.能利⽤单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类⽐正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最⼩正周期和单调区间.如果函数y=cos(+φ)(0<φ<π)的⼀条对称轴⽅程为x=,那么φ值是不是也可仿照正弦函数的复合函数求法得出?在此条件下函数y=sin(2x-φ)(0≤x<π)的单调增区间为多少呢?问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向平移个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作⽤的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中⼼(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为;(4)对称中⼼为.问题4:余弦函数的复合函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中⼼和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中⼼;(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)1.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下⾯结论错误的是().A.函数f(x)的最⼩正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,]上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数2.y=1+cos x(x∈)的图像与直线y=的交点个数为().A.0B.1C.2D.33.对于余弦函数y=cos x的图像,有以下描述:①向左、向右⽆限伸展;②与y=sin x的形状完全⼀样,只是位置不同;③与x轴有⽆数个交点;④关于y轴对称.其中描述正确的是.4.求下列函数的最⼤值和最⼩值:(1)y=;(2)y=3+2cos(2x+).作函数的图像⽤“五点法”画出函数y=2+3cos x在x∈[0,2π]内的图像.余弦函数的图像与性质的应⽤(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cos x)的定义域;(2)求函数y=lg sin(cos x)的定义域.余弦函数性质的综合运⽤是否存在实数a,使得函数y=sin2x+a cos x+a-在闭区间[0,]上的最⼤值是1?若存在,求出对应的a值;若不存在,试说明理由.画出函数y=1+|cos x|,x∈[0,2π]的图像.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f()=0,△ABC的内⾓A满⾜f(cos A)≤0,求⾓A的取值范围.已知-≤x≤,求函数y=log2(1+sin x)+log2(1-sin x)的最⼤值和最⼩值.1.若实数a使得⽅程cos x=a在[0,2π]上有两个不相等的实数根x1,x2,则sin(x1+x2)等于().A.0B.1C.-D.-12.在[0,2π]上,函数y=cos x与直线y=1围成的封闭图形的⾯积是().A.πB.2πC.3πD.3.函数y=f(cos x)的定义域为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),则函数y=f(x)的定义域为.4.求函数y=的单调递增区间.(2011年·全国⼤纲卷)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最⼩值等于().A.B.3C.6 D.9考题变式(我来改编):第6课时余弦函数的图像与性质知识体系梳理问题1:(1)左(2)(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)问题2:(1)R(2)[-1,1](3)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)问题3:(1)2π(3)x=kπ(4)(+kπ,0)问题4:(1)(,0)(2)x=(3)增减基础学习交流1.D y=sin(x-)=-cos x,由余弦函数的性质可知A,B,C均正确,故选D.2.C作出y=1+cos x(x∈)的图像,如图所⽰,直线y=与函数有两个交点A、B,也可直接联⽴两函数⽅程得cos x=(x∈[0,2π],易知x有两解.3.①②③④由函数y=cos x的图像可知①②③④都正确.4.解:(1)∵∴-1≤cos x≤1.∴当cos x=-1时,y max=;当cos x=1时,y min=.(2)∵-1≤cos(2x+)≤1,∴当cos(2x+)=1时,y max=5;当cos(2x+)=-1时,y min=1.重点难点探究探究⼀:【解析】如图所⽰:【⼩结】加强对⽐正弦、余弦函数五点法的区别及联系,注意所画图像要⽤光滑的曲线连接起来,不能画成直线.探究⼆:【解析】【解析】(1)由题意可知0≤cos x≤1?2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),∴所求函数的定义域为{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.(2)由sin(cos x)>0得2kπ⼜∵-1≤cos x≤1,∴0故所求定义域为{x|2kπ-【⼩结】求三⾓函数的定义域时,通常转化为解三⾓不等式,其常⽤的⽅法有两种:⼀是图像法;⼆是三⾓函数线法.探究三:【解析】y=1-cos2x+a cos x+a-=-(cos x-a)2++a-,当0≤x≤时,0≤cos x≤1,∴当cos x=a,且0≤a≤1,即1≤a≤2时,y max=+a-=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=,a2=-4<1(舍去),∴a=.∴存在a=符合题设.[问题]以上解答过程完全吗?[结论]不完全,因为y有最⼤值时不⼀定是cos x=a;注意此处要对a<0、0≤a≤1、a>1三种情况进⾏讨论.于是,正确解答如下:y=1-cos2x+a cos x+a-=-(cos x-)2++a-,⼜0≤x≤,∴0≤cos x≤1.若>1,即a>2,则当cos x=1时,y max=a+a-=1?a=<2(舍去);若0≤≤1,即0≤a≤2,则当cos x=时,y max=+a-=1?a=或a=-4<0(舍去);若<0,即a<0,则当cos x=0时,y max=a-=1?a=>0(舍去).综上可知,存在a=符合题设.【⼩结】三⾓函数换元成⼆次函数是⼀个关键点,换元之后要注意新的变量的取值范围.思维拓展应⽤应⽤⼀:可⽤五点法画出图像.(1)列表:(2)描点画图(如图所⽰)y=1+|cos x|,x∈[0,2π]的图像实质是将y=cos x,x∈[0,2π]的图像在x轴下⽅的部分翻折到x轴上⽅(x轴上⽅部分不变),再向上平移1个单位长度⽽得到.应⽤⼆:①当00.∵f(cos A)≤0=f(),⼜f(x)在(0,+∞)上为递增函数,得cos A≤,解得≤A<.②当∵f(cos A)≤0=f(-),⼜f(x)为R上奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也为递增函数,可得cos A≤-,∴≤A<π.③当A=时,cos A=0,∴f(0)≤0也成⽴(f(0)=0),综上所述,⾓A的取值范围是[,]∪[,π).应⽤三:当x∈[-,]时,1+sin x>0和1-sin x>0恒成⽴,∴原函数可化为y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,⼜cos x>0在[-,]上恒成⽴,∴原函数可化为y=2log2cos x,当x∈[-,]时,≤cos x≤1.∴2log2≤2log2cos x≤2log21,即-1≤y≤0,故在[-,]上,y max=0,y min=-1.基础智能检测1.A画出y1=cos x,y2=a在[0,2π]上的图像,得两交点必关于直线x=π对称,∴=π,即x1+x2=2π,∴sin(x1+x2)=0.2.B如图,设矩形ABCD的⾯积为S,则S=4π,由图像的对称性可知,S1=S2=S3=S4,∴所求封闭图形的⾯积为S=2π.3.[-,1]因为2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),所以-≤cos x≤1,所以y=f(x)的定义域为[-,1].4.解:由2cos x-≥0,得cos x≥,即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),⼜y=cos x的单调递增区间为2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z),∴函数y=的单调递增区间是{x|2kπ-≤x≤2kπ,k∈Z}.全新视⾓拓展C将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后得y=cosω(x-)的图像,由于y=cosω(x-)与y=f(x)的图像重合,因⽽有=2kπ(k∈N+),所以ω的最⼩值等于6.故选C.思维导图构建五点法(+kπ,0)(k∈Z)x=kπ(k∈Z)[2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)偶函数。

高中数学必修四正弦函数、余弦函数的性质

解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
3
B.x
C.x
2
12
y
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x
为对称轴
12
例题
▪ 求 y sin(2x ) 函数的对称轴和对称中心
3
解（1）令 z 2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
3
3
5
3
4k , 11
3
4k
,k
Z
增
▪ 求函数的单调增区间
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来
y
sin
1 2
x
3
增
y
sin
1 2
x
3
增
sin( ) sin cos( ) cos
y sin z 增
y sin z 减
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来
▪ 求函数的单调增区间
正弦函数的图象

【基础练习】《余弦函数的性质》(数学北师大高中必修4).doc

IT TT
3. 【解析】选 D yU ） = sin（x— 号） =
Vy=cosx 的最小正周期为 T=2n,故 A 正确 ; Vy=cosx 在 0,号上是减函数， ? \/U ）=—cosx 在［o,号上是增函数，故 B 正确 ;
Vy=cosx 的图像关于 y 轴对称， .?? . 心） =—cos 兀的图像也关于 y 轴对称，故 C 正确 ;
D ?第四象限
A. 71 71
BJ 兀 3n
10. 函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减少的 ()
c.
D. | ■兀
11 ?函数 y=co(s2x +
A. 最小正周期为 2 兀
B.图像关于 y 轴对称
C ?图像关丁 ?原点对称
D.图像关于 x 轴对称
12. y=cosx 在区间［―兀，加上为增函数，则 a 的取值范围是
15. 已知 0 弐三 , 且 cos9=a+l,则 a 的取值范围为 ________
答案和解析
1. 【解析】选 A 可代入验证，对 A 项时 . 心） =cos（孑一》） =cos 0=1,故兀 =中是它的一条对称轴 . 同理得 B、C、D 项都不符合，选 A. 2. 【解析】选 A 因为函数的最小正周期为兀，所以排除 C、D.又 y=cos@+￡j=—sin2^ 在医 , 刖上为增函数，故 B 不符合题意 . 只有函数 y=sin（2 兀+§）=cos2 兀的周期为兀，
OWxWy, 即在 [o 用上函数 y=cos2x 是减少的 .
11. 【解析】选 Cy=c°s( 2x _|_ 3n)=sin2x,所以函数 y 二 cos
,311、为奇函数，图像关
于原点对称 .

北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库

北师⼤版⾼中数学必修4-第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式⼀、选择题(共26⼩题,每⼩题5.0分,共130分)1.已知sin＝，则sin的值为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】∵sin＝，∴sin）＝sin＝sin＝.2.使函数y＝sin x递减且函数y＝cos x递增的区间是()A．B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】y＝sin x的单调递减区间是[＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，y＝cos x的递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，在区间(k∈Z)上y＝sin x递减，y＝cos x为递增函数，故D符合要求.3.函数f(x)＝|sin x－cos x|＋(sin x＋cos x)的值域为()A． [－，]B． [－，2]C． [－2，]D． [－2,2]【答案】B【解析】由题意得f(x)＝＝当x∈[2kπ＋，2kπ＋]时，f(x)∈[－，2]；当x∈(2kπ－，2kπ＋)时，f(x)∈(－，2).故可求得其值域为[－，2].4.函数f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a(a∈[1,2]，θ∈[，])的最⼩值是() A．C． 3＋(－1)aD． cos2θ＋2cosθ－2【答案】D【解析】∵θ∈[，]，∴cosθ－1＜0，∴f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a＝(cosθ－1)a＋cos2θ在[1,2]上是减少的，∴f(a)的最⼩值为f(2)＝cos2θ＋2cosθ－2.5.函数y＝sin2x－sin x＋1(x∈R)的值域是()A． [，3]B． [1,2]C． [1,3]D． [，3]【答案】A【解析】令sin x＝t，则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋，t∈[－1,1]，由⼆次函数性质，得当t＝时，y取得最⼩值.当t＝－1时，y取得最⼤值3，∴y∈[，3].6.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为()A． [－1,1]B．C．D．【答案】C【解析】y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－，当sin x＝－时，y min＝－；当sin x＝1时，y max＝1.7.若f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，则的值为()A．－4B． 4C． ±4D． 2【答案】C【解析】∵f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，∴b＋|a|＝3，且b－|a|＝－5，解得b＝－1，|a|＝4，即b＝－1，a＝±4，∴＝±4.8.已知函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－的值不可能是()B．C．D．【答案】D【解析】∵y＝sin x的定义域为，值域为，⽽sin＝sin＝，sin＝－1，∴≤b≤，∴≤b－≤，∴b－∈[，].∵，，均在区间[，]内，⽽?[，].9.如果≥，那么sin x的取值范围为() A． [－，)B． (，1]C． [－，)∪(，1]D． [－，)【答案】C【解析】若≥，则0＜≤，解得－≤x≤，且x≠，则－≤sin x≤1，且sin x≠，故sin x的取值范围为[－，)∪(，1].10.函数f(x)＝，x∈(0,2π)的定义域是() A． [，]B． [，]C． [，]D． [，]【答案】B【解析】由题意得sin x≥，⼜x∈(0，2π)∴x∈. 11.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】∵2sin x－1≥0，∴sin x≥，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z). 12.下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为() A．y＝B．y＝C．y＝x e xD．y＝【解析】∵函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z)，故A不满⾜；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满⾜；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满⾜；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满⾜.13.函数y＝lg(sin x)的定义域为()A．(k∈Z)B． (2kπ，2kπ＋π) (k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】由题意得sin x＞0，函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.14.函数f(x)的定义域为，则f(sin x)的定义域为()A．B．C．(k∈Z)D．∪(k∈Z)【答案】D【解析】∵函数f(x)的定义域为，∴－≤sin x≤，解得2kπ－≤x≤2kπ＋或2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴所求函数的定义域是∪(k∈Z).15.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】由题意得cos x≥－，所以函数的定义域为(k∈Z).16.若⾓α∈(，π)，则点P(sinα，cosα)位于()A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵⾓α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.∴点P(sinα，cosα)位于第四象限.17.当α为第⼆象限⾓时，－的值是()A． 1B． 0C． 2D．－2【答案】C【解析】∵α为第⼆象限⾓，∴sinα>0，cosα＜0.∴－18.若三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，则此三⾓形的形状为()A．锐⾓三⾓形B．钝⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．不能确定【答案】B【解析】因为三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，⼜sinα＞0，所以cosβ＜0，所以90°＜β＜180°，故β为钝⾓.19.已知sinθcosθ＜0，那么⾓θ是()A．第⼀或第⼆象限⾓B．第⼆或第三象限⾓C．第⼆或第四象限⾓D．第⼀或第四象限⾓【答案】C【解析】由题意知，sinθcosθ＜0，则或，所以⾓θ在第⼆或第四象限.20.函数y＝＋的值域是()A． {2}B． {2，－2}C． {2,0，－2}D． {2,0}【答案】C【解析】当x是第⼀象限⾓时，sin x＞0，cos x＞0，则y＝＋＝1＋1＝2；当x是第⼆象限⾓时，sin x＞0，cos x＜0，当x是第三象限⾓时，sin x＜0，cos x＜0，则y＝＋＝－1－1＝－2；当x是第四象限⾓时，sin x＜0，cos x＞0，则y＝＋＝－1＋1＝0.综上可得函数y＝＋的值域是{2，－2, 0}．21.已知α是第⼆象限⾓，P(x，)为其终边上⼀点，且cosα＝x，则x等于()A．B． ±C．－D．－【答案】D【解析】∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第⼆象限⾓，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.22.已知⾓α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为()A． ±B． ±C．－D．【答案】C【解析】由题意可得x＝3，y＝－4，r＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴sinα＋cosα＝－.23.已知⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值等于()A． 3B．－3C． ±3D． 5【答案】A【解析】∵⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，∴cosα＝＝－，则b＞0，平⽅得＝，即b2＝9，解得b＝3或b＝－3(舍).24.已知⾓α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cosα＝－，则m的值为() A．－B．C．－D．【答案】B＝－，解得m＝.25.已知⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，则2sinα＋cosα的值是() A． 1B．C．－D．－1【答案】C【解析】∵⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，∴r＝|OP|＝＝＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－＋＝－.26.已知⾓α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcosα等于()A．－B．C．D．－【答案】A【解析】∵在⾓α的终边所在的射线y＝－3x(x≥0)上任意取⼀点M(1，－3)，则x＝1，y＝－3，r＝|OM|＝，cosα＝＝，sinα＝＝，则sinαcosα＝·＝.⼆、填空题(共40⼩题,每⼩题5.0分,共200分)27.若函数f(x)满⾜f(＋x)＝sin x(x∈R)，则f(x)等于_____.【答案】－cos x【解析】令＋x＝t，，则x＝t－，∴f(＋x)＝f(t)＝sin x＝sin(t－)，即f(t)＝sin(t－)＝－cos t，∴f(x)＝－cos x.28.已知＝，则cos(3π－θ)＝____.【答案】【解析】由已知得：＝?cosθ＝－，所以cos(3π－θ)＝－cosθ＝.【答案】－【解析】cos(α＋)＝sin(－α－)＝－sin(α＋)＝－.30.已知cos(α＋)＝－，则sin(α－)＝____.【答案】【解析】∵cos(α＋)＝－，∴sin＝sin[(α＋)－]＝－sin[－(α＋)]＝－cos(α＋)＝.31.已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.。

北师大版数学必修4课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质 Word版含解析

课时作业余弦函数的图像余弦函数的性质基础巩固(分钟，分)
一、选择题(每小题分，共分)
．对于余弦函数＝的图象，有以下三项描述：
()向左向右无限延伸；
()与轴有无数多个交点；
()与＝的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
．个．个
．个．个
解析：如图所示为＝的图象．
可知三项描述均正确．
答案：
．函数＝)π－))是( )
．奇函数
．偶函数
．非奇非偶函数
．既是奇函数又是偶函数
解析：＝)π－))
＝))＋π))
＝－))＝－，
所以为偶函数．
答案：
．函数＝－在∈[－π，π]上的图像是( )
解析：把＝，∈[－π，π]的图像向下平移个单位长度即可．答案：
．若()＝在[－，－]上是增加的，则()在[，]上是( )
．奇函数．偶函数
的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
画出函数＝＋的简图．
求使此函数取得最大值、最小值的自变量的集合并分别写出最大值讨论此函数的单调性．。

学年高中数学第一章三角函数._余弦函数的图像余弦函数的性质练习含解析北师大版必修

6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质填一填1.余弦函数图像的画法 (1)变换法：y ＝sin x 图像向左平移________个单位即得y ＝cos x 的图像．(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．2．余弦函数的性质函数性质余弦函数y ＝cos x 图像定义域 R值域 [－1,1]最值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性是周期函数，最小正周期为________奇偶性是偶函数，图像关于y 轴对称单调性在[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上是________的在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是________的判一判1.当余弦函数y ＝cos x 取最大值时，x ＝π＋2k π，k ∈Z .( )2．函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )4．y ＝cos x 的定义域为[0,2π]．( )5．余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )6．余弦函数y ＝cos x 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )7．函数y ＝a cos x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )8．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，那么g (x )＝－sin x ．(想一想1.提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y ＝cos x 写成y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，然后利用图像平移得到y ＝cos x 的图像．(2)“五点法〞：在函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比拟常用的一种画图方法．余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．2．如何理解余弦函数的对称性？提示：(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的交点，此时的余弦值为0. (2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x ＝kx (k ∈Z )，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．思考感悟：练一练1.函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A.π3 B ．3π C.2π3 D.3π22．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．用“五点法〞作出函数y ＝3－cos x 的图像，以下点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3 4．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( )A ．[－1,5]B ．[－5,1]C ．[－1,1]D ．[－3,1]知识点一用“五点法〞作函数的图像1.作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图像．2．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．知识点二与余弦函数有关的定义域问题3.求y ＝32－cos x 的定义域． 4．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．知识点三余弦函数的单调性及应用5.求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，3π2的单调区间和最值． 6．比拟cos 26π3与cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3的大小．综合知识余弦函数值域(最值)问题7.求以下函数的最值．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.。

北师大版高中数学必修四同步课时作业：1-6余弦函数的图像与性质.docx_5282

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作§6余弦函数的图像与性质6．1 余弦函数的图像6． 2余弦函数的性质课时目标 1．能用描点法作出余弦函数的图像，了解余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的联系． 2．能借助余弦函数图像理解和记忆余弦函数的性质．1．余弦函数y＝cos x( x∈R )的图像叫作 __________． y＝ cos x， x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为________，________________ ，__________ ，______________，________．2．余弦函数的性质函数y＝ cos x定义域R值域[ － 1,1]奇偶性偶函数周期性以 ________为周期 (k∈Z， k≠ 0)，________为最小正周期单调性当 x∈ ________________ 时，递增；当 x∈ ________________ 时，递减．最大值与当 x＝ ______________时，最大值为 ____；最小值当 x＝ ________________ 时，最小值为 ____．3．余弦函数的对称中心是余弦曲线与x 轴的交点，这些交点的坐标为________________________________________________________________________ ，余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，对称轴的方程为______________，此时余弦值取得最大值或最小值．一、选择题1．若 y＝ sin x 是减函数， y＝ cos x 是增函数，那么角x 在 ()A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限－ cos x的单调递增区间是 ()2．函数 y＝ 2A ． [2k π＋π，2k π＋2π] (k ∈ Z )B ．[ k π＋π， k π＋ 2π] (k ∈ Z )πC ． 2k π， 2k π＋2 (k ∈ Z )D ． [2k π， 2k π＋π] (k ∈ Z )3．下列不等式正确的是()15 14π <cosπA ． cos 89B ．cos 515 <cos ° 530 °C ．cos － 23π<cos －17π5 4D ． cos(－ 120 °)>cos 330 ° 4．在 (0,2 π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是 ( )π 3ππ π 5π 3π ，B ．， ∪ 4，A ．4 44 2 2π π5π 7π C ． 4，2D ． 4，4 5．下列函数中，最小正周期为 2π的是 ( ) A ． y ＝ |cos x| B ． y ＝ cos|x| C ．y ＝ |sin x| D ． y ＝ sin|x|6．下列函数中，周期为π ππ，且在 [ ， ] 上为减函数的是 ()4 2π A ． y ＝ sin(2 x ＋ 2)πC ．y ＝ sin(x ＋ 2) πB ． y ＝ cos(2x ＋ 2)πD ．y ＝ cos(x ＋ 2)二、填空题7．函数 y ＝ 2cos x ＋ 1的定义域是 ________________ ．8．方程 x 2－ cos x ＝ 0 的实数解的个数是 ________．9．设 0≤ x ≤ 2π，且 |cos x － sin x|＝ sin x － cos x ，则 x 的取值范围为 ________．三、解答题10．求函数 f(x)＝ cos x ＋ lg(8 x － x 2)的定义域．2π 2π11． (1)求函数 y ＝ 3cos x － 4cos x ＋ 1，x ∈ 3，3的值域；(2)已知函数 y ＝ acos 2x ＋ π＋ 3， x ∈ 0，π的最大值为 4，求实数 a 的值．3 2能力提升12．已知奇函数 f(x)在 [ － 1,0]上为单调递减函数，又 α、β为锐角三角形两内角，则 ( )A ． f(cos α)>f(cos β)B ． f(sin α)> f(sin β)C ．f(sin α)>f(cos β)D ． f(sin α)<f(cos β)13．已知 y ＝ lg cos 2x ． (1) 求它的定义域、值域； (2) 讨论它的奇偶性； (3) 讨论它的周期性；(4) 讨论它的单调性．1．求函数 y ＝ cos(ωx＋ φ) (ω>0)单调区间的方法是：把 ωx＋ φ看成一个整体，由 2k π－π≤ ωx＋ φ≤ 2k π(k ∈ Z )解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k π≤ ωx＋ φ≤2k π＋ π (k ∈ Z )解出 x 的范围，所得区间即为减区间．若 ω<0，先利用诱导公式把 ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将 y 表示成以 sin x 或 cos x 为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定 y 的范围．§6 余弦函数的图像与性质6．1 余弦函数的图像 6． 2 余弦函数的性质答案知识梳理π31．余弦曲线(0,1) (2，0) ( π，－ 1) (2π， 0) (2 π，1) ．π2 π[2 k π－π， k π ∈Z ) [2k π，k π＋π∈Z )2 2k2 ](k2](kπ2k π(k ∈ Z ) 1 2k π＋ π(k ∈Z ) － 1 3． (k π＋ 2， 0)(k ∈ Z )x ＝ k π(k ∈ Z ) 作业设计1． C2． D u[ 令 u ＝－ cos x ，则 y ＝ 2 ，∵ y ＝ 2u 在 u ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数．∴ y ＝ 2－cos x 的增区间，即 u ＝－ cos x 的增区间，即 u ＝cos x 的减区间 [2k π，2k π＋ π] (k ∈ Z )． ]3． C [ y ＝ cos x 在[ π， 2π]上单调递增，故 1514 π；y ＝ cos x 在 [360，°540 °]上单cos8 π >cos9调递减，故 cos 515 °>cos 530 °；又 cos(－ 120°)<0 ，cos 330 °>0，故 cos(－120°)<cos330 °，由上知排除 A ，B ，D ．由 y ＝ cos x 在 [ － 5π，－ 4π]上单调递增，故 cos － 23 175 π<cos － 4 π．故选 C ．]4．A [∵ sin x>|cos x|，∴ sin x>0，∴ x ∈ (0， π)，在同一坐标系中画出 y ＝ sin x ， x ∈ (0， π)与 y ＝ |cos x|， x ∈ (0， π)的图像，观察图像易得π 3 x ∈ 4，4π． ]5． B [ 画出 y ＝ sin|x |的图像，易知． D 不是周期函数， A 、 C 周期为 π， B 中 y ＝ cos|x | ＝ c os x ．T ＝ 2π． ]6． A [ 因为函数的周期为 π，所以排除 C 、 D ．又因为ππ π B 不符．只有函数 π y ＝ cos(2x ＋ )＝－ sin 2x 在 [ ， 2 ]上为增函数，故y ＝ sin(2x ＋ )的周 2 4 2 π π A ． ]期为 π，且在 [ ， 2 ]上为减函数．故选4 2 27． 2k π－ 3π， 2k π＋3π， k ∈ Z解析 2cos x ＋ 1≥ 0， cos x ≥ － 1，22 2π 结合图像知 x ∈ 2k π－ 3π， 2k π＋3 ， k ∈ Z ．8． 2解析作函数 y ＝cos x 与 y ＝ x 2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．π 5π 9．， 44解析由题意知 sin x － cos x ≥ 0，即 cos x ≤ sin x ，在同一坐标系画出 y ＝ sin x ，x ∈ [0,2π]与 y ＝ cos x ， x ∈[0,2π]的图像，如图所示：π 5观察图像知 x ∈ [ 4， 4π]．10．解 8x － x 2>0 0<x<8由，得．cos x ≥0 cos x ≥ 0 画出 y ＝cos x ， x ∈ [0,3π]的图像，如图所示．π3π 5π结合图像可得： x ∈ 0， 2 ∪ 2 ， 2 ． 11．解∵ x ∈从而当2cos x －2 21． (1)y ＝ 3cos x － 4cos x ＋ 1＝ 33 － π 2π1， 1 ．3，，∴ cos x ∈ －3 3 2 2cos x ＝－ 1，即 x ＝ 2π3 时， y max ＝ 15；241π1．当 cos x ＝，即 x ＝时， y min ＝－4 23∴函数值域为－1， 15 ．4 4 π 4ππ ，∴ 2x ＋π (2)∵ x ∈ 0， 2 3∈ 3， 3 ， π1∴－ 1≤ cos 2x ＋ 3 ≤2．当 a>0， cosπ＝ 1时， y 取得最大值12x ＋ 3 22a ＋ 3，1∴ 2a ＋ 3＝ 4，∴ a ＝ 2．π当 a<0， cos 2x ＋ 3 ＝－ 1 时， y 取得最大值－ a ＋ 3， ∴－ a ＋ 3＝ 4，∴ a ＝－ 1．综上可知，实数 a 的值为 2 或－ 1．π π π 12． D[∵ α＋ β>2，∴ 2>α>2－ β>0，π∴ sin α>sin－ β，即 sin α>cos β2∴－ 1<－ sin α<－cos β<0，∵ f(x)在[ － 1,0]上单调递减， ∴ f(－ sin α)>f( －cos β)∴－ f(sin α)>－ f(cos β)，∴ f(sin α)<f(cos β)． ]13．解 (1) 要使函数 f(x)＝ lg cos 2x 有意义，则 cos 2x>0 ，π π 即－ 2＋ 2k π<2x<2＋ 2k π， k ∈ Z ， π π－＋ k π<x< ＋ k π， k ∈Z ，4 4∴函数的定义域为ππx|－＋kπ<x< ＋ kπ， k∈Z．4 4由于在定义域内0<cos 2x≤ 1，∴ lg cos 2x≤ 0，∴函数的值域为(－∞， 0]．(2)∵ f(－ x)＝ lg cos[2 ·(－x)]＝ lg cos 2x＝f(x)，∴函数是偶函数．(3)∵ cos 2x 的周期为π，即 cos 2(x＋π)＝ cos 2x．∴f(x＋π)＝lg cos 2(x＋π)＝lg cos 2x＝ f( x)．∴函数的周期为π．(4)y＝ lg u 是增函数．π当 x∈ －＋ kπ， kπ ( k∈Z ) 时， u＝ cos 2x 是增函数；4π当 x∈ kπ，4＋ kπ (k∈Z )时， u＝cos 2x 是减函数．π因此，函数y＝ lg cos 2x 在－＋kπ， kπ (k∈Z)上是增函数；在4是减函数．πkπ，4＋kπ(k∈Z ) 上。

高中数学第一章余弦函数的图像余弦函数的性质课时分层作业含解析北师大版必修4

课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A.2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．π D ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A.1个值 B ．2个值 C ．3个值 D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C DA [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos (－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________．－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0，1]，则函数f (cos x )的定义域为______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0，1]，∴0≤cosx ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg (2cos x －3).[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2，所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0，所以原函数的值域为[0，3].(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg (2cos x －3)的值域为(－∞，lg (2－3)).1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos (x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4 B ．π3 C ．0 D ．π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性；(3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2（k ∈Z ），cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π（k ∈Z ）.函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数，函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ).。

高中数学必修四北师大版 6.2 余弦函数的性质 作业 含答案

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