第12章 数的开方教案

第一课时：平方根与立方根（1）备课时间；教学时间：教学目标：知识技能目标1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．过程性目标1.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．教学重难点重点：平方根的定义，会用根号表示一个非负数的平方根难点：用符号表示一个非负数的平方根教学过程一、创设情境问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．(学生探索，回答问题)二、探究归纳问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25，求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．答正方形纸片的边长为5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．问题2解设圆的半径为R cm，依题意有：πR2=16π，即R2=16，求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．三、实践应用例1 求100的平方根．解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.学生试一试： (1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)254的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？1．平方根的性质：问 正数的平方根是什么？答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数．问 0的平方根是什么？答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．问 负数有平方根吗？为什么？答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．请同学概括数的平方根的性质．答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．2.一个非负数a 的平方根的表示法．当a ＞0时，a 的正的平方根用符号“2a ”表示，其中a 叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负的平方根用符号“－2a ”表示，这两个平方根合起来可以记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．3.开平方．求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．解 (1)因为49)7(2=±，所以49的平方根是，7±，即749±=±．(2) 因为69.1)3.1(2=±，所以1.69的平方根是3.1±，即3.169.1±=±． 例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；(2)0有一个平方根，它是0；(3)因为016)4(2>=-，所以2)4(-有两个平方根，且416)4(2±=±=-±． 四、交流反思1.一般地，如果x 2＝a ，那么叫x 做a 的平方根．(也叫a 的二次方根)．用a ±表示．当a ＞0时a 有两个平方根，即a ±，a 表示a 的正的平方根，-a 表示a 的负的平方根，它们互为相反数；当a ＝0时，a 有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．2.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．五、检测反馈1.说出下列各数的平方根 (1)64； (2)0.25； (3)8149．2.求下列各数的平方根(1)8116； (2) 0.36； (3) 324． 教学反思：第二课时平方根与立方根（2）备课时间；教学时间：教学目标知识技能目标1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；2.对于a表示的算术平方根中的a的条件和a的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为a，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．过程性目标1.使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2.使学生体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；3.使学生用计算器求一个非负数的算术平方根．教学重难点重点：算术平方根的定义，会用根号表示一个非负数的算术平方根难点：用符号表示一个非负数的算术平方根。

教学过程一、创设情境1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？2.0.49的平方根记作____＝____；3.说出平方根的概念和性质．二、探究归纳1.算术平方根：9=表示的意义是什么？9的平方根是，9的正的平方根是，3正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作a，读作“a的算术平方根”．这里应强调两点：(1)这里的a不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．(2)这里a中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．0=．从0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即0以上可知，当a是正数或是0时，a表示a的算术平方根．例1 求100的算术平方根．解因为102=100，100=．所以100的算术平方根是10．即10注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．例2 求下列各数的平方根和算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ；．解 (1)因为(±6)2＝36． 所以36的平方根是±6，即636636=±=±；； 7.189.27.189.2)2(=±=±所以，因为；说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．例3 求下列各式的值： ．；　；　；　；9005136.0314120)5(432425)4(362324)3(25214)2(625)1(2222--+⋅--±- 分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．2.用计算器求一个非负数的算术平方根．例4 用计算器求下列各数的算术平方根：(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．分析 用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可． 解 (1) 在计算器上依次键入，显示结果为23，所以，529的算术平方根为529＝23．(2) 在计算器上依次键入，显示结果为35，所以，1225的算术平方根为1225＝35．(3) 在计算器上依次键入，显示结果为6.94027188，如果要求精确到0.01，那么81.44≈6.94．三、实践应用1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？2.求下列各数的平方根和算术平方根： ．；；；；；；0169144256101.040025.01213.用计算器计算：(1)676； (2)8784.27； (3)225.4（精确到0.01）．四、交流反思1.平方根和算术平方根的区别：(1)定义不同．如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，非负数a 的平方根可以用a ±表示；①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．②如果x 2＝a ，并且x ≥0，那么x 叫做a 的算术平方根，非负数a 的算术平方根可以用a 表示，有a ≥0．③一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同，正数a 的平方根，表示为a ±．正数a 的算术平方表示为a ；(3)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1．2.平方根和算术平方根的联系：(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根；(3)零的平方根和零的算术平方根都是零；(4)非负数a的算术平方根的值一定是非负．五、检测反馈1.下列说法正确吗？如果不正确，那么请你写出正确答案.(1)0.09的平方根是0.3；(2)25＝±5．2.用计算器计算（精确到0.01）．(1)89．.16；(2)68923.(1)10在哪两个整数之间？(2)3.1＜10＜3.2正确吗？(3)下列四个结论中，正确的是( )．(A)3.15＜10＜3.16 (B) 3.16＜10＜3.17(C) 3.17＜10＜3.18(D) 3.18＜10＜3.19教学反思：第三课时 平方根与立方根（3）备课时间；教学时间：教学目标知识技能目标1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式)0(33>-=-a a a ，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．过程性目标1.使学生掌握立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；3.使学生理解“如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数”的意义，并会运用这个关系式求一个负数的立方根；4.会用计算器求数的立方根．教学重难点重点：立方根的定义及表示法难点：用立方根算术求某些数的立方根教学过程一、创设情境计算下列各题：．　，　，　，，３3333)4.0(4.00)2(2-- 强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a 3＝x ．其中，已知数a 叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x 叫做a 的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．问题 现有一只体积为216 cm 3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 分析 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．解 设正方体纸盒的棱长为x cm ，则2163=x ，因为63＝216，所以x ＝6．答 正方体的棱长应为6 cm ．二、探究归纳问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x 3＝a ，a 是已知数，求x ．1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根(cube root )（也叫做三次方根）．试一试(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．2.立方根的表示方法：如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．数a 的立方根用符号3a 表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）．3.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．三、实践应用例1 求下列各数的立方根： (1)278； (2)-125； (3)-0.008； (4)0． 解 (1)因为(32)3=278，所以3278=32；(2)因为(－5)3＝－125，所以3125-=－5； (3)因为008.0)2.0(3-=-，所以2.0008.03-=-；(4)因为003=，所以003=．根据上述练习提问：(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？相同点：正数，都存在平方根或立方根；零，都存在一个平方根或立方根，它们都是零．不同点：正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不同；负数，有一个立方根，还是负数；但负数却没有平方根．这是因为，正数、零、负数的平方都不是负数．例2 求下列各数的立方根： 64611(2)64611(1)-，． 问 等式两边的被开方数有什么关系？如果把上面的等式中的被开方数设为a (a ＞0)，我们可以得出一个什么样的等式呢？请用语言叙述．答 等式两边的被开方数互为相反数，设被开方数为a (a ＞0)，就可以得到等式．33a a -= 强调指出：(1)这就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数．(2)求负数的立方根有两个方法，一是由立方根定义去求，二是转化成先求负数的绝对值的立方根，再求它的相反数．例3 用计算器求下列各数的立方根：(1)1331； (2)－343； (3)9.263．分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按，也可以按．解 (1)在计算器上依次键入显示结果为11，所以31331＝11．四、交流反思请思考下面的问题：1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a 的立方根？a 的取值范围是什么？2.数a 的立方根与数a 的平方根有什么区别？3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．4.求一个负数的立方根可以用两种方法；(1)根据立方根的定义来求；(2)运用关系．33a a -=(a ＞0)来求．五、检测反馈 1.求下列各数的立方根： (1)216； (2) -0.027； (3) －12564； (4)0.125； (5) －6427； (6) 1 331．2.用计算器计算．(1)36859 ； (2)3576.17 ；(3)89.16（精确到0.01）； (4)36892（精确到0.01）．3.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62厘米．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少（用计算器计算，结果精确到0.1厘米）？ 教学反思：第四课时实数与数轴（1）备课时间；教学时间：教学目标知识技能目标1.了解实数的意义，能对实数进行分类；2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；3.会比较两个实数的大小．过程性目标1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．教学重难点重点：实数的意义，分类和性质难点：对无理数概念的理解。