条据书信 向量积的分配律证明
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。
这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法2解：因为x+y+z=0x=-y-zy=y+0xzz=0xy+z(x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xzy,z为任意实数则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
篇二:《空间向量在几何证明题解法》空间向量在几何体中例题1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。
（1）求证：EF⊥CD；（2）证明：PA//平面DEF3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 12，AB1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
{如何证明是向量空间}.16．（本题满分14分）求ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件。
向量积分配律的证明
向量积分配律的证明向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a ×b = |a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a ×b = - b × a.这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c,(a + b)·c = a·c + b·c.这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).由i)还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)我们还有下面的一条显然的结论：iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b + c))= (r×a)·(b + c)= (r×a)·b + (r×a)·c= r·(a×b) + r·(a×c)= r·(a×b + a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。
条据书信 向量积的分配律证明
向量积的分配律证明（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a)()a。
2）分配律：()a a，(a b)a b。
（2）向量的数量积运算法则：1）a b b a。
2）(a)b(a b)a b a(b)。
3）(a b)c a c b c。
（3）平面向量的基本定理。
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数1,2，满足a1e12e2。
（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a b|a||b|cos，数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a+b＝(x1x2,y1y2)。
2）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a-b＝(x1x2,y1y2)。
3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB OB OA(x2x1,y2y1)。
4）设a＝(x,y),R，则a＝(x,y)。
5）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a b＝(x1x2y1y2)。
（6）两向量的夹角公式：cos（a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)）。
（7）平面两点间的距离公式：。
dA,B＝|AB|（A(x1,y1)，B(x2,y2)）（8）向量的平行与垂直：设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且b0，则有：1）a||b b＝a x1y2x2y10。
2）a b（a0）a·b＝0x1x2y1y20。
（9）线段的定比分公式：P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P，，是线段的分点，是实数，且PP PP2，则111222121x yx1x2OPOP211）。
(1t)OP OP1OP tOP12（t1y1y211（10）三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC 的重心的坐标为G(x1x2x3y1y2y3,)。
2.3.2 、2.3.3 向量积的运算公式及度量公式
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x --=所以=||要点核心解读1．向量数量积的运算律a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+ ,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此 ①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c c b b a c b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 - 3所示，若,,b BC a AB ==则=CA ,B ,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60o ABC =∠b 与B D 所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值． 于是,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k 解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，Q BP C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造B 及C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,,B C A AP =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴C B ().(.⋅+⋅-=A .)()22.r AP -⋅=⋅+- =-+)(AC AB AP =⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2AP r A AC AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与CB 同向时，CB AP ⋅最大为.||.||ra =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..Q P C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：C Q B P 与 的夹角θ为何值时，.⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k AC AB ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(B C ,0k A AC B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标， 考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角． [解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有 又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a ab a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -=得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B OA b OB a OA 0,,、以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠ 这时,,0b a b a -=+= 而|,|||||b a b a -== 即 .||||||BA OB OA ==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30=∠AOC 即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围， 考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a 即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433tt k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t tt k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47[点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对 3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题： ①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )．)14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a =+=|2|,1||),0b a b 则( )．3.A 32.B4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-O ().(,0)2=-OA 则△ABC 的形状为( )． A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(B ),6,4(==O OA 且,OB //,C 0AC OA ⊥则向量=C 0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )．||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //.8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足=PA PM 则2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ 11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x 12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a 三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||o b a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-= (1)求||tb a +的最小值及相应的t 值； (2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明：;)1(EF PA = .)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===O 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
向量的积题型-概述说明以及解释
向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念，也是解决几何与代数问题的基础。
在数学中，我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况，例如内积和外积。
内积也被称为点积，是两个向量乘积的数量积，结果是一个标量。
外积也被称为叉积，是两个向量乘积的向量积，结果是一个向量。
在几何中，向量的积有很多重要的应用。
内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。
外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。
在物理中，向量的积还有更广泛的应用，例如力矩、磁场等。
本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。
首先，我们将介绍内积和外积的定义和性质，包括计算公式和几何意义。
然后，我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。
最后，我们将总结向量的积的重要性，并展望未来在数学和科学领域的应用前景。
通过深入学习向量的积的知识，我们可以更好地理解几何和代数问题，并能够灵活运用向量的积解决实际问题。
不仅如此，向量的积还是数学和物理领域中的基础概念，对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。
在接下来的正文部分，我们将逐一介绍向量的积的各个方面，包括内积和外积的定义、性质以及应用。
希望读者通过阅读本文，能够对向量的积有一个全面的了解，进一步提升数学水平和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局，让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。
本文的结构如下：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在这一部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并概述各个章节的主要内容。
第二部分是正文，包括第一个要点和第二个要点。
在这一部分，我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。
第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目，并提供解题方法和实例。
第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目，同样提供解题方法和实例。
通过这两个要点的介绍，读者将对向量的积题型有一个全面的了解。
向量积分配律的证明(完整版)
向量积分配律的证明向量积分配律的证明·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积的分配律：a·=a·b+a·,·=a·+b·.这由内积的定义a·b=s|osθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。
其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。
再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。
随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。
在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。
在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。
结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，?学生容易忽略；书写中符号“?”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。
最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。
四、教法及教学反思教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。
分配律证明
分配律证明合同名称：回班申请合同书合同编号：_______________________签署日期：_______________________协议方信息：甲方（申请方）：____________________________乙方（批准方）：____________________________鉴于甲方提出的回班申请，双方在平等、自愿的基础上达成如下协议：合同标的1.1 本合同的标的是甲方提出的回班申请。
甲方因____________________________（具体原因），申请回班以完成相关课程和学业。
乙方同意提供相应的课程安排。
回班时间2.1 甲方申请的回班时间为____________________________。
乙方确认该时间安排，保证在该时间内提供必要的课程和教学支持。
回班课程学期安排4.1 回班安排的学期为____________________________。
乙方应根据学期安排提供相应的教学资源和支持，确保甲方能够顺利完成学期课程。
费用安排5.1 甲方需支付的费用为人民币____________________________元（￥___________）。
5.2 支付方式为银行转账，乙方应提供银行账户信息。
费用支付时间为合同签署后的______个工作日内，若甲方未按时支付费用，乙方有权要求甲方支付逾期利息。
双方责任与义务6.1 甲方责任： 6.1.1 甲方应按时支付回班费用，并遵守乙方提供的课程安排和学校规章制度。
6.1.2 甲方应按时完成课程学习，并提交相关作业和报告。
6.2 乙方责任： 6.2.1 乙方应提供甲方所申请的课程，确保课程内容的质量和教学的有效性。
6.2.2 乙方应在回班期间内提供必要的教学支持，包括但不限于教材、辅导和学术资源。
违约责任7.1 如甲方未按照合同规定支付费用或未按时完成课程任务，乙方有权要求甲方赔偿因此产生的所有损失，包括直接损失和间接损失。
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的
方法
要使用向量投影证明空间向量数量积的分配律，需要假设有三个向量a、b和c，现在我们要证明(a+b)·c = (a·c) + (b·c)。
首先，我们可以将向量a+b投影到向量c上，并计算它的数量积。
投影表示在c向量上找到一个与向量a+b直接连线的向量，使其与向量c成为垂直关系。
假设投影向量为p。
根据向量投影的定义，我们可以得到以下关系：p = ((a+b)·c)/|c| * c/|c|
其中，((a+b)·c)/|c|是向量(a+b)在向量c上的投影长度，c/|c|是向量c的单位向量。
现在，我们可以将投影向量p代入左侧的等式(a+b)·c进行计算，得到：
(a+b)·c = (p/|c| * |c|)·c = (p·c)/|c|
接下来，我们可以计算右侧的等式(a·c) + (b·c)：
(a·c) + (b·c) = (a/|c| * |c|)·c + (b/|c| * |c|)·c = (a·c)/|c| + (b·c)/|c|
从上述两个等式可以发现，左侧的表达式(a+b)·c 和右侧的表达式(a·c) + (b·c) 都可以通过投影来表示，且它们的投影长度相等。
因此，我们可以得出结论：(a+b)·c = (a·c) + (b·c)，证明了空间向量数量积的分配律。
向量的数量积与向量积的定义与性质
向量的数量积与向量积的定义与性质向量在数学和物理学中有着广泛的应用，其中向量的数量积和向量积是两个重要的概念。
本文将对向量的数量积和向量积进行定义和探讨，并介绍它们的性质。
一、向量的数量积的定义与性质向量的数量积又称点乘或内积，表示为“A·B”。
给定两个向量A和B，如果A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
数量积的计算结果是一个标量。
数量积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为标量4. 数量积与向量的夹角：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角通过数量积，我们可以计算出向量的模、角度以及判断向量的正交性等。
二、向量积的定义与性质向量积又称叉乘或外积，表示为“A×B”。
给定两个向量A和B，向量积A×B的方向是垂直于A和B所在平面上的，并符合右手法则。
向量积的计算结果是一个向量。
向量积的计算方法是：A×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积有以下几个性质：1. 交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为标量4. 零向量：如果向量A与B平行或其中一个为零向量，则A×B=05. 向量积与向量的夹角：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角向量积常用于计算平面或空间中的面积、体积以及判断向量的平行性和垂直性等。
向量积 推导
向量积推导向量积是向量运算中的一种重要形式，也称为叉积或矢积。
它可以用来求解向量间的夹角、平面面积和平行四边形的体积等问题。
本文将从向量的定义、性质和几何意义等方面来推导向量积的公式及其应用。
一、向量的定义和性质向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量的大小称为模长，用绝对值表示，即|a|。
向量的方向可以用角度表示，也可以直接用箭头指向的方向表示。
向量的加减法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来形成一个平行四边形，其对角线则为两个向量的和向量。
向量的性质包括可加性、可减性、数乘性、分配律、结合律、交换律和单位向量等。
其中，可加性和可减性指的是向量的加减法满足交换律、结合律和分配律；数乘性指的是向量与标量的乘积仍是向量，并且满足分配律和结合律；分配律指的是向量的加法和数乘法可以相互分配；结合律指的是向量的加法和数乘法可以按任意顺序结合；交换律指的是向量的加法和数乘法可以交换顺序；单位向量指的是模长为1的向量，用符号e表示。
二、向量积的定义和性质向量积是两个向量的叉积，用符号a×b表示。
它的定义为：两个向量a和b的向量积a×b是一个向量，其模长为|a||b|sinθ，其中θ为a和b的夹角，方向垂直于a和b所在的平面，且遵循右手法则。
具体来说，右手法则是指将右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向，那么向量积的方向就是由拇指所指的方向。
向量积的性质包括反对称性、分配律、结合律和数乘性。
其中，反对称性指的是a×b和b×a的方向相反；分配律指的是a×(b+c)=a ×b+a×c；结合律指的是(a×b)×c=a×(b×c)；数乘性指的是(kb)×a=k(b×a)，其中k为标量。
三、向量积的几何意义向量积的几何意义主要包括求解平面面积和平行四边形的体积。
对于平面面积，可以将两个向量a和b的起点放在同一点上，然后将它们的末端连接起来，形成一个平行四边形。
向量积知识点总结
向量积知识点总结一、向量积的定义向量积，又称叉乘或矢积，是向量代数中的一种运算。
它是两个向量的运算，结果是一个向量。
设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
向量积的定义如下：给定三维空间中的两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的向量积a×b定义为一个新的向量c=(c1,c2,c3)，其中：c1 = a2*b3 - a3*b2c2 = a3*b1 - a1*b3c3 = a1*b2 - a2*b1二、向量积的性质1. 非交换性：向量积是非交换的，即a×b≠b×a。
这是因为向量积的计算结果是一个新的向量，其方向和大小均由两个原始向量确定，因此次序对结果会产生影响。
2. 分配律：向量积满足分配律，即a×(b+c) = a×b + a×c。
这意味着向量积可以与向量的线性运算相结合。
3. 结合律：向量积并不满足结合律，即(a×b)×c≠a×(b×c)。
这是由于向量积的定义决定了它不满足结合律。
4. 零向量：当两个向量平行或共线时，它们的向量积为零向量，即a×b=0。
这是因为此时两个向量确定的平行四边形的面积为零。
5. 垂直性：两个向量的向量积的方向垂直于这两个向量确定的平面。
这也是向量积作为矢量乘积的一个重要性质。
6. 模长关系：两个向量的向量积的模长满足|a×b| = |a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b之间的夹角。
以上是向量积的一些基本性质，这些性质为我们理解和应用向量积提供了重要的依据。
三、向量积的计算向量积的计算可以通过行列式的形式来进行。
具体来说，设有两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的向量积a×b可以表示为一个行列式：a×b = | i j k || a1 a2 a3 || b1 b2 b3 |其中，i、j、k分别表示坐标轴的单位向量，|·|表示行列式，a1、a2、a3、b1、b2、b3分别为向量a和b的分量。
强化向量与向量积的运算及性质的应用问题的解答与证明
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应用：向量数乘的运 算性质在解决向量与 向量积的证明问题中 具有广泛应用，例如 在解决向量的线性组 合、向量的模长和向 量的投影等问题时都 需要用到向量数乘的 运算性质。
向量的模的性质：向量的大小或长度 向量的模的性质证明方法：通过向量的定义和性质进行证明 向量的模的性质的应用：在物理、工程等领域中都有广泛应用
向量垂直的性质：两个向量垂 直时，它们的方向垂直，且它 们的模长相等。
向量垂直的判定：如果两个向 量的点积为0，则它们垂直。
向量垂直的应用：在物理、工 程等领域中，向量垂直的性质 常常被用来解决实际问题。
向量与向量积的应 用问题解答
向量在解决几何 图形问题中的应 用，如力的合成 与分解、速度和 加速度的研究等。
定义：向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法 的规则进行计算
几何意义：向量减法可以理解为将一个向量沿着相反方向平移，其结果是一个新的向量
性质：向量减法满足交换律和结合律，即a-b=b-a和(a-b)-c=a-(b-c)
运算律：向量减法满足分配律，即a-(b+c)=(a-b)+c
定义：数乘运算是一种线性变换，将向量与标量相乘，得到新的向量。 性质：数乘运算满足结合律和交换律，但不满足消去律。 几何意义：数乘运算可以改变向量的长度和方向，当数乘的标量为负数时，方向也会发生改变。 应用：数乘运算在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如力矩、速度和加速度的计算等。
向量与向量积的性 质
向量在代数中的 线性组合和线性 变换
向量在代数中的 模长和夹角计算
向量与向量积的证 明问题
添加 标题
向量加法的交换律证明：根据向量的定义 和性质，可以证明向量加法满足交换律， 即任意两个向量a和b，有a+b=b+a。
向量积分配律的证明(精选多篇)
向量积分配律的证明(精选多篇)第一篇：向量积分配律的证明向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a×b=|a|·|b|·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c 的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。
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向量积的分配律证明（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a)()a。
2）分配律：()a a，(a b)a b。
（2）向量的数量积运算法则：1）a b b a。
2）(a)b(a b)a b a(b)。
3）(a b)c a c b c。
（3）平面向量的基本定理。
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数1,2，满足a1e12e2。
（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a b|a||b|cos，数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a+b＝(x1x2,y1y2)。
2）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a-b＝(x1x2,y1y2)。
3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB OB OA(x2x1,y2y1)。
4）设a＝(x,y),R，则a＝(x,y)。
5）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a b＝(x1x2y1y2)。
（6）两向量的夹角公式：cos（a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)）。
（7）平面两点间的距离公式：。
dA,B＝|AB|（A(x1,y1)，B(x2,y2)）（8）向量的平行与垂直：设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且b0，则有：1）a||b b＝a x1y2x2y10。
2）a b（a0）a·b＝0x1x2y1y20。
（9）线段的定比分公式：P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P，，是线段的分点，是实数，且PP PP2，则111222121x yx1x2OPOP211）。
(1t)OP OP1OP tOP12（t1y1y211（10）三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC 的重心的坐标为G(x1x2x3y1y2y3,)。
33（11）平移公式：x x h x x hOP OP PP。
y y ky y k（12）关于向量平移的结论。
1）点P(x,y)按向量a＝(h,k)平移后得到点P(x h,y k)。
2）函数y f(x)的图像C按向量a＝(h,k)平移后得到图像C:y f(x h)k。
3）图像C按向量a＝(h,k)平移后得到图像C:y f(x)，则C为y f(x h)k。
4）曲线C:f(x,y)0按向量a＝(h,k)平移后得到图像C:f(x h,y k)0。
设a=（x，y），b=(x，y)。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：{向量积的分配律证明}.交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
[1]2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x,y)则a-b=(x-x,y-y).如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>;0时，λa与a同方向当λ0时，λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ>;1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>;0）或反方向（λ0）上伸长为原来的∣λ∣倍当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>;0）或××反方向（λ0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律{向量积的分配律证明}.结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
[2]4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b/|a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a ∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y。
向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。
若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b垂直，则a×b=0。
篇二:《2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式》张喜林制{向量积的分配律证明}.2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律：(1)交换律：(2)分配律：(3)数乘向量结合律：2．常用结论：(1)(a b)2(2)(a b)2(3)(a b)(a b)3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(a1,a2),b(b1,b2),则a b4．设a(a1,a2),b(b1,b2).如果a b,则如果a1b1a2b20,则对于任意实数k，向量k(b2,b1)与向量(b1,b2)垂直．5．向量a(a1,a2),b(b1,b2),则|a|cos a,b6．若A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),所以||要点核心解读1．向量数量积的运算律(1)a b b a（交换律）；(2)(a)b(a b)a(b)（结合律）；(3)(a b)c a c b c（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明(1)a b b a（交换律）证明：a b|a||b|cos a,b|b||a|cos b,a b a,a b b a.(2)(a b)(a)b a(b)（结合律）证明：①(a b)|a||b|cos a,b.②(a)b|a||b|cos a,b.当0时，a与a同向，a,b(a,b),(a)b|a||b|cos a,b.当0时，(a)b(0a)b0b0,|a||b|cos a,b0,(a)b|a||b|cos a,b.当0时,a与b反向，(a,b a,b),(a)b()|a||b|cos[a,b]|a||b|[cos a,b]|a||b|cos a,b.综合以上可得(a)b|a||b|cos a,b.③由②同理可证得：a(b)|a||b|cos a,b.综合以上可得：(a b)(a)b a(b)|a||b|.cos a,b.(3)(a b)c a c b c（分配律）证明：作轴L与向量c的单位向量c0平行．{向量积的分配律证明}. 如图2-3-2-1，作a,b,则a b.//设点0、A、B在轴L上的射影为O、A、B,跟据向量的数量积的定义有OA/c0a c0,A/B/c0b c0,OB/c0(a b)c0,但对轴上任意三点O、A/、B/,都有OB/0A/A/B/,即(a b)c0a c0b c0,上式两边同乘以|c|,由|c|c0c得：(a b)c a c b c.{向量积的分配律证明}.∴得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．a b b a.(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有(a)b(a b).(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律(a1a2)b a1b a2 b.(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，a.(b c)(a b)C是错误的，这是因为a b与b c都是数量，所以a(b c)与(a b)c分别表示a的共线向量和c的共线向量，当然就不能相等．(5)由(a b)(c d)a c a d b c b d,可得向量的三个运算公式：(a b)(a b)|a|2|b|2,(a b)2|a|22a b|b|2,(a b)2|a|22a b|b|2.4．向量内积的坐标运算建立正交基底{e1,e2}.已知a(a1,a2),b(b1,b2)，则a b(a1e1a2e2)(b1e1b2e2)a1b1e1e1a1b2e1.e2a2b1 e2.e1a2b2e2e2因为e1e1e2e21,e1e2e2e10,所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设a(a1,a2),b(b1,b2),则a b a1b1a2b20.6．向量的长度、距离和夹角公式2(1)如图2-3-2-2，已知a（a1,a2),则|a|2a a(a1,a2)(a1,a2)a12a2.因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1),从而{向量积的分配律证明}.②的长就是A、B两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设a(a1,a2),b(b1,b2),则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),则a b x1x2y1y20.利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知：a(cos,sin),b(cos,sin)0),则a b与a b是否互相垂直？并说明理由．解：由已知a(cos,sin),b(cos,sin),有a b(cos cos,sin sin),a b(cos cos,sin sin),又(a b).a b)(cos cos)(cos cos)(sin sin).(sin sin)cos2cos2sin2sin20.所以(a b)(a b).(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a与b的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判向量积的分配律证明断两个向量平行的坐标条件相区别：a b x1x2y1y20;a//b x1y2x2y10.8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a，b为非零向量，如果a b0,那么a，b的夹角为锐角或a，b 同向，反之也成立；如果a b0,那么a，b的夹角为钝角或a，b反向，反之也成立，典例分类剖析考点1判断向量运算的正误[例1]给出下列命题：①设a、b、c是非零向量，则(a b)c与c共线；②若a b R,且④若a c b.c,则a b;⑤若a与b 共线，则a b|a|.0),则a b;③a b0与a⊥b是等价命题；|b|;⑥若a b0.则(a,b)是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析]向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a×b是一个实数，不妨记作，故(a b)c.C c//c,所以①正确．内容仅供参考。