数学竞赛资料-初二答案

参考答案

一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 选项 B

D

A

C

A

D

二、填空题： 题号 7

8

9 10 11 12

选项

5±

72

4或16

-4

27°

1711,5

5⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

三、解答题： 13．解：324,(2)1,

3451,(35)5,ax x a x bx x b x +>+->⎧⎧⇔⎨

⎨

-<-++<⎩⎩……①………………………………1分 因为①的解为25x -<<，所以20a -≠，且350b +≠， ……………………2分 (1)若20,350,

a b ->⎧⎨

+>⎩，则①15

235x a b ⇔<<

-+，……………………………………3分 从而132,22

455,

335a a b b ⎧⎧

=-=⎪⎪⎪⎪-⇔⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩，这与2a >矛盾！不合要求！………………5分

(2)若20,350,a b ->⎧⎨+<⎩，则①1,2

5,

35x a x b ⎧

>⎪⎪-⇔⎨⎪>⎪+⎩，这显然不是25x -<<，不合要求！…8分

(3)若20,350,a b -<⎧⎨+>⎩，则①1,2

5,

35x a x b ⎧<⎪⎪-⇔⎨⎪<⎪+⎩

，这不合要求！………………………11分

(4)若20,350,a b -<⎧⎨

+<⎩

，则①51

352x b a ⇔<<

+-， 从而5112,355

15

5,2

2a b b a ⎧⎧

=-=⎪⎪⎪⎪+⇔⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪-⎩⎩，…………………………………………………………………14分

综上所述，所求的115

,52

a b ==-………………………………………………………15分

14、解（1）26-；0≤x ≤1。（2分） （2）①∵{}2122,1,2 1.3

x x

M x x x ++++=

=+

∵()211x x x -+=-。当x ≥1时，则{}min 2,1,22x x +=，则12x +=，∴1x =。 当x ＜1时，则{}min 2,1,22x x x +=，则12x x +=，∴1x =（舍去） 综上所述：1x =。-------------（3分） ②a b c ==

证明：∵ {},,3

a b c

M a b c ++=，如果{}min ,,a b c c =，则a ≥c ，b ≥c . 则有

3

a b c

c ++=，即20a b c +-=. ∴ ()()0a c b c -+-=. 又a c -≥0,b c - ≥0,∴ 0a c -=,且0b c -=. ∴ a b c ==.

其他情况同理可证,故a b c ==.（3分） ③4- -------（3分） (3)作出图象(如图所示),由图象知

{}min 41,2,24x x x ++-+的最大值为8

3

.（4分）

15．解：由ABM ACM S S ∆∆=知：BM = MC .

记DM = x ，ME = y ，AD = z ，AE = w .

由BM = MC 及勾股定理得：2

2

2

2

2

2

21x BM MC y +===+， 所以2

2

3y x -=.……①……………………………………………………………………3分 由BDM CEM S S ∆∆=得：

11

2122

x y ⋅⋅=⋅⋅，所以2y x =……② 把②代入①得：2243x x -=，2

1x =，故1x =，2y =………………6分

又由勾股定理得：22222

x z AM y w +==+，

22212z w +=+，即223z w -=……③………………………………………9分

由ABM ACM S S ∆∆=得： 11

(2)(1),22

x z y w ⋅⋅+=⋅⋅+

222z w +=+，即2z w =……④

把④代入③得：233w =，21w =，故1w =，2z =，…………………………12分 从而11

1422422

ABC S ∆=

⋅⋅+⋅⋅=，……………………………………………………13分 22222125BC BM ==⋅+=，

故点A 到BC 边的距离22444

55

255ABC S BC ∆⋅⨯====……………………15分

16．解：2241532n n ++是整数8(32)1615

32

n n n n +-+⇔∈Z +（Z 为整数的集合） (2)

分

1615

832n n n -⇔-

∈Z +…………………………………………………………………………3分

161532

n n -⇔∈Z +……………………………………………………………………………………4分

3(1615)32n n ⋅-⇔∈Z +（∵3与3n + 2互素）………………………………………7分

484516(32)773232

n n n n -⋅+-⇔∈Z ⇔∈Z ++……………………………………9分

7777711

16323232

n n n ⨯⇔-∈Z ⇔∈Z ⇔∈Z +++（7和11为素数）……………11分

令321n +=±得：1n =- 令327n +=±得：3n =- 令3211n +=±得：3n =

令3277n +=±得：25n =……………………………………………………………………14分 综上所述，所求的整数3,1,3,25n =--…………………………………………………15分