福建省福州市八县一中2014年高二上期末考试数学(理)试题及答案
2014年福建省福州市高中毕业班质量检测理科数学(word版)
2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1),则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ).A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25)第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 . 14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ； （Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ; ②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln+)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点. （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分 所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分 令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC 而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分因为向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，所以sin 1sin 2A B =， 由正弦定理得:21=b a ①……………10分 由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ， 又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小.EG=12BC =2,又∵EA=EB =2． 则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分 面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =- …………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BGC --的平面角. …………9分 由于HG =1,在∆OHG中5OH =, 又DH=2，在∆DOH中tan DHDOH OH∠==分 所以此二面角平面角的余弦值为6.…………13分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分 其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b ,则将 y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分 当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0)., 当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4233A . ………… 2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A…………4分 法二:033)3(0332=-++-=----c d d dcλλλλ即的两个根为6和1, 故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A-…………4分(Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2 则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1,故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分 当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。
福建省福州八中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
福州八中2013-2014学年高二上学期期末考试数学〔理〕试题第1卷一、选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕1. 命题“∀x R ∈，2210x x -+<〞的否认是A ．∀x R ∈，2210x x -+≥B ．∃x R ∈，2210x x -+≥C ．∃x R ∈，2210x x -+≤D ． ∃x R ∈，2210x x -+< 2．抛物线22y x =的焦点坐标是 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)8D ．1(0,)43. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，如此1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．DMB ．BMC ．CMD ． 4. 有如下四个命题：①“假设0x y += , 如此,x y 互为相反数〞的逆命题； ②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设1q ≤ ,如此220x x q ++=有实根〞的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等〞逆命题； 其中真命题为A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④5.设集合{}2|40A x x x =-<，集合{}|03B x x =<<，如此""m A ∈是""m B ∈ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线为y =，且双曲线的焦点与椭圆192522=+y x 的焦点一样，如此双曲线方程为A ．221824x y -=B ．221124x y -= C ．221248x y -=D ．221412x y -= 7. 直线l : x －2y+2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B, 如此该椭圆的离心率为 A.15B. 258. 平面α过点(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,3)C ，如此原点O 到平面α的距离为 A ．3 B ．6 CD．二、填空题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15分〕9. 顺次连接椭圆2212516x y +=的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。
福建省福州市八县一中2014年高二上期末考试数学(理)试题及答案
1八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（ ）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A 62-B62 C 1010- D 1010 9． 已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A33 B 22 C 41 D 21 12．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（ ）A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
福建省福州八中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案(新人教A版)
第I 卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．已知随机变量ξ的数学期望E ξ=0.05且η=5ξ+1，则E η等于 A. 1.15 B. 1.25 C. 0.75 D. 2.52. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是A.40.80.2⨯B.445C 0.8⨯C.445C 0.80.2⨯⨯D. 45C 0.80.2⨯⨯3.6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是A.288B.480C.600D.6404.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C5. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%。
某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在(60,120)范围内的学生大约有A.997B.972C.954D.683人6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟7. 先后抛掷红、蓝两枚骰子，事件A ：红骰子出现3点，事件B ：蓝骰子出现的点数为奇数，则(|)P A B =A.61B.31C.21D.365 8.甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是A.16B.12C.8D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.10.若5(1)ax -展开式中各项系数和为32，其中a R ∈，该展开式中含2x 项的系数为_________.11.已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E （X ）=7，求D （X ） . 12.给出下列结论：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（4）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件。
数学(理)卷·2014届福建省福州八县(市)一中高二下学期期末联考(2013.07)
11、甲和乙等五位志愿者被随机地分到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个不同岗位服务，每个岗位至少有 一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（ ） 。 A、
9 10
B、
1 10
C、
1 4
D、
48 625
12、若数列 {a n } 满足规律： a1 > a 2 < a 3 > L < a 2 n -1 > a 2 n < L ，则称数列 {a n } 为余弦数 列，现 将 1，1，2，3，4，5 六个数排列成一个余弦数列的排法种数为（ ） 。 A. 32 B. 36 C.28 D. 24 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 4 分，共 16 分） 13、某篮球运动员在三分线外投球的命中率是
1.323
n(ad - bc) 2 , 其中 n = a + b + c + d 为样本容量。 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
（3） ：b $=
å xi yi - nx y
i =1 n
åx
i =1
2
i
- nx
2
=
å (x
i =1 n
n
i
- x)( yi - y )
i
å (x
21、2010 年国庆节期间,上海世博会中国馆异常火爆，若 10 月 1 日 10 时中国馆内有三个不 同省份的旅游团共 10 个，其中福建旅游团 x 个，浙江旅游团 y 个，江苏旅游团 z 个，现 从中国馆中的 10 个旅游团中任意选出 1 个旅游团，选到福建旅游团的概率是
2 ；从这 5
第 4 页 共 10 页
)
A2 4个
2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）．B．．．=5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（），d=的面积为×=的面积为，则S=××==的面积为7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）．=（0，0），=（1，2）=（﹣1，2），=（5，﹣2）=（3，5），=（6，10）=（2，﹣3），=（﹣2，3），计算判别即可．解：根据列出方程解方程是关键，9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，5+，半径为=≤，5=610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的1+c c+二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．BC=2，=故答案为：13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）214．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．（）．故答案为：15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．＜=，，（）﹣．）﹣sin2x+2x+T=﹣2x+≤+≤，﹣]17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．即可得出．M．=，，．的法向量，则=|==．|=18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．，元的概率为=P×+60×=40，=19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．）依题意，可知c=的方程为=1的方程为﹣=1|OC|的方程为﹣=1=2ae==的方程为﹣|OC|a的方程为﹣=1的方程为﹣（﹣，，同理得，|OC||﹣|=8的方程为﹣=1在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．x）时，恒有xx，当时，有21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．A==，﹣，，所以=对应的一个特征向量为．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．的参数方程为．，即22六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．。
福建省八县(市)一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试卷
福建省八县（市）一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理）试卷考试日期：11 月13日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．如果3a <，则下列结论一定正确的是（ ）A ．29a >B ．29a <C ．327a >D ．327a <2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足ab b a c ++=222, 则角C 的大小为（ ）A ．120°B ．60°C ．150°D ．30°3．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且32=a ，则4a =（ ）A ．3B ．7C ．8D ．9 4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1=a ，2=b ，C =120°,则sin sin AC的值为（ ） A ．71 BCD5．已知等比数列{}n a 的前n 项和121+⋅=-n n t S ，则实数t 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．2 D ．0.56．已知实数、x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则22)1(y x ++的最大值为（ ）A ．80B ． 54C ．25D ．1727．若0<x ，则xx 345++的最大值为（ ） A ．345+ B ．345± C ．345- D ．以上都不对 8．ABC ∆的外接圆半径和ABC ∆的面积都等于2，则sin sin sin A B C =（ ） A ．81 B ．1 C ．21 D ． 14第 1 页 共 9 页9. 已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项和，若9,3105==S S ，则15S 的值为（ ） A ．27 B ．21 C ．18 D ．1510． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC （ ） A ． 一定是锐角三角形 B ． 一定是直角三角形C ． 一定是钝角三角形D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形11． 若011<<b a ，则下列不等式：①||||a b >；②ab b a <+；③2>+b a a b ；④22a a b b<-中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知数列{}n a 是递增数列，且满足n n a n λ+=22，则实数λ的取值范围是( )A ．()∞+，0B ．()∞+-，4C ．[)+∞-,4D ．()∞+-，6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2014年福建高考理科数学试卷(带详解)
2014年福建高考数学试题(理)第Ｉ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于( )A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算 【考查方式】给出简单复数进行简化 【难易程度】容易题. 【参考答案】C【试题解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 【测量目标】三视图【考查方式】给出一正视图判断其不可能是什么几何体 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A.8B.10C.12D.14【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和. 【考查方式】给出约束条件求等差数列某项值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得3S ＝3×2＋322⨯d ＝12，解得d ＝2，则6a =a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是( )OW42(第4题图)OW43 OW44 OW45 OW46A B C D 【测量目标】对数函数、指数函数图象 【考查方式】图象是否正确的判断 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由函数log a y x =的图像过点(3，1)，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝13x （），则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为3()y x =-则其函数图像不正确；选项D 中的函数为3log ()y x =-，则其函数图像不正确． 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于( ) A.18 B.20 C.21 D.40OW47(第5题图)【测量目标】带有循环结构的程序框图. 【考查方式】给定程序框图，判断输出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】输入S ＝0，n ＝1，第一次循环，S ＝0＋2＋1＝3，n ＝2；第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝3；第三次循环，S ＝9＋32＋3＝20，n ＝4，满足S ≥15，结束循环，输出S ＝20. 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC △的面积为12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 【测量目标】充分条件、必要条件 【考查方式】判断命题的充要性 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝2111k +＜，解得k ≠0.当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝222r d -＝2，则△OAB 的面积为12×2×12＝12；当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．7.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1【测量目标】函数的奇偶性、单调性、周期性、值域【考查方式】判断函数的奇偶性、单调性、周期性、值域. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝2x ＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是( ) A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】将一个向量用两个向量表示出来 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( ) A.25 B.246+ C.27+ D.26【测量目标】圆与椭圆的基本性质【考查方式】给出圆和椭圆的标准方程求分别在圆和椭圆上两点的最远距离 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设圆心为点C ，则圆22(6)2x x +-=的圆心为C (0，6)，半径r ＝2.设点Q ()00,x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-∴|CQ |＝22001010(6)y y -+-＝20091246y y --+＝2029()50,3y -++，当0y ＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来,依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C.()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c cc b a +++++++ 【测量目标】随机事件.【考查方式】由随机事件判断所有取法. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a 2345a a a a ++++；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋5a ；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C C C C C c c c c c +++++＝5(1),c +根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是 ()()()555432111c b a a a aa +++++++.第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则y x z +=3的最小值为________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考察方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值.【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得min z ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.OW48(第11题图)12.在ABC △中，60,4,23A AC BC =︒== ,则ABC △的面积等于________. 【测量目标】三角函数的基本运算、正弦定理.【考查方式】给出约束条件利用正弦定理求三角形面积. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由sin sin BC AC A B =，得sin B ＝4sin 6023＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则ABC S △＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于23.13.要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元). 【测量目标】基本不等式.【考查方式】给出约束条件求最低总造价. 【难易程度】容易 【参考答案】160【试题解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×1×10＝80＋204x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥80＋20×24x x ⋅＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．14.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.OW49(第14题图)【测量目标】几何概率【考查方式】根据图形解落在阴影部分的概率 【难易程度】中等 【参考答案】22e 【试题解析】因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝xe 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝21e⎰ln xdx ＝2(x ln x －x )1|e＝2[(e ln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝22e . 15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.【测量目标】数组【考查方式】给出条件判断哪些是符合条件的数组 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】若①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d ＝4；由a ≠1，b ≠1，c ≠2，得满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4或a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d ＝4；由②不正确，得b ＝1，则满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.(1)若π02α<<，且2sin 2α=，求()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的 图象与性质等基础知识.【考查方式】给出约束条件求解、求函数最小正周期和单调区间. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以2cos 2α=. 所以22211()()22222f α=+-=. (2)因为21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-112πsin 2cos 2sin(2)2224x x x =+=+,所以2ππ2T ==.由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3πππ,88k x k k π-+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z . 解法二：21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11sin 2cos 222x x =+ 2πsin(2)24x =+.(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以π4α=,从而2π23π1()sin(2)sin 24242f αα=+==.(2)2ππ2T ==,由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3ππππ,88k x k k -+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z .17.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥.将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.OW51(第17题图)【测量目标】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识【考查方式】考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想来证明线线垂直，以及线面余弦值.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为平面ABD ⊥平面B C D ,平面ABD 平面,B C DB D A B =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD内作B E B D ⊥,如图. 由(1)知AB ⊥平面,B C D B E ⊂平面,B C D B D ⊂平面,B C D 所以,A B B E A B B D ⊥⊥.以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得(0,0,0),(1,1,0),B C 11(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22D A M .则(1,1,0),BC = 11(0,,),22BM =(0,1,1)AD =- .设平面M B C 的法向量000(,,)n x y z = .则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0000011022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.取01,z =得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-.设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则6sin cos ,,3n AD n AD n ADθ⋅=<>==即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.OW50(第17题图)18.(本小题满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【测量目标】古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识 【考查方式】给出事件求概率、分布列及数学期望、利用方差大小判断合理性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设顾客所获的奖励为X . ①依题意,得111324C C 1(60)C 2P X ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.2324C 11(60),(20)2C 2P X P X =====.即X 的分布列为:X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=(元). (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X20 60 100 P1623161X 的期望为112()206063E X =⨯+⨯+1100606⨯=,1X 的方差为1()D X =21(2060)6-⨯+22(6060)3-⨯211600(10060)63+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为:2X40 60 80P1623162X 的期望为21()406E X =⨯+2160806036⨯+⨯=,2X 的方差为221()(4060)6D X =-⨯+22(6060)3-⨯+21400(8060)63-⨯=. 由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)已知双曲线22221(0,0)x y E a b a b-=>>：的两条渐近线分别为122,2l y x l y x ==-：：. (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点(B A ,分别在第一，四象限)，且OA B △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.【测量目标】双曲线的 方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识. 【考查方式】给出约束条件求离心率、判读符合条件的直线是否存在 【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以222,2,b c a a a -=∴=5c a ∴=,从而双曲线E 的离心率5e =.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为222214x y a a-=. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,则,4OC a AB a ==,又因为OAB △的面积为8,所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=.此时双曲线E 的方程为221416x y -=.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.Ow52(第19题图)设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k >2或k <-2.则(,0)mC k -，记1122(,),(,)A x y B x y .由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩,得122m y k =-,同理得222my k =+.由1212OAB S OC y y =-△得, 1228222m m m k k k-⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-.由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以0∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为221416x y -=Ow53（第19题图）20. (本小题满分14分)已知函数()ax e x f x -=(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值；(Ⅱ)证明：当0>x 时，2e xx <；(Ⅲ)证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有xce x <2.【测量目标】导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用【考查方式】利用导数的运算及导数的应用、全称量词来求未知量的值、和函数的极值、证明相关结论.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由()x f x e ax =-，得'()xf x e a =-.又(0)11f a '=-=-,得2a =.所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为l n 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.(Ⅱ)令2()xg x e x =-,则'()2x g x e x =-.由(Ⅰ)得'()()(ln 2)0g x f x f =>…,故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时,()(0)0g x g >>,即2x x e <.(Ⅲ) 解法一：①若1c …,则x xe ce ….又由(Ⅱ)知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<,令11k c=>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=.所以当2x >时,'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知l n ,l n 2,50k k k k>>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2xx ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.解法二：对任意给定的正数c ，取04x c=,由(Ⅱ)知，当x >0时，2x e x >，所以2222,()()22x xx x x e e e =>,当0x x >时， 222241()()()222x x x x e x c c >>=,因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.21.本题设有(1)，(2)，(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A . (Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【测量目标】逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识【考查方式】利用逆矩阵求矩阵，求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵,且1221130A -=⨯-⨯=≠,所以2121133 1212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)矩阵1A -的特征多项式为21() 12f λλλ--==-- 243(1)(3)λλλλ-+=--,令()0f λ=,得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=,所以111ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量. 211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y ta x 42，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，(θ为参数). (Ⅰ)求直线l 和圆C 的普通方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 【测量目标】直线与圆的 参数方程等基础知识.【考查方式】利用参数方程求直线和圆的普通方程、给出约束条件求实数a 的取值范围 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=…,解得2525a -剟.(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：2223p q r ++…. 【测量目标】绝对值不等式、柯西不等式等基础知识【考查方式】利用不等式求函数的最小值、证明相关结论. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为12(1)(2)3x x x x ++-+--=…,当且仅当12x-剟时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.(Ⅱ)由(I)知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以222222()(111)p q r ++++…2(111)p q r ⨯+⨯+⨯2()9p q r =++=,即2223p q r ++….。
2014年福建福州高级中等学校招生考试数学试卷
2014年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)1.-5的相反数是()A.-5B.5C.D.-2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学记数法表示为()A.11×104B.1.1×105C.1.1×104D.0.11×1063.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥4.下列计算正确的是()A.x4·x4=x16B.(a3)2=a5C.(ab2)3=ab6D.a+2a=3a5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是()A.44B.45C.46D.476.下列命题中,假命题．．．是()A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360°7.若(m-1)2+=0,则m+n的值是()A.-1B.0C.1D.28.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是()A.=B.-=C.= D.=-9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是()A.-1B.1C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)11.分解因式:ma+mb=.12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.13.计算:(+1)(-1)=.14.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是.三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)16.(每小题7分,共14分)(1)计算:++|-1|;(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=.17.(每小题7分,共14分)(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连结AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.图1图2设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B 级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了名学生,a=%;(2)补全条形统计图;(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为度;(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?19.(满分12分)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元;(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过．．．300元,问有几．．．350元,且不低于种购买方案,哪种方案费用最低?如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求☉O的半径.21.(满分13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当t=秒时,则OP=,S△ABP=;(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.图1图2备用图如图,抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.备用图答案全解全析：一、选择题1.B只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B.评析本题考查相反数的定义,属容易题.2.B科学记数法的表示形式为a×10n,1≤|a|<10,故110000=1.1×105,故选B.评析本题考查科学记数法的定义,属容易题.3.D由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.评析本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.4.D x4·x4=x4+4=x8,A选项错误;(a3)2=a3×2=a6,B选项错误;(ab2)3=a3·b2×3=a3b6,C选项错误;根据合并同类项法则知,D选项正确,故选D.5.C这组数据的平均数是=46,故选C.评析本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题.6.B根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B.7.A∵(m-1)2+=0,∴-∴-∴m+n=-1,故选A.8.A根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列出方程=,故选A.评析本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题.9.C由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°.评析本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.10.D如图,作ED⊥OB,EC⊥OA,FG⊥OA,垂足分别为D,C,G,ED交FG于H,易得A(2,0),B(0,2),∴△ACE、△AOB、△EHF都是等腰直角三角形,又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x,∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).又∵点E、F在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=,∴E,k=.评析本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题.二、填空题11.答案m(a+b)解析ma+mb=m(a+b).评析本题考查提公因式法分解因式,属容易题.12.答案解析5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.评析本题考查概率,属容易题.13.答案1解析(+1)(-1)=()2-12=2-1=1.评析本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题.14.答案20解析∵四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BE=2,∴BC=AD=6,∴EC=4.又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.∴▱ABCD的周长是2×(6+4)=20.评析本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题. 15.答案5解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,∴AD=5,AE=EC,DE=BC,∠AED=90°.∵CF=BC,∴DE=FC.在Rt△ADE和Rt△EFC中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC,∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.评析本题考查三角形中位线定理,属中等难度题.三、解答题16.解析(1)原式=3+1+1=5.(2)原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.当x=时,原式=6×+4=6.评析本题考查了实数的运算,属容易题.17.解析(1)证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE.∴∠A=∠D.(2)①.②如图所示.由轴对称的性质可得,AA1=2,BB1=8,梯形AA1B1B的高是4.=(AA1+BB1)×4=20.∴梯形评析本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题.18.解析(1)50;24.(2)如图所示.综合评定成绩条形统计图(3)72.(4)该校D级学生约有2000×=160(名).评析本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题.19.解析(1)设A商品每件x元,B商品每件y元.依题意,得解得答:A商品每件20元,B商品每件50元.(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10-a)件.依题意,得--解得5≤a≤6.根据题意知,a的值应为整数,所以a=5或a=6.方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元;方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元.∵350>320,∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件.其中方案二费用最低.20.解析(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE中,∵sin B=,∴AE=AB·sin B=3·sin45°=3×=3.∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.∴BE=AE=3.在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=,∴EC==°==.∴BC=BE+EC=3+.(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=,∴AC=2.解法一:连结AO并延长交☉O于M,连结CM.∵AM为直径,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M=,=4.∴AM==°∴☉O的半径为2.解法二:连结OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF=AC=.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.∴∠AOF=∠AOC=60°.在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=,∴AO==2,即☉O的半径为2.评析本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题.21.解析(1)1;.(2)①∵∠A<∠BOC=60°,∴∠A不可能为直角.②当∠ABP=90°时,∵∠BOC=60°,∴∠OPB=30°.∴OP=2OB,即2t=2.∴t=1.③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.∵OP=2t,∴OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.∵BP2+AP2=AB2,∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,∴∠APD=∠B.又∵∠ADP=∠PDB=90°,∴△APD∽△PBD,∴=,∴PD2=AD·BD.于是(t)2=(2+t)(1-t),即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或-.(3)证法一:∵AP=AB,∴∠APB=∠B.作OE∥AP,交BP于点E,∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ∥BP,∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°,∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴△QAO∽△OEP.∴=,即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP,∴△OBE∽△ABP.∴===.∴OE=AP=1,BP=EP.∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3.证法二:连结PQ,设AP与OQ相交于点F.∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB,∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP.∵∠QFA=∠PFO,∴△QFA∽△PFO.∴=,即=.又∵∠PFQ=∠OFA,∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴=.∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3.22.解析(1)顶点D的坐标为(3,-1).令y=0,得(x-3)2-1=0,解得x1=3+,x2=3-.∵点A在点B的左侧,∴点A坐标为(3-,0),点B坐标为(3+,0).(2)证明:过D作DG⊥y轴,垂足为G,则G(0,-1),GD=3.令x=0,则y=,∴点C坐标为.∴GC=-(-1)=.设对称轴交x轴于点M.∵OE⊥CD,∴∠GCD+∠COH=90°.∵∠MOE+∠COH=90°,∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OME=90°,∴△DCG∽△EOM.∴=,即=.∴EM=2,即点E的坐标为(3,2),∴ED=3.由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.∴△AED是直角三角形,且∠DAE=90°.设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°,∠AFD=∠HFE,∴∠AEO=∠ADC.(3)由☉E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2=EP2-1.要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P的坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.∵y=(x-3)2-1,∴(x-3)2=2y+2.∴EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-1)2+5.当y=1时,EP2取最小值,为5.把y=1代入y=(x-3)2-1,得(x-3)2-1=1,解得x1=1,x2=5.又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴点P的坐标为(5,1).此时Q点坐标为(3,1)或.评析本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第(3)问中,解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题,注意求EP2最小值的具体方法.属难题.。
福建省福州八县(市)一中高二数学上学期期末联考试题 理.doc
福建省福州八县（市）一中-高二数学上学期期末联考试题 理完卷时间：1 满 分：150分一、选择题（每小题各5分, 共60分）1．命题2x R,x x 0∀∈-≥的否定（ ）A.2x R,x x 0∀∈-≥B. 2x R,x x 0∃∈-<C.2x R,x x 0∀∈-<D. 2x R,x x 0∃∈-≥2．抛物线214y x =的准线方程是（ ）A ．116y =B ．116y =- C ．1y = D ．1y =-3．已知命题p 、q,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若βα//， 则实数λ的值是（ ）A ．103-B ．6-C ．6D ．1035.已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的否命题是 （ ）A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2a b a b +=+<则C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12a b a b +≥+=则6.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ， 21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ）A ．2B ．18C ．2或18D ．16 7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线 BE 与1CD 所成的角的余弦值为( )A ．10 B ． 15 C ． 10 D ． 358. 已知(4,1,3)A 、(2,3,1)B 、(3,7,5)C -，点(,1,3)P x -在平面ABC 内，则实 数x 的值为（ ） A ．4- B ．1 C ．10 D ．119．经过点P （4，2-）的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 82-=B ．y x 82-=C ．x y =2或y x 82-= D ．x y =2或x y 82=10. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得 到∈M 平面ABC 的充分条件是 （ ）A ．1133OM OA OB OC =-+； B ．111222OM OA OB OC =++；C ．OM OA OB OC =++；D ．2OM OA OB OC =-- 11. 已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标 是(1，2)。
2014-2015年福建省福州八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣24．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．88．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx ﹣x 2的单调递增区间为 ．12．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为 ．13．（4分）设a=，b=，c=，则a 、b 、c 的大小关系为 ．（按从大到小的顺序排列，否则不给分） 14．（4分）已知点A （x 1，a），B （x 2，a）是函数y=a x （a ＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A（x 1，lnx 1），B （x 2，lnx 2）是函数y=lnx 的图象上任意不同两点，则类似地有 ．15．（4分）已知f （x ）=，定义f 1（x ）=f′（x ），f 2（x ）=[f 1（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．经计算f 1（x ）=，f 2（x ）=，f 3（x ）=，…，照此规律，则f n （x ）= ．三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx+．2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得﹣|2i|=﹣2=1+i﹣2=﹣1+i对应的点为（﹣1，1）在第二象限，故选：B．2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣2【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x==4﹣3x2︳x=﹣1=1，﹣1∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选：D．4．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【解答】解：图①中；图②中；图③中；图④中．故选：D．5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：①a=i时，a+=0，故不成立；②（a+b）2=a2+2ab+b2，成立；③设a=x+yi（x，y∈Z），|a|=1，则x2+y2=1，故不成立；④若a2=ab，则a（a﹣b）=0，∴a=b或a=0，成立．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=2时，不等式左边为．故选：D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．8【解答】解：f（x）dx=（∫﹣20（2﹣x）dx+∫2dx）∵∫﹣20（2﹣x）dx=（2x﹣x2）|﹣20=6，∵∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π∴﹣22f（x）dx=∫﹣20（2﹣x）dx+∫02dx=π+6故选：A．8．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，∴F1M⊥F2M．∵，∴|F1M|=c．∴c+c=2a，∴．∴椭圆的离心率为﹣1．故选：A．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．【解答】解：=====﹣=．故选：C．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx﹣x2的单调递增区间为（0，）．【解答】解：函数的定义域为为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣2x=，由f′（x）=＞0，得1﹣2x2＞0，解得0＜x＜，故函数的单调递增区间为（0，），故答案为：（0，）12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为．【解答】解：如图，连接D1A，D1E，∠D1AE（或其补角）为异面直线BC1与AE 所成角设边长为1，则D1A=，D1E=，AE=，利用余弦定理得cos∠D1AE==∴∠D1AE=故答案为：．13．（4分）设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系为c＞a＞b．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）【解答】解：∵（=﹣9＜0，∴＜4，∴c==＞=a，又﹣2==a，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．（4分）已知点A（x1，a），B（x2，a）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，则类似地有＜ln（）．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有＞a成立；点A（x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜ln （）．故答案为：＜ln（）．15．（4分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z 2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z 2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．【解答】解：①f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），∵f（x）在x=3处取得极值，∴f′（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0，解得a=3．经过检验，当a=3时，x=3为函数f（x）的极值点．②令f′（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0，解得x=a或1．当a≤1时，f′（x）≥0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，不合题意舍去；当1＜a＜3时，当1＜x＜a时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减；当a＜x＜3时，f′（x）＞0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，满足题意；当a≥3时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减，不合题意舍去．综上可得：a的取值范围是（1，3）．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，∴DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，∴DE∥平面AC C1 A1，（2）解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C=C，以CA．CB．CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴，．设平面DB1C的法向量=（x0，y0，z0），则由，令x0=4，则y0=﹣3，z0=3，∴=（4，﹣3，3），又直线BC1与平面DB1C所成角θ的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，∴，∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y=x，∵点（1，2）在“上”区域内，∴×1＜2，即＜2，∴e==＜，又e＞1，则双曲线离心率e的取值范围是（1，）．故选：D．20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，第一行有1项，第二行有2项，…，第n行有n项，则前9行共有1+2+3+…+9==45，所以第10行第8个数是数列的第45+8=53项，因为，所以A（10，8）=，故选：D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）=，f（x0）=（x＞0），即函数y=f（x）的定义域D=（0，+∞），所以函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）=（）（x﹣x0），则g（x）=（）（x﹣x0）+（），设F（x）=f（x）﹣g（x）=+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）=0，所以F′（x）=f′x）﹣g′（x）=﹣（）===当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时，∴y=F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=e，=＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故，即此时点P是y=f（x）的“类对称点”，综上可得，y=F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）==，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0）．=（﹣1，1，0）所以，所以BC⊥BD，又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，所以BC⊥平面PBD．（Ⅱ）因为=（0，2，﹣1），又且λ∈（0，1），设E（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0﹣1）=（0，2λ，﹣λ），所以，E（0，2λ，1﹣λ），即=（0，2λ，1﹣λ），．…（6分）设平面EBD的法向量为=（a，b，c），因为=（1，1，0），由，，得，令a=﹣1，则可得平面EBD的一个法向量为=（﹣1，1，）…（9分）而平面PDB的法向量即为…（10分）所以，=||=，解得或λ=﹣1，…（11分）又由题意知λ∈（0，1），故，即点E在靠近点P的三等分处．…（12分）23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1===，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M =，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx +．【解答】解：（Ⅰ）由条件知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故f min（x）=f （）=﹣；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，（x∈[3，+∞））；即a≤lnx+x +恒成立，（x∈[3，+∞））；令h（x）=lnx+x +，则h′（x）==；第21页（共22页）故h（x）在[3，+∞）上是增函数；故h min（x）=h（3）=5+ln3；故实数a的取值范围为（﹣∞，5+ln3]．（Ⅲ）证明：由题意，当x∈（0，2π）时，要证：lnx+cosx +成立，只需证xlnx≥sinx﹣xcosx ﹣；设P（x）=sinx﹣xcosx ﹣，则P′（x）=xsinx，故P（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；故P max（x）=P（π）=﹣；由（Ⅰ）知，f min（x）=f （）=﹣＞﹣；故当x∈（0，2π），lnx+cosx+恒成立．第22页（共22页）。
2014年福建高考理科数学试卷及答案解析
2014年福建高考理科数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （5分）（2014?福建）复数z= （3 -2i）i的共轭复数等于（）A . - 2 - 3i B. - 2+3i C. 2 - 3i D. 2+3i2. （5分）（2014?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A .圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3. （5分）（2014?福建）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a i=2, S3=12，则a6等于（）A . 8 B. 10 C . 12 D. 144. （5分）（2014?福建）若函数y=log a x （a>0,且a力）的图象如图所示，则下列函数图象S=S-2n -n运行相应的程序，输出的S的值等于（）i -D. r-i0g/-jc)H=H-1IA . 18 B. 20 C.26. (5 分)(2014?福建)直线l: y=kx+1 与圆0 : x +y 的面积为丄”的( ) 21 D. 402=1相交于A ,B两点，则“=1堤△ OABA.充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分又不必要条件fx2+l7. ( 5分)(2014?福建)已知函数f (x)=cosx' ,则下列结论正确的是（）,x<0A. f （x）是偶函数 B . f （x）是增函数 C . f （x）是周期函数D. f （x ）的值域为［-1 , +①& （5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量1= （3, 2）表示出来的是（）A .P1=(0, 0),亡2= (1 , 2)1B .e l・_________=(-1, 2), ~ = (5,- 2)C .• 1=(3, 5),亡三二(6, 10)__D .e l=(2,- 3),云=(-2, 3)2 2 V 29. （5分）（2014?福建）设P, Q分别为圆x+ （y-6）=2和椭圆［+y =1上的点，贝U P,Q两点间的最大距离是（）_ _ _A . 5「B. ~C. 7+「D. 6 -10. （5分）（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b ）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：1"表示一个球都不取、a"表示取出一个红球，而ab'则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A . (1+a+a2+a3+a4+a5) (1+b5) (1+c) 5B . (1+a5) (1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c) 5C. 1+a) 5(1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c5) D . (1+a5) (1+b) 5(1+c+c2+c3+c4+c5)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置\ -y+l<011. （4分）（2014?福建）若变量x, y满足约束条件r+2y-S< 0,则z=3x+y的最小值为_________________ .12. （4 分）（2014?福建）在△ ABC 中，A=60 ° AC=4 , BC=2、£，则△ ABC 的面积等于13. _______ （4分）（2014?福建）要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 _ （单位：元）14. _______________________________________ （4分）（2014?福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15. （4分）（2014?福建）若集合{a , b, c, d}={1 , 2, 3, 4}，且下列四个关系：①a=1;②b为；③c=2；④d證有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a, b, c, d）的个数是 __________________ .三、解答题：本大题共5小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （13 分）（2014?福建）已知函数f （x）=cosx （sinx+cosx）-匸（1 ）若0v a<—，且sin a=^，求f （a）的值；2 2（2）求函数f （x）的最小正周期及单调递增区间.17. （13 分）（2014?福建）在平面四边形ABCD 中，AB=BD=CD=1 , AB 丄BD , CD 丄BD , 将厶ABD沿BD折起，使得平面ABD丄平面BCD，如图.（1）求证：AB丄CD ;（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18. （13分）（2014?福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50 元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.2 219. （13分）（2014?畐建）已知双曲线E：- r=1 （a> 0, b> 0）的两条渐近线分别为11：y=2x, I2：y= - 2x.（1 ）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线1分别交直线11, 12于A , B两点（A , B分别在第一、第四象限），且△ OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.儿\\/・//20. （14分）（2014?福建）已知函数f （x）=e x- ax （a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f （x）在点A处的切线斜率为-1.（1 ）求a的值及函数f （x ）的极值；（2 ）证明：当x > 0 时，x2v e x;（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x o,使得当x € （x o，+ R）时，恒有x v ce x.在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换2 1-121. （7分）（2014?福建）已知矩阵A的逆矩阵A =「'）.1 2（1）求矩阵A ;（2）求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修4-4 :极坐标与参数方程x=a - 2t22. （7分）（2014?福建）已知直线l的参数方程为•，（t为参数），圆C的参数方y= -（1）求直线 l 和圆 C 的普通方程；（2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．六、选修 4-5 ：不等式选讲23. （2014?福建）已知定义在 R 上的函数f （x ） =|x+1|+|x - 2|的最小值为 a . （ 1 ）求 a 的值；（2）若p , q , r 为正实数，且 p+q+r=a ，求证：p 2+q 2+r 2务.'x=4cos 9 L y=4sin 0（0为常数）.2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. _1. （5分）（2014?福建）复数z= （3 -2i）i的共轭复数等于（）A . - 2 - 3i B. - 2+3i C. 2 - 3i D. 2+3i2. （5分）（2014?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A .圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱考点：由三视图还原实物图.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：1直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可.解答：：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.3. （5分）（2014?福建）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a i=2, S3=12，则a6等于（）A . 8B. 10 C . 12 D . 14考点：等差数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：由等差数列的性质和已知可得a2,进而可得公差，可得a6解答：:/解：由题意可得S s=a1+a2+a3=3a2=12, 解得a2=4，•公差d=a2- a1=4 - 2=2, •-a6=a1+5d=2+5 >2=12, 故选：C .点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4. （5分）（2014?福建）若函数y=log a x （a>0,且a力）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）考点：对数函数的图像与性质. 专题： 函数的性质及应用.分析： 由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答：：/解：由题意可知图象过（3，1），故有 仁Iog a 3，解得a=3，选项A ，y=a x=3 x=:-单调递减，故错误；选项B ， y=x ，由幂函数的知识可知正确；选项C , y= （ x ）= - x ,其图象应与 B 关于x 轴对称，故错误；选项 D , y=log a （- x ） =Iog 3 （- x ）,当 x= - 3 时，y=1 , 但图象明显当x= - 3时，y= - 1,故错误.故选：B .点评： 本题考查对数函数的图象和性质，涉及幕函数的图象，属基础题.5.（ 5分）（2014?福建）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出的S 的值等于（ ）rriF ）n=n-LA . 18B . 20C . 21D . 40考点：循环结构.专题：计算题；算法和程序框图.1 2 n分析：算法的功能是求 S=2+2 +・・+2 +1+2+・・+ n 的值，计算满足条件的 S 值，可得答案.解答：解：由程序框图知：算法的功能是求 S=21+22+ ••+2“+1+2+的值，1 2123S=2 +2 +1+2=2+4+1+2=9 V 15, S=2 +2 +2 +1+2+3=2+4+8+1+2+3=20 羽5.•••输出 S=20.故选：B .点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6. (5分)(2014?福建)直线l的面积为一"的()22 2:y=kx+1与圆O : x +y =1相交于 A , B 两点，贝U “=1 "是 △ OABA .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：直线与圆；简易逻辑.分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.一 2 2解答：解：若直线I : y=kx+1与圆O : x +y =1相交于A , B 两点，即充分性成立. 不成立，即必要性不成立. 的面积为一”的充分不必要条件.2故选：A .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之 间的关系是解决本题的关键.F+l S >Q7. ( 5分)(2014?福建)已知函数f (x )='，则下列结论正确的是()cosx ,A . f (x )是偶函数B . f (x )是增函数C . f (x )是周期函数D . f (x )的值域为［-1 , +①考点：余弦函数的单调性. 专题：函数的性质及应用.分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可. 解答：解：由解析式可知当x 切时，f (x ) =cosx 为周期函数，2当x > 0时，f （x ） =x +1，为二次函数的一部分，则圆心到直线距离 d=, |AB|=2■■- --::;- - 一:一}1 + k 2,d = 1〔则△OAB 的面积为. J 成立，若厶OAB 的面积为衆诗疋舊，解得k= ±，则k=1 故 k=1 ”是△ OAB若 k=1，则 |AB|= ［则 S =---- -I .故f （x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C,对于D，当xO时，函数的值域为[-1, 1],当x> 0时，函数的值域为值域为（1, + a）,故函数f （x）的值域为[-1, + ^）,故正确.故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.& （5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量1= （3, 2）表示出来的是（）A .1e l* 1=(0, 0) , . = (1, 2)1B.1■e l=(-1, 2),云=(5,- 2)1C. —* 1=(3, 5), . = (6, 10)D. ■e l=(2,- 3),巳；=(-2, 3)考点：平面向量的基本疋理及其意义.专题：平面向量及应用.分析：；根据向里的坐标运算，：」丁 .二，计算判别即可.解答：, 解：根据「二...二,...],选项A : （3, 2）=入（0, 0）+卩（1, 2），贝U 3=卩，2=2卩，无解，故选项A不能；选项B :（3, 2）=入（-1 , 2）+讥5, - 2）,则3=-廿5卩，2=2入—2仏解得，入=2 ,（1=1 ,故选项B能.选项C：（3 , 2）=入（3 , 5）+1 （6 , 10）,则3=3廿6卩，2=5廿10 1无解，故选项C 不能.选项D : （3 , 2）=入（2 , - 3）+1（- 2 , 3）,贝U 3=2 X- 2 口，2= - 3 Z+3 1,无解，故选项D不能.点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据,■ ■ j ■ 11■列出方程解方程是关键，属于基础题.22 2 V 29. （5分）（2014?福建）设P, Q分别为圆x + （y-6）=2和椭圆】+y =1上的点，贝U P,Q两点间的最大距离是（）_ _ _A . 5 匚B. .「+ 匚C. 7+ 匚D. 6 匚考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P, Q两点间的最大距离.解答：解：设椭圆上的点为（x, y）,贝U•••圆x2+ （y- 6）2=2的圆心为（0, 6）,半径为UE,10. （5分）（2014?福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理， 从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（ 1+a ） （1+b ）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：1"表示一个球都不取、a"表示取出一个红球，而ab'则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是（ ）A . (1+a+a 2+a 3+a 4+a 5) (1+b 5) (1+c ) 5B .5、 ■ 2 3 4 5、 、5(1+a ) (1+b+b +b +b +b ) (1+c ) C .5 2 3 4 55(1+a ) 5 (1+b+b 2+b 3+b 4+b 5) (1+c 5)D .5 5 2 3 4 5(1+a 5) (1+b ) 5 (1+c+c 2+c 3+c 4+c 5)考点：归纳推理；进行简单的合情推理. 专题：推理和证明.分析：根据1+a+b+ab 表示出来，如：T 表示一个球都不取、 a"表示取出一个红球，而 ab "则表示把红球和蓝球都取出来 ",分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.解答：解：所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（ 1+a+a 2+a 3+a 4+a 5）,第二步取蓝球，有（1+b 5）,5第三步取黑球，有（1+c ）,所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a 2+a 3+a 4+a 5） （1+b 5） （1+c ）5,故选：A .点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置\ -y+l<011. （4分）（2014?福建）若变量x , y 满足约束条件0,则z=3x+y 的最小值为 1.考点：简单线性规划. 专题： 不等式的解法及应用.分析：：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小值.解答：： i解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y ，得 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z ，由图象可知当直线 y= - 3x+z ，经过点A （0, 1）时，直线y=-3x+z 的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0X3+1=1 ,12.（4 分）（2014?福建）在厶ABC 中，A=60 °AC=4 , BC=2 ；，则△ ABC 的面积等于__2 :考点：正弦定理.专题：解三角形.分析：:'利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ ABC的面积.解答：〕解: •••△ ABC 中，A=60 ° AC=4 , BC=2』^,由正弦定理得：’L ,sinA sinB• 1 :sinSO* ~sinB解得sinB=1 ,•B=90°, C=30°,•△ ABC 的面积=^ ： _ . | ::; :.■w故答案为：，■:.点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角一角形、一角形的面积公式等知识，属于基础题.313. （4分）（2014?福建）要制作一个容器为4m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题：不等式的解法及应用.分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a, b，成本为y,建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.解答：解：设池底长和宽分别为a, b，成本为y,则•••长方形容器的容器为4m3,高为1m,故底面面积S=ab=4, y=20S+10[2 （a+b）]=20 （a+b）+80,T a+b 支I .=4,故当a=b=2时，y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14. （4分）（2014?福建）如图，在边长为e （e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为-.一2 —e考点：几何概型.专题：综合题；概率与统计.分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.解答：〕解：由题意，y=lnx与y-e关于y-x对称，阴影部分的面积为2 :（e- e x）dx-2 （ex - e x）-2,J 0 1 0•••边长为e （e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2, •••落到阴影部分的概率为厶.2e故答案为：三.e点评：: 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15. （4分）（2014?福建）若集合{a , b, c, d}={1 , 2, 3, 4}，且下列四个关系：①a=1;②b为；③c=2；④d證有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a, b, c, d）的个数是 6 .考点：集合的相等.专题：计算题；集合.分析：:利用集合的相等关系，结合①a-1 :②b为；③c-2；④d證有且只有一个是正确的，即可得出结论.解答：:解：由题意，a-2 时，b-1, c-4, d-3 ；b-3, c-1 , d-4 ；a-3 时，b-1, c-4, d-2；b-1, c-2, d-4；b-2, c-1, d-4；a-4 时，b-1, c-3, d-2；•符合条件的有序数组(a, b, c, d)的个数是6个.点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共 5小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. ( 13 分)(2014?畐建)已知函数 f (x )=cosx ( sinx+cosx )—2(1 )若0V a<2!，且sin 炉乜，求f (a)的值；2 2(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.:三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. :三角函数的图像与性质. :(1)利用同角三角函数关系求得 COS a 的值，分别代入函数解析式即可求得 f (a)的值.(2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数 性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.解备解：(1 2 2v 0<a <，且 sin ―• •• cos 炉丄1,2• f ( a) =cos a (sin a +COS a)-—,2="x( "+ ")- ■2 2 2 2=丄飞.(2) f (x ) =cosx ( sinx+cosx )- 2=sin xcosx+cos 2x - 2=：si n2x+—cos2x 2 2 V2 K=——sin (2x+—),• T=込 n,2 ,k €Z ，得 kn-——§' , k €Z ,8 8• f (x )的单调递增区间为[k n- 1 , k n+——],k & .8 8点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.17. (13 分)(2014?畐建)在平面四边形 ABCD 中，AB=BD=CD=1 , AB 丄 BD , CD 丄 BD , 将厶ABD沿BD 折起，使得平面 ABD 丄平面 BCD ，如图. 2求证：AB 丄CD ;由 2k n-—电x+—<2k24J/考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系. 专题：空间角.分析：(1)利用面面垂直的性质定理即可得出；(2)建立如图所示的空间直角坐标系•设直线AD与平面MBC所成角为0,利用线面角的计算公式sin 0=|cos<U*忑>|=■即可得出.解答：(1)证明：•••平面ABD丄平面BCD，平面ABD门平面BCD=BD , AB?平面ABD , AB 丄BD ,••• AB 丄平面BCD，又CD?平面BCD AB 丄CD .(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系.AB=BD=CD=1 , AB 丄BD , CD 丄BD ,• B (0 , 0 , 0), C (1,1 , 0), A (0 , 0 , 1) , D ( 0 , 1, 0), M (°, 2, 1).2 2—* ■■I [••■■I = (0 , 1 ,—1 ) , -•-= ( 1,1 , 0),■'"=..' 1 .n'BC=x+y=O设平面BCM的法向量n= (x , y , z),贝，〜—,i i令y= - 1,贝U x=1 , z=1 .• '= (1, - 1, 1).设直线AD与平面MBC所成角为0I IADI则sin18. (13分)(2014?畐建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球上所 标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ① 顾客所获的奖励额为 60元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60000元，并规定袋中的 4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡， 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.:概率与统计.:(1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为X 得所有可能取值为 20, 60,分别求出P (X=60 ), P (X=20 ),画出顾客所获的奖励 额的分布列求出数学期望；(2)先讨论，寻找期望为 60元的方案，找到(10, 10, 50, 50) , (20, 20 , 40, 40) 两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.解答：解：(1)设顾客所获取的奖励额为X ,计•诂1 ① 依题意，得 P (X=60)= ------------ 牙即顾客所获得奖励额为 60元的概率为丄， 2② 依题意得X 得所有可能取值为20, 60,1盾1P (X=60 )书,P (X=20 ) —=-,5即X 的分布列为所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E (X ) =20 X +60 X =402 2(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60元，所以先寻找期望为 60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10, 10, 10, 50)的方案，因为60 元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择(50, 50, 50, 10)的方案，因为 60元是面值之和的最小值，所以数学期sin 9=|cos 〔rJj> 1=|门・AD | In | | AD |,考查了推理能力和空间想象能力, 属于中档题.:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.60元的概率，依题意得_2'望也不可能为60元，因此可能的方案是(10, 10, 50, 50)记为方案1,对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除(20, 20, 20, 40)和(40, 40,40, 20)的方案，所以可能的方案是(20, 20, 40, 40),记为方案2,以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10, 10, 50, 50)设顾客所获取的奖励额为 X i ,则X i 的分布列为X 1的方差D (X 1)=I — 5 ：25一 I 』1I i IJ- IUI I 2 一=二 1,3 6320, 40, 40)设顾客所获取的奖励额为 X 2,则X 2的分布X 2 40 20 80P1 2 3 1 &X 2的方差D (X 2)=差D (40-60 )(60-60 )(80-60 ) 63 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 所以应该选择方案 2.点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力， 运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.2 219.( 13分)(2014?畐建)已知双曲线 E ： ： =1 (a > 0,b > 0)的两条渐近线分别为 l 1: y=2x , l 2： y= — 2x .(1 )求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线I 分别交直线1仁12于A , B 两点(A , B 分别在第一、 第四象限)，且△OAB 的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线 I 有且只有一个公共点的 双曲线E ?若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由.e对于方案2，即方案(20, 列为X 2的数学期望为E (X 2).严,(Xi )2^1 400=；-2奖励额的方差比方案 1小,E (X i )==■XX考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.故c=*」a .2 2(2)由(1)知，双曲线E 的方程为【-'=1./4a 3设直线I 与x 轴相交于点C ,当I 丄x 轴时，若直线I 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC|=a , |AB|=8 , 所以 |OC|?|AB|=8 ,因此丄a?4a=8，解得a=2,此时双曲线 E 的方程为-'=1 .2 4163 2(2)由(1)知，双曲线E 的方程为兰石-丄石=1 ,设直线I 与x 轴相交于点C ,分I 丄xa * 2 4a 2轴与直线I 不与x 轴垂直讨论，当I 丄x 轴时，易求双曲线 E 的方程为 £-£=1 .当直线I 不与x 轴垂直时，设直线I 的方程为y=kx+m ，与双曲线E 的方程联立，利用 由5= |OC|?|y 1 -y 2|=8可证得：双曲线E 的方程为-厂=1，从而可得答案.解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为I 仁y=2x , I 2： y= - 2x , 所以=2.4 16416解答：解:从而双曲线E 的离心率e=-^=".以下证明：当直线I不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为£-z!=1也满足条4 16件.设直线I的方程为y=kx+m，依题意，得k> 2或k v- 2;则C (-更，0)，记A (x i, y i), B (X2, y2),k由fy=kx+m 得y i=』j_，同理得y2=』l,l 尸玄2-k 2+k由S〃AB=^|OC|?|y i - y2得：|?^Y -衆|=8，即m2=4|4 - k2|=4 (k2 -4).2 k 2-k 2+k2因为4 —k v 0,所以△ =4k m +4 (4- k ) (m +16) =- 16 (4k - m - 16), 又因为m2=4 ( k2- 4),所以△ =0,即直线I与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为£-#!=1 .4 16点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.x20. (14分)(2014?福建)已知函数f (x) =e - ax (a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f (x)在点A处的切线斜率为-1.(1 )求a的值及函数f (x )的极值；(2 )证明：当x > 0 时，x2v e x;(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x o,使得当x € (x o, + R)时，恒有x v ce x.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g (x) =e x- x2,禾U用导数求得函数的最小值，即可得出结论；(3)利用(2)的结论，令x0=2，贝V e x>x2>丄x,即x v ce x.即得结论成立.C C解答：解：(1)由f (x) =e x- ax 得f' (x) =e x- a.又f' (0) =1 - a=- 1 ,••• a=2,••• f (x) =e x- 2x, f' (x) =e x- 2.由f' (x) =0 得x=ln2 ,当x v ln2 时，f' (x) v 0, f ( x)单调递减；当x> ln2 时，f' (x)> 0, f ( x)单调递增；•••当x=ln2 时，f (x)有极小值为f (In2) =e ln2- 2ln2=2 - ln4.f (x)无极大值.(2) 令 g (x ) =e x - x 2，则 g' (x ) =e x - 2x ,由(1)得，g' (x ) =f (x )芳(In2) =e ln2- 2ln2=2 - ln4> 0,即 g ' (x )> 0, •••当 x >0 时，g (x )> g (0) > 0，即 x 2v e x ;(3) 对任意给定的正数 c ,总存在X 0)> 0•当x € (x 0, +s)时，c由(2) 得 e x >x 2>2x ，即 x v ce x .c•对任意给定的正数 c ,总存在X 0,使得当x € (X 0, + 时，恒有x v ce x . 点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词 等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思 想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.属难题.在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中 .选修4-2:矩阵与变换一 -1 2 1 21. (7分)(2014?福建)已知矩阵 A 的逆矩阵A = C ' ) •1 2(1) 求矩阵A ;—1(2) 求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.2令f ( X)=(入-2)-仁0,可求得特征值为 则由 乃a =M a,得x+y=0得 x= - y ，可令 x=1，贝U y= - 1,1 1同理可得矩阵 M 的一个特征值 X=3对应的一个特征向量为| ； i .点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,设刀=1对应的一个特征向量为所以矩阵M 的一个特征值?1=1对应的一个特征向量为属于基础乃=1 ,眩=3,考点：特征向量的定义. 专题：计算题；矩阵和变换.分析：(1)利用AA -1=E ，建立方程组，即可求矩阵 A ;(2)先根据特征值的定义列出特征多项式，令 f ( X =0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.题.五、选修4-4 :极坐标与参数方程产X 二0 =22. ( 7分)(2014?福建)已知直线I的参数方程为・- (t为参数)，圆C的参数方y= - 4tI程为1 B为常数).ly=4sin0(1)求直线I和圆C的普通方程；(2)若直线I与圆C有公共点，求实数a的取值范围.考点：圆的参数方程；直线的参数方程.专题：; 选作题；坐标系和参数方程.分析：(1)消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；(2)求出圆心到直线的距离d，再根据直线1与圆C有公共点？ d^r即可求出.解答：厂晋—9+解: (1)直线I的参数方程为“曲1u a去,，消去t可得2x - y- 2a=0；........................... i9 2 2圆C的参数方程为J，两式平万相加可得x +y =16；(y=4siny(2)圆心C (0, 0),半径r=4 .1 1由点到直线的距离公式可得圆心 C (0, 0)到直线L的距离d= 1 1 .Vs •••直线L与圆C有公共点，•••」汁,解得-2兀毛0品.点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.六、选修4-5 :不等式选讲23. (2014?福建)已知定义在R上的函数f (x) =|x+1|+|x - 2|的最小值为a. (1 )求a的值；(2)若p, q, r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2务.考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法.专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用.分析：(1)由绝对值不等式|a|+|b|^a- b|,当且仅当ab切，取等号；(2)由柯西不等式：(a2+b2+c2) (d2+e2+f2) > (ad+be+cf) 2,即可证得.解答：(1)解：••• |x+1|+|x - 2|耳(x+1)-( x- 2) |=3, 当且仅当-1強0时，等号成立，• f (x)的最小值为3, 即a=3 ；(2)证明：由(1)知，p+q+r=3，又p, q, r为正实数，•由柯西不等式得，(p2+q2+r2) (12+12+12) >(px1+qxi+r XI) 22 2=(p+q+r) =3 =9,即p2+q2+r2為.点评：: 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.(2) 若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.分析：(1)依题意，可知-=2，易知c= =a,从而可求双曲线E的离心率；a。
【数学】福建省福州市第八中学2014-2015学年高二上学期期末考试(文)
福建省福州市第八中学2014-2015学年 高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若()()R y x i y i i x ∈+=-,,3，则复数=+yi xA ．i +-3B ．i +3C ．i 31-D ．13i +2. 已知取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y +=95.0，则a ＝A. 1.30B. 1.45C. 1.65D. 1.803．下列四个框图中是结构图的个数是A ．1个B ．2个C ．3个4．4个4．函数的图象在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．5．直线过椭圆的上焦点和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．6．已知下列命题： ①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；②已知p 、q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“p ⌝且q ⌝为真命题”；③“5>a ”是“2>a ”的充分不必要条件； ④“若0=xy ，则0=x 且0=y ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是A ．①②③B ．②④C ．②③D ．④7．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8.若实数b a ,满足00,0=≥≥ab b a 且，则称a 与b 互补． 记()b a b a b a --+=22,φ，那么()0,=b a φ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的内切圆的圆心，则2=GDAG”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，O 是这个四面体的内切球的球心”，则=OMAOA ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数是定义在R 上的偶函数，且对任意的R ，都有.当0≤≤1时，=，若直线与的图象在[0，2]恰有两个不同的公共点，则实数的值是A.0B.0或C.0或D.或二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.11.若命题“022,2≤--∈∀ax ax R x ”是真命题，则实数的取值范围是__________.12．设1z 是复数，112z i z z -= (其中1z 表示1z 的共轭复数)，已知2z 的实部是－3，则2z 的虚部为__________．13．下列命题：①平面内到两定点距离的差等于定长的点的轨迹不一定是双曲线；②椭圆中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度；③已知椭圆的中心在原点，经过两点和的椭圆的标准方程是唯一确定的．④由()()","221221e e aR ，e e a μλμλμλ+=∈+=则若向量可类比推理得()()22,,"bi a z R b a bi a z +=∈+=则若复数把以上各小题正确的答案填在横线上 ．三、解答题：本大题共3小题，共38分。
福建省福州市高二上学期期末联考试题数学(理)Word版含答案
2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 林志成 考试时间：1月31日 完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．抛物线22x y =的准线方程为（ ）A .81-=y B .81=y C .21-=x D .21=x 2．已知向量(1,3,2)a =- ，)1,1,2(+-=n m ，且a //b，则实数=+n m （ ）A .2-B .2C .4D .103．下列命题错误．．的是（ ） A .“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12≠x ，则1≠x ” B .若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C .命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定为“x R ∃∈，20x <”D .命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；4. 设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A .2B .72 C .92D .65．“4=m ”是“椭圆1522=+my x 焦距为2”的（ ） A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6．在空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且12OM MA =，点N 为BC 的中点．若=，=，=，则等于（ ）A .212131--B .212121--C .212131++-D .212121++-7．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则公比q 的值为 ( ) A .21-B .2-C .21D .28．如图所示，在正方体D C B A ABCD ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱D D '的中点，则异面直线GB 与E B '所成的角为（ ）A .120°B .90°C .60°D .30°9．已知过双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 焦点的直线l 与双曲线C 交于B A ，两点，且使a AB 3=的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的离心率为（ ）A .3B .2C .26D .21010．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则=+++10021111a a a ( )A .101200B .101100C .100198D .1009911．已知椭圆22142x y +=，直线x y =与椭圆交于B A 、两点，P 是椭圆上异于B A 、的点，且直线PA 、PB 的斜率存在，则PA PB k k ⋅=（ ）A .2B .12C ．12-D ． 2- 12．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，记圆心为M ，21F PF ∆的重心为G ，且满足21//F F MG ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A .x y ±=B .x y 2±=C .x y 2±=D .x y 3±=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．命题“02,2≤-+∈∃a ax x R x ”是假命题，则实数a 的取值范围为_________FE B C 114．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线y x 82=的焦点重合，则双曲线的方程为_________________15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且c b a ,2,成等比数列，则B cos 的最小值为______________16．在正方体1111ABCD A BC D -中，若棱长为1，点E 、F 分别为线段11B D 、1BC 上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________ ①1DB ⊥面1ACD ； ②面//11B C A 面1ACD ； ③点F 到面1ACD 的距离为定值33； ④线AE 与面D D BB 11所成角的正弦值为定值13. 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知命题09:2=+-mx x p 无实数解，命题q ：方程11422=-+-my m x 表示焦点在x 轴上的双曲线.（Ⅰ）若命题q ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.18．(本小题满分12分)已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边.（Ⅰ）若ABC ∆的面积为233，3=c ，且C B A ,,成等差数列，求b a ,的值； （Ⅱ）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状. 19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A BC -中,ABC ∆为等腰直角三角形, ︒=∠90BAC ,且AB AA =1,F E 、、D 分别为1B A 、1C C 、BC （Ⅰ）求证：DE ∥平面ABC ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P m 到焦点F 的距离为4．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点()1,1-，求直线l 与抛物线C 有两个公共点时k 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得二面角B AM D --为直二面角. （Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）问：在线段DB 上是否存在一点E ，使得直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)012222>>=+b a by a x （的左、右焦点分别为21,F F ，点），（213P 在椭圆C 上，满足4121=⋅PF PF . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠在曲线C 上，记),(11y a x =，),(22y ax=，若m n ⊥，O 为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、)0,1(-14、1322=-x y 15、8716、①②③三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（Ⅰ）命题q ：⎩⎨⎧<->-0104m m ，得41<<m ……………………………2分依题意得q 为真命题……………………………………………………………………3分 所以，m 的取值范围为)4,1( …………………………………………………………4分 （Ⅱ）命题p ：0362<-=∆m ，得66<<-m ………………………………6分 依题意得p 与q 必然一真一假…………………………………………………………7分 若p 真q 假，则⎩⎨⎧≤≥<<-1466m m m 或，得16≤<-m 或64<≤m …………………8分若p 假q 真，则⎩⎨⎧<<-≤≥4166m m m 或，此时无解 ……………………………………9分所以，实数m 的取值范围为)6,4[]1,6(⋃-…………………………………………10分 18、解：（Ⅰ） C B A ,,成等差数列，∴2B A C =+，…………………………1分 又A B C π++=∴3B π=………………………………………………………2分233433sin 21===∆a B ac S ABC ，解得2=a ………………………………4分由余弦定理得，b 7 …………………………………6分（Ⅱ）根据余弦定理，由cos a c B =，得acb c a c a 2222-+⋅=，∴222a b c +=，∴ABC ∆是以2C π=的直角三角形，………………………………………………10分∴sin a A c =，∴sin b c A ==ac a c⋅=，故ABC ∆是等腰直角三角形…………12分 19、解: （Ⅰ）方法一：设AB 的中点为G ，连接CG DG ,，则EC BB DG //21//1,∴四边形DGCE 为平行四边形…………………………………………………………2分 ∴GC DE //………………………………………………………………………………4分又ABC DE 面⊄,ABC GC 面⊂ ∴DE //面ABC ． ……………………………6分 法二：如图，以A 点为原点，分别以1AA AC AB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系 令21==AB AA ，则)0,0,0(A ,)1,0,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,1,1(),1,2,0(1D B B F E …2分 )0,2,1(-=，面ABC 的一个法向量为)2,0,0(1= ……………………………3分∵01=⋅，∴1DE AA ⊥又∵ABC DE 面⊄，∴DE ∥平面ABC （Ⅱ）)2,1,1(1--=B ,)1,1,1(--=,1,1(=∴0,011=⋅=⋅B B∴1B F EF ⊥ ,1B F AF ⊥∵AF EF F ⋂=∴⊥F B 1面AEF∴平面AEF 的一个法向量为)2,1,1(1--=B 设平面AE B 1的法向量为(,,)n x y z = ，则由0,01=⋅=⋅AB ，即200y z x z +=⎧⎨+=⎩.令2=x ，则1,2=-=y z (2,1,2)n ∴=-…………………………………………9分16cos ,6n B F ∴<=66=……………………………………………………11分 ∴锐二面角1B AE F --的余弦值为66……………………………………………12分 20、解：（1）抛物线()2:20C y px p => ∴抛物线焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=， …………………………………1分∵点()2,P m 到焦点F 距离为4，∴422=+p，解得4=p ， ……………………3分 ∴抛物线C 的方程为x y 82= …………………………………………………………4分 （2）设直线l 方程为： ()11y k x =++ ……………………………………………5分由2(1)18y k x y x=++⎧⎨=⎩得：2108k y y k -++=…………………………………………7分当08k≠，即0k ≠时，由0∆>，即21114(1)10822k k k k ∆=-⨯⨯+=-->21k ⇒-<<时，直线与抛物线相交，有两个公共点； ……………………………………………11分 所以，当21k -<<，且0k ≠时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………12分 21、（I ）【证明】在图1的长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，∴AM ＝BM ＝2，所以AM 2＋BM 2＝AB 2∴BM ⊥AM …………………………………1分在图2中，∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM …………………………………………………………………………3分 ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM …………………………………………………………4分（II ）【解】取AM 中点O ，连接DO 则AM DO ⊥取AB 的中点F ，连接OF ，则BM OF //，由（I ）得OF ⊥平面ADM如图，建立空间直角坐标系O －xyz ………………………………………………………6分 则A (1，0，0)，B (－1，2，0)，D (0，0，1)，M (－1，0，0) 则)0,0,2(),1,2,1(-=-=AM BD ，设λ=则),22,2(λλλλ--=+=…………………………………………………7分 设平面AME 的一个法向量为＝(x ，y ，z )则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎩⎨⎧=+-+-=-0)22()2(02z y x x λλλ…………………………………8分 取y ＝1，得x ＝0，λλ22-=z ，所以＝(0，1，λλ22-)………………………9分设直线BD 与平面AME 所成角为θ则15302,cos sin ==><=θ，即15302)22(1622=-+λλλ化简得：01132202=+-λλ，解得21=λ或1011=λ（舍） ……………………11分∴存在点E 为BD 的中点时，使直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302…12分 22、解：（Ⅰ）设0),0,(),0,-21>c c F c F （，则21PF ⋅41413)21,3)21,32=+-=--⋅---=c c c （（，所以3=c …… 1分 因为212PF PF a +==4，所以2=a …………………………………………………2分12=∴b ……………………………………………………………………………………3分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ……………………………………………………4分（Ⅱ）21x x ≠ ，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：m kx y +=与椭圆14:22=+y x C 联立，得：0448)14(222=-+++m kmx x k 直线AB 与椭圆C 有两个交点，∴0)44)(14(4642222>-+-=∆m k m k解得：2214m k >+ ……………………………………………………………………5分由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14441482221221k m x x k km x x …………………………………………………6分 由（Ⅰ）得2=a ，则),2(11y x=，),2(22y x n =由m n ⊥，得0=⋅n m ，得042121=+y y x x ，得：04)(4)14(221212=++++m x x km x x k ，把韦达定理代入得：14222+=k m …8分又原点O 到直线AB 的距离21km d +=……………………………………………9分所以2122121224)(21112121x x x x m x x k k m AB d S OAB -+⋅=-+⋅+⋅=⋅⋅=∆ 14444)148(212222+-⋅-+-⋅=k m k km m 11421414222222=+=++-⋅+=k m k m k m 为定值…11分 所以OAB ∆的面积为定值1 …………………………………………………………12分。
2014-2015年福建省福州八中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
二、填空题（4 小题，每小题 4 分共 16 分） 11． （4 分）执行如图程序，当输入 39，24 上，输出的结果是 ．
第 2 页（共 21 页）
12． （4 分）已知 F1、F2 为椭圆 C： ∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|= ．
=1 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，
13． （4 分）为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的 方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒 体辅助教学的次数， 结果用茎叶图表示 （如图所示） ， 据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在[15，25）内的人数为 ．
框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是（
第 1 页（共 21 页）
A．n=n+2，i＞21？ B．n=n+2，i＞20？ C．n=n+1，i≥20？ D．n=n+1，i＞21？ 8． （5 分） 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 则该椭圆的离心率为（ A． B． C． ） D． 的一个焦点和一个顶点，
概率． 16． （12 分）已知抛物线 E：x2=4y． （1）若直线 y=x+1 与抛物线 E 相交于 P，Q 两点，求|PQ|弦长； （2）已知△ABC 的三个顶点在抛物线 E 上运动．若点 A 在坐标原点，BC 边过定 点 N（0，2） ，点 M 在 BC 上且 • =0，求点 M 的轨迹方程．
9． （5 分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人 被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ A． B． C． D． =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 是抛物线 y2=8x ） ）
10． （5 分）已知双曲线 C：
2014年全国高考福建省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年福建高考数学试题（理）第Ｉ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是 （ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来。
福建省福州八县(市)高二数学上学期期末联考试题 理 新人教A版
高二年级 数学（理科）试卷完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“若ab ＝0，则a=0或b=0”的否命题是( )A ．若ab=0，则a ≠0或b ≠0B ．若ab=0，则a ≠0且b ≠0C ．若ab ≠0，则a ≠0或b ≠0D ．若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0 2．已知△ABC 的顶点A (1，－1，1)，B (5，6，2)，C (1，m ，－1)，若∠ACB =900，则m 等于( )A ．0B ．5C ．0或5D ．不存在3．已知方程13522=-+-k y k x ，该方程表示椭圆的充要条件是( ) A ．53<<k B ．3<k C ．5>k D ．453≠<<k k 且4．若平面α的一个法向量n ＝(2,2,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,－1,－4)，则l 与α所成角的正弦值为( )A ．629B ．229C ．－229D ．±2295．过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．126．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，c ＝(1，4，4)，且a 、b 、c 共面，则λ＝( )A ．1B ．－1C ．1或2D ．±17．已知命题p ：x ²∈{x |11+x>0}，则⌝p 是( )A ．x ∈{x |11+x ≤0}B ．x ²∈{x |11+x ≤0}C ．x ² ∉{x|11+x ≤0|}D ．x ² ∉{x |11+x >0}8．下列有关双曲线13222=-y x 的命题中，叙述正确的是( ) A ．渐近线方程y=±63xB ．离心率e =102C ．顶点（0，±2）D ．焦点（±5，0）9．已知经过点M （4，0）的直线交抛物线x y 42=于A 、B 两点，则以线段AB 为直径的圆与原点的位置关系是( )A ．原点在圆内B ．原点在圆上C ．原点在圆外D ．不能确定 10．设R b a ∈,，下列给出b a ,三个命题:①“存在0>a ，使得对任意的b ，都有1≥b a ；②“任意0>a ，存在b 使得001.0<ba ”；③存在两个无理数b a ,，使得ba 为有理数．其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
【数学】福建省福州市八县2013-2014学年高二上学期期末考试(文)
C. y ex cos x ，则 y
ex ( sin x) ； D. y
x ，则 y
sin x
sin x x cos x (sin x) 2
６．函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 [0 ， 3] 上的最大值和最小值分别是（
）
A． 5， 15
B． 5， 4
C． 5， 15
D． 5， 16
７．已知函数 f （ x）的导函数 f x 的图像如左图所示，那么函数 f x 的图像最有可能的
）
1
1
A. a
B. a
C.
4
4
1
a
D.
4
1 a
4
12. 设 f ( x) 是定义在 R上的偶函数，当 x 0 时， f ( x) xf (x) 0 ，且 f (1) 0 ，则不等
式 xf (x) 0 的解集为（ ）
A．（－ 1， 0）∪（ 1， + ） C．（－ ，－ 1）∪（ 1，+ ）
B．（－ 1， 0）∪（ 0，1） D ．（－ ，－ 1）∪（ 0， 1）
焦点为 F ( 3,0) , 右顶点为 D (2,0) . （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设不过原点的 直线 l ： y x m 与椭圆 C 交于 A， B 两点 . ① 求实数 m 的取值范围； ② 求实数 m 取何值时 △ AOB 的面积最大， △ AOB 面积的最大值是多少？
3
22． ( 本小题满分 14 分 ) 已知函数 f ( x) x3 3ax2 2ax 1 a R .
线 l 相切， 动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C . （ 1）求曲线 C 的方程；
（ 2）若过点 F (1,0)
的一条直线 m与曲线 C 交于不同的两点 A, B ，且 AB 8 , 求直线 m 的方程 .
福州市师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试(理)数学试题及答案
本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ***** ） A. 18B.14 C. 12D. 1 2．已知()()0,3,0,321F F -，动点P 满足：621=+PF PF ，则动点P 的轨迹为（ ***** ） A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线3．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知向量)0,1,1(=，)2,0,1(-=，且k +与-2互相垂直，则k 的值是（ ***** ） A ．1 B ．51C ．53D ．57 5． 下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。
6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直 线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ***** ）A ．52-B ．52C ．1010-D ．10107．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ***** ） A.111222a b c -+ B.111222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 8．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ***** ）A ．1B ．25C ．2D ．5 9．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率 为（***** ）A. 55410．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是（ ***** ） A ．29 B ．3 C ．32D ．211．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1AC 的长为（ ***** ）A ．12．由半椭圆12222=+by a x （x ≥0）与半椭圆12222=+c x b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆12222=+cxb y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12222=+by a x （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ***** ）A ．)1,31(B ．)1,32(C ．)1,33( D ．)33,0(第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置. 13．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 ******** . 14．已知点P 是圆F 14)3(:22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点,则点M 的轨迹C 的方程为 ******** .15．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为 ******** .16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.17．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是 ******** .三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若 “p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分15分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形， ∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ； (II)求证：F B1⊥平面AEF ； (III)求二面角F AE B --1的余弦值． 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，圆Q 过O 点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为23. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作倾斜角为060的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积；（3）已知抛物线上一点)4,4(M ，过点M 作抛物线的两条弦ME MD 和，且ME MD ⊥，判断：直线DE 是否过定点？说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A 12422=-y x B 14222=-x y C 14222=-y x D 12422=-x y 6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（ ）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A 62-B62 C 1010- D 1010 9． 已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n mn-=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A33 B 22 C 41 D 21 12．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（ ）A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）13．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”的否命题的真假性为14．若“a x <”是“0322≥--x x ”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 15．已知ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中)2,,1(m BA =,),,2(n m BC =（R n m ∈,）,则=+n m16．在平面直角坐标系中，已知 ),0,(),0,(a N a M -其中R a ∈,若直线l 上有且只有一点P ，使得10=+PN PM ，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”。
由此定义可判断以下说法中正确的是○1当7=a 时，坐标平面内不存在黄金直线； ○2当5=a 时，坐标平面内有无数条黄金直线； ○3当3=a 时，黄金点的轨迹是个椭圆；○4当0=a 时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．命题p ：a xx x >+>∀1,0 ；命题q ：012,0200≤+-∈∃ax x R x 。
若q ⌝为假命题，q p ∧为假命题，则求a 的取值范围。
18．已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为4，且经过点()62,3-。
(Ⅰ)求双曲线C 的方程和其渐近线方程；(Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有且只有一个公共点,求所有满足条件的k 的取值。
19．如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，D 是线段AB 的中点，11===CC CB CA ，090=∠ACB 。
(Ⅰ)证明：//1BC 面CD A 1；(Ⅱ)求面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值。
20. 已知抛物线:C )0(22>=p px y 过点)2,1(-M 。
(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；AB CABCD(Ⅱ) 过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于两点、),(11y x A ),(22y x B ，点D 在抛物线C 的准线上，且满足直线BD 平行x 轴，试判断坐标原点O 与直线AD 的关系，并证明你的结论。
21. 已知椭圆12222=+by a x (0>>b a )的离心率为23，且右焦点)0)(0,(>c c 到直线3=x 的距离为3。
(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点)1,2(-A ，过原点且斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆交于两点、),(11y x P ),(22y x Q ，求APQ ∆面积的最大值。
22． 如图（1），ABD ∆为等边三角形，BCD ∆是以C 为直角顶点的等腰直角三角形且2=CD ，E 为线段CD 中点，将ABD ∆沿BD 折起（如图2），使得线段AC 的长度等于2，对于图二，完成以下各小题：(Ⅰ)证明：⊥AC 平面BCD ；(Ⅱ)求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值；（III ）线段AB 上是否存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直？若存在，请求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由。
（图1） （图2）●ABCE DABCD●E2014---2015学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学（理）科答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 假 14. 1-≤a 15. -1 16. ①②③ 三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）17.解：不妨设p 为真，要使得不等式恒成立只需min)1(x x a +<,又∵当0>x 时，2)1(≥+x x )""1(==时取当且仅当x ∴2<a ……………………………4分 不妨设q 为真，要使得不等式有解只需0≥∆，即04)2(2≥--a解得11≥-≤a a 或 ………………………………………………………………………………8分 ∵q ⌝假，且“p q ∧”为假命题, 故 q 真p 假………………………………………………10分所以⎩⎨⎧≥-≤≥112a a a 或 ∴实数a 的取值范围为2≥a ……………………………………………12分 18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0） 根据定义有2)062()23()062()23(22222=-+----++-=a∴1=a ，由以上可知：3,4,1222===b c a ．∴所求双曲线C 的方程为：1322=-y x ．…4分渐近线方程为：x y 3±= …………………………………………………………………………6分(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,131222y x kx y 得：074)x k -(322=--kx .………………………………………………7分 ①当0k -32=即3±=k 时，此时直线l 与双曲线相交有一个公共点，符合题意……………8分 ② 当0k -32≠即3±≠k 时，由△=0得7±=k ，此时直线l 与双曲线相切有一个公共点，符合题意………………………………………………11分 综上所述：符合题意的k 的所有取值为7,7,3,3--。
……………………………………12分19.解：（法一）(1)连结M AC C A 于交11，连结DM又D,M 分别是AB,AC 1的中点，故DM 为△ABC 1的中位线 ∴DM //1BC又∵CD A BC CD A DM 111,面面⊄⊂ ∴CD A BC 11//平面 (4)（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………5∴)0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(1D A C ∴ )1,0,1(1=CA ，)0,21,21(=CD 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．……………………………8分依题意可知平面A 1CA 的法向量：)0,1,0(==CB n ………………………………………………10分则33311|||,cos -=⨯-=>=<nm n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33……………………………………12分（法二）(1) 如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ………………………………………………1分∴)1,0,0(),0,1,0(),0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(11C B D A C∴)1,0,1(1=CA ，)0,21,21(=CD ,)1,1,0(1-=BC 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，A 1B 1C 1ABCD●●M则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．……………………………4分∴0)1(1)1()1(101=-⨯+-⨯-+⨯=⋅m BC ∴m BC ⊥1又∵CD A BC 11面⊄ ∴CD A BC 11//平面 …………………………………………………8分 （2）依题意可知平面A 1CA 的一个法向量：)0,1,0(==CB n …………………………10分则33311|||,cos -=⨯-=>=<nm n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33……………………………………12分（说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程．．不唯一） 20.解:（1） 将M(1，-2)代入y 2=2px ， 得(-2)2=2p ·1，所以p=2.故所求的抛物线C 的方程为：x y 42= …………………………………………………………3分 其准线方程为x=-1. …………………………………………………………………………………4分（2）判断坐标原点O 在直线AD 上，……………………………………………………………5分 现证明如下：依题意可设过F 的直线l 方程为：x=my+1（m R ∈）， 设),(,),(2211y x B y x A ,),1(2y D - 由⎩⎨⎧=+=,4,12x y my x 得：044my -y 2=-依题意可知恒成立0>∆，且421-=y y ………………………………………………………9分又∵1211122111221112112114)4(44)4(1x y y y x y y y x y yy x y x y y x y k k ODOA +=+=---=---=--=- 又∵421-=y y ， ∴0=-OD OA k k即证坐标原点O 在直线AD 上……………………………………………………………………12分（说明：直线l 方程也可设为：y=k （x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分） 21.解：(1) 依题意可知33=-c ,∴)(032舍去或==c c ……………………………2分又∵离心率为23，∴4=a ，故4222=-=c a b 因此椭圆的方程为：141622=+y x ……4分（2）将直线l 方程：y=kx 与椭圆方程联立消y 得016)x 4k (122=-+， 所以224116x k +=…………………………………………………………………………………6分∴222124116211k k x x k PQ +⨯⨯+=-+= …………………………………………8分又∵点A 到直线l 的距离d=2112k k ++ ……………………………………………………………9分故APQ ∆的面积=2224114444112421k k k k k d PQ +++⨯=++⨯=⋅ k k k k 41414414142++⨯=++⨯= 当k>0时, )""21(414==≥+时取当且仅当k k k ，故当时21=k ，APQ ∆的面积有最大值24 …………………………………………………12分 22.解：（1）∵22,2=====AD BD AB CB CD又∵,2=AC ∴2228AB CB AC ==+ ∴CB AC ⊥同理可证CD AC ⊥ 故AC 垂直面BCD 内两条相交直线 则⊥AC 平面BCD …………………………………………………3分(2) 由(1)知CB AC ⊥,CD AC ⊥,又有CB CD ⊥故可建如图所示建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………………………4分 ∴)0,1,0(),0,2,0(),0,0,2(),2,0,0(),0,0,0(E D B A C∴ )2,0,2(-=AB ，)2,2,0(-=AD ,)2,1,0(-=,)0,1,0(=CE 设平面ABD 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AB m ⎩⎨⎧=-=-⇒022022z y z x ，取1=x ，得)1,1,1(=m ．…………………………………6分 设直线AE 与平面ABD 所成角为θ，则1515351|,cos |sin =⨯==><=AE m θ，……………………………………7分∴设直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为1515. ……………………………………………8分（3）假设存在符合条件的点P,并设)2,0,2()2,0,2(λλλλ-=-==BP (]1,0[∈λ) 则)2,0,22()2,0,2()0,0,2(λλλλ-=-+=+=BP CB CP 设平面CPE 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00CP n CE n ⎩⎨⎧=+-=⇒02)22(0z x y λλ，取λ=x ，得)1,0,(-=λλ．……………11分 要使得平面CPE 与平面ABD 垂直,只需0=⋅n m 即0)1(1101=-⨯+⨯+⨯λλ 解得21=λ]1,0[∈，故线段AB 上存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直，此时线段BP 的长度为2………14分 （说明：①答案提及“存在”而不能说明理由的得1分②第（3）小题也可设P （2-t,0,t ）展开解答）。