1.2.3直线方程的一般式

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高一数学复习考点知识讲解课件4---直线的一般式方程

高一数学复习考点知识讲解课件1.2.3直线的一般式方程考点知识1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．导语前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？一、直线的一般式方程问题直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？提示y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y ＝2x＋3，可以表示直线．知识梳理方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程；②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；③x的系数一般不为分数和负数；④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝3(x－5)，即3x－y－53＋3＝0.(2)由两点式，得直线方程为y－5－1－5＝x－(－1)2－(－1)，即2x＋y－3＝0.(3)由截距式，得直线方程为x－3＋y－1＝1，即x＋3y＋3＝0.(4)y －2＝0.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________； ②在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________； ③经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．答案①x ＋2y ＋4＝0②2x －y －3＝0 ③x ＋y －1＝0(2)在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________．答案x －y －6＝0解析设直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由题意得k ＝tan45°＝1，b ＝－6，所以y ＝x －6，即x －y －6＝0.二、直线的一般式方程化为其他形式的方程例2(1)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB >0，BC >0)，则直线不经过() A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案A解析直线Ax ＋By ＋C ＝0化为y ＝－A B x －CB ，又AB >0，BC >0，所以－A B <0，－CB <0，则直线不经过第一象限．(2)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3； ②l 的斜率是－1.解①当直线在x 轴上的截距为－3时，有2m －6m 2－2m －3＝－3，且m 2－2m －3≠0，解得m＝－53.②当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，且2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.延伸探究对于本例中的直线l 的方程，若直线l 与y 轴平行，求m 的值．解∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m 2＋m －1＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不全为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．跟踪训练2(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.14B．2C．1D.12答案D解析由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1 2.(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的() 答案D解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－ab x－cb，因为a，b，c都大于0，所以－ab<0，－cb<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.三、直线一般式方程的应用例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明将直线l的方程整理为y－35＝a⎝⎛⎭⎪⎫x－15，∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)解直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3， ∴a ≥3.延伸探究1．本例中若直线在y 轴上的截距为2，求a 的值，这时直线的一般式方程是什么？解把方程5ax －5y －a ＋3＝0化成斜截式方程为y ＝ax ＋3－a5. 由条件可知3－a5＝2，解得a ＝－7，这时直线方程的一般式为7x ＋y －2＝0.2．本例中将方程改为“x －(a －1)y －a －2＝0”，若直线不经过第二象限，则a 的取值范围又是什么？解(1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝1a －1x －a ＋2a －1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y 轴的截距小于等于零，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1≥0，a ＋2a －1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤－2或a >1，综上，可知a ≥1.反思感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪训练3直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1.∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．知识清单：(1)直线方程的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)直线一般式方程的应用．2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为()A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12 答案C2．在平面直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是() A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )，则该直线过定点________．答案(－2,1)解析直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0，即k (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∴当x ＋2＝0，－y ＋1＝0时过定点， ∴x ＝－2，y ＝1， ∴该直线过定点(－2,1)．4．若直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值是________．答案3解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0，∴m ＝3.课时对点练1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为()A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0答案D解析根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件()A．bc＝0B．a≠0C．bc＝0且a≠0D．a≠0且b＝c＝0答案D解析y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为b＝c＝0，a≠0.3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc>0B．ab>0，bc<0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0答案B解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－ab x－cb，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，所以－ab<0，－cb>0，所以ab>0，bc<0.5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A．－3，－1B.3，－1C．－3，1D.3，1答案A解析原方程化为x1 a ＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b＝－1.∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，∵3x－y－3＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°＝－3，∴a＝－3，故选A.6．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0D．x＋2y＋1＝0答案A解析因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．答案2x－y＋1＝0解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．答案－415解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－415.9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．解直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，则所围成的三角形的面积为12×|－2m＋2|×|m－1|，由题意可知12×|－2m＋2|×|m－1|＝4，化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y－1＝0上，∴设B点坐标为(x,1)．又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，2. 又∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5，∴B 点坐标为(5,1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案D解析∵k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0. ∴倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．设A (－2,2)，B (1,1)，若直线l ：ax ＋y ＋1＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，32 答案C解析由ax ＋y ＋1＝0得，y ＝－ax －1，因此直线l 过定点P (0，－1)，且斜率k ＝－a ，如图所示，当直线l 由直线P A 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时，符合题意．易得k PB ＝1－(－1)1－0＝2，k P A ＝2－(－1)－2－0＝－32.结合图形知，－a ≥2或－a ≤－32，解得a ≤－2或a ≥32.故选C.13．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．答案2x ＋3y ＋4＝0解析∵两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．答案3解析由题意可知直线过点(0,1)，代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________．答案x＋4y－14＝0解析过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA，∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，∴直线FH的方程为y－34－3＝x－2－2－2，化为一般式方程为x＋4y－14＝0.16．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．解(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝12.所以若方程表示一条直线，则m≠－1.即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．(2)由(1)知当m＝12时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝43.(3)依题意，得2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，m 2－2m －3≠0，所以m ＝－53.(4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1,2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43，所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m ＝43.。

直线和曲线的简单方程求解方法

直线和曲线的简单方程求解方法一、直线方程求解方法1.1 点斜式方程点斜式方程是直线上任意一点和斜率来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。

1.2 两点式方程两点式方程是利用直线上的两点来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。

1.3 截距式方程截距式方程是直线在坐标轴上的截距来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：x/a + y/b = 1，其中a为x轴截距，b为y轴截距。

1.4 一般式方程一般式方程是直线方程的通用形式，其一般形式为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。

二、曲线方程求解方法2.1 圆的方程圆的方程是利用圆心和半径来表示圆的一种形式，其一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

2.2 椭圆的方程椭圆的方程是利用椭圆的长轴、短轴和焦距来表示椭圆的一种形式，其一般形式为：x²/a² + y²/b² = 1，其中a为半长轴，b为半短轴。

2.3 双曲线的方程双曲线的方程是利用双曲线的实轴、虚轴和焦距来表示双曲线的一种形式，其一般形式为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为实半轴，b为虚半轴。

2.4 抛物线的方程抛物线的方程是利用抛物线的焦点、准线和顶点来表示抛物线的一种形式，其一般形式为：y² = 4ax 或 x² = 4ay，其中a为焦点到顶点的距离。

三、求解方法3.1 直线方程求解直线方程求解主要是通过解析式来求出直线上任意一点的坐标。

§1.2 直线方程的两点式和一般式

课题：§2.1 直线方程的两点式
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题.
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程两点式.
2、难点：两点式推导过程的理解.
课题：直线方程的一般式
一、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题.
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题.
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式.
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用.。

2.2.3直线的一般式方程(教学课件(人教版))

解(1)若方程不能表示直线，则 m2＋5m＋6＝0 且 m2＋3m＝0.
解方程组
m 2＋5m＋6＝0，得 m 2＋3m＝0，
m＝－3
(2)由已知 m2m2－2＋mm≠－0，3＝－（m2－m），解由得已m知＝－24mm12－ .＋1m＝－2m3≠2＋ 0，m－3，
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
BB
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 x C . A
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式. 探究在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
两点式
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
直线方程 y y0 k( x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
应用范围
不含与x轴垂
直的直线
不含与x轴垂
直的直线
不含与x, y轴
垂直的直线
截距式
过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A 和直线l垂直的直线方程．
解 (1)将与直线 l 平行的方程设为 3x＋4y＋C1＝0，
又过点 A(2,2)，所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14.

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

2.2.3直线的一般式式方程课件(人教版)

学习新知直线的一般式方程:
Ax By C （0 A, B不同时为0）
探究：在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 _A____0_且__C___0_ (2)平行于y轴 _B____0_且__C___0_ (3)与x轴重合 _A____0且 __C____0_ (4)与y轴重合 _B____0_且__C___0_
截距式方程: x y 1 ab
不能表示过原点和与坐标轴平行或重合的直线
学习新知
直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式
方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是
什么？
二元一次方程
思考2:二元一次方程的一般情势是什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的情势吗？
方法小结 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0
巩固练习
3.当a为何值时,直线l1 : (a 2)x (1-a) y-1=0与直线
l2 : (a-1)x (2a 3) y 2=0互相垂直？
解 :方法一由题意知，直线l1 l2. (1)若1 a 0,即a 1时,直线l1 : 3x 1 0与直线l2 : 5 y 2 0垂直.
l1 / /l2 A1B2 A2B1 0且C1 A2 C2 A1 0或C1B2 C2B1 0

课件5：3.2.3 直线的一般式方程

〔跟踪练习 6〕直线(t＋2)x＋(1－t)y＋3－t＝0 过定点__－__23_，__－__53___．
【解析】分离参数得：(x－y－1)t＋2x＋y＋3＝0 由2x－x＋y－y＋13＝＝00得xy＝＝－－2353. ∴直线过定点－23，－53．
课堂小结
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0；若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－a－(a2＋≤01)>0或－a－(a2＋≤01)＝0，∴a≤－1．综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
〔跟踪练习 1〕已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．
[解] 直线过 A(－5,6)、B(－4,8)两点由两点式得8y－－66＝－x＋4＋55 整理得 2x－y＋16＝0 ∴2x－y＝－16，两边同除以－16 得，－x8＋1y6＝1．故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为－x8＋1y6＝1.
3．直线 kx－y＋1－3k＝0，当 k 变化时，所有直线都恒过点
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)

高中数学直线与直线的方程直线方程的点斜式直线方程的两点式和一般式含解析北师大版必修

1．2 直线的方程1．2.1直线方程的点斜式考纲定位重难突破1.理解直线方程的含义．2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件.3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件. 重点：熟练求出满足已知条件的直线方程．难点：常与函数、方程等结合命题．方法：待定系数法求直线方程.授课提示：对应学生用书第36页[自主梳理]一、直线方程的点斜式和斜截式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围点斜式直线l上一点P(x1，y1)及斜率ky－y1＝k(x－x1)直线不与x轴垂直斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距by＝kx＋b直线不与x轴垂直1．在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的b；2．在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的a.[双基自测]1．直线方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．答案：D2．若直线方程为y－3＝3(x＋4)，则在该直线上的点是()A．(4,3)B．(－3，－4)C．(－4,3) D．(－4，－3)解析：由点斜式方程知该直线经过(－4,3)．答案：C3．直线y ＝12(x ＋4)在y 轴上的截距为________．解析：方程可化为y ＝12x ＋2，故直线在y 轴上的截距等于2.答案：24．经过点(－2,1)，且斜率与直线y ＝－2x －1的斜率相等的直线方程为________．解析：直线y ＝－2x －1的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2，又经过点(－2,1)，故所求直线方程为y －1＝－2(x ＋2)，可化为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝05．已知直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋2＝0. (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 在y 轴上的截距为4，求k 的值．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －2＝k (x ＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k 的直线，故直线过定点(－2,2)．(2)令x ＝0，得y ＝2k ＋2，依题意有2k ＋2＝4，故k ＝1.授课提示：对应学生用书第36页探究一直线的点斜式方程[典例1] 根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)斜率为－12，且过点(2，－2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；(3)斜率为2，与x 轴交点的横坐标为－5； (4)过点B (－1,0)，D (4，－5)； (5)过点C (－2,3)，与x 轴垂直．[解析] (1)所求直线的斜率为－12，又过点(2，－2)，故所求方程为y ＋2＝－12(x －2)．(2)设直线的倾斜角为α，因为α＝45°，k ＝tan α＝tan 45°＝1，所以所求直线的点斜式方程为y －1＝x －3.(3)由直线与x 轴交点的横坐标为－5，得直线过点(－5,0)．又斜率为2，由直线的点斜式方程得y －0＝2[x －(－5)]，即y ＝2(x ＋5)．(4)直线的斜率为k＝－5－04－(－1)＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)，即y＝－(x＋1)．(5)由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2,3)，故方程为x＝－2.1．用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．若直线过点P(x0，y0)且斜率不存在，则直线方程为x－x0＝0.2．求直线的点斜式方程的步骤：(1)确定直线所经过的一个点(x0，y0)；(2)求出直线的斜率k；(3)根据点斜式写出直线方程．1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0(x＋1)．探究二直线的斜截式方程[典例2]根据下列条件求直线的斜截式方程：(1)斜率为3，在y轴上的截距等于－1；(2)在y轴上的截距为－4，且与x轴平行．[解析](1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝3x－1；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为－4，所以所求的直线方程为y＝－4.1．直线l与x轴的交点的横坐标称为直线l的横截距；与y轴交点的纵坐标称为直线l的纵截距．注意截距不是距离，截距可以为正，可以为负，也可以为零，距离不能为负．2．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．3．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．4．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .2．(1)已知直线方程为y －2＝3(x ＋3)，则它在y 轴上的截距为________； (2)已知直线的斜率为2，在y 轴上的截距m 为________时，该直线经过点(1,1)．解析：(1)由y －2＝3(x ＋3)可得y ＝3x ＋11.对照斜截式方程可知直线在y 轴上的截距b ＝11. (2)由已知可得直线方程为y ＝2x ＋m ，又直线经过点(1,1)，所以1＝2＋m ，得m ＝－1. 答案：(1)11 (2)－1探究三直线方程的简单应用[典例3] 已知直线l 的斜率为2，且与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x 轴、y 轴围成的三角形的周长．[解析] 由于直线l 的斜率为2，故设l 的方程为y ＝2x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b 2.由已知得12·|b |·⎪⎪⎪⎪－b 2＝36，解得|b |＝12. 即b ＝±12，所以l 的方程为y ＝2x ＋12或y ＝2x －12.当b ＝12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,12；当b ＝－12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6，－12. 故三角形的周长为6＋12＋62＋122＝18＋6 5.1．求直线方程时，通常采用待定系数法，即先设出参数，然后利用条件求得参数值，即得方程．如果直线的斜率已知，通常设直线方程的斜截式，这时方程中含参数b ；如果直线所经过的某个点的坐标已知，则可设点斜式，这时方程中含参数k .2．截距不是距离，在求解有关周长、面积的问题时，注意二者的区别，必要时应通过绝对值进行转化．3．如图，光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线的方程．解析：入射光线经过点M 、N ，其斜率k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°，由物理学知识得∠M ′NP ＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1， ∵点N (0,1)在反射光线上，∴反射光线的方程为y －1＝(－1)(x －0)，即x ＋y －1＝0.对截距概念理解不到位致误[典例] 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．[解析] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，所以b ＝±1. 故所求直线的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.[答案] y ＝16x ＋1或y ＝16x －1[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，不是直线与y 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．[随堂训练] 对应学生用书第38页1．下列说法：①任何一条直线在y 轴上都有截距； ②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x 轴的任何直线．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．答案：D2．直线y ＝π4x －1的斜率等于( )A ．1B ．－1 C.π4D ．－π4解析：由直线方程的斜截式知其斜率为π4.答案：C3．若直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B ．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1解析：直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：D4．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：由题意知该直线的斜率为2，又该直线经过点P (1,2)，∴该直线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x5．直线y ＝3kx －3k ＋6经过定点P ，则点P 的坐标为________．解析：直线方程可化为y －6＝3k (x －1)，由点斜式可知该直线经过定点P (1,6)．答案：(1,6)1．2.2 直线方程的两点式和一般式以用关于x ，y的二元一次方程来表示．3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围. 难点：直线方程几种形式的选择．疑点：直线方程中的隐含条件易被忽略.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]直线方程的两点式、截距式和一般式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在坐标轴上的两截距：横截距a与纵截距bxa＋yb＝1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值Ax＋By＋C＝0平面内任一条直线1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线，③显然正确．答案：D2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x 5＋y3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y 3＝0 解析：由方程的截距式易知直线方程为x 5＋y －3＝1，即x 5－y3＝1.答案：B3．若直线mx ＋2y －1＝0的斜率等于2，则它在y 轴上的截距为________．解析：由已知得－m2＝2，所以m ＝－4，此时直线的方程为－4x ＋2y －1＝0，可化为y ＝2x ＋12，所以直线在y 轴上的截距为12.答案：124．若直线2x ＋3y ＋m ＝0经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是________．解析：2x ＋3y ＋m ＝0可化为y ＝－23x －m 3，依题意应有－m3>0，所以m <0.答案：m <05．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)，AC 的中点D 的坐标为(－4,2)．求：(1)边AC 所在直线的方程； (2)BD 所在直线的方程．解析：(1)因为A (0,4)，C (－8,0)，所以由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.所以边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.故BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.授课提示：对应学生用书第39页探究一直线方程的两点式方程和截距式[典例1] 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解析] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1.化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1.因为直线过点P (2,3)，所以2＋3a＝1，即a ＝5. 直线方程为y ＝－x ＋5.所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．1．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解析：(1)易知直线l 过点(m,0)，(0,4－m )，则k ＝4－m －m＝2, m ＝－4.(2)由m ＞0,4－m ＞0，得0＜m ＜4，则S ＝m (4－m )2＝－(m －2)2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.探究二直线方程的一般式[典例2] 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值； (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解析] (1)因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.1．直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A ，B 不同时为0；2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．2．当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1； (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1?解析：(1)因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.(2)因为直线在x 轴上的截距为1，所以令y ＝0，得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.探究三直线方程的综合应用[典例3] 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解析] (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，所以直线l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，则它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，所以a ≥3.1．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝－AB ，这时直线方程可化为点斜式或斜截式；当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式．2．直线在平面直角坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则条件直线的位置 k >0，b >0 k >0，b <0 k <0，b >0 k <0，b <0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限3．求经过点A (2,1)，B (6，－2)的直线的两点式方程，再把它化为一般式、点斜式、截距式和斜截式方程，并画出图形．解析：直线AB 经过点A (2,1)，B (6，－2)，则两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2.去分母，整理得3x ＋4y －10＝0，这就是一般式方程．直线AB 的斜率k ＝1－(－2)2－6＝－34，所以点斜式方程为y －1＝－34(x －2)．令x ＝0，得y ＝52；令y ＝0，得x ＝103，所以截距式方程为x 103＋y52＝1.直线AB 的斜率k ＝－34，在y 轴上的截距为52，所以直线AB 的斜截式方程为y ＝－34x ＋52.直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点(103，0)与(0，52)，经过这两点作直线，就得到直线AB ，如图所示．直线方程的实际应用[典例] (本题满分12分)某小区内有一块荒地ABCDE ，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m ，CD ＝240 m ，DE ＝300 m ，EA ＝180 m ，∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°)[规范解答] 以BC 边所成直线为x 轴，AE 边所成直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．①由已知可得A (0,60)，B (90,0).……………………………………3分所以AB 所在直线方程为x 90＋y 60＝1，即y ＝60－23x ………………………………….5分从而可设线段AB 上一点P ⎝⎛⎭⎫x ，60－23x ，其中0≤x ≤90，所以所开发部分的面积为S ＝(300－x )(240－y ). …………………………………7分故S ＝(300－x )⎝⎛⎭⎫240－60＋23x ＝－23x 2＋20x ＋54 000＝－23(x －15)2＋54 150(0≤x ≤90)．②…………………………………9分所以当x ＝15，y ＝60－23×15＝50时，S max ＝54 150 m 2. …………………………………11分因此点P 距直线AE 15 m ，距直线BC 50 m 时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m 2.③…………………………………12分[规范与警示] (1)解答本题的3个关键步骤如下：一是根据条件建立适当的坐标系①是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点．二是根据直线方程确定x 和y 的关系后，在②处要根据实际情况确定出x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．三是在解答③处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分． (2)解决该类问题应注意以下两点：一是利用坐标法解决实际生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻找x 和y 的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．二是利用二次函数知识探求最大值是解答这类问题常用的方法，因此要求转化正确，不能漏掉自变量的范围，而且步骤一定要完整、规范．[随堂训练] 对应学生用书第40页1．经过点⎝⎛⎭⎫12，－1和⎝⎛⎭⎫12，2的直线的方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝12D ．y ＝12解析：因直线的斜率不存在，∴直线的方程为x ＝12.答案：C2．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2解析：分析知a ≠0，直线l 的方程可化为x 2a ＋y 2＝1，所以由2a ＝2，得a ＝1，故选A.答案：A3．若mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m ，n 的值分别是( ) A ．4,3 B ．－4,3 C ．4，－3D ．－4，－3解析：mx ＋ny ＋12＝0化为截距式为x －12m ＋y－12n ＝1，所以⎩⎨⎧－12m＝－3，－12n ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3.答案：C4．直线4x －y －8＝0在x 轴上的截距等于________．解析：令y ＝0，得x ＝2，所以直线在x 轴上的截距为2. 答案：25．若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示一条直线，则m 的取值范围是________．解析：要使方程表示直线，需m 和m 2－m 不同时为0，因此m ≠0. 答案：m ≠0。

第2章 1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式

第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标 1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理两点式方程知识点二直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2 已知两点P 1(a ,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋yb ＝1.梳理截距式方程知识点三直线方程的一般式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．梳理 (1)一般式方程(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一直线的两点式和截距式方程命题角度1 直线的两点式方程例1 已知△ABC 的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，若AB 与y 轴交于点E ，BC 与x 轴交于点F ，求直线EF 的方程．考点直线的两点式方程题点直线两点式方程的应用解直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E ⎝⎛⎭⎫0，－158. 直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点，由两点式得y －(－3)2－(－3)＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F ⎝⎛⎭⎫65，0.由截距式方程得x 65＋y －158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 考点直线的两点式方程题点直线两点式方程的应用答案－2解析由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2. ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 命题角度2 直线的截距式方程例2 (1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 A解析设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b＝1 12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条考点直线的截距式方程题点利用截距式方程求直线的条数答案 B解析设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条考点直线的截距式方程题点利用截距式方程求直线的条数答案 B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎨⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型二直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 考点直线的一般式方程与直线的性质题点根据截距或斜率求参数答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3.当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，不合题意，舍去． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠－1且m ≠12，由直线l 化为斜截式方程，得 y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2. 反思与感悟直线方程的几种形式的转化跟踪训练3 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解 (1)由点斜式方程，得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型三直线方程的综合应用例4 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．考点题点(1)证明方法一将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限．方法二将直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线．∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限． (2)解如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围为{a |a ≥3}．反思与感悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键．跟踪训练4 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．考点直线的截距式方程题点截距式方程的意义解 (1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0，可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. 故所求实数a 的取值范围为(－∞，－ 1].1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( ) A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 C解析由题意可得，直线的截距式方程为x 2＋y－3＝1，即3x －2y －6＝0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限考点题点答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°考点题点答案 C解析直线斜率k＝－33，所以直线的倾斜角为150°，故选C.4．直线xa＋yb＝1(ab<0)的图像可能是()考点题点答案 C5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B. 3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线.一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案 B解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0考点直线的一般式方程与直线的性质题点直线的一般式方程与图像的关系答案 B解析将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B ，C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B 项正确．3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0考点直线的一般式方程与直线的性质题点直线的一般式方程与图像的关系答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断．4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 D解析原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又直线ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选D.5.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c答案 C解析由已知直线表达式，得l 1：y ＝－1a x －b a， l 2：y ＝－1c x －d c，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >－1c > 0－b a < 0－d c > 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0. 6．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可以是()考点直线的截距式方程题点截距式方程的意义答案 A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．7．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 B解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .8．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0考点题点答案 A解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上，∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.二、填空题9．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是______．考点题点答案－32解析直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32， ∴在x 轴上的截距为－32. 10．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为 ________________________________________________________________________；截距式方程为___________________________________________________________；斜截式方程为___________________________________________________________；一般式方程为____________________________________________________________．考点题点答案 y ＋4＝3(x －0) x 433＋y －4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0解析由题意知，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程为y ＋4＝3(x －0)，截距式方程为x 433＋y －4＝1，斜截式方程为y ＝3x －4，一般式方程为3x －y －4＝0.11．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________________．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋y b＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0.三、解答题12．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．考点直线的截距式方程题点解由已知，直线过点(3,0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6.所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0.令x ＝0，得y ＝－415. 故直线在y 轴上的截距为－415. 13．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程．考点题点解设直线l 的斜率k ，则直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6. 所以⎝⎛⎭⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得k ＝－23或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)．即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 四、探究与拓展14．入射光线从P (2,1)出发，经x 轴反射后，通过点Q (4,3)，则入射光线所在直线的方程为________________．考点题点答案 2x ＋y －5＝0解析由题意，利用反射定理可得，点Q (4,3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线上，故入射光线l 所在的直线PQ ′的方程为y －1x －2＝1＋32－4，化简得2x ＋y －5＝0. 15．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．考点题点解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1， ① 又a ＋b ＋a 2＋b 2＝12， ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝125b ＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝6.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或6x ＋2y －12＝0.。

§1.2.2 直线方程的两点式和一般式

【问题1】 “任意直线的方程都是二元一次方程
吗？” 在平面直角坐标系中，直线可以分为两类.
直线与x轴不垂直（ k存在）
y
直线与x轴垂直（ k不存在）y0源自●xＰ(x0,y0)
对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程
0
●x
Ｐ(x0,y0)
由点斜式,得：y-y0=k(x-x0) 可化为：kx-y-kx0+y0=0
由图像,得：x=x0 可化为： x+0●y-x0=0
两者都是关于x,y的二元一次方程．
任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示．
【问题2】
“任意形如Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？”
Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0）
分析：已知两点的坐标，可以直接运用两点式求直线的方程.
解：如图
∵直线AB过A（-3，0），
B（2，-2）两点， ∴由两点式 y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
A （-3，0）
得
y
C（0，1） 1
0
x
B （2，-2）
整理得 2x+5y+6=0. 这就是直线AB的方程;
∵直线AC过A（-3，0），C（0，1）两点， ∴由两点式得
通常称它为直线方程的截距式. 其中a为直线在x轴上的截距，
b为直线在y轴上的截距.
y
y
轴
上
● Q（0,b）
的
截
距
b
0
P（a,0）
●
x
x轴上的截距a

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第1章直线与方程1.2直线的方程1.2.3直线的一般式方

即 + 2 + 2 = 0 ．选择②．由题意,可设直线 2 的方程为
点 −4,1
−4
，所以
2
+ 2 + 2 = 0 ．
+
1

= 1 ，解得 =

2
+

1
2
+4 ，
= 1 .因为直线 2 过

−1 ，所以直线 2 的方程为
−2

+
−1
= 1 ，即
（2）若直线 1 与 2 在轴上的截距相等，求直线 1 在轴上的截距.
2
2
，于是得 −
−3
−3
= −1 ，解得 = 5 ，即的值为5．
（2）直线在轴、轴上的截距之和等于1.
因为直线的，当 = 0 时， = 2 ，当
= 0 时， = − 3 ，于是得 − 3 + 2 = 1 ，解得 = 2 ，即的值为2．

由截距式方程，得 +
−3
−1
= 1 ，整理得 + 3 + 3 = 0．
【题型二】直线一般式方程的应用
例2 [2023无锡调研] 已知直线 1 : + 2 − 12 = 0 ，直线 2 过点 −4,1 ，________.
1
4
①直线 2 的斜率是直线 = − 的斜率的2倍；②直线 2 不过原点且在轴上的截距
在轴上的截距为6．
规律方法直线一般式方程的解题流程
跟踪训练2 设为实数，若直线的方程为 2 + − 3 − 2 + 6 = 0 ≠ 3 ，根据

几何画板直线的方法

几何画板直线的方法1.引言1.1 概述几何画板直线的方法是研究在几何画板上如何画出直线的一门重要课题。

直线是几何学中最基本的图形之一，它具有方向性和无限延伸性。

在解决几何问题时，我们经常需要确定直线的位置和性质，因此熟练掌握画直线的方法对于我们的几何学习十分重要。

本文将介绍几种常见的画直线的方法，包括点斜式方程、截距式方程、一般式方程和向量法。

这些方法各有特点，可以根据实际情况选择适合的方法来画出直线。

在接下来的章节中，我们将详细探讨每种方法的原理和步骤。

点斜式方程是一种常用的画直线的方法，它利用直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。

截距式方程则是通过直线在坐标轴上的截距来确定直线的方程。

一般式方程是将直线的方程表示为一般形式的线性方程。

而向量法则利用向量的概念，通过直线上一点和直线的方向向量来确定直线的方程。

每种方法都有其适用的场景和使用的步骤，我们将在接下来的章节中逐一介绍它们的原理和具体操作。

通过学习这些方法，我们可以更加灵活地应用于解决各种几何问题，提高解题的效率和准确性。

总之，几何画板直线的方法是几何学中必不可少的基础知识。

通过掌握这些方法，我们可以准确地画出直线，并应用于解决各种几何问题中。

接下来的章节将详细介绍每种方法的原理和应用场景，希望读者能通过本文的学习，深入理解这些方法，并能在实际问题中灵活运用。

1.2文章结构文章结构部分的内容如下：本文主要介绍关于几何画板直线的方法。

为了更好地阐述这些方法，文章将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将对本文的概述进行简要介绍。

首先，概述将介绍几何画板直线的基本概念和定义，帮助读者理解文章的主题。

接着，文章将给出整篇文章的结构，明确每个部分的内容和目的。

最后，引言将总结本文的目的，即为读者提供关于几何画板直线的方法的全面了解。

在正文部分，将详细介绍四种几何画板直线的方法。

首先，将介绍点斜式方程的方法，该方法通过给出直线上任意一点和直线斜率的方式来表示直线方程。

高一数学：1.2.3直线的一般式方程课件 (北师大必修2)

y kx b
y y1 y 2 y1
x a yห้องสมุดไป่ตู้b

x x1 x 2 x1
( y 2 y1 ) x ( x1 x 2 ) y x1 ( y1 y 2 ) y1 ( x 2 x1 ) 0
1
bx ay ( ab ) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6）化成一般式，得截距式是： 4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，则直线l的点斜式方程是___________
⑴B≠0时，方程化成这是直线的斜截式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合（当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是 y kx b

第2章 1.3 直线方程的两点式和一般式

1.3两条直线的位置关系学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.3.能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．知识点一两条直线平行思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？答案α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？答案一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.梳理平行的判定知识点二两条直线垂直思考1当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？答案设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°.思考2两条直线垂直，它们的斜率之积一定是－1吗？答案不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．梳理垂直的判定1．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( × ) 2．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( × )3．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( × )类型一两条直线平行、垂直的判定例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0； (3)l 1：x ＝2，l 2：x ＝4； (4)l 1：y ＝－3，l 2：x ＝1. 考点题点解 (1)l 1：y ＝－35x ＋65，l 2：y ＝－35x －310.则k 1＝－35，b 1＝65，k 2＝－35，b 2＝－310.∵k 1＝k 2，b 1≠b 2， ∴l 1∥l 2.(2)l 1：y ＝12x ＋73，l 2：y ＝－2x ＋2.则k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2.(3)∵直线l 1，l 2的斜率均不存在，且2≠4， ∴l 1∥l 2.(4)∵直线l 1的斜率k 1＝0，直线l 2的斜率不存在， ∴l 1⊥l 2.反思与感悟 (1)已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法(2)当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(2)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (3)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(4)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．考点题点解 (1)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(2)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，k 1＝k 2，数形结合知，l 1∥l 2. (3)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(4)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴； k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴．∴l 1⊥l 2.类型二利用两直线平行、垂直求直线方程例2 求直线l 的方程．(1)过点P (2，－1)且与直线l 1：3x －2y －6＝0平行； (2)过点P (1，－1)且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直．考点题点解 (1)方法一由已知直线l 1：3x －2y －6＝0，得斜率k 1＝32，∵直线l 1与l 平行， ∴直线l 的斜率k ＝k 1＝32.由点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝32(x －2)，即3x －2y －8＝0.方法二由直线l 与直线3x －2y －6＝0平行，可设直线l 的方程为3x －2y ＋C ＝0(C ≠－6)，又点P (2，－1)在直线上，∴3×2－2×(－1)＋C ＝0，∴C ＝－8. 故直线l 的方程为3x －2y －8＝0.(2)方法一由直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0，得斜率k 2＝－23，∵直线l 垂直于l 2，∴直线l 的斜率k ＝－1k 2＝32，直线l 的点斜式方程为y ＋1＝32(x －1)，故l 的方程为3x －2y －5＝0.方法二设与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线的方程为3x －2y ＋C ＝0.将点P (1，－1)代入直线方程，即3－2×(－1)＋C ＝0，得C ＝－5. ∴所求直线的方程为3x －2y －5＝0.反思与感悟 (1)直线过定点P (x 0，y 0)，可设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)． (2)知斜率k ，设斜截式y ＝kx ＋b .(3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行，设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠c )． (4)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，设为Bx －Ay ＋n ＝0.跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．考点题点解设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则直线在y 轴上的截距为b ＝－λ3；令y ＝0，则直线在x 轴上的截距为a ＝－λ2，由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56，得λ＝－1，所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －1＝0. 类型三两条直线平行与垂直的综合应用命题角度1 利用平行、垂直关系求参数例3 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．考点题点解 (1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52.(2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.反思与感悟在利用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．跟踪训练3 若直线l 1：ax ＋4y －2＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，求a 取何值时，l 1∥l 2，l 1⊥l 2. 考点题点解将直线l 1化成斜截式方程y ＝－a 4x ＋12，当a ＝0时，l 2的方程为x ＝－1， l 1的方程为y ＝12，此时l 1⊥l 2；当a ≠0时，l 2的斜截式方程为y ＝－1a x －1a.若⎩⎨⎧－a 4＝－1a，12≠－1a ，即a ＝2时，l 1∥l 2；若－a 4·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，即14＝－1，矛盾，故l 1与l 2在a ≠0时不垂直．综上，当a ＝2时，l 1∥l 2；当a ＝0时，l 1⊥l 2. 命题角度2 利用平行、垂直关系求点的坐标例4 已知四边形ABCD 的顶点B (6，－1)，C (5,2)，D (1,2)．若四边形ABCD 为直角梯形，求A 点坐标．考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形形状求点的坐标解 ①若∠A ＝∠D ＝90°，如图(1)，由已知AB ∥DC ，AD ⊥AB ，而k CD ＝0，故A (1，－1)．②若∠A ＝∠B ＝90°，如图(2)．设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6. 由AD ∥BC ⇒k AD ＝k BC ，即b －2a －1＝－3；①由AB ⊥BC ⇒k AB ·k BC ＝－1，即b ＋1a －6·(－3)＝－1.②解①②，得⎩⎨⎧a ＝125，b ＝－115，故A ⎝⎛⎭⎫125，－115. 综上所述，A 点坐标为(1，－1)或⎝⎛⎭⎫125，－115. 反思与感悟此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单．跟踪训练4 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形形状求点的坐标解设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0×y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).1．若直线ax ＋y ＋1＝0与直线y ＝3x －2平行，则实数a 等于( ) A ．－3 B ．－13C ．3 D.13考点题点答案 A2．若直线l 1的倾斜角为30°，直线l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33考点题点答案 B解析 1l k ＝tan 30°＝33. ∵l 1⊥l 2， ∴12·l l k k ＝－1，得2l k ＝－ 3.3．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．考点题点答案 y ＝－3x ＋2解析 ∵在y 轴上的截距为2， ∴设所求直线方程为y ＝kx ＋2，又∵直线与y ＝－3x －4平行， ∴所求直线方程为y ＝－3x ＋2.4．经过点B (3,0)且与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线方程为________．考点题点答案 x －2y －3＝0解析设与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线方程为x －2y ＋C ＝0，将点B (3,0)代入直线方程，得3＋C ＝0，即C ＝－3. ∴所求直线方程为x －2y －3＝0.5．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状．考点题点解由题意知，A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC＝3－56－2＝－12.所以k AB＝k CD，由图可知，AB与CD不重合，所以AB∥CD，又k AD≠k BC，所以AD与BC不平行．又因为k AB·k AD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．1．两直线平行或垂直的判定方法.2.与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.一、选择题1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4考点题点答案 C解析由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，那么直线l 2的斜率为( )A.1aB ．aC ．－1aD ．－1a或不存在考点题点答案 D解析当a ＝0时，l 2的斜率不存在；当a ≠0时，l 2的斜率为－1a. 3．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0 考点题点答案 B解析平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线设为4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A ，D.选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故选B.4．若点P (a ，b )与点Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( )A ．135°B ．45°C ．30°D ．60° 考点题点答案 B解析由题意知，k PQ ·k l ＝－1，k PQ ＝a ＋1－b b －1－a＝－1，∴k l ＝1，则直线l 的倾斜角α＝45°.5．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－1考点题点答案 D解析两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或a ＝－1或a ＝3，经检验知，当a ＝3时两直线重合．6．若原点在直线l 上的射影是点P (－2,1)，则直线l 的方程为() A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x －2)C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝2x ＋3考点题点答案 C解析 ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2，∴直线的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C.7．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( )A ．l 与x 轴垂直B ．l 与y 轴垂直C ．l 过原点和第一、三象限D ．l 的倾斜角为135°考点题点答案 D解析 ∵直线的斜率k ＝m －n n －m＝－1， ∴直线l 的倾斜角为135°.二、填空题8．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为______________．考点题点答案 y ＝－13x ＋13解析直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位长度得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13. 9．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.考点题点答案－2 2解析若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝m 2＝－1，得m ＝－2；若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，∴Δ＝16－8m ＝0，得m ＝2.10．已知直线l 1的斜率是2，直线l 2过点A (－1，－2)，B (x ,6)，且l 1∥l 2，则log 19x ＝________.考点题点答案－12解析因为l 1∥l 2，所以6＋2x ＋1＝2，解得x ＝3. 所以log 193＝－12. 11．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．考点题点答案 ±3解析由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋C ＝0.令y ＝0，得x ＝－C 4，令x ＝0，得y ＝－C 3，则三角形面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－C 4·⎝⎛⎭⎫－C 3＝6，得C 2＝122，∴C ＝±12，∴在x 轴上的截距为－C 4＝±3.三、解答题12．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.考点题点解 (1)设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由点(－1,3)在l ′上知，－3＋12＋m ＝0⇒m ＝－9，所以直线l ′的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)设l ′的方程为4x －3y ＋λ＝0，令y ＝0，得x ＝－λ4，令x ＝0，得y ＝λ3，于是三角形面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－λ4·⎪⎪⎪⎪λ3＝4，得λ2＝96⇒λ＝±46，所以直线l ′的方程为4x －3y ＋46＝0或4x －3y －46＝0.四、探究与拓展13．如图所示，在平面直角坐标系中，以O (0,0)，A (1,1)，B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )A ．(－3,1)B ．(4,1)C ．(－2,1)D ．(2，－1)考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形的形状求点的坐标答案 A解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知选项B ，C ，D 中的坐标分别是点C 1，C 2，C 3的坐标，故选A.14．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ,2)，试求m 的值．考点两条直线平行和垂直的综合应用题点有关平行和垂直的综合问题解如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m， ∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行，∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

2.2 2.2.3 直线的一般式方程

[方法技巧]
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋
B A
y＋
C A
＝0，只需求
B A
，
C
的
值；若B≠0，则方程可化为
A B
x＋y＋
C B
＝0，只需确定
A B
，
C B
的
值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转
(二)基本知能小试
1．斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线的一般式方程是
A．3x＋y＋6＝0
() B．3x－y＋2＝0
C．3x＋y－6＝0
D．3x－y－2＝0
答案：C
2．在直角坐标系中，直线x＋ 3y－3＝0的倾斜角是( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
解析：因为直线斜率k＝－
3 3
法二：设直线方程为xa＋by＝1，
a＋b＝1，由题意得－ba＝34，
解得ba＝＝－4，3.
所以直线 l 的方程为x4＋－y3＝1，
即 3x－4y－12＝0.
二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．已知方程 x2－32x＝k 在[－1,1]上有实根，求实数 k 的取值范围．
解：要使方程 x2－32x＝k 在[－1,1]上有实数解，可将方程化为 y＝x2 在区间[－1,1]上与直线 y＝32x＋k 有公共点．直线 y＝32x＋k 过点(－1,1)时，k 取得最大值52；当直线与抛物线相切时，k 取最小值．
[学透用活] [典例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是 3，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (5)经过点B(4,2)，且平行于x轴．

高中数学第二章解析几何初步1直线与直线的方程1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式

第二课时直线方程的两点式和一般式
一、预习教材·问题导入预习课本P67～69，思考并完成以下问题
(1)如何由直线上的两点确定直线的方程？ (2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？ (3)直线的一般式方程是什么？
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二、归纳总结·核心必记
By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．
(√ )
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2．直线xa＋by＝1(ab＜0)的图像可能是
()
答案：C
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3．过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是 ( )
A．x＝2 015
B．x＝2 016
C．y＝2 015
D．x＋y＝2 017
答：A
4．直线 x－y＋5＝0 的倾斜角为
()
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
答案：A
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考点一直线方程的两点式和截距式 [典例] (1)求满足下列条件的直线方程： (1)过点A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
1．直线方程的两点式和截距式
名称
两点式
截距式
在 x，y 轴上的截距已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，分别为 a，b
示意图
方程适用范围
_yy_2－_－_y_y1_1_＝__xx_2－_－_x_x1_1
y1≠y2 且 x1≠x2
_xa__＋__by_＝__1_
ab≠0
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由②得：m＝3或m＝－53.