正弦定理和余弦定理
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
——王彦文青铜峡一中
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一
些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和
方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题．
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换
的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角
形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或
证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度
以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等，即．其
中R是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝2R sin A，b＝，c
＝；
②sin A＝a
2R
，sin B＝，
sin C＝；
③a∶b∶c＝______________________.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝，b2＝，
c2＝ .
若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．
(2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ .
若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A ＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.
正弦定理与余弦定理
1.三角形的有关性质
(1)在△ABC 中，内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π
2
中互补和互余的情况；
(2)a ＋b>c ，a －b
(3)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝π
2
⇔三角形为等腰或直角三角形；
cos2A=cos2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； tan2A=tan2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； (4) sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ，
tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2，cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2
. (5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大， 即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.
2.
3.(1) ①S ＝12ah a ＝12bh b ＝1
2
ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；
②S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝1
2acsin B, 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；
③S △ABC ＝s (s －a )(s －b )(s －c )(海伦公式)． ④S △ABC ＝
abc 4R ＝1
2
(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径, R 是△ABC 外接圆半径)，并可由此计算R 、r. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 4.解三角形常见问题
正弦定理和余弦定理
有 12＝42－bc，则 bc＝4，
故 S△ABC＝12bcsin A＝ 3.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
正弦定理、余弦定理的综合应用
【例 3】 (2012·课标全国)已知 a，b， 思维启迪 解析 c 分别为△ABC 三个内角 A，B， C 的对边，acos C＋ 3asin C－b
况如下：
形的形状，主要有两种
A 为锐角
A 为钝角 或直角
途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，
图形
并常用正弦(余弦)定理实施
关系
bsin A
a＝bsin A
式
<a<b
解的 个数
一解
两解
a≥b 一解
a>b 一解
边、角转换．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
圆的半径)，并可由此计算 R、r.
2.根据所给条件确定三角 形的形状，主要有两种 途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，
并常用正弦(余弦)定理实施
边、角转换．
基础知识
题型分类
思想方法
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则有正弦定理和余弦定理：
正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA；b^2 = c^2 + a^2 - 2cacosB；c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
可以通过变形得到以下公式：
cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc；cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / 2ac；cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
同时还有以下关系：
a = 2RsinA；
b = 2RsinB；
c = 2RsinC
a:b:c =
asinB = bsinA；bsinC = csinB；asinC = csinA
ABC的面积S = absinC = bcsinA = acsinB = r
其中r为三角形内切圆半径，可以通过S = (a + b + c)r得到。
选择题：
1.在△ABC中，已知a = 2，b = 6，A = 45°，则满足条件
的三角形有2个。
2.在△ABC中，A = 60°，AB = 2，且△ABC的面积为3，则BC的长为
3.
3.已知在△ABC中，a = x，b = 2，B = 45°，若三角形有
两解，则x的取值范围是2＜x＜22.
4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是(8,10)。
注：原文中存在格式错误，已经进行修正。
整理得2c=b+bc，因为c≠0，所以等式两边同时除以c，得到2=c+b，解得c=2/(b+1)。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理
余弦定理和正弦定理是三角函数中重要的定理，它们在解决三角形相关问题时有着广泛的应用。本文将介绍余弦定理和正弦定理的数学表达、推导方法以及在实际问题中的应用。
一、余弦定理
余弦定理是解决三角形边长和内角之间关系的定理。它的数学表达式如下：
c² = a² + b² - 2abcosC
其中，a、b和c分别表示三角形的三条边的长度，C表示夹角C的度数，cosC表示夹角C的余弦值。
为了更好地理解余弦定理，我们可以通过一个实例来说明。假设有一个三角形，其两边分别为a=4，b=6，夹角C=60°，我们可以利用余弦定理计算第三边c的长度。
根据余弦定理，代入a、b和C的值：
c² = 4² + 6² - 2×4×6×cos60°
= 16 + 36 - 48×0.5
= 16 + 36 - 24
= 28
通过开方运算我们可以得知c的长度为√28≈5.29。
二、正弦定理
正弦定理也是解决三角形边长和内角之间关系的定理。它的数学表
达式如下：
a / sinA =
b / sinB =
c / sinC
其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表
示三角形的三个内角的度数，sinA、sinB、sinC分别表示三个内角的正弦值。
同样以一个实例来说明正弦定理的应用。假设有一个三角形，两边
分别为a=4，b=6，夹角C=60°，我们可以利用正弦定理计算第三边c
的长度。
根据正弦定理，代入a、b、C的值：
4 / sinA = 6 / sinB = c / sin60°
通过推导我们可以得到：
c = 4 × sin60° / sinA
三角函数的正弦定理与余弦定理
三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中重要的概念和工具，可以用来描述和计算各种角度和三角形的相关性质。在三角函数中，正弦定理和余弦定理是两个基本定理，它们在解决三角形问题中起着重要作用。接下来，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的定义及应用。
一、正弦定理
正弦定理基于三角形的边与角之间的关系，给出了它们之间的数学表达式。对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A，∠B，∠C，对应的边长分别为a，b，c。则有以下正弦定理的表述：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R (R为三角形外接圆的半径)
该定理表明，在三角形中，任意一条边的长度和其对应的角的正弦值之间存在一个比例关系，且该比例关系对于所有三边和三角角度都成立。这个比例关系可以用来求解未知边长或角度大小，或者验证已知三角形的性质。
二、余弦定理
余弦定理是另一个三角形中边与角之间的关系定理，它描述了三角形的边与角之间的关系，并且与正弦定理有一定的联系。对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A，∠B，∠C，对应的边长分别为a，b，c。则有以下余弦定理的表述：
c² = a² + b² - 2abcos∠C
该定理表明，在三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方之和减去两倍的两边的乘积与对应角的余弦值的乘积。该定理在解决三角形问题中应用广泛，可以求解未知边长或角度大小，或者验证已知三角形的性质。
三、正弦定理与余弦定理的应用举例
1. 求解三角形的边长和角度
通过正弦定理和余弦定理，我们可以求解三角形中的各边长和角度大小。以已知两边和一个夹角的情况为例，通过正弦定理可以求解出第三条边的长度，而通过余弦定理可以求解出未知角的大小。这样，我们可以完整地确定三角形的大小和形状。
解三角形之：正弦定理和余弦定理
三角之：正弦定理，余弦定理 2011-7-23
一．基础知识 （1）正弦定理：
C
c B
b A
a sin sin sin =
=
(2)余弦定理： cos 2222ab c b a -+= A
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+= 注意：正弦定理和余弦定理都是“知三求一”,但应注意区别：正弦定理是“知两角一边可以求一边”或“知两边一角可以求一角”； 余弦定理是“知三边可以求一角”或“知两边一角可以求一边”。
正弦定理推论:（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)
C R
c B R
b A R
a sin 2,
sin 2,
sin 2===
(3) a :b :c=sinA:sinB:sinC
(4)C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> 余弦定理推论：ab
c
b a C ac
b
c a B bc
a
c b A 2cos ,2cos ,2cos 2
222
222
2
2
-+=
-+=
-+=
（2）三角形面积公式：,sin 2
1C ab S ABC =∆,sin 2
1A bc S ABC =∆B ca S ABC sin 2
1=
∆
二.基础题型
题型一：解三角形（在各种情况下能熟练解三角形,只需说明做法即可） 例1: 解此三角形中，o
o C B a ABC 75,60,8===∆（已知两角一边）
例2：解此三角形
中，o
o C A c 75,45,3ABC ===∆（已知两角一边）
例3：解此三角形
正弦定理和余弦定理
第3讲 正弦定理和余弦定理
基础梳理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形
为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角
形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
A 为锐角
A 为钝角或直
角
图形
关系 式 a ＜b sin A
a ＝
b sin A
b sin A ＜a ＜b a ≥b
a ＞b
a ≤b
解的 个数
无解 一解 两解 一解 一解 无解
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理概述：
正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对
的正弦值之间的关系。正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：
在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：
可以使用数学推导来证明正弦定理。这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：
1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *
sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)
2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的
垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向
量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *
sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，
* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以
sin(∠BA) = sin(∠CA)。所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *
正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理
一、三角形中的各种关系
设AABC 的三边分别是a,4c,与之对应的三个角分别是A,民C,那么有如下关 系：
1、三内角关系
三角形中三内角之和为乃（三角形内角和定理）,即A+3+C=〃，； 2、边与边的关系
三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边，即 a+c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a\
3、边与角的关系
（1）正弦定理
三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即
‘一=―丝=^=2R （这里，R 为AABC 外接圆的半径）. sin A sin B sin C
注1:（I ）正弦定理的证明：
里，R 为AABC 外接圆的半径）
证：法一（平面几何法）：
在AA8C 中，作C 〃J_A8,垂足为“
那么在mAAHC 中，sinA =—；在mAB"C 中，sinB =— AC BC
在AABC 中，^BC= a,AC = h,AB = c f
证明：，-二二」—二2R ］这 sin A sin B sin C
/e CH=/?sin A,CH=asinB=>Z?sinA=^sinBIP- ...................... = ----
sin A sin B
同理可证：一丝
sin B sin C
于是有，=上=工
sin A sin B sin C
作AABC的外接圆。0,设其半径为R
连接80并延长，那么可得到。0的直径BD,连接D4
因为在圆中，直径所对的圆周角是直角
所以/DAB=90"
AR c
直角三角形的正弦定理与余弦定理
直角三角形的正弦定理与余弦定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。在直角三角形中，有两个特殊的角度，一个是直角角度，即90度角；另一个角度则是锐
角或钝角。
正弦定理和余弦定理是用于计算三角形中任意一边和角度之间的关
系的数学定理。在直角三角形中，正弦定理和余弦定理可以简化为更
常用的形式。
1. 正弦定理：
正弦定理表示三角形的边与其对应的角度之间的关系。对于任意三
角形ABC，其中C为直角角度，a、b、c分别为对应的边长。
正弦定理的公式表达为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c
其中sin(A)表示角A的正弦值，同理sin(B)和sin(C)表示角B和角
C的正弦值。根据正弦定理，我们可以计算直角三角形中任意一边的
长度。
2. 余弦定理：
余弦定理表示三角形的边与其对应的角度之间的关系。对于任意三
角形ABC，其中C为直角角度，a、b、c分别为对应的边长。
余弦定理的公式表达为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
其中cos(C)表示角C的余弦值。根据余弦定理，我们可以计算直角
三角形中任意一边的长度。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以解决一些与直角三角形相关的计算问题，比如已知两边长度和一个角度，求解其他角度或边长。
举个例子，如果我们已知一个直角三角形的直角边长为3，斜边长为5，我们可以通过计算求得另一直角边的长度。首先，我们可以使用正弦定理计算斜边对应的角度sin(C) = c / a = 5 / 3，通过反正弦函数求得角C的值为35.26度。然后，我们可以使用余弦定理计算另一直角边的长度c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)，代入已知的值计算得到c^2 = 9 + b^2 - 2 * 3b * cos(35.26)，进一步简化为b^2 - 6b * cos(35.26) + 4 = 0。然后解一元二次方程得到b的值，从而求得另一直角边的长度。
三角函数正弦定理和余弦定理
三角函数正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理是解决三角形的重要工具。这些定理是数学中最耳熟能详的公式之一。这篇文章将探讨正弦定理和余弦定理的定义、公式和应用。
一、正弦定理
正弦定理表明三角形中任意两个角的正弦值与对应边的比例相等。具体来说，正弦定理是指：
对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}
这个公式常常用于计算三角形的任意一个角的正弦值，或者计算一个角的度数。
例如，假设三角形的三边分别为3、4和5，那么正弦定理可以写成：
\frac{3}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}
如果我们想知道角A的正弦值，我们只需要解出等式中的$\sin A$，就可以得到：
\sin A=\frac{3}{5}
这就是三角函数正弦定理的应用。
二、余弦定理
余弦定理表明三角形中的一个角的余弦值等于与此角相对的两条边的平方和与第三条边平方差的比例。具体来说，余弦定理是指：对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：
a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha
b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta
c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma
可以根据需要使用任何一个等式，计算三角形的边长或角度。
例如，假设我们知道一个三角形的两条边a和b，以及它们之间
正弦定理和余弦定理详解
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．
基础知识梳理
1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以
变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R 等形式，解决不同的三角形问题．
2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2
(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并
可由此计算R 、r .
4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数
正弦定理和余弦定理公式
正弦定理和余弦定理公式
设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。
一、正弦定理公式
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。
【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。
二、正弦定理推论公式
1、（1）a=2RsinA；
（2）b=2RsinB；
（3）c=2RsinC。
2、（1）a:b=sinA:sinB；
（2）a:c=sinA:sinC；
（3）b:c=sinB:sinC；
（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。
【注】多用于“边”、“角”间的互化。
三角板的边角关系也满足正、余弦定理
3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：
（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；
（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；
（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；
（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。
4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。
（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。（2）“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。
（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。
（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理
余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或
角度。本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探
讨它们的区别和联系。
一、余弦定理的定义和公式
余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。它的定义如下：
在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：
c² = a² + b² - 2abcosC
其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条
边长，cosC为角C的余弦值。
二、正弦定理的定义和公式
正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边
长的定理。它的定义如下：
在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
三、余弦定理和正弦定理的应用
1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：
- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。
- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。
2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：
- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。
- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。
四、余弦定理与正弦定理的区别和联系
余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理
正弦定理.余弦定理
在△ABC 中,若角A,B,C 所对的边分离是a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则
S△ABC＝12absinC ＝12bcsinA ＝12acsinB ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c)r(r 是三角形内切圆半
径),并可由此盘算R.r 选择题
在△ABC 中,已知a ＝2,b ＝6,A ＝45°,则知足前提的三角形有() A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法肯定
解析 ∵bsinA＝6×2
2＝3,∴bsinA<a<b,∴知足前提的三角形有2个．
在△ABC 中,A ＝60°,AB＝2,且△ABC 的面积为3
2,则BC 的长为()
A.3
2
B.3C ．23D ．2
解析 因为S ＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC ＝3
2,所以AC ＝1,
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3,所以BC ＝ 3.
已知在△ABC 中,a ＝x,b ＝2,B ＝45°,若三角形有两解,则x 的取值规模是() A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜23 解析 若三角形有两解,则必有a ＞b,∴x＞2,
又由sinA ＝a b sinB ＝x 2×2
2＜1,可得x ＜22,∴x 的取值规模是2＜x ＜2 2.
已知锐角三角形的边长分离为1,3,x,则x 的取值规模是() A ．(8,10) B ．(22,10)C ．(22,10) D ．(10,8) 解析
因为3>1,所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可,故⎩⎪⎨
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∴b＝a8sin3C＝ 3
83 2×2
3
2＝2
3.
答案： 2 3
.
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形 状是________． 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形．
3×
6＋ 4
2
2 ＝3＋
3.
2
.
法二：在△ABC 中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，
得 12＝6＋c2－2c× 6× 22， 即 c2－2 3c－6＝0， 解得 c＝ 3±3(舍负)，即 c＝3＋ 3. ∵c>a>b，∴C>A>B， 由正弦定理得
sinB＝basinA＝2
6× 3
22＝12，
cosA＝ b2＋c2－a2 ； 2bc
cosB＝ a2＋c2－b2 ； 2ac
式 ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC cosC＝ a2＋b2－c2 .
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
2ab
asinC＝csinA.
.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知三边，求
①已知两角和任一边，
.
(2)由(1)知 cosA＝12，则 sinA＝ 23. 又b2＋2cb2c－a2＝12， 所以 bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即 bc≤a2. 故 S△ABC＝b2csinA≤a22·23＝34 3.
.
又由正弦定理得 2RsinA＝a,2RsinB＝b， ∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB， 即 sin2A＝sin2B. ∵A≠B，∴2A＝π－2B， ∴A＋B＝π2. ∴△ABC 是直角三角形．
.
考点三 与三角形面积有关的问题
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c， 已知 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．
2×
6－ 4
6－ 2
2
＝
2 2.
∵a<b，∴A<B.
又∵0°<A<180°，∴A 必为锐角．
∴A＝45°，从而得 B＝120°.
.
法二：求 c(同法一)，
由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝2
32＋ 6－ 2×2 3×
22－2 6－ 2
22＝ 22，
又∵0°<A<180°，
∴A＝45°，从而 B＝120°.
.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
.
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－12，又 A∈(0，π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12. 因为 0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
.
[自主解答] (1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－ab＝4， 又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absinC＝ 3， 得 ab＝4. 联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得ab＝ ＝22， .
.
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即 sinBcosA＝2sinAcosA.
＝
10 4.
(2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，由正弦定理sinaA＝sincC，得 c＝4.
由 cos2C＝2cos2C－1＝－14，及 0<C<π 得
cosC＝±
6 4.
.
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 b2± 6b－12＝0， 解得 b＝ 6或 2 6， 所以bc＝＝4.6， 或bc＝＝42. 6，
∴B＝30°，C＝180°－A－B＝105°.
.
(2)由余弦定理的推论得
cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝22×222＋2×6＋6＋22－222＝
3 2.
又∵0°<A<60°，∴A＝30°.
同理，cosB＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2×62＋×
22－2 6＋ 2
22＝
22，
∴B＝45°，C＝180°－A－B＝180°－30°－45°＝105°.
.
解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理得
sinB＝bsianA＝ 62×322＝12. ∵a>b，∴A>B，B 必为锐角，
∴B＝30°，C＝105°.
∵sinC＝sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°
＝
6＋ 4
2，
∴c＝assiinnAC＝2
当
cosA＝0
时，A＝π2，B＝π6，a＝4
3
3，b＝2 3
3 .
所以△ABC 的面积 S＝12absinC
＝12×433×233× 23＝233；
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
.
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
.
解：由cosA－C＋cosB＝32及B＝π－
A＋C得cosA－C－cosA＋C＝32， cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC －sinAsinC＝32，sinAsinC＝34.
若将例 1 中“cos2C＝ －14”改为“cos(A－C) ＋cosB＝32，b2＝ac”，
求 B.
又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，
.
在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，已知 2sinA ＝ 3cosA. (1)若 a2－c2＝b2－mbc，求实数 m 的值； (2)若 a＝ 3，求△ABC 面积的最大值．
.
解：(1)由 2sinA＝ 3cosA两边平方，得 2sin2A＝3cosA，即(2cosA－ 1)(cosA＋2)＝0. 解得 cosA＝12>0，∴0<A<π2，∴A＝60°. 而 a2－c2＝b2－mbc 可以变形为b2＋2cb2c－a2＝m2 ， 即 cosA＝m2 ＝12，∴m＝1.
.
(3)法一：cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝
6＋ 4
2 .
∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(2
2)2＋(2
3)2－2×2
2×2
3×
6＋ 4
2
＝8－4 3＝( 6－ 2)2，
.
∴c＝ 6－ 2.
由正弦定理得
sinA＝asicnC＝2
.
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边． 如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B，试 判断△ABC的形状．
.
解：由已知得： a2[sin(A＋B)－sin(A－B)] ＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]． 利用两角和、差的三角函数公式可得 2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB. 由正弦定理得asinB＝bsinA， ∴acosA＝bcosB.
.
解：法一：由ab＝ccoossBA，得acosA＝bcosB，
∴a·b2＋2cb2c－a2 ＝b·a2＋2ca2c－b2，
若将条件“2asinA＝(2b＋c) sinB＋(2c＋b)sinC” 改为“ab＝ccoossBA”，
∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，试确定△ABC 的形状．
各角；
求另一角和其他两条
解决解斜三
②已知两边和它
边．②已知两边和其
角形的问题
们的夹角，求第
中一边的对角，求另
三边和其他两个
一边和其他两角.
角.
.
2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b
解的 个数
一解
两解
一解
.
a＞b a≤b 一解 无解
.
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，已知 cos2C＝－14. (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
.
[自主解答] (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，及 0<C<π，所以 sinC
.
.
1．(2010·湖北高考)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB
＝
()
A．－2 3 2
22 B. 3
C．－
6 3
6 D. 3
.
解析：依题意得 0°<B<60°，sinaA＝sinbB，sinB＝bsianA＝ 33，cosB
＝
1－sin2B＝
6 3.
答案： D
.
2．在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的
的大小为
()
A．150°
B．30°
C．120°
D．60°
解析：由正弦定理可得 b2－c2－a2＝ 3ac，由余弦定理可得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23.故角 B 为 150°.
答案： A
.
4．△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：∵cosC＝13，0<C<π，∴sinC＝2 3 2 ∴S△ABC＝12absinC＝4 3
a2＝ b2＋c2－2bccosA ； b2＝ a2＋c2－2accosB ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC .
.
定 正弦定理
理
余弦定理
①a＝ 2RsinA ，b＝2RsinB ，
c＝ 2RsinC ；
变 ②sinA＝ a ，sinB＝ b ，sinC
形＝
c
2R ；
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6
ห้องสมุดไป่ตู้
3π
π
C. 4
D.3
解析：由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝522＋×352×－372
＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝23π.
答案： A
.
3．在△ABC 中，已知 sin2B－sin2C－sin2A＝ 3sinAsinC，则角 B
.
法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC 可化为 2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＋c2－b2＝c2，即 a2－b2＝0， 即 a2＝b2，故 a＝b.所以△ABC 是等腰三角形．
答案：等腰三角形
.
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA＝sinbB＝sincC= 2R
所以△ABC 的面积
S＝12absinC＝12×2 3 3×4 3 3×
23＝2 3
3 .
综上：△ABC
的面积为2
3
3 .
.
解：由例题易知：a2＋b2－c2＝ab
又∵c＝2， ∴a2＋b2＝4＋ab
保持例题条件不变，求
又∵a2＋b2≥2ab，
△ABC面积的最大值.
∴4＋ab≥2ab，
.
即 ab≤4(当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”)， ∴S△ABC＝12absinC≤12×4× 23＝ 3， 即当 a＝b＝2 时，△ABC 的面积取最大值 3.
.
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
.
法二：由ab＝ccoossBA，得ssiinnAB＝ccoossBA， ∴sinAcosA＝cosBsinB， ∴sin2A＝sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
.
故 sin2B＝34，sinB＝ 23或 sinB＝－ 23(舍去)， 于是 B＝π3或 B＝23π. 又由 b2＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝π3.
.
在△ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，试根据以 下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45°； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15°.