仰角、俯角的测量

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九年级下册数学仰角和俯角知识点

九年级下册数学仰角和俯角知识点九年级下册数学知识点: 仰角和俯角

在九年级的数学学习中，仰角和俯角是两个重要的概念。仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用于描述物体在垂直方向上的视角。在日常生活中，我们经常会用到仰角和俯角的概念，比如测量高楼的高度、确定飞机的飞行高度等等。接下来，让我们深入了解仰角和俯角吧。

一、仰角和俯角的定义

仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用来描述物体在垂直方向上的视角。仰角是指从水平线向上看时，视线与水平线之间的夹角；俯角则相反，是指从水平线向下看时，视线与水平线之间的夹角。

例如，当我们仰望一棵树时，我们所看到的视线与水平线之间的夹角就是仰角；而当我们低头俯视地面时，视线与水平线之间的夹角就是俯角。

二、仰角和俯角的计算方法

我们可以通过三角函数来计算仰角和俯角的数值。一般来说，我们会用正切函数来求取夹角的数值。

例如，假设一架飞机在空中低飞，飞机和地面之间的夹角为35度。我们可以通过计算正切函数来求得仰角（从地面向上看时的夹角）和俯角（从飞机向下看时的夹角）的数值。

正切函数的公式为：tanθ = 对边 ÷邻边

在这个例子中，飞机和地面之间的夹角为35度，我们可以假设对边（飞机在地面上的高度）为x，邻边（飞机离开地面的水平距离）为1。代入公式，我们就可以求得正切值。

通过反函数，我们可以得到对应夹角的数值，也就是仰角和俯角。

三、仰角和俯角的应用

仰角和俯角的应用非常广泛。比如在航空领域，飞行员需要准

确测量飞机与地面之间的仰角或俯角来确保飞行的安全。而在建

筑领域，工程师需要计算仰角和俯角来确定大楼的高度和斜坡的

人教版数学九年级下册28.2例3和例4测量——的仰角、俯角课件

由tan ∠ADE =
,得
变式1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和
4答5：°这，栋求楼飞高机约三的为高度点PO 在. 一条m 直线上，测得大桥两端的俯角分别
为α=30°，β=45°，求大桥的长AB 解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB．
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅
视线
垂线仰角
水平线
俯角
视线
试一试
如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，
F
B
从A看B的仰角是_∠_B_A_C__；
从B看A的俯角是∠FBA 。
DE
从B看D的俯角是 ∠FBD ；
A
C
从D看B的仰角是∠BDE ；
水平线
合作学习：
仰角
水平线
例4: 热气球的探测
小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20
A
米的测角仪测得东方明珠塔顶
的仰角为60°．
根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中 AB表示
东方明珠塔， DC 为测角仪
的支架，DC= 1.20 米，
CB= 200米，∠ADE= 60° .
根据在前一学段学过的长 D
E

仰角和俯角示意图

仰角就是高于水平线的角度，俯角就是低于水平线的角度，换而言之，仰角就是往上看，俯角就是往下看。

1.仰角是往上看：当观察者抬头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为仰角。

2.俯角是向下看：当观察者低头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为俯角。

拓展资料

俯角是在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。

也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。

另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。

通常用它来描述卫星在某时刻经过观察者上方的位置，仰角为90°表示卫星在观察者正上方。

因为仰角与地面观察者所处位置有关，所以对于地面上不同的观察者来说，观察同一个卫星的仰角是不同的，另外仰角还随着卫星在其轨道上的运动而不断变化。

《仰角、俯角问题》完整版教学课件PPT

仰角水平线
分R析t△：A我BD们中知，道a ，=3在0°视，线A与D水＝平
B
线12所0，成所的以角利中用视解线直在角水三平角线形上的方的知是识仰求角出，BD视的线长在度水；平类线似下地方可的
A
αD β
是以俯求角出，CD因的此长，度在，图进中而，求a=出30B°C ，
β的=6长0°度，即求出这栋楼的高度俯角
《仰角、俯角问题》完整版教学课件T
学习目标
1 巩固解直角三角形有关知识重点 2 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路重点、难点
导入新课
问题引入
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准
答案：飞机的高度为
300 100 3 米.Biblioteka Baidu
30° A
45° 200米
O
B
U
课堂小结
利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型一
A
C
E
D
B
模型二 A
C
D
B
B
模型三
C
模型四
A
D
tan 54 40 1.38 40 55.2m，

仰角、俯角和方位角

你知道E和F的意义吗
C
F D E
· · 37°
A
B
练习2：气象局发出预报:如图, 沙尘暴在A市
的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响? 如果受到影响,将持续多长时间?
北
北
E
C
西
D60°
A
B
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心的周围数千米范围
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30°
• 点B在点O的南偏西45°（西南方向或南偏
西45°）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
B
CE D F
南
你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗?
如何将动圆与点的位置关系变为动圆圆心所在直线与定圆的位置关系？
某日上午8点，A市气象局测得城市正东方向80Km处B点有一台风中心正在以25Km每小时的速度沿西偏北37°的BC方向迅速移动，在距离台风中心50Km范围内为严重影响区域

仰角俯角

离。 P
A
B
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构建直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
D xF
30°
C
Ex B
3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
3.如图，在高出海平面200米的灯塔顶端
P，测得正东与正西的两艘船B、A的俯角
0
0
分别是45 和30 ，求这两艘船此时的距
仰角和俯角
仰角俯角
水平线
水平线
A
由A测得B的俯角
由B测得A的仰角
B
水平线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角. 视线
铅仰角直线俯角
水平线
视线
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆40米的C处，用高1. 5米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆AB的高．

仰角和俯角的意思

仰角和俯角是物理学中常用的概念，用于描述物体或光线与地平面的夹角。在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛。本文将详细介绍仰角和

俯角的概念、计算方法及实际应用。

1. 仰角

仰角是指物体或者观测点朝天空方向偏离地面的角度，通常用竖直线与视线的夹角来

表示。在天文学中，仰角通常用于描述天体在天空中的位置。在观测卫星时，需要知道卫

星的仰角，以便调整观测仪器的朝向和位置。

2. 俯角

二、仰角和俯角的计算方法

1. 计算方法

（1）在地理测量中，仰角和俯角可以通过测量两点之间的水平距离和垂直距离来计算。假设A点比B点高h米，则A点到B点的俯角为atan(h/d)，其中d为A点到B点的水平距离。如果B点比A点高，则仰角为90度减去俯角。

（2）在天文学中，仰角可以通过观测天体时测量天顶角（垂直于地面的角度）和天

体高度角（天体与地平面的夹角）来计算。仰角=90度-天体高度角。俯角=天体高度角。

（3）在航空航天领域中，仰角和俯角需要通过仪器进行测量。无人机上装有摄像头，可以通过调整仰角和俯角来改变拍摄视角。

2. 测量仪器

（1）测距仪：可以测量两点之间的水平距离和垂直距离。

（2）全站仪：可测量目标物体的仰角、方位角和距离等参数。

三、仰角和俯角的实际应用

1. 航空航天

在航空航天中，仰角和俯角的应用非常广泛。飞机、无人机等航空器需要根据目标物

体的仰角和俯角来选择飞行高度，调整拍摄角度等。在航天探测中，也需要测量行星、卫

星等目标物体的仰角和俯角。

在地理测量中，仰角和俯角用于计算两点之间的高度差，确定地形高低等。地面的地

方位角与仰俯角

测量方法
直接测量
直接使用测量工具对目标物进行测量，记录下方位角和仰俯角等参数。
间接测量
通过测量目标物与其他已知点之间的角度或距离，利用三角函数等数学方法计算出目标物的方位角和仰俯角。
测量精度的影响因素
设备精度
测量设备的精度直接影响测量结果的准确性，高精度的设备可以获得更准确的测量数据。
气象观测
02
航空气象观测中，通过测量云层、气流等目标的方位角和仰俯
角，可以分析气象条件对飞行的影响。
空中交通管理
03
在空中交通管制中，利用方位角和仰俯角信息，可以监控和管
理空中交通流量，防止飞行冲突。
航海应用
航向确定
在航海中，通过测量船只所处位置的方位角和仰俯角，可以确定航向，确保船舶沿预定航线行驶。
在定位系统中的应用
方位角和仰俯角是定位系统中的重要参数，用于描述卫星、无人机、车辆等物体的方向和姿态。
在全球定位系统（GPS）中，方位角常用于导航和路线规划，仰俯角可用于观察地形和建筑物的高度信息。
在无人机的航拍中，方位角和仰俯角用于调整摄像头角度，获取不同视角的图像和视频。
04
方位角与仰俯角的测量工具
在摄影中的应用
仰俯角可以改变画面的透视关系，影响画面构图和视觉效果。
在拍摄人像时，仰俯角可以改变人物形象，例如使用仰角拍摄可以强调人物的高大威武形象，俯角拍摄则可以强调人物的娇小柔弱形象。

仰角和俯角的计算公式

仰角和俯角是在物理学和工程学中经常用到的概念，特别是在测量和定位方面。仰角是指观察者或测量仪器与水平线之间的夹角，而俯角则是指观察者或测量仪器与垂直线之间的夹角。在实际应用中，我们经常需要计算仰角和俯角，以便进行准确的测量和定位工作。本文将介绍仰角和俯角的计算公式及其应用。

仰角的计算公式。

在测量和定位工作中，我们经常需要计算观察点或测量点与水平线之间的夹角，即仰角。仰角的计算公式如下：

仰角 = arctan(高度/水平距离)。

其中，arctan表示反正切函数，高度表示观察点或测量点与水平线之间的垂直

距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。

举个例子，假设我们需要测量一座建筑物的仰角，观察点与建筑物的水平距离

为100米，观察点与建筑物顶部的垂直距离为30米，则可以使用上述公式计算建

筑物的仰角：

仰角 = arctan(30/100) ≈ 16.7°。

通过计算，我们得知观察点与建筑物顶部的夹角约为16.7°，这样我们就可以

准确地测量建筑物的高度。

俯角的计算公式。

俯角是指观察点或测量点与垂直线之间的夹角，在实际应用中，我们经常需要

计算观察点或测量点与目标点之间的俯角。俯角的计算公式如下：

俯角 = arctan(高度/水平距离)。

与仰角的计算公式相似，俯角的计算公式也是使用反正切函数，高度表示观察

点或测量点与目标点之间的垂直距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。

举个例子，假设我们需要计算观察点与目标点之间的俯角，观察点与目标点的

水平距离为150米，观察点与目标点的垂直距离为40米，则可以使用上述公式计

仰角、俯角;坡度、坡角PPT课件

A
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
垂足分别为点E、 F,由题意可知
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
BE=CF=23m EF=BC=6m
AB AE2 BE2 692 232 72.7m
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 3 23 69m
24.4 解直角三角形
测量问题、坡度问题
三边之间关系锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
sin
A
A的对边斜边
BC AB
cos
A
A的邻边斜边
AC AB
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
学习目标1
1、了解仰角、俯角的概念；
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题。
生铅垂高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出。

数学人教版九年级下册28.2.2实际应用——的仰角、俯角

A 60°
B
D
FFra Baidu bibliotek
30°
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β ; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
A i=1:1.5 B D i=1:3 E β C
6m
F
α
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
学习目标
1.理解坡度（或坡比）、坡角的意义。
2.会表示方位角。
3.运用坡度、坡角、方位角解决实际问题。
1.测量高度时,仰角与俯角有何区别? 2.解答下面的问题
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45° ,条幅底端E点的俯角为30° .求甲、乙两建筑物之间的水平距离 BC A
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
本节课你学习了什么知识？
1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东 60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

仰角、俯角的测量

课题解直角三角形（三）

、教学目标 1使学生了解什么是仰角和俯角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题. 二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决观测问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入

平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上

和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念（二）教学互动

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为为60o ,热气球与高楼的水平距离为

120 m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ）?

分析：在亡一」二中，-一二…」I .所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD;

类似地可以求出 CD 进而求出BC.

解：如图,二 J. , 一 T 1 , _」」

v tana=—Jan^3=—血顾魁能120畑那二加色4帖

AD AD

30o ,看这栋离楼底部的俯角

自ra nlDfDH

詡

E-

NfflBMm

eBffita'mslsmmflREJm

水平銭

答：这栋楼高约为277.1m.

（三）巩固再现

1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角/ ACD=52° ,

已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）.

2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°从西楼顶望东

仰角和俯角

在Rt△ADE中，
D E 4.2
4.2
A E = A E =tan32°, A E = tan32°≈6.72
利用坡度和坡角等条件，解决有
在Rt△BCF中，
关实际问题.
C F 4.2
4.2
B F = B F =tan28°,B F = tan28°≈7.9.
∴AB=AE+EF+BF，
D 12.51米 C
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
h 有i= l=tanα.
i=h:l
h
α
l
显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．(精确到0.1米)
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 DE=CF=4.2, EF=CD=12.51,
AD=AE+EF+FD≈135.5(米) 1
（2）由tanα= 2.5, 得 α ≈22º.
BC
A
EF
D
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
坡度（坡比）的概念及表示法：
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=
h l
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1:6．

仰角、俯角和方位角

？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。（3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。
北
C
60

北
30
60km

A
D
B
针对性习题3：大海中某小岛A的周围22km范围内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的B 处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西 25°方向的C处.如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗? (精确到0.1km).
北
tan 25°≈ 0.47 西 tan 55°≈ 1.43
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中

高度仰角俯角的概念

[例2] 某兴趣小组要测量电视塔 AE的高度H(单位：m)．如右图，竖直放置的标杆BC的高度 h＝4 m，仰角 ∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
返回
解: 由 AB＝taHn α，BD＝tahn β，
AD＝taHn β及 AB＋BD＝AD，
wenku.baidu.com
2、底部不能到达的
例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.
想一想
A
图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，

求什么？
D
C
E
G
H
B
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使
得taHn α＋tahn β＝taHn β，解得 H＝tanhαta－ntαan β＝1.42×4－1.12.420 ＝124. 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.
返回
练习1. 如图所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出 A点距地面的高AB＝________.
解：设山顶为 C，山高 CD＝x，由题意 ∠CAD＝30°，∠CBD＝40°，∠ACB＝50°. 在 Rt△ADC 中，AC＝sinCD30°＝2x，在 Rt△BDC 中，BC＝sinCD40°＝sinx40°.

仰角俯角

P
45° 37° B 400米 A
仔细认真多动脑，数学一定能学好！
基本模型：
模型一
A
A
C
E
D
B
C
D
B
B
模型三
C
A
D
域内，请问：计划修
筑的这条高速公路会
不会穿越保护区(参考
数据：3 ≈1.732， 4 ≈1.414)．
200km
仔细认真多动脑，数学一定能学好！
C 200km
基本模型
A
C
D
B
限时练
如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）
图所示：北 A
北
30°北偏东30°西北
东北
45°
西
O
南偏西45°45°
B南
东
西
45°O
东
西南
东南
南
例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼
群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
C北

仰角、俯角的测量

九年级下册数学仰角和俯角知识点

人教版数学九年级下册28.2例3和例4测量——的仰角、俯角课件

仰角和俯角示意图

《 仰角、俯角问题》完整版教学课件PPT

仰角、俯角和方位角

仰角俯角

仰角和俯角的意思

方位角与仰俯角

仰角和俯角的计算公式

仰角、俯角;坡度、坡角PPT课件

数学人教版九年级下册28.2.2实际应用——的仰角、俯角

仰角、俯角的测量

仰角和俯角

仰角、俯角和方位角

高度仰角俯角的概念

仰角俯角

《仰角、俯角问题》完整版教学课件PPT