电子科大随机信号分析随机期末试题答案A

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷

一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中

0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随

机变量。（ 共10分）

1．画出该过程两条样本函数。(2分)

2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一

维概率密度函数，并画出其图形。(5分)

3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平

稳？(3分)

解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：

t

2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，

此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω

= 当34t πω=时，

32()42X V πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：

232,0(;)240,

X x f x others πω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所

以()X t 非广义平稳，非严格平稳。

二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。（ 共10分）

1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。(2分)

2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。(4分)

3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数

()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 222

1sin 2202

XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦

=++⎡⎤⎣⎦

=+++-⎡⎤⎣⎦=-=

其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦

2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。

又

()()()()()()12sin 2cos 2,01cos 2sin 200E X n E n n E Y n E n n ππφπφππππφπφπ⎛⎫=+=-+=⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭

⎛⎫=+=+=⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭

()()

()12121212(,)

(,)1sin 2202XY XY X Y C n n R n n m n m n n n ππ=-=-=

故两个随机信号互不相关，

又因为

()()()()222200sin cos 1X n Y n n n ωφωφ+=+++= 故两个随机信号不独立。

3.

()()()()()()1212121212(,)sin 2sin 21cos 22cos 222212

X R n n E X n X n E n n E n n n n πφπφππππφ=⎡⎤⎣⎦

=++⎡⎤⎣⎦

=--++⎡⎤⎣⎦= ()()()()()()1212121212(,)cos 2cos 21cos 22cos 222212

Y R n n E Y n Y n E n n E n n n n πφπφππππφ=⎡⎤⎣⎦

=++⎡⎤⎣⎦

=-+++⎡⎤⎣⎦= 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。

三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点()30.3P W t =+=⎡⎤⎣⎦和

()30.7P W t =-=⎡⎤⎣⎦，试求（ 共10分）

1．()W t 的一维概率密度函数。(3分)

2．()W t 的二维概率密度函数。(4分)

3．()W t 是否严格平稳？(3分)

解：下面的讨论中，t 不在时隙分界点上：

1. 在时隙内的任一点上，()W t 为二进制离散

随机变量，因此，随机信号的一维概率

密度函数为：

()()(),0.330.73f w t w w δδ=-++

2. 当1t ,2t 在同一时隙时，随机变量()1t W ,()2

t W 取值相同，此时二维概率密度函数为：

()()()12121212,;,0.33,30.73,3f w w t t w w w w δδ=--+++

当1t ,2t 不在同一时隙时，随机变量()1t W ,()2t W 取值独立，此时二维概率密度函数

为：

()()()

()()121212121212,;,0.093,30.213,30.213,30.493,3f w w t t w w w w w w w w δδδδ=--+-+++-+++

3. ()W t 不严格平稳。

四、设正弦随机信号X(t) = Acos(ωt+Θ), ω

是常数，A ∽U(-1,+1) , Θ∽ U(0,π), 且A 和Θ统计独立，令Y(t)=X 2(t)。（ 共10分） 讨论：

1．Y(t)的均值。(3分)

2．Y(t)的相关函数。(4分)

3．Y(t)是否是广义平稳？。(3分) 解：1. Y(t)的均值：

22222[()][()][cos ()]

1[1cos(22)]2

1111*2236E Y t E X t E A t E A E t E A ωω==+Θ⎡⎤=++Θ⎣⎦⎡⎤===⎣⎦