2019届高考一轮复习精练题(理科数学)天天练9导数的概念与几何意义、导数的运算Word版含解析

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高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析

5.1.2　导数的概念及其几何意义基础过关练题组一　导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二　导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三　求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一　导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二　导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三　求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案　2解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案　(1)12　(2)34解析　(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析　Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案　2x+y-5=0解析　由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案　2x-y-1=0解析　设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析　Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案　6解析　limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析　f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案　x-y+2=0或x+3y-2=0解析　令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析　由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。

导数几何意义与导数运算(一)：高考数学一轮复习基础必刷题

导数几何意义与运算（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．若曲线2y ax =在x a =处的切线与直线210x y --=平行，则a =（）A ．1-B ．1C ．1-或1D ．12-或12．已知下列四个命题，其中正确的是（）A ．1(ln2)2'=B ．()21log ln2x x '=C ．(sin2)cos2x x'=D ．()122x x x -'=⋅3．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为2，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．0B ．12C ．1D ．24．已知()2e sin xf x x =，则()0f '=（）A ．0B ．2C ．1D ．-25．函数()e xf x =图象上一点P 到直线2y x =的最短距离为（）A B ．2C ．)1ln 25-D ．)1ln 25+6．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（）A ．2aeB ．12e+C ．e 2-D ．2e 7．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20208．已知函数()()02af x x a x=+>，则曲线()y f x =过点()2,0P 的切线有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条二、填空题9．曲线()3ln f x x x =+在点()1,1处切线的斜率为___________．10．函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为340x y +-=，则(1)(1)f f +'=___________.11．函数()()g x y f x =⎡⎤⎣⎦在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()ln ln y g x f x =⋅，然后两边同时求导得()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()[]g x y f x '=()()()()()ln f x g x f x g x f x ⎡⎤''⋅+⎢⎥⎣⎦，用此法探求()()10xy x x =+>的导数_________.三、解答题12．求导：（1）()33cos f x x x x =+；（2）()212x x f x ee e -+=++13．已知函数()e xf x =．(1)求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；(2)令()()()241g x f x x x =⋅-+，求函数()g x 的单调区间．14．已知函数32()6(0)f x x ax x b b =+-+>在2x =处的切线与x 轴平行.(1)求()f x 在区间[2,4]-上的最值；(2)若()f x 恰有两个零点，且()10f x c ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数c 的取值范围.15．已知函数()324f x ax x =+的图象经过点()1,5A ．(1)求曲线()y f x =在点A 处的切线方程．(2)曲线()y f x =是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A 【解析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．【详解】解：2y ax '=，于是切线的斜率2|2x a k y a =='=，切线与直线210x y --=平行222a ∴=，1a ∴=±，1a =时，2y x =，切点是(1,1)，切线的斜率2k =，故切线方程是：12(1)y x -=-，即210x y --=和直线210x y --=重合，故1a =-，故选：A ．2．B 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】(ln2)0'=，故A 错误；()21log ln2x x '=，故B 正确；(sin2)2cos2x x '=，故C 错误；()22ln 2xx'=⨯，故D 错误.故选：B.3．C 【解析】【分析】直接由导数的概念求解即可.【详解】()()()()000000011lim()1222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆.故选：C.4．B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，再求()0f '即可作答.【详解】由()2e sin x f x x =求导得：()2(e )sin 2e (sin )2e (sin cos )x x xf x x x x x '''=+=+，所以()02f '=.故选：B 5．C 【解析】【分析】设与直线2y x =平行且与曲线()e xf x =相切的直线的切点坐标为()00,e x x ，利用函数的导数，求解切点坐标，然后利用距离公式求解即可．【详解】解：设与直线2y x =平行且与曲线()e xf x =相切的直线的切点坐标为()00,e x x ，因为()e xf x '=，则0e 2x =，所以0ln 2x =，则切点坐标为()ln 2,2，最短距离为点()ln 2,2到直线2y x =)1ln 25-，故选：C ．6．D 【解析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案.【详解】()()()1x x x f x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =.故选：D.7．B 【解析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值.【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++ ，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.8．C【解析】【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.【详解】设切点为A 00(,)x y ，直线AP 的斜率为k ,则0()f x k '=，又020()12af x x '=-，0200020000222224ax y x x a k x x x x ++===---，∴2004220x ax a +-=又方程2004220x ax a +-=的判别式为2432a a +，且0a >，∴方程2004220x ax a +-=有两个不同的解，∴曲线()y f x =过点(2,0)的切线有两条，故选：C.9．4【解析】【分析】对函数()3ln f x x x =+求导，解得(1)f '即为切线的斜率.【详解】对函数()3ln f x x x =+求导，21()3f x x x'=+，所以(1)4f '=，曲线3()ln f x x x =+在点(1,1)处的切线斜率为：4故答案为：410．2-【解析】【分析】根据导数的几何意义可得(1)f '，根据切点在切线上可得(1)f .【详解】因为切线340x y +-=的斜率为3-，所以(1)3f '=-，又切点(1,(1))f 在切线340x y +-=上，所以31(1)40f ⨯+-=，所以(1)1f =，所以()()112f f '+=-.故答案为：2-.11．()1ln(1)1x x y x x x ⎡⎤'=+++⎢⎥+⎣⎦【解析】【分析】根据所给运算法则，直接进行求导即可.【详解】两边取对数可得：()ln ln ln(11)xx x y x =++=，两边求导可得：ln(1)1y xx y x '=+++，所以()(ln(11ln(1)1))1x x y y x x x x x x ⎡⎤=+'=+++⎢+⎣+⎦+.故答案为：()1ln(1)1x x y x x x ⎡⎤'=+++⎢⎥+⎣⎦.12．（1）2()9cos sin f x x x x x '=+-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.【解析】【分析】根据导数的运算法则和复合函数求导法则，结合初等函数的导数，即可求解.【详解】（1）()323cos ,()9cos sin f x x x x f x x x x x =+∴'=+- ；（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .【点睛】本题考查导数的运算，熟记求导法则和初等函数的导数即可，属于基础题.13．(1)e 0x y -=(2)单调递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．【解析】【分析】（1）根据切线方程的求解，对()e xf x =求导，可得斜率，根据直线的点斜式，即可写出切线方程.（2）对()g x 求导得()()223e xg x x x '=--，令()0g x '>和()0g x '<即可求得单调区间(1)因为()e x f x =，()e xf x '=，所以()1e f =，()1e k f '==，所以切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0x y -=．(2)()()()()224141e x g x f x x x x x =⋅-+=-+，定义域为R ．()()()()2224e 41e 23e x x x g x x x x x x '=-+-+=--，令()0g x '>，则1x <-或3x >；令()0g x '<，则13x -<<．所以()g x 的单调递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．14．(1)最小值为10b -+，最大值为16b +；(2)10c ≤-.【解析】【分析】（1）由题可得32a =-，进而可得()3(1)(2)f x x x +-'=，即求；（2）由题可得函数极大值大于零结合条件可知函数极小值为零，进而可得010c ≥+，即得.(1)依题意，2()326f x x ax +'=-，由已知(2)0f '=，即1246460a a +-=+=，解得32a =-.所以3()3363(1)(2)f x x x x x ==+'---，∴当x 变化时，()(),f x f x '变化如下：x 2-()2,1--1-()1,2-2()2,44()f x '+-+()f x 2b -+递增72b +递减10b -+递增16b+由上表可知()f x 的最小值为10b -+，最大值为16b +.(2)由（1）知()f x 的极大值点为1x =-，因为0b >，所以()f x 的极大值7(1)02f b -=+>，故若()f x 恰有两个零点，则()f x 的极小值(2)100f b =-=.由（1）()y f x =在()0,∞+上的最小值为0.即有010c ≥+.所以10c ≤-.15．(1)116y x =-(2)曲线()y f x =存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为()0,0或()2,8-．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.(1)依题意可得()145f a =+=，则1a =,∵()238f x x x '=+，∴()111f '=，∴曲线()y f x =在点（1，5）处的切线方程为()5111y x -=-，即116y x =-；(2)设过原点的切线方程为y kx =，则切点为(),m km ，则3224,38,m m km m m k ⎧+=⎨+=⎩,消去k ，整理得3220m m +=，解得0m =或2m =-，所以曲线()y f x =存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为()0,0或()2,8-．。

2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题3.1导数概念及其几何意义(测)

专题3.1 导数概念及其几何意义一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知函数f(x)的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A．－e B．－1C．1 D．e【答案】B【解析】2．【2017洛阳二练】曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a＝( )A．1 B．－1 C．7 D．－7 【答案】C【解析】f′（x)＝2x x＋－x2＋ax＋2＝x2＋2x－ax＋2，又∵f′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a＝7.3．[2017·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是( ) A．e B．－eC.1eD．－1e【答案】C 【解析】依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有kx0＝ln x0，k＝1x0，由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝1e，选C.4．【2017海南文昌模拟】曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1【答案】A 【解析】依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1，故选A.5.【2017上饶模拟】若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( ) A ．1 B.2 C.22D. 3【答案】B 【解析】6.若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】依题意得，f ′（x )＝－a sin x ，g ′（x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×０＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.7. 已知曲线2212xy上一点，3(1,)2P ，则过点P 的切线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.135° D.165°【答案】B 【解析】''y f x x ，所以'11f .由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为，即tan1，因为0180，所以45.故B 正确.8.【2017杭州质测】曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)【答案】C【解析】f′（x)＝3x2－1，令f′（x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选 C.9.【2017石家庄调研】已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )A.eB.－eC.1eD.－1e【答案】C【解析】10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4【答案】B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′（x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.11. 在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）【答案】D【解析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D ．12.若曲线21:C yax (0)a与曲线2:xC ye 存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2,8eB ．20,8eC ．2,4eD ．20,4e【答案】C 【解析】当02x 时，0f x ，函数2x ef xx在区间0,2上是减函数，当2x时，0f x ，函数2x e f xx在区间2,上是增函数，所以当2x 时，函数2x ef xx在0+，上有最小值224ef 所以24ea，故选 C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2017广东惠州二调】已知直线1yx 与曲线ln y x a 相切，则a 的值为___________．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意1'1y xa，求得1x a ，从而求得切点为(1,0)a ，该点在切线上，从而求得011a ，即2a.14．【2017湖北襄阳期中】若点P 是曲线2ln y xx 上任意一点，则点P 到直线4yx 的最小距离为_______. 【答案】2215.【2016高考新课标3理数】已知f x 为偶函数，当0x 时，()ln()3f x x x ，则曲线y f x 在点(1,3)处的切线方程是_______________．【答案】21yx 【解析】当0x时，0x，则()ln 3f x x x ．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x 所以1()3f x x，则切线斜率为(1)2f ，所以切线方程为32(1)y x ，即21y x ．16.若曲线2f xx 在点2,(0)a a a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则32log a．【答案】2 【解析】求导得32)(x x f ，所以在点),(2a a 处的切线方程为)(232a xa ay .令0x得，;32a y 令0y得，.23a x，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积3233212aa，43a（舍去负值），2log23a .三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()f x x ax的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列1{}()f n的前n项和为nS，求2014S的值.【答案】20142014 2015S18.【2017长沙调研】已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【答案】(1)3x＋3y－11＝0.(2) 0，π2∪3π4，π【解析】(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝5 3，∴斜率最小的切线过点2，53，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π2∪3π4，π.故α的取值范围为0，π2∪3π4，π.19．【2017云南大理月考】设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)f(x)＝x－3 x.(2)证明见解析，定值为 6.【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′（x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．20. 如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k，0)(k＝1，2，…，n).(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【答案】(1)x k＝x k－1－1(k＝2，…，n).(2)e－e1－n e－1.【解析】(1)设点P k－1的坐标是(x k－1，0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y ＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n).。

2019届高三理科数学一轮复习《导数的几何意义》专题测试卷含答案

2019届高三理科数学一轮复习《导数的几何意义》一、选择题（本大题共12小题）1.已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A. 1B. 2C.D.2.函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为（）A. B. C. D.3.若函数f（x）满足f（x）=x3-f′（1）•x2-x，则f′（1）的值为（）A. 0B. 2C. 1D.4.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A. B. ， C. D.5.已知点P在曲线＋上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. B. C. D.6.设f（x）存在导函数且满足=-1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A. B. C. 1 D. 27.已知函数f（x）=，，＞，g（x）=kx-1，若函数y=f（x）-g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.线相互垂直，则的最小值是（）A. B. C. 4 D.9.曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A. B. C. D.10.若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A. 或B. 或C. 或D. 或711.已知函数，其图象在点处的切线方程为，又当时,有恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当x>0且时，，若曲线在x=1处的切线的斜率为，则（）A. 0B. 1C.D.二、填空题（本大题共4小题）13.函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0，则f（2）+f'（2）=______．14.设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是___________．15.如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，若h（x）=xf（x），则h′（1）=______．。

导数几何意义与导数运算(三)：高考数学一轮复习基础必刷题

导数几何意义与运算（三）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知函数()cos f x x x =，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．1C ．2πD ．2π-2．曲线()2x f x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为（）A ．1y x =+B ．21y x =+C ．112y x =-+D ．1y x =-+3．已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．()02f x 'B ．()02f x -'C ．()012f x 'D ．()012f x -'4．若函数()22f x x m =-在区间[]2,t 上的平均变化率为5，则t 等于（）AB ．2C ．3D ．15．科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量Q 可以近似看作时间t 的函数，记作()Q t ，其瞬时变化率()Q t '和()Q t 的关系为()()Q t kQ t '=，其中k 为常数．在下列选项所给函数中，()Q t 可能是（）A ．()0.2etQ t -=B ．()0.2sin Q t t =C ．()()2ln 2Q t t =+D ．()16(1)Q t t -=+6．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则(1)(1)'-=f f （）A ．0B ．1-C ．1D ．12-7．已知二次函数()2f x ax bx c =++，设()()e xg x f x -⋅=，若函数()g x 的导函数()g x '的图像如图所示，则（）A ．a b <，b c <B ．a b >，b c >C ．1ba>，b c =D ．1ba<，b c =8．已知函数()39f x x x =-，过点()()1,8A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,8B ．()8,8-C ．(),8-∞-D ．()9,8--二、填空题9．已知函数()()21e xf x f x '=-.则()1f =_____.10．设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．11．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.三、解答题12．求下列函数的导数．（1）()()22331y x x =+-；（2）()1sin xf x x-=；（3）y =13．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率；（2）求函数()f x 的单调区间．14．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．15．（1）求与直线112y x=-+垂直，且与曲线lny x=相切的直线方程；（2）求过原点，且与曲线xy e=相切的直线方程.参考答案：1．D 【解析】【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解【详解】()cos f x x x =()()cos sin f x x x x '⇒=+-所以cos sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫'=+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 2．A 【解析】【分析】分别求出切点及斜率，再用点斜式即可求切线方程.【详解】因为()2x f x e x =-，所以()2xf x e x '=-，又()01f =，()01f '=，故所求切线方程为1y x =+．故选：A 3．C 【解析】【分析】利用导数的定义即可求出．【详解】()()()()()()00000000011limlim 222x x f x x f x f x x f x f x xx x x ∆→∆→∆-∆-'==∆∆-+++故选：C ．4．C 【解析】【分析】利用平均变化率的定义直接求解.因为函数()22f x x m =-在区间[]2,t 上的平均变化率为5，所以()()2222522t m x m y t ---∆==∆-，解得：3t =或2t =.因为区间[]2,t ，所以2t >，所以3t =.故选：C 5．A 【解析】【分析】根据题意，结合导数的计算公式，逐项计算，即可求解.【详解】由题意，瞬时变化率()Q t '和()Q t 的关系为()()Q t kQ t '=，对于A 中，函数()0.2tQ t e-=，可得()0.20.2tQ t e-'=-，所以()()0.2Q t Q t '=-，符合题意；对于B 中，函数()0.2sin Q t t =，可得()0.2cos Q t t '=，不符合题意；对于C 中，函数()()2ln 2Q t t =+，可得()22Q t t '=+，不符合题意；对于D 中，函数()16(1)Q t t -=+，可得()26(1)Q t t -'=-+，不符合题意.故选：A.6．C 【解析】由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f -，1(1)=2f '，即可求解.【详解】由直线经过()0-1，，()2,0，可求出直线方程为：220x y --=∵()y f x =在1x =处的切线∴21(1)=22x f -=-，1(1)=2f '∴11(1)(1)122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭故选：C用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-；(2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.7．D 【解析】【分析】求出函数()g x '，再根据给定图象与x 轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，()2e ()x g x ax bx c -=++，求导得2()e ()e (2)x x g x ax bx c ax b --'=-++++2[(2)]e x ax a b x c b ---+-=-，观察()g x '的图像得：()00g c b '=-=，即b c =，()g x '的另一个零点为221a b ba a-=->，即1ba<，所以有1ba<，b c =.故选：D 8．D 【解析】【分析】设切点为()3000,9x x x -，求导，得到切线斜率2039k x =-，再根据切线过点()()1,8A m m ≠-，得到3200009391x x mx x --=--有3个根求解.【详解】解：设切点为()3000,9x x x -，则()239f x x '=-，所以切线的斜率为2039k x =-，又因为切线过点()()1,8A m m ≠-，所以3200009391x x mx x --=--，即32002390x x m -++=，令()32239h x x x m =-++，则()266h x x x '=-，令()0h x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，所以当0x =时，()h x 取得极大值()09h m =+，当1x =时，()h x 取得极大小值()18h m =+，因为过点()()1,8A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，所以方程32002390x x m -++=有3个解，则9080m m +>⎧⎨+<⎩，解得98m -<<-，故选：D 9．0【解析】【分析】根据导数的运算法则即可计算.【详解】∵()()21e xf x f x ''=-，∴()()()121e 1e f f f '''=-⇒=，∴()2e e xf x x =-，∴()10f =.故答案为：0.10．1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.11．2y x =【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.12．（1）21849y x x '=-+；（2）()2sin cos 1x x x f x x --'=；（3）112y x '=+.【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用复合函数的求导法则可求得原函数的导数.【详解】（1）()()23223316293y x x x x x =+-=-+- ，()32262931849y x x x x x ''∴=-+-=-+；（2）()()22cos 1sin sin cos 1x x x x x x f x x x -----'==；（3）()1ln 212y x =+ ，所以，12121221y x x '=⋅=++.13．（1）1；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题设得()22f x x x '=-，求出()1f '即可知切线斜率；（2）由题意()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，讨论()f x ¢的符号，即可求单调区间．【详解】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+，当()0f x ¢>时，11m x m -<<+，()f x 单调递增；当()0f x ¢<时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.14．(1)1a =-；1b =(2)9-【解析】【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.(1)由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．(2)由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x '>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．15．（1）2ln 210x y ---=；（2）e 0x y -=.【解析】【分析】（1）先求出切线的斜率为2得到切点坐标为1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出切线方程；（2）设切点坐标为()00,e xx ，得到切线方程，由切线过原点，求出01x =，即可求出切线方程.【详解】（1）因为所求的切线与直线112y x =-+垂直，故所求切线的斜率为2.因为ln y x =所以1y x'=，令12x =得12x =，所以切点坐标为1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求切线方程为1ln 222y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即2ln 210x y ---=.（2）设切点坐标为()00,e xx ，因为e x y =，所以e x y '=，所以切线的斜率0e x k =，故所求切线方程为()000e e x xy x x -=-.答案第8页，共8页因为切线过原点，所以000e e x x x -=-，所以01x =，所以切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0x y -=.。

导数几何意义与导数运算(二)：高考数学一轮复习基础必刷题

导数几何意义与运算（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．曲线322y x x =-在点(1,1)-处的切线方程为（）A ．45y x =-B ．2y x =-C ．43y x =-+D ．y x=-2．已知函数()f x 的导函数'()f x ，且满足()()21e xf x x f =⋅-'，求(1)f '=（）A ．1B ．－1C ．－eD ．e3．一个物体的运动方程为232S t t =-+，其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒时的瞬时速度是()A ．4米/秒B ．5米/秒C ．6米/秒D ．7米/秒4．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim 4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．45．若21()ln(2)2f x x b x =-++在()1,+¥上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(]3,-∞D ．(),3-∞6．已知()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+<，其中()f x '为()f x 的导数，则不等式()()()11220x f x xf x --+>的解集为()A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，则不等式2(2022)(2022)4(2)0x f x f +++<的解集为（）A ．(),2020∞--B ．(,2024)-∞-C ．(2020,)-+∞D ．(2024,)-+∞8．已知,P Q 分别是曲线e x y =与曲线ln y x =上的点，则PQ 的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞二、填空题9．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________.10．已知函数()()2e ln f x xf x +'=，则f （e ）＝__.11．从抛物线24x y =的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PA 、PB ，且A 、B 为切点，若直线AB 的倾斜角为6π，则P 点的横坐标为______.三、解答题12．已知函数()2ln f x a x bx x =++在1x =处的切线方程620x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极小值．13．求下列函数的导数.（1）()()22131y x x =-+；（2）2ln 1xy x =+.14．已知函数()ln f x x x =+．(1)求函数()f x 在点()1,1处的切线方程；(2)()f x 在点()1,1处的切线与()2231y ax a x =+++只有一个公共点，求a 的值．15．已知函数()21ln 2f x ax x x ax =--．（1）若函数()f x 的图象在x e =处的切线过点()2,0e ，求实数a 的值；（2）1x ∀，()21,e x ∈，()()12123f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】【分析】求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程得解.【详解】点(1,1)-在曲线上，234y x x '=-，11x y =∴=-'，即切线斜率为1-，利用点斜式得切线方程为1(1)y x +=--，即y x =-．故选：D 【点睛】结论点睛：函数()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.2．D 【解析】【分析】求得'()f x ，令1x =，即可求得结果.【详解】()()21e x f x f ''=-，则当1x =时，()12(1)e f f '=-'，所以()1e f '=．故选：D .3．A 【解析】【分析】求S 关于t 的导数，令t ＝3即可得物体在3秒时的瞬时速度﹒【详解】由232S t t =-+得22S t '=-+，当t ＝3时，2234S '=-+⨯=，∴物体在3秒时的瞬时速度是4米/秒．故选：A ﹒4．D 【解析】【分析】利用导数的定义可求得()1f '的值.【详解】由导数的定义可得()()()111lim 4x f x f f x∆→+∆-'==∆.故选：D.5．C 【解析】【分析】先求()f x '，再将()f x 在()1,+∞上是减函数，转化为()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，而后分离参数求()211x +-在()1,+∞上的最小值，可得实数b 的取值范围.【详解】由题知，21()ln(2)2f x x b x =-++，()2bf x x x '=-++.若()f x 在()1,+∞上是减函数，则()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，由()02b f x x x '=-+≤+得，()()2211b x x x ≤+=+-，当()1,x ∈+∞时，()()22111113x +->+-=，所以3b ≤.故选：C.6．A 【解析】【分析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数()()g x xf x =，将问题转化为解不等式()()21g x g x >-.通过已知条件研究g (x )的奇偶性和单调性即可解该不等式.【详解】令()()g x xf x =，则根据题意可知，()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，∴g (x )是奇函数，∵()()()g x f x xf x ''=+，∴当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，∵g (x )是奇函数，g (0)＝0，∴g (x )在R 上单调递减，由不等式()()()11220x f x xf x --+>得，()()()()()221121211xf x x f x g x g x x x x >--⇒>-⇒<-⇒<-.故选：A.7．B 【解析】【分析】根据给定的不等式构造函数2()()g x x f x =，再探讨函数()g x 的性质，借助性质解不等式作答.【详解】依题意，令2()()g x x f x =，因()f x 是R 上的奇函数，则22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，即()g x 是R 上的奇函数，当0x >时，2()2()()[2()()]0g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>，则有()g x 在(0,)+∞单调递增，又函数()g x 在R 上连续，因此，函数()g x 在R 上单调递增，不等式2(2022)(2022)4(2)0x f x f +++<(2022)(2)0(2022)(2)g x g g x g ⇔++<⇔+<-，于是得20222x +<-，解得2024x <-，所以原不等式的解集是(,2024)-∞-.故选：B 8．B 【解析】【分析】利用曲线e x y =与曲线ln y x =互为反函数，可先求点P 到y x =的最小距离d ，然后再求PQ 的取值范围.【详解】曲线e x y =与曲线ln y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，∴求出点P 到y x =的最小距离d设曲线e x y =上斜率为1的切线为y x b=+e x y '= ，由e 1x =得0x =，∴切点坐标为()0,1，即0b =2d ∴=∴PQ)PQ ∈+∞故选：B.9．1ln 3【解析】【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=.故答案为：1ln 3.10．1-【解析】【分析】由导数得出()1e ef '=-，再求()e f .【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∴()()12e f x f x''=+，()()1e 2e ef f ''∴=+，解得()1e ef '=-，()2ln exf x x ∴=-+，()e 211f ∴=-+=-，故答案为：1-.11【解析】【分析】设点(),1P t -，求出切点弦AB 所在直线的方程，结合已知条件求出t 的值.【详解】设点(),1P t -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得2x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x x y y -=-，即112x x y y =-，同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-，由于点P 为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，所以，直线AB 的方程为220tx y -+=，由题意可得tan 623t π==，解得t =.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆锥曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出圆锥曲线在切点（在圆锥曲线上）处的切线方程，将两切线的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.12．（1）13a b =-⎧⎨=⎩；（2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，() f x 的极小值为2ln 33+．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，有()16f '=，又()14f =，联立方程组即可求解.（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．【详解】解：（1）()21af x bx x '=++，由已知可得()()1216114f a b f b ⎧=++=⎪⎨=+='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()2ln 3f x x x x =-++，∴()()()3121161x x f x x x x-+'=-++=()0x >，令()0f x '>，解得13x >；令()0f x '<，解得103x <<，∴()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，∴当13x =时，() f x 的极小值为2ln 33+．13．（1）21843y x x '=+-；（2）y '()()22212ln 11x x x x -+=+.【解析】【分析】（1）由导数的乘法法则即可得到答案；（2）由导数的除法法则即可得到答案.【详解】（1）()()()()2221312131y x x x x '''=-++-+()()2431321x x x =++-2212463x x x =++-21843x x =+-.（2）()()()()2222ln 1ln 11x x x x y x''+-⋅+'=+()()22211ln 21x x x x x +-⋅=+()()22212ln 11x x x x -+=+.14．(1)210x y --=；(2)a 的值为0，或12.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据a 是否为零进行分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.(1)由()1ln ()1f x x x f x x'=+⇒=+，因此有1(1)121f '=+=，所以函数()f x 在点()1,1处的切线方程为：12(1)210y x x y -=-⇒--=；(2)当0a =时，()223131y ax a x x =+++=+，所以有2102315x y x y x y --==-⎧⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩，直线210x y --=与直线31y x =+只有一个交点，符合题意；当0a ≠时，由()()222312120210y ax a x ax a x x y ⎧=+++⇒+++=⎨--=⎩，要想()f x 在点()1,1处的切线与()2231y ax a x =+++只有一个公共点，只需21(21)802a a a ∆=+-=⇒=，综上所述：a 的值为0，或12.15．（1）32ea =；（2）(,3]e -∞+【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导可得()ln f x a x x '=-，再利用导数的几何意义求出切线方程，将点()2,0e 代入即可求解.（2）令函数()()3,1h x f x x x e =-<<，由函数单调性的定义可得()h x 在()1,e 上递减，由导数可得3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立，设3(),ln 1x u x x x e +=<<，由导数求得函数()()u x u e >即可得解.【详解】（1）由题意()(ln 1)ln ,0f x a x x a a x x x '=+--=->，所以()ln f e a e e a e '=-=-，()212f e e =-，所以函数()f x 的图象在x e =处的切线为()()212y e a e x e +=--，由切线过点()2,0e ，则()()2122e a e e e =--，解得32e a =.（2）不妨设121x x e <<<，若()()12123f x f x x x -<-，则()()()12123f x f x x x ->-即()()112233f x x f x x ->-，令()2()()31ln 3,21ax x h x f x e x x a x x --+=-=<<，则()h x 在()1,e 递减，∴()ln 30h x a x x '=--≤即3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立，设3(),ln 1x u x x x e +=<<，则23ln 1()(ln )x x u x x --'=，再设3()ln 11,v x x x x e =--<<，函数()v x 单调递增，∴3()()0v x v e e<=-<，∴()0u x '<，()u x 在()1,e 上单调递减，∴()()3u x u e e >=+，∴a 的取值范围是(,3]e -∞+.。

2019版高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算课件

2x
则直线l1的斜率k1= 1 ,∴l1:y=1 x+1.
4
4
同理可得l2:y=- 1 x+4,
2
如图,易知S△ABC= 1 ×3×4=6,即所求的面积为6.
2
答案 6
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
'(x0)= l Δ
i
x
m

=Δ y
0Δx
l i.m f(x0 Δx)f(x0)
Δx 0
Δx
(2)导函数:如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,其导数值在(a,b)
内构成一个新的函数,叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数.记作f '(x)或y'.
(3)连续性:如果函数f(x)在x=x0处可导,那么函数y=f(x)在x=x0处连续.
例2 (2016江苏五校联考,11)已知曲线y= 与x y= 8 的交点为P,两曲线
x
在点P处的切线分别为l1,l2,则切线l1,l2与y轴所围成的三角形的面积为
.
解析

由
y y源自 x,解8 , 得

x y
x

4, 2,
即P(4,2),由y= ,x得y'=( )'=x , 1
2019/6/12
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2.导数的几何意义

(完整版)导数的几何意义(基础练习题)

导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（） A ．0 B 。

1 C 。

2 D 。

33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。

(浙江专版)2019年高考数学一轮复习专题3.1 导数概念及其几何意义(练)

第01节导数概念及其几何意义A 基础巩固训练1.【2018年新课标I 卷文】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B 。

C.D 。

【答案】D【解析】分析:利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程。

2。

曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ) A ．2y x ππ=-+ B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2y x ππ=- 【答案】A 【解析】()sin y f x x π==，()'sin cos f x x x π=+，()'f ππ=-，曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是()2y x x ππππ=--=-+，故选A.3.【2018届浙江省嘉兴市高三上期末】函数3y x x =-的图象与直线2y ax =+相切,则实数a =（）A. 1- B 。

1 C. 2 D. 4【答案】C 【解析】()233200000000031,23121,312y x a x x ax x x x x x a =-=-=+∴-=-+∴==-'=选C4。

【2018届福建省宁德市5月检查】下列曲线中，既关于原点对称,又与直线相切的曲线是 A.B.C 。

D 。

【答案】D【解析】分析：先利用函数的奇偶性排除B ，C,再求D 选项的切线方程得解. 详解：因为曲线关于原点对称，所以函数是奇函数. 对于选项B,因为，所以它是偶函数,不是奇函数，故排除B.对于选项C,由于函数的定义域为，定义域不关于原点对称,所以不是奇函数，故排除C 。

对于选项D ，，设切点为，则因为，所以或，当时,切线方程为。

故答案为: D5.【2018届浙江省杭州市高三上期末】若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈， e 为自然对数的底数)相切，则m =( ）A 。

1 B. 2 C 。

导数概念、几何意义

．
y f `( x0 ) lim x 0 x f ( x0 x) f ( x0 k x) lim x 0 ( x0 x) ( x0 k x) lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 k x) (k 1)x
例2：已知函数y＝f(x) 在x=a处可导，且在该点
Y=f(x)
B
f f(x2 ) f ( x1 ) k x2 x1 x
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
瞬时速度平均速度反映了在某一段时间内运动的快慢程度,那么, 如何刻画在某一时刻运动的快慢程度呢?
练习：某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求： (1)2≤t≤2+Δ t这段时间内的平均速度； (2)t=2时刻的瞬时速度.
2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象
f / ( x) lim 3.导函数(简称导数)
x 0
f ( x x ) f ( x ) x
4.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。 5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内的平均速度 , 1 1 2 g (3 t ) g 32 s 1 2 2 v g (6 t ) t (3 t ) 3 2 当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3 g , 此即t 3秒时的瞬时时速

2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题3.1 导数的概念及其几何意义(讲)(解析版)

【最新考纲解读】【考点深度剖析】本节中导数的概念、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．导数的几何意义命题的角度主要有求曲线的切线斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题．【课前检测训练】[判一判]判断正误(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× [练一练]1. 【基础经典试题】曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++= 【答案】A【解析】由已知，点(1,1)-在曲线32y x x =-上，所以切线的斜率为211'|(32)|1x x y x ===-=，由直线方程的点斜式得20x y --=，故选A .2.【2019年山东卷.10】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A3.【百强校】2019届江苏省苏州大学高考考前指导卷1】已知直线x y b +=是函数2y ax x=+的图象在点(1,)P m 处的切线，则a b m +-= ．【答案】2. 【解析】由于P 点在函数2y ax x=+图象和直线x y b +=上，则2m a =+，1m b +=. 又由函数2y ax x =+的导函数22'y a x=-可知，切线的斜率12k a =-=-，有1a =，3m =和4b =，则2a b m +-=.4. 【选修2-2P18T3改编】已知函数()r V =)r =________. 【答案】112π【解析】因为'()r V =1)12r π=.5.【2019·高考全国卷Ⅱ】已知曲线y x lnx ＝＋在点()1,1(1,1)处的切线与曲线221()y ax a x ＝＋＋＋相切，则a ＝________.【答案】8【解析】法一：∵x=11y'=1+,y|=2,y=x+ln x x∴∴在点()1,1处的切线方程为()1212 1.y x y x ∴－＝－，＝－又【题根精选精析】考点1 利用导数的定义求函数的导数【1-1】求函数y =1x =处的导数. 【答案】12-【解析】y∆=-=x 0x 0x 1y x y 1lim lim[.x 21y |.2∆→∆→==∆=∆∆==-∆∴'=-【1-2】一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（1）63x --∆；（2）6-.【基础知识】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．【思想方法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【温馨提醒】导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，应按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求.考点2 导数的运算【2-1】求下列函数的导数.()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-【答案】（1）21843x x +-；（2）22222(1)x x x +-+；（3）()3322x xe ln e ln -；（4）2222ln )1x((11)x x x -++；（5）()41032.x --(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：()()()()22222222222x x 1x x 12x 2xy 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++【基础知识】基本初等函数的导数公式【思想方法】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．【温馨提醒】导数的运算是用导数研究函数性质的工具，一般较少直接考查，通常情况下涉及导数的综合运算及导数公式的灵活运用.考点3 导数的几何意义【3-1】【2019年河南郑州高三二模】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)3,1(和)3,1(-D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】因2'()31f x x =-，令'()2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．【3-2】【2019年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A【3-3】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【答案】D【基础知识】函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【思想方法】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =.【温馨提醒】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解. 【易错问题大揭秘】已知曲线31y x =+．（1）求曲线在1x =-处的切线方程；（2）求曲线过点(1,0)-的切线方程．【易错点】易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．【分析】（1）∵ 23y x '=， ∴曲线在1x =-处的斜率213(1)3x k y =-'==⨯-=．∵1x =-时，0y =，∴曲线在1x =-处的切线方程为3(1)y x =+，即330x y -+=．(2) 设过点(1,0)-的切线与曲线相切于点00(,)x y ，则切线的斜率为023x x k y x ='==， ∴20003000311y x x y x -⎧=⎪+⎨⎪=+⎩，整理得32002310x x +-=，∴200(1)(21)0x x +-=，解得01x =-，或012x =， ∴所求的切线为330x y -+=，或3430x y -+=．温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍. 【针对训练】已知曲线31433y x =+，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程.. 【答案】（1）440.x y --=(2)44020x y x y --=-+=或(3)440123200x y x y --=-+=和.即440123200x y x y --=-+=和.。

江苏专版2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十四导数的概念及导数的运算53041

课时达标检测(十四）导数的概念及导数的运算[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________．解析：f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，f ′(x )＝3x 2＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4.答案：42．(2017·苏州暑假测试)曲线y ＝2x在x ＝0处的切线方程是________．解析：因为y ′＝2xln 2，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝20×ln 2＝ln 2，因此切线方程是y －1＝ln 2×(x －0)，即y ＝x ln 2＋1.答案：y ＝x ln 2＋13．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1ae x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 24．(2018·无锡期末)过曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：∵y ′＝1＋1x 2，∴y ′x ＝x 0＝1＋1x 20，∴AB ：y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．又y 0＝x 0－1x 0，∴y －x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)令x ＝0得y ＝－2x 0；令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，∴S △OAB ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x ＝5(负值舍去)．答案： 55．(2018·常州月考)设点P 为函数f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 图象上任一点，且f (x )在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________．解析：由f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 得，f ′(x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x 2≥12×23＝3，即tan α≥3(α∈[0，π))，解得π3≤α＜π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·扬州期初测试)若以数列{a n }中的各项a n 作为系数，构成一个函数系y ＝a n x 3，其图象在x ＝1处的切线的斜率为4a n －1－1(n ≥2)，且a 1＝43，则a n ＝________.解析：由y ＝a n x 3，得y ′＝3a n x 2，故当x ＝1时，切线的斜率k ＝3a n ，从而3a n ＝ 4a n －1－1(n ≥2)，于是3a n －3＝4a n －1－4(n ≥2)，故a n －1a n －1－1＝43(n ≥2)，又a 1＝43，所以a 1－1＝13，所以数列{a n －1}是以13为首项，43为公比的等比数列，故a n －1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，从而a n ＝4n －13n＋1.答案：4n －13n ＋12．(2018·泰州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝f ′(t )＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故－a ＋274－a ＝0，解得a ＝278.答案：2783．(2018·太仓高级中学模拟)若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为________．解析：易知曲线y ＝x ＋4x 与直线4x ＋y ＝0无公共点，设直线4x ＋y ＝m 与y ＝x ＋4x相切，P 为切点．对y ＝x ＋4x 求导得y ′＝－4x 2，由－4x2＝－4得x ＝±1，因此P (1,5)或P (－1，－3)，解得m ＝9或m ＝－7，此时两直线4x ＋y ＝m,4x ＋y ＝0间的距离分别为917，717，故线段PQ 长的最小值为71717.答案：717174．(2018·淮安月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为凸函数的是________．(填序号)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：在定义域⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内，由f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0，得①是凸函数；由f ″(x )＝－1x2＜0，得②是凸函数；由f ″(x )＝－6x ＜0，得③是凸函数；由f ″(x )＝2e x ＋x e x＞0，得④不是凸函数．答案：①②③5．(2018·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋ f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为________．解析：∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2exe x＋12＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2exe x＋12＋cosx ＋2e－xe －x ＋12－cos(－x )＝0，∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.答案：26．(2018·宿迁期初测试)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列四个命题：①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3； ②直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x ； ③直线l ：y ＝－x ＋π在点P (π，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x ＋1在点P (0,1)处“切过”曲线C ：y ＝e x. 其中正确的命题有________．(填序号)解析：对于①，y ＝x 3在点P (0,0)处的切线为y ＝0，且曲线y ＝x 3在(0,0)附近位于直线y ＝0两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于②，曲线C ：y ＝ln x 在直线l ：y ＝x －1的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线C ：y ＝sin x 在点P (π，0)附近位于直线l 的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线C ：y ＝e x在直线l ：y ＝x ＋1的同侧，不符合题意，所以错误．即正确的有①③.答案：①③7．(2018·启东中学月考)若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝x 22e 在它们的公共点P (s ，t )处具有公切线，则ts＝________.解析：函数y ＝a ln x 的导函数为y ′＝a x ，其切线在P (s ，t )处的斜率为k 1＝a s.函数y ＝x 22e 的导函数为y ′＝x e ，其切线在P (s ，t )处的斜率为k 2＝s e .由曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝x 22e在它们的公共点P (s ，t )处具有公切线，可得a s ＝s e ，且t ＝s 22e ＝a ln s ，s ＞0，所以ln s ＝12，所以s 2＝e ，所以t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e.答案：e 2e8．(2018·无锡期初测试)曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，得S普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 2＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又曲线存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．(2018·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x ＞0)和y ＝x 3(x＞0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值是________．解析：由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 22(x －x 2)，即y ＝3x 22x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，得x 1x 2＝43. 答案：43二、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2018·启东中学高三月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0， ∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，切线方程为y ＝9；当x0＝1时，g′(1)＝12，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0, 解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

人教A版高考数学一轮总复习课后习题课时规范练19 导数概念及其意义、导数运算 (2)

课时规范练19 导数概念及其意义、导数运算基础巩固练1.若f(x)=x 2-2sin x,则f'π2=( )A.π+2B.π-2C.πD.π242.(山东济南模拟)已知函数f(x)=√x −1x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( ) A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=03.(河北石家庄模拟)已知直线=( ) A.2B.1C.-1D.-24.已知函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=( ) A.2B.3C.4D.-15.(多选题)(浙江嘉兴模拟)下列求导运算错误的是( ) A.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x B.若f(x)=e -2x+1,则f'(x)=e -2x+1 C.若f(x)=xe x ,则f'(x)=1-x e xD.若f(x)=xln x,则f'(x)=1x6.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为( )A.y-e2+1=0B.y+1=0C.(e2-1)x-y+e2-2=0D.2x+y+3=07.(广东深圳模拟)若曲线f(x)=ln x+1在(2,f(2))处切线的倾斜角为α,x则tan α=.,0作曲线y=x3的切线,写出一条切线方8.(浙江绍兴模拟)过点-23程: .9.已知函数f(x)=x2 023+x3+2 023的导函数为f'(x),则f(2 023)+f(-2 023)+f'(2 023)-f'(-2 023)= .10.(江苏扬州模拟)若直线l是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=e x-2的切线,则直线l的方程为.综合提升练11.(多选题)若直线y=3x+m是曲线y=x3(=-1 C.n=6 D.n=712.(多选题)下列四条曲线中,直线y=2x与其相切的有( )A.y=2e x-2B.y=2sin xC.y=3x+1xD.y=x 3-x-213.过点(2,0)作曲线f(x)=xe x 的两条切线,切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2)),则x 1+x 2= ( )A.-2B.-√2C.√2D.214.(河南新乡模拟)在曲线y=2x 3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有( ) A.4条B.3条C.2条D.1条15.(陕西安康模拟)若点P 是曲线y=ln x-x 2上任意一点,则点P 到直线l:x+y-4=0距离的最小值为 .16.(浙江衢州、湖州、丽水质检)已知函数f(x)=ln x,g(x)=x 24,写出斜率大于12且与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切的直线l 的方程: .创新应用练17.(河南南阳模拟)已知函数f(x)(x ∈R)是奇函数,f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的导函数,则( ) A.f(2 023)=2 B.f'(x)的一个周期是4 C.f'(x)是奇函数D.f'(1)=118.(福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+aln x的图象有两条与直线y=2x平行的切线,且切点坐标分别为P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则x1x2的取值范x1+x2围是.课时规范练19 导数概念及其意义、导数运算1.C 解析因为f(x)=x 2-2sinx,所以f'(x)=2x-2cosx,于是f'π2=π,故选C.2.B 解析f(1)=0,切点为(1,0),f'(x)=2√x+1x2,f'(1)=32,所以切线方程为y=32(x-1),即3,直线x+1的一条切线,设切点横坐标为a,则切点纵坐标为a+3,则{3a 2+m =1,a +3=a 3+ma +1,解得a=-1,m=-2,故选D. 4.A 解析由于函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,故f(5)=-5+8=3,f'(5)=-1,故f(5)+f'(5)=2,故选A. 5.BD 解析对于A,f'(x)=(cosx)'=-sinx,故A 正确;对于B,f'(x)=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1,故B 错误;对于C,f'(x)=e x (1-x )e 2x=1-x e x,故C 正确;对于D,f'(x)=lnx+x ·1x=lnx+1,故D 错误.故选BD.6.D 解析因为f(x)为偶函数,设x<0,则-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e 1+x ,所以f(-1)=-1.因为当x<0时,f'(x)=1x -e 1+x ,所以f'(-1)=-2,所以曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.7.14解析由于f'(x)=1x−1x2,则f'(2)=14,故切线的斜率为14,即tanα=14.8.y=0或y=3x+2(写出一条即可) 解析由y=x 3可得y'=3x 2,设过点-23,0作曲线y=x 3的切线的切点为(x 0,x 03),则该切线方程为y-x 03=3x 02(x-x 0),将点-23,0代入切线方程,得-x 03=3x 02-23-x 0,解得x 0=0或x 0=-1,故切点坐标为(0,0)或(-1,-1),故切线方程为y=0或y=3x+2.9.4 046 解析因为f()=+3+,f(-)=--3+,所以f()+f(-)=2×=4046. 因为f'(x)=x+3x 2,所以f'()=×+3×2,f'(-)=×+3×2,所以f'()-f'(-)=0,所以f()+f(-)+f'()-f'(-)=4046.10.y=x-1或y=1e x 解析设直线l:y=kx+b 与曲线y=e x-2和y=lnx 的切点分别为(x 1,e x 1-2),(x 2,lnx 2),则k=e x 1-2=1x 2,曲线y=e x-2在点(x 1,e x 1-2)处的切线方程为y-e x 1-2=e x 1-2(x-x 1),即y=e x 1-2x+(1-x 1)e x 1-2,曲线y=lnx 在点(x 2,lnx 2)处的切线方程为y-lnx 2=1x 2(x-x 2),即y=1x 2x+lnx 2-1,则{e x 1-2=1x 2,(1-x 1)e x 1-2=lnx 2-1,解得x 2=1,或x 2=e,所以k=1或1e ,则b=-1或0,所以直线l 的方程为y=x-1或y=1e 与曲线y=x 3(x>0)相切于点(a,a 3),与曲线y=-=-2.对于函数y=-x 2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0),又-b 2+nb-6=3b-2,所以-b 2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7. 12.ABD 解析直线y=2x 的斜率为k=2.A 选项中,y'=2e x ,令2e x =2,得x=0,当x=0时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x 上,所以直线y=2x 与曲线y=2e x -2相切;B 选项中,y'=2cosx,令2cosx=2,得x=2kπ(k∈Z),当x=2kπ时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x 上,所以直线y=2x 与曲线y=2sinx 相切;C 选项中,y'=3-1x2,令3-1x2=2,得x=±1,当x=1时,y=4,当x=-1时,y=-4,因为(1,4),(-1,-4)都不在直线y=2x 上,所以直线y=2x 与曲线y=3x+1x 不相切;D 选项中,y'=3x 2-1=2,得x=±1,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=-2,其中(-1,-2)在直线y=2x 上,所以直线y=2x 与曲线y=x 3-x-2相切.故选ABD.13.D 解析由题意得f'(x)=(x+1)e x ,过点(2,0)作曲线f(x)=xe x 的两条切线,设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),则(x 0+1)ex 0=x 0e x 0x 0-2,即(x 02-2x 0-2)e x 0=0,由于e x 0>0,故x 02-2x 0-2=0,Δ=12>0,由题意可知x 1,x 2为x 02-2x 0-2=0的两个实数解,故x 1+x 2=2,故选D.14.B 解析由y'=6x 2+1x2,令6x 2+1x2=7,得x=±1或x=±√66.当x=1时,切点为(1,1),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点为(-1,-1),在直线y=7x+6上,切线与直线y=7x+6重合,舍去;当x=√66时,切点为√66,-17√618,不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-√66时,切点为-√66,17√618,不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x 3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条,故选B.15.2√2 解析过点P 作曲线y=lnx-x 2的切线,当切线与直线l:x+y-4=0平行时,点P 到直线l:x+y-4=0距离最小.设切点为P(x 0,y 0)(x 0>0),因为y'=1x-2x,所以切线斜率为k=1x 0-2x 0,由题知1x 0-2x 0=-1,解得x 0=1或x 0=-12(舍去),所以P(1,-1),此时点P 到直线l:x+y-4=0的距离d=√2=2√2.16.y=x-1 解析∵f(x)=lnx,g(x)=x 24,∴f'(x)=1x,g'(x)=12x.设直线l 与函数y=f(x),y=g(x)的图象的切点分别为(x 1,lnx 1),x 2,x 224,且1x 1=12x 2>12,∴1x 1=12x 2=lnx 1-x224x 1-x 2,且0<x 1<2,x 2>1,解得x 1=1,x 2=2,∴两切点分别为(1,0),(2,1).∴与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切的直线l 的方程为y=x-1.17.B 解析因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此f(x)是周期为4的周期函数,所以f()=f(+3)=f(505×4+3)=f(3)=-f(1)=-2,故A 错误;f(x+4)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),所以f'(x)的一个周期是4,故B 正确;因为f(-x)=-f(x),所以[f(-x)]'=[-f(x)]',所以-f'(-x)=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数,故C 错误;例如f(x)=2sinπ2x ,满足f(x)是奇函数且f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,所以f'(x)=πcosπ2x,可得f'(1)=0≠1,故D错误,或由f(x+2)=f(-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,因而f(x)在x=1处有极值,所以f'(1)=0,故D错误.故选B.18.0,14解析由题意可知f(x)=x2+alnx的定义域为(0,+∞),所以x1,x2∈(0,+∞),f'(x)=2x+ax ,当切点为P(x1,f(x1))时,切线斜率为2x1+ax1,当切点为Q(x2,f(x2))时,切线斜率为2x2+ax2,因为两条切线与直线y=2x平行,所以2x1+ax1=2,2x2+ax2=2,即2x12-2x1+a=0,2x22-2x2+a=0,所以x1,x2是关于方程2x2-2x+a=0的两个正实数根,由Δ=(-2)2-4×2a>0,得a<12,又x1+x2=1,x1x2=a2>0,可得0<a<12,所以x1x2x1+x2=a2∈0,14.。

2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第三章导数

第三章导数及其应用命题探究解答过程 (解法一) (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=2ae 2x+(a-2)e x-1=(ae x-1)(2e x+1).其中2e x+1>0恒成立.(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.(ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点. (ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; ②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点;③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.又f(-2)=ae -4+(a-2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数n 0满足n 0>ln,则f(n 0)=(a+a-2)-n 0>-n 0>-n 0>0.由于ln>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). (解法二) (1)同解法一(1).(2)若a≤0,则f(x)在R 上单调递减,至多只有一个零点,不符,舍去; 若a>0,当x→+∞时,f(x)→+∞;当x→-∞时,f(x)→+∞,要使f(x)有两个零点,只要f min (x)=f(-ln a)<0即可,即a·+(a -2)·-ln <0,即1--ln <0,令t=>0,则g(t)=1-t-ln t,且g(t)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,∴当t=>1,即0<a<1时,g(t)<0,即f(-ln a)<0.即f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,1)§3.1导数的概念及其运算考纲解读分析解读 1.理解导数概念,会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程,能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系.2.熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数,会求简单复合函数的导数.3.利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点,分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.3答案 D3.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C4.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案1-ln 25.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为.答案(1,1)教师用书专用(6—8)6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)7.(2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),因而f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f '(x)=1-=,x>0知:①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)在(a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.8.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 22.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f =-.教师用书专用(3—4)3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f '(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).4.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f '(x)=+, f '(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时, f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f '(x),且f '(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A.6x+y-12=0B.9x+y-16=0C.6x-y-12=0D.9x-y-16=0答案 D2.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A3.(2017广东惠州第二次调研,14)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为. 答案 24.(人教A选2—2,一,1-2A,7,变式)已知函数f(x)=ax+1-e x(a∈R,e为自然对数的底数),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则a= .答案 e考点二导数的运算5.(2018甘肃武威第六中学第二阶段过关考试,4)已知函数f(x)的导函数为 f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln x,则f '(1)=( )A.-eB.-1C.1D.e答案 B6.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C7.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数y=f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M( )A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:25分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东阳春第一中学月考,9)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f '(x),f '(x)在(a,b)上的导函数为f ″(x),若在(a,b)上,f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(3,+∞)C. D.答案 C2.(2017广东惠州模拟,12)设曲线f(x)=-e x-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( )A.[-1,2]B.(3,+∞)C. D.答案 D3.(2017江西新余第二次模拟,9)将函数g(x)=2cos x-·cos图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数h(x)的图象,设f(x)=x2+h(x),则f '(x)的图象大致为()答案 A4.(2017河南洛阳期中,12)设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( )A. B.C. D.答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018重庆梁平二调,15)曲线y=a(a>0)与曲线y=ln有公共点,且在公共点处的切线相同,则a 的值为.答案6.(2018河南联考,16)已知过点(0,-1)且与曲线y=f(x)=-x3+x2-6x(x>0)相切的直线有且仅有两条,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)7.(2017天津红桥期中,16)若在曲线f(x)=ax5+ln x上存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)C组2016—2018年模拟·方法题组方法利用导数的几何意义求曲线的切线方程1.(2018江苏丹阳高级中学期中,10)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为.答案2.(2017河南百校联盟模拟,16)已知函数f(x)=-f '(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为.答案3.(2016江西百所重点高中阶段性诊断,14)若曲线f(x)=在点(1,1)处的切线经过点A(a,0),B(0,b),则a与b的等差中项为.答案。

2019届高考一轮复习理科数学精练题辑天天练：天天练10

天天练10导数的应用(一)一、选择题1．(2018·太原一模)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案：C解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x ＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.2．已知a∈R，函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，若函数g(x)＝f′(x)x，则()A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数答案：D解析：函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图象的对称轴为x＝a，又导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)＝f′(x)x＝x＋ax－2a，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选D.3．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2B ．50,14C ．50，－2D ．50，－14答案：C解析：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0,2]时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－3,0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.4．(2018·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案：B解析：由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x－1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)·ln x .由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选B.5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案：D解析：不存在选项D 的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≥0，f (x )是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≤0，f (x )是减函数，也与图象不符，故选D.6．(2018·江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x 的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案：D解析：g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.方法总结导数与函数的单调性(1)利用导数讨论函数单调性的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )，并求f ′(x )＝0的根；②利用f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x )的正负，确定f (x )在该区间上的单调性．(2)求单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③由f ′(x )>0(f ′(x )<0)解出相应的单调区间．7．(2018·河南鹤壁高级中学基础训练)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43 B.32b －23C ．0D ．b 2－16b 3答案：A解析：由题意得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3<b <1.由f ′(x )>0，解得x >2或x <b ；由f ′(x )<0，解得b <x <2.所以f (x )的极小值f (2)＝2b －43.故选A.方法总结导数与函数的极值1．求函数极值的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )及f ′(x )＝0在定义域范围内所有的根；(3)列表检验根两侧值的符号，左负右正，有极小值；左正右负，有极大值；如果左右不改变符号，那么f (x )无极值．2．对含有参数的函数f (x )求极值，需要分类讨论．讨论常考虑的分界点为：(1)参数是否影响f ′(x )零点的存在；(2)参数是否影响f ′(x )的不同零点的大小；(3)参数是否影响f ′(x )的零点左右的符号．8．(2017·新课标全国卷Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1答案：A解析：f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a－1]e x －1.∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)·e －3＝0，得a ＝－1.∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1.由f ′(x )>0，得x <－2或x >1；由f ′(x )<0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1.方法点拨：解析本题的关键在于两点：(1)正确求解导数——正确运用[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )和复合函数求导公式f ′[g (x )]＝f ′(t )·g ′(x )求出该函数的导数；(2)正确区分极小值点和极小值之间的区别，极小值点是指x 的取值，极小值是指y ＝f (x )的取值(函数值)．二、填空题9．若函数f (x )＝13x 3－x 在()a ，10－a 2上有最小值，则实数a的取值范围为________．答案：[)－2，1解析：f ′(x )＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＞0得x ＜－1或x ＞1，令f ′(x )＜0得－1＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．所以要使函数f (x )＝13x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1＜10－a 2f (a )≥f (1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1＜10－a 213a 3－a ≥－23⇒⎩⎪⎨⎪⎧－3＜a ＜1a ≥－2⇒－2≤a ＜1. 10．在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y ＝2x －m x (x ∈R ，m ≠－2)在x ＝1处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为________．答案：－3或－4.解析：由于y ′＝2＋m x 2，则k ＝ y ′|x ＝1＝2＋m ，又f (1)＝2－m ，那么对应的切线l 的方程为y －(2－m )＝(2＋m )(x －1)，令x ＝0可得y ＝－2m ，令y ＝0可得x ＝2m m ＋2，根据题目条件可得－2m ＋2m m ＋2＝12，解得m ＝－3或m ＝－4. 11．(2018·山西怀仁一中期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意的x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．答案：(－1，＋∞)解析：令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )在R 上为增函数，且g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g (x )>g (－1)，解得x >－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)．三、解答题12．(2017·北京卷，19)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x ·(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x ·(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.。

2019版高考数学一轮：第九章导数及其应用 9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算

§9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算命题探究(1)由PO 1=2知O 1O=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6,所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=·A 1·PO 1=×62×2=24(m 3);正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3). 所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0<h<6,O 1O=4h(m).连结O 1B 1.因为在Rt△PO 1B 1中,O 1+P =P ,所以+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+a 2·h=a 2h=(36h-h 3),0<h<6,从而V'=(36-3h 2)=26(12-h 2). 令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V 是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V 是单调减函数. 故h=2时,V 取得极大值,也是最大值.因此,当PO 1=2m 时,仓库的容积最大.考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017 1.导数的概念及几何意义1.切线方程的有关问题B11题 5分填空题解答题★★★用2.导数的运算导数的运算 B 填空题解答题★★★分析解读导数的几何意义和导数的四则运算是学习导数的基础,江苏高考偶有单独考查,但更多的是与导数解答题放在一起进行综合考查.五年高考考点一导数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=02.(2017天津文改编,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 13.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x4.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)5.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-3教师用书专用(6—9)6.(2013广东理,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .答案-17.(2013重庆理,17,13分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f '(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a, f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知, f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+=.令f '(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时, f '(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时, f '(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.8.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f '(x)=+, f '(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时, f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.9.(2013北京理,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 32.(2014福建,20,14分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.解析(1)由f(x)=e x-ax,得f '(x)=e x-a.又f '(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f '(x)=e x-2.令f '(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时, f '(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln 2时, f '(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)证法一:①若c≥1,则e x≤ce x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>0时,x2<ce x.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.②若0<c<1,令k=>1,要使不等式x2<ce x成立,只要e x>kx2成立.而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-=,所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.证法二:对任意给定的正数c,取x0=,由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=·>,当x>x0时,e x>>=x2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.证法三:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x.证明如下:令h(x)=x3-e x,则h'(x)=x2-e x.由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x.取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.注:对c的分类可有不同的方式,只要证法正确,均相应给分.教师用书专用(3)3.(2013福建理,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),因而f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f '(x)=1-=,x>0知:①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018江苏常熟期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1,f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案2.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与函数f(x)=2x2+a2(x>0)和g(x)=2x3+a2(x>0)的图象均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为.答案3.(2018江苏扬州中学月考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .答案-14.(2018江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为.答案5.(2018江苏常熟高三期中)已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m<n<t),则n++2的取值范围是.答案6.(苏教选2—2,一,1,5,变式)经过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程为.答案x+y-2=07.(2017江苏苏州暑期调研,5)曲线y=e x在x=0处的切线方程是.答案y=x+18.(2017江苏海头高级中学质检,10)已知点P(1,m)是函数y=ax+图象上的点,直线x+y=b是该函数图象在点P处的切线,则a+b-m= .答案 29.(2017江苏南京高淳质检,10)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是.答案10.(2017江苏苏州期中,4)曲线y=x-cos x在点处的切线方程为.答案2x-y-=011.(2016江苏扬州中学期中,11)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k= .答案e212.(苏教选2—2,一,2,4,变式)点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.解析根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点(x0,y0),该切点即为曲线y=e x上与直线y=x距离最近的点,如图.则曲线y=e x在点(x0,y0)处的切线斜率为1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,∴y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得点P(0,1)到直线y=x的距离为.考点二导数的运算13.(苏教选2—2,一,2,8,变式)设y=-2e x sin x,则y'= .答案-2e x(sin x+cos x)14.(苏教选2—2,一,2,5,变式)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= .答案-215.(2016江苏阶段测试,10)若函数f(x)=x3-f '(-1)x2+x,则[f '(0)+f '(1)]f '(2)= .答案91B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏南京、盐城一模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点P为函数y=2ln x的图象与圆M:(x-3)2+y2=r2的公共点,且它们在点P处有公切线,若二次函数y=f(x)的图象经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数f(x)=ln x+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为.答案-3.(2016江苏无锡期末,12)曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,O是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0= .答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的导数的方法1.求下列函数的导数:(1)y=x2sin x;(2)y=;(3)y=.解析(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.(2)y'==.(3)y'===.方法2 利用导函数求曲线的切线方程2.已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求该切线方程.解析 f '(x)=,g'(x)=(x>0),设两曲线交点的横坐标为x,则由已知得解得a=,x=e2,∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率k=f '(e2)=,∴切线的方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏扬州中学质检,19)对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)=ax2-bx(a≠0),g(x)=ln x.(1)当a=-1,b=0时, 判断函数f(x)和g(x)是否相切,并说明理由;(2)已知a=b,a>0,且函数f(x)和g(x)相切,求切点P的坐标.解析(1)当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.理由如下:由条件知f(x)=-x2,由g(x)=ln x,得x>0,因为f '(x)=-2x,g'(x)=,所以当x>0时,f '(x)=-2x<0,g'(x)=>0,所以对于任意的x>0,f '(x)≠g'(x).故当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.(2)若a=b,则f '(x)=2ax-a,由题意得g'(x)=,设切点坐标为(s,t),其中s>0,由题意,得as2-as=ln s①,2as-a=②,由②得a=,代入①得=ln s(*).因为a=>0,且s>0,所以s>.设函数F(x)=-ln x,x∈,则F'(x)=.令F'(x)=0,解得x=1或x=(舍).当x变化时,F'(x)与F(x)x 1 (1,+∞)F'(x) + 0 -F(x) ↗极大值↘所以当x=1时,F(x)取到最大值F(1)=0,且当x∈∪(1,+∞)时,F(x)<0.因此,当且仅当x=1时,F(x)=0.所以方程(*)有且仅有一解s=1.于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).。