第7章-3 收敛性稳定性
数列的极限与序列的收敛性
金融学
金融学中的数列 收敛性分析可用 于股市走势预测 和投资决策的制
定。
谢谢观看！
在数学的世界里，数列的极限与序列的收敛性是 一个非常重要且精彩的课题。通过深入理解数列 的极限概念和收敛性质，我们可以更好地应用数 学知识解决实际问题，探索数学的奥秘。希望本 次演讲能够带给您新的启发和思考，谢谢！
03 夹逼准则
如果数列an、bn、cn满足an≤bn≤cn且lim an lim cn = L，则lim bn = L。
收敛数列的应用
物理学
在物理学中，收 敛数列可用于描 述物体运动的变 化规律和稳定状
态。
工程学
工程学中的数列 极限理论可应用 于信号处理、控 制系统设计等领
域。
生物学
生物学研究中， 收敛数列可用于 模拟生物体内的 生长发育过程。
数列的极限与序列的收敛性
汇报人：大文豪
2024年X月
目录
第1章 数列与序列的概念 第2章 数列的极限计算 第3章 序列的收敛性判定 第4章 数列与序列收敛的应用 第5章 数列与序列的收敛性分析 第6章 总结与展望 第7章 数列的极限与序列的收敛性
● 01
第一章 数列与序列的概念
数列与序列的定 义
序列极限计算方法
直接计算 夹逼准则 L'Hopital法则
序列极限计算实例 分析
计算极限值 分析收敛性 比较各方法优劣
● 04
第4章 数列与序列收敛的应 用
数列与序列在微积分中的应用
01 数列和序列在微积分中的作用
探讨数列序列的极限对微积分的意义
02 使用数列与序列证明微积分定理
探究数列序列如何证明微积分定理
数列的极限概念
数列的极限是数列中的元素随着序号趋向于某个 常数时所表现出的性质。当数列的极限存在且有 限时，我们称该数列收敛。极限的概念在数学分 析中具有重要意义，能够帮助我们理解数列的变 化趋势和发展规律。
《机械工程控制基础》教案
《机械工程控制基础》教案学时分配总学时：32学时授课学时：28学时实验：4学时。
基础课程先修课：大学物理、理论力学、工程数学、电工学、高等数学、机械原理。
课程性质《机械工程控制基础》是高等工业院校机械类专业普遍开设的一门重要的技术基础课，在整个教学计划中，以主干课程的角色，起着承上启下的作用，具有十分重要的地位。
本课程是一门专业基础理论课程,详述了研究对象的建模方法、系统响应分析方法，系统介绍了单输入单输出线性定常系统的时域性能分析、频域性能分析、系统的稳定性分析方法，介绍系统性能校正方法，为《机电一体化系统设计》、《机电传动控制》、《计算机控制技术》等机械电子工程专业的后续课程打下基础。
课程的主要任务通过本课程的学习，使学生掌握经典控制理论的基本概念和基础知识, 掌握机械工程中的研究对象的建模方法；掌握一阶、二阶系统的时域性能分析和频域性能分析方法；能熟练地根据Nyquist图、Bode图判断系统的稳定性；掌握系统性能校正方法；使学生能分析系统的性能,能改进或设计简单的控制系统。
第一次课第1章绪论1.1机械控制基础的研究对象、课程的基本任务、控制系统的基本要求一、机械控制基础的研究对象：系统、输入、输出2、典型闭环控制系统的框图的构成输入信号输出量给定值偏差控制器执行机构被控对象-测量变送器给定环节：给出与系统输出量希望值相对应的系统输入量。
测量环节：测量系统输出量的实际值，并把输出量的量纲转化成与输入量相同。
比较环节：比较系统的输入量和主反馈信号，并给出两者之间的偏差。
放大环节：对微弱的偏差信号进行放大和变换，使之具有足够的幅值和功率，以适应执行元件动作的要求。
执行环节：根据放大后的偏差信号产生控制、动作，操作系统的输出量，使之按照输入量的变化规律而变化。
二、课程的基本任务研究系统、输入、输出之间的动态关系三、控制系统的基本要求：稳、快、准1.2 控制理论的研究内容、发展、应用、学习方法。
控制理论研究五方面的内容系统分析问题当系统已定、输入(或激励)已知时,求出系统的输出（或响应）,并通过输出来研究系统本身的有关问题。
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))
，
使
，于是
．令
，当 充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中 为正整数．证明此方程存
在唯一正实根 ，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根 ，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域 上可以逐项积分，即
， 且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
（A）发散．
（C）绝对收敛． 【答案】（C）．
收敛，则级数 （B）条件收敛． （D）收敛性与 有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是 ．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
数值分析 第7章 非线性方程求根综述
7.1.2 二分法
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图：
f(b) a x* f(a) b a x* f ( b) f(a)
满足此方程的解x, 称为方程的根, 也称x是函数f(x)的零点.
如果函数f(x)可以写成
f(x)=(x- x*)mg(x),其中g( x*) ≠0. 当m＞1时，称x*为方程(1.1)的m重根或称x*是函数f(x)的m
重零点;
当m=1时，称x*为方程(1.1)的单根或称x*是函数f(x)的 单重零点.
b
一、二分法的具体计算过程
设
f C[a, b] ,现求方程f(x)=0在区间[a,b] 上的根.
设函数f(x)满足 f (a) f (b) 0, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0.
ab , 计算区间中点的函数值 第一步: 取区间中点 2 ab ) 0, ①如果 f ( 2 f( ab ), 2
分离区间：许多方程往往有两个以上的根，在某个区间[a，b] 上，如果方程在此区间内只含一个根，我们称此区间为方程的 分离区间。 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图： 曲线y=f(x)与 f ( a ) f(b) x轴的交点就是 f(x)的零点.
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
有限元第7章等参数单元
(1
i
)(1 i )
4 i 1
i xi
4
ii xi
4
4 i xi
i1
4
ii xi
4
4
i 1
i yi
4
ii
4
yi
4 i yi
i1 4
ii yi
4
4 i 1
i xi
4
ii xi
4
4 i xi
i1
4
ii xi
4
4
i 1
i yi
4
ii
4
yi
4 i yi
i1 4
这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数(7-1)可以表示为
4
u Ni ( ,)ui i 1
4
v Ni ( ,)vi i 1
从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单 元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换 相容性的要求。
采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的 要求，即
N1 y
v1
N2 y
v2
N3 y
v3
N4 y
v4
N1
y
u1
N2 y
u2
N3 y
u3
N4 y
u4
N1 x
v1
N2 x
v2
N3 x
v3
N4 x
v4
u1
N1
x
0
0
N1 y
N2 x
0
0
N2 y
N3 x
0
0
N3 y
N4 x
0
0
N4 y
数值分析(颜庆津)第7章 学习小结
第7章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、 本章学习体会本章的主要内容是要掌握如何用数值解代替其精确解，这对于一些特殊的微分方程，特别是一些不好解其通解方程是非常有用的。
对于本章我总结如下几点：1、本章计算量相对较小，重要是其思想。
在做题过程中，要理解各种方法的原理及推导过程。
2、本章对泰勒展开法有一定要求。
无论是求方法的阶数还是推导数值解法的公式经常用到泰勒展开。
因此，我们对于泰勒级数要有很清楚的认识。
3、在求数值解法的公式推导时，经常用到第六章的插值型求积公式。
可见，在整本书中，知识往往是贯通的。
二、 本章知识梳理将初值问题离散化 数值微分法（离散变量法）数值积分法 局部截断误差Taylor 级数法 ]),(,[)()(11h t y t h t y t y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差n n n y t y -=)(ε初值问题数值解法的一般形式：k M n k y y y t F k n n n n -==++,,1,0,0),,,,,(1 常微分方程初值问题的数值解法的分类 显式方法隐式方法一般形式 ,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ局部截断误差 ),,(11h y t h y y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差 n n n y t y -=)(ε显示单步法 局部截断误差与整体截断误差的关系若)(11++=p n h O R ，则)(1p n h O =+ε若数值方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称这种数值方法的阶数是p显式欧拉公式),,(1n n n n y t h y y ϕ+=+欧拉法隐式欧拉公式),(111++++=n n n n y t h y y ϕ基本思想⎩⎨⎧=≤≤='000)(),,(y t y T t t y t f y等价于10)],(,[)())(,()()(11<<+++=+=⎰++θθθh t y h t hf t y dt t y t f t y t y n n n t t n n n n ),(y x f龙格-库塔法不同点的数值解加权平均代替)](,[h t y h t f n n θθ++而使得截断误差的阶数尽可能高N 级R-K 方法的形式,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ，∑==Ni i i n n k c h y t 1),,(ϕ相容性，收敛性和绝对稳定性1、相容性：设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对h 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法至少是一阶的方法2、收敛性;（1）定义：若对任意的0y 及任意的),(0T t t ∈，极限)(lim )0(t y y n tt n h n ==∞→→则称单步法是收敛的（2）单步法的收敛的充要条件：)(0∞→→n n ε（3）收敛与相容的关系:设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对y 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法是收敛的3、稳定性（描述初始值的误差对计算结果的影响）4、绝对稳定性：线性多步法的基本思想线性多步法的一般形式∑∑==--++=r i ri i n i i n i n f h y y 011βα线性多步法 Simpson 公式Admas 公式 基于数值积分方法Milne 公式线性多步法的构造基于泰勒展开的待定系数法∑∑=-=--++'--=r i ri i n i i n i n n x y h x y x y R 0111)()()(βα三、 本章思考题试用数值积分法建立常微分方程的初值问题：),()(00y x f dxdy y x y =⎪⎩⎪⎨⎧=的数值求解公式：)(211n n n n f f h y y ++=++ 解：由),(y x f dxdy =得：dx y x f dy ),(= （1） 对于（1）式。
数值分析第7章答案教材
第七章非线性方程求根一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程()0f x = (7.1)的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为()(*)()mf x x xg x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若00()()0f a f x <,则令10,a a bx ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ⊂,11001()2b a b a -=-.再令1111()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区间套1100...[,][,]...[,]n n n n a b a b a b --⊂⊂⊂⊂且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-.故1l i m ()0,l i m l i m ()*2n n n n n n n nb a x a b x →∞→∞→∞-==+=因此,1()2n n n x a b =+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计11|*|()2n n x x b a +-≤- (7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ϕ= (7.3)若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ϕ=;反之亦然.称*x 为函数()x ϕ的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ϕ的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为1(),0,1,2...k k x x k ϕ+== (7.4)函数()x ϕ称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...k k x x k ϕ+==,由式(7.4)产生的序列{}k x 有极限 l i m *k k x x →∞=则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ϕ≤≤2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ϕϕ-≤- (7.5) 则()x ϕ在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意0[,]x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{}k x 收敛.到()x ϕ的不动点,并有误差估计式1|*|||1k k k Lx x x x L --≤-- (7.6) 和 1|*|||1kk k k L x x x x L --≤-- (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ϕ的不动点,'()x ϕ在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ϕ<,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ϕ=的根*x ,如果迭代误差*k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式1(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8) 则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果()()K x ϕ在所求根*x 的邻近连续,并且(1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0p p x x x x ϕϕϕϕ-====≠ (7.9)则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有()11lim(*)!p k p k ke x e p ϕ+→∞= (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为21(),()()20,1,2,...k k k k k k k k k k ky x z y y x x x z y x k ϕϕ+==-=--+= (7.11)此法也可写成如下不动点迭代式12(),0,1,2,...(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψϕψϕϕϕ+==-=--+ (7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()x ψ的不动点,则*x 是()x ϕ的不动点;设''()x ϕ存在,'(*)1x ϕ≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为其迭代函数为1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-= (7.13)()()'()f x x x f x ϕ=-牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证明,'(*)0f x ≠,''(*)''(*)0'(*)f x x f x ϕ=≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且12''(*)l i m 2'(*)k k k e f x e f x +→∞= (7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数()()'()f x x x f x ϕ=-在*x 处的导数1'(*)10x m ϕ=-≠,且|'(*)|1x ϕ<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若*x 的重数m 知道,则迭代式1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x mk f x +==-= (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数()()'()f x x f x μ=的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k kk k k k kk k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法10(),0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-=称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的'()k f x 用()f x 在1k x -,k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (7.17)定理7.6假设()f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ∆-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈∆有'()0f x ≠,又初值01,x x ∈∆,,则当邻域∆充分小时,弦截法(7.17)将按阶151.6182p +=≈收敛到*x .这里p 是方程210λλ--=的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的根.若已知()0f x =的三个近似根k x ,1k x -,2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k kk x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.当()f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为 1.839 1.84p =≈.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.表7-1k k ak b k x ()k f x 的符号0 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.32432 1.5 1.5 1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.32821.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263+ - + - + + - - +9 1.3243 1.3282 1.32631.3253 +610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.表7-2k k x 1||k k x x --0 1 2 3 42.5 2.082084999 2.124670004 2.119472387 2.1200949760.417915001 0.042585005 0.0005197617 0.0006225894 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ϕ≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.表7-3k k x 1||k k x x --0 1 2 3 4 54 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.3475299030.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481此时5x 已满足误差要求，即5* 3.347529903x x ≈=（3）由于'(*)0.1363231290x ϕ≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有1lim'(*)k k k e x e ϕ+→∞=。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
内蒙古工业大学现代交换网络现代交换技术--第7章路由与IP交换技术
20:59
18
（3）处理差错与控制报文：处理路 由、流量控制、拥塞控制等问题。
20:59
19
•网络层提供的其他协议主要有以下几种。
（1）地址转换协议（ARP）：将IP 地址转换成底层网络的物理地址。 （2）逆向地址转换协议（RARP）： 与ARP的功能相反，用于将物理地址 转换成IP地址。
20:59
20:59
54
（9）RST（Reset） （10）SYN（Synchronous） （11）FIN（Final） （12）窗口
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55
（13）校验和 （14）紧急指针 （15）选项
20:59
56
2．UDP
• 用户数据报协议（UDP，User Datagram Protocol）是一个很简单的协议，仅通过端 口向上层提供复用功能。
199.1.1.0/25 （拥有100台计算机的部门1用此网络） 199.1.1.128/25
11000111.00000001.00000001.1|0|000000 11000111.00000001.00000001.1|1|000000 (b)
199.1.1.128/26（拥有50台计算机的部门2用此网络） 199.1.1.192/26
20:59
7
• IPv6扩充了IPv4的地址空间，对IPv4协议 的很多方面做了改进。 • 与IPv4相比，IPv6具有更大的地址空间、 更高的安全性、可管理性更好，对QoS和 多播技术的支持也更好。
20:59
8
• IPv6目前主要用于科研和实验网，大规模 应用还有待时日。 • 后续章节中除特别说明外，均以IPv4为基 础进行介绍。
68
• 下一个路由器收到数据包，同样进行拆包 和打包，在路由表中寻找合适的路径，把数 据送出本地接口，直到将数据包最终交给与 目的主机在同一物理网络上的路由器为止。
第7章样条函数(Spline)
概述
样条函数的分类：
B(Basis-基)样条函数
典型：贝塞尔曲线（也称贝兹曲线）
一般样条函数
二次样条函数 三次样条函数
7.1 二次样条函数
它是分段的二次插值多项式
1、定义
7.1.1 二次样条函数的定义和特性
设有n 1个节点xi , yi , i 0,1,2,, n, 则定义二次样条
7.1 二次样条函数
令hi xi 1 xi 2、系数的计算：
i 0,1,, n 1
(1) ci的计算 ci yi i 0,1,, n 1
(2) bi的计算 bi yi 1 yi i 0,1,, n 1
hi
h0 通常让一个边界点 的导数值已知 , 设为 a hi 1 a bi bi 1 i 1, , n 1 i i 1 h hi i f x0 y0
7.1 二次样条函数
7.1.3 二次样条计算过程和算例
1 5 例1 作二次样条函数逼近 x , 节点取x0 , x1 , x2 1, 4 8 并计算S 0.875的值.
7.1.4 插值余项
i
M b a h 2 R( x) 8
Байду номын сангаас
其中, h max hi , M max f x
7.2 三次样条函数
是分段的三次插值多项式
7.2.1 三次样条函数的定义 设有n 1个节点xi , yi , i 0,1,2,, n, 则满足下列条件的
函数称为三次样条函数 :
项式;
微积分教学课件第7章无穷级数第3节任意项级数敛散性的判别
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛 ?
n1
n1
反之是否成立? 若是任意项级数呢?
17
解答
设
un
n1
是正项级数， lim un2 u n
n
lim
n
un
0，
若 un 收敛，由比较审敛法知
un2
收敛.
n1
n1
n
而 1 发散,
(1)n
1 发散,
n n1
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛;
13
(1)n 是交错级数,
n1 n ln n
1
lim 1 lim n 0 , n n ln n n 1 ln n
n 令 f ( x) x ln x (x 0) , 则 f ( x) 1 1 0 ( x 1) ,
x
f ( x)在 (1,) 上单增,
故数列
n
1 ln
n
当
n
1
时单减
,
由莱布尼兹定理, 此交错级数收敛，
故原级数是条件收敛． 14
例7
讨论级数
1
n1 1 xn
( x 1) 的收敛范围.
解
若| x|1, 则
1
lim
n
1
xn
10,
所以级数发散；
若| x | 1 ,则
lim un1 n un
第三节
1
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若 | un | 收敛,则称 un 绝对收敛；
微积分 第三版 第七章 7.5幂级数
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
x
x
(0 x 1 及
机动 目录 上页
)
下页 返回 结束
S (x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) 1 , lim x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
所以收敛域为 ( , ) .
1 n! lim 1 n (n 1) !
an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
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0
返回
结束
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值审敛法求收敛半径.
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
1 2 n 1 (n 1)
2 n 1 (n 1) 2 lim n 2n n
当 t = 2 时, 级数为
当 t = – 2 时, 级数为
在以原点为中心、
为半径的对称区间内是收敛的
设
， 则在区间（-R，R）内幂级数收敛.
称R为幂级数的收敛半径. 在区间端点处，其收敛域发散需另行讨论 .
收敛半径R = +∞, 收敛区间（－∞ ，+ ∞ ） 收敛半径R = 0, 收敛域缩为一点，即只在 x = 0
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 lim n 1 n n 1
第7章-非线性自适应控制课件
K c 2e
e
K c
• 广义误差对输入信号的传函为:
W(S)
e(s) r(s)
ym(s) ys (s) r(s)
(Km
q(s) KC KS ) p(s)
• 自适应回路开环情况下系统传函为：
引入微分算子：D 微分方程：
d dt
、D2
d2 dt 2
…，由上式得到
李雅普诺夫意义下的稳定性 对于以状态方程
X f (X,t)
且f(0,t)=0 t
• 描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的 纯量函数 V( X, t ) ，满足以下条件：
• V( X, t ) 正定； （2）V 沿方程式（9-3-1）解的轨迹对时 间的一阶偏导数V 存在，且为负半定（或负定），则称V( X, t ) 为李雅普诺夫函数，且系统式（8-3-1）对于状态空间的 坐标原点X=0 为李雅普诺夫意义下的稳定（或渐进稳定）的。
模型参考自适应控制定义：一个自适应控制系统， 就是利用它的可调系统的输入、状态和输出变量来度量 某个性能指标，然后根据实测性能指标值与给定的性能 指标值相比较的结果，由自适应机构修正可调系统的参 数，或者产生一个辅助输入信号，以保持系统的性能指 标接近给定的性能指标集。
•
模型参考自适应控制系统分为内外两个环路。内环是
在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控 制品质。为此，需要设计一种特殊的控制系统，它能够自 动地补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化， 这就是自适应控制。而自适应控制器的特点就是它能修正 自己的特性以响应过程和扰动的动力学特性变化。
自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的 系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环 境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和 随机因素。
《高等数学Ⅱ》课件-第7章幂级数的展开式及其应用
（3）求出 x S(t)dt 的幂级数形式，并求其收敛域. 0
解：（1）显 然 该 幂 级 数 的 收 敛 域为 ( 1,1] ；
（2）S'(x)
n1
(1)n1 n
xn
n1
(1)n1 n
xn
(1)n1 xn1, 收敛域为（ 1，1）；
n1
（3）
x
S(t)dt
0
x 0 n1
bn1 2 bn
an 2 an1
32
5
2
5
3
©
三、幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an xn和 bn xn 的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
(1) 加减法
an xn bn xn
n0
n0
x (R, R)
©
(2) 乘法 （类似于多形式的乘法）
令余项 则在收敛域上有
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
级数发散 ;
幂级数
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
(函余数项,1)项一rn级般((1x数,考)的虑)s部函,(但x分数)只和1有s1ns(在nxx(时)xD),,它ln(i的m1定,s1n)义上( x域,)它是才s(是x)
x
S(t) dt
0
an
n0
x 0
tn
dt
an n0n 1
x n 1 ,
x (R, R )
高数一 第7章无穷级数作业解答
u
n
的部分和为 sn
3．已知 lim nun 0 ，级数
n
(n 1)(un1 un ) 收敛，证明级数 un 也收敛.
n 1 n 1 n n n i 1 i 1 i 1
证明： sn
(i 1)(ui1 ui ) [(i 1)ui1 iui ] ui (n 1)un1 u1 ui ，
2．若级数
an2 及 bn2 都收敛，证明级数 (an bn )2 也收敛.
n 1 n 1 n 1
证明：因级数
a
n 1
2 n
及
b
n 1
2 n
都收敛，所以级数
(2a
n 1
2 n
2bn2 ) 收敛. 又因
2 2 (an bn ) 2 2an 2bn2 (an bn ) 2 2an 2bn2 ，
i 1 n i 1
n
n ui (n 1)un 1 u1 sn .
因 lim nun 0 ，且 lim sn 存在，所以 lim n 存在，也即级数
n n n
u
n 1
n
收敛.
无穷级数作业 2
1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：
cos 2 n （2） ； n2 n 1
解：因
1 cos 2 n 1 ，且 收敛，所以原级数也收敛. 2 2 2 n n n 1 n
（3）
sin 2
n 1
n
；
解：因 sin
2
n
机电控制系统稳定性分析
n为奇数）求出； 5. 必要时画出乃氏图中间几点； 6. 勾画大致曲线
matlab
s1=zpk([ ],[-10 -20],8000) nyquist(s1);
7. ω =-∞ →0，关于实轴对称
s1=tf([40],[0.005 0.15 1]) nyquist(s1);
5.4 Nyquist稳定性判据
s2 2s 2
2
s2,3
4 22 4 j
2
1 2
5.2 系统稳定性的充要条件
X 0 (s)
s2
1
2s 2
s
A
j
B
1 2 s j
1 2
A
1
(s j 1 2 )
(s j 1 2 )(s j 1 2 )
s j 1 2
1
(s j
1 )2 s j 1 2
1
et sin 1 2t arctan
1 2
1 2
5.2 系统稳定性的充要条件
xo(t)
fieit
g je j jt sin j
1
2 j
t
j
i
j
如果系统稳定，应有 xo (t) 0
t
即 i 0, j j 0
1 , s 0 s
的根：s1
1
, s2 2s 2 0 的根：
控制系统稳定性的充分必要条件是：
闭环特征方程式的根全部具有负实部
系统特征根即闭环极点，故也可以说：
极点全部在[s]平面的左半平面
5.2 系统稳定性的充要条件
x3 px q 0
x1
3
q 2
q 2 2
p 3 3
3
q 2
智能控制 chap1 (5)
yd t +
-
et 滤波器
神经网络 控制器
NN1
d
ut
yt
对象
神经网络 ym t
+
正向模型
-
NN2
图7-6 神经网络内模控制
7.2.5 神经网络预测控制
预测控制又称为基于模型的控制，是70年代后期发 展起来的新型计算机控制方法，该方法的特征是预测 模型、滚动优化和反馈校正。
显然，神经网络直接逆控制的可用性在相当程度上 取决于逆模型的准确精度。由于缺乏反馈，简单连接 的直接逆控制缺乏鲁棒性。为此，一般应使其具有在 线学习能力，即作为逆模型的神经网络连接权能够在 线调整。
图9-2为神经网络直接逆控制的两种结构方案。 在图9-2(a)中，NN1和NN2为具有完全相同的网络结 构，并采用相同的学习算法，分别实现对象的逆。 在图9-2(b)中，神经网络NN通过评价函数进行学习， 实现对象的逆控制。
+
et 常规
控制器
ut
对象
yt
-
图7-3 神经网络间接自校正控制
2. 神经网络模型参考自适应控制 分为直接模型参考自适应控制和间接模型
参考自适应控制两种。 （1）直接模型参考自适应控制 如图9-4所示。神经网络控制器的作用是使
被控对象与参考模型输出之差为最小。但该方 法需要知道对象的 Jacobian 信息 y 。
现，即在学习算法中加入监督项zk ，则神经网络权
值学习算法为：
w1 (k) w1 (k 1) z(k)u(k)x1 (k) w2 (k) w2 (k 1) z(k)u(k)x2 (k) w3 (k) w3 (k 1) z(k)u(k)x3e(k)
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用其求解模型方程（7-32）得到
(7-33)
un1 un hun (1 h)un , n 0, 1, 2L
当un有舍入误差时，其近似解为 u~n ，从而有
u~n1 (1 h)u~n
取 n un u~n ，得到误差传播方程
n1 (1 h) n ,
得 1
1 1 h
,
当
1 h 1 时，1 1 , 故
1 h 1 就是
隐式Euler法的绝对稳定区域。
它是 h平面上以（1,0）为圆心的单位圆外区域。
当Re μ＜0时，它位于 h 平面上y轴左侧区域。
当μ＜0为实数时，绝对稳定区间为 (-∞,0)。
, 0
1h 1
Re 0
1h 1
h 0, 2
圆内（︱λ︱＜1)。 对此有很多判别法，如Schur准则、轨迹法。
k=1～4的隐式Adams类方法的绝对稳定区间（μ＜0为实数）。
步
阶
绝对稳定区间
1
2
（-∞，0）
2
3
（-6.0，0）
3
4
（-3.0，0）
4
5
（-1.8，0）
这里我们给出一种简单的、常用的判别法： 实系数二次方程λ2-b λ-c=0的根在单位圆内的充要条件为:
例如
初值问题
u
4tu
1 2
,
0t 2;
u(0) 1
精确解为 u(t) (1 t2 )2。考虑二步三阶显式法：
un2 4un1 5un h(4 fn1 2 fn )
取步长h=0.1，初值u0=1，附加值：u1 (1 h2 )2 (h 0.1) 。
精确解
数值解
数
0
值
0.1
结
0.2
果
0.3
本书中数值方法的稳定性也是如此。前提是求解好条件问题， 其中Re(μ)＜0。另外，我们也不考虑h→0时方法的渐近稳定性 。因为实际计算时，h是固定的。 当某一步un有舍入误差时， 若以后的计算中不会逐步扩大，称这种稳定性为绝对稳定性。 此后，若不做特殊说明，都是指绝对稳定性 。
例如，对最简单的Euler法
第7章--2
常微分方程的数值解法的 收敛性、稳定性
以上我们讨论了求解问题（7-1）,（7-2）的单步法 和多步法。 对于上述两类方法求近似解（数值解）还 应关注三个问题：误差估计、收敛性和稳定性。
具体说， 一、数值方法的局部截断误差和阶
二、在离散点tn处的数值解un是否收敛到精确解u(tn)
三、数值方法的稳定性
…
…
2.0
25.0000000
-68.639804 +367.26392
… -6.96×108
在开始几步数值解与精确解符合，但再往后算，数值解的 误差急剧增长，完全歪曲了真解.
通常人们都是通过模型方程来讨论方法的数值稳定性。
模型方程为：
u u
(7-32)
而一般形式的一阶微分方程总能化成（7-32）的形式。
对于第一个问题前面我们已经讨论过，而关于数值 方法收敛性问题我们在这里不详细讨论，只给出一些基 本结论性的结果，即：
对单步法，当方法的阶p≥1时，有整体误差
En u(tn ) un O(h p )
故有
lim
h0
E
n
0
，因此方法是收敛的。
对于多步法，若方法是k 步p 阶法，那么（7-24）是
表
0.4
0.5
…
1.0000000 1.0201000 1.0816000 1.1881000 1.3456000 1.5625000
…
1.0000000 1.0201000 1.0812000 1.1892385 1.3388660 1.5929935
…
1.0
4.0000000
1.0
4.8841000
定理7.2 若线性多步法(7-24)的阶p≥1，且满足 根条件，则方法是收敛的。
对于常用的数值方法都是满足收敛性条件的。 下面我们着重讨论第三个问题，即数值方法的稳
定性问题。 用多步法计算时，各种因素如初值
u0 , u1, , uk 1
是有误差的，且这些误差将在计算中传递下去。如果 误差积累无限增长，则会歪曲真解，这样的算法是不 能用的。
平面中的某一区域D中方法都是绝对稳定的，而在区域D外，方法
是不稳定的，则称D是方法的 绝对稳定区间
1
绝对稳定区域； 它与实轴的交称为
绝对稳定区间。
绝
对
例如，显式Euler方法的 稳
定
绝对稳定区域、区间。如图 区
域
2
0
1, 0
1
现在考察多步法(7-24)，将它用于解模型方程(7-32)
得到k阶线性差分方程
（7-4）关于 h h (h ) 1, j 1, 2,L , k
例如，对于k=1时，考虑隐式方法中最简单的隐式Euler法
un1 un h f (tn1,un1) n 0 , 1 , L
其特征方程为： () h () (1 h ) 1 0
一个k阶差分方程，引入多步法（7-24）的第一特征多项
式和第二特征多项式： 第一特征多项式
第二特征多项式
k
() j j , j0
k
() j j j0
定义7.1 若（7-24）的第一特征多项式ρ(λ)的所有
根在单位圆内或圆上（︱λ︱≤1），且位于单位圆周上
的根都是单根，称多步法（7-24）满足根条件。
k
k
jun j h jun j
j0
j0
(7-34)
若取h h ，则记（7-34）的特征方程为
其中
() h () 0
k
k
() j j () j j
j0
j0
(7-35)
由k阶线性差分方程的性质我们可以得到如下结论，若特征 方程（7-35）的根都在单位圆内（︱λ︱＜1) ，则线性多步法
又如，梯形法
un1
un
1 2 h( fn1
fn)
n 0,1,
其特征方程为：
() h ()
1
h 2
1
h 2
0
1 h
其根
1(h ) 1
2 h
,
2
1 h
当Reμ＜0时，
1
2 h
1,
2
故梯形公式
的绝对稳定域是 h 平面的左半平面。绝对稳定区间为(-∞，0)。
这样检验绝对稳定性归结为检验特征方程(7-35)的根是否在单位
记 h h ，只要 1 h 1 ，则显式Euler方法的解和误差
都不会恶性发展，此时方法绝对稳定。 若μ为实数（μ＜0），
从 1 h 1, 可得
2
h
0 。即
0
h
2
时（，7-33）绝对稳定，
若μ为复数，在 h h 的复平面上，则 1 h 1 表示为以
(-1,0)为圆心，1为半径的单位圆。
定义7.2 一个数值方法用于求解模型问题（7-32），若在