仰角、俯角的测量
九年级下册数学仰角和俯角知识点
九年级下册数学仰角和俯角知识点九年级下册数学知识点: 仰角和俯角在九年级的数学学习中，仰角和俯角是两个重要的概念。
仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用于描述物体在垂直方向上的视角。
在日常生活中，我们经常会用到仰角和俯角的概念，比如测量高楼的高度、确定飞机的飞行高度等等。
接下来，让我们深入了解仰角和俯角吧。
一、仰角和俯角的定义仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用来描述物体在垂直方向上的视角。
仰角是指从水平线向上看时，视线与水平线之间的夹角；俯角则相反，是指从水平线向下看时，视线与水平线之间的夹角。
例如，当我们仰望一棵树时，我们所看到的视线与水平线之间的夹角就是仰角；而当我们低头俯视地面时，视线与水平线之间的夹角就是俯角。
二、仰角和俯角的计算方法我们可以通过三角函数来计算仰角和俯角的数值。
一般来说，我们会用正切函数来求取夹角的数值。
例如，假设一架飞机在空中低飞，飞机和地面之间的夹角为35度。
我们可以通过计算正切函数来求得仰角（从地面向上看时的夹角）和俯角（从飞机向下看时的夹角）的数值。
正切函数的公式为：tanθ = 对边 ÷邻边在这个例子中，飞机和地面之间的夹角为35度，我们可以假设对边（飞机在地面上的高度）为x，邻边（飞机离开地面的水平距离）为1。
代入公式，我们就可以求得正切值。
通过反函数，我们可以得到对应夹角的数值，也就是仰角和俯角。
三、仰角和俯角的应用仰角和俯角的应用非常广泛。
比如在航空领域，飞行员需要准确测量飞机与地面之间的仰角或俯角来确保飞行的安全。
而在建筑领域，工程师需要计算仰角和俯角来确定大楼的高度和斜坡的陡峭程度。
此外，仰角和俯角也在数学的几何和三角学中有着重要的应用。
它们是理解和计算立体图形、三角形、锥体等形状的关键概念之一。
四、总结仰角和俯角是九年级下册数学中的重要知识点。
通过了解仰角和俯角的定义、计算方法和应用，我们可以更好地理解和运用这一概念。
无论是在生活中还是学习中，仰角和俯角都有着广泛的应用价值。
仰角俯角的概念
得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
二、教学重点、难点 重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已
知条件和所求角的关系 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度
的问题
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 求得AB的长。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
鲁教版(五四制)初中数学九年级上册_《三角函数的应用》复习课件2
的值为(
)
4 A. 3
3 B. 5
3 C. 4
4 D. 5
【解析】由折叠知 CF＝CB＝5，则 DF＝
52－42＝3，
∴AF＝5－3＝2.设 AE＝x，则 BE＝EF＝4－x，∴x2＋22＝(4 3 3 AE 2 3 －x)2，∴x＝ ，∴tan∠AFE＝AF＝ ＝ . 2 2 4 【答案】C
8．(2010中考变式题)如图，在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗 杆高出建筑物顶)，仰角为30°，看旗杆与地面的接触点，俯角为60°，
【答案】B
x
4．(2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛 ，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，
则四名同学所放的风筝中最高的是(
同学 放出风筝线长 线与地面夹角 甲 140 m 30°
)
乙 100 m 45° 丙 95 m 45° 丁 90 m 60°
直角三角形的边角关系的应用
日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角
三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下
几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角 形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案．
BD BD ∠BAD=∠BDA=45°,得 AB=BD.在 Rt△BDC 中,由 tan∠BCD= ,得 BC= BC tan30° = 3 BD. 设 BD=xm 则 AB=xm,BC= 3 xm,∵BC-AB=20,∴ 3 x-x=20,x= ≈27.3. 答：该古塔的高度约为 27.3 m. 20 3－1
仰角俯角;坡度坡角
山？
B
565m A 1000m C
练习1
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
练习2
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
h α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 1 0）
分析：（1）由坡度i会想到产
A
BD
C
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、 方位角有关的实际问题。
自学指导1
请同学们认真看课本113--114页练习以上内容。
思考：什么是仰角、俯角？
仰角和俯角
铅 垂
线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
视线
仰角 俯角
水平线
视线
=69+6+57.5
=132.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底 的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°，求路基下底的宽．（精确 到0.1,米, 3 1.732 ，2 1.414 ）
仰角和俯角的意思
仰角和俯角的意思仰角和俯角是物理学中常用的概念，用于描述物体或光线与地平面的夹角。
在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛。
本文将详细介绍仰角和俯角的概念、计算方法及实际应用。
1. 仰角仰角是指物体或者观测点朝天空方向偏离地面的角度，通常用竖直线与视线的夹角来表示。
在天文学中，仰角通常用于描述天体在天空中的位置。
在观测卫星时，需要知道卫星的仰角，以便调整观测仪器的朝向和位置。
2. 俯角二、仰角和俯角的计算方法1. 计算方法（1）在地理测量中，仰角和俯角可以通过测量两点之间的水平距离和垂直距离来计算。
假设A点比B点高h米，则A点到B点的俯角为atan(h/d)，其中d为A点到B点的水平距离。
如果B点比A点高，则仰角为90度减去俯角。
（2）在天文学中，仰角可以通过观测天体时测量天顶角（垂直于地面的角度）和天体高度角（天体与地平面的夹角）来计算。
仰角=90度-天体高度角。
俯角=天体高度角。
（3）在航空航天领域中，仰角和俯角需要通过仪器进行测量。
无人机上装有摄像头，可以通过调整仰角和俯角来改变拍摄视角。
2. 测量仪器（1）测距仪：可以测量两点之间的水平距离和垂直距离。
（2）全站仪：可测量目标物体的仰角、方位角和距离等参数。
三、仰角和俯角的实际应用1. 航空航天在航空航天中，仰角和俯角的应用非常广泛。
飞机、无人机等航空器需要根据目标物体的仰角和俯角来选择飞行高度，调整拍摄角度等。
在航天探测中，也需要测量行星、卫星等目标物体的仰角和俯角。
在地理测量中，仰角和俯角用于计算两点之间的高度差，确定地形高低等。
地面的地形特征对于城市规划、农业种植等方面有着重要的参考价值。
3. 天文观测在天文观测中，仰角和俯角通常用于描述恒星、行星等天体在天空中的位置。
天文观测对于了解宇宙的物理特性和演化历史具有重要的意义。
四、小结仰角和俯角是物理学中重要的概念，在导航、航空航天、地理测量等领域有着广泛的应用。
方位角与仰俯角
测量设备
罗盘
罗盘是一种常用的测量方位角的 工具，通过磁针指示方向，可以
测量出目标物的方位角。
陀螺仪
陀螺仪可以测量出物体的仰俯角和 方位角，其原理是利用高速旋转的 陀螺在空间中的进动和自转来测量 角度。
全站仪
全站仪是一种集成了测距、测角、 数据处理等多种功能的测量仪器， 可以测量出目标物的三维坐标、仰 俯角和方位角等参数。
环境因素
环境因素如磁场干扰、温度变化等也会影响测量精度，需要在测量 时尽量减少这些因素的影响。
操作误差
操作人员的技能水平和经验也会影响测量精度，正确的操作方法和 熟练的操作技能可以提高测量精度。
05 2 3
定位目标
在军事领域，方位角和仰俯角是确定目标位置的 重要参数，有助于精确制导和射击。
导航
在复杂的地形和气象条件下，通过测量方位角和 仰俯角，可以确定军用车辆、飞机和舰艇的准确 位置，进行导航。
情报侦察
通过测量和分析不同地点的方位角和仰俯角，可 以获取敌方阵地、装备部署等信息，为军事决策 提供依据。
航空应用
飞行控制
01
在飞机导航和控制系统，方位角和仰俯角是重要的飞行参数，
用于确定飞行方向和高度，确保安全飞行。
方位角与仰俯角
目录
• 方位角 • 仰俯角 • 方位角与仰俯角的转换关系 • 方位角与仰俯角的测量工具 • 方位角与仰俯角的实际应用
01
方位角
定义
• 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，范围是 0°到360°。
计算方法
01
02
03
计算公式
方位角 = arctan((y坐标 值/x坐标值)×tan(北向角 度))。
在定位系统中的应用
仰角和俯角的计算公式
仰角和俯角的计算公式仰角和俯角是在物理学和工程学中经常用到的概念，特别是在测量和定位方面。
仰角是指观察者或测量仪器与水平线之间的夹角，而俯角则是指观察者或测量仪器与垂直线之间的夹角。
在实际应用中，我们经常需要计算仰角和俯角，以便进行准确的测量和定位工作。
本文将介绍仰角和俯角的计算公式及其应用。
仰角的计算公式。
在测量和定位工作中，我们经常需要计算观察点或测量点与水平线之间的夹角，即仰角。
仰角的计算公式如下：仰角 = arctan(高度/水平距离)。
其中，arctan表示反正切函数，高度表示观察点或测量点与水平线之间的垂直距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。
举个例子，假设我们需要测量一座建筑物的仰角，观察点与建筑物的水平距离为100米，观察点与建筑物顶部的垂直距离为30米，则可以使用上述公式计算建筑物的仰角：仰角 = arctan(30/100) ≈ 16.7°。
通过计算，我们得知观察点与建筑物顶部的夹角约为16.7°，这样我们就可以准确地测量建筑物的高度。
俯角的计算公式。
俯角是指观察点或测量点与垂直线之间的夹角，在实际应用中，我们经常需要计算观察点或测量点与目标点之间的俯角。
俯角的计算公式如下：俯角 = arctan(高度/水平距离)。
与仰角的计算公式相似，俯角的计算公式也是使用反正切函数，高度表示观察点或测量点与目标点之间的垂直距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。
举个例子，假设我们需要计算观察点与目标点之间的俯角，观察点与目标点的水平距离为150米，观察点与目标点的垂直距离为40米，则可以使用上述公式计算俯角：俯角 = arctan(40/150) ≈ 15.9°。
通过计算，我们得知观察点与目标点之间的俯角约为15.9°，这样我们就可以准确地定位目标点的位置。
仰角和俯角的应用。
仰角和俯角的计算公式在实际应用中有着广泛的应用，特别是在地理测量、建筑测量、导航定位等领域。
仰角、俯角的测量
课题 解直角三角形（三）、教学目标 1使学生了解什么是仰角和俯角2、 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.3、 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题. 二、 教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、 教学过程 （一） 复习引入平时我们观察物体时， 我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ （三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二） 教学互动例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 为60o ,热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ）?分析：在 亡一」二中，-一二…」I .所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD;类似地可以求出 CD 进而求出BC.解：如图,二 J. , 一 T 1 , _」」v tana=—Jan^3=—血顾魁能120畑那二加色4帖AD AD330o ,看这栋离楼底部的俯角自ra nlDfDH詡E-NfflBMmeBffita'mslsmmflREJm水平銭CD二ADthn©二12Wan测二120x筋二12讷；必二切+C0二4讷+12如二160俟加1答：这栋楼高约为277.1m.（三）巩固再现1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角/ ACD=52° ,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）.2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°从西楼顶望东楼顶，俯角为10 °求西楼高（精确到0.1米）.3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角^5 = 7.59°。
已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
全站仪的测角原理
全站仪的测角原理
全站仪的测角原理是基于角度测量的方法进行的。
全站仪通过内部的仰角和方位角测量装置，可以测量出目标点相对于仪器的仰角和方位角的数值。
测角原理中的仰角测量主要是通过内部的水平仪和俯仪来完成的。
水平仪通过测量仪器的水平状态来确定仰角，而俯仪则通过测量目标点相对于仰角轴的俯角来确定仰角的数值。
这两个仪器的测量结果结合在一起，就可以得到目标点相对于仪器的仰角。
方位角测量是通过仪器的方位角刻度盘和测角装置来完成的。
方位角刻度盘上有360度的刻度，可以精确地测量目标点相对于仪器的方位角。
测角装置则可以通过旋转盘的转动来实时测量出目标点相对于仰角轴的方位角。
将仰角和方位角的测量结果结合起来，就可以得到目标点相对于仪器的角度值。
全站仪的测角原理是基于光学测量和旋转盘的原理进行的。
通过仪器内部的望远镜和测量装置，可以实时地测量出目标点与仪器之间的角度。
这种测量方式准确度高，适用于各种测量场合，可以满足不同精度要求的测量任务。
全站仪的测角原理是现代测量技术中重要的一部分，为各种工程测量提供了可靠的角度测量方式。
北师大版数学九年级下册第2课时 仰角、俯角问题课件
30º
60º
50 m
解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高DC=x m.
Rt△ADC中, tan 30 = DC .
AC
Rt△BDC中,
tan 60
=
DC BC
.
∴AB=AC－BC=
x tan 30
x tan 60
.
30º
60º
50 m
∴x=
50 1－1
25 3 ≈43(m).
楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高 AB是100 m，则乙楼的高CD为___1_0_03_3___（结果保留根号）.
tan 30 CD CD 3
AD 100 3
45º
CD 100 3 3
100 m
100 m
3.[内江中考]如图，有两座建筑物DA 与CB，其中 CB的高为120 m， 从DA 的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为 45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
解：在Rt△CBD中，∵BC=5tan40°≈4.195（m）， ∴EB=EC+CB=2+4.195=6.195（m）. 在Rt△EBD中，
ED BE 2 DB2 6.1952 52 7.96m .
∴钢缆ED的长度约为7.96m.
课堂小结
通过本节课的学习， 你有哪些收获？
数学源于生活 又服务于生活
tan 30
PQ CM MQ CP 1 1475.6 248 1229m .
答：这座大桥PQ的长度约为1229m.
M
4. 如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角， 且DB=5m.在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED 的长度为多少？（结果精确到0.01m）
仰角、俯角的实际问题
A
20m
B
D
从小山顶 从地面A点 E点 变式2：天空中有一个静止的广告气球C， 测得C的仰角为45°从地面B点 测得C点的仰角为60°， 已知 AB=20 米 ，点C和直线AB在同一铅垂平面上， AD=20米 求气球离地面的高度?(结果保留根号） (小山AE高15米） （15+ 20 3 ）米
解：在RT△ABD中∵∠BAD=30°
BD tan30°= AD
∴BD=
∴
3 BD = 66 3
B
┏ 30° 60° 66
22 3
A
CD ∴ 3= 66
在RT△ADC中∵∠CAD=60°
D
CD tan60°= BD
∴CD= 66
3 3 + 66 3
=
∴BC= 22
88 3
≈152.2
C
答：这栋楼有152.2米。
3
答：气球离地面CD为 30+10
3 米。
变式1：天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点 测得C的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为 60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上， 求气球离地面的高度?(结果保留根号）
过C点作CD垂直于AB， 交AB延长线于D点。
C
( 30 10 3 ) m
答：气球离地面CD为 30+ 10
C
解：在RT△CAD中∵∠CAD=45° ∴AD=CD 设CD=X，则CD=X，BD=X-20 在RT△CBD中∵∠CBD=60° x ∴ tan60°= CD = BD X-20 ∴
X
45° 60° ┏
3
=
x X-20
人教版数学九年级下册《例3和例4 测量——的仰角、俯角》教学设计
人教版数学九年级下册《例3和例4 测量——的仰角、俯角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册《例3和例4 测量——的仰角、俯角》这一节主要介绍了仰角和俯角的定义及其测量方法。
通过这一节的学习，学生能够掌握仰角和俯角的定义，了解测量工具的使用方法，以及能够运用所学的知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了角度的基本概念，如平角、周角等，并对角度的测量有一定的了解。
同时，学生在生活中也接触到一些与仰角、俯角有关的现象，如登山时测量高度、建筑工人测量楼房高度等。
因此，学生在学习这一节时，能够联系实际生活，更好地理解和掌握知识。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解仰角和俯角的定义，掌握测量工具的使用方法，能够运用所学的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够培养观察、思考、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，增强对数学学科的兴趣，培养勇于探索、严谨治学的态度。
四. 教学重难点1.重点：仰角和俯角的定义，测量工具的使用方法。
2.难点：如何运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解仰角和俯角的概念，激发学生的学习兴趣。
2.实践教学法：让学生亲自动手操作测量工具，培养学生的实践能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具：测量工具（如尺子、量角器等）、多媒体设备。
2.学具：每人一套测量工具，用于实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾之前学过的角度知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，你们还记得平角、周角是什么吗？它们是如何测量的？”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示实际生活中的仰角和俯角现象，如登山时测量高度、建筑工人测量楼房高度等，引导学生了解仰角和俯角的概念。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，使用测量工具测量教室内的物体高度，如课桌、黑板等。
人教版初中数学九年级下册第二十八章28.2.2俯角、仰角问题
c
c
b
获取新知
俯角、仰角问题 如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例题讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看
这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼
有多高（结果取整数）？ 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方
的是俯角.因此，在图中， α =30°， β =60°.
仰角
B
A
α β
D
水平线
在 Rt△ABD 中， α = 30°，AD = 120，所以可 以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以
俯角
C
求出CD，进而求出BC.
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD .
BC=__1_0_0_米.
A
B
C
3. 如图, 为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A 处，用高1. 50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°. 求旗杆BC的高.（精确到0. 1米）
解： 在 Rt△CDE中， ∵ CE = DE × tan α = AB × tan α = 10× tan 52° ≈12.80, ∴BC = BE + CE=DA + CE ≈1. 50 + 12. 80 = 14.3(米).
第二十八章 锐角三角函数
28.2.2 第课时 仰角、俯角问题
师大附校 王天航
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
仰角和俯角的取值范围
仰角和俯角的取值范围嘿，朋友们！今天咱来聊聊仰角和俯角这对有趣的“小伙伴”。
你想想看，咱平时抬头看天，那就是在感受仰角呀！那天空无边无际的，你抬头看的时候，是不是感觉自己特别渺小呀？就好像你站在山脚下，望着高耸入云的山峰，那种惊叹和敬畏，就是仰角带来的独特体验呢。
再说说俯角。
当你站在高处往下看的时候，哇，那感觉可不一样啦！你能看到下面的一切都变得那么小，好像整个世界都在你的掌控之中。
就好比你站在楼顶，看着楼下的人群和车辆，是不是有一种高高在上的感觉呀？咱生活中到处都有仰角和俯角的存在呢。
比如说，你看到那些伟大的人物，那些英雄、科学家、艺术家，你是不是会用一种仰望的角度去看待他们呀？你会佩服他们的成就，感叹他们的才华，这就是仰角的魅力呀！它能让我们看到自己的不足，激励我们去努力奋斗，去追求更高的目标。
反过来，当我们帮助别人的时候，当我们给予别人温暖和关怀的时候，我们不就处在俯角的位置吗？我们可以看到别人的需求，看到别人的困难，然后伸出援手。
这种给予的感觉，是不是特别棒呀？那仰角和俯角的取值范围到底有多大呢？这可不好说呀！它可以是小小的几度，也可以是大大的几十度甚至上百度。
这就看你面对的是什么情况啦！有时候，一个小小的仰角就能让你看到不一样的风景；有时候，一个大大的俯角能让你感受到深深的责任。
你有没有试过躺在草地上，看着天空中变幻的云彩，感受那微微的仰角带来的惬意？或者站在山顶上，俯瞰着山下的美景，享受那广阔的俯角带来的震撼？那感觉，真的是无法用言语来形容呀！而且呀，仰角和俯角还能让我们学会谦逊和自信呢。
当我们处在仰角时，我们要保持谦逊，不断学习别人的优点；当我们处在俯角时，我们要保持自信，相信自己有能力帮助别人。
这不是很好吗？咱可别小看了这仰角和俯角，它们就像生活中的调味剂，给我们的生活增添了各种滋味。
它们让我们的生活变得丰富多彩，让我们感受到这个世界的奇妙和美好。
所以呀，朋友们，好好去感受仰角和俯角吧！让它们成为你生活中的一部分，让你在不同的角度中发现不一样的自己和这个世界！这不就是生活的乐趣所在吗？。
北师大版九年级数学下册课件：1.5.2 仰角、俯角及坡度问题
tan
=tan54°×40≈55.1(m)， ∴AB=AC-BC=55.1-40=15.1(m).
54°45°
D 40m
C
答：旗杆的高度为15.1m.
新知探究
坡角与坡度
坡角：
坡面
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
坡度：
α 水平面（l）
坡面的铅垂高度（h）和水平面长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡
D 12米
4米 45°
A
C
30° B
新知探究
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
12米 D
CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
4米 45°
A
E
tan
tan
在Rt△BCF中，同理可得 tan 因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）．
在进行测量时，从上向下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
新知探究
例1、如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的 仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处， 又测得山顶A的仰角为45°,求山高(结果保留根号)．
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还是 在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此 这两个三角形都不能解，所以要用方程思 想，先把AC看成已知，用含AC的代数式 表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC 的方程，从而求得AC.
tan
tan
tan
tan
tan
tan
答：这栋楼高约为277.1m.
B
αD Aβ
C
新知探究
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高 度（精确到0.1m）.
仰角和俯角的定义
仰角和俯角的定义
仰角和俯角的定义关系
1、仰角是往上看：当观察者抬头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为仰角。
2、俯角是向下度看：当观察者低头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为俯角。
俯角是在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视道线与水平面夹角为俯角）。
也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。
仰角与俯角的性质
仰角：
实际上，决定某一时刻卫星仰角的参数有许多，它们都是描述卫星与地面观察者相对位置的参数。
这些参数包括观察者所处位置的纬度和经度，卫星距离地面的高度，卫星的轨道倾角，以及卫星处于轨道上的具体位置(卫星的纬度和经度)。
例如，赤道上的一个观察者(即观察者的纬度为0°)，观察一个在赤道平面内圆形轨道上的卫星(倾角为0°)。
当卫星沿着其轨道运行时，它将从这个观察者的头顶正上方经过，而它
的仰角将从0°增加到90°，然后再减小到0°(对于赤道上任意点的观察者都是这样)。
俯角：
是在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。
也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。
另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。
俯角范围0°到180°。
人教版数学九年级下册《例3和例4 测量——的仰角、俯角》教案
人教版数学九年级下册《例3和例4 测量——的仰角、俯角》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册中的《测量——的仰角、俯角》一节，主要让学生掌握仰角和俯角的定义，学会用测量工具进行实际测量，并能够运用所学的知识解决实际问题。
本节内容是学生对角的测量知识的进一步拓展和应用，对于提高学生的实践能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了角的测量知识，对测量工具的使用也有一定的了解。
但是，对于仰角和俯角的概念，以及如何进行实际测量，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，理解和掌握仰角和俯角的定义，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握仰角和俯角的定义，学会用测量工具进行实际测量。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生的动手能力，提高他们的实践能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：仰角和俯角的定义，以及用测量工具进行实际测量的方法。
2.难点：如何引导学生理解仰角和俯角的概念，以及如何进行实际测量。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，自主学习，合作交流，从而掌握仰角和俯角的定义，学会用测量工具进行实际测量。
六. 教学准备1.教具：测量工具（如测量仪、尺子等），多媒体教学设备。
2.学具：测量工具（如测量仪、尺子等），笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际场景，如建筑工人测量高楼的仰角，登山运动员测量山峰的俯角等，引导学生思考这些场景中涉及到的数学知识。
2.呈现（10分钟）介绍仰角和俯角的定义，以及测量工具的使用方法。
通过示例，讲解如何进行仰角和俯角的测量，让学生初步了解和认识这两个概念。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用测量工具进行仰角和俯角的测量。
教师巡回指导，解答学生的疑问，帮助学生掌握测量方法。
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课题解直角三角形（三）
一、教学目标
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
二、教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念
（二）教学互动
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m.
（三）巩固再现
1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。
已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出：
（米）
（米）
（米）
舰艇的速度为（米/分）。
设我军火力射程为米，现在
需算出舰艇从D到E的时间（分钟）
我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。
4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？
四、布置作业P101 7、8。