第七章随机变量的数字特征

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概率论及数理统计随机变量的数字特征

X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
下面我们用计算机进行模拟试验.
1 101 32 0 23 0
输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算
M (n )0n 01n 12n 23n 3 nn n n
k阶绝对中E(心 |X矩 E(X)|k)
其中 k 是正整数.
例1.设X的分布列为 X
0
1
1
1
P
24
求E1 1 X
解：
23
11 88
E( 1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1X 210 411 812 813 67 96
例2. 设公共汽车起点站在每小时的10分，30分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客在车站等车的数学期望。
30
60 50
60
10
设(X, Y)是二维随机变量, Z=g( X, Y )，则
EZE[g(X,Y)]
i1
g(xi, yj)pij,
j1
(X,Y)离散型
g(x, y)f(x, y)dxd,y(X,Y)连续型
当( X, Y )是离散型时：分布列为 P ( X x i Y y j) p ij i , j 1 , 2 ,
X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
若设
Xi
1 0
如第i次试验成功i=1,2，…，n
如第i次试验失败
则 X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p
E(Xi)= 1p0(1p)= p n

概率论随机变量的特征

另: 随机变量函数 Y X 2的概率分布为：
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则

论随机变量与随机变量的数字特征

论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。

随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。

常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。

对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。

对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。

期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。

2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。

方差越大，
随机变量的取值波动越大。

方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。

3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。

标准差越大，随机变量的取值波动越大。

4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。

正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。

5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。

正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。

这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。

随机变量的数字特征

例若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差二、方差的性质三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx

随机变量的数字特征

x 1 1 2 b ab dx x a b-a b-a 2 2
例3 设随机变量X~E(λ),求EX.
e- x , x 0 解 X的概率密度函数 f ( x ) 0 ,x 0
- x 0 0
故,
EX xf ( x)dx xe dx ( x)d(e x )
例7 设(X,Y)的联合概率分布为
X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 X P 3 0 1/8 1 3 Y 0 1 2 3
求EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为所以 EX=3/2, EY=3/2,
3/4 1/4
P 1/8 3/8 3/8 1/8
据定理2 有
3 3 E ( XY ) (1 0) 0 (1 1) (1 2) (1 3) 0 8 8 1 1 9 (3 0) (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 8 4
则
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
(2) 若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
E[ g ( X,Y )]

g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例5 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 E (sin X ), E ( X 2 ), E ( X EX )2 解由定理1，有
八、方差的性质
数字特征的优越性(了解)：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征. 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征完全确定.

高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教

[典例 1] (1)随机变量 X 的分布列为
X －1 0 1
Pa
bc
若 a，b，c 成等差数列，E(X)＝13，则 D(X)＝
()
A.49
B.59
1
2
C.3
D.3
(2)两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱中，则 A 邮箱的信件数 ξ 的方差
D(ξ)＝________.
[解析]
a＋b＋c＝1，
(1)由题可得－a＋c＝13， 2b＝a＋c，
别为 D(X 甲)＝11，D(X 乙)＝3.4.由此可以估计
()
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：因为 D(X 甲)>D(X 乙)，
所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
答案：B
4．已知随机变量 ξ，D(ξ)＝19，则 ξ 的标准差为________．解析：ξ 的标准差 Dξ＝ 19＝13. 答案：13
[对点练清] 如图，左边为国外的著名数学家，右边为国籍，一位数学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得 1 分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分 X 的分布列及其数学期望、方差．
解：该学生连线的情况：连对 0 个，连对 1 个，连对 2 个，连对 4 个，故
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)． D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。

在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。

本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。

1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。

对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。

对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。

2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。

对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。

4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。

相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。

相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。

5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。

随机变量的数字特征

19
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连型续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望问题的提出： 1. 问题的提出：设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X )也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的一旦我们知道了g(X )的分布，定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多，因此乙的平均环数比甲的多，即乙射手比甲射手的成绩好。即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛，绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi

2.3随机变量的数字特征

E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O

1000 1000

x x
2组
O

随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1

O

X2
1000

Xn
x
E(X)=1000
1.定义若E(X),E(X2)存在，则称

其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为：房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1

随机变量的数字特征-高二数学同步精讲课件(人教B版2019选择性必修第二册)

[xi E( X )]2 pi. i 1
能够刻画 X 相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量 X 的方差.
8
9
10
0.4 0.2 0.4
设甲、乙两人每人都重复射击足够多次（设为n次)，
则甲所得环数可估计为 8，8，，8，9,9, ,9，10,10, ,10，
乙所得环数可估计为
0.2n个
8，8，，8，9,
0.6
9,
n个
,
9，10,100.2,n个
,10，
0.4n个
0.2n个
0.4n个
二、离散型随机变量的方差
一般地， D( X ) 称为离散型随机变量 X 的标准差，它也可以刻
画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小).
学生笔记
4.2.4随机变量的数字特征
2.离散型随机变量的方差
D( X ) [xn1 E( X )]2 p1 [x2 E( X )]2 p2 [xn E( X )]2 pn
知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体
检人是否患有该疾病相互独立，现有5位体检人的血液待检查，有以下两
种化验方案：方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体
检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，
则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
（1）哪种化验方案更好？方案甲中，化验的次数一定为5次.
因为X只能取1，0这两个值，而且P(X=1)=p，所以
E( X ) 1 p 0 (1 p) p
类似地，由离散型随机变量均值的定义，可以算出离散型随
机变量服从二项分布，超几何分布时的均值，即：
（1）若X服从参数为n , p 的二项分布，即X ~ B(n, p) ，则

2.2随机变量的数字特征

数学期望也称为均值。
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二、随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， g X , 则 Y Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y g x
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知Y g X ，要求随机变量Y 的分布．
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此时称Y 服从自由度为1的 2分布。
二、随机变量的函数的分布
例 6
设随机变量 X 的密度函数为 f X x ， X ，试 Y 求随机变量Y 的密度函数 f Y y ．
设随机变量X 的分布函数为FX y ，随机变量 Y 的分布函数为FY y
解：
FY y P y P X y Y
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y }
y y
f X ( x)dx.
Y = (X-1)2
的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0，解得 X=1，所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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二、随机变量的函数的分布
例 2（续） Y=(X-1)2 同理,
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）

2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列章末知识梳理

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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式．
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，

《概率论与数理统计》课件第七章随机变量的数字特征

i 1,2, , 如果 xi pi ，则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67

(精品)概率论课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
数学期望方差协方差、相关系数其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
2
例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。

其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。

可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。

了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。

同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。

理学席第讲随机变量数字特征

若 g(xi , y j ) pij
i, j
期望存在，而且有
绝对收敛，则Z的数学
E(Z ) E[g( X,Y )] g(xi , y j ) pij
i, j
（2）设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 f (x, y), Z= g(X,Y)也是连续型随机变量
若
g( x, y) f ( x, y)dxdy
如果 xk pk 绝对收敛，则称它为X的数学期望 k 1
或均值，记为E(X), 即
E( X ) xk pk
k 1
若
xk pk 发散，则称X 的数学期望
k
不存在。
例2：已知X 的分布如下
X
100 200
P
0.01 0.99
求E(X) 解
E:( X ) 100 0.01 200 0.99
•
测量结•a•• •
甲仪器测量结果
•••• •a•• •••
乙仪器测量结果
••
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
• •
中•心 ••
•
•
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.
这个数字特征就是我们下面要介绍的方差
§4-2 方差
一. 方差的概念
定义设随机变量 X 的数学期望为 E(X), 若 E(XE(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称 X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即

随机变量的数字特征-方差

03
方差的性质
非负性
方差总是非负的，即Var(X) ≥ 0。
确定性
当随机变量取常数值时，方差为0。
线性性质
如果随机变量X的方差为Var(X)，则aX+b的方差为a²Var(X)。
方差的意义
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差在统计学中有着广泛的应用，如计算数据的离散程度、评估预测模型的精度等。
方差分析是统计学的分支之一，用于比较不同总体或样本的方差是否具有显著差异。
02
方差的计算
离差平方和的分解
实际值与期望值之差的平方的平均值。
所有这些平方差的加总。
每个随机变量与数学期望的差的平方。
01
03 02
方差的计算公式
方差计算公式为：$D(X) = E[(X EX)^2]$
其中，$E$表示数学期望，$X$表示随机变量，$EX$表示随机变量的数学期望。
03
标准差与方差的关系表明，标准差越小，随机变量的取值越集中；标准差越大，随机变量的取值越离散。
方差与偏态系数的关系
偏态系数是描述随机变量取值分布形态的数字特征，表示随机变量取值的对称性。
如果偏态系数大于0，表示随机变量取值右偏分布；如果偏态系数小于0，表示随机变量取值左偏分布。
方差与偏态系数之间存在一定的关系。对于具有相同方差的两个随机变量，偏态系数越大，表示随机变量的取值越离散；偏态系数越小，表示随机变量的取值越集中。
随机变量的数字特征-方差
目录
• 引言 • 方差的计算 • 方差与其他数字特征的关系 • 方差的应用场景 • 案例分析
01
引言

随机变量的数字特征及其应用

青岛大学学士学位论文随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用学院：数学与统计学院*名：**专业：信息与计算科学学号： ************指导教师：***职称：副教授随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用摘要：伴随着人类思想的进步与发展，实际问题的概率化思想已经深刻的融入在了生活的方方面面。

然而，在很多事件发生的可能性的层面上来说，其结果往往会呈现出不确定性，在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们将其称为随机现象。

把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，这种由随机变量的分布所确定的，能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。

本文对随机变量的几个重要的数字特征（包含数学期望、方差、协方差）进行了相应的研究。

在探究求每个不同的数字特征所各自代表的实际意义时，通过对其定义、产生背景、实际意义等方面进行逐一分析之后，配备了相应例题进行讲解分析，达到与生活实际融会贯通的目的。

最后，通过对数字特征的数学分析，可以浅谈它们各自在实际生活中的应用，已达到学以致用的目的。

关键词：随机变量；数字特征；期望；方差；协方差与相关系数Digital Characteristics (Expected, Variance, Covariance) of Random Variables and Their Applications Abstract:With the progress and development of human thought, the probabilistic thought of practical problems has been deeply integrated into all aspects of life. However, at the level of the likelihood of occurrence of many events, the results tend to show uncertainty, and in many times the results of repeated trials have statistical regularity, which we call random phenomena. The occurrence of each thing is abstracted as a random variable, so in some practical problems or theoretical problems in the people interested in some of the characteristics of a random variable can describe a constant, which is determined by the distribution of random variables , Constants that describe the characteristics of a particular aspect of a random variable are collectively referred to as a digital feature, which is important both in theory and in practical applications. In this paper, several important digital features (including mathematical expectation, variance, covariance) of random variables are studied. In the study of the actual meaning of each of the different digital features, through its definition, background, practical significance and other aspects of the analysis, with the corresponding examples to explain the analysis, to achieve the purpose of integration with the actual life. Finally, through the mathematical analysis of digital features, you can talk about their respective applications in real life, has reached the purpose of learning to use.Key words: Random variables; digital characteristics; expectation; variance; covariance and correlation coefficient目录摘要 (I)关键词 (I)英文摘要 ....................................................................................................................................... I I 英文关键词................................................................................................................................... I I 1引言 .. (1)2数学期望 (2)2.1数学期望的引入及定义 (2)2.2研究数学期望的重要性 (3)2.3数学期望的应用问题 (4)2.3.1数学期望在经济学中的应用 (4)2.3.2数学期望在体育比赛中的应用 (5)3 方差 (7)3.1方差的引入与定义 (7)3.2研究方差的重要性 (8)3.3 方差的应用问题 (9)4 协方差及相关系数 (10)4.1 协方差 (10)4.2 相关系数 (12)4.3 协方差与相关系数的应用 (13)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)1引言随着人类社会的进步、科学技术与经济的发展，实际问题的概率研究已经与人们的生活不可分割，已经成为人们生活中不可或缺的一部分。

第七章 随机变量的数字特征

概率论及数理统计随机变量的数字特征

概率论随机变量的特征

论随机变量与随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

2.3随机变量的数字特征

随机变量的数字特征-高二数学同步精讲课件(人教B版2019选择性必修第二册)

2.2随机变量的数字特征

2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理

《概率论与数理统计》课件 第七章 随机变量的数字特征

(精品)概率论课件：随机变量的数字特征

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