数值计算第三章答案
数值计算方法(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年中国石油大学(华东)
第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()A:截断误差;B:观测误差;C: 模型误差；D:舍入误差.答案:AD2.A:只有模型误差、截断误差与观测误差。
B: 只有舍入误差、截断误差与观测误差；C:只有模型误差、观测误差与舍入误差；D:只有模型误差、截断误差与舍入误差；答案:C3.A:4位B:5位C:3位D:2位答案:A4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是A:B:C:D:答案:A5.A:B:C:D:答案:B第二章测试1.A:0.5000B:0.6250C:0.5625D:0.6875答案:C2.A:B:C:D:答案:CD3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：A:Steffensen迭代法使得收敛的迭代格式加速收敛，发散的迭代格式更快发散。
B:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
C:Steffensen迭代法使得任何收敛的迭代格式加速收敛。
D:Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
答案:BD4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：A:求解任一方程的Newton迭代法都是2阶收敛的。
B:Newton迭代格式若收敛，则一定是超线性收敛的。
C:D:Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
答案:CD5.A:6B:3C:5D:4答案:A第三章测试1.A:若求解失败，则说明矩阵A奇异。
B:算法的计算量与近似成正比。
C:若A的对角线元素的绝对值都大于1，则求解结果的精度一定较高。
D:只要A非奇异，则求解结果的精度一定较高。
答案:B2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：A:提高了稳定性，减少了误差的影响。
B:方程组的系数矩阵奇异时也可以求解。
C:能求出方程组的精确解。
D:减少了计算量。
答案:A3.A:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
B:只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
数值方法简明教程作业集答案
数值计算方法简明教程第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。
2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。
令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。
5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。
6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。
则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。
而11010<<-δ，故计算过程稳定。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序很详细,且运行无误）
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序都是自己写的，很详细，且保证运行无误）我做的五章数值实验作业题目如下：第二章：1、2、3、4题第三章：1、2题第四章：1、2题第六章：2、3题第八章：1、2题第二章1：(1) 对A进行列主元素三角分解：function [l u]=myfun(A) n=size(A); for k=1:n for i=k:n sum=0; m=k; for j=1:(k-1) sum=sum+A(i,j)*A(j,k); end s(i)=A(i,k)-sum; if abs(s(m))<abs(s(i)) m=i; end end for j=1:n c=A(m,j); A(m,j)=A(k,j); A(k,j)=c; end for j=k:n sum=0; for r=1:(k-1) sum=sum+A(k,r)*A(r,j); end u(k,j)=A(k,j)-sum; A(k,j)=u(k,j); end for i=1:n l(i,i)=1; end for i=(k+1):n sum=0; for r=1:(k-1) sum=sum+A(i,r)*u(r,k); end l(i,k)=(A(i,k)-sum)/u(k,k); A(i,k)=l(i,k); end end 的列主元素三角分解：求A的列主元素三角分解：>>A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; >>[L,U]=myfun(A) 结果：L = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0.5000 1.0000 0 0 1.0000 0.7500 0.7500 1.0000 0 1.0000 0.2500 0.7500 -1.0000 1.0000 U = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 4.0000 14.0000 34.0000 69.0000 0 0 -2.0000 -8.0000 -20.5000 0 0 0 -0.5000 -2.3750 0 0 0 0 -0.2500 (2) 求矩阵的逆矩阵A -1: inv(A) 结果为：ans = 5 -10 10 -5 1 -10 30 -35 19 -4 10 -35 46 -27 6 -5 19 -27 17 -4 1 -4 6 -4 1 （3）检验结果：E=diag([1 1 1 1 1]) A\E ans = 5 -10 10 -5 1 -10 30 -35 19 -4 10 -35 46 -27 6 -5 19 -27 17 -4 1 -4 6 -4 1 2: 程序：程序：function d=myfun(a,b,c,d,n) for i=2:n l(i)=a(i)/b(i-1); a(i)=l(i); u(i)=b(i)-c(i-1)*a(i); b(i)=u(i); y(i)=d(i)-a(i)*d(i-1); d(i)=y(i); end x(n)=d(n)/b(n); d(n)=x(n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1))/b(i); d(i)=x(i); end 求各段电流量程序：求各段电流量程序：for i=2:8 a(i)=-2; end b=[2 5 5 5 5 5 5 5]; c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; V=220; R=27; d=[V/R 0 0 0 0 0 0 0]; n=8; I=myfun(a,b,c,d,n) 运行程序得：运行程序得：I = 8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477 3：程序：（1）求矩阵A和向量b的matlab程序：function [A b]=myfun(n) for i=1:n X(i)=1+0.1*i; end for i=1:n for j=1:n A(i,j)=X(i)^(j-1); end end for i=1:n b(i)=sum(A(i,:)); end 求n=5时A1，b1及A1的2-条件数程序运行结果如下：条件数程序运行结果如下： n=5；[A1,b1]=myfun(n) A1 = 1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.0000 1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 1.0000 1.3000 1.6900 2.1970 2.8561 1.0000 1.4000 1.9600 2.7440 3.8416 1.0000 1.5000 2.2500 3.3750 5.0625 b1 = 6.1051 7.4416 9.0431 10.9456 13.1875 cond2=cond(A1,2)cond2 = 5.3615e+005 条件数程序运行结果如下：求n=10时A2，b2及A2的2-条件数程序运行结果如下：n=10; [A2,b2]=myfun(n) A2 = 1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.9487 2.1436 2.3579 1.0000 1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 2.4883 2.9860 3.5832 4.2998 5.1598 1.0000 1.3000 1.6900 2.1970 2.8561 3.7129 4.8268 6.2749 8.1573 10.6045 1.0000 1.4000 1.9600 2.7440 3.8416 5.3782 7.5295 10.5414 14.7579 20.6610 1.0000 1.5000 2.2500 3.3750 5.0625 7.5938 11.3906 17.0859 25.6289 38.4434 1.0000 1.6000 2.5600 4.0960 6.5536 10.4858 16.7772 26.8435 42.9497 68.7195 1.0000 1.7000 2.8900 4.9130 8.3521 14.1986 24.1376 41.0339 69.7576 118.5879 1.0000 1.8000 3.2400 5.8320 10.4976 18.8957 34.0122 61.2220 110.1996 198.3593 1.0000 1.9000 3.6100 6.8590 13.0321 24.7610 47.0459 89.3872 169.8356 322.6877 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 16.0000 32.0000 64.0000 128.0000 256.0000 512.0000 b2 = 1.0e+003 * 0.0159 0.0260 0.0426 0.0698 0.1133 0.1816 0.2866 0.4451 0.6801 1.0230 cond2=cond(A2,2) cond2 = 8.6823e+011 条件数程序运行结果如下：求n=20时A3，b3及A3的2-条件数程序运行结果如下：n=20; [A3,b3]=myfun(n) A3 = 1.0e+009 * Columns 1 through 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 11 through 20 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0007 0.0015 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0006 0.0014 0.0032 0.0075 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0029 0.0070 0.0167 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0004 0.0009 0.0023 0.0058 0.0146 0.0364 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0006 0.0017 0.0044 0.0113 0.0295 0.0766 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0011 0.0030 0.0080 0.0215 0.0581 0.1570 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0051 0.0143 0.0400 0.1119 0.3133 0.0000 0.0001 0.0004 0.0010 0.0030 0.0086 0.0250 0.0726 0.2105 0.6103 0.0001 0.0002 0.0005 0.0016 0.0048 0.0143 0.0430 0.1291 0.3874 1.1623 b3 = 1.0e+009 * Columns 1 through 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0010Columns 11 through 20 0.0025 0.0059 0.0132 0.0287 0.0606 0.1246 0.2494 0.4874 0.9316 1.7434 cond2=cond(A3,2) cond2 =3.2395e+022 由上述运行结果可知：它们是病态的，而且随着n的增大，矩阵的病态变得严重。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值计算方法第3章3-04范数
是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn
，
，总存在与x 无关的正常数m
，M
对一切 x Rn 成立。
数值计算方法(宋岱才版)课后答案
第一章 绪论一 本章的学习要求（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。
（3）能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设x 为精确值，x *为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *的绝对误差。
（2）相对误差：r e e x***=。
（3）绝对误差限：e x x ε***==-。
（4）相对误差限：r x x xxεε*****-==。
（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε***⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭则。
（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε****⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭。
（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε***⎛⎫∂==⋅ ⎪∂⎝⎭则。
（8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε******⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
三 本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计1123A X X X ***=及224X A X **=的相对误差限。
12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====解：（1）1x *有5位有效数字，2x *有2位有效数字，3x *有4位有效数字，4x *有5位有效数字。
（2）1111123231312123,,,,A A AA x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。
所以()()111rA A Aεε***=()()()12311111123A A A x x x A X X X εεε*******⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦()222222424441,,,X A Ax A X x x x x ∂∂===-∂∂则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：()()222rA A Aεε***=()()24212224A A X X A X X εε*****⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()33542224411*********X X X X X **--***⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，2dsx dx=，在这里设x *为边长的近似值，S *为面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε***=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭即：()21x x ε**⋅≤ 推出：()10.005200xcm ε*≤=。
现代数值计算课后答案
现代数值计算课后答案【篇一：数值计算课后答案4】>1、设x0?0,x1?1，写出f(x)?e?x的一次插值多项式l1(x)，并估计插值误差。
设插值函数为l1(x)?ax?b，由插值条件，建立线性方程组为?a?0?b?1??1?a?1?b?e?a?e?1?1解之得??b?1则l1(x)?(e?1?1)x?1因为y?(x)??e?x,y??(x)?e?x 所以，插值余项为r(x)?f(x)?p(x)??1f(n?1)(?)?(x)(n?1)!1(2)f(?)?(x)2!1?f(2)(?)(x?x0)(x?x1)2!1?e??(x?0)(x?1)(??(0,1))2所以1r(x)?maxe??maxx(x?1)0?x?120???1。
111??e?0??2482选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由插值条件，建立方程组为?a0?a1?(?0.1)?a2?(?0.1)2?a3?(?0.1)3?0.995?23?a0?a1?0.3?a2?0.3?a3?0.3?0.995?23?a0?a1?0.7?a2?0.7?a3?0.7?0.765?a?a?1.1?a?1.12?a?1.13?0.4 5423?01即?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0 .995?a?0.3a?0.09a?0.027a?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0?0?1 23???a?0.7a?0.49a?0.343a?0.7650.8a1?0.48a2?0.344a3?1.76123?0?? ?0.4a1?0.72a2?0.988a3??0.311?a0?1.1a1?1.21a2?1.331a3?0.45 4??a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0???0.32a2?0.288a3?1.76???0.384a3??3.831?解之得 ?a0?0.41?a??6.29?1?a??3.48?2??a3?9.98则所求的三次多项式为f(x)?0.41?6.29x?3.48x2?9.98x3。
李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时，求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明： 证：
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答：
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线 性无关？
解：f , g C [a , b]，其内积为
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数，构造 n+1 个方程，取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ，则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2
清华大学高等数值分析_第三次作业答案
高等数值分析第三章作业参考答案1.考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.用Galerkin原理求解方程K=L=Span(v),这里v是一个固定的向量.e0=x∗−x0,e1=x∗−x1证明(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v),(∗)其中r=b−Ax0.v应当取哪个向量在某种意义上是最佳的?证明.令x1=x0+αv,那么r1=r−αAv,e1=e0−αv.由Galerkin原理,有(r1,v)=0,因此α=(r,v)/(Av,v).注意到r1=Ae1,r=Ae,有(Ae1,v)=0.于是(e1,Ae1)=(e0−αv,Ae1)=(e0,Ae1)=(e0,Ae0)−α(e0,Av)=(e0,Ae0)−α(r,v)即(∗)式成立.由(∗)式知当v=e0时, e1 A=0最小,即近似解与精确解的误差在A范数意义下最小,算法一步收敛(但是实际中这个v不能精确找到);在最速下降意义下v=r时最佳.2.求证：考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.取K=L=Span(r,Ar).用Galerkin方法求解,其中r是上一步的残余向量.(a)用r和满足(r,Ap)=0的p向量构成K中的一组基.给出计算p的公式.解.设p=r+αAr,(r,Ap)=0等价于(Ar,p)=0.解得α=−(Ar,r)/(Ar,Ar).(b)写出从x0到x1的计算公式.解.设x1=x0+β1r+β2p,那么r1=r−β1Ar−β2Ap,再由Galerkin原理,有(r1,r)=(r1,p)=0,解得β1=(r,r)/(Ar,r),β2=(r,p)/(Ap,p).(c)该算法收敛吗?解.该算法可描述为：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=0,1,2,...直到 r k <εαk=−(r k,Ar k) (Ar k,Ar k);p k=r k+αAr k;βk=(r k,r k) (Ar k,r k);γk=(r k,p k) (Ap k,p k);r k+1=r k−βk Ar k−γk Ap k;x k+1=x k+βk r k+γk p k.此算法本质上是由CG迭代一步就重启得到的,所以是收敛的,下面给出证法.设用此算法得到的x k+1=x k+¯p1(A)r k,那么e k+1 A=minp1∈P1e k+p1(A)r k A≤ e k+¯p1(A)r k A= e k−¯p1(A)Ae k A≤max1≤i≤n|˜p(λi)| e k A其中0<λ1≤...≤λn为A的特征值,˜p(t)=1−t¯p1(t)是过(0,1)点的二次多项式.当˜p满足˜p(λ1)=˜p(λn)=−˜p(λ1+λn2)时可使max1≤i≤n|˜p(λi)|达到最小.经计算可得min ˜p max1≤i≤n|˜p(λi)|≤(λ1−λn)2(λ1−λn)2+8λ1λn<1故若令κ=λ1/λn,则e k+1 A≤(κ−1)2κ2+6κ+1e k A,方法收敛.3.考虑方程组D1−F−E−D2x1x2=b1b2,其中D1,D2是m×m的非奇异矩阵.取L1=K1=Span{e1,e2,···,e m},L2= K2=Span{e m+1,e m+2,···,e n}.依次用(L1,K1),(L2,K2)按讲义46和47页公式Az∗=r0r0−Az m⊥LW T AV y m=W T r0x m=x0+V(W T AV)−1W T r0各进行一步计算.写出一个程序不断按这个方法计算下去,并验证算法收敛性.用L i=AK i重复上述各步骤.解.对任意给定x0=x(0)1x(0)2,令r=b−Ax0,V1=[e1,e2,...,e m],V2=[e m,e m+1,...,e n].对L i=K i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算：(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1z(2)1=V2y2r0−Az(1)1⊥L1r0−Az(2)1⊥L2(V T1AV1)y1=V T1r0,D1y1=V T1r0(V T2AV2)y2=V T2r0,−D2y2=V T2r0x(1)1=x(1)+V1D−11V T1r0x(2)1=x(2)−V2D−12V T2r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解D1y1=r k−1(1:m);求解−D2y2=r k−1(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−AD−11−D−12rk−1=0−F D−12ED−11rk−1Br k−1算法收敛⇔ρ(B)<1⇔ρ(ED−11F D−12)<1.对L i=AK i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算:(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1∈K1z(2)1=V2y2∈K2r0−Az(1)1⊥L1=AK1r0−Az(2)1⊥L2=AK2(V T1A T AV1)y1=V T1A T r0(V T2A T AV2)y2=V T2A T r0(D T1D1+E T E)y1=V T1A T r0(D T2D2+F T F)y2=V T2A T r0x(1) 1=x(1)+(D T1D1+E T E)−1V T1A T r0x(2)1=x(2)+(D T2D2+F T F)−1V T2A T r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解(D T1D1+E T E)y1=(A T r k−1)(1:m);求解(D T2D2+F T F)y2=(A T r k−1)(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−A(D T1D1+E T E)−1(D T2D2+F T F)−1A T rk−1(I−B)r k−1算法收敛⇔ρ(I−B)<1⇔0<λ(B)<2.4.令A=3−2−13−2...............−2−13,b=1...2用Galerkin原理求解Ax=b.取x0=0,V m=W m=(e1,e2,···,e m).对不同的m,观察 b−Ax m 和 x m−x∗ 的变化,其中x∗为方程的精确解.解.对于 b−Ax m 和 x m−x∗ ,都是前n−1步下降趋势微乎其微,到第n步突然收敛。
数值分析第3章
20
定义了内积的线性空间称为内积空间. 定义中（1）的右端 (u称, v为) 的(u共,轭v)， 当K为实数域R时 (u, v) .(v, u) 如果 (u, v，) 则 称0 与 正交u ，这v 是向量相互垂 直概念的推广.
b a
f
2
(
x)dx
2
33
若 0 ,1,,n是 C[a, b]中的线性无关函数族，记 span{0 ,1,,n}, 它的格拉姆矩阵为
G G(0 ,1,,n )
(0 ,0 ) (0 ,1) (0 ,n )
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(1
,
n
)
(n ,0 )
(n ,1 )
(
n
,
n
)
（1.17）
Hn span{1, x,, xn},
且 (a0 , a1,, an ) 是 p(x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
8
对连续函数 f (x) C[a,b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a,b]是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p(x) Hn逼近，使误差
与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n，称为 n维
向量空间.
4
对次数不超过 n( n为正整数)的实系数多项式全体，
按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域
R上一个线性空间，用
H
表示，称为多项式空间.
n
所有定义在 [a,b] 上的连续函数集合，按函数加法和
数值分析第三章Ch3
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
数值逼近
数值分析
. . . .... .... .... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
15/88
. .. . .. .. ..
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
10/88
. .. . .. .. ..
设 S 是一个内积空间，u1, . . . , un ∈ S，
矩阵
G
=
((uu11,,...
u1) u2)
(u2, u1)
(u2, u2) ...
··· ···
(un,
(un, ...
uu12))
(u1, un) (u2, un) · · · (un, un) 称为格拉姆 (Gram) 矩阵。
间
[−π, π]族。 . . . .... .... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
数值逼近 数值分析
19/88
. .. . .. .. ..
称多项式序列{φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 正 交的，如果每个 φn 是首项系数 an ̸= 0 的 n 次多项式，且 {φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 的正交函数族。
. .. . .. .. ..
. .四、最佳逼近
函数逼近主要讨论给定 f ∈ C[a, b]，求最
佳逼近多项式。若 P ∗(x) ∈ Hn，使误差 ∥f (x) − P ∗(x)∥ = min ∥f (x) − P (x)∥，则
P ∈Hn
称 P ∗(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上的n 次最佳逼
数值计算课后全部答案(整合)
目录第一章-----------------------------------------1 第二章-----------------------------------------4 第三章-----------------------------------------9 第四章-----------------------------------------15 第五章-----------------------------------------20 第六章-----------------------------------------27 第七章-----------------------------------------30第一章数值计算中的误差习题一1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。
1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5⨯310.答案：4，1，3，6，4，1.1.2 设100>*x >10,x 是*x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。
答案：当10<x<100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0.005. 1.3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1) 123x x x ++,2) 124x x x 3) 24x x 答案：()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤1）()()()()123123e x x x e x e x e x ++=++≤()()()123e x e x e x ++3221.5100.15100.510---≤⨯=⨯≤⨯2123()0.1510x x x ε-++=⨯123123123()()0.0004993...0.0004994r x x x e x x x x x x ε++++==≤++123x x x ++=-3.004 精确到小数点后两位,所以有三位有效数字。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
数值计算与MATLAB方法课后答案
第一章习题1. 序列满足递推关系，取及试分别计算，从而说明递推公式对于计算是不稳定的。
n1 1 0.01 0.00012 0.01 0.0001 0.0000013 0.0001 0.000001 0.000000014 0.000001 0.0000000110-105 0.00000001 10-10n1 1.000001 0.01 0.0000992 0.01 0.000099 -0.000099013 0.000099 -0.00009901-0.010000994 -0.00009901 -0.01000099-1.00015 -0.01000099-1.0001初始相差不大，而却相差那么远，计算是不稳定的。
2. 取y0=28，按递推公式，去计算y100，若取（五位有效数字），试问计算y100将有多大误差？y100中尚留有几位有效数字？解：每递推一次有误差因此，尚留有二位有效数字。
3．函数，求f(30)的值。
若开方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？设z=ln(30-y)，，y*， |E(y)| 10-4z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235若改用等价公式设z=-ln(30+y)，，y*， |E(y)|⨯10-4z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.094074．下列各数都按有效数字给出，试估计f的绝对误差限和相对误差限。
1)f=sin[(3.14)(2.685)]设f=sin xyx*=3.14, E(x)⨯10-2, y*=2.685, E(y)⨯10-3,sin(x*y*)=0.838147484, cos(x*y*)=-0.545443667⨯(-0.5454) ⨯⨯10-2+3.14(-0.5454) ⨯⨯10-3|⨯10-2⨯10-2|E r(f)| ⨯10-2⨯10-2<10-22)f=(1.56)设f = x y ,x*=1.56, E(x)⨯10-2, y*=3.414, E(y)⨯10-3,⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|=0.051|E r(f)| =0.01125．计算，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好，为什么？6．下列各式怎样计算才能减少误差？7. 求方程x2-56x+1=0的二个根，问要使它们具有四位有效数字，至少要取几位有效数字？如果利用伟达定理， 又该取几位有效数字呢？解一:若要取到四位有效数字,如果利用伟达定理,解二:由定理二,欲使x1,x2有四位有效数字,必须使由定理一知，∆至少要取7位有效数字。
数值计算引论(第二版)三四五章习题解答
close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1 x(k)=cos((2*k-1)*pi/2/(n+1)); end y=1./(1+25*x.^2); x0=-1:0.1:1; y0=interp1(x,y,x0,'spline'); plot(x0,y0,'r')
h2 1.5, h3 0.5, h4 1.5, h5 0.5
b [0
h2 h3 3 h3 A 6 0 h3 6 h3 h4 3 h4 6
2
0]
0
T
2 3 h4 1 12 6 h4 h5 0 3
（d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 √
习题
3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计算 f ( x ) x 的二次Lagrange插值多 项式 P2 ( x ) ，比较 P2 (0) 和 f (0) ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。 解答： 首先构造二次Lagrange插值多项式
R=chol（A）
0 -0.8165 1.1547 0 0 0 -0.8660 1.1180
-0.7071 1.2247 0 0
方法2： 利用Cholesky定义求解
6.矩阵
1 A1 1 2 2 1 2
2 2 1 , A2 2 1 1
2 2 0
(B) 0 1
2 1 2
Gauss-Seidel迭代
0 1 M (D L) U 0 0
(M ) 2 1
数值分析第三版课本习题及答案
数值分析第三版课本习题及答案第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字.8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩. 11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据定义的范德蒙⾏列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==LLL L L L L L L证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -L ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--L L .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑Lii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑L7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明12n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++L 有n 个不同实根12,,,n x x x L ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =L L ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+L L L .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f L 及0182,2,,2f L . 17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()hI x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-";ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==L ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=L ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩?r 是否唯⼀? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[ ]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:112221110010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =L第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?;(2)21012()()(0)()hh fx dx A f h A f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1xedx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式和⾟普森公式当n →∞时收敛到积分7. ⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c 是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-L试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学第一章测试1.在数值计算中因四舍五入产生的误差称为（）A:观测误差 B:方法误差 C:舍入误差 D:模型误差答案:舍入误差2.当今科学活动的三大方法为（）。
A:科学计算 B:实验C:数学建模 D:理论答案:科学计算;实验;理论3.计算过程中如果不注意误差分析，可能引起计算严重失真。
A:错 B:对答案:对4.算法设计时应注意算法的稳定性分析。
A:对 B:错答案:对5.在进行数值计算时，每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。
A:错 B:对答案:错第二章测试1.A: B: C: D:答案:2.某函数过(0,1)，(1,2)两点，则其关于这两点的一阶差商为A:3 B:0 C:2 D:1 答案:13.A: B: C: D:答案:4.下列说法不正确的是A:高次多项式插值不具有病态性质 B:分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度 C:分段线性插值的导数一般不连续D:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来答案:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来5.下列关于分段线性插值函数的说法，正确的是A:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值 B:对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值 C:一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身 D:二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身答案:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值;一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身6.A: B: C:D:答案:;;7.同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。
A:错 B:对答案:对第三章测试1.A: B:C:D:答案:2.以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A: B: C:D:答案:3.当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权 ( ) 正交。
A: B: C: D:答案: 4.n次Chebyshev多项式在 (-1,1) 内互异实根的个数为A:n+1 B:n-1 C:nD:n+2 答案:n5.用正交函数族做最小二乘法有什么优点A:每当逼近次数增加1时，系数需要重新计算 B:得到的法方程非病态C:不用解线性方程组，系数可简单算出 D:每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算答案:得到的法方程非病态;不用解线性方程组，系数可简单算出;每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算6.用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵高度病态，舍入误差很大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立.()()不能成立对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度机械求积公式具有机械求积公式也成立对于线性组合同理可得机械求积公式都成立对于证明：1m 13213213200000)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()]()([)()()]()([)()()()()()()()()(),(1++++=======∴+⋅∴⇐∴==∴⇒+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af xbg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j nk k k nk k k ban k k k bank kkbank k k bank k k bank k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
右边左边）（时当右边左边）（时当）（公式：次代数精度中矩形公式具有右边左边时当右边左边时当右边左边时当中矩形公式：知：解：根据代数精度定义=-=+++--===-=+++--==+++-≈∴≠--+=+--===-=+--===-=+--==+-≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰;2)()2(4)(6)(;2)()(;)()2(4)(6)(;)(1)()()2(4)(6)()(1;4)2()(;3)()(;2)2()(;2)()(;)2()(;)(1)()2()()(222232233322222a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f ba f a f ab a b dx x f x f b f ba f a f ab dx x f Simpson a b a ab b b a f a b a b dx x f x x f a b b a f a b a b dx x f x x f a b ba f ab a b dx x f x f ba f ab dx x f b a b a ba b a b a b a ba次代数精度公式具有右边，左边）（时当右边左边）（时当右边左边）（时当3;242255)()2(4)(6)(;5)()(;4)()2(4)(6)(;4)()(;3)()2(4)(6)(;3)()(234324555544444333332Simpon b a ab b a b a a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f b a b a ba ∴≠--++-=+++--===-=+++--===-=+++--==⎰⎰⎰3.3 已知数据表试分别用Simpson 法与复合梯形法计算积分dx e x ⎰5.11.1.）（复合梯形法：由题意知法：解：4817.46693.320042.31.0)]1.1()21.15.1(2)1.1([221.15.1247754.1)4817.46693.340042.3(151)]1.1()21.15.1(4)1.1([6)1.15.1(5.11.15.11.1+⨯+⨯=+++-≈==+⨯+=+++-≈⎰⎰f f f dx e n f f f dx e Simpon x x3.4若,0)(''>x f 证明用梯形求积公式计算积分dx x f ba⎰)(所得结果比准确值大，并说明几何意义.线围成的曲面面积为该直线与被积函数曲的直线，，梯形插值函数为连接被积函数为严格凸函数几何意义：果比准确值大梯形求积公式得到的结即）（为梯形求积公式，则的准确值，为证明：设1''11''''311))(,()),(,(0)(00)(,0],[)(12--)(T I b f b a f a x f T I T I x f a b b a f a b T I T dx x f I ba -∴>∴<<-∴>>-∈-=⎰ ξξ3.5分别用复合梯形法和复合Simpson 法计算积分dx e x ⎰1，怎样取n 才能保证计算结算结果有6位有效数字.178284.1))(2)21(4)1()0((46117828.1))(2)1()0((170214000005.0|1)-(e 1611801||(a))f -(b)(f )2(1801-||S -I |170000005.0|1)-(e 121||(a))f -(b)(f 12-||T -I |30314169117043'34n 2''22n 10=++++⨯==++⨯=≥≤=-≈≥≤-=-≈∑∑∑⎰===k k k k k k xx f x f f f S x f f f T n nn a b n nn a b dx e I 解得解得）（的准确值，为解：设3.6设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+-+-+≤≤-+-+-+≤≤+=.3.02.0,)2.0(2)2.0(9.0)2.0(15.0009.1;2.01.0,)1.0(2)1.0(3.0)1.0(3.0001.11.00,1)(32323x x x x x x x x x x x f 分别用复合梯形法（n=6）和复合Simpson 法（n=3）计算积分dx x f ⎰3.00)(，并估计误差.)]()(2)([2516b f x f a f hT k k ++=∑=解：0]612[)63.0(1801)]()([)2(180100008125.0]039.0[36123.0)]()([12302425.0]035.1)009.1001.1(2)019.10035.1000125.1(41[183.0]3.0())2.0()1.0((2))25.0()15.0()05.0((4)0([183.0)]()21(2)21(4)([630250625.0]035.1)019.1009.10035.1001.1000125.1(21[123.0)]3.0()25.0()2.0()15.0()1.0()05.0((2)0([123.0433462''2621203≈--=--≈-=-⨯-=--≈-=++++++=++++++=+++++==++++++⨯=++++++⨯=∑∑==a f b f h S I a f b f h T I f f f f f f f b f x f x f a f h S f f f f f f f k k k k3.7导出中矩形公式的余项.3''2'''2'''))((241)2)((21)2()2(])2)((21)2()2([)]2()([)2()()2()()()2()()(a b f dxb a x f dx b a x b a f dx b a x f b a x b a f dxba f x f dxb a f dx x f ba f ab dx x f R ba f ab dx x f b a b a b a b a b a ba ba-=+-++-+=+-++-+=+-=+-=+--=+-≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ηηη解：中矩形公式： 3.8.（略）3.9设（3.6）是Gauss 公式，证明它的求积系数恒大于零，求积系数之和等于2.12auss );()(1111k 11-∴--∏=≈∑⎰⎰=-≠=n G dx x x x x A x f A dx x f nk jk j nkj j k k 上式的代数精度为公式是其中证明：2x d 11)(111===∴∑⎰=-nk k A x x f 即准确成立上式对于3.10 1)证明)53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰-是Gauss 求积公式. 2)用3点Gauss 求积公式计算积分⎰-12dx ex .公式为且节点的代数精度为右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时）：当证明：Gauss f f f dx x f n f f f dx x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x f )53(95)0(98)53(95)(132535)53(95)0(98)53(95)(;256)53(95)0(98)53(95;72)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;52)53(95)0(98)53(95;52)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;32)53(95)0(98)53(95;32)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;2)53(95)0(98)53(95;2)(1)(111111161151141131121111++-≈∴-⨯==++-≈∴≠=++-====++-====++-====++-====++-====++-====++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------- 746814.0]959895[212122222]215321[41]21)53(21[11)2121(10≈++≈=+⨯--+-⨯--+--⎰⎰e e e dt edx e t x ）：3.11考虑求积公式),1()()(10Bf x Af dx x f +≈⎰选取求积系数A ，B 和求积节点0x ，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高代数精度的次数.2;3610)1(41)31(43;41)()1(41)31(43)(;31;41;43321)3(21)()()2(21)()()1(1)(1)(10331020102011代数精度为右边左边时当）组成的方程组的）（）（解（时当时当时解：当∴≠=+==+≈∴===+===+===+===⎰⎰⎰⎰⎰f f dx x x x f f f dx x f C B A B Ax dx x f x x f B Ax dx x f x x f B A dx x f x f3.12设已给出2)1(1)(x x f +=的函数表试用三点公式计算f ’(x)在x=1.0,1.1,1.2的值，并估计误差.0025.001.0375.0|3)(||)2.1()2.1(|00125.001.0675.0|6)(||)1.1()1.1(|0025.001.0375.0|3)(||)0.1()0.1(|],[75.0)()1(24)(187.0)2066.032268.042500.0(2.01))2.1(3)1.1(4)0.1((21)2.1(217.0)2066.02500.0(2.01))2.1()0.1((21)1.1(247.0)2066.02268.042500.03(2.01))2.1()1.1(4)0.1(3(21)0.1(1.00.11.123'2'23'2'23'2'20353'''01=⨯≤=-=⨯≤-=-=⨯≤=-∈≤+-=-=⨯+⨯-=+-≈-=+-=+-≈-=-⨯+⨯-=-+-≈=-=-=-h f P f h f P f h f P f x x f x x f f f f h f f f h f f f f h f x x h ξξξξξ（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。