高一数学《2.3.3直线与圆的位置关系2》学案

合集下载

人教B版高中数学必修二2.3.3 直线与圆的位置关系教案

附：《直线与圆的位置关系学案》
问题1思考引例：一艘轮船正沿着南偏西300
的方向直线航行时，接到气象预报：就在此刻位于轮船的
正南方100m 处有个旋涡，它的影响范围是半径为20m 的圆形区域，问如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到旋涡的影响？（假设旋涡没有移动）
例1：试确定下列直线与圆的位置关系： (4) 直线m:x=2; 圆C:x 2+y 2=4; (5) 直线 m:x=-1; 圆C:x 2+y 2=4; (6) 直线m:y=4; 圆C:x 2+y 2=4.
例2：判断直线l ：C ：x 2+y 2=1的位置关系。

例3:已知直线l ：y=x+b 与圆C ：x 2+y 2=4，求当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
变式1：将圆C ：x 2+y 2=4，加条件0x ≥；
变式2：将圆C：x2+y2=4，加条件0
y ；
变式3：将变式2中的直线l改为y=b(x+4)；
变式4：将变式3中的直线l改为y=b(x+4)+4
例4：已知直线l：3x+y-6=0，与圆C：x2+y2-2y-4=0.
（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求出交点坐标。

（2）如果直线l与圆C相交，试求出弦长。

总结归纳：
直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的相交弦长公式：。

高中2.3.3直线与圆的位置关系导学案

课题：2.3.3直线与圆的位置关系学习目标：1.掌握直线与圆的位置关系及其判断方法2. 培养归纳推理能力和运算能力3. 养成良好的学习习惯重点：掌握直线与圆的位置关系及其判断方法难点：直线与圆的位置关系的判断：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。

2.完成教材助读设置的问题，3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一、知识回顾：1、点()0yxP，到直线0=++CByAxl：的距离：2、圆的标准方程：3、圆的一般方程：；圆心：；半径：二、知识探究：（1）直线与圆的位置关系有，，．（2）已知直线0=++CByAx与圆222)()(rbyax=-+-，据方程判断直线与圆的位我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．学始于疑---我思考、我收获学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二．质疑探究---质疑解疑、合作探究例题1用几何法判断直线直线x-y-2=0与圆（x-1）2+(y-1)2=1的位置关系。

规律方法步骤总结：例题2用代数法判断直线x+2y-1=1与圆圆（x-1）2+(y-1)2=1的位置关系。

规律方法步骤总结：例题3已知圆的方程是222r y x =+，求过圆上一点),(00y x M 的切线方程.规律方法步骤总结：三．当堂检测—有效训练、反馈矫正1．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为________． 2．过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长等于________．3．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值范围是__________．4．过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.5．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：(1)经过点P(3，1)；(2)经过点Q(3,0)；(3)斜率为－1.我的收获（反思静悟、体验成功）。

数学2.2.3直线与圆的位置关系教案北师大必修2

2.2.3直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法：设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学方法：学导式四、教学过程
五、教后反思：。

高中数学 2.3.3直线与圆的位置关系教案新人教B版必修2

高中数学 2.3.3直线与圆的位置关系教案新人教B版必修2学习目标:1、知识与技能目标：掌握直线与圆的位置关系的判断和应用。

2、过程与方法目标：（1）通过直线与圆的位置关系的探究与应用过程，体验数形结合、转化、函数、方程等数学思想来解决数学问题的方法，学会用代数方法解决几何问题的能力，感受坐标法在研究几何问题中的作用。

（2）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造历程，提高抽象概括，分析总结，数学表达等基本数学思维能力。

3、情感、态度与价值观目标：通过师生互动、生生互动的教学过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

重点和难点:重点：直线与圆的位置关系的判断和应用。

难点：通过方程组来研究直线与圆的位置关系，以及求圆的的切线方程时关于直线斜率的讨论。

教学过程1．情境引入以生活中常见的具体实例（月亮升起的过程）演示直线与圆的位置关系，并提出新的问题。

设计意图：让学生感受这个生活实例中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案．通过实例的引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义．2．引出课题——直线与圆的位置关系问题：通过动画的演示并提出问题，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何定义？师生活动：引导学生回忆初中阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．展示出直线与圆的位置关系的图形和定义，使问题更直观形象．(1)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切(2)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解，以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．3．构建新知在已有知识的基础上，通过一组题目，让学生展开活动：如何判断直线与圆的位置关系？能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？分组活动：1.请判断直线x ＋y-2=0与圆221x y +=的位置关系.2.请判断直线x ＋y －1=0与圆221x y +=的位置关系.3.请判断直线x ＋y －2=0与圆222x y +=的位置关系师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表回答。

高中数学233直线与圆的位置关系教案新人教B版必修2教案

高中数学233直线与圆的位置关系教案新人教B版必修2教案教学目标：1.知识与能力目标：了解直线和圆的基本概念，掌握直线与圆的位置关系。

能够通过已知直线和圆的方程判断它们的位置关系，解决与之相关的问题。

能够应用所学的知识解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究实例来引出直线与圆的位置关系，培养学生探究和发现问题的能力。

引导学生巩固直线与圆的位置关系的知识，通过练习题将知识运用转化成能力。

综合运用所学知识，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣与热爱，增强学生对数学的自信与信心。

培养学生通过数学思考问题的习惯，提高学生的综合分析问题的能力。

教学重点：直线与圆的位置关系的概念和判断方法。

教学难点：应用所学知识解决实际问题。

教学准备：教师准备：教材、课件、白板、黑板、板书笔等；学生准备：教材、笔、纸等。

教学步骤：第一步：导入新知（5分钟）教师通过引导学生回顾前面学过的直线和圆的基本概念，复习与圆相关的一些性质。

如直径是最长的弦，垂径定理等。

同时，教师通过一个实际问题或者一个图像，引出直线与圆的位置关系的概念。

第二步：探究直线与圆的位置关系（15分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生探究直线与圆的位置关系的规律。

教师可给学生准备一个圆和一条直线，并要求学生通过直线和圆的位置关系判断直线与圆的关系。

第三步：总结直线与圆的位置关系（10分钟）教师引导学生根据探究的结果，总结直线与圆的位置关系。

如直线与圆的切线、相交、内切、外切等情况，并对学生总结的内容进行讲解和补充。

第四步：练习与巩固（15分钟）教师设计一些练习题，让学生通过已知直线和圆的方程判断它们的位置关系。

第五步：拓展应用（10分钟）教师设计一些与实际生活相关的问题，要求学生通过所学知识解决问题。

如一个圆形花坛，围墙是一条直线，问花坛内外与围墙的关系等。

第六步：课堂小结（5分钟）教师对本节课所学内容进行小结，并提出下一节课的预习任务。

人教A版数学必修二2.3.3《直线与圆的位置关系》导学案

辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学 §2.3.3直线与圆的位置关系导学案新人教A 版必修2【预习要求】1.会用几何法与代数法判断直线与圆的位置关系2.会求圆的切线方程。

【知识再现】 1.直线与圆有几种位置关系？2. Ax By C 0l ︒︒++=点P （x ,y ）到直线：的距离为 223.0x y Dx Ey F ++++= 圆的一般方程为则圆心坐标为，圆的半径为。

【知识探究】知识点一直线与圆的位置关系的判定1. 几何方法解题步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d（3）判断：当d>r 时，直线和圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d<r 时，直线与圆相交2. 代数方法解题步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于x （或y ）的一个一元二次方程（3）求出Δ的值，比较Δ与0的大小,当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ=0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交.22 C: 2,:,x y l y x b l +==+例 1圆直线当时b=?（1）与圆C 相交(2)相切(3)相离知识点二直线与圆相交当直线和圆相交时，求直线被圆截得的弦长有两种方法：一是利用垂径定理，二是利用弦长公式1. 利用垂径定理设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则弦长l =2. 利用弦长公式将直线方程与圆方程联立方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，利用12AB x x - 即可求出弦长222 C : 2, :1x y l y x l C l l +==+∆例圆直线（1）与圆的交点A ，B（2）求圆心C 到的距离（3）求直线被圆C 截得弦长（4）求ABC 的面积知识点三直线与圆相切 222x y r ︒︒+=例3：已知圆的方程是,求过其上一点M （x ,y ）的切线方程221 C : 1,221-2x y +=--例 4圆（1）求过M(，)的切线方程（2）求过P()的切线方程（3）求过Q(，)的切线方程（4）求切线长（既切点与圆外一点的距离）（5）求圆的斜率为1的切线方程巩固提高221(0,2),4A. B. . .23l x y lC D+=±±±．直线过点且被圆截的弦长为2，则的斜率为（）2220C:-39l x y x y--=+=2.求直线：2被圆（）所截得的弦长3.2(2,2) 2 2 22kx kk k k k k k k =+=∈-<-><->=有唯一解，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或或224.-3-44--4+3=0C x y l kx y kkk+=已知圆：（）（）和直线：（1）求证：不论取何值，直线和圆总相交（2）求取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长。

高一数学直线与圆的位置关系(2)导学案

直线与圆的位置关系（2）学习目标：1、掌握直线与圆的位置关系的判断方法；2、会求圆的切线方程和切线长及弦长；3、能根据条件选择不同形式的直线和圆方程解决问题.学习重点：圆的切线方程的求解.学习难点：选择适当形式的直线与圆的方程解决问题.学习过程：一、课前准备：复习1：直线和圆有哪些位置关系？复习2：如何判定直线和圆的位置关系？有几种方法？复习练习：1、判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系：（1）01:=-+y x l ，4:22=+y x C ；__________________________；（2）0834:=--y x l ，1)1(:22=++y x C ；___________________；（3）04:=-+y x l ，02:22=++x y x C ．_____________________．2、若直线与圆122=+y x 1=+by ax 相交，则点)(b a P ，与圆的位置关系是．3、求过圆422=+y x 上一点)31( ，的圆的切线方程。

二、新课导学：精典范例：例1.已知直线方程10mx y m ---=，圆的方程224210x y x y +--+=，当m 为何值时，圆与直线：（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.练习1.已知圆222x y +=和直线y x b =+，当b 为何值时，圆与直线：（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.练习2.给定点()00,A x y ，圆222:C x y r +=及直线00:2l x x y y +=，给出以下三个说法：①当点A 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点A 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点A 在圆C 外时，直线l 与圆C 相交．其中正确的说法个数是________．(填序号)例2.过点()4,3A -作圆()()22:311C x y -+-=的切线，求此切线的方程．练习1.求圆2210x y +=的切线方程，使得它经过点(M ；练习2.求圆224x y +=的切线方程，使得它经过点()3,0Q .例3.已知圆228x y +=内有一点()01,2P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦.（1）当135α=时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程．练习1.直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．练习2.若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为()A.－1或3B.1或3C.－2或6D.0或4练习3.求经过P (6，－4)点且被定圆x 2＋y 2＝20截得弦长为62的直线AB 的方程．。

人教B版高中数学必修2教学案：2.3.3直线和圆的位置关系(学生版)

2.3.3直线与圆的位置关系【学习要求】1．掌握直线与圆的三种位置关系．2．会用两种方法来判定直线与圆的位置关系．3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．【学法指导】通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离三种位置关系．2．直线与圆位置关系的判定有两种方法：(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在初中我们判断直线与圆的位置时，是通过图形看直线与圆有几个交点，当它们有两个公共点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离．现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题．探究点一判定直线与圆的位置关系的方法问题1平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？问题2如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？探究点二直线与圆位置关系的应用例1已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线方程是y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？跟踪训练1已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系．例2已知圆的方程是x2＋y2＝r2，求过圆上一点M(x0，y0)的切线方程(如图)．跟踪训练2求过点P(1，－7)与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．探究点三直线截圆所得弦长问题例3已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，求直线l的方程．跟踪训练3已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为() A．∅B．(1,1) C．{(1,1)} D．{(－1，－1)}3．过点M(3,2)作⊙O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线，则切线方程是_____________________．课堂小结：1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．(2)判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果d<r ，直线l与圆C相交；如果d＝r ，直线l与圆C相切；如果d>r ，直线l与圆C相离．2．圆的切线分三类：(1)过圆上一点的圆的切线；(2)知切线斜率的圆的切线；(3)过圆外一点的圆的切线．。

高中数学 §2.3.3 直线与圆的位置关系导学案新人教B版必修2

§2.3.3 直线与圆的位置关系◆ 课前导学（一）学习目标1.知道如何用几何方法判定直线与圆的位置关系；2.知道如何用代数方法判定直线与圆的位置关系；3.会判断直线与圆的位置关系；4.会求过圆上一点的圆的切线方程；5.会求过圆外一点的圆的切线方程；6.直线与圆相交时，会求与相交弦长有关的问题；7.直线与圆相离时，会求圆上点到直线的距离的最大值与最小值.（二）重点难点重点：几何法判断直线和圆的位置关系；难点：求过圆外一点的圆的切线方程.（三）温故知新1．直线与圆的三种位置关系是__________、__________、__________；交点的个数分别是__________、__________、__________.2．点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式是________________.3．圆的几何性质：（1）直线与圆相切时，圆心与切点的连线与该切线________；（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于________；（3）圆的特征直角三角形的勾股定理________________.◆ 课中导学◎学习目标一：知道如何用几何方法判定直线与圆的位置关系.（一）问题引入设直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，[探究1 ] 设圆心到直线的距离为d ，试研究d 和r 的关系与直线和圆的位置关系的联系. 结论：直线与圆相交⇔________；直线与圆相切⇔________；直线与圆相离⇔________.（二）小试身手例1 已知直线:l y x m =+与圆22:2C x y +=，当m 为何值时，圆与直线相交、相切、相离？◎学习目标二：知道如何用代数方法判定直线与圆的位置关系.[探究2] 联立例1中的直线方程与圆的方程，试研究联立后得到的方程的和直线与圆的位置关系的联系.结论： 0>⇔方程__________根⇔直线与圆________交点⇔直线与圆相____； 0>⇔方程__________根⇔直线与圆________交点⇔直线与圆相____； 0>⇔方程__________根⇔直线与圆________交点⇔直线与圆相____.（三）巩固提升◎学习目标三：会判断直线与圆的位置关系.例2 已知直线:360l x y +-=和圆22:240C x y y +--=，判断直线l 与圆C 的位置关系.◎学习目标四：会求过圆上一点的圆的切线方程.例3 求过圆22:4C x y +=上一点的切线方程.结论：过圆上一点的圆的切线有_______条.◎学习目标五：会求过圆外一点的圆的切线方程.例4 过点(1,3)求圆22:1C x y +=的切线方程.结论：过圆外一点的圆的切线有_______条.◎学习目标六：直线与圆相交时，会求与相交弦长有关的问题.例5 已知直线l 过点(5,5)M 且和圆22:25C x y +=相交，截得弦长为求l 的方程.★变式求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长.◎学习目标七：直线与圆相离时，会求圆上点到直线的距离的最大值与最小值.例6 已知直线:60l x y +-=和圆22:40C x y +-=，求圆上点到直线的距离的最大值和最小值.◆ 课后导学一．选择题1．直线04034=-+y x 与圆10022=+y x 的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相离2. 过点P )2,2(作圆422=+y x 的切线，则切线方程为( ) A. 2=+y x B. 22=+y x C. 4=+y x D. 2=+y x3. 与两个坐标轴都相切，圆心在第三象限，半径为1的圆的方程是( )A. 1)1()1(22=+++y xB. 1)1()1(22=-+-y xC. 1)1()1(22=++-y xD. 1)1()1(22=-++y x4. 与圆2)2(22=-+y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有( )A. 6条B. 4条C. 3条D. 2条5. 直线m y x =+与圆)0(22>=+m m y x 相切，则m 的值为( )A. 12 B. 26. 圆心为)2,1(-，半径为52的圆在x 轴上截得的弦长为( ) A. 8 B. 6 C. 26 D. 347. 以点P )3,4(-为圆心的圆与直线052=-+y x 相离，则圆P 的半径r 的取值范围是( ) A. (0,2) B. (5,0) C. )52,0( D. (0,10)8. 直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是( ) A. (0,12-) B. (12-,12+) C. (12--,12+) D. (0, 12+)二．填空题9. 直线0543:=--y x l 被圆522=+y x 所截得的弦长为__________10. 直线03=++y x 与圆a y x =++22)1(有公共点，那么实数a 的取值范围是__________11. 直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a _________12. 在圆422=+y x 上，到直线01234=-+y x 的距离最小的点的坐标为_______13. 经过点P )1,2(-的直线被圆C ：0152622=---+y x y x ，所截得的最短弦长为_________三．解答题14. （1）求过圆2210x y +=上一点M 的切线方程；（2）求斜率为2且与圆22240x y y +--=相切的直线方程.15. 已知圆的方程为044222=--++y x y x ，求经过点)1,4(-的圆的切线方程.16. 圆与两平行线033,053=-+=-+y x y x 相切，圆心在直线012=++y x 上，求这个圆的方程.。

高中数学2.2.3直线与圆的位置关系教案新人教版必修2

解：
若点在直线外如何求切线方程
变式1：从圆外一点P(0,-1)向该圆引切线，求切线方程
解：设直线为y=kx-1,利用圆心到直线的距离等于半径解出k=
所以直线方程为x=0或3x-4y-4=0
注：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ外一点作切线必有两条，注意斜率不存在的情况
变式2：从圆C: 外一点P(0,-1)向该圆引两切线，切点为A,B,求AB的直线方程
2.2.3直线与圆的位置关系
教学目标
1.掌握求圆切线方程的方法
2.培养分析问题，解决问题的能力
教学重点：直线与圆的位置关系
教学难点：圆的切线问题
教学过程
一、问题情境：
复习回顾
直线与圆的位置关系有哪些？
如何判断直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离与半径之间的关系
二、例题分析
例1、求过圆上点P 的切线方程
解：直线AB可以看成是以CP为直径的圆与圆C的公共弦
直线AB为2x+y-5=0
变式3：已知两圆
与，则它们的公切线有几条
解：即判断两圆的位置关系，两圆相交公切线有两条
注：有关两圆外公切线的求法回忆总结
例2、自点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，其反射光线与圆(x-2)2+(y-2)2=1相切，求光线l所在的直线方程。
解：A点关于x轴的对称点为B(-3,-3)求B点关于圆的切线方程
它们与x轴的交点为
则直线l:
法二：可以先求出圆关于x轴的对称圆出来，直接求出直线l的方程
例3、若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围
解：表示的为半圆，利用图像观察直线与半圆交点的个数求得b的范围
即
二次备课

高中数学必修2-2.3.3直线和圆的位置关系学案

2.3.3直线和圆的位置关系一、复习：（1）初中直线与圆的位置关系有几种？如何判断？（2）点),(00y x P 到直线Ax+By+C=0的距离d= 。

二、自主学习；自学99P -100P 回答1。

直线与圆的位置关系的判断方法：⑴几何法：令圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，d r ⇔直线与圆相离 d r ⇔直线与圆相切０ d r ⇔直线与圆相交⑵代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程，其中判别式∆，则∆ ０⇔直线与圆相离 ∆ ０⇔直线与圆相切 ∆ ０⇔直线与圆相交2。

圆的切线方程⑴过圆222r y x =+上一点),(00y x p 的切线方程是⑵过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x p 的切线方程是：200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ⑶求过圆外一点),(00y x 的圆的切线方程：①几何法：设切线方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx ，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出。

②代数法：设切线方程为)(00x x k y y -=-，即00y kx kx y +-=，代入圆的方程得一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可得出。

注意：过圆外一点的切线必有两条，无论几何法还是代数法，当求得k 值是一个时，则另一条的切线斜率一定不存在，可由数形结合求出。

三、典型例题：自学100P 例1、例2补充例题3：求实数m ，使直线03=+-my x 和圆05622=+-+x y x ，⑴相交；⑵相切；⑶相离。

例4．已知圆422=+y x ，求过点)5,2(的切线方程。

四、学生练习：100P 练习A 、B五、小结：六、作业：1.直线l 过点)2,0(，且被圆422=+y x 截得的弦长为2，则l 的斜率为（） (A) 22± (B) 2± (C) 33± (D) 3± 2．已知圆12222=+y x 与直线01=-+y ax ，其中11<<-a ，则直线与圆位置关系为（）(A) 相切 (B) 相离 (C) 相交 (D) 不确定3。

高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系预习导学案新人教B版必修2

2.3.3 直线与圆的位置关系
预习导航
1．直线与圆的位置关系
直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)，圆C ：(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
(r>0)，设圆心(a ，b)到直线的距离是d ，d ，则有：
思考1 则直线与圆有几个公共点？
提示：由方程x 2
－2x －3＝0的判别式Δ＝16>0，可知直线与圆有两个公共点． 2．圆的切线方程
当点(x
0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＝r 2
上时，过点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
. 思考2 过圆上一点有几条切线？过圆外一点有几条切线？提示：过圆上一点一定有1条切线，过圆外一点一定有2条切线． 3．弦长问题
求弦长的方法有以下2种：
(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt△OCB 中，|BC|2
＝r 2
－d 2
，则弦长|AB|＝2|BC|，即|AB|＝
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，运用根与系数的关系可知，弦长|AB|＝1＋k2
|x1－x2|.
思考3 过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中，何时最长？何时最短？
提示：过圆内一点P的所有弦中，当弦经过圆心C时弦最长，等于直径的长；当弦与过
点P的直径垂直时弦长最短．。

高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系学案新人教B版必修2

2.3.3 直线与圆位置关系1．能熟练地掌握二元方程组解法，并通过解方程或方程组，解决直线与圆位置关系问题．2．根据给定直线、圆方程，会用代数法与几何法判断直线与圆位置关系．直线与圆位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，设圆心(代数法与几何法来研究直线与圆位置关系各有特点．“几何法〞更多地侧重于“形〞，更多地结合了图形几何性质；“代数法〞那么侧重于“数〞，它倾向于“坐标〞与“方程〞．【做一做1－1】直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝64位置关系是( )．A．外离B．相切C．相交D．相切或外离【做一做1－2】假设直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得弦长为22，那么实数a值为( )．A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【做一做1－3】(2021·课标全国卷)过点A(4,1)圆C与直线x －y－1＝0相切于点B(2,1)，那么圆C方程为__________．1．过点(x0，y0)圆切线方程求法剖析：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)点(x0，y0)在圆外，那么可设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，变成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，因为与圆相切，所以可利用圆心到直线距离等于半径，解出k.注意假设此方程只有一个实根，那么还有一条斜率不存在直线，不能忽略．2．弦长求法剖析：圆C：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2，直线AB：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，如图，△ABC是等腰三角形，取弦AB中点D，那么CD⊥AB，且CD平分弦AB，因此弦长|AB|＝2r2－d2，其中d表示弦心距，d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.另外，还可以从方程角度用两点间距离公式去计算，这时结合根与系数关系，进展整体代换求得，即将直线AB：y＝kx＋m代入(x－x 1)2＋(y －y 1)2＝r 2，消去y 得关于x 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设直线与圆交点A (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)，那么x 2，x 3是上述方程两个根，由根与系数关系，得x 2＋x 3＝－b a ，x 2·x 3＝c a，那么 |AB |＝x 2－x 32＋y 2－y 32 ＝x 2－x 32＋kx 2－kx 32＝1＋k 2|x 2－x 3| ＝1＋k 2[x 2＋x 32－4x 2x 3]＝1＋k 2b 2－4ac |a |. 题型一直线与圆位置关系【例1】求当λ为何值时，直线λx －y －λ－1＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相交？相切？相离？分析：可利用直线与圆方程构成方程组解情况，或圆心到直线距离与圆半径之间关系，列条件求解λ值或λ取值范围．反思：判断直线与圆位置关系可以从代数法与几何法两种角度入手，但用几何法解决更简便．题型二关于弦长问题【例2】求直线y ＝x 被圆(x －2)2＋(y －4)2＝10所截得弦长．分析：求直线被圆所截弦长方法，一是利用弦心距、半径与半弦所构成直角三角形，二是用弦长公式．反思：求直线被圆所截得弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线距离构成直角三角形来处理．题型三直线与圆综合问题【例3】O为坐标原点，⊙O1：x2＋y2＋x－6y＋c＝0与直线x ＋2y－3＝0两个交点分别为P，Q，那么当c取何值时，OP⊥OQ 分析：利用代数方法，即联立直线与圆方程，利用根与系数关系对OP⊥OQ进展转化．反思：当圆中几何特征不明显时，往往采用代数方程思想，表达了解析几何本质特征．这也是解决解析几何重要方法．【例4】求圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线l：3x＋4y－11＝0距离为1点有几个？分析：此题应从圆心到直线l距离与圆半径3之间关系入手分析求解．反思：解决有关直线与圆问题要有作图意识，准确作图能帮助我们更快更准地分析题意．另外，要善于挖掘题目切入点，找出临界是关键．题型四易错辨析【例5】假设直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l方程为12x－5y－9＝0.错因分析：忘记讨论斜率不存在时情况．1直线l：4x－3y＋5＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0无公共点条件是m ∈( )．A ．(－∞，0)B ．(0,5)C ．(1,5)D ．(1，＋∞)2直线l ：ax －y －b ＝0，圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＝0，那么l 与C 在同一坐标系中图形只可能是( )．3(2021·山东德州一中高一检测)假设圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0被直线x －y ＋a ＝0截得弦长为32，那么a 值为( )．A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或04过点A (3，－4)，且与圆x 2＋y 2＝25相切直线方程是________________．5圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得弦长为27，求圆C 方程．答案：根底知识·梳理1．一组实数解(Δ＝0) d ＜r 两组实数解(Δ＞0)【做一做1－1】B【做一做1－2】D 圆心到直线距离d ＝|a －2|2＝2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.【做一做1－3】(x －3)2＋y 2＝2 设圆C 方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，① 又圆C 过A (4,1)，B (2,1)，∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2.③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2，∴圆方程为(x －3)2＋y 2＝2.典型例题·领悟【例1】解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ λx －y －λ－1＝0，x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，消去y ，得(1＋λ2)x 2－2(λ2＋2λ＋2)x ＋λ2＋4λ＋4＝0.因为1＋λ2≠0，且Δ＝4(λ2＋2λ＋2)2－4(1＋λ2)(λ2＋4λ＋4)＝4λ·(3λ＋4)，所以当Δ＝0，即λ＝0或λ＝－43时，直线与圆相切；当Δ＞0，即λ＞0或λ＜－43时，直线与圆相交；当Δ＜0，即－43＜λ＜0时，直线与圆相离．解法二：将圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0配方，得(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心到直线距离为d ＝|2λ－1－λ－1|1＋λ2＝|λ－2|1＋λ2. 所以当d ＝2，即λ＝0或λ＝－43时，直线与圆相切；当d ＜2，即λ＞0或λ＜－43时，直线与圆相交；当d ＞2，即－43＜λ＜0时，直线与圆相离．【例2】解法一：由点到直线距离公式得圆心到直线距离d ＝|2－4|12＋12＝ 2.于是，弦长为2r 2－d 2＝210－22＝4 2. 解法二：联立方程y ＝x 与(x －2)2＋(y －4)2＝10，得2x 2－12x ＋10＝0.①设两个交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1，x 2是方程①两根，于是由根与系数关系，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5，那么|AB |＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4 2.【例3】解：如下图，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0， ①x ＋2y －3＝0. ②此方程组解即为P ，Q 两点坐标P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．方程组消去x ，得5y 2－20y ＋12＋c ＝0，那么y 1y 2＝12＋c 5，y 1＋y 2＝4.而x 1x 2＝(3－2y 1)·(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－6×4＋4·12＋c 5＝－15＋48＋4c 5. 由OP ⊥OQ ，有y 1y 2x 1x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴－15＋48＋4c 5＋12＋c 5＝0.∴c ＝3. 【例4】解法一：圆(x －3)2＋(y －3)2＝9圆心O 1(3,3)，半径r ＝3.设圆心O 1到直线3x ＋4y －11＝0距离为d ，那么d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2＜3. 如下图，在圆心O 1同侧，与直线3x ＋4y －11＝0平行且距离为1直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r －d ＝3－2＝1，∴与直线3x ＋4y －11＝0平行圆切线两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意点共有3个．解法二：符合题意点是平行于直线3x ＋4y －11＝0，且与之距离为1直线与圆交点．设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，那么d ＝|m ＋11|32＋42＝1， ∴m ＋11＝±5，即m ＝－6或m ＝－16，故l 1：3x ＋4y －6＝0或l 2：3x ＋4y －16＝0.设圆O 1：(x －3)2＋(y －3)2＝9圆心到直线l 1，l 2距离分别为d 1，d 2，那么d 1＝|3×3＋4×3－6|32＋42＝3，d 2＝|3×3＋4×3－16|32＋42＝1. ∴l 1与圆O 1相切，与圆O 1有一个公共点；l 2与圆O 1相交，与圆O 1有两个公共点．故符合题意点共有3个．【例5】正解：(1)假设直线l 斜率存在，设直线l ：y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2kl 与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，所以|5－k |k 2＋1＝1，所以k ＝125.所以直线l 方程为12x －5y －9＝0. (2)假设直线l 斜率不存在，那么直线l ：x ＝2也符合要求．所以直线l 方程为12x －5y －9＝0或x ＝2.随堂练习·稳固1．C 由圆心(2,1)到直线l ：4x －3y ＋5＝0距离大于圆半径及方程满足圆条件可得．2．B 注意圆方程特点，易知圆C 过原点，所以A ，C 项均不正确；再由B ，D 两选项与圆心、直线斜率知B 项正确．3．C4．3x －4y ＝255．解：设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 与y 轴相切，得圆半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 距离为|2m |2＝2|m |. 由半径、弦心距关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。

高中数学人教B版必修二学案：2.3.3直线与圆的位置关系

直线与圆的地点关系[ 学习目标 ] 1.理解直线和圆的三种地点关系 .2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系 .[ 知识链接 ]1.直线的点斜式方程为y － y 0＝ k(x － x 0)，直线恒过定点 (x 0， y 0).2.圆的标准方程为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2，圆的一般方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.(此中 D 2＋E 2－ 4F>0)|Ax ＋ By ＋ C|.3.点 (x 0 ， y 0)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝A 2＋ B2[ 预习导引 ]1.直线与圆的地点关系及判断地点关系订交相切相离公共点个数2 个1 个0 个几何法：设圆心到直线的距离|Aa ＋ Bb ＋ C|d<rd ＝ rd>rd ＝A 2＋B 2判断方法Ax ＋ By ＋C ＝0代数法：由2＝ r 2x －a 2＋ y － b>0＝ 0 <0消元获得一元二次方程的鉴别式图形2.圆的切线方程(1) 经过圆 x 2＋ y 2＝ r 2 上的点 P(x 0， y 0) 的切线方程为 x 0x ＋ y 0y ＝r 2 .(2) 经过圆 (x － a)2＋ (y －b) 2＝r 2 上的点 P(x 0，y 0)的切线方程为 (x 0－ a)(x －a)＋ (y 0－b)( y － b)＝ r 2.重点一直线与圆的地点关系的判断例 1已知直线方程 mx － y － m － 1＝0，圆的方程 x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋ 1＝ 0.当 m 为什么值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2) 只有一个公共点；(3)没有公共点 .解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋ m2)x2－2(m2＋ 2m＋ 2)x＋ m2＋ 4m＋ 4＝ 0.∵Δ＝ 4m(3m＋ 4)，∴当>0 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆订交，即直线与圆有两个公共点；＝ 0 时，即 m＝ 0 或 m＝－4当3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4当<0 时，即－3<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二已知圆的方程可化为(x－2) 2＋ (y－ 1)2＝ 4，即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.圆心 C(2,1)到直线 mx－ y－ m－ 1＝ 0 的距离d＝|2m－ 1－ m－ 1||m－ 2|＝.1＋m21＋ m24当 d<2 时，即 m>0 或 m<－3时，直线与圆订交，即直线与圆有两个公共点；4当 d＝ 2 时，即 m＝ 0 或 m＝－3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 d>2 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.规律方法直线与圆地点关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径 r 的大小关系判断 .(2)代数法：依据直线与圆的方程构成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可经过判断点与圆的地点关系判断，但有必定的限制性，一定是过定点的直线系.追踪操练1已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A. l 与 C 订交B. l 与 C 相切C.l 与 C 相离D. 以上三个选项均有可能答案A分析将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－ 4× 3＝ 9－ 12＝－ 3<0，∴点 P(3,0)在圆内.∴过点 P 的直线 l 必与圆 C 订交 .重点二圆的切线问题例 2过点 A(4，－ 3)作圆 (x－ 3)2＋ (y－1) 2＝ 1 的切线，求此切线的方程 .解因为 (4－ 3)2＋ (－ 3－1)2＝17>1 ，所以点 A 在圆外 .(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为 y＋ 3＝k( x－4).即 kx－ y－ 3－ 4k＝ 0，因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，|3k－ 1－3－ 4k|所以＝ 1，即 |k＋ 4|＝k2＋1，k2＋ 1所以 k2＋ 8k＋ 16＝k2＋ 1.解得 k＝－158.15所以切线方程为y＋ 3＝－8 (x－ 4)，即 15x＋ 8y－36＝ 0.(2) 若直线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线 x＝ 4 的距离也为 1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝ 4.综上，所求切线方程为15x＋ 8y－ 36＝ 0 或 x＝ 4.规律方法 1.过一点P(x0， y0)求圆的切线方程问题，第一要判断该点与圆的地点关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－ y0＝ k(x－ x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的状况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－ 1(k1， k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率 )列式，若不已知切点则用d＝ r(d 为圆心到切线的距离，r 为半径 )列式 .追踪操练2求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋ 7＝ k( x－ 1)，|－ k－ 7|即 kx－ y－ k－ 7＝ 0.∴＝ 5.k2＋ 143解得 k＝3或 k＝－4.4∴所求切线方程为y＋ 7＝3(x－ 1)3或 y＋ 7＝－4(x－ 1)，即 4x－3y－ 25＝ 0 或 3x＋ 4y＋ 25＝ 0.重点三圆的弦长问题例 3求直线 l ：3x＋ y－ 6＝ 0 被圆 C： x2＋ y2－ 2y－ 4＝ 0 截得的弦长 .3x＋ y－6＝ 0，解方法一由得交点A(1,3) ， B(2,0)，x2＋ y2－ 2y－ 4＝0，∴弦 AB 的长为 |AB|＝ 2－12＋ 0－ 3 2＝ 10.方法二由3x＋ y－ 6＝0，消去 y 得 x2－ 3x＋ 2＝0. x2＋ y2－ 2y－4＝ 0，设两交点 A， B 的坐标分别为A(x1， y1)， B(x2， y2)则由根与系数的关系得x1＋ x2＝ 3， x1·x2＝ 2.∴|AB|＝x2－ x12＋ y2－y12＝x2－ x12＋ [－ 3x2＋6－－ 3x1＋ 6 ]2＝1＋ 32 x2－x12＝ 10[ x1＋ x22－ 4x1x2]＝10× 32－4× 2 ＝ 10，即弦 AB 的长为 10.方法三圆 C： x2＋ y2－ 2y－ 4＝ 0可化为 x2＋ (y－ 1)2＝ 5，其圆心坐标 (0,1) ，半径 r＝5，|3× 0＋ 1－ 6|10点(0,1) 到直线 l 的距离为 d＝22＝2，3＋ 1|AB |22210210所以半弦长为2＝r － d ＝5－2＝2，4规律方法求直线与圆订交时弦长的两种方法(1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r ，弦长为 |AB |，|AB |则有 2 ＋d2＝r 2.即|AB|＝2r 2－ d2.(2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A( x1，y1 )，B(x2， y2)，则|AB|＝ x1－ x22＋ y1－ y22＝212112 1＋ k |x－ x |＝ 1＋k2|y－y |，此中 k 为直线 l 的斜率 .追踪操练 3直线 x＋2y－ 5＋5＝ 0 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 截得的弦长为 ()A.1B.2C.4D.46答案C分析圆的方程可化为C： (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 5，其圆心为 C(1,2) ，半径 R＝ 5.如下图，取弦 AB 的中点 P，连结 CP，则 CP⊥ AB，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝ |CP|＝|1＋ 4－ 5＋ 5|12＋22＝1.在 Rt△ACP 中， |AP |＝R2－ d2＝ 2，故直线被圆截得的弦长 |AB|＝ 4.1.直线3x＋4y＋ 12＝ 0 与圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 9的地点关系是 ()A. 过圆心B. 相切C.相离D. 订交但可是圆心答案D|3×1＋4× －1 ＋12|11分析圆心 (1，－ 1)到直线3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离 d＝22＝5 <r .3＋ 42.直线 x＋ y＋m＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ m(m>0)相切，则 m 的值为 ()A.0 或2B.2C. 2D. 无解答案B分析由直线与圆心的距离d＝|m|＝ m，解得 m＝2. 23.设 A、B 为直线 y＝ x 与圆 x2＋y2＝1 的两个交点，则 |AB |等于 ()A.1B.2C. 3D.2答案D分析直线 y＝ x 过圆 x2＋y2＝1 的圆心C(0,0)，则 |AB|＝ 2.4.由点P(1,3) 引圆 x2＋ y2＝ 9的切线，则切线长为________.答案1分析点 P 到原点 O 的距离为 |PO|＝10，∵r＝ 3，∴切线长为 10－9＝ 1.5.过原点的直线与圆x2＋ y2－ 2x－ 4y＋ 4＝ 0订交所得弦的长为 2 ，则该直线的方程为________.答案2x－y＝ 0分析设所求直线方程为 y＝ kx，即 kx－ y＝ 0.因为直线 kx－y＝ 0 被圆截得的弦长等于 2，圆的半径是 1，所以圆心到直线的距离等于22 2kx－ y＝ 0 上.于是1 －2＝ 0，即圆心位于直线有 k－ 2＝ 0，即 k＝ 2，所以所求直线方程是2x－ y＝0.1.判断直线和圆的地点关系的两种方法中，几何法要联合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单 .而代数法例是经过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线订交时，应第一考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形 .还能够联立方程组，消去x 或 y，构成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝212212212 k＋ 1 · x ＋ x－ 4x x ＝k＋1|x－ x |.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率能否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上 .当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.。

人教版高中必修2(B版)2.3.3直线与圆的位置关系教学设计

人教版高中必修2(B版)2.3.3直线与圆的位置关系教学设计知识点概述•直线和圆的位置关系•切线和法线•切线长度教学目标1.掌握直线与圆的位置关系。

2.掌握切线和法线的概念和求解方法。

3.掌握切线长度的计算方法。

教学重点和难点教学重点是切线和法线的概念和求解方法，教学难点是切线长度的计算方法。

教学方法本节课程的教学方法主要采用探究式和实践式相结合的方式，注重让学生主动参与、思考，通过解决实际问题的方式来学习和理解知识。

教学环节1. 导入新知识利用教学PPT展示直线和圆的位置关系，并让学生根据自己的理解在白板上绘制出几个具体的例子。

教师在学生完成绘制后，逐一点评和总结，引出切线和法线的概念，同时简要讲解切线和法线的求解方法。

2. 探究切线和法线概念老师出示一道示例题，并带领学生一起探究切线和法线的概念和求解方法。

学生可以根据自己的理解，在白板上展现出自己的推导过程。

同时，老师要积极引导学生思考，鼓励他们提问，增强学生的探究兴趣。

3. 实践计算切线长度老师出示几道求解切线长度的例题，并引导学生使用相关公式进行计算。

在这个过程中，老师要及时给予指导和启发，同时要加强学生的实践操作，让学生通过自己的实践来加深对知识点的理解。

4. 拓展练习安排课堂练习，以检验学生对于知识点的掌握情况。

练习题可以涵盖直线和圆的位置关系、切线和法线的概念和求解方法、切线长度计算等内容，难易程度逐渐递增，参考学生的实际水平进行分组。

5. 总结回顾课堂结束前，老师对本节课堂的内容进行总结概括，并提醒学生注意相关知识点的拓展和巩固。

还可以让学生对本节课堂进行评价，反馈教学质量。

课堂后作业1.完成课堂练习题目。

2.自学B版必修2教材2.3.3一节内容。

3.总结本节课堂学习的收获，并写下自己的疑问和探索。

教学反思本节课堂通过引导学生探究和实践，帮助学生理解和掌握了直线和圆的位置关系、切线和法线的概念和求解方法以及切线长度的计算方法。

在教学中，老师注重引导学生思考和独立解决问题的能力，同时关注学生的学习进度和情绪变化，使授课效果得到了较好的反馈。

2.3.3《直线与圆的位置关系》教案(新人教B必修2)

【学情分析及教学建议】1．学情分析（1）学生已有知识分析：通过初中平面几何的学习，学生已明确了直线和圆及圆与圆的位置关系及其几何特征。

又通过前面章节的学习能够利用直线方程或圆的方程解决有关问题，具备了一定的应用代数方法解决几何问题的能力。

（2）学生日常经验分析学生对直线和圆以及圆与圆的位置关系的认识在初中主要是通过一定的几何量来直观判断的，缺乏抽象的逻辑思维的培养，即用坐标法通过方程的解的个数来研究它们交点的个数进而得到它们的位置关系，故应培养他们应用代数方法解决几何问题的意识。

（3）学生思维能力小平分析学生通过半年多的学习和知识积累，学生的学习和思维能力得到了较大的提高，理性思维能力得到了进一步的发展。

因此本节课的教学在既要传授新知识的同时，更要以知识为载体将能力的培养渗透到教与学的各个环节中去，使学生的各项素质得到进一步的升华。

（4）学法点津在求解直线和圆的问题时，要注意运用数形结合的思想，尽可能的运用圆的几何性质，使解法简捷，在判断直线与圆的位置关系时，为避免计算量过大，一般不用判别式，与圆与圆的位置关系的判断一样通常采用几何法，直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程。

2．教学建议（1）重难点分析：本节教材的教学重点是能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两圆的方程，判断两圆的位置关系.以及求圆的切线方程和求直线被圆截得的弦长。

难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解，以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程。

（2）教法建议：关于圆的教学,在进行一般教学的基础上，应注意下列几个问题．（1）通过直线和圆、圆与圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；（2）注意加强运动与变化思想的教学。

客观事物是不断运动、变化的，只有从运动和变化的观点去观察、研究它们，才能更准确更深刻地反映客观事物的本质．教学中。