数值计算第三章答案

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(完整版)数值分析答案第三章习题

解：（1）建立假设 H0 ：1 2
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
u x1 x2 ~ N (0,1) s12 s22 n1 n2
（3）给定 0.05 ，查得 u 1.96 2
（4）由样本计算
u
2805 2680
1202 1052
125 130.9 110.25
125 15.53
8.04
u
2
110 100
拒绝 H0 ，有显著差异。
11.在十块田地上同时试种甲、乙两种品种作物，根据产量计算得 x 30.97，y 21.79 ，sx* 26.7
s
* y
21.1
。试问这两种品种产量有无明显差异
（ 1%）？假定两种品种作物产量分别服从
正态分布，且方差相等。
解： 1、（1）建立假设 H0 ： x2 y2 （2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
u x p0
m n
p0
~ N(0,1)
s/ n
1 n
p0 (1
p0 )
（3）给定 0.05 ，查的 u 1.96 ，使得
2
p u u
2
（4）由样本计算，
u
56 400
0.17
1 400
0.17
0.83
0.03 0.0188

数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章函数逼近与曲线拟合

1． ()sin 2

f x x π=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。解：

()sin ,2f x π=[0,1]x ∈

伯恩斯坦多项式为

0(,)()()n

n k k k

B f x f P x n

==∑

其中()(1)k n k k n P x x x k -⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

当1n =时，

01()(1)0P x x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

1101()(,)(0)()(1)()

1(1)sin(0)sin 022

P x x

B f x f P x f P x x x x

=∴=+⎛⎫

=-⨯+ ⎪⎝⎭=

当3n =时，

022

122233

31()(1)01()(1)3(1)

03()(1)3(1)

13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫

=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫

== ⎪⎝⎭

330

223223

3223

(,)()()03(1)sin 3(1)sin sin 6323(1)(1)22

563222

1.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x x πππ=∴==+-+-+=-+-+-=++≈--∑ 2．当()f x x =时，求证(,)n B f x x =

证明：

若()f x x =，则

(,)()()n

n k k k B f x f P x n ==∑ 00111(1)(1)11

(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)

黄云清版数值计算方法习题解答

第一章引论〔习题〕

2．证明：记 x x f =

)( ，则

)

()(*

x x x x x x

x x f E r +-=

)(21**x E x x x x x x

r ≈-⋅+=

3．证明：令： )

()()(b a fl b a fl b a **-*=

可估计： 1

|)(|-≥*c b a fl β 〔c 为b a *阶码〕，

故： 121||--≤

c t c ββδt

-=12

1β 于是：)1)()(δ+*=*b a b a fl .

4．解 (1) )21()122

x x x

++.(2) )

11(2x x x x x

-++.

(3) x

x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-.

6．解 a 的相对误差：由于

31021|)(|-⋅≤

-=a x x E .x a

x x E r -=

)(, 221018

10921)(--⋅=⨯≤x E r . 〔1Th 〕

)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.

|11||)(|a x f E ---==()25

.0210113

1⨯⋅≤

-+---a

x x a =3

10-

104110|)(|--⨯=-≤a f E r .

9．解递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 110

01.1002

2-⨯=-y 10001.1-=410-=

6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …

(2)取初值 50101-+=y ， 2

《数值计算》试题库填空题

数值计算试题库----填空题（每小题3分）

第一章

1、数x *

＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是。 2、取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有位有效数字.

3、已知96112168.≈有五位有效数字，则方程01262=+-x x 的具有五位有效数字的较小根为。

4、3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的_____ 倍

5、为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--

x x 改写为_______.

6、. 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是＿＿＿位。

7、设 3149541.2*

=x ，取5位有效数字，则所得的近似值=x _____.

8、数值计算方法中需要考虑的误差为。

9、计算4.12,)12(6

≈-=取f ，利用算式

)

12(1+，3

)223(-，

)

223(1+，2

7099-计算，得到的结果最好的算式为。

10、sin1有2位有效数字的近似值840.的相对误差限是

第二章

11、已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下

()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f =====

那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是

12、满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为。 13、二阶均差f (x 0,x 1, x 2) = _________________________________． 14、设1)(3-+=x x x f ，则差商[]3 ,2 ,1 ,0f =__________.

matlab课后习题答案第三章

第3章数值数组及其运算

习题3及解答

1 要求在闭区间]2,0[ 上产生具有10个等距采样点的一维数组。试

用两种不同的指令实现。

〖目的〗

●数值计算中产生自变量采样点的两个常用指令的异同。

〖解答〗

%方法一

t1=linspace(0,2*pi,10)

%方法二

t2=0:2*pi/9:2*pi %要注意采样间距的选择，如这里的2*pi/9.

t1 =

Columns 1 through 7

0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10

4.8869

5.5851

6.2832

t2 =

Columns 1 through 7

0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10

4.8869

5.5851

6.2832

2 由指令rng('default'),A=rand(3,5)生成二维数组A，试求该数组中

所有大于0.5的元素的位置，分别求出它们的“全下标”和“单下标”。

〖目的〗

●数组下标的不同描述：全下标和单下标。

●sub2ind, int2str, disp的使用。

●随机发生器的状态控制：保证随机数的可复现性。

〖解答〗

rng('default')

A=rand(3,5)

[ri,cj]=find(A>0.5);

id=sub2ind(size(A),ri,cj);

ri=ri';cj=cj';

disp(' ')

disp('大于0.5的元素的全下标')

disp(['行号 ',int2str(ri)])

数值计算课后全部答案(整合)

第一章-----------------------------------------1 第二章-----------------------------------------4 第三章-----------------------------------------9 第四章-----------------------------------------15 第五章-----------------------------------------20 第六章-----------------------------------------27 第七章-----------------------------------------30

第一章数值计算中的误差

习题一

1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。

1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5⨯310.

答案：4，1，3，6，4，1.

1.2 设100>*

x >10,x 是*

x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。答案：当10<x<100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0.005. 1.3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1) 123x x x ++,2) 124x x x 3) 2

x x 答案：

()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤

数值分析第四版习题及答案

第四版

数值分析习题

第一章绪论

设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数

，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出

它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.

利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：

(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.

计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？

设\)=28,按递推公式

Y n =Y n d

- _ .783

100

( n=1,2,…)

计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).

\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x

? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2

设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对误差增加，

而相对误差却减小. 序列

｛y

｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),

计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

数值分析--第三章--迭代法

迭代⼀般⽅程：

本⽂实例⽅程组：

⼀.jacobi迭代法

从第i个⽅程组解出xi。

线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。

转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）

得到迭代公式：

其中的矩阵B和向量f如何求得呢？

其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素

⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】

这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）

从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。

上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。

特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。

数值分析第二版(丁丽娟)答案

第八章答案
练习：第一章
答案
练习二练习三
练习四
1、什么是幂法？它收敛到矩阵 A 的哪个特征向量？若 A 的按模最大的特征值是单根，用幂法求此特征值的收敛速度由什么量来决定？怎样改进幂法的收敛速度？
2、反幂法收敛到矩阵的哪个特征向量？在幂法或者反幂法中，为什么每步都要将迭代向量规范化？
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）写出牛顿向前插值公式；（3）用二次牛顿前插公式计算 f（0.225）；
例3已知当 x=-1，0，2，3时，对应的函数值为
，
，
，
，
，求的四次 Newton 插值多项式。
例4 设对 n=1,2,3时
，证明：
例5 设（1）
第六章答案
即
最小二乘拟合二次多项式为
6、解：
，将数据变为
1
2
34
5
பைடு நூலகம்
6
7
8
2.7279 4.1836
3.0204
3.3105
4.4759 4.7673
3.6000
3.8939
代入数据得
解得
，
因而
，
。
13(2)解：（方法一）
因此最佳平方一次逼近多项式为

数值计算方法第三章习题部分参考答案

K1 8 3y0 8 6 2 K2 8 3( y0 0.1K1 ) 8 32 0.2 1.4 K3 8 3( y0 0.1K2 ) 8 6.42 1.58 K 8 3( y 0.2K ) 8 7.422 1.052 0 3 4 0.2 (K1 2K2 2K3 K4 ) 2.3004 y(0.2) y1 y0 6
由龙格库塔法得:
K1 1 x0 y0 0 K2 1 (x0 0.2) ( y0 0.2K1) 0.2 K3 1 (x0 0.2) ( y0 0.2K2 ) 0.16 K 1 x ( y 0.4K ) 0.336 1 0 3 4 0.4 (K1 2K2 2K3 K4 ) 1.0704 y(0.4) y1 y0 6
K1 1 x1 y1 0.3296 K2 1(x1 0.2) (y1 0.2K1) 0.46368 K3 1(x1 0.2) (y1 0.2K2 ) 0.436864 K 1 x (y 0.4K ) 0.5548544 2 1 3 4 0.4 (K1 2K2 2K3 K4 ) 1.24943616 y(0.8) y2 y1 6
12.解: 由欧拉法得:
K1 8 3y1 1.0988 K2 8 3( y1 0.1K1 ) 0.7692 K3 8 3( y1 0.1K2 ) 0.8679 K 8 3( y 0.2K ) 0.5781 1 3 4 0.2 (K1 2K2 2K3 K4 ) 2.4654 y(0.4) y2 y1 6

数值分析第三版课本知识题及答案解析

第⼀章绪论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****

234,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y =按递推公式

1n n Y Y -=-

( n=1,2,…)

计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?

7. 求⽅程2

5610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).

8. 当N 充分⼤时,怎样求

211N

dx x +∞

9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝2

10. 设

212S gt =

假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相

对误差却减⼩.

11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误

第三章__数值计算

dx dt dy
5x x3
y y
e
t
在初值条件
0
x y
|t 0 |t 0
1 0
d t
下的特解，并画出解函数的图形。
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't')
ezplot(x,y,[0,1.3]);
0 .7 8 7 8 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8
右点法：011dxx2
n
hf
i1
(xi )
0 .7 8 2 8 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8
中点法：011 dxx2 hi n1 f(xi12xi) 0 .7 8 5 4 0 0 2 4 6 7 3 0 7 8
矩形法举例
r = dsolve('Dx+5*x=0','Dy-3*y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=1','t')
这里返回的 r 是一个结构类型的数据 r.x %查看解函数 x(t) r.y %查看解函数 y(t) dsolve的输出个数只能为一个或与方程个数相等。只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。

数值计算方法(宋岱才版)课后答案

第一章绪论

一本章的学习要求

（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。

二本章应掌握的重点公式

（1）绝对误差：设x 为精确值，x *

为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *

的绝对误

差。

（2）相对误差：r e e x

*=。

（3）绝对误差限：e x x ε

**==-。

（4）相对误差限：r x x x

εε**

。

（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε*

⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭

则。

（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε*

*⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭

。（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε*

**⎛⎫∂==⋅ ⎪

∂⎝⎭

则。（8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε*

****

⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

。

三本章习题解析

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别

估计11

23A X X X **

=及224X A X *

=的相对误差限。

12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====

解：（1）1x *

有5位有效数字，2x *

有2位有效数字，3x *

有4位有效数字，4x *

有5位有效

数字。（2）1111123231312123

,,,A A A

A x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。

清华大学高等数值分析_第三次作业答案

高等数值分析第三章作业参考答案

1.考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.用Galerkin原理求解方

程K=L=Span(v),这里v是一个固定的向量.e0=x∗−x0,e1=x∗−x1证明

(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v),(∗)其中r=b−Ax0.v应当取哪个向量在某种意义上是最佳的?

证明.令x1=x0+αv,那么r1=r−αAv,e1=e0−αv.由Galerkin原理,有(r1,v)=0,因此α=(r,v)/(Av,v).注意到r1=Ae1,r=Ae,有(Ae1,v)=0.于是

(e1,Ae1)=(e0−αv,Ae1)=(e0,Ae1)=(e0,Ae0)−α(e0,Av)=(e0,Ae0)−α(r,v)

即(∗)式成立.由(∗)式知当v=e0时, e1 A=0最小,即近似解与精确解的误差在A范数意义下最小,算法一步收敛(但是实际中这个v不能精确找到);在最速下降意义下v=r时最佳.

2.求证：考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.取K=L=

Span(r,Ar).用Galerkin方法求解,其中r是上一步的残余向量.

(a)用r和满足(r,Ap)=0的p向量构成K中的一组基.给出计算p的公

式.

解.设p=r+αAr,(r,Ap)=0等价于(Ar,p)=0.解得α=

−(Ar,r)/(Ar,Ar).

(b)写出从x0到x1的计算公式.

解.设x1=x0+β1r+β2p,那么r1=r−β1Ar−β2Ap,再由Galerkin原

理,有(r1,r)=(r1,p)=0,解得

《数值计算方法》复习资料

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《数值计算方法》复习资料

第一章数值计算方法与误差分析

第二章非线性方程的数值解法

第三章线性方程组的数值解法

第四章插值与曲线拟合

第五章数值积分与数值微分

第六章常微分方程的数值解法

自测题

课程的性质与任务

数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析

一考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求

1.知道产生误差的主要来源。

2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及

它们之间的关系。

3.知道四则运算中的误差传播公式。

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三例题

例 1 设x*= =3.1415926⋯

近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有

即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .

又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有

即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有

即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .

这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；

数值计算与MATLAB方法课后答案

第一章习题

1. 序列满足递推关系，取

及

试分别计算，从而说明递推公式对于计算是不稳定的。

1 1 0.01 0.0001

2 0.01 0.0001 0.000001

3 0.0001 0.000001 0.00000001

4 0.000001 0.0000000

10-10

5 0.00000001 10-10

1 1.000001 0.01 0.000099

2 0.01 0.000099 -0.00009901

3 0.000099 -0.0000990

-0.01000099

4 -0.0000990

1 -0.0100009

-1.0001

5 -0.0100009

-1.0001

初始相差不大，而却相差那么远，计算是不稳定的。

2. 取y0=28，按递推公式，去计算y100，若取

（五位有效数字），试问计算y100将有多大误差？y100中尚留有几位有效数字？

解：每递推一次有误差

因此，尚留有二位有效数字。

3．函数，求f(30)的值。若开方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式

计算，求对数时误差有多大？

设z=ln(30-y)，

，y*， |E(y)| 10-4

z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235

若改用等价公式

设z=-ln(30+y)，

，y*， |E(y)|⨯10-4

z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.09407

4．下列各数都按有效数字给出，试估计f的绝对误差限和相对误差限。

1)f=sin[(3.14)(2.685)]

设f=sin xy