从不同数学思想角度谈解三角形(教师)(提升类)

转化与归纳思想转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦等”的角度对问题进行转化，转化为熟悉的三角恒等变换、三角函数、平面向量等问题，再进行求解．1．(2015·江南十校联考)在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C 等于( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°【解析】由1＋tan A tan B ＝2cb和正弦定理，得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cosA ，∴cos A ＝60°．由正弦定理，得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22．又c ＜a ，∴C ＜60°，故C ＝45°． 【答案】选C2．(2015·安徽合肥质检)在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ．若a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．3B ． 2C ．2D ． 3【解析】由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∴A ＝5π6，又a ＝3，故S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A ·a sinC ＝3sin B sin C ，因此S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos (B －C )，于是当B ＝C 时取得最大值3．【答案】选A3．(2015·四川德阳二诊)已知三角形ABC 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为( )A ．34B ．56C ．710D ．23【解析】依题意，不妨设三边长a ＝m －1，b ＝m ，c ＝m ＋1，其中m ≥2，m ∈N ，则有C ＝2A ，sin C ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，由正、余弦定理得c ＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc ，则bc 2＝a (b 2c 2－a 2)，于是m (m ＋1)2＝(m －1)(m 2＋4m )，解得m ＝5，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34．【答案】选A4．(2015·安徽合肥模拟)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是 ． 【解析】由b a ＋a b ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin (A ＋B ) sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c232c 2－c2＝4. 【答案】45．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________ ．【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 【答案】276．(2015·浙江高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2． (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．【解】(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，∴sin2A sin2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin (A ＋π4)，得sin C ＝255，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝9．角度二：函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．1．(2015·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B ． 2C ． 3D ．3【解析】由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，则C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3． 【答案】选C2．(2015·天津和平二模)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DC ＝2BD ，AD ＝2，∠ADC ＝45°，若AC ＝2AB ，则BD 等于( )A ．2＋ 3B ．4C ．2＋ 5D ．3＋ 5【解析】在△ADC 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 45°＝2＋DC 2－22·DC ·22＝2＋DC 2－2DC ；在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 135°＝BD 2＋2＋22·BD ·22＝2·(2＋BD 2＋2BD )，整理得BD 2－4BD －1＝0，解得BD ＝2＋5或2－5(舍去) ．【答案】选C 3．(2015·湖北武汉)在三角形ABC 中，2sin2A2＝3sin A ，sin (B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB＝ ．【解析】2sin2A2＝3sin A ⇔1－cos A ＝3sin A ⇔sin (A ＋π6)＝12．因为0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6，则A ＋π6＝5π6，所以A ＝2π3．再由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，①；将sin (B －C )＝2cos B sin C 展开得sin B cos C ＝3cos B sin C ，将其角化边，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝c ·a 2＋c 2－b 22ac，即2b 2－2c 2＝a 2，②；将①代入②，得b 2－3c 2－bc ＝0，左右两边同除以c 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－b c－3＝0，解得b c ＝1＋132或b c ＝1－132(舍去)，∴AC AB ＝b c ＝1＋132．【答案】1＋1324．(2015·浙江杭州月考) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0．(1)求B ；(2)若b ＝3，求2a ＋c 的取值范围．【解】(1)由正弦定理知sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0，将sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C 代入上式， 得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0，在△ABC 中，sin C ≠0，则3sin B －cos B －1＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12又0＜B ＜π，则B ＝π3．(2)由(1)得b sin B ＝a sin A ＝csin C＝2，∴2a ＋c ＝4sin A ＋2sin C ＝4sin A ＋2sin (2π3－A )＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋α)，其中tan α＝35，α是第一象限角， 由于0°＜A ＜120°，且α是第一象限角，27sin(A ＋α)∈(3，27] 因此2a ＋c 的取值范围为(3，27]5．(2015·江西临川二联)凸四边形PABQ 中，其中A 、B 为定点，AB ＝3，P 、Q 为动点，满足AP ＝PQ ＝QB ＝1．(1)写出cos A 与cos Q 的关系式；(2)设三角形PAB 和三角形PQB 的面积分别为S 和T ，求S 2＋T 2的最大值．【解】(1)在△PAB 中，由余弦定理知PB 2＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB ·cos A ＝4－23cos A ， 同理，在△PQB 中PB 2＝2－2cos Q ，∴4－23cos A ＝2－2cos Q ，∴cos Q ＝3cos A －1(2)由已知得，S ＝12PA ·AB sin A ＝32sin A ，T ＝12PQ ·QB ·sin Q ，S 2＋T 2＝34sin 2A ＋14sin 2Q ＝34(1－cos 2A )＋34(1－cos 2Q )＝－32cos 2A ＋32cos A ＋34＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －362＋78，当cos A ＝76时，S 2＋T 2有最大值为78．角度三：数形结合思想所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合．1．(2015·河南长葛模拟)在三角形ABC 中，已知A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积为3︰2的两部分，则cos A 等于( )A ．13 B ．12 C ．34D ．0【解析】如图，S △ACD S △BCD ＝32＝ADDB，B ＝2A ，∠ACD ＝∠BCD ，设AD ＝3k ，BD ＝2k (k ＞0)，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝3ksin ∠ACD，①；在△BCD 中，由正弦定理得CD sin B ＝2k sin ∠BCD ＝2k sin ∠ACD ，即CD 2sin A cos A ＝2ksin ∠ACD，②；由①②得2cos A ＝32，即cos A ＝34．【答案】选C2．(2015·吉林长春调研)在扇形AOB 中，圆心角∠AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过点P 引平行于OB 的直线交OA 于点C ，设∠AOP ＝θ，则三角形POC 面积取最大值时θ的值为 ．【解析】如图，∵CP //OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°，在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ，∴2sin120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ，又OC sin(60°－θ)＝2sin120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)， ∴三角形POC 面积为S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ) ·32＝43sinθ·sin(60°－θ)＝43sin θ(32cos θ－12sin θ)＝43[sin(2θ＋30°)－12]，∵θ∈(0°，60°)，∴2θ＋30°∈(30°，150°)，∴当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33．【答案】30°角度四：分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，S △ABC ＝334.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的周长．【解】(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ，所以12×3sin B ＝334，即sin B ＝32.又因为0＜B ＜π，所以B ＝π3或2π3. (2)由(1)可知，B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，因为a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝2，ac ＝3，所以a ＋c ＝11；当B ＝2π3时，因为a 2＋c 2＋ac ＝2，ac ＝3，所以a 2＋c 2＝－1(舍去)，所以△ABC 的周长为a ＋c ＋b ＝11＋ 2.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．【解】(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。