材料力学第9章_梁的挠度和刚度计算
材料力学梁的挠度和刚度计算课件
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
到外力时产生的变形越小，即挠度越小。
02
弹性模量与刚度
弹性模量直接决定了材料的刚度。弹性模量越大，梁的刚度越大，能够
更好地抵抗外力而不发生变形。
03
极限强度与安全系数
材料的极限强度决定了梁在受到超过其承受能力的载荷时的安全性。安
全系数是实际应用中考虑的一个关键因素，它基于材料的极限强度和梁
所受的最大载荷来确定。
房屋刚度
房屋刚度反映了建筑物抵抗地震、风 等自然灾害的能力。通过提高房屋的 刚度，可以降低建筑物在地震、风等 作用下的变形和损坏风险，提高房屋 的安全性和稳定性。
梁的挠度和刚度在机械工程中的应用
机械挠度
在机械工程中，挠度是评估机械零件性能的重要参数。对于一些需要高精度运行的机械 零件，如机床导轨、精密仪器等，挠度的计算和分析是必不可少的，以确保机械零件的
重要性
材料力学为工程设计和结构分析 提供了理论基础，确保了工程安 全性和可靠性。
整理材料力学梁的挠度对照表
材料力学梁的挠度对照表
整理表
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材料力学
一、考试目标与要求
《材料力学》课程考试旨在考核学生对本课程知识的掌握和运用能力，包括必要的材料力学的基础知识，一定的分析问题解决问题能力以及用力学知识解决工程实际问题的能力等。
参照教材《材料力学》第3版，沈养中、李桐栋编，科学出版社，2015，确定该科目专升本招生考试的考核目标与要求。
二、考试范围与要求
1.绪论
考核知识点：材料力学的研究对象及主要任务；杆件变形的基本形式及各自的受力特征和变形特征；变形固体的基本假设。
2. 轴向拉伸与压缩
本模块主要研究杆件在轴向拉伸和压缩时的内力、应力、变形和强度计算以及材料的力学性质。
考核知识点：轴向拉压杆件的内力计算，内力图的绘制；轴向拉压杆件横截面上任一点应力的计算，强度条件的应用；轴向拉压杆件伸长量的计算，纵向线应变的计算。
3.扭转
本模块主要研究圆杆扭转时的内力、应力、变形及强度和刚度计算。
考核知识点：扭转变形的概念，外力偶的计算；扭转杆件横截面内力的计算，
内力图的绘制；扭转杆件横截面上任一点应力的计算，强度条件的应用；圆轴扭转杆件扭转的刚度条件。
4.截面的几何性质
本模块主要研究静矩和惯性矩的计算。静矩、惯性矩等都属平面图形的几何性质。在研究梁的应力、变形等问题时，将用到静矩、惯性矩等几何性质。
考核知识点：截面静矩、形心、惯性矩、极惯性矩、惯性积的概念；圆形截面、矩形截面对其形心轴的惯性矩的计算。
5.弯曲
梁是以弯曲变形为主的杆件，它在工程中应用极为广泛。本模块将研究梁的内力力和内力图，梁弯曲时横截面上的正应力、切应力、梁的强度计算以及梁弯曲时的位移计算。
《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解
第九章压杆稳定习题解之马矢奏春创作
[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆, 按图
a所示坐标系及挠度曲线形状, 试
分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,
用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,
式又是否相同.
解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关, 与挠曲线的位置无关.
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系, 所以它们的挠曲线微分方程相同, 都是
（c）、(d)的坐标系相同, 它们具有相同的挠曲
显然, 这微分方程与（a）的微分方程分歧.
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关, 与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此, 以上四种情
形的临界力具有相同的公式,
[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同, 试问杆能接受的压力哪根最年夜, 哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？
解：由这公式可知,
和截面相同的压杆,
平方成反比, 其中.
（a
（b
（c
（d
（e
（f
故图e, 图f.
[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接, 但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上,
刚性地基上.
2.
螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座
解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于
(b)的下支座, .(b)为一端固
, 其临界力为：
可是, (a), 它
因此, .
, 我们无妨设下支座（B）
且无侧向位移, 则：
解得：
用试算法得：
因此, 2.这与弹性支座的转动刚度C有
关, C越小, .
工程力学挠度计算公式
工程力学挠度计算公式
在工程力学领域中，挠度是一个重要的参数，用来描述结构在受力作用下的变形情况。挠度计算公式是工程师在设计和分析结构时必须掌握的基本知识之一。通过挠度计算公式，可以帮助工程师预测结构在实际工作中的变形情况，从而确保结构的安全性和稳定性。
挠度计算公式的推导通常是基于梁的弹性理论。在弹性理论中，假设结构受到的载荷是小幅度的，且结构材料具有线弹性特性。根据这些假设，可以得到梁的挠度计算公式，其基本形式为：
δ = (F * L^3) / (3 * E * I)
其中，δ表示梁的挠度，F表示作用在梁上的外力，L表示梁的长度，E表示梁的弹性模量，I表示梁的惯性矩。这个公式是工程力学中常用的简化形式，适用于许多工程实际问题的分析。
在实际工程中，为了更准确地计算结构的挠度，有时还需要考虑结构的边界条件、截面形状等因素。对于不同形状和受力条件的结构，挠度计算公式可能会有所差异。例如，对于悬臂梁、简支梁、悬臂梁等不同类型的梁，其挠度计算公式会有所不同。
除了梁的挠度计算公式外，对于其他类型的结构如板、壳、柱等，也有相应的挠度计算公式。这些公式通常是基于结构的几何形状、材料性质和受力条件等因素推导而来的。工程师在实际工作中需要
根据具体情况选择合适的挠度计算公式，并结合有限元分析等方法进行结构的挠度分析。
总的来说，挠度计算公式是工程力学中的重要概念，对于工程师设计和分析结构具有重要意义。掌握挠度计算公式可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，从而设计出更安全、稳定的工程结构。在工程实践中，工程师需要灵活应用挠度计算公式，结合实际情况进行分析，确保结构的安全性和可靠性。
材料力学-梁的挠度
梁的刚度校核
max
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条 件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
f
max
L
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
支点位移条件：
fA 0
连续条件： 光滑条件：
fB 0
fC fC
fD 0
D 0
或写成 fC左 fC右
C C
或写成 C 左
C右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
x1 (0，l ) 3 x2 (l， l ) 2
3．变形分析： AB段：
M1 ( x1 ) Fx1 由于 y1 EI 2EI 积分后得：
1 ( x1 ) y
F F 2 x1dx1 C1 x1 C1 2 EI 4 EI F 2 F 3 y1 ( x1 ) x1 dx1 C1 x1 D1 x1 C1 x1 D1 4 EI 12EI
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
(仅供参考)《材料力学》第五版-刘鸿文第9-10章习题答案
=
64 1× 2／cos30o 2
= 44.6N
2杆的许可载荷
[N2 ] =
Pcr n
=
44.6 N = 24.8N 1.8
P=12.4N
HAII MAXUN
1
2012-6-1
1/8
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湖北汽车工业学院 材料力学 主讲教师：马迅
附加习题10-4： 组合梁AB段与CD段截面都是边长为a的正 方形，材料弹性模量都为E，求冲击造成的梁最大动应力。
解：
如何求静挠度？
∆ st
=
1 2
Q L3 2 3EI
+
QL3 48EI
=
5QL3 48EI
AB杆的柔度
λ
=
µl i
=
1× 2 0.0125
= 160
>
λP
=
99.4
AB杆属大柔度杆，应用欧拉公式求临界载荷
( ) Pcr
=
π 2EI ( µl ) 2
=
π 2 × 210×109 × π 0.044 − 0.033 64
《材料力学》第五版_刘鸿文第9_10章习题答案
6
2012-6-1 6/8 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
湖北汽车工业学院
材料力学
8.5 ×1.43 (14 − 8.5) × 9.63 4 4 Iy = + cm = 407cm 12 12
9.6 × 143 (9.6 − 1.4) × 8.53 4 4 Iz = + cm = 1780cm 12 12
iy =
λP =
Iy A
=
407 cm = 2.51cm iz = 64.7
湖北汽车工业学院
材料力学
主讲教师：马迅
附加习题9-4：立柱CD为圆截面，材料的E=200Gpa， σp=200MPa。稳定安全系数nst=2，校核立柱的稳定性。 解：
λP = π 2E π 2 200 × 109 = = 99.3 σP 200 × 106
λ=
大柔度杆，
π 2 EI Pcr = = (µl )2 π 2 × 200 × 109 ×
湖北汽车工业学院
材料力学
主讲教师：马迅
10.14 材料相同、长度相等的变截面杆和等截面杆,若两 杆的最大横截面面积相同，问哪一根杆件承受冲击的能 力强？设变截面杆直径为d的部分长为2/5l。假设H较 大，近似把动载系数取为 2H 2H 解：
材料力学梁的挠度 ppt课件
A
Pa 2 4 EI
qA
qa 3E
3
I
f
PC
Pa 3 6 EI
f qC
5qa 4 24EI
=
P ③ 叠加
A
B
A PA qA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
B
fC25q4Ea4I6PEa3I
[例5] 试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚
度EI为常数。 （已知AB=BC=l/2）
(a)
A
C
M Bx
刚化BC段
f
f2
§7-5 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件
fL max L f
max
(对土 : L f 建 (2 工 15 ~0 1 程 1 0)0 ) 0
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条
件进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
f max L
f L
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
q [例4] 按叠加原理求A点转角
A
C
B 和C点挠度。
a
a
P
=
解、① 载荷分解如图 ② 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
P A
Pa 2 4 EI
材料力学-第9章 能量法
3
材料力学－第9章 能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
杆件的弹性应变能
材料力学－第9章 能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变 为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对 外作功的能力，这种能量称为弹性应变能，简称应变 能(elastic energy). 考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力 和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式， 然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。
材料力学－第9章 能量法
§9-3 虚功原理、内力虚功
材料力学里的虚功原理： 变形体受力处于平衡状态时，外力在虚位移上所作的功 （外力虚功）等于内力在虚变形上作的功（内力虚功）
外力q在虚位移 上作功
q
=
应力 在虚应变 上作用 * 若外力虚功不等于内力虚功，则外力作功未完全转化为结构 应变能，受力不平衡
材料力学－第9章 能量法
§9-3 虚功原理、内力虚功
1 FΔ 2
材料力学－第9章 能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
常力功与变力功
作功过程中，力的大小不随位移而改变，其功为常力功。
F'
F
Δ´
W＝FΔ
上述功的表达式中，力和位移都是广义的。 F可以是力或力 偶，Δ可以是线位移或角位移，但两者必须对应。
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算-挠度例题
6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
EIw
|l
2
1 24
q
l
4
2
ql 12
l
3
2
ql 3 24
l 2
5ql 2 384EI
7 梁两端的转角
EIq A
EIq
|x0
ql 3 24
EIqB
EIq
|xl
1 6
ql 3
ql 4
l2
ql 3 24
ql 3 24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
A
截面的转角和 C 截面的挠度。设
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
M1
x
1 2
qx2
M2
x
1 8
ql
3l 2
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EI 常量。
A
BC
Dx
l/2
w
l/2 l/2
FB
ql 8
3 微分方程的积分
EIw1(
x
)
M1
x
1 2
qx 2
EIw2(
x)
M2
x
1 8
ql
3l 2
9.3 积分法求梁的变形
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
图9-4
材料力学
弹性杆件：来自百度文库
在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆经历了 两种不同性质的平衡。
当轴向压力较小时，压杆直线形式的平衡是 稳定的；而当轴向压力较大时，压杆直线形式 的平衡则是不稳定的。
第9章 压杆稳定
图9-3
材料力学
弹性杆件：
对图9-4(a)所示两端铰支细长直杆施加轴向 压力，若杆件是理想直杆，则杆受力后将保持 直线形状。
如果给杆以微小侧向干扰使其稍微弯曲，以 偏离原来的直线平衡状态，则在去掉干扰后将 出现两种不同情况：
当轴向压力较小时，压杆最终将恢复其原有 直线形状，如图9-4(b)所示；
材料力学
刚性杆件：
以图9-3中所示的杆件为例。 如果F＜kl，即F＜kl，则在干扰解除后，杆 将自动恢复至初始平衡位置，说明在荷载F＜kl 时，杆在竖直位置的平衡是稳定的； 如果F kl，即F > kl，则在干扰解除后，杆 不仅不能自动返回其初始位置，而且将继续偏转， 说明在荷载F>kl时，杆在竖直位置的平衡是不稳 定的 ； 如果F=kl，即F=kl，则杆既可在竖直位置保 持平衡，也可在微小偏斜状态保持平衡，这时在 竖直位置的平衡称为中性平衡（或随遇平衡）。
材料力学-梁的挠度
支点位移条件：
fA 0
连续条件： 光滑条件：
fB 0
fC fC
fD 0
D 0
或写成 fC左 fC右
C C
或写成 C 左
C右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
A C
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角 和C点挠度。 解、① 载荷分解如图
a
P A
a
②
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
PA
A
q B
Pa 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI f qC 5qa 4 24 EI
+
qa3 qA 3EI
(0 x a ) (a x L)
最大挠度及最大转角
a
P
Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EI
f
L
x
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并 求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
材料力学第9章梁的挠度和刚度计算
梁的挠度和刚度计算
材料力学第9章
引言
梁是一种常见的结构元素，在各个工程领域都有广泛的应用。了解梁的挠度和刚度计算方法对于设计和分析梁的性能至关重要。本文将介绍材料力学第9章中梁的挠度和刚度计算的相关内容。
1. 梁的挠度计算方法
1.1 单点弯曲
当梁受到单点弯曲时，可以使用梁的弯曲方程来计算梁的挠度。梁的弯曲方程可以表达为：
δ = (M * L^2) / (2 * E * I)
其中，δ为梁的挠度，M为梁的弯矩，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
1.2 均匀分布荷载
当梁受到均匀分布荷载时，梁的挠度计算稍有不同。可以使用梁的基本方程来计算梁的挠度。梁的基本方程可以表达为：
δ = (q * L^4) / (8 * E * I)
其中，δ为梁的挠度，q为梁的均匀分布荷载，L为梁的长度，E为
梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
2. 梁的刚度计算方法
梁的刚度是指梁对外界荷载的抵抗能力。梁的刚度可以通过计算梁
的弯曲刚度和剪切刚度得到。
2.1 弯曲刚度
梁的弯曲刚度可以通过梁的截面惯性矩来计算。弯曲刚度可以表示为：
EI = ∫(y^2 * dA)
其中，EI为梁的弯曲刚度，y为离梁中性轴的距离，dA为微元面积。
2.2 剪切刚度
梁的剪切刚度可以通过梁的截面两点间的剪力和相对位移关系来计算。剪切刚度可以表示为：
GJ = ∫(θ * dA)
其中，GJ为梁的剪切刚度，θ为梁的剪切角，dA为微元面积。
3. 示例
为了加深对梁的挠度和刚度计算的理解，下面以一根长度为L的梁
为例进行计算。
材料力学刚度计算公式
材料力学刚度计算公式
材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的学科。而材料的刚度则是材料力学中非常重要的一个参数，它描述了材料对外力的抵抗能力。在工程设计和材料选择中，刚度的计算是至关重要的，因此我们需要了解材料力学刚度的计算公式。
首先，我们需要了解什么是刚度。刚度是指材料在受力作用下产生的变形与受力的关系。通俗地说，刚度就是材料对外力的抵抗能力。刚度越大，材料在受力作用下的变形就越小，反之亦然。
在材料力学中，刚度通常用弹性模量来描述。弹性模量是描述材料在受力作用下的弹性变形能力的参数，它是刚度的重要指标之一。弹性模量的计算公式如下：
E = σ/ε。
其中，E为弹性模量，单位为帕斯卡（Pa）；σ为材料受力时的应力，单位为帕斯卡（Pa）；ε为材料受力时的应变，无单位。
除了弹性模量，刚度还可以用切变模量来描述。切变模量是描述材料在受力作用下的剪切变形能力的参数，它也是刚度的重要指标之一。切变模量的计算公式如下：
G = τ/γ。
其中，G为切变模量，单位为帕斯卡（Pa）；τ为材料受力时的剪切应力，单位为帕斯卡（Pa）；γ为材料受力时的剪切应变，无单位。
在实际工程中，材料的刚度往往需要同时考虑拉伸和剪切的影响，因此我们可以用弹性模量和切变模量来综合描述材料的刚度。在这种情况下，我们可以使用泊松比来描述材料的刚度。泊松比是描述材料在受力作用下的体积变形能力的参数，它与弹性模量和切变模量之间存在着数学关系。泊松比的计算公式如下：
ν = -ε_t/ε_l。
其中，ν为泊松比，无单位；ε_t为材料受力时的横向应变，无单位；ε_l为材料受力时的纵向应变，无单位。
第9章梁的挠度和刚度计算
第9章梁的挠度和刚度计算
梁的挠度和刚度是结构力学中的重要概念，它们能够帮助我们分析和
设计梁结构的性能。在这一章中，我们将讨论如何计算梁的挠度和刚度。
在梁的分析中，挠度是一个重要参数，用来描述梁在受力后产生的变形。挠度的大小可以反映梁的刚度，即梁的抵抗变形的能力。计算梁的挠
度可以通过解析方法、数值方法和实验方法来进行。
在解析方法中，梁的挠度可以通过弯曲方程来计算。对于简支梁的弯
曲问题，我们可以使用梁的弯矩方程和挠度方程来计算梁的挠度。对于集
中载荷作用下的梁，挠度方程可以表示为：
δ(x)=(F*x^2)/(6*E*I)
其中，δ(x)表示距离梁端点x处的挠度，F表示施加在梁上的力，E
表示梁的杨氏模量，I表示梁的截面惯性矩。通过这个方程，我们可以计
算任意位置处的梁挠度。
对于均布载荷作用下的梁，挠度方程可以表示为：
δ(x)=(w*x^4)/(8*E*I)
其中，w表示单位长度上施加的均布载荷。通过这个方程，我们可以
计算任意位置处的梁挠度。
数值方法是另一种计算梁挠度的常用方法，它基于数值近似和积分方法。其中最常见的方法是有限元法。有限元法将梁结构划分为许多小单元，并基于这些小单元的形状函数和位移函数来计算梁的挠度。通过这种方法，我们可以得到梁在各个位置的近似挠度值。
实验方法是第三种计算梁挠度的方法。这种方法需要在实验室使用悬臂梁等设备对梁结构进行实验。通过施加不同的载荷并测量梁的变形，我们可以计算出梁在各个位置的挠度。
梁的刚度是另一个重要的参数，它描述了梁结构对于外部载荷的抵抗能力。刚度通常用弹性系数表示，在梁结构中即为弹性模量。弹性模量是梁材料的一个物理特性，它越大，则说明梁越硬，更难发生变形。梁的刚度可以通过弯矩方程和挠度方程来计算。
材料力学-梁的挠度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
[例8] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长 a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40 kN/m ，弹性模量 E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
1 2 P(a x) C1 EIf 2 D1
应用位移边界条件求积分常数
1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
f
a L
P
x
(a ) (a )
f (a ) f (a )
F 3 Fl 2 x1 x1 12EI 12EI y 2 3 F 3 1 5 Fl Fl 2 3 ( lx2 x2 ) x2 6 6 EI 4 EI EI 4
F 2 Fl 2 (x ) x1 1 1 4 EI 12EI 2 F 3 1 Fl 2 2 ( x2 ) ( lx2 x2 ) EI 2 2 3EI Fl 2 由此可知： A 1 ( x1 0) (逆时针方向 )； 12 EI 3 Fl 3 yC y2 ( x2 l ) (向下) 2 8 EI
1 EI f P ( L x) 2 C1 2
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PL3 3EI
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端
截面的转角。
q0
解：1 确定反力
A
B
2 求出弯矩方程
wmax
x
M x ql x 1 qx2
22
3 微分方程的积分
w
FA
ql 2
L
FB
ql 2
4 边界条件、连续条件
EIw(x) M x 1 qx2 ql x EIw(0) 0 D1 0
9.6 用逐段刚性法求阶梯悬 臂梁自由端的挠度和转角
A
C
求AC的变形时，CB刚化
a
qC
F l / 22 22EI
Fl
/ 2 l
2EI
/ 2
3Fl 2 16EI
wC
F l / 23 32EI
Fl / 2 l / 22 2 2EI
5ql 3 96EI
AC变形引起CB的变形
A
把未变形 CB刚性化 A
ql 3 24EI
3ql3 16EI
9.7 用逐段刚性法求解简支 外伸梁的挠度
求AB的变形时，把BC刚化
qB
F1al 3EI
F2
l
/
2l / 22l
6lEI
l
/
2
F1al F2l 2 3EI 16EI
AB变形引起BC的变形
wC1
qBa
F1a 2l 3EI
F2al 2 16EI
A DB
C
l/2 l/2 a
351qL4 256EI
qB q qC q
qa3 6EI
27qL3 256EI
q
B
P
qL2 2EI
wB
P
PL3 3EI
q
A
CBA
wc
w
(q)
B
qc
q (q) B
P
CB
wB(P)
q (P) B
qB
q
B
q
q
B
P
27qL3 256EI
PL2 2EI
155qL3 256EI
wB q
wB
q
wB
P
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计
9.6 用变形比较法解简单超静定梁
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
x 0,w 0
x 0, w q 0
EIw(x) M (x)
* 注意问题
什么时候需要分段积分？
如何确定极值？
L1
A
C
L2
P
B
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转
角。 弯矩方程
L
P
M (x) P(L x)
x
微分方程的积分
w
EIw(x) M (x) P(L x)
wB1
F l / 23
3EI
ql 3 24EI
qB0
C
把变形后的 AC刚性化
c
B截面的位移等于AC段变形引起CB的 刚性位移和CB自身弯曲引起的位移
F wB0 wb1
B
q B1 qB
qB
qB0
qB1
3Fl2 16EI
Fl 2 8EI
5Fl2 16EI
wB
wB 0
wB1
7ql 3 48EI
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
M>0
d
2 w( x ) dx2
351qL4 256EI
qL4 3EI
1309qL4 768EI
逐段刚性法：
研究前一段梁时，暂将后面的各 段梁视为刚体，前一段梁末端截面的 位移为后一段梁提供一个刚体位移； 在研究后一段梁时，将已变形的前一 段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的 变形叠加在前一段梁的所提供的刚性 位移上，从而得到后一段梁的总位移
5ql 4 768EI
qB
qA1
qA2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
3ql 3 128EI
qB
qB1 qB2
ql3 48EI
ql 3 384EI
7ql3 128EI
P
q 例 用叠加原理求A点转
A
C
B 角和C点挠度。
a
a
载荷分解如图
=
P
查简单载荷变形表
A
B
q
PA
Pa2 4EI
F Fl / 2
C
b
qB0
qC
3Fl 2 16EI
wB0
wC
qC
l 2
L
7ql3 48EI
qB0
C
把变形后的 AC刚性化
c
F B
wC wB0
B
F wB0 wb1
B
q B1 qB
求CB的变形，把变形后的AC刚化， 此时CB可 看成以C为固定端的悬臂梁
q B1
F
l / 22
2EI
Fl 2 8EI
EIw
1 2
P(L
x)2
C1
EIw
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
边界条件、连续条件
EIw(0)
1 6
PL3
C2
0
EIw(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
C2
1 6
PL3
弹性曲线方程
Px2 w(x) (3L x)
6EI
P L
x
最大挠度及最大转角
w
qmax
q (L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
几个载荷共同作用的变形 === 各个载荷单独作用的变形之和 叠加原理
例9.4 简支梁的EI已知，用叠加法
求梁跨中截面的位移和支座B的转角A。
载荷分解如图
均布载荷单独作用时 w
wC1
5ql 4 384EI
,
qB1
ql 3 24EI
集中力偶单独作用时 A
wC 2
ql4 16EI
,
qB2
ql 3 3EI
x
2
C1
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
边界条件 EIw1(0) 0
C2EIw2(l) 0
连续条件
D1 0
Fb l3 1 F l a3
6l 6 C2l D2 0
再积分一次：
EIw1(a) EIw2 (a) C1 C2
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
截面的转角和 C 截面的挠度。设 EI 常量。
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
M1
x
1 2
qx2
x
0,
l 2
M2
x
1 8
ql
3l 2
x
x
l 2
,
3l 2
A
BC
Dx
l/2
w
l/2 l/2
FB
ql 8
3 微分方程的积分
EIw1(
x
)
M1
x
1 2
qx 2
EIw2(
x)
M2
x
1 8
ql
3l 2
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
2、边界条件、连续条件
A
a
P
C
B
L
x
w
P
D
L
x
w
x 0,w 0
x L,w 0
x a , w1 w2 w1 w2
0
小变形
1
(1
w( x) w2 )
3 2
w(x)
Q w2 = 1 w(x) M z (x)
o
EI z
M<0
d
2 w( x ) dx2
x
0
w(x) M z (x) EI z
w( x)
挠曲线近似微分方程
EIw(x) M (x)
1 M z (x)
EIz
* 思考： 1、若M 常量
2、若M M（x）
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
w w( x) 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 q tanq dw x
dx
符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
CB
b
L
a 3L , P qL 4
q w 求： , BB
q
C A
wC q
q cq
BA
w
(q)
B
q (q) B
q
(q)
B
q
c
q
P
CB
wB(P)
q (P) B
q
A
wC q
C
q cq
BA
w
(q)
B
q (q) B
P
CB
wB(P)
q (P) B
wB q
wC q bqC q
qa4 8EI
b qa3 6EI
F2
F1
a
A
D F1 F1a
wC1
BC
F2 qB0
b 把未变形BC刚性化
C wC 2
x3
Fb 6l
l2 b2
x
EIw2
Fb 6l
x3
1 6
F
x
a3
Fb l2 b2 x 6l
6 最大转角
EIq A
EIq
|x0
Fab 6l
l
b
EIqB
EIq
|xl
Fab 6l
l
a
if a b then
qmax
qB
Fab 6lEI
l
a
if a b then
qmax
Fl 2 16EI
6 最大挠度
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
D2
1 32
ql 4
EIw1
1 6
qx3
1 16
ql 3
EIw2
1 16
ql
3l 2
源自文库
x
2
1 48
ql 3
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
1 16
ql 3 x
11 384
ql 4
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
1 48
ql 3 x
1 32
ql 4
x
0,
l 2
when w1 0
Fb x2 Fb l2 b2 0 2l 6l
x
l2 b2
al b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
Fb
wmax w1( x ) 9 3EIl
l2 b2 2
if a b then x a
wmax
Fl 3 48EI
例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 A
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
F
x
a 3
EIw1(a) EIw2(a) 积分成数为 D1 D2 0
D1 D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
Fb l2 b2 6l
EIw1
Fb 6l
6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
EIw
|l
2
1 24
q
l
4
2
ql 12
l
3
2
ql 3 24
l 2
5ql 2 384EI
7 梁两端的转角
EIq A
EIq
|x0
ql 3 24
EIqB
EIq
|xl
1 6
ql 3
ql 4
l2
ql 3 24
ql 3 24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
wPC
Pa3 6EI
+
A
q B
q
qA
qa3 3EI
wqC
5qL4 24EI
A
P
q B
q
PA
Pa2 4EI
yPC
Pa3 6EI
C
a
a
q
qA
qa3 3EI
yqC
5qL4 24EI
P
=
叠加
A
B
q A q PAq qA
+
a2
(3P 4qa)
q
12 EI
A
B
wC
5qa4 24EI
Pa3 6EI
q
P
Aa
和转角方程，最大挠度及最大转角。
a
解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
A
M1 x
FAy x
Fb l
x
x 0,a
M2
x
Fb l
x
F
x
a
x a,l
3 微分方程的积分
l
FA
Fb l
EIw1(
x)
M1
x
Fb l
x
F D
B
FB
Fa l
EIw2(
x)
M
2
x
Fb l
x
F
x
a
积分一次：
4 边界条件、连续条件
EIw1
Fb 2l
x
l 2
,
3l 2
EIq A
EIw1 0
1 6
q
03
1 16
ql 3
q A
1 16EI
ql 3
EIy2
l
1 48
ql
3l 2
l
3
1 48
ql 3l
1 32
ql 4
1 48
ql 4
1 8
1
3 2
yC
y2
l
1 128EI
ql 4
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下，材料服从虎克定律
内力 Fs , M 与外力 q, P, M0 成线性关系
叠加
w
wC
wC1
wC 2
19ql 4 384EI
A
qB
q B1
qB2
7ql 3 24EI
w
q wmax L
ql B
x
=
q
B
wC1 qC1
x
+
wC 2 qC2
ql B
x
例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁
跨中截面的位移和两端截面的转角。
载荷分解如图
A
q CB
l/2 l/2
x
对称均布载荷单独作用时
wC1
5q / 2l4
384EI
5ql 4 768EI
q A1
qB1
q / 2l3
24EI
ql 3 48EI
A
集中力偶单独作用时
w
wC2 0
q A2
qB2
q / 2l / 23
24EI
ql 3 384EI
A
w
+
=
q/2 wC1
q/2 wC 2 q / 2
B x
qC1 B
x
叠加
wC
wC1
wC 2
w1(
l 2
)
w2
(
l 2
)
w2
(
3l 2
)
0
EIw1(
l) 2
EIw2 (
l) 2
1 24
q
l 2
4
C1
l 2
D1
0
1 ql4 48
C2
l 2
D2
0
C2
3l 2
D2
0
1
6
q
l 2
3
C1
1 16
ql 3
C2
C1
1 16
ql 3 ,
D1
11 384
ql 4,
C2
1 48
ql 3 ,