【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修2第一章1.1-1.1.1

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高中数学必修二：第1章1.1第1课时(人教A版必修2)Word版含答案

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱 (倾斜时固定不动的棱 )平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
解析：如图，取正方形 ABCD 的中心 O，连接 VO、AO，则 VO 就是正四棱锥 V-ABCD 的高．
因为底面面积为 16，所以 AO＝2 2. 因为侧棱的长为 2 11. 所以 VO＝ VA2- AO2＝ 44－8＝6. 所以正四棱锥 V-ABCD 的高为 6. 答案： 6 4．(选做题 )如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
6．下列关于棱柱的说法正确的是 ________． ①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②棱柱的侧棱长相等；③棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．答案： ①②
7．已知三棱锥的底面是边长为 a 的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为 ________．
解析：底面积为 43a2，
形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的
几何体一定是棱台．
其中正确的说法的序号有 ( )
A．0 个
B．1 个
C． 2 个
D．3 个
解析：选 C.①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，
故一定不是棱台； ② 正确，如图所示； ③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．故选 C.
由题意知

人教A版高中数学必修二长白山一高学第一章同步检测(1)(1)

1-2-3同步检测一、选择题1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0B．1C．2D．32．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()4．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A．16 B．64C．16或64 D．无法确定6．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形8．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按00的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4cm,1cm, 2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm9．已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.32a2 B.34a2C.64a2 D.6a210．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2cm B．3cmC．2.5cm D．5cm11．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．12．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是()二、填空题13．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________，点M′的找法是________．14．如下图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．15．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．三、解答题16．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．17．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．18．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．详解答案1[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．2[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．3[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．4[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．5[答案] D6[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.7[答案] C8[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.9[答案] C[解析]S△A′B′C′＝12·2a·3a·24＝64a2.10[答案] D[解析]圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5cm，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5cm.11[解析]12[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.13[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.14[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝ 90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.15[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高为8，∴面积S ＝12×4×8＝16.16[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.17[解] 如图．18[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．。

人教A版必修2第一章1.1.1-1.1.2课件

B' A'
O'
轴
B
A
O
(1)有两个面互相平行，(2) 其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
棱柱的底面：两个互相平行的面.简称底. 棱柱的侧面：其余各面. 棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边. 棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点.
底面
侧棱
侧面
底面
顶点
棱柱的分类：按底面多边形的边数来分棱柱的表示：用表示底面各顶点的字母表示棱柱ABC- A'B'C'
C'
A' C A B A B'
A'
D' B'
E'
C' A'
D' C' B' D C B
D
三棱柱
四棱柱
B
C
E
A
五棱柱
(1)有一个面是多边形，(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
（13）
（14）
（15）
（16）
由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体．
D' A
'
顶点
C'
B
'
面
C
棱
D
围成多面体的各个多边形叫多面体的面，相邻两个面的公共边叫多面体的棱，棱与棱的公共点叫多面体的顶点．
A
B
（3）
（4）
（6）
（8）
（10）
（11）
（12）
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体．这条定直线叫旋转体的轴．

人教A版高中数学必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构习题

1.1空间几何体的结构一．判断正误（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（）（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；（对）（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（）（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．（对）（5）棱垂直于底面的棱柱是直棱柱（对）（6）底面是正多边形的棱柱是正棱柱（7）棱柱的侧面都是平行四边形．（对）（8）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱（9）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（10）由五个面围成的多面体一定是四棱锥（11）棱台各侧棱的延长线交于一点（对）（12）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；（13）存在每个面都是直角三角形的四面体；（对）（14）棱台的侧棱延长后交于一点．（对）（15）棱柱的侧面可以是三角形（16）正方体和长方体都是特殊的四棱柱（对）（17）棱柱的各条棱都相等（18）所有的几何体的表面都展成平面图形（19）有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；（20）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；（21）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（22）侧面都是长方形的棱柱叫长方体．（23）多面体至少有四个面（对）（24）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（25）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；（26）一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．（对）（27）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱（对）（28）直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；（29）以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；（30）一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．（31）两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台（对）（32）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．（写出所以正确说法的序号）【答案】①③（33）若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D二．多面体和旋转体表面上的最短距离问题1.已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】2.如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC 1=，P 是BC 1上一动点，则A 1P+PC 的最小值是．【答案】3.如图：已知正三棱锥P ﹣ABC ，侧棱PA ，PB ，PC 的长为2，且∠APB=30°，E ，F 分别是侧棱PC ，PA 上的动点，则△BEF 的周长的最小值为（）【答案】C ．224.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的面积为______。

高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征组合体展开图截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥或者棱锥．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母表示．O下列命题中，正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形是梯形，可知，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（）A．个 B．个 C．个 D．个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有，其中为球的半径，为截面圆的半径，为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过，，三点作一个平面，再过，，作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体中过点，，的截面形状是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则解：四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教A版高中数学必修二长白山一高学第一章同步检测(1)

1-1-2同步检测一、选择题1．给出下列几种说法：①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；②连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；③圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．32．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心4．如下图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体5．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面7．(2011－2012·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)二、填空题9．(1)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(2)图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．(3)图③中的几何体叫做________，SB为叫它的________．(4)图④中的几何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA′O′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．10．等腰三角形绕底边上的高旋转180°，所得几何体是________．11．圆锥的高与底面半径相等，母线等于52，则底面半径等于________．12．如图所示的四个几何体中，是圆柱的为________；是圆锥的为________．三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．简单几何体组成的．[分析]由平面图形可以看出，该平面图形旋转后形成的几何体是组合体，可对所给平面图形进行适当的分割，再进行空间想象．17．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析]过圆台的轴作截面，通过解截面等腰梯形来解决．18．圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．详解答案1[答案] C[解析]①③正确，②不正确．2[答案] D3[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4[答案] B[解析]选B.圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5[答案] D6[答案] D7[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8[答案] D[解析]圆锥的除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．9[答案](1)球球心半径直径(2)圆柱母线底面(3)圆锥母线(4)圆台母线上底面下底面垂直于两底的腰OO′10[答案]圆锥[解析]等腰三角形底边上的高是该旋转体的轴，绕此轴旋转180°，形成圆锥，等腰三角形的底边是此圆锥的底面直径，等腰三角形底边上的高是圆锥的高．11[答案] 5[解析]如图所示，圆锥SO的高为h，底面半径为r，母线为l，则h＝r，l＝52，又l2＝h2＋r2，则l2＝2r2，即(52)2＝2r2，解得r＝5.12[答案]③②[解析]①中AA′与圆面不垂直，则①不是圆柱，也不是圆锥；②中SO垂直于圆面，可看成由直角三角形SOA绕直线SO旋转一周形成的，是圆锥；③中，OO′垂直于两个平行圆面，可看成矩形OBB′O′绕直线OO′旋转一周形成的，是圆柱；④中，SO与圆面不垂直，不是圆锥，也不是圆柱．13[解]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14[解](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16[解析] 如图(2)所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图(3)所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱，两个圆台拼接而成的．17[解析] (1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.∴AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)，即圆台的高为315 cm.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，∴l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.18[解析] ∵OA ＝1，PO ＝22，∴PA ＝3，∴∠APA ′＝13×360°＝120°，作PD⊥AA′，则∠APD＝60°∴AA′＝2AD＝2×3×sin60°＝33，∴最短绳长为3 3.[点评]一般地，多面体或旋转体绕侧面或表面最短距离的问题，除球外，基本都是通过展开图来解决，关键是找准剪开的线，准确用展开图中的某条线段来表示这个最短距离，另外这里的所谓最短距离，实质是沿多面体或旋转体侧(表)面的最短路径，请思考下题：。

人教版高中数学必修2第一章1.1空间几何体的结构 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

归纳小结
空间几何体的定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑
其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
空间几何体的分类：
1.多面体：由若干平面多边形围成的几何体。 2.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所成的封闭几何体。
2、5、7、9到底有哪些特征？
棱锥的顶点棱锥的侧棱
棱锥的侧面
棱锥的底面
3. 棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形
……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫做四面体.
4. 棱锥的表示
用顶点和底面各顶点的字母来表示
如：棱锥S-ABCD
S
D
C
A
B
问题：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？.
2. 棱台的有关概念
上底面下底面
顶点侧面侧棱
3.棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
4.棱台的表示
D1 A1
用表示上、下底面
D
顶点的字母来表示 A
如：棱台ABCD-A1B1C1D1
C1 B1
C
B
练习：下列几何体是不是棱台,为什么?
(1)
(2)
三、棱台 1、棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱
锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
三、棱台 1、棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
特征1：由棱锥截得（侧面是梯形,侧棱的延长线相交于一点）
特征2：截面和底面平行（两底面是对应边互相
平行的相似多边形）

人教A版高中数学必修二长白山一高学第一章同步检测、

1-2-1、2同步检测一、选择题1．对几何体的三视图，下列说法正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的高和宽D．正视图反映物体的高和宽2．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱3．(2011－2012·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4.一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．四棱柱和圆锥D．正方体和球5．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台6．(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为()7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()10．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台二、填空题11．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．12．(2011·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．13．(2011－2012·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题14．如图所示是一个四棱柱铁块，画出它的三视图．15．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．16．说出下列三视图表示的几何体：17．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．详解答案1[答案] C2[答案] C3[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．[解析]由正视图和侧视图可知，该几何体的上部可能为棱锥或圆锥，下部可能为棱柱和圆柱，结合俯视图为圆和圆心及正方形知，上部是圆锥，下部是四棱柱．5[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．6[答案] C[解析]由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左向右看时在观察者右侧，故俯视图为C.7[答案] B8[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．9[答案] A[解析]N点投影为AD中点，M点投影为AA1中点，故选A.10[答案] B[解析]由正视图与侧视图知，该几何体为棱锥，由俯视图知，该几何体是四棱锥．11[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．12[答案]①②③④13[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．14[答案]正视图、俯视图、侧视图分别如图所示．15[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：16[解析]17[答案]所对应的空间几何体的图形为：。

人教A版必修二高中数学第一章 1.2.1-1.2.2同步课堂导学案【含详细解析】

1.2空间几何体的三视图和直观图1．2.1中心投影与平行投影1．2.2空间几何体的三视图[学习目标] 1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．[知识链接]1．棱柱的结构特征(1)上下底面平行．(2)侧面是平行四边形．(3)侧棱相互平行．2．棱锥的结构特征(1)底面是多边形．(2)侧面是共顶点的三角形．3．棱台的结构特征(1)上下底面平行．(2)侧面是梯形．(3)侧棱延长线相交于一点．4．圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．[预习导引]1．投影(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．(2)投影的分类(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．三视图(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影．(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．要点一中心投影与平行投影例1下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．规律方法判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．跟踪演练1下列命题中，正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点答案D解析平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确．两条相交直线的投影不可能平行，即C不正确．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．故选D.要点二画空间几何体的三视图例2画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)解正四棱锥的三视图如图所示：圆台的三视图如图所示：规律方法画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．跟踪演练2如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．解物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图．要点三由三视图还原空间几何体例3根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．解图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：规律方法由三视图还原空间几何体的步骤：跟踪演练3若将例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图．解由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如图：1．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形答案C解析对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案B解析如图，几何体为三棱柱．3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案D解析不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.4．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．答案②⑤解析线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．5．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为()A．83B．43C．23D．16答案A解析由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以侧视图的面积为4×23＝8 3.故选A.1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力．一、基础达标1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台答案D解析先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.2．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是()A．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱B．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱D．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱答案A解析由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案D解析①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D.4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()答案D解析由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.5．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台答案B6．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．答案24解析三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4. 7．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解三视图如图所示．二、能力提升8．用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的()答案B9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案C解析正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.10．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．答案7解析小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．11．已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．解由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．三、探究与创新12．如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图．解从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑．(1)是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示．(2)是一个三角形，可能是棱锥的俯视图、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示．(3)是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，其直观图如下图中③所示．13．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？解(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修2第一章1.1-1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A 中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )解析：截面图形应为图C 所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第一章1.2-1.2.1函数的概念

第一章集合 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念A 级基础巩固一、选择题 1．若f (x )＝2xx 2＋2，则f (1)的值为( ) A.13 B ．－13 C.23 D ．－23 解析：f (1)＝2×112＋2＝23.答案：C2．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，则集合A 不可能是( )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ．{－1，0}解析：由函数的定义可知，x ＝0时，集合B 中没有元素与之对应，所以，集合A 不可能是{－1，0}．答案：D3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f (1)存在且唯一．答案：B4．下列四组函数中相等的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x解析：A项，因为f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(x)2(x≥0)两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等；B项，因为f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，所以两个函数不相等；易知C正确；D项，f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等．故选C.答案：C5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()解析：A中值域不是N，B中当x＝1时，N中无元素与之对应，易知C满足题意，D不满足唯一性．答案：C二、填空题6．集合{x|－1≤x<0或2<x≤5}用区间表示为________．解析：结合区间的定义知，用区间表示为[－1，0)∪(2，5]．答案：[－1，0)∪(2，5]7．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，则g(f(2))＝________．解析：因为f(2)＝2×22＋2＝10，所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.答案：1128．函数y ＝x ＋2－3x 2－x －6的定义域是___________________．解析：要使函数有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，即x >－2且x ≠3.所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞)．答案：(－2，3)∪(3，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝3x 2＋5x －2. (1)求f (3)，f (a ＋1)的值； (2)若f (a )＝－4，求a 的值．解：(1)易知f (3)＝3×32＋5×3－2＝40， f (a ＋1)＝3(a ＋1)2＋5(a ＋1)－2＝3a 2＋11a ＋6. (2)因为f (a )＝3a 2＋5a －2，且f (a )＝－4，所以3a 2＋5a －2＝－4，所以3a 2＋5a ＋2＝0，解得a ＝－1或a ＝－23.10．求下列函数的值域． (1)y ＝x －1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.解：(1)因为x ≥0，所以x －1≥－1. 所以y ＝x －1的值域为[－1，＋∞)．(2)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①)，可得函数的值域为[2，6)．图①(3)y ＝2x ＋1x －3＝2（x －3）＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②)，可得原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.图② B 级能力提升1．函数y ＝x －1＋3的定义域和值域分别为( ) A ．[0，＋∞)、[3，＋∞) B ．[1，＋∞)、[3，＋∞) C ．[0，＋∞)、(3，＋∞) D ．[1，＋∞)、(3，＋∞)解析：由于x －1≥0，得x ≥1，所以函数y ＝x －1＋3的定义域为[1，＋∞)；又因为x －1≥0，所以y ＝x －1＋3≥3，所以值域为[3，＋∞)．答案：B2．若f (x )＝ax 2－2，a 为正实数，且f (f (2))＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a ·(2a －2)2－2＝－2，所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正实数，所以2a －2＝0，所以a ＝22.答案：223．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值；(2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值．(1)解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝（－2）21＋（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1. f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝521＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1521＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1.(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1.。

高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.1.2 课时作业(含答案)

1.1.2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由() A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱)9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B13．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x．因为△V A1C1∽△VMN，解得2x2r ＝h－xh，所以2hx＝2rh－2rx，解得x＝2rh2r＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h．。

高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数解析：根据平均变化率的概念知，选A.答案：A2．函数f (x )在x 0处可导，则li m h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( ) A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关解析：由导数的概念可知，li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＝ f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.答案：B3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则li m Δx →0Δy Δx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2 解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2.∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx＝2＋Δx . ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 (2＋Δx )＝2.故选A. 答案：A4．若f ′(x 0)＝－3，则li m h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝( ) A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12解析：由题意可得：li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋li m h →0 f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)＝－6.答案：B5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线解析：当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.答案：D6．已知一次函数y ＝kx ＋b ，则其在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝f (n )－f (m )n －m ＝kn ＋b －km －bn －m ＝k ，∴函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为k .答案：k7．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt ＝7Δt ＋14t ，当li m Δt →0 (7Δt ＋14t )＝1时，t ＝114.答案：1148．若f ′(x 0)＝－3，则li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－3h )h ＝________.解析：∵f ′(x 0)＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＝－3.∴li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－3h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3h )h＝li m h →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋3·f (x 0－3h )－f (x0)－3h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋3·li m h →0 f (x 0－3h )－f (x 0)－3h＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12.答案：－129．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (6＋3Δx )＝6. 10．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，求a 的值．解析：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝a (x ＋Δx )3＋3(x ＋Δx )2＋2－(ax 3＋3x 2＋2)＝3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋a (Δx )3＋6x Δx ＋3(Δx )2，所以Δy Δx＝3ax 2＋3ax Δx ＋a (Δx )2＋6x ＋3Δx ，所以Δx →0时，Δy Δx→3ax 2＋6x ，即f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103. [B 组能力提升]1．已知点P (2,8)是曲线y ＝2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：Δy ＝2(2＋Δx )2－2×22＝8Δx ＋2(Δx )2，Δy Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于常数8. 答案：D2．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定解析：因为k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定．答案：D3．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________．解析：Δv ＝a 3－1，∴Δv Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21， ∴a 2＋a －20＝0，∴a ＝4或a ＝－5(舍去)．答案：44．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．解析：li m x →32x －3f (x )x －3＝ li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3＝li m x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3由于f (3)＝2，上式可化为li m x →32(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8. 答案：85．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．解析：(1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝li m Δt →0 120(5＋Δt )＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示T ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解析：山路从A到B高度的平均变化率为h AB＝ΔyΔx＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为h BC＝ΔyΔx＝15－1070－50＝14，∵h BC＞h AB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭．。

新人教高一数学必修2同步练习与单元测试第一章1.1第1课时

第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是( ) A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是( ) A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是( )10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D 10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例。

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第一章空间几何体复习疑难规律方法 Word版含答案

1学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B －A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2三视图易错点剖析1．棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图．实际上，在上述几何体的三视图中，侧视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图．如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的正视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故正视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故侧视图为三角形PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC)．如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的正视图和侧视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD)．对于此三视图，侧视图和正视图易出错，但有了高线PO 的衬托，便可降低出错率．2．画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．例1画出如图所示零件的三视图．错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示．剖析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线．正解3．不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性．例2如图，通过三视图还原物体的直观图．解通过三视图可以画出直观图，如图所示：注其中PC为垂直于底面ABCD的直线．变式训练由下面的三视图还原物体的直观图．解通过三视图可以看出直观图如图所示：3直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略． 1．原图形到直观图的转化例1已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为() A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2分析先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB 所在直线为x 轴，以AB 边上的高所在直线为y 轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解．解析根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2.答案D评注通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为24∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位． 2．直观图到原图形的转化例2一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解方法一如图(1)是四边形的直观图，取B ′C ′所在直线为x ′轴．因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′所在直线为y ′轴．过点D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2. 过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的原平面图形．四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋2.方法二四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S ′＝(1＋1＋2)×222＝2＋12. 所以原四边形的面积为2＋1224＝2×(2＋1)＝2＋2.点评(1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用．(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图形＝24.4柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用． 1．锥体的表面积例1正三棱锥的底面边长为4cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．分析本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解如图所示，过S 点作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连接AO 并延长与BC 相交于D 点．由正三角形的性质得D 为BC 的中点，连接SD ，则SD 为正三棱锥的斜高．在Rt △ASO 中，∠ASO ＝45°， AO ＝33×4＝433(cm)，∴SO ＝AO ＝433(cm)．在Rt △SOD 中，OD ＝36×4＝233(cm)，故SD ＝SO2＋OD2＝163＋43＝203＝2153(cm)．令SD ＝h ′，根据正三棱锥的侧面积公式： S 侧＝12×3×4×2153＝415(cm 2)，又△ABC 的面积为43cm 2，故正三棱锥的表面积为(415＋43) cm 2.评注有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决． 2．柱体的表面积例2如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其底面是等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝2，AC ＝A 1A ＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解(1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为12×2×2＝1，三个侧面面积和为2×(2＋2＋2)＝4(2＋1)，故其表面积S ＝6＋42.(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S 1，则组合后的直棱柱的表面积为2S －2S 1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA 1C 1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S －2S 四边形AA 1C 1C ＝4＋82.评注本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较． 3．台体的表面积例3已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm 和20cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解如图所示，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，O ，O 1分别为两底面中心，D ，D 1分别为BC 和B 1C 1中点，则DD 1为棱台的斜高．∵A 1B 1＝20cm ，AB ＝30cm ，则OD ＝53cm ，O 1D 1＝1033cm ，由S 侧＝S 上＋S 下，得 12(20＋30)×3×DD 1＝34(202＋302)，∴DD 1＝1333cm.∴棱台的斜高为1333cm.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD21－(OD －O 1D 1)2＝43(cm)．∴棱台的高为43cm.评注本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形．5空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1已知圆锥的表面积为15πcm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析根据锥体的体积公式V ＝13Sh ，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝157，l ＝6r ＝6157.所以h ＝l2－r2＝(6r )2－r 2＝35r2＝35r ＝35×157＝53.所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥体积为2537πcm 3.评注直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析如图，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可．解设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S＝4S .所以1三棱锥－A ABCV ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， 111三棱锥－C A B C V ＝13111A B C S ·h ＝43Sh .又111三棱台－ABC A B C V ＝73Sh ，所以111111111三棱锥－三棱台－三棱锥－三棱锥－＝－－B A B C ABC A B C A ABC C A B C V V V V ＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . 所以111111三棱锥－三棱锥－三棱锥－∶∶A ABC B A B C C A B C V V V ＝1∶2∶4.评注三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5cm 2，1cm 2,3cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．解设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC ＝13×12×1×3×2＝1(cm 3)．6三视图求解空间几何体的表面积和体积攻略空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图，二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．例1已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)则该几何体的体积V ＝________. (2)则该几何体的侧面积S ＝________.解析由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为8、宽为6的矩形，正侧面及其相对的侧面均为底边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对的侧面的底边上的高h 1＝42＋32＝5，左、右侧面的底边上的高h 2＝42＋42＝42.故几何体的侧面面积S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋242.答案(1)64(2)40＋242例2某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A ．28＋65B ．30＋65C ．56＋125D ．60＋125解析由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示． S △ACD ＝12×AC ×DM ＝12×5×4＝10.S △ABC ＝12×AC ×BC ＝12×5×4＝10.在△CMB 中，∠C ＝90°，∴BM ＝5. ∵DM ⊥平面ABC ，∴∠DMB ＝90°， ∴DB ＝42＋52＝41，∴△BCD 为直角三角形，∠DCB ＝90°，∴S △BCD ＝12×5×4＝10.在△ABD 中，如图(2)，S △ABD ＝12×25×6＝65，∴S 表＝10＋10＋10＋65＝30＋65.答案B7巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．解题流程正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.例2如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M，N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N点，求其最短长度．解题流程圆柱→沿一条母线将侧面展开→长方形解如图所示，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为(2π×1)2＋22＝4π2＋4＝2π2＋1.例3已知圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．解题流程圆锥→沿一条母线将侧面展开→扇形解圆锥沿PA将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA ＝1，PO ＝22，∴PA ＝3，∴∠APA ′＝2π2π·3×360°＝120°.作PD ⊥AA ′，则∠APD ＝60°. ∴AA ′＝2AD ＝2×3×sin60°＝33，∴最短绳长为33.评注在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长，宽，高分别为3,2,1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为() A ．1＋3B ．2＋10C ．32D ．23解析求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1展开，则有AC 1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB 1A 1和侧面BCC 1B 1时的最短距离是26；如图(3)所示，将侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1展开，则有AC 1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB 1A 1和底面A 1B 1C 1D 1时的最短距离是32；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是25.由于32<25，32<26，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是32.答案C。

高中数学(人教版必修2)配套练习第一章1.1第2课时

第2课时旋转体与简单组合体的结构特征一、基础过关1．下列说法正确的是() A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线2．下列说法正确的是() A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．a是棱台B．b是圆台C．c是棱锥D．d不是棱柱5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.7. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是()①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．A．0 B．1 C．2 D．39．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12．如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB 的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．答案1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥6．解 (1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．7．解如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A 9.B 10.π6 11．解假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示．当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．12．解作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OP A 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由于扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为2π×10cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40 cm ，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧BB ′的长度20π为所在圆周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm. 小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。