高中数学一元二次函数方程和不等式基本不等式讲义新人教A版必修一第一册

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高中数学人教A版必修第一册基本不等式课件

(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?

叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²

a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)

定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+

只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用课件新人教A版必修第一

(2)由基本不等式，得 y＝x＋28x8≥24 2. 当且仅当 x＝28x8，即 x＝12 2时，等号成立，则 y 最小值＝24 2≈34. 即最少需要约 34 米铁丝网．
2
PART TWO
易错特别练
易错点忽略等号成立的一致性已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝1，求证：1x＋1y≥3＋2 2. 易错分析易错解为1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y≥2 2xy·2 x1y＝4 2.在证明过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2 2xy，1x＋1y≥2 x1y，但这两次取 “＝”分别需满足 x＝2y 与 x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．
A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件
答案 B
解析设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得，y＝80x0＋8x≥2 ＝20.当且仅当80x0＝8x(x>0)，即 x＝80 时“＝”成立，故选 B.
800 x x ·8
11．用 17 列货车将一批货物从 A 市以 v km/h 的速度匀速行驶直达 B 市．已知 A，B 两市间铁路线长 400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于2v02 km，则这批货物全部运到 B 市最快需要________h，此时货车的速度是________km/h.
(1)记全年所付运费和保管费之和为 y 元，求 y 关于 x 的函数； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
解 (1)由题意得 y＝36x0×300＋k×3000x. 当 x＝20 时，y＝7800，解得 k＝0.04. 所以 y＝36x0×300＋0.04×3000x＝108x000＋120x(x∈N*)． (2)由(1)得 y＝108x000＋120x≥2 108x000×120x＝2×3600＝7200.当且仅当108x000＝120x，即 x＝30 时，等号成立．所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑 30 台．

人教A版高中学案数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质、不等式性质、基本不等式

4

16
5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为

[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤

+
⋅(
) =

A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =

,

=

,解得

对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.

−
− = −,当且仅当− =

,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2

−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤

高中数学一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义新人教A版必修一第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】方法一由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划降税后价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

新教材高中数学一元二次函数方程和不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式第1课时基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整．如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时实数大小的比较与不等式课件新人教A版必修第一册

20 ≤ + ≤ 30,
则ቐ28 + 58 ≤ 1 800,
, ∈ ∗ .
探索点二比较数(式)的大小
【例 2】若 a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较 a,b,c 的
大小.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.变式练将本例中条件变为 a=(x+5)(x+7),b=(x+6)2,
(2)抓关键词,找到不等关系;
(3)用不等式(组)表示不等关系.
(4)利用不等式(组)表示不等关系时,思维要严密、规范,要
注意不等关系中的等号是否能够取到.
【跟踪训练】
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的
4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的不等
式是 4.5t<28 000 .
表示它们之间的不等关系 .含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
【思考】
根据不等式中文字语言与数学符号之间的关系完成
下表中的内容.
文字语言大于
数学符号
至多
≤
>
小于
至少
<
≥
文字语言大于等于不少于小于等于不多于
216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不
等式(组)如何表示?
解:矩形菜园靠墙的一边长为 x

即(14- )m,根据已知,得

-
m,则另一边长为

< ≤ ,

(- ) ≥ .

高中数学新人教A版必修第一册微专题1基本不等式的应用技巧课件(16张)

第二章一元二次函数、方程和不等式
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8，当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立．所以3x＋y－1 3的最小值为 8.

人教A版高中数学必修第一册精品课件第2章一元二次函数、方程和不等式第2课时基本不等式的实际应用

的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,

∴y=4x-2+
=-
当且仅当

- +
+3≤-2+3=1,
-

5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.

(2)∵0<x<,∴1-2x>0,

+-

旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见

形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+

x=y= 时,取等号.

=

=

,

答案:(1)2

(2)

【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.

(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(

人教版高中数学A版高中数学必修一《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式(第二课时基本不等式的应用)

同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
解析：每年购买次数为40x0次．所以总费用＝40x0·4＋4x≥2 6 400＝160，当且仅当1 6x00＝4x，即 x＝20 时等号成立．答案：20
3．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd， ac＋2 bd≥ ac·bd，所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
基本不等式的综合问题
若不等式 9x＋ax2≥a＋1(常数 a＞0)对一切正实数 x 成
立，求 a 的取值范围．【解】常数 a＞0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a＋1≤9x＋ax2的最小值，

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册

6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－

高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式教学案新人教A版必修第一册

2.2 基本不等式(教师独具内容)课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：基本不等式条件的创设．【知识导学】知识点一基本不等式如果a >0，b >0，则□01ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式．知识点二算术平均数与几何平均数及相关结论在基本不等式中，□01a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，□02ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：□03两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点三基本不等式与最大(小)值当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝S (S 为定值)，则当且仅当□01x ＝y 时，xy 取得最□02大值□03S 24；(简记：和定积有最大值)(2)若xy ＝P (P 为定值)，则当且仅当□04x ＝y 时，x ＋y 取得最□05小值□062P .(简记：积定和有最小值)知识点四基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把□01要求最大值或最小值的变量定为因变量． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为□02函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出□03函数的最大值或最小值． (4)根据实际意义写出正确的答案．【新知拓展】1．由基本不等式变形得到的常见结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4(a ，b 同号)； (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 3．利用基本不等式的解题技巧与易错点 (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧： ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元；④平方后再用基本不等式． (2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； ④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＋b2≥ab 对于任意实数a ，b 都成立．( )(2)若a >0，b >0，且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )(4)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (5)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m 2＋1≥2m 等号成立的条件是________． (2)b a ＋a b≥2成立的条件是________． (3)x ＞1，则x ＋1x －1的最小值为________． (4)已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． (5)若a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)m ＝1 (2)a 与b 同号 (3)3 (4)200 (5)2题型一对基本不等式的理解例1 给出下面三个推导过程： ①因为a >0，b >0，所以b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为( ) A ．①② B ．②③ C ．②D ．①③[解析] 从基本不等式成立的条件考虑．①因为a >0，b >0，所以b a >0，a b>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a ∈R ，a ≠0不符合基本不等式成立的条件，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy <0得x y ，y x均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案] D 金版点睛基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是正实数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟踪训练1] 下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 B ．当a ＞0，b ＞0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a ＞4时，a ＋9a≥2a ·9a＝6 D ．当a ＞0，b ＞0时，2aba ＋b≥ab 答案 B解析 A 项中，可能b a＜0，所以不正确；B 项中，因为a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 项中，a ＋9a≥2a ·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D 项中，由基本不等式，知2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)，所以D 不正确．题型二利用基本不等式比较大小例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1B.a ＜a ＋12＜2a a ＋1C.2a a ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2a a ＋1≤a ＋12[解析] 当a ，b 均为正数时，有2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，令b ＝1，得2a a ＋1≤a ≤a ＋12. 又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，应选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围．解当m >0时，由基本不等式，得 4m＋2m ≥24m·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．[跟踪训练2] 已知：a >0，b >0，且a ＋b ＝1，试比较1a ＋1b ，2a 2＋b 2，4的大小．解 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝12－ab ≥12－14＝14，即2a 2＋b 2≤4. ∴1a ＋1b ≥4≥2a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”.题型三利用基本不等式求函数的最值例3 (1)求函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值； (2)已知0<x <13，求y ＝x (1－3x )的最大值；(3)已知x ＞－1，求y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1的最小值．[解] (1)∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，又x >3，∴x －3>0，1x －3>0， ∴y ≥21x －3·(x －3)＋3＝5. 当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时，y 有最小值5. (2)∵0<x <13，∴1－3x >0，y ＝x (1－3x )＝13·3x ·(1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，取等号，∴当x ＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x >－1，∴x ＋1＞0，y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1 ≥22＋1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1时，即x ＝2－1时，函数y 的最小值为22＋1.[变式探究] 在本例(1)中把“x >3”改为“x <3”，则函数y ＝1x －3＋x 的最值又如何？解 ∵x <3，∴x －3<0， ∴y ＝1x －3＋x ＝－13－x－(3－x )＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－x ＋(3－x )＋3≤－213－x·(3－x )＋3＝－2＋3＝1.当且仅当13－x ＝3－x ，即x ＝2时，取等号．故函数y ＝1x －3＋x (x <3)有最大值1，没有最小值．金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．[跟踪训练3] (1)已知x <54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)若x >1，则函数y ＝x 2x －1的最小值为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )×15－4x ＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即x ＝2时，等号成立，故当x ＝2时，y min ＝4.题型四利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. [证明]b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2，同理c a ＋a c≥2，c b ＋b c≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥6. ∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 金版点睛利用基本不等式证明不等式(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握基本不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．[跟踪训练4] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10.证明 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋b ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a ＋b ＋c b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ＋b ＋c c＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10.题型五利用基本不等式求代数式的最值例5 (1)已知x >0，y >0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵2x ＋y ＋6＝xy ，∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x (2x ＋6)x －1＝2(x 2＋3x )x －1＝2[x 2－1＋3(x －1)＋4]x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18.当且仅当x ＝3时，等号成立．(3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43，即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时，等号成立，x ＋y 的最大值为233. [结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值．解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy＝6xy，又因为1x ＋9y＝1，所以6xy≤1，xy ≥6，xy ≥36，当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立．所以(xy )min ＝36. 金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．[跟踪训练5] (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，求xy 的最大值．解 (1)∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.(2)∵x 3＋y 4＝1，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12＝33xy . ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12即x ＝32，y ＝2时等号成立．∴xy ≤3，即xy 的最大值为3.题型六利用基本不等式解决实际问题例6 某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－180x ＋10，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x5(注：利润与投资金额单位：万元)．(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？[解] (1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的(100－x )万元资金投入B 产品，利润总和y ＝18－180x ＋10＋100－x 5＝38－x 5－180x ＋10(x ∈[0,100])． (2)∵y ＝40－x ＋105－180x ＋10，x ∈[0,100]， ∴由基本不等式，得y ≤40－236＝28，当且仅当x ＋105＝180x ＋10，即x ＝20时，等号成立．答：分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解．[跟踪训练6] 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003xm.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×48003＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3x ＋2×3×48003x ＝240000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1600x≥240000＋720×2x ·1600x＝297600(元)，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，y 取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297600元．1．若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b ＜a ＋b2＜ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2＞ab ＞2aba ＋bD.ab <2ab a ＋b ＜a ＋b2答案 C解析 ∵a >b >0，∴2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ＜a ＋b2，故选C. 2．已知x ＞0，y ＞0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( ) A.1x ＋yB.14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1yC.12(x 2＋y 2)D.12xy 答案 C解析解法一：∵x ＋y ＞2xy ， ∴1x ＋y ＜12xy，排除D ； ∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y ＞1(x ＋y )2x ＋y ＝1x ＋y， ∴排除B ；∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＜2(x 2＋y 2)， ∴1x ＋y＞ 12(x 2＋y 2)，排除A.故选C.解法二：取x ＝1，y ＝2. 则1x ＋y ＝13；14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝38； 12(x 2＋y 2)＝110；12xy ＝122＝18. 其中110最小．故选C.3．若a ＞0，则代数式a ＋25a( )A ．有最小值10B ．有最大值10C ．没有最小值D ．既没有最大值也没有最小值答案 A解析利用基本不等式，得a ＋25a≥2a ·25a ＝10，当且仅当a ＝25a，即a ＝5时，取得最小值10.4．当x >12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________．答案 92解析因为x >12，所以x －12>0，所以y ＝x ＋82x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋4x －12＋12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·4x －12＋12＝4＋12＝92，当且仅当x －12＝4x －12，即x ＝52时，取“＝”． 5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－10(x －6)2＋110(x ∈N *)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大．解因为y x＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋120≤－20x ·25x ＋120＝20，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大．。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质讲义

最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较１．文字叙述如果a—b是正数，那么a>b；如果a—b等于0，那么a＝b；如果a—b是负数，那么a<b，反之也成立．２．符号表示a—b>0⇔a>b；a—b＝0⇔a＝b；a—b<0⇔a<b.错误!比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a —b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a —b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意１对称性a>b⇔b<a可逆２传递性a>b，b>c⇒a>c３可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆４可乘性错误!⇒ac>bc c的符号错误!⇒ac<bc５同向可加性错误!⇒a＋c>b＋d同向错误!（１）性质３是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c —Ｂ．性质３是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋Ｃ．（２）注意不等式的单向性和双向性．性质１和３是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（３）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P４0思考等式有下面的基本性质：性质１如果a＝b，那么b＝a；性质２如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质３如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质４如果a＝b，那么ac＝bc；性质５如果a＝b，c≠0，那么错误!＝错误!.[基础自测]１．大桥桥头竖立的“限重４0吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）Ａ．T<４0 Ｂ．T>４0Ｃ．T≤４0 Ｄ．T≥４0解析：“限重４0吨”是不超过４0吨的意思．答案：C２．设M＝x２，N＝—x—１，则M与N的大小关系是（）Ａ．M>NＢ．M＝NＣ．M<NＤ．与x有关解析：因为M—N＝x２＋x＋１＝错误!２＋错误!>0，所以M>N.答案：A３．已知x<a<0，则一定成立的不等式是（）Ａ．x２<a２<0 Ｂ．x２>ax>a２Ｃ．x２<ax<0 Ｄ．x２>a２>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a２；不等号两边同时乘x，则x２>ax，故x２>ax>a２.答案：B４．若１≤a≤５，—１≤b≤２，则a—b的取值范围为________．解析：因为—１≤b≤２，所以—２≤—b≤１，又１≤a≤５，所以—１≤a—b≤6．答案：—１≤a—b≤6题型一比较大小[教材P３8例１]例１比较（x＋２）（x＋３）和（x＋１）（x＋４）的大小．【解析】因为（x＋２）（x＋３）—（x＋１）（x＋４）＝（x２＋５x＋6）—（x２＋５x＋４）＝２>0，所以（x＋２）（x＋３）>（x＋１）（x＋４）．错误!通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练１若f（x）＝３x２—x＋１，g（x）＝２x２＋x—１，则f（x）与g（x）的大小关系是（）Ａ．f（x）<g（x）Ｂ．f（x）＝g（x）Ｃ．f（x）>g（x）Ｄ．随x值变化而变化解析：f（x）—g（x）＝（３x２—x＋１）—（２x２＋x—１）＝x２—２x＋２＝（x—１）２＋１>0，所以f（x）>g（x）．故选Ｃ．答案：C错误!→错误!→错误!→错误!题型二不等式的性质[经典例题]错误!→错误!例２对于实数a、b、c，有下列说法：１若a>b，则ac<bc；２若ac２>bc２，则a>b；３若a<b<0，则a２>ab>b２；４若c>a>b>0，则错误!>错误!；５若a>b，错误!>错误!，则a>0，b<0．其中正确的个数是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５【解析】对于１，令c＝0，则有ac＝bc.１错．对于２，由ac２>bc２，知c≠0，∴c２>0⇒a>b.２对．对于３，由a<b<0，两边同乘以a得a２>ab，两边同乘以b得ab>b２，∴a２>ab>b２.３对．对于４，错误!⇒0<c—a<c—b⇒错误!⇒错误!>错误!.４对．对于５，错误!⇒错误!⇒a>0，b<0．５对．故选Ｃ．答案：C方法归纳（１）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（２）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练２（１）已知a<b，那么下列式子中，错误的是（）A.４a<４bＢ．—４a<—４bＣ．a＋４<b＋４Ｄ．a—４<b—４（２）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）Ａ．若a>b，c≠0，则ac>bcＢ．若a>b，则ac２>bc２Ｃ．若ac２>bc２，则a>bＤ．若a>b，则错误!<错误!解析：（１）根据不等式的性质，a<b,４>0⇒４a<４b，A项正确；a<b，—４<0⇒—４a>—４b，B项错误；a<b⇒a＋４<b＋４，C项正确；a<b⇒a—４<b—４，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（２）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac２>bc２，∴c≠0，∴c２>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（１）B （２）C题型三利用不等式性质求范围[经典例题]例３已知—２<a≤３,１≤b<２，试求下列代数式的取值范围：（１）|a|；（２）a＋b；（３）a—b；（４）２a—３b.【解析】（１）|a|∈[0,３]；（２）—１<a＋b<５；（３）依题意得—２<a≤３，—２<—b≤—１，相加得—４<a—b≤２；（４）由—２<a≤３得—４<２a≤6１，由１≤b<２得—6<—３b≤—３２，由１２得，—１0<２a—３b≤３．错误!运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路（１）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（２）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（３）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练３已知实数x，y满足：１<x<２<y<３，（１）求xy的取值范围；（２）求x—２y的取值范围．解析：（１）∵１<x<２<y<３，∴１<x<２,２<y<３，则２<xy<6，则xy的取值范围是（２,6）．（２）由（１）知１<x<２,２<y<３，从而—6<—２y<—４，则—５<x—２y<—２，即x—２y的取值范围是（—５，—２）．错误!（１）根据不等式的性质6可直接求解；（２）求出—２y的取值范围后，利用不等式的性质５即可求x —２y的取值范围.课时作业7一、选择题１．若A＝a２＋３ab，B＝４ab—b２，则A、B的大小关系是（）Ａ．A≤BＢ．A≥BＣ．A<B或A>BＤ．A>B解析：因为A—B＝a２＋３ab—（４ab—b２）＝错误!２＋错误!b２≥0，所以A≥B.答案：B２．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（）Ａ．若a>b，c>b，则a>cＢ．若a>—b，则c—a<c＋bＣ．若a>b，c<d，则错误!>错误!Ｄ．若a２>b２，则—a<—b解析：选项A，若a＝４，b＝２，c＝５，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝—１，b＝0时不成立．答案：B３．若—１<α<β<１，则下列各式中恒成立的是（）Ａ．—２<α—β<0 Ｂ．—２<α—β<—１Ｃ．—１<α—β<0 Ｄ．—１<α—β<１解析：∵—１<β<１，∴—１<—β<１．又—１<α<１，∴—２<α＋（—β）<２，又α<β，∴α—β<0，即—２<α—β<0．故选Ａ．答案：A４．有四个不等式：１|a|>|b|；２a<b；３a＋b<ab；４a３>b３.若错误!<错误!<0，则不正确的不等式的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：由错误!<错误!<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，１不正确；a>b，２不正确；a ＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，３正确；a３>b３，４正确．故不正确的不等式的个数为２．答案：C二、填空题５．已知a，b均为实数，则（a＋３）（a—５）________（a＋２）（a—４）（填“>”“<”或“＝”）．解析：因为（a＋３）（a—５）—（a＋２）（a—４）＝（a２—２a—１５）—（a２—２a—8）＝—7<0，所以（a＋３）（a—５）<（a＋２）（a—４）．答案：<6．如果a>b，那么c—２a与c—２b中较大的是________．解析：c—２a—（c—２b）＝２b—２a＝２（b—a）<0．答案：c—２b１a>b⇒a２>b２；２a２>b２⇒a>b；３a>b⇒错误!<１；４a>b，c>d⇒ac>bd；５a>b，c>d⇒a—c>b—d.其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a２>b２才成立，故１２都错误；对于３，只有当a>0且a>b时，错误!<１才成立，故３错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故４错误；对于５，由c>d得—d>—c，从而a—d>b—c，故５错误．答案：１２３４５三、解答题8．已知x<１，比较x３—１与２x２—２x的大小．解析：x３—１—（２x２—２x）＝x３—２x２＋２x—１＝（x３—x２）—（x２—２x＋１）＝x２（x—１）—（x—１）２＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）·错误!，因为x<１，所以x—１<0，又因为错误!２＋错误!>0，所以（x—１）错误!<0，所以x３—１<２x２—２x.9．若bc—ad≥0，bd>0．求证：错误!≤错误!.证明：因为bc—ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以错误!≤错误!，所以错误!＋１≤错误!＋１，所以错误!≤错误!.[尖子生题库]１0．设f（x）＝ax２＋bx,１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，求f（—２）的取值范围．解析：方法一设f（—２）＝mf（—１）＋nf（１）（m，n为待定系数），则４a—２b＝m（a—b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n—m）b，于是得错误!，解得错误!∴f（—２）＝３f（—１）＋f（１）．又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４．∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，故f（—２）的取值范围是[５,１0]．方法二由错误!，得错误!，∴f（—２）＝４a—２b＝３f（—１）＋f（１）．又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，故f（—２）的取值范围是[５,１0].。

新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

其中，，都是常数且 ≠ 0.
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如，，等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
③当 = −4时， Δ = 0，2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = 1,
所以原不等式的解集为{| ≠ 1}
④当−4 < < 4时， Δ < 0，方程2 2 + + 2 = 0无解
所以原不等式的解集为R
【三个“二次”的关系】
1
1
【解】根据题意得： 180 2 + 20 > 39.5，整理得：
2 + 9 − 7110 > 0，方程 2 + 9 − 7110 = 0有两个实数
−9− 28521
= −88， 2
2
结合图像可知 2 + 9 − 7110
根1 =
=
−9+ 28521
2

= 80，
> 0的解集为
计算 = − 的值
>
=
方程 + + =
方程 + + =
有两个不等实根，
有两个相等实根，
( < )
原不等式的解集为
{| < 或 > ｝
<
( = = −

没有实根
)