湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》复习课件

种是构造轴对称图形.
针对训练
7.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求 证:∠PCB+ ∠BAP=180 °.
【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
在Rt△APE和Rt△CPF中， PA=PC， PE=PF，
DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( A )
A．110° B．100° C．80° D．70°
【分析】∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°， ∴∠ABC＝∠1＝70°， ∵AB∥DF， ∴∠1＋∠CEF＝180°， 即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.
直角三角形的性质 直角三角形的判定 两个直角三角形全等的判定（HL）
勾股定理 勾股定理的逆定理
角平分线的性质 角平分线的判定
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的_一__半__. 3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于_3_0_°__.
二、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
A c
b
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile）． ∵162+302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
6.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm， CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C 关系并加以证明．
第1章
八年级数学下（XJ） 教学课件
直角三角形
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_互__余___. 直角三角形的判定定理1 有两个角__互__余__的三角形是直角三角形.
直角三角形的重要推论 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_一__半__.
4
即CD的长为1.75 cm.
考点三 勾股定理的逆定理
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分 别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)， 判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
解：猜想∠A+∠C=180°． 连接AC. ∵∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC= 25cm， ∵AD2+DC2=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°．
例7 如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+
∠BAP=180 °，
求证:PA=PC.
E
【分析】由角平分线的性质易想到 A
过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、B
1 2
PF，构造角平分线的基本图形.
N P
FC
证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
Rt△CDF，从而得到DE=DF，再利用角
平分线的判定定理证明AD是△ABC的 E
F
角平分线.
B
D
C
证明： 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
EB=FC，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∵DE⊥AB, DF⊥AC，
E
∴ AD是△ABC的角平分线.
B
A
F
D
C
中点，
∴DE=
1 2
AB，DF= 12
AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB= 2 13.
针对训练
1.等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上 的高是___2___cm，这个三角形的面积是__4___cm2.
考点二 勾股定理
例3 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求
BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
c b2 a2 42 32 7, 又∵S△ABC＝12 b•BD＝12 ac，
BD ac 3 7 . b4
方法总结
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高 时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜 边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清 楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾 股数3，4，5的干扰．
Ca B
2.勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
四、直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
注意：①对应相等.
A
②“HL”仅适用直角三角形,
③书写格式应为:
C
B
∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中，
AB =DE，
D
AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) F
E
五、 角平分线的性质与判定
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
C P
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
考点讲练
考点一 直角三角形的性质与判定
例1：如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，CB的延长线与
考点四 直角三角形全等的判定
例5 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆
上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上
的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
A
【分析】将本题中的实际问题转
化为数学问题就是确定BD是否等
于CD.由已知条件可知AB=AC，
AD⊥BC.
B
D
C
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中，
是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称
图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如
图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角
形即可获证.
N
证明过程请同学们自行完成！
A
P
1
2
B
D
C
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用
方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两
种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一
针对训练
2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则
第三边长的平方是（ D ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm， BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是 DE，求CD的长．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝ 7 ＝1.75，
4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 __(_2_)(_4_)__．
5. B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个 角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船 是沿哪个方向航行的吗？
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °.
∴ ∠EAP=∠PCB.
在△APE和△CPF中， ∠PEA=∠PFC=90 °， ∠EAP=∠FCP， PE=PF，
∴ △APE ≌ △CPF(AAS)， ∴ AP=CP.
E
A 1
2 B
N P
FC
【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴
AE AF,
DE
DF ,
AD AD,
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=
1 2
BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
AB AD2 BD2 22 32 13,
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的
∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL).
E
A 1
2 B
N P
FC
∴ ∠ EAP= ∠ FCP.
E A
∵ ∠BAP+∠EAP=180 °，
1 2
B
∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.
N P
FC
想一想：本题如果不给图，条件不变，请问 ∠PCB与∠PAB有怎样的数量关系呢？