湖北省重点高中2017-2018学年高一下学期联考期中考试理科数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。
2017-2018学年度湖北省部分重点中学联考高一理科数学(含答案)
湖北省部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷命题学校：武汉市第一中学考试时间：2018年4月24日下午3:50-5:50 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 （ ） A. 7 B. 9 C. 14 D. 182．在 中， ， ，且 的面积为，则 的长为 （ ）．A. B.C. D.3．已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值等于（ ）．A. B. C. D.4．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若cos cos a A b B =，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 5.在数列 中，已知，111n n a a -=-，则 的值为（ ） A. 2018 B.C.D. 56.为了测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距m 40的楼顶处测得塔底A 的俯角为o 30，测得塔顶B 的仰角为o 45，那么塔AB 的高度是（单位：m ）( ) A. )31(40+ B. )22(20+ C. )331(40+D. 607.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。
”问此人第4天和第5天共走了（ ）A ． 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里8.在△ABC 中，若AB =3BC =，120C ∠= ,则AC =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A. 33个B. 65个C. 66个D. 129个10．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若02,45b B ==，且此三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A.)B. ()+∞C.)+∞ D. (2,11.平面向量a b 、、e 满足||1,a = ||2,b = 1,a b ⋅=e 为单位向量，当e 的方向变化时，a e b e ⋅+⋅的最大值是( )A. B. 6 C. D. 712.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 如果该数列的前n 项和为2的整数幂且n 800，那么整数n 的最小值是( ) A.1894 B. 1895 C.1896 D. 1897二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上.）13．数列{}n a 的前n 项和n S ，则 .14．如图，设 ， 是 内的一点，点 到 的两边的距离 和 分别为11和2，则 的长为 .第14题图 第15题图15.如图，已知,,||2,||3,OA a OB b a b ====任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，点C 为线段AB 中点，则MN OC ⋅=____________. 16. 若圆的直径AB 的长为4,该圆上的动弦CD 的长为2，则AC BD ⋅ 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)已知向量a =(3,－4), b =(2,x), c =(2,y), a //b ,a ⊥c . (1) 求x,y ；(2) 求2a c -与3b -的夹角θ.18. (本小题满分12分)在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，满足 . （1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积.19. (本小题满分12分)如图，设 是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ． （1） 求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+， 求实数m 的值.20. (本小题满分12分)已知等比数列 的公比 ， ，且 成等差数列. （1）求数列 的通项公式；（2）记2n nnb a =，求数列 的前 项和 .21. (本小题满分12分)已知在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且满足 . （1）求证： ；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.22. (本小题满分12分)在正项等差数列{}n a 中,其前n 项和为,n S 2314,a a +=2358.a a S ⋅=+设12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+. (1) 求数列{}n a 及数列{}n T 的通项公式；(2) 证明：11114182n T n ≤<-+. 武汉市部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷参考答案1-12. BAA DDC CAB DCD13. ； 14. 14 ； 15. ； 16. – ，17解：（1）()()3,4,2,,x =-=a b a //b ，∴8,3x =-()2,,y =⊥c a c ∴……………………5分(2)由（1）得 8(2,)3=-b ，3(2,)2=c .∴()()()()23,44,31,7,36,8,-=--=---=-a c b∴(2)(3)cos 2|2||3|52θ-⋅-===--⋅-⨯a c b a c b . 0πθ≤≤……………………………………10分18．解：（1） 中，由条件及正弦定理得 ， ∴ .∵ ∴ ，∴ ，∵ ，∴………6分（2）∵ ，由余弦定理得，∴ .∴. ……12分19.解：（1）()21122111328AB AP AP AP AB AP AP AP ⋅+⋅=+⋅==………6分 （2）易知114BP BC =，即()114AP AB AC AB -=-， 即13144AP AB AC =+，因为Q 为线段1AP 上一点，设 13114412AQ AP AB AC mAB AC λλλ==+=+， 所以3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以14m = …………………………………………12分其它解法酌情给分.20．解:（1）∵数列 是等比数列， ，∴ ，∴ ， 又 成等差数列，∴ ，∴∵ ∴ ，∴ …………………………6分（2），①②①-②：，∴，∴. …………12分21．解：（1） ，由正弦定理知， 即 .因为 ，所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， . …………………6分（2）由（1）知，.由 为锐角三角形得，得.由 得. …………………………12分其它解法酌情给分.22. 解：（1）设公差d ，则()()11112314,125548,2a d a d a d a d +=⎧⎪⎨++=+⨯⨯+⎪⎩ ∴142a d =⎧⎨=⎩或12512a d =⎧⎨=-⎩（舍去）∴22n a n =+ …………………3分 ∴23n S n n =+,111133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,∴1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭ 111111()183123n n n =-+++++…………………………………6分 其它结果供参考:2321131211183(6116)n n n T n n n ++=-+++，323211484918(6116)n n n n T n n n ++=+++.（2）∵1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭111111()183123n n n =-+++++ ∴数列{}n T 是递增数列 ∴当n=1时n T 最小∴1111111132********n T ⎛⎫≥++---=⎪+++⎝⎭ …………………8分 又∵111()182n T n --+111111111()()183123182n n n n ⎡⎤=-++--⎢⎥++++⎣⎦ 21111()()32313n n n =⋅-++++ 2122()323(1)(3)n n n n ⎡⎤+=⋅-⎢⎥+++⎣⎦ 213(1)(2)(3)n n n ⎡⎤-=⎢⎥+++⎣⎦0< ∴111182n T n <-+∴11114182n T n ≤<-+ …………………………………………12分说明：计算错误不给分，其它解法酌情给分.。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题-Word版含答案
2017-2018学年第二学期期中考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：每小题4分，共40分.1.在等差数列{}n a 中，若136,2a a ==，则5a =（ ） A ．6 B ．4 C ．0 D ．-22.如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=B ．a b c +=-C ．a b c -=-D ．b c a += 3.用数学归纳法证明11112321nn +++<-（*,1n N n ∈>）时，第一步应验证不等式为（ ）A ．1122+< B ．111323++< C ．11113234+++< D ．111223++<4.已知平面向量a 和b 的夹角等于3π，2a =，1b =，则2a b -=（ ）A ．2B C.D5.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若030B =，c =2b =，则C =（ ） A ．3π B ．3π或23π C. 4π D ．4π或54π6.已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ） A ．50 B ．70 C. 80 D ．907.已知向量,a b 满足1a =，2b =，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ）AB ．3C. D ．58.已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为（ ） A ．0 B ．18 C. 96 D ．6009.已知数列{}n a 是各项均不为0的正项数列，n S 为前n项和，且满足1n a =+，*n N ∈128(1)n n a +≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为（ ）A ．-21B ．-15 C.-9 D ．-210.在ABC ∆中，AB AC =，点M 在BC 上，4BM BC =，N 是AM 的中点，1sin 3BAM ∠=，2AC =，则AM CN ∙=（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，第15-17题每小题4分，共36分）11.已知向量(2,5)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则x =_________，a b -= ． 12.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，若01,30a b C ===，则c =____________，ABC ∆的面积S = ．13.已知等差数列{}n a 中，1013a =，927S =，则公差d =________，100a = ． 14.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1tan 2A =，1tan 3B =，2b =，则tanC =_________，c = ．15.已知向量3OA =1OB =，0OA OB ∙=，点C 在AOB ∠内，且060AOC ∠=，设OC OA OB λμ=+（,R λμ∈），则λμ= ．16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818a a a -+-+-= ．17. O 是ABC ∆所在平面上的一点，内角,,A B C 所对的边分别是3、4、5，且3450OA OB OC ++=，若点P 在ABC ∆的边上，则OA OP ∙的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分）18. 已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-. （1）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标； （2）若1b =，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ.19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知cos (2)cos 0c B b a C ∙+-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b ab +=，求ABC ∆的面积.20. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，数列{}n b 满足31323log log log n n b a a a =+++.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求设1n n nc a b =+（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n S . 21. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin cos 20A a C b c -+-=.（1）求角A 的大小； （2）求cos cos B C +的范围. 22.已知数列{}n a 满足11a =，2114n n a a p +=+. （1）若数列{}n a 就常数列，求p 的值； （2）当1p >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数p ，使得2n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.2017-2018学年第二学期其中考试高一数学试题卷试卷答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:BACDA 11、12：二、填空题11. 5, 12. 1 ,13. 2 , 193 14. -1 , 15.1316. 961 17. [5,10]- 三、解答题18.解：（1）设(,)c x y =，由=32c ，且//c a 可得2218y x x y +=⎧⎨+=⎩ 所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩故(3,3)c =-，或(3,3)c =-（2）因为=1b ，且()2a a b ⊥-，所以()2=0a a b ⋅- 即220a a b -⋅=，所以220a b -⋅=，=1a b ⋅ 故2cos a b a bθ⋅==⋅，4πθ=19.（1）∵()cos 2cos 0c B b a C ⋅+-=，cos cos 2cos 0c B b C a C +-=，2cos 0a a C -=，∴1cos 2C =，=3C π（2）∵2c =，所以2222cos c a b ab C =+-，()()22423a b ab ab a b ab =+--=+-∴4ab =，1sin 2S ab C ==20.解：（1）因为等比数列{}n a 中23269a a a =，故22349a a =，0n a >，故1=3q 又因为122+31a a =，所以11=3a ，1=3nn a ⎛⎫⎪⎝⎭()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=----=-（2）因为数列1+n n n c a b =，令数列{}n a 前n 项和n T ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n Q 则1113311==112313nn n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-()1211=2n n+11n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111111=212122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1113211=1212312123n nn S n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.解：（1cos 20A a C b c -+-=， sin sin cos sin2sin 0C A A C B C -+-= 因为()sin =sin sin cos cos sin B A CA C A C +=+， sin cos sin 2sin 0C A A C C +-=sin 0C ≠cos 2A A +=sin()16A π+=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以，62A ππ+=，3A π=（2）因为3A π=，所以23B C π+=，2cos cos cos cos =sin 36B C C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为ABC ∆是锐角三角形，所以62C ππ<<，cos cos B C +的范围⎫⎪⎪⎝⎭22.解：（1）若数列{}n a 是常数列，则2111=+144a a p p =+=，34p =；显然，当34p =时，有=1n a （2）由条件得2211113=p 044a a a p a -=+-->得21a a >，又因为2221111,44n n n n a a p a a p +++=+=+，两式相减得()()()222221111111114444n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-+ 显然有0n a >，所以21n n a a ++-与1n n a a +-同号，而210a a ->，所以10n n a a +->； 从而有1n n a a +<. （3）因为()2211121144k k k k k a a a a p a p p +-=-+=-+-≥-， 所以()()()()1211111n n n a a a a a a n p -=+-+->+--，这说明，当1p >时，n a 越来越大，不满足2n a <，所以要使得2n a <对一切整数n 恒成立，只可能1p ≤，下面证明当1p =时，2n a <恒成立；用数学归纳法证明： 当1n =时，11a =显然成立；假设当n k =时成立，即2k a <，则当1n k =+时，22111121244k k a a +=+<⨯+=成立，由上可知对一切正整数n 恒成立，因此，正数p 的最大值是1。
2017-2018学年湖北省部分重点中学高一(下)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则A=（）A．B．C．或D．或2．（5分）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知等差数列{a n}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（）A．5 B．3 C．5或3 D．4或34．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为（）A．5 B．3 C．6 D．45．（5分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣n，则（）A．S n=2n+1﹣1 B．a n=2n﹣1 C．S n=2n+1﹣2 D．a n=2n+1﹣36．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定7．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则等差数列{a n}的前13项的和为（）A．104 B．52 C．39 D．248．（5分）设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2 B．8 C．9 D．109．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x311．（5分）已知△ABC的面积为，则△ABC的周长等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列，则是该数列的第项．14．（5分）函数y=2﹣x﹣的值域为．15．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．16．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答题必须有解题过程）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a=4，c=3，cosB=．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列的前n项和S n．20．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．2017-2018学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则A=（）A．B．C．或D．或【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，根据大边对大角可求A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵，，，∴由正弦定理，可得：sinA===，∵a＞b，A∈（，π），∴A=或．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2．（5分）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，由韦达定理即可得到a．【解答】解：不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，即有﹣7﹣1=﹣，﹣7×（﹣1）=，解得a=3，成立．故选：C．【点评】本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（）A．5 B．3 C．5或3 D．4或3【分析】设等差数列{a n}的公差为d，可得a1=3﹣2d，a2=3﹣d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得关于d的方程，求出d，则a5可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1=3﹣2d，a2=3﹣d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得=a1a4，即（3﹣d）2=（3﹣2d）（3+d），解得：d=0或1，当d=0时，a5=a3+2d=3；当d=1时，a5=a3+2d=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为（）A．5 B．3 C．6 D．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得y=﹣x+．由图可知，当直线y=﹣x+过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣n，则（）A．S n=2n+1﹣1 B．a n=2n﹣1 C．S n=2n+1﹣2 D．a n=2n+1﹣3【分析】由S n=2a n﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1；再根据数列的递推公式得到数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决．【解答】解：由S n=2a n﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1；=2a n﹣1﹣（n﹣1），当n≥2时，有S n﹣1则a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，即a n=2a n﹣1+1，+1）则a n+1=2（a n﹣1∵a1+1=2；∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1，故选：B．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．7．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则等差数列{a n}的前13项的和为（）A．104 B．52 C．39 D．24【分析】根据已知条件化成首项与公差的关系，然后利用等差数列的前n项和公式进行求解即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，∴3（2a1+6d）+2（3a1+27d）=48即a1+6d=4∴a7=4所以等差数列{a n}的前13项的和为=13a7=13×4=52故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．（5分）设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2 B．8 C．9 D．10【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为5+，利用基本不等式就可得出其最小值．【解答】解：因为4a•2b=2，所以2a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：C．【点评】此题是基础题．本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力和计算能力．9．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：======7+，验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用，属基础题．10．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，log x3＜0，不成立．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知△ABC的面积为，则△ABC的周长等于（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积等于求出AB•BC=2，再由余弦定理可得AB2+BC2=5，由此求得AB+BC=3，再由AC=，求出周长．【解答】解：由题意可得AB•BCsin∠ABC=，即AB•BC•=，∴AB•BC=2．再由余弦定理可得3=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=AB2+BC2﹣AB•BC=AB2+BC2﹣2，∴AB2+BC2=5，∴（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=5+4=9，∴AB+BC=3．∴△ABC的周长等于AB+BC+AC=3+，故选：A．【点评】本题主要考查解三角形问题，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]【分析】通过函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）可知函数向右平移2个单位时最大值变为原来的，进而可知数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，计算即得结论．【解答】解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，∴S n=∈．故选：A．【点评】本题考查了函数图象变换、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列，则是该数列的第7项．【分析】根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，把所给的这一项的数字都放到根号下面，得到关于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵数列，∴第n项的通项是则=，∴n=7，故答案为：7【点评】本题考查数列的概念即简单表示，解题的关键是看清题目中根号下的数字与项数之间的关系，一般需要把根号外的都放到根号里面，这样更好看出结果．14．（5分）函数y=2﹣x﹣的值域为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【分析】利用基本等式的性质求值域．【解答】解：函数y=2﹣x﹣，当x＞0时，x+≥2=4，（当且仅当x=2时取等号）∴y=2﹣x﹣=2﹣（x+）≤﹣2当x＜0时，﹣x﹣≥2=4（当且仅当x=﹣2时取等号）∴y=2﹣x﹣=2﹣x﹣）≥6∴得函数y=2﹣x﹣的值域为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择15．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin （B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答题必须有解题过程）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a=4，c=3，cosB=．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理求得b的值；（2）根据同角的三角函数关系求出sinB，再计算△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，a=4，c=3，cosB=，由余弦定理可得：b===；………（5分）（2）△ABC中，cosB=，∴sinB===，又a=4，c=3，∴△ABC的面积为S△ABC=acsinB=×4×3×=．…………（10分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．【分析】（1）根据不等式ax2+bx﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a、b 的值；（2）由（1）中a、b的值解对应不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．19．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的关系求出公差d，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．【解答】本题（满分12分）解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得，解得d=1，d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（6分）（2）由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得…（12分）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，公差计算能力．20．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x=30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．【分析】（Ⅰ）把S n+1+S n﹣1=2S n+1整理为：（s n+1﹣s n）﹣（s n﹣s n﹣1）=1，即a n+1﹣a n=1 即可说明数列{a n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）因为数列{b n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可【解答】解：（1）∵数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*，∴（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n+1；（2）∵a n=n+1；∴b n=a n•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴T n=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得：T n=1++…+﹣（n+1），∴T n=3﹣，代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．【点评】本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 分值：150分一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列角中终边与 330° 相同的角是（ ） A. 30°B. - 630°C. 630°D. - 30°2. 如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．向量概念下列命题中正确的是 ( ) A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合; B.模相等的两个平行向量是相等向量; C.若a 和b 都是单位向量,则a =b D.两个相等向量的模相等; 4.下列关系式正确的是( ) A.A B +B A = 0 B. a ·b 是一个向量C. A BA CB C-=D. 00=⋅AB 5. 已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是 ( )A.4B. 8C. 2D.16.为了得到函数y=sin(2x －3π)的图像，可以将函数y= sin 2x 的图像（ ）A ．向右平移6πB ．向右平移3πC ．向左平移6πD ．向左平移3π7.已知34t a n =x ,且x 在第三象限，则=x cos ( )A. 54 B. 54- C.53 D.53-8.如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜2π的图象，那么（ ）A. ω1110，φ =6πB. ω1011，φ = -6πC. ω，φ = 6πD. ω，φ = -6π9.余弦函数c o s ()4y xπ=+在下列哪个区间为减函数.（ ） A ．]4,43[ππ-B ．]0,[π-C ．]43,4[ππ-D ．]2,2[ππ-10. 已知(3,1),(,1)a b x ==-，且//a b，则x 等于（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．-311.已知向量|a |=3，|b |=23,.a ·b =-3，则a 与b 的夹角是（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒12.已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是（ ）A ．P 在AB 边上或其延长线上 B.P 在ABC ∆外部 C. P 在ABC ∆内部 D.P 在AC 边上二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知sin α=135，α是第一象限角，则cos(п-α)的值为 ．14. 已知(1,3)a =-，(1,)bt=，若(2)ab a-⊥，则||b= ．15. 如右图，平行四边形A B C D 中，E 是边B C 上一点，G 为A C与D E 的交点，且3A G G C=，若A B=a，A D=b ，则用,a b 表示B G=.16. 已知函数y ＝3cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝3围成一个封闭的平面图形，则其面积为 ．.三、解答题（本大题共6小题，共70分）GE DCBA17．（本小题满分10分）如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，且A 与B 关于y 轴对称．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .18．(本小题满分12分)19.（本小题满分12分）已知函数()s in()23xf xππ=-.（1）请用“五点法”画出函数()f x在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）当[0,2]x∈时，求函数()f x的最大值和最小值及相应的x的值.20．（本小题满分12分）已知向量13(,1),(,22am b ==。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1.下列说法中正确的是（ ）A ．共线向量的夹角为00或0180.B ．长度相等的向量叫做相等向量；C ．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D ．零向量没有方向．2.下列函数中为奇函数的是（ ）A.sin ||y x =B.sin 2y x =C.sin 2y x =-+D.sin 1y x =+3.已知角的终边经过点(4,3)-，则tan α=（ ） A.34 B.34- C.43 D.43-4.函数5cos(4)6y x π=-的最小正周期是（ ）A.4πB.2πC.πD.2π5.在直角坐标系中，直线330x -=的倾斜角是（ ） A.6π B. 3π C. 56π D. 23π6.函数3sin(2)6y x π=-+的单调递减区间（ ） A 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈7.函数3sin(2)26y x π=++图象的一条对称轴方程是（ ） A.12x π=- B.0x = C.23x π= D.3π8.下列选项中叙述正确的是（ ）A.终边不同的角同一三角函数值可以相等B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角C.第一象限是锐角D.第二象限的角比第一象限的角大9.如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.向量AB BO OM MB +++ 化简后等于（ ）A ．ACB ．BC C ．AMD ．AB11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ） A. 4=AB.2ω=C.12πϕ=D.4=B12.给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sin sin A B =，则有A B =；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.以点(0,2)和(4,0)为端点的线段的中垂线的方程是 .14.圆x 2＋y 2＝4上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．15.已知=,=, =,=,=,则+++-= ．16.三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程. （2）求AC 的中垂线方程.19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值； （2）求cos β的值21（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间.2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷答案一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、A2、B3、B4、D5、D6、C7、C8、A9、D 10、D11、B 12、C二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.230x y --= 14. 3 15. 0 16.17三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）.已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；17．1913-；． 试题解析：（1）由已知a a a Y 13)12()5(22=-+=………………3分810分18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程.（2）求AC 的中垂线方程.18．（1）3140x y +-=， （2）134-=x y【解析】(1)∵线段AB 的中点为(15)-，，∴AB 边的中线所在直线方程是512581y x -+=-+，，， 即3140x y +-=，……6分（2）AC 的中点为（4.3） ∴418024-=--=KAC ∴134)4(43-=-=-x y x y 即∴134-=x y AC 的中垂成方程为……12分19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.19.设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ……2分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++02504160F D 24F E D F D ……8分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==827-6D F E ……11分 ∴圆的方程为：0827622=+--+y x y x ………12分20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值；（2）求cos β的值. 20.(1) 120119-;(2). cos β=6556 【解析】（1）由20,135cos π<<=a a 得 1cos ,072παα=<<，得 ∴，于是2）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵，∴由()βααβ=--得： ()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-655613125354135=⨯+⨯=…12分. 21. （本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示， （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．21.析：（Ⅰ）由图象可知2A =，125212122ππππω=+= ，所以2ω=； 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象的一个最高点为(,2)12π-所以2()2()122k k Z ππϕπ⋅-+=+∈，解得22()3k k Z πϕπ=+∈又2||,3πϕπϕ<∴=． 所以2()2sin(2)3f x x π=+．………6分（Ⅱ） 由)(1222322Z k k X k x ∈-=+=+πππππ得)(x f ∴的对称轴为)(122Z k k x ∈-=ππ 由ππk x =+322得)(32Z k k x ∈-=ππ)0,32)(ππ-∴kx f 的对称中心为（)(Z k ∈……12分22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间. 22．]21,1[-，3,6[ππππ+-K K ，Z K ∈ 【解析】（1）解:.21)62sin(12sin 2322cos 1--=-+-=πωωωx x x y 20,,1,2T ππωπωωω>∴===∴= ∴函数1()sin(2).62f x x π=-- ……3分 若6562620ππππ≤-≤-≤≤x x 则1)62sin(21≤-≤-∴πx2121)62sin(1≤--≤-∴πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴211-、的取值范围为y ……8分（2）令226222πππππ+≤-≤-k x k 得：326+≤≤-πππk x k )(Z k ∈)(]36[)(Z k k k x f ∈+-∴ππππ、的单调递增区间为………12分。
湖北省重点高中联考协作体2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷及解析
湖北省重点高中联考协作体2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题，则下列不等式成立的是（）>≥<≤2.在数列{}n a中，若12a=-，且对任意n N+∈有1212n na a+=+，则数列{}n a的前20项和为（）A. 45B. 55C. 65D. 753.ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,,602ab c B b=︒=，，若这个三角形有两解，则a 的范围（）A. 2a<< B. 2a<≤ C. 2a> D. 2a<4.已知数列{}n a满足111nnnaaa++=-，12a=，则2018a=（）A.2 B. 3- C.12- D.135.,则A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项6.某观察站C与两灯塔A B、的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站北偏东30︒，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A B、间的距离为（）A. 500米B. 600米C. 700米D. 800米7.等比数列{}n a的各项均为正数，且100710121008101118a a a a+=，则313232018log log loga a a+++=（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20208.已知不等式210ax bx--≥的解集是11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a--<的解集是（）A. ()2,3 B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()3,2--9.ABC∆中，A B C、、的对边分别是a b c、、，,3,23B b cπ===，则ABC∆的面积是（）10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 5盏 B. 4盏 C. 3盏 D. 2盏11.如图，在ABC ∆中， D 为边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则cos C 的值为（ ）12.设n n n A B C ∆的三边长分别为n n n a b c ，，， n n n A B C ∆的面积为n S ， 1,2,3,n =⋅⋅⋅,若11b c >， 1112b c a ＋＝， 1n n a a +＝， 1=2n n n c a b ++， 1=2n nn b a c ++，则（ ）A. {}n S 为递减数列B. {}n S 为递增数列C. {}2n 1S -为递增数列， {}2n S 为递减数列D. {}2n 1S -为递减数列， {}2n S 为递增数列第II 卷（非选择题）二、解答题13.已知tan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan tan2xx的值. 14.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n N +∈，数列{}n b 是首项为2的等比数列且公比大于0， 3540b b +=， 2411146,11b a a S b =-=. （1）求数列{{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和.15.解关于x 的不等式()()22120mx m x m R +-->∈.16.已知a ，b ，c 分别是△ABC 角A 、B 、C 的对边长，m ⃑⃑⃑⃑ =(−1,sinA)，n⃑⃑ =(cosA +1,√3)．（1）求f(A)=m ⃑⃑ ⋅n ⃑ 的最大值（2）若m⃑⃑⃑⃑ ⊥n ⃑⃑ ，b =4√23，cosB=√33，求a 值．17.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cosA =1213，cosC =35．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？18.如图是由正整数构成的数表，用ij a 表示第i 行第i 个数（,i j N +∈）. 此表中1i ii a a i ==，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和.（1）写出数表的第6行(从左至右依次列出）； （2）设第n 行的第二个数为()2n b n ≥，求n b ； （3）令)12n C n -=≥，记n T 为数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，求1nn T C +的最大值，三、填空题19.已知数列{}n a 的前n 项和为2152n s n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 20.已知n S 是等差数列{}()n a n N +∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题：①0d <；②110S >；③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S .其中正确命题的序号是__________．21.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，已知a c ==，tan 21tan A cB b+=， 则角C =__________．参考答案1.A【解析】1.∵c ＞d ＞0，∴110c d ＜＜，又a ＞b ＞0，∴a b d c＞，．故选：A ．2.B【解析】2.由2a n +1=1+2a n ，得a n +1﹣a n =12， 即数列{a n }是公差d=12的等差数列，首项a 1=﹣2，所以数列{a n }前10项的和为20a 1+ 20192d ⨯=﹣2×20+190×12= 55，故选：B ．3.A【解析】3.由题意得，△ABC 有两解时需要：asinB ＜b ＜a ，则asin60°＜2＜a ，解得2＜a故选：A ．4.B【解析】4.∵111nn na a a ++=-， 12a =， ∴234511111213113232111213231123a a a a +-+-==-==-====-++-，，，，故周期为4， 20184504222a a a ⨯+===-故选：B 5.B【解析】5.试题分析：由数列前几项可知通项公式为n a ==时7n =，为数列第七项6.C【解析】6.由题意，△ABC 中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120° 利用余弦定理可得：AB 2=3002+5002﹣2×300×500×cos120° ∴AB=700米故选：C7.B【解析】7.∵10071012a a =10081011a a ，∴1007101210081011a a a a +=210071012a a =18 ∴10071012a a =120189a a = ∴()10093132320183log log log log 9a a a +++==2018log 33=2018故选：B ．8.D【解析】8.∵不等式ax 2﹣bx ﹣1≥0的解集是1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴a ＜0，∴方程ax 2﹣bx ﹣1=0的两个根为12， 13，﹣b a -=12+13， 1a -=16，∴a=﹣6，b=﹣5， ∴x 2﹣bx ﹣a ＜0， ∴x 2+5x +6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴不等式的解集为： ()3,2--．故选：D 9.C【解析】9.由余弦定理可得： 2222accosB b a c =+-， 即2942a a =+-， 22a 50a --=解得： a 1=+∴(11acsin 12232ABC S π∆==⨯+⨯= 故选：C10.C【解析】10.设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 故选：C ．11.C【解析】11.设BD=a ，则由题意可得：BC=2a ，，在△ABD 中，由余弦定理得：cosA=2222AB AD BD AB AD +-⋅2232(2a a ⨯-13，∴=3，在△ABC 中，由正弦定理得， AB sinC =BC sinA，即2asinC3，解得：sinC=6，cos 6C =故选：C ．12.B【解析】12.由题意得1n n a a ＋＝，所以数列{}n a 是常数列，故1n a a =．∵111=222n n n n n nn n c a b a b c b c a +++++++=+， ∴()()()1111111111211122220222n n n n n n nb c a b c a b c a b c a ++--+-=+-=+-==+-=， ∴12n n b c a +=，即1||2n n n n A B A C a +=．∴n n n A B C ∆是以点n n B C ，为焦点，长轴长为12a 的椭圆的焦点三角形，又11b c >，所以n n n A B C ∆的形状和位置如下图所示：∵11 222n n n n n n n n c a b a b cb c ++++--=-=-， ∴数列{}n n b c -是首项为11b c -，公比为12-的等比数列，∴()11112n n n b c b c -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故当n →+∞时， 0,n n n n b c b c -→→，∴点n A 的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点P ． ∴n n n A B C ∆的边n n B C 上的高n h 单调递增，∴1122n n n n n n S B C h a h ==单调递增， ∴数列{}n S 为递增数列．选B ．13.49【解析】13.试题分析：先利用两角和的正切公式求得tanx 的值，从而求得tan2x ，即可求得2tanxtan x． 试题解析： ∵1tan tan 241tan xx xπ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭， ∴1tan 3x =. ∴22tan tan 1tan 42tan tan2291tan x x x x x x=（－）＝＝－ 14.(1) 322nn n a n b =-=， (2) ()234216n n T n +=-+【解析】14.试题分析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．通过3540b b +=，求出q ，得到2n n b =．然后求出公差d ，推出a n =3n ﹣2． （2）设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，利用错位相减法，转化求解数列{a 2n b n }的前n 项和即可．试题解析：(1)设公差为d ，公比为q3540b b += ()24140b q q ∴+=即42200q q+-= ()()22540qq+-=24q ∴= 又0q > 2q ∴= 2n n b ∴=又2416b a a =- 即1354d a -= ① 由11411s b = 即1516a d += ② 解①②得11,3a d ==32n a n ∴=-(2) 262n a n =-设前n 项和为n T 则上述两式相减，得：= =15.当1m 2<-时， 1x 2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ,当1m 2=-时， x ∅∈ ,当102m -<<时，1x 2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，当m 0=时， ()x 2∞∈--， ,当0m >时，， ()1x 2m ∞∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，，【解析】15.试题分析：讨论m=0、m ＞0和m ＜0三种情况，结合相应的图象，即可求出不等式的解集． 试题解析：(i)当0m = 时，不等式为20x --> 解得2x <- (ii)当0m ≠时，不等式变形为()()120mx x -+>①若12m <- 时，则12x m -<< ②若12m =-时， ()220,x x +<∴∈Φ③若102m -<<时， 12x m<<-④当0m >时，则12x x m><-或综合上述知：当11,2,2m x m ⎛⎫<-∈- ⎪⎝⎭时当1,2m x φ=-∈时当110,,22m x m ⎛⎫-<<∈- ⎪⎝⎭时当()0,,2m x =∈-∞-时 当()10,,2,m x m ⎛⎫>∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时 16.（1）1；（2）2【解析】16.试题分析：（1）利用数量积坐标运算化简得到f(A)= 2sin(A −π6)−1，进而求最值即可； （2）∵m ⃑⃑ ⊥n ⃑ ,∴sin(A −π6)=12，结合条件得到A =π3，又cosB =√33,得sinB =√63，从而由正弦定理即可求出a 值.试题解析： (1)f(A)=m ⃑⃑ ⋅n ⃑ =√3sinA −cosA −1=2sin(A −π6)−1当sin(A −π6)=1即A =23π时，f(A) 取最大值1(2)∵m ⃑⃑ ⊥n ⃑ ,∴m ⃑⃑ ⋅n ⃑ =0,即sin(A −π6)=12∵0<A <π,∴−π6<A −π6<56π,∴A −π6=π6即A=π3又cosB =√33,得sinB =√63由正弦定理得a sinA =b sinB ⇒a =217.（1）AB=1040m （2）3537（3）[125043,62514]（单位：m/min ）【解析】17.试题分析：（1）根据两角和公式求得sinB ，再根据正弦定理即可求得AB 的长；（2）假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，分别表示出甲、乙二人行走的距离，根据余弦定理建立d,t 的二次函数关系，求出使得甲乙二人距离最短时t 的值；（3）根据正弦定理求得BC ,乙从B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550m ，还需走710 m 才能到达C ,设乙步行的速度为vm/min ，由题意得−3≤500v−71050≤3,解不等式即可求得乙步行速度的范围.试题解析：（1）在ΔABC 中，因为cosA =1213，cosC =35，所以sinA=513，sinC =45， 从而sinB =sin[π−(A +C)] =sin(A +C) =sinAcosC +sinCcosA =513×35+1213×45=6365．由正弦定理AB sinC =ACsinB ，得AB=AC sinB×sinC =12606365×45=1040（m ）．（2）假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t=3537min 时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理BCsinA=AC sinB ，得BC=AC sinB×sinA =12606365×513=500（m ）．乙从B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为vm/min ，由题意得−3≤500v−71050≤3，解得125043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[125043,62514]（单位：m min ⁄）范围内．18.(1) 第6行为：6、16、25、25、16、6 ,(2) ()()1122n n n b n -=+≥ (3)最大值为116，n=2【解析】18.试题分析：（1）根据数表总结规律从而得到第六行各数；（2）根据数表规律利用累加法求通项；（3）12,n c n -≥=时 ()()111111212n n c c n n n n +∴==-++++，利用裂项相消法算出n T ， 111424n n T c n n+=⋅++，结合均值求最值即可. 试题解析：(1)第6行为：6、16、25、25、16、6 (2)观察数表可知： 322b b -=433b b -=， 544b b -=， 11n n b b n --=-以上诸式相加得：22341n b b n -=++++-()()1112341122n n n b n n -∴=++++++-=+≥(3) 12,n n c n -≥=时()()111111212n n c c n n n n +∴==-++++ 12231111n n n T c c c c c c +=+++()111111112334122222n n n n n =-+-++-=-=++++ 21111424424n n T n c n n n n+∴=⋅=⋅++++ 44n n +≥ （当且仅当2n = 时取等号）11112816n n T c +∴≤⋅= ，取最大值时2n = 19.()()1312{ 1222n n a n n n N +==-≥∈且【解析】19.由2152n s n n =++． 当n=1时，a 1=S 1=132； 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2152n n ++﹣[（n ﹣1）2+12（n ﹣1）+5]= 122n -．∵a 1=132不适合上式． ()()1312{ 1222n n a n n n N +==-≥∈且 故答案为： ()()1312{ 1222n n a n n n N +==-≥∈且 20.①②【解析】20.：∵{a n } 是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5， ∴a 6＞0，a 7＜0，a 6+a 7＞0；∴d=a 7﹣a 6＜0，故①正确；S 11=11111()2a a +=61122a ⨯=11a 6＞0，故②正确； 同理可得，S 12=6（a 6+a 7）＞0，故③错误；由以上分析可知，公差d ＜0，a 6＞0，a 7＜0，故数列{S n }中的最大项为S 6，非S 11，故④错误；综上所述，正确的命题是①②．故答案为：①②． 21.4π【解析】21.∵1+tanA tanB =2c b ，即tanA tanB tanB +=sinAcosB cosAsinB sinBcosA +=sinC sinBcosA =2sinC sinB， ∴cosA=12，即A 为锐角， ∴∵，， ∴由正弦定理a sinA =c sinC得：=2， ∵a ＞c ，∴A ＞C ，∴C=4π． 故答案为： 4π．。
湖北省部分重点中学2018届高三7月联考数学理试卷Word版含答案
湖北省部分重点中学2017——2018学年度七月联考高三数学试卷（理科）考试时间：7月27日8：00—10：00第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}lg A x y x ==，{}2230B x x x =--<，则A B =（ ）A ．)3,0(B ．)0,1(-C ．(,0)(3,)-∞+∞D ．)3,1(-2.若复数z 满足232+=-z z i ， 其中i 为虚数单位，则z =( )A. 12+iB. 12-iC. 12-+iD. 12--i3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ）A. 52B. 54C. 56D. 584．命题:p 2,,22<+∈y x R y x ，命题:q 2||||,,<+∈y x R y x ,则的是q p ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件5．函数cos2y x =的图像向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，与函数 sin(2)6y x π=-的图像重合．则ϕ=（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒⊥l m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③ B.②③④ C.①③ D.②④7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ） A ．?43≤S B ．?1211≤S C ．?2425≤S D ．?120137≤S8.某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N ）服从正态分布N （100，102）．已知P （90≤ξ≤100）=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为（ ） A ．10 B ．20 C. 30 D ．409．设实数y x ,满足0102103≥-≥-≤-+⎪⎩⎪⎨⎧x x y y x , 则y x x y u -=的取值范围为（ ） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,32 C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,32 D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2310．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．1B ．0C ．2D ．21-11．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．155(0,)(,)462B ．155(0,)(,)642C ．155(0,)(,)442D ．155(0,)(,)66212．已知曲线()xf x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直，若12,x x 是函数()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ） A ．12211x x e e << B ．12211x x e << C ．1211x x e<< D ．212e x x e <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为_____．14.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.15.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为______________.16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()()230,f x xf x f x x '<<∈+∞对恒成立，则()()23f f 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分，5分+5分）在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 23A =-，3,sin 6sin c A C ==．（1）求的值；（2） 若角A 为锐角，求b 的值及∆ABC 的面积．18．（本小题满分12分，5分+7分）在等差数列{}n a 中，273823,29a a a a +=-+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q （q 是常数，q ≠0）的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分，5分+7分）已知四边形ABCD 为矩形，2==BE BC ，5=AB ，且⊥BC 平面ABE ，点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ，点M 为AB 中点.（1）求证：//MF 平面DAE ；（2）求BF 与平面DCE 所成线面角的正弦值. 20．（本小题满分12分，3分+3分+6分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选情况如下表： 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5---7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X . ()2P k k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0，005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++21．（本小题满分12分，4分+4分+4分）已知椭圆 2222:1(0)+=>>x y C a b a b的长轴长为4，焦距为22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)>M m m 的直线交x 轴与点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .（ⅰ）设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ，证明21kk 为定值；（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值.22．（本小题满分12分，4分+4分+4分）设函数2()ln(1)f x x b x =++. （1）若对定义域内的任意x ，都有()(1)f x f ≥成立，求实数b 的值； （2）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若1b =-，证明对任意的正整数n ，33311111()123nk f k n =<++++∑.数学（理科）试卷参考答案一、选择题。
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数 的图象如图所示，则点（ωϕ， ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（ ） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为 ．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为 ．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值 （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 word版
2017—2018学年度第二学期期中高 一 数 学 试 题（答卷时间：120分钟．试卷分值：150分、共4页 ）选择题：（每题5分，满分60分）1．．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A. 45 B ．－45 C. 35 D ．－352．如果 ,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ）A. co s tan sin θ<θ<θB. sin co s tan θ<θ<θC. tan sin co s θ<θ<θD. co s sin tan θ<θ<θ3． 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21-C ． 23D ． 23-4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A. 22 B. 12 C ．0 D ．－15．已知523cos sin =+x x ，则sin 2x =（ ）A ．1825B ．725C ．725- D ．1625-6．要得到函数c o s 23y x π=+（）的图像，只需将函数c o s 2y x =的图像（） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度7．下列向量的运算中，正确的是 （ ）A ．AB BC A C -= B ．A B B C C A +=C ．A B A C C B -= D ．A B A D D C B C --=8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是 ( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)9．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－566510、函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值A ．2，－3π 2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π11．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a|＝2，b ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则|a ＋2b|＝( ) A.3 B ．23 C ．4 D ．1212.在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值等于 ( )A ．4B ．0C ．－4D ．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．在平行四边形A B C D 中，若B C B A B CA B +=+，则四边形A B C D 是________．14．设扇形的周长为8cm ，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．15．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是 ．16、.给出下列命题①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使sinα+cosα=23；③y=sin(x 225-π)是偶函数；④x=8π是函数y=sin(2x+45π)的一条对称轴方程；其中正确命题的序号是_________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17（10分）化简：s in +c o s 22c o s (+)ππααπα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋()s in c o s 2s in (+)ππααπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.(12分)已知锐角αβ、满足5310s in ,c o s 510αβ==，求αβ+的值19.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)2ax =，(c o s ,1)bx =-.当a ∥b 时，求22co s sin 2x x -的值；20．（本小题满分12分）已知向量a = e1－e2，b= 4 e1+3 e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）.（1）试计算a·b 及|a + b|的值；（2）求向量a 与b 的夹角的大小.21、（12分）已知函数f(x)＝cos22x －sin 2x cos 2x －12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域 （2）求函数单调递减区间（3）若f(α)＝3210，求sin 2α的值．22．(本小题满分12分)已知(c o s ,s in )a αα=，(c o s ,s in )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；[(2)若k a →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。
湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．在四边形ABCD中，若=+，则四边形ABCD一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形2．远望灯塔高七层，红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？（）A．64 B．128 C．63 D．1273．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°4．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．100m B．100m C．50m D．25m5．灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A和灯塔B的距离为（）A．10海里B．20海里C．10海里D．10海里6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或7．如图，O为圆心，若圆O的弦AB=3，弦AC=5，则•的值是（）A．1B．8C．﹣1 D．﹣88．圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，则cosA等于（）A．B．C．D．9．已知平行四边形ABCD的周长为18，又AC=，BD=，则该平行四边形的面积是（）A．32 B．17.5 C．18 D．1610．下面4个结论中，正确结论的个数是（）①若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m，n，s，t∈N*），则m+n=s+t；②若S n是等差数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；③若S n是等比数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．A．4B．3C．2D．111．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）13．设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=．14．已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为．15．已知ABCDEF是正六边形，在下列4个表达式（1）+，（2）2+，（3）++，（4）2﹣中，运算结果与相等的表达式共有个．16．在△ABC中，AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=3，则sinA=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的公差d及通项a n；（2）求数列{}的前n项和S n．19．在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．20．已知，分别是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，=，=5，=2（n≥2，n∈N+），=3+3，=2+2（n∈N+）．（Ⅰ）求||；（Ⅱ）求，的坐标．21．如图，在△ABC中，设，=，又=2，，向量，的夹角为．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求a2，a3；（2）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（3）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．在四边形ABCD中，若=+，则四边形ABCD一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，结合平面向量的三角形法则，求出AD∥BC，且AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形．解答：解：在四边形ABCD中，∵=+，=+，∴=即AD∥BC，且AD=BC，如图所示；∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应结合图形解答问题，是基础题．2．远望灯塔高七层，红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？（）A．64 B．128 C．63 D．127考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意各层塔上灯的个数成等比数列，首项a1=1，公比q=2，求其前7项和即可．解答：解：由题意各层塔上灯的个数成等比数列，（从上往下）且首项a1=1，公比q=2，故S7==127故选D点评：本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．3．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：先根据正弦定理和A项中的条件可求得c的值为一个，推断出A中的三角形有一个解；根据余弦定理可求得B项中的b的值，推断出B中的三角形有一个解；C项中利用正弦定理可求得sinB的值，根据正弦函数的性质可求得B有两个值，推断出三角形有两个解；D项中利用大边对大角可推断出C＞A=120°三角形中出现两个钝角，不符合题意．解答：解：A项中B=180°﹣45°﹣80°=55°，由正弦定理可求得c=•sinC，进而可推断出三角形只有一解；B项中b=为定值，故可知三角形有一解．C项中由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=．因而B有两值．D项中c＞a，进而可知C＞A=120°，则C+A＞180°不符合题意，故三角形无解．故选C点评：本题主要考查了解三角形．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．4．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．100m B．100m C．50m D．25m考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据题意求得∠CBA，利用正弦定理求得AB．解答：解：∠CBA=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理知=，∴AB===100（m）．A，B两点的距离为100m．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．把实际问题转化为解三角形问题是关键．5．灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A和灯塔B的距离为（）A．10海里B．20海里C．10海里D．10海里考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据题意确定AC，BC，C的值，利用余弦定理求得答案．解答：解：在△ABC中，由题意知AC=BC=10，∠ACB=120°，∴由余弦定理知AB===10（海里）．故灯塔A和灯塔B的距离为10（海里）．故选：D．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．注重了对学生实际解决问题能力的考查．6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设和的夹角为θ，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得cosθ=，进而得到夹角．解答：解：设和的夹角为θ，由=4，可得||•||cosθ=4，若在方向上的投影为，则||cosθ=，在方向上的投影为3，则||cosθ=3，综上可得cosθ=，由于0≤θ≤π，则θ=．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．7．如图，O为圆心，若圆O的弦AB=3，弦AC=5，则•的值是（）A．1B．8C．﹣1 D．﹣8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，=0.．又，，即可得出．解答：解：如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，=0．．又，，∴•=（）====8；故选：B．点评：本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题8．圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，则cosA等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：连接BD，利用余弦定理求出cosA，cosC的关系，结合圆内接四边形的对角互补，运用诱导公式求解cosA的值．解答：解：如图，连接BD，由余弦定理得，BD2=9+36﹣2×3×6cosA=45﹣36cosA，又BD2=16+25﹣2×4×5cosC=41﹣40cosC，∵A+C=180°，∴cosC=﹣cosA，∴45﹣36cosA=41+40cosA，解得cosA=．故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理，以及圆内接四边形的性质：对角互补，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．9．已知平行四边形ABCD的周长为18，又AC=，BD=，则该平行四边形的面积是（）A．32 B．17.5 C．18 D．16考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：设AB=CD=a，AD=BC=b，根据已知周长求出a+b=9，两边平方得到关系式，由余弦定理表示出AC2+BD2，把AC与BD长代入得到关系式，联立求出a与b的值，过C作CE垂直AD于E，如图所示，设DE=x，则AE=5﹣x，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AE的长，即可求出平行四边形的面积．解答：解：设AB=CD=a，AD=BC=b，由周长为18，得到a+b=9，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=81①，∵∠ABC+∠BCD=180°，∴由余弦定理得：AC2+BD2=a2+b2﹣2abcos∠ABC+a2+b2﹣2abcos∠BCD=2（a2+b2），把AC=，BD=，代入得：a2+b2=41②，②代入①得：ab=20，与a+b=9联立，解得：a=4，b=5，过C作CE垂直AD于E，如图所示，设DE=x，则AE=5﹣x，由勾股定理得：16﹣x2=17﹣（5﹣x）2=CE2，解得：x=2.4，CE=3.2，则S平行四边形=AD•CE=5×3.2=16，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，完全平方公式的运用，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．10．下面4个结论中，正确结论的个数是（）①若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m，n，s，t∈N*），则m+n=s+t；②若S n是等差数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；③若S n是等比数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．A．4B．3C．2D．1考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：①取数列{a n}为常数列，即可推出该是假；②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣S n）=S n+（S3n﹣S2n），即可得到S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n，…为等差数列；③利用等比数列的特例判断选项是否正确；④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，结合等比数列前n项和公式分析可得结论是否正确．解答：解：①取数列{a n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a m+a n=a s+a t，故错；②设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列．此选项正确；③设a n=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此数列不是等比数列，此选项错；④因为a n=S n﹣S n﹣1=（Aq n+B）﹣（Aq n﹣1+B）=Aq n﹣Aq n﹣1=（Aq﹣1）•q n﹣1，所以此数列为首项是Aq﹣1，公比为q的等比数列，则S n=，所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正确；即有②④正确．故选：C．点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值，是一道综合题．属中档题．11．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出x的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值．解答：解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：==，∴cosA=，由余弦定理，有：cosA=，∴=，即==，整理得：（x+1）2=（x﹣1）（x+4），解得：x=5，三边长为4，5，6，则cosA==．故选：A．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8＞0，a9＜0，d＜0，即a n递减，前8项中S n递增，即当S n最大且a n取最小正值时，有最大值，从而可得答案．解答：解：∵等差数列前n项和S n=•n2+（a1﹣）n，由S15=15a8＞0，S16=16×＜0可得：a8＞0，a9＜0，d＜0；故Sn最大值为S8．又d＜0，a n递减，前8项中S n递增，故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，即最大．故选：C．点评：本题考查等差数列的求和公式即等差数列的性质，分析得到当S n最大且a n取最小正值时，有最大值是关键，考查推理与运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）13．设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=﹣2．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过记等比数列{a n}的通项为a n，利用S n﹣S n+1=S n+2﹣S n即﹣a n•q=a n•q+a n•q2，计算即得结论．解答：解：记等比数列{a n}的通项为a n，则a n+1=a n•q，a n+2=a n•q2，又∵S n+1、S n、S n+2成等差数列，∴S n﹣S n+1=S n+2﹣S n，即﹣a n•q=a n•q+a n•q2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．14．已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为﹣19．考点：平面向量的坐标运算；解三角形．专题：计算题．分析：利用三角形的余弦定理求出cosB，利用向量的数量积公式求出．解答：解：由余弦定理得，，故答案为：﹣19点评：本题考查三角形的余弦定理、向量的数量积公式．注意向量的夹角是将两向量的起点移到同一点所成的角．15．已知ABCDEF是正六边形，在下列4个表达式（1）+，（2）2+，（3）++，（4）2﹣中，运算结果与相等的表达式共有4个．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：作图题；平面向量及应用．分析：根据平面向量的加减运算法则，结合图形，进行化简，即可得出正确的结论．解答：解：（1）如图1所示，正六边形ABCDEF中，+==，（2）如图2所示，2+=+=，（3）如图3所示，++=+==，（4）如图4所示，2﹣=﹣=，综上，运算结果与相等的表达式有4个．故答案为：4．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，是基础题目．16．在△ABC中，AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=3，则sinA=．考点：解三角形．专题：综合题；解三角形．分析：通过充分利用D是中点，构造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求边AC，下则可用正弦定理求出sinA．解答：解：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=2，设BE=x．由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE•EDcos∠BED，45=x2+24+2×2×x，解得x=3，x=﹣7（舍去）．故BC=6，从而AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=88，即AC=2又sinB=，故=，sinA=．故答案为：．点评：解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中，依次解出边、角，达到解三角形的目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正弦定理=，代值计算即可．解答：解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=点评：本题考查正余弦定理的简单应用，属基础题．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的公差d及通项a n；（2）求数列{}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出d=1，由此能求出a n=n．（2）由（1）知=2n，由此能求出数列{}的前n项和S n．解答：解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得：=，…解得d=1，d=0（舍去）…故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（2）由（1）知=2n，…由等比数列前n项和公式得S n=2+22+23+…+2n=…=2n+1﹣2．…点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．19．在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．考点：解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；解三角形．分析：（1）通过向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积，求出A的大小即可．（2）通过余弦定理求出b，然后通过面积公式求出结果即可．解答：解：（1）因为，||=1，，∴，∴又，所以cos2A=．因为角A为锐角，∴2A=，A=（2）因为a=，c=，A=，及a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=b2+3﹣3b，即b=﹣1（舍去）或b=4故S=点评：本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．20．已知，分别是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，=，=5，=2（n≥2，n∈N+），=3+3，=2+2（n∈N+）．（Ⅰ）求||；（Ⅱ）求，的坐标．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）根据平面向量的加减运算法则，求出向量，再求模长即可；（2）根据平面向量的加法运算法则，求出、的坐标表示．解答：解：（1）∵=2，∴=2=22=23= (26)又∵=5﹣=4，∴=，∴||=；…（2）n=1时，==，n≥2时，==+[4+2+…+4••]=+=（9﹣24﹣n），从而，=（0，9﹣24﹣n）；…===；从而，=（2n+1，2n+1）．…点评：本题考查了平面向量加减运算以及向量的坐标运算问题，也考查了向量的求模问题，是基础题目．21．如图，在△ABC中，设，=，又=2，，向量，的夹角为．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）对几何图形得出平面向量的运用．（2）根据中点得出点E是AC边的中点，=，==，利用得出=（）=（||）2||||cos==，．解答：解：（1）===（）==（2）过D点作DM∥AC，交BE与点M，∵=2DC，DM∥AC，∴==，又∵点E是AC边的中点，∴=，∵DM∥AC，∴==，∴==（）=，=（）=又AF•AC=（）=||2=||cos||2=（）=（||）2||||cos==∴．点评：本题考查了平面向量的数量积，平面向量的运算，属于中档题，关键是对向量的分解转化，属于几何几何图形的题目．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求a2，a3；（2）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（3）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用a1=1，a n+1=，可求a2，a3；（2）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{+}是等比数列，由等比数列的通项公式求得+，则数列{a n}的通项a n的通项可求；（3）把数列{a n}的通项a n代入b n=（3n﹣1）••a n，由错位相减法求得数列{b n}的前n项和为T n，对n分类，则答案可求．解答：解：（1）…（2）由得即…又所以是以为首项，3为公比的等比数列．…所以即…（3）…=两式相减得，∴…∴若n为偶数，则若n为奇数，则，∴﹣2＜λ＜3…点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不等式，是中档题．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误； 故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的
湖北省武汉二中、麻城一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省武汉二中、麻城一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（1，﹣cosθ），=（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0C．D．2．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．4．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c5．（5分）等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=+f（x）（x∈R），且f（1）=，则数列{f（n）}（n∈N*）前20项的和为（）A．305 B．315 C．325 D．3357．（5分）在△ABC中，若a=2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是（）A．B＞30°B．A=2B C．c＜b D．S≤b28．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=，则△AOC 的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（x∈R）满足2015f（﹣x）=，且f（x）在上是减函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，动点P满足||2=||2﹣2•，则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心12．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，n∈N*，且a5=，若函数f（x）=sin2x+2cos2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前9项和为（）A．0B．﹣9 C．9D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）不等式≥2的解集是．14．（5分）已知函数f（x）=x+sinx．项数为19的等差数列{a n}满足a n∈，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a18）+f（a19）=0，则当k=时，f（a k）=0．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=kx+y的最大值为11，则实数k=．16．（5分）关于函数f（x）=2（sinx﹣cos x）cos x的四个结论：①最大值为；②把函数f（x）=sin2x﹣1的图象向右平移个单位后可得到函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cos x的图象；③单调递增区间为（k∈Z）；④图象的对称中心为（π+，﹣1）（k∈Z）．其中正确的结论有．（将你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），求a+c的值；（2）已知实数x，y满足不等式组求2x+y的最大值．18．（12分）已知向量=（2cos（+x），﹣1），=（﹣sin（），cos2x），定义函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC 的面积S．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1c osA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．20．（12分）已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．22．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存实数m，使f （m）=﹣a．（1）试推断与0的大小，并说明理由；（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x1，x2∈R，且x1≠x2，若g（x1）=g（x2）=0，求|x1﹣x2|的取值范围；（3）求证：f（m+3）＞0．湖北省武汉二中、麻城一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（1，﹣cosθ），=（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1 B．0C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：利用向量数量积的性质可知，=0，结合向量数量积的坐标表示及二倍角的余弦公式即可求解解答：解：由向量数量积的性质可知，=1﹣2cos2θ=0即﹣cos2θ=0∴cos2θ=0故选B点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及二倍角余弦公式的简单应用，属于基础试题2．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简cos2（α﹣）为，再利用诱导公式和条件计算求得结果．解答：解：已知sin2α=，则cos2（α﹣）====，故选：D．点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．解答：解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．4．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．解答：解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．5．（5分）等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，∴S n=na1+×d=n2+（a1﹣）n，∴点（n，S n）在曲线y=x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x=﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧，故选：C．点评：本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=+f（x）（x∈R），且f（1）=，则数列{f（n）}（n∈N*）前20项的和为（）A．305 B．315 C．325 D．335考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{f（n）}是以为首项，为公差的等差数列，由此能求出数列{f（n）}（n∈N*）前20项的和．解答：解：∵函数f（x）满足f（x+1）=+f（x）（x∈R），且f（1）=，∴f（2）=+，f（3）=++，…，f（n）=+f（n﹣1），∴{f（n）}是以为首项，为公差的等差数列．∴数列{f（n）}（n∈N*）前20项的和S20=20×+×=335．故选：D．点评：本题考查数列的前20项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．7．（5分）在△ABC中，若a=2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是（）A．B＞30°B．A=2B C．c＜b D．S≤b2考点：正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：将a=2b利用正弦定理化简，得到sinA=2sinB，但是A不一定等于2B，利用三角形面积公式表示出S，将a=2b代入并利用sinC的值域确定出S范围，即可做出判断．解答：解：∵在△ABC中，a=2b，面积记作S，∴由正弦定理得：sinA=2sinB，而A不一定等于2B；S=absinC=b2sinC≤b2，故选D点评：此题考查了正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=，则△AOC 的面积为（）A．B．C．D．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可判，以O为原点，，为x，y轴建立平面直角坐标系，设C （m，n）分别可得，，的坐标，代入=可得m，n的值，而S△AOC=OA•|n|，代计算可得．解答：解：由题意可得，又=，∴，平方可得=25，代入数据可得9++16=25，解得=0，可得，以O为原点，，为x，y轴建立平面直角坐标系（如图）设C（m，n）则可得=（1，0），=（0，1），=（m，n）代入=可得：3（1，0）+4（0，1）+5（m，n）=0．解得m=﹣，n=﹣∴S△AOC=OA•|n|==故选：A点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式．三角函数和向量的综合题是2015届高考的重点和热点，属中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．解答：解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C点评：本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．10．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（x∈R）满足2015f（﹣x）=，且f（x）在上是减函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意易得f（x）=2sin（2x+θ+）且是奇函数，可得θ+=kπ（k∈Z），结合单调性验证选项可得．解答：解：化简可得f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+），由2015f（﹣x）=可得2015f（﹣x）+f（x）=1，∴f（﹣x）+f（x）=0，∴函数f（x）是奇函数．∴θ+=kπ（k∈Z），即θ=kπ﹣，故B，D可能正确，又∵f（x）在上是减函数，∴D不满足条件．故选：B．点评：本题考查三角函数公式，涉及函数的奇偶性，属基础题．11．（5分）在△ABC中，动点P满足||2=||2﹣2•，则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先将题设中的等式移项，利用||2=2、||2=2及平方差公式化简，再利用两向量垂直的充要条件得到线段的位置关系，从而获得动点P的轨迹．解答：解：由||2=||2﹣2•，得||2﹣||2=2•，即2﹣2=2•，从而（+）•（﹣）=2•，∴（+）•=2•，∴，∵P为动点，∴，∴，设M是AB中点，则，∴，∴P在AB的垂直平分线上，∴P点轨迹一定通过△ABC的外心．故选A．点评：1．从求解过程可以看出，对于给出向量式，求解动点轨迹问题，一般是先将向量式化为最简，再根据几何图形的特征探究动点，定点和各线段之间的联系．应注意两点：（1）应熟练向量的加、减法运算（尤其是三角形法则，平行四边形法则），数乘运算，数量积的运算及性质．（2）充分利用已知中提供的图形信息，如线段长度相等，直角三角形，中点等，必要时可添加适当的辅助线或点．2．应熟练掌握三角形各“心”的含义及性质，如外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点；内心是三角形内切圆的圆心，即三内角平分线的交点；重心是三边中线的交点；垂心是三高线所在直线的交点．12．（5分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，n∈N*，且a5=，若函数f（x）=sin2x+2cos2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前9项和为（）A．0B．﹣9 C．9D．1考点：数列递推式；数列与三角函数的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：确定数列{a n}是等差数列，利用等差数列的性质，可得f（a1）+f（a9）=f（a2）+f （a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2，由此可得结论．解答：解：∵数列{a n}满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，n∈N*，∴数列{a n}是等差数列，∵a5=，∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π，∵f（x）=sin2x+2cos2，∴f（x）=sin2x+cosx+1，∴f（a1）+f（a9）=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2，同理f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2，∵f（a5）=1，∴数列{y n}的前9项和为9．故选C．点评：本题考查等差数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）不等式≥2的解集是．考点：其他不等式的解法．分析：注意到分母恒大于或等于0，直接转化为整式不等式求解，注意x≠1解答：解：⇔x+5≥2（x﹣1）2且x≠1⇔2x2﹣5x﹣3≤0且x≠1⇔故答案为：点评：本题考查解分式不等式，在解题过程中，注意等价转化．14．（5分）已知函数f（x）=x+sinx．项数为19的等差数列{a n}满足a n∈，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a18）+f（a19）=0，则当k=10时，f（a k）=0．考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由函数f（x）=x+sinx，可得图象关于原点对称，图象过原点，根据项数为19的等差数列{a n}满足a n∈，且公差d≠0，我们易得a1，a2，…，a19前后相应项关于原点对称，则f（a10）=0，易得k值．解答：解：因为函数f（x）=x+sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有19项，a n∈，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a19）=0，则必有f（a10）=0，所以k=10．故答案为：10．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，等差数列的性质应用，属于中档题．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=kx+y的最大值为11，则实数k=4．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数z=kx+y的最大值为11，判断目标函数经过的点，即可求出k的值．解答：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=kx+y的最大值为11，即y=﹣kx+z在y轴是的截距是11，∴目标函数z=kx+y经过的交点A（2，3），∴11=k×2+3；解得k=4．故答案为：4．点评：本题考查简单的线性规划的应用，在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）关于函数f（x）=2（sinx﹣cos x）cos x的四个结论：①最大值为；②把函数f（x）=sin2x﹣1的图象向右平移个单位后可得到函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cos x的图象；③单调递增区间为（k∈Z）；④图象的对称中心为（π+，﹣1）（k∈Z）．其中正确的结论有③④．（将你认为正确结论的序号都填上）．考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：化简函数的解析式，求出函数的最值判断①的正误；利用三角函数的图象的平移判断②的正误；求出函数的单调增区间判断③的正误；求出函数的对称中心判断④的正误．解答：解：对于①，因为f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x=sin（2x﹣）﹣1，所以最大值为﹣1，故①错误．对于②，将f（x）=sin2x﹣1的图象向右平移个单位后得到f（x）=sin（2x﹣）﹣1的图象，而函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．故②错误．对于③，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即增区间为考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据方程f（m）=﹣a有实根△≥0，且f（1）=0，a＞b＞c，得出a＞0，c＜0，b≥0，从而得；（2）根据x1，x2是方程g（x）=0的两实根，由根与系数的关系计算，从而求出|x1﹣x2|的取值范围；（3）由f（1）=0，可设f（x）=a（x﹣1）（x﹣），再由f（m）=﹣a，求出m的取值范围，从而得出f（m+3）＞f（1）=0．解答：解：（1）∵f（m）=﹣a，m∈R，∴方程ax2+bx+c=﹣a有实根，△=b2﹣4a（a+c）≥0，∵f（1）=0，∴a+b+c=0，即a+c=﹣b；∵b2﹣4a（﹣b）=b（b+4a）≥0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，从而b+4a=﹣（a+c）+4a=3a﹣c＞0；∴b≥0，∴；…（4分）（2）据题意，x1，x2是方程g（x）=0，即ax2+2bx+c=0的两实根；∴=﹣4x1x2=﹣=（b2﹣ac）==4=4+3；∵a＞b=﹣（a+c），∴2a＞﹣c＞0，∴＞﹣2；又a+c=﹣b≤0，∴；∴，∴；…（8分）（3）∵f（1）=0，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣），∵f（m）=﹣a，∴a（m﹣1）（m﹣）=﹣a，∴（m﹣1）（m﹣）=﹣1＜0，∵＜m＜1，∴m＞﹣2；∴m+3＞1，∴f（m+3）＞f（1）=0．…（12分）点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次方程与对应的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．。
湖北省武汉一中等部分重点中学联考2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省武汉一中等部分重点中学联考2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．+1与﹣1的等差中项是（）A．1B．﹣1 C．D．±12．计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．3．符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°4．已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．D．5．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7B．8C．9D．106．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}前n项和为S n，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）A．3B．C．4D．8．如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}中a2=2，a5=，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1等于（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2n）C． D．10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．将正奇数1，3，5，7，…按如表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij=2015，则i+j的值为（）第1列第2列第3列第4列第5列第1行 1 3 5 7第2行15 13 11 9第3行17 19 21 23第4行31 29 27 25第5行39 37 35 33………………A．505 B．506 C．254 D．25312．给出以下：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）13．已知＜θ＜π，且sinθ=，则tan=．14．已知△ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，，A=30°，则c=．15．已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且，则=．（用最简分数作答）16．数列{a n}的首项a1=1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2015，则a21=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，求a n（2）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50，S n=242，求n．18．已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：（Ⅰ）sin2α；（Ⅱ）tanα﹣．19．在△ABC中，三个内角2的对边分别为a，b，c，cosA=﹣，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．20．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足+++…+=a n+1﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．21．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．22．数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1=t•S n+a（t≠0）．设b n=S n+1，c n=k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t=1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．+1与﹣1的等差中项是（）A．1B．﹣1 C．D．±1考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差中项的定义易得答案．解答：解：设x为+1与﹣1的等差中项，则﹣1﹣x=x﹣+1，即x==故选：C点评：本题考查等差中项，属基础题．2．计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式及两角差的正弦函数公式即可求值．解答：解：sin77°cos47°﹣sin13°cos43°=sin77°cos47°﹣cos77°sin47°=sin（77°﹣47°）=sin30°=．故选：A．点评：本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题．3．符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°考点：解三角形．专题：综合题．分析：利用已知选项的条件，通过正弦定理，组成三角形的条件，判断能不能组成三角形，以及三角形的个数．解答：解：对于A、a=1，b=，A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形．对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形．对于D、a=1，b=2，A=100°组不成三角形．对于C、b=c=1，B=45°显然只有一个三角形．故选C．点评：本题是基础题，考查三角形的基本性质，注意正弦定理的应用，大角对大边，小角对小边，常考题型．4．已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2θ﹣sin2θ的值，所求式子利用平方差公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系整理后将cos2θ﹣sin2θ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣．故选B．点评：本题考查二倍角的余弦函数公式，考查学生的计算能力，熟练掌握公式是解本题的关键．5．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7B．8C．9D．10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．解答：解：∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列项的符号，属基础题．6．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．解答：解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．7．已知等比数列{a n}前n项和为S n，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q 等于（）A．3B．C．4D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，两式相减即可得出．解答：解：∵a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，∴a2015﹣a2014=3a2014，∴=4．故选：C．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．解答：解：依题意知，DB=，BC=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．把实际问题转化为三角形的问题，是常用思路．9．已知等比数列{a n}中a2=2，a5=，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1等于（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2n）C． D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由等比数列的通项公式求出a1和q，代入a n•a n+1化简并判断出数列{a n•a n+1}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，因为等比数列{a n}中，a2=2，a5=，所以=，则q=，由a2=2得，a1=4，所以a n•a n+1=4•（4）==8•，所以数列{a n•a n+1}是以8为首项、为公比的等比数列，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1==，故选：C．点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及等比数列的判断，属于中档题．10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA（sinA﹣sinB）=0，分别可得A=，或a=b，可得结论．解答：解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB，∴A=，或a=b，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．点评：本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．11．将正奇数1，3，5，7，…按如表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij=2015，则i+j的值为（）第1列第2列第3列第4列第5列第1行 1 3 5 7第2行15 13 11 9第3行17 19 21 23第4行31 29 27 25第5行39 37 35 33………………A．505 B．506 C．254 D．253考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由题意知该数列是等差数列，四个数为一行，奇数行从第2列开始从小到大排列，偶数行从第一列开始从大到小排列，所以可得结论．解答：解：由题意得，该数列是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=÷2=1008，∴由四个数为一行得1008÷4=252，∴由题意2015这个数为第252行第一列，故i+j=253，故选：D．点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．12．给出以下：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出②的正误；根据等差数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n项的和推出A，B判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解答：解：对于①实数α=0，β≠0，则sin（α+β）=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②取数列{a n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a m+a n=a s+a t，故②不正确；对于③设a n=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此数列不是等比数列，故③正确；④S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），所以此数列为首项是a1，公比为q≠1的等比数列，则S n=，所以A=，B=﹣，∴A+B=0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3．c=4，满足a2+b2＞c2，故⑤不正确；故选：C．点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题．属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）13．已知＜θ＜π，且sinθ=，则tan=．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由题意结合三角函数公式易得tan的方程，结合角的范围，解方程可得．解答：解：∵sinθ=，∴2sin cos=，∴=，∴=，又∵＜θ＜π，∴＜＜，∴tan＞1，解方程可得tan=故答案为：点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式，属基础题．14．已知△ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，，A=30°，则c=1或2．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，将a，b及cosA的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵a=1，，A=30°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：1=3+c2﹣3c，即c2﹣3c+2=0，因式分解得：（c﹣1）（c﹣2）=0，解得：c=1或c=2，经检验都符合题意，则c=1或2．故答案为：1或2点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且，则=．（用最简分数作答）考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质及求和公式，结合，可得结论．解答：解：====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质及求和公式，考查学生的计算能力，比较基础．16．数列{a n}的首项a1=1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2015，则a21=2015．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合b n=，得到a21=b1b2…b20，结合b10b11=2015及等比数列的性质求得a21．解答：解：由b n=，且a1=1，得b1=．b2=，a3=a2b2=b1b2．b3=，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n﹣1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴=2015．故答案为：2015．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，求a n（2）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50，S n=242，求n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式即可得出；（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=6；当n≥2时，由于a1不适合此式，∴．（2）解由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得程组，解得．∴a n=2n+10．，得，解得n=11或n=﹣22（舍去）．∴n=11．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：（Ⅰ）sin2α；（Ⅱ）tanα﹣．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦可求得sin（2α+）=﹣，α∈（，）⇒2α+∈（π，）⇒cos（2α+）=﹣，利用两角差的正弦即可求得sin2α的值；（Ⅱ）结合（Ⅰ）2α∈（，π），sin2α=，可求得cos2α的值，从而可求得tanα﹣的值．解答：解：（Ⅰ）∵cos（+α）•cos（﹣α）=cos（+α）•sin（+α）=﹣，…即sin（2α+）=﹣，α∈（，），故2α+∈（π，），∴cos（2α+）=﹣，…∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=…（Ⅱ）∵2α∈（，π），sin2α=，∴cos2α=﹣，…∴tanα﹣=﹣===﹣2•=2．…点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查二倍角的正弦，两角差的正弦的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．在△ABC中，三个内角2的对边分别为a，b，c，cosA=﹣，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．解答：解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．注意对这两个公式的灵活运用来解决三角形问题．20．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足+++…+=a n+1﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得解得求出；（Ⅱ）由题意通过仿写作差求出进一步求出，利用错位相减的方法求出数列{b n}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得…又∵a1＞0，q＞0，解得…∴；…（Ⅱ）由题意可得，（n≥2）两式相减得，∴，（n≥2）…当n=1时，b1=1，符合上式，∴，（n∈N*）…设，，…两式相减得，∴．…点评：本题考查数列通项公式的求法、前n项和公式的求法；错位相减方法是求和方法中重要的方法，属于一道中档题．21．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：设∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．解答：解：设∠AMN=θ，在△AMN中，=．因为MN=2，所以AM=sin（120°﹣θ）．…2分在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．…6分AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP=sin2（120°﹣θ）+4﹣2×2×sin（120°﹣θ）cos（60°+θ）…8分=sin2（θ+60°）﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4=[1﹣cos （2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4=﹣[sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．…12分当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…14分点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．22．数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1=t•S n+a（t≠0）．设b n=S n+1，c n=k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t=1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．考点：数列与不等式的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）在数列递推式中取n=n﹣1，得到另一递推式，作差后求得数列{a n}为等比数列并求出公比，则数列的通项公式可求；（2）由t=1求得a n，S n，b n，由|b n|≥|b3|恒成立，利用取n得特殊值及单调性求函数的最值求得a的取值范围；（3）求出等比数列{a n}的前n项和，代入b n=S n+1，再求出c n=k+b1+b2+…+b n，由{c n}为等比数列，利用等比数列的通项公式特点得到a，k，t的关系，再结合a，t，k成等差数列联立方程组求得a，t，k的值．解答：解：（1）∵S n+1=t•S n+a①当n≥2时，S n=t•S n﹣1+a②，①﹣②得，a n+1=t•a n（n≥2），又由S2=t•S1+a，得a2=t•a1，∴{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴（n∈N*）；（2）当t=1时，a n=a，S n=na，b n=na+1，由|b n|≥|b3|，得|na+1|≥|3a+1|，（n﹣3）a[（n+3）a+2]≥0（*）当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；当a＜0时，（*）等价于（n﹣3）[（n+3）a+2]≤0（**）n=3时，（**）成立．n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即恒成立，∴．n=1时，有4a+2≥0，．n=2时，有5a+2≥0，．综上，a的取值范围是；（3）当t≠1时，，，=，∴当时，数列{c n}是等比数列，∴，又∵a，t，k成等差数列，∴2t=a+k，即，解得．从而，，．∴当，，时，数列{c n}为等比数列．点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比数列的通项公式，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了数列的求和方法，考查了运算能力，属难度较大的题目．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年春季湖北省中点高中联考协作体期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题（本大题共12个小题，每小题给出的四个备选答案中，有且仅一个是符合题目要求的）1．已知a ＞b ＞0，c ≥d ＞0，则下列不等式成立的是（ ）A>B≥C<D≤2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意n ∈N ＋有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }的前20项和为（ ）A ．45B ．55C ．65D ．753．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，d ＝2，B ＝60°，若这个三角形有两解，则a 的范围（ ）A．2a <<B．2a <≤C ．a ＞2D ．a ＜24．已知数列{a n }满足111n n na a a ++=-，a 1＝2，则a 2018＝（ ） A ．2B ．－3C ．12-D ．135，…，则 ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项6．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）A ．500米B ．600米C ．700米D ．800米7．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1007a 1012＋a 1008a 1011＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 2018＝A ．2017B ．2018C ．2019D ．20208．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[13，12]，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是（ ） A ．（2，3） B ．（13，12） C ．（－∞，13）∪（12，＋∞） D ．（－3，－2）9．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，3B π=，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积是（ ）AB．4C．2D10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．5盏B．4盏C．3盏D．2盏11．如图，在△ABC中，D为边AC上的点，且AB＝AD，2AB=，BC＝2BD，则cosC的值为（）A．3B．6CD12．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n＝1，2，3，…，若b1＞c1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，12n n n c a b ++=，12n n n b a c ++=，则（ ） A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递增数列D ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递增数列第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本题共4小题）13．已知数列{a n }的前n 项和为2152n s n n =++，则数列{a n }的通项公式a n ＝________． 14．如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A 处测得公路北侧有一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．15．已知S n 是等差数列{a n }（n 属于N ＋）的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，有下列四个命题： ①d ＜0；②s 11＞0；③S 12＜0；④数列{S n }中的最大项为S 11．其中正确命题的序号是________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =c =tan 21tan A c B b +=，则角C ＝________．三、解答题（本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明、验算步骤）17．已知tan()24x π+=，求tan tan 2x x的值． 18．已知{a n }为等差数列，前n 项的和为S n （n ∈N ＋），数列{b n }是首项为2的等比数列且公比大于0，b 3＋b 5＝40，b 2＝a 4－6a 1，S 11＝11b 4．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式．（2）求数列{a 2n b n }的前n 项和．19．解关于x 的不等式mx 2＋（2m －1）x －2＞0（m ∈R ）．20．已知a ，b ，c 分别是△ABC 角A 、B 、C 的对边长，(1,sin )m A =-，(cos 1n A =+．（1）求()f A m n =⋅的最大值（2）若m n ⊥，b =cos B =，求a 值． 21．游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ；另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m ／min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m ／min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？22．如果是由正整数构成的数表，用a ij 表示i 行第j 个数（i ，j ∈N ＋）．此表中a il ＝a ii ＝i ，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n 行的第二个数为b n （n ≥2），求b n ．（3）令12)n C n -=≥，记T n 为数列11{}n n c c +前n 项和，求1n n T C +的最大值，并求此时n 的值．2018年湖北省部分高中春季期中联考高一数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）ABABB CBDCC CB二、填空题。
（本题共有4个小题，每小题5分，共20分）13、n a =14、、①② 16、4π三、解答题。
（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、演算步骤）17、（本小题满分10分） 解：∵1tan tan()241tan x x x π++==-， ∴1tan 3x =。
∴22tan tan 1tan 42tan tan 2291tan x x x x x x=（－）＝＝－18、（本小题满分12分）解：(1)设公差为d ，公比为q3540b b += 241()40b q q \+=即42200q q +-= 22(5)(4)0q q +-= 、 13(1)212(2)2n n n +=-澄且n N24q \= 又0q > 2q \=2n n b \= …………………………………………3分又2416b a a =- 即1354d a -= ①由11411s b = 即1516a d += ②解①②得11,3a d ==32n a n \=- ………………………………6分(2)262n a n =-2(62)2n n n n c a b n \==-?令 …………………………7分设前n 项和为n T则12342102162(62)2n n T n =???+-?231242102(68)2(62)2n n n T n n +=??+-?-? ……………………9分上述两式相减，得： 23142626262(62)2n n n T n +-=???+?-? =112(22)4(62)212n n n +?---?- =2(34)216n n +--?2(34)216n n T n +\=-? ……………………………………12分19、（本小题满分12分）解：(i)当0m = 时，不等式为20x --> 解得2x <- ………………………2分(ii)当0m ¹时，不等式变形为(1)(2)0mx x -+> ………………………1分 ①若12m <- 时，则12x m-<< …………………………5分 ②若12m =-时，2(2)0,x x +<\蜦 ………………………7分③若102m -<<时，12m-<x< ……………………………9分 ④当0m >时，则12x x m ><-或 …………………………11分 综合上述知： 当11,(2,)2m x m<-?时 当1,2m x f =-?时 当110,(,2)2m x m -<<?时 当0,(,2)m x =??时 当10,(,2)(,)m x m >??+?时 ……………………12分20、（本小题满分12分）解：(1)()3sin cos 1f A m nA A =?-- =2sin()16A p -- ……………………………3分 当 2sin()163A A p p -==即时，()f A 取最大值1……………5分 (2)1,0,sin()62m n m n A p ^\?-=即 …………………………7分 50,,66666A A A p p p p p p <<\-<-<\-= 即3A p = …………………………………………………………9分又cos sin B B 得 ……………………………………10分 由正弦定理得2sin sin a b a A B =? ………………………12分21、（本小题满分12分）解：（1）∵1312cos =A ，53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ，54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π根据sinB sinC AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB== （2）设乙出发t 分钟后，甲．乙距离为d ，则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d [来源:] ∴)507037(20022+-=t t d ∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时，即乙出发3735分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。