1(4)-无穷小与无穷大

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1-4 无穷小与无穷大

f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其他变化过程类似可证 .
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较
定义1 如果函数f(x)在某过程中绝对值无限增大，则称函数f(x)为该过程中的无穷大. 定义2 函数f(x)为某过程中的无穷大是指：
M 0 , 存在“一个时刻”，使得在该“时刻以后”
恒有： f ( x ) M 记作：lim f ( x ) 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆无穷大：（函数的绝对值）无限变大
定义３把定义２中的 f ( x ) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大
o
x
0
x 0
lim

注意:
函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
P38：6
例如, 函数但不是无穷大 !
例 . 证明证: 任给正数 M , 要使即的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以说明: 若为曲线则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证设 lim f ( x ) .
1 ε 0, 对M , δ 0, 使得当0 x x0 δ时 ε 1 即 1 . 恒有 f ( x ) , f ( x) ε 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)

同济大学高等数学第七版1.4--无穷小与无穷大

问：如何定义 lim f (x) ? x 以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)

无穷大与无穷小

无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。

它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。

无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。

换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。

在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。

当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。

无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。

在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。

在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。

与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。

换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。

在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。

当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。

无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。

在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。

在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。

下面我们来看几个具体的例子。

例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。

这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。

例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。

这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。

例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。

这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。

通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。

无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。

高数一 1-4 无穷小与无穷大

lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
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所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
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铃
❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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结束
铃
例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。

本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、无穷小的定义与性质无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。

具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。

常表示为lim x→a f(x) = 0。

1.1 阶与比较无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。

例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。

同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。

1.2 运算性质无穷小具有一些运算性质。

例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。

此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。

1.3 等价无穷小在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。

如果两个无穷小f(x)和g(x)满足li m x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。

等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。

二、无穷大的定义与性质无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。

具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。

2.1 正无穷和负无穷无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。

当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。

若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。

2.2 无穷大的性质无穷大具有一些基本性质。

例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。

另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。

然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。

2.3 无穷大与极限在求解极限问题时，无穷大也扮演了重要的角色。

无穷小与无穷大-无穷小的比较

x
1 x 1
1 时， x 1

是无穷小
1 是正无穷大 x 1 时， x 1
x2 ( 4) y x 1
x2 是无穷小 x 1 x2 x 1时，y 是无穷大 x 1 x 2时，y lg x是无穷小 x 0 或x 时，y lg x是无穷大
关于等价无穷小，有下面重要的性质．
' 定理4–4 设 ~ ， ~ ，且 lim 存在， ' ' 则 lim lim '
证明：
' ' ' lim lim lim ' ' '
21
在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因
子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种
练习
求下列函数的极限
1 (1)lim x sin 0 x 0 x arctan x 0 ( 2)lim x x sin 2 x (3)lim 0 2 n x cos n 2 ( 4)lim 0 n n
2
2.4.3 无穷小的比较
我们记 1 ， 2 ， 1 ，它们 2 x x x 都是 x 时的无穷小量．但 1/ x 2 1 lim 0 ， lim lim x x 1 / x x x 1/ x 1 ， lim lim x x 2 / x 2 2/ x lim 2 x ． lim lim 2 x x 1 / x x
lim f ( x) A f ( x) A 其中 lim 0．
无穷小的代数性质
• 性质1 无限个无穷小之和仍是无穷小。 • 性质2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小。 • 推论1 常数与无穷小之积是无穷小。 • 推论2 有限个无穷小之积是无穷小。

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

线性代数1-4 章节无穷小与无穷大

x → x0
的图形的铅直渐近线.
注意：无穷大是一种特殊的无界变量, 注意：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有：记作：记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆无穷大：（函数的绝对值）无穷大：（函数的绝对值）无限变大：（函数的绝对值３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。为零因子。

1-4无穷小与无穷大

x x0
y 1 x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x ) 的图形的铅直渐近线.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证明：设 lim f ( x ) .
则称函数 f ( x ) 当
记作若在定义中将 ①式改为
( x ) 时为无穷大,
(lim f ( x ) ).
x
( f ( x ) M ),
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
无穷小,记作
x x0
" " 定义
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x) .
" " 定义
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x) .
例如,
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而且要多么
大就有多大.我们分别将它们称为无穷小和无穷大. “没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明.”
---大卫. 希尔伯特
一、无穷小
1、定义: 在某一变化过程中以 0为极限的变量称为无穷小.
例如当x0时 x与sin x都是无穷小 xsin x也是无穷小思考：无穷个无穷小的和是无穷小吗？ 1 1 例如, n 时, 是无穷小， n个之和为1不是无穷小但 . n n

无穷小量与无穷大量

lim f (x) A f (x) A ．
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量．证明以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大，记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解（1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．

无穷小和无穷大的概念

无穷小和无穷大的概念
无穷小和无穷大是数学分析中的重要概念。

无穷小指的是以数0为极限的变量，即无限接近于0的变量。

确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f（x）与0无限接近，即f（x）→0（或f（x）=0），则称f （x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小。

值得注意的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

而无穷大则是与无穷小对应的另一个概念，指的是一个变量在某个点或某个范围内无限增大。

例如，对于任意正数ε>0，总存在δ使得当x属于以0为中心，δ为半径的去心领域时，x的绝对值总小于任意小的正数ε，那么我们称这个变量x是无穷小量，简称无穷小。

0是无穷小量，而无穷小量未必是0。

以上内容仅供参考，建议查阅数学分析专业书籍或咨询专业人士获取更准确的信息。

1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),

无穷小和无穷大的四则运算

无穷小和无穷大的四则运算无穷小和无穷大是微积分中的重要概念，用于描述变量趋近于某个极限值时的性质。

在四则运算中，无穷小和无穷大的概念有着特殊的性质和运算规则。

无穷小可以理解为极限为零的量。

当变量x趋近于某个实数a 时，如果函数f(x)满足lim(x→a)f(x)=0，那么f(x)就是当x趋近于a时的无穷小。

无穷小可以用符号o(x-a)表示，表示x趋近于a时的无穷小。

无穷大表示极限趋向于正无穷或负无穷的量。

当变量x趋近于某个实数a时，如果函数f(x)满足lim(x→a)|f(x)|=+∞，那么f(x)就是当x趋近于a时的无穷大。

无穷大可以用符号∞表示。

在四则运算中，无穷小和无穷大之间的关系可以用以下运算规则总结：1. 无穷小与常数的四则运算：- 无穷小与有限常数相加减仍为无穷小。

例如，o(x) + a =o(x)，其中a为常数。

- 无穷小与有限常数相乘仍为无穷小。

例如，o(x) * a = o(x)，其中a为常数。

- 无穷小与有限常数相除仍为无穷小。

例如，o(x) / a = o(x)，其中a为常数，且a ≠ 0。

2. 无穷小与无穷小的四则运算：- 无穷小之和（差）仍为无穷小。

例如，o(x) + o(x) = o(x)，o(x) - o(x) = o(x)。

- 无穷小之积为更高阶的无穷小。

例如，o(x) * o(x) = o(x^2)。

- 无穷小之商的极限为常数。

例如，lim(x→∞)(o(x)/o(x)) = 1。

3. 无穷大与常数的四则运算：- 无穷大与有限常数相加减仍为无穷大。

例如，∞ + a= ∞，-∞ + a = -∞，其中a为常数。

- 无穷大与有限常数相乘仍为无穷大。

例如，∞ * a = ∞，-∞* a = -∞（当a > 0时），∞ * a = -∞，-∞ * a = ∞（当a < 0时）。

- 无穷大与有限常数相除为无穷大或零。

例如，∞ / a = ∞（当a > 0时），∞ / a = -∞（当a < 0时），-∞ / a = ∞（当a >0时），-∞ / a = -∞（当a < 0时）。

无穷小和无穷大

2.不要把无穷小和一种很小旳数相混同（0除外）无穷小：（函数旳绝对值）无限变小
➢无穷小与函数极限旳关系
➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限旳充要条件是：
函数f(x)能够表达为A与该过程中旳无穷小之和.
即：lim f (x) A f (x) A
为同一过程中旳无穷小
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
➢性质1 同一过程中旳有限个无穷小之和仍为该过程中旳无穷小.
➢性质2 某过程中旳有界函数与该过程中旳无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论1 常量与某过程中旳无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论2 同一过程中旳有限个无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论3 某过程中旳无穷小旳正整多次乘幂仍为该过程中旳无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
同一过程中旳两个无穷小之和、差、积仍为该过程中旳无穷小.
➢问题同一过程中旳两个无穷小之商是否
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
➢性质1 同一过程中旳有界函数与无穷大之和仍为该过程中旳无穷大.
➢性质2 某过程中旳有限个无穷大旳乘积仍为该过程中旳无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
那么称函数f(x)为该过程中旳无穷小.

1-4无穷小与无穷大

2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
14
x 时，不是无穷大量。
证明：取 xn 2n , yn 0
xn 2n , (n ), yn 0, 不是无穷大.
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
9
说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点
x1, x2 , xn , 使 f (xn ) 的极限不存在。
100 75 50 25

2 N 0

2
0,
yn

2 N 0

2

M.
所以， y x sin x 在 (0, ) 上是无界的。
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
11
三、无穷小量与无穷大量的关系
1) lim f (x) 0 且 f (x) 0, lim 1 .
x
蚌埠学院高等数学
3
2、无穷小量和极限的关系
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
第一章
一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系四、小结与思考判断题
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
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一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。

无穷大与无穷小的关系定理

无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。

无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。

首先，我们来定义无穷大和无穷小。

无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。

无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。

这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。

1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。

而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。

无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。

这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。

当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。

这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。

通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。

在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。