2012-2013学年北京市石景山区初二第一学期期末数学试卷(含答案)

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-学年北京市石景山区初二上学期期末数学试卷(含答案)上课讲义

石景山区2016—2017学年第一学期期末考试试卷初二数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 01．小元设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的算术平方根大1，若输入9，则输出的结果为（）A ．4B ．4或-2C ．19D ．8202．下列表示我国古代窗棂样式结构的图形中,不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．03．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；B ．2017年的春节小长假北京将下雪；C ．中国男子足球队在下届世界杯获出线权；D ．投掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数之和大于或等于2．04．若代数式24x +有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥2-B ．2x >-C ．2x ≠-D ．x ≤2-05．在一个不透明的盒子中装有m 个球,其中有红球5个，这些球除颜色外无其他差别.若从中随机摸出一个红球的可能性为13，则m 是（） A ．6 B ．9 C ．10 D ．15 06．下列计算，正确的是（）A ．5335=-B ．a a a 26225=+C ．ab b a =+D ．b a b a +=+22 07．若Rt △ABC 中，∠C =90°，BC ＝1，AC ＝2，CD 是AB 边上的高线，则CD 的长为（） A.3 B. 5 C.332 D. 552 08．计算222)(b a bb b a -⋅-的结果是（） A ．b 1B ．2bab b a +- C ．b a b a +- D ．)(1b a b + 09．如图，OP 平分AOB ∠，PH OA ⊥于点H ，PH =3，若点Q 是射线OB 上的一个动点，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5H BAOP80°21CBA第9题图第10题图10．如图，△ABC 中，80A ∠=︒，剪去80︒角后，得到一个四边形，则12∠+∠的度数为（） A ．100︒ B ．160︒ C ．260︒ D ．280︒二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．当x ＝______时，分式622-+x x 的值为0． 12．比较53和25的大小：53_______25(用“>”或“<”连接)．13．对于任意不相等的两个实数a 、b 定义一种运算“★”：a ★b =ba ba -+，如3★2=32532+=-．那么4★8=_________． 14．如图，△ABC 中，在中线AD 及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．请你添加一个条件，可证得△BDF ≌△CDE ．你添加的条件是:___________________________________________．（不添加辅助线，只写出一条既可）．15．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小涛的作图步骤如下：老师说：“小涛的作图步骤正确”．请回答：得到△ABC 是等腰三角形的依据是：①__________________ ___________：②_______________________________．第14题图如图（1）作线段BC =a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN 交线段BC 于点D ；（3）在MN 上截取线段DA =b ，连接 AB ，AC ．所以△ABC 即为所求作的等腰三角形．尺规作图：已知：线段,a b ．求作：等腰△ABC ，使AB =AC ，BC =a ，BC 边上的高为b ． A D N M B C b aEDCB A •绿黄黄红红绿绿蓝 16．有一张直角边为a 的等腰直角三角形纸片（如图1），小芹沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），则图2中的等腰直角三角形的一条腰长为________；再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），……，同上操作，若小芹连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次,则所得到的等腰直角三角形（如图n +1）的腰长为____________．a折叠1次折叠2次 …… 折叠n 次图1 图2 图3 图n +1三、解答题（本题共52分，第17-24每小题5分；第25-26题，每小题6分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：21(3)27212-+-． 18．计算：()32m n m nm n m ++--÷． 19．解方程：22345525x x x -=+--． 20．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，∠ABD =∠DCA ，AB =DC ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当∠AEB =100°，求∠EBC 的度数．21．先化简，再求值：222244(2)22y x xy y xy y x y xy-+÷-⋅-，其中7x =．22．如图，在44⨯的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．（1）若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有___________种．（2）请在下面的备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案并画出对称轴．23. 如图是一个被平均分成8个相同扇形的转盘, 指针位置固定，扇形颜色分别是红、绿、黄、蓝．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时重新转动转盘）．求下列事件发生的可能性大小．（1）指针指向红色；（2）指针指向黄色或蓝色．24．某工程队准备修建一条长1800m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前3天完成任务．求原计划修建道路的速度． 25．如图1，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 在AD 上（点E 与点A 不重合），以CE 为一边且在CE 下方作等边△CEF ，连接BF ．（1）猜想线段AE ，BF 的数量关系：________________________（不必证明）；（2）当点E 为AD 延长线上一点时，其它条件不变． ① 请你在图2中补全图形；②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．26．如图，在△ABC 中，∠ABC =15°，AB =2，BC =2，以AB 为直角边向外作等腰直角△BAD 、以BC 为斜边向外作等腰直角△BEC ，连接DE ，求DE 的长．FEDCBADC BAEDCBA第25题图图1 第25题图图2 第26题图654321CAD BE石景山区2016—2017学年第一学期期末试卷初二数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDADBDBBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．2-． 12．<． 13．32-. 14．DF DE =或FBD ECD ∠=∠或BFD CED ∠=∠. 15．22a ；2()2a n . 16．①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分；第26-27题，每小题6分） 17．原式333326=+-⨯8333=+ 18．原式22()3m n m n m m n m n +=⋅-+⋅++223m=-19．经检验，原方程的解是29x =-．20．（1）在△ABE 和△DCE 中，12,34,,AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （AAS ）（2）∵△ABE ≌△DCE ，∴EB EC =，∴56∠=∠，又∵56100AEB ∠=∠+∠=︒，∴550∠=︒21．原式221(2)2(2)2y x y x y y x y xy -=⋅⋅--12x =当7x =时，原式127=714= 22．（1）6 （2）说明：上列三类情况中，各选一种为正确答案。

北京市石景山区2013届九年级上学期期末考试数学试题全国通用

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷初三数学一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．若两个相似三角形的相似比为1∶4，则它们的面积比为A ．1∶2B ．2:1C ．1∶4D ．1∶16 2．已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC =4，则tan B 的值是A ．43 B ．34C ．35D ．43．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C．若AB =4，OC =2，则半径OB 的长为 A ．4B. 22C ．52D ．5 4．已知点（x ，y ）是反比例函数6y x=（x >0）图象上的一点，则当0<x <2时，下列关系成立的是 A ．3=y B ．3<y C ．3>y D ．不能确定5．分别写有数字1，2，2，3，5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到无理数的概率是A ．51B ．52 C ．53 D ．546．在同一平面直角坐标系内，将函数245y x x =++的图象沿x 轴方向向右平移3个单位长度后得到的图象顶点坐标是 A ．(2,4)- B ．(2,4)C ．(1,1)-D ．(1,1)7．如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥EF 于点H ，交 ⊙O 于点C ，连接BD ．若∠ABH =50°，则∠ABD 的度数是 A ．50° B ．40° C ．30° D ．25°第3题BACB A第7题第8题8．如图，矩形ABCD 中，BC =4，AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1，动点P 、Q 同时从点C 出发，点P 沿CB 运动到点B 时停止，点Q 沿折线CD —DE —EB 运动到点B 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm 2．则y 与t 的函数关系图象大致是第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是． 10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =2BD ，第10题11．如图，⊙M 的圆心为M （－2,2），半径为2，直线AB 过点A （0，-2）, B （2,0）,则⊙M 关于y 轴对称的⊙'M 与直线AB 的位置关系是．12．已知，在x 轴上有两点A （a ,0），B （b , 0）（其中b <a <0），分别过点A ，点B 作x轴的垂线，交抛物线23x y =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ,F y ，则E yF y （用“>”、 “<” 或“=”连接）．三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13．计算：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+．14．已知：抛物线的解析式为)1)(4(2-+-=x x y ．（1）求抛物线与y 轴的交点坐标；（2）写出这个抛物线的对称轴方程；（3）求出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围．15．已知：如图，在△ABC 中，30=∠ABC ，105=∠BAC ，4=AB cm ，求AC 的长．ED C B AA B C D16．现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5 (单位：cm)，从中任意取出3根．（1）列出所选的3根小木棒的所有可能情况；（2）如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．17．如图，⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴相交于A 、D 两点，已知30=∠OBA ，点D 的坐标为)2,0(，求点A 的坐标及圆心C18．已知：如图，一次函数b kx y +=)3,1(-A 、),3(n B 两点，连接OA 、OB ．（1）求两个函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．19．我们知道：15角可以看做是60角与45角的差．请借助有一个内角是60的直角三角形和等腰直角三角形构造出一个图形并借助它求出15sin 的值 (要求画出构造的图形)．20．已知：△ABC 中，102=AB ，4=AC ，26=BC ．（1）如图1，点M 为AC 的中点，在线段BC 上取点N ，使△CMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；（2）如图2，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．图1 图2D四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分）21．某种产品的年产量不超过1 000 t ，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销售量与销售单价之间的函数图象是线段（如图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）2c bx x ++-=2过A 、B 两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线t x =，在第一象限交直线AB 于点M ，交这个抛物线于点N ．求当t 取何值时，MN 有最大值，最大值是多少？23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，10==AC AB ，12=BC ，P 是劣弧BC 的中点，过点P 作⊙O 的切线交AB 延长线于点D ．（1）求证：BC DP //；（2）求DP 的长．t ）t ）五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．已知二次函数32++=bx ax y 图象的对称轴为直线1=x ．（1）用含a 的代数式表示b ；（2）若一次函数5+=kx y 的图象经过点)1,4(A 及这个二次函数图象的顶点，求二次函数32++=bx ax y 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点)2,(t t P 在二次函数32++=bx ax y 图象上，则点P 叫做图象上的2倍点，求出这个二次函数图象上的所有2倍点的坐标．25．已知：抛物线1C ：622-+-=bx x y 与抛物线2C 关于原点对称，抛物线1C 与x 轴分别交于A （1,0），B （m,0）,顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ．（1）求m 的值；（2）求抛物线2C 的解析式；（3）若抛物线1C 与抛物线2C 同时以每秒1个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为'''''',,,,,N M D C B A ，当点'A 与点'D 重合时运动停止．在运动过程中，四边形''''N C M B 能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t （秒）的值，若不能，说明理由．DCBA石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．6； 10．9； 11．相交； 12．=．三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13.解：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+.=1123232-+⨯+ ……………………4分 =33. ……………………5分 14.解：（1）令0=x 得8=y ，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0,8）；………1分（2）令0=y 得1=x 或4-=x ，所以对称轴方程为23-=x ； ………3分（3）根据图象可知：抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围是.14<<-x ………5分15．解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为D . ………1分在Rt △ADB 中，30=∠ABC ，4=AB2sin ==∴B AB AD ， ………2分 60=∠BAD ………3分又 105=∠BAC45=∠∴DAC ，………4分 222==∴AD AC (cm). ………5分16.解：（1）所有可能情况：（2,3,4）、（2,3,5）、(2,4,5)、(3,4,5); ………4分（2）能搭成三角形的情况有3种，所以，能搭成三角形的概率为43. .……5分 17. 解：连结D 、A ，过点C 分别作坐标轴的垂线段CF CE ,.………1分90=∠DOA DA ∴为⊙C 的直径 ………2分 30=∠OBA 30=∠∴ADO 又 2=DO 332=∴OA111N∴点A 的坐标为)0,332(， ………4分 OA CE OD CF //,// 且C 为DA 中点，33,1==∴CE CF ∴圆心C 的坐标为)1,33(. ………5分 18. 解:(1) 点)3,1(-A 在xmy =的图象上，∴3-=m 反比例函数的解析式为x y 3-=； ………1分又点),3(n B 在xy 3-=的图象上，1-=∴n由题意,得⎩⎨⎧-=+-=+133b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==41b k ，∴一次函数的解析式为4-=x y ； ………3分(2)如图，作⊥AC y 轴，x AE ⊥轴，x BD ⊥轴.=--+=∆∆∆O BD O CA AED B ACO E O AB S S S S S 梯形矩形 4. ………5分19. 解：如图，△ABC 为有一个内角为60的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以15=∠DAB . ………1分作AB DE ⊥，垂足为E . ………2分设1=DC ,则1=AC ，由勾股定理2=AD ，由∠60=BAC 可得2=AB ，3=BC ………3分∴13-=BD在Rt BED ∆中，30=∠B ∴ 213-=DE ………4分在Rt DEA ∆中，426sin -==∠AD ED DAE ∴即42615sin -= . ………5分 20.解： (1)如图：①当N 为BC 中点，AB MN // 此时△CMN ∽△CAB ,有21==AB MN CA CM ∵102=AB∴10=MN ； ………2分②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1∴AB MN BC CM 1=，又 26=BCE D CB AD∴352=MN .………3分 ∴MN 的长为10或352（2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 21.解：设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为21ax y =，由题意可得a 210001000=，解得：10001=a ，即：100021x y =. ………1分设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2，由题意，可得⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=301001b k ，即：3010012+-=x y ………3分设毛利润为y 万元，由题意，可得=y )301001(+-x x 10002x - （其中10000≤≤x ）………4分 =x x 301000112+-，因为10001115000>=x ，所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大，因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大. ………………6分 22. 解：（1）易得A （0，2），B （4，0） ……………… 1分将x =0，y =2代入c bx x y ++-=2得2=c ………………2 分将x =4，y =0，2=c 代入c bx x y ++-=2得到,27=b2272++-=∴x x y ……………… 3分（2）由题意，易得217(,2),(,2)22M t t N t t t -+-++……………… 4分从而得到t t t t t MN 4)221(22722+-=+--++-=)40(<<t …… 5分当2=t 时，MN 有最大值4 . ………………6 分23.（1）证明：连结APAC AB = ∴弧AB =弧AC又 P 是劣弧BC 的中点，∴弧BP =弧CP ………………1分 ∴弧ABP =弧ACP ， ∴AP 为⊙O 的直径又 DP 为⊙O 的切线，∴DP AP ⊥ ………………2分作BC AM ⊥，垂足为M ∴M 为BC 中点， ∴AM 必过圆心O ，即：P O M A ,,,四点共线∴BC DP //. ………………3分（2）在Rt AMB ∆中，BC BM 21==6，8=∴AM ，43tan =∠BAM在Rt OMB ∆中，设r OB =，则由勾股定理得2226)8(+-=r r解得=r 425，225=AP ………………5分在Rt APD ∆中，DAP AP DP ∠⋅=tan =.87543225=⨯ ………………6分五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．解：（1）由题意，得12=-ab……………………………………1分 ∴a b 2-=且0≠a ． ……………………………………2分（2）由直线5+=kx y 过点A （4,1）∴541+=k ，解得1-=k∴5+-=x y ……………………………………3分设抛物线顶点坐标为（1，n ），代入5+-=x y 中，可得451=+-=n∴抛物线顶点坐标为（1，4）， ……………………………………4分代入322+-=ax ax y 中，可得1-=a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ．…………………………………５分（3）∵点P （t ，2t ）在抛物线上∴3222++-=t t t …………………………………6分解得3±=t∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（32,3）和（32,3--）．…………………………………7分25．解：（1）∵抛物线622-+-=bx x y 过点 A （1,0）∴620-+-=b …………………………………1分∴8=b∴抛物线1C 的解析式为 2)2(268222+--=-+-=x x x y ∴)2,2(M令0=y ，则06822=-+-x x 解这个方程，得3,121==x x∴3=m ……………………………………2分（2）由题意，抛物线2C 过点C （-3,0）,D （-1,0）,N （-2，-2）∴抛物线2C 的解析式为 6822)2(222++=-+=x x x y …………3分（3）过点'M 作H M '⊥x 轴于点H ， …………………………………4分若四边形''''N C M B 是矩形，则''OM OB =由题意，设'M )2,2(t -，'B )0,3(t -，则H )0,2(t - ………………5分在Rt △OH M '中，2222'''OB OM H M OH ==+∴222)3(2)2(-=+-t t …………………………………6分解得21=t ∴21=t 秒时，四边形''''N C M B 是矩形．………………………………7分。

北京市石景山区2023~2024学年第一学期初二期末数学参考答案

石景山区2023-2024学年第一学期初二期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。

若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数一、选择题（本题共16分，每小题2分）9．1x ≥ 10．mn ；分式的基本性质 11．17 12. 7513．答案不唯一，如AB =DE ；SAS 14．3815. 451 16．等边三角形；.三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题6分；24题5分，第25-26每小题6分；第27-28每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．解：原式2211=--+2-.18．解：原式2=⨯3⨯==19．解：原方程可化为：()3113231231x x -=-- 去分母，得()331213x --=. 去括号，整理得9513x -=.解得2x =.经检验2x =是原分式方程的解.∴原分式方程的解为2x =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分20．证明： ∵∠1=∠2,∴OB=OC (等角对等边).在△AOB 和△DOC 中O A O DA OB D OC O B O C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC （SAS）. ∴AB =CD （全等三角形的对应边相等）.21．解：由题意，原问题可转化为以下数学问题：已知：Rt △'ABC 中，'ABC ∠=90°，点B 为'DC 的中点， '10DC =，AC ='AC ，BC =1．求AB 和AC 的长．∵'10DC =,点B 为'DC 的中点， ∴1''52BC DC ==. 设AB =x ，则'AC =AC =x +1. 在Rt △AB C’中， ∵222''AB BC AC +=，∴2225(1)x x +=+.解得12x =. ∴AB =12，AC=13.答：水深12尺，芦苇长13尺.22．解：（1）尺规作图，如图所示：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 D ACB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分21BC DOA（2）证明：∵BD ⊥AC 于D ，∴∠1+∠C =90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∵AB=AC ， ∴ABC C ∠=∠．∵180A ABC C ∠+∠+∠=︒， ∴2180A C ∠+∠=︒．∴1902A C ∠+∠=︒. ∴112DBC A ∠=∠=∠. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23．解：原式()()()2111111a a a aa a a a +--⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ()()()211111a a a a a -=⋅-+-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分()11a a =+.21a a=+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵ 210a a +-=， ∴21a a +=∴ 原式=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分24．解：如图所示，作点M 关于AD 的对称点'M ，连接'M F 交AD 于点P ，点P⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分1DACBC连接MP ，'MM .∵点M 与点'M 关于AD 对称，∴直线AD 是'MM 的垂直平分线. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∴'MP M P =. ∴'MPA M PA ∠=∠. ∵'M PA FPD ∠=∠,∴MPA FPD ∠=∠. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分25．解：设该用户在4G 网络环境下载的速度是每秒x 兆，在5G 网络环境下载的速度是每秒11.5x 兆. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分根据题意列方程，得92092010511.5x x=-. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分解得：8x =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分经检验，8x =是原分式方程的解且符合实际意义. 11.5892⨯=.答：该用户在5G 网络环境下载文件的速度是每秒92兆.26．解：（1）第5个：666655⨯=+. （2）第n 个等式可以表示为：()()1111n n n n n n++⋅+=++.（3）证明：∵()()2111n n n n n++⋅+=， ()()1111n n n n n n n n+++++=+ =()1(1)n n n++=()21n n+，∴()()1111n n n n n n++⋅+=++. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分27．解：（1）①补全图形如图所示：②判断：CD=DB + CF .证明：过点E 作EG ⊥CB 交CB 的延长线于G . ∵∠ACB =90°，EG ⊥CB 于G ， ∴∠ACD =∠EGD =90°. ∵DE =AD ，∠ADC =∠EDG , ∴△ACD ≌△EGD .∴AC =EG ，CD =GD .∵AC =BC ，∴BC =EG . ∵BE ⊥BF ， ∴∠FBE =90°， ∴∠CBF +∠GBE =90°.∵在△EGB 中，∠GEB +∠GBE =90°， ∴∠CBF =∠GEB . ∵∠FCB =∠BGE =90° ∴△BCF ≌△EGB . ∴CF =GB . ∵DG =DB +BG ， ∴CD=DB + CF .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分C EFDBACF A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）画出图形如下：数量关系：CD= CF - DB .（3）答案不唯一，只要合理有价值即可.如：点D 在线段CB 上，且DB >CD ，判断CD ，DB ，CF 之间的数量关系. 如：判定AF 与CD 的数量关系并证明等.28．解：（1）13P P ，. （2）如图所示：（34AE ≤.ABD FEC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分BA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分。

2012-2013学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)(附答案解析)

2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={2, 4}，则(∁U A)∪B =( ) A.{1, 2} B.{2, 3, 4} C.{3, 4} D.{1, 2, 3, 4}2. 若复数Z 1=i ，Z 2=3−i ，则Z 2Z 1=( )A.1+3iB.2+iC.−1−3iD.3+i3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，则AD →=( ) A.(2, 4) B.(1, 1)C.(−1, −1)D.(−2, −4)4. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（） A.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β B.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α // β C.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α⊥β D.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α // β5. 执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A.1B.2C.3D.46. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（） A.60种B.63种C.65种D.66种7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A.83B.4C.2D.438. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n +k|n ∈Z}，k =0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②−3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是（） A.1 B.2C.3D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤a 表示的平面区域S 的面积为4，则a =________；若点P(x, y)∈S ，则z =2x +y 的最大值为________．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA =1，AB =2，PO =3，则圆O 的半径等于________．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q =________；|a 1|+|a 2|+...+|a n |=________．在△ABC中，若a=2，∠B=60∘，b=√7，则BC边上的高等于________．已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________．给出定义：若m−12<x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个命题：①y=f(x)的定义域是R，值域是(−12，12]；②点(k, 0)是y=f(x)的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f(x)的最小正周期为1；④函数y=f(x)在(−12，32]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x．（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE // BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．(1)求证：BC⊥平面A1DC；(2)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；(3)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．已知函数f(x)=ln x−ax+1，a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点P（1, f(1)）处的切线l的方程，并证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l 的下方；（2）讨论函数y=f(x)零点的个数．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√32，且经过点M(4, 1)，直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a n}，如果函数y=f(x)使得b n=f(a n)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列{a n}的“保三角形函数”(n∈N∗)．（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=k x(k>1)是数列{a n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2013，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n+1−3S n=8052，证明{c n}是“三角形”数列；（3）若g(x)=lg x是（2）中数列{c n}的“保三角形函数”，问数列{c n}最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）参考答案与试题解析2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出∁U A ，再由集合的并运算求出B ∪(∁U A)．【解答】解：∵ 集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}， ∴ ∁U A ={3, 4} ∵ B ={2, 4}∴ (∁U A)∪B ={2, 3, 4} 故选：B ． 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】把两个复数代入后运用复数的除法运算即可求得两复数的商．【解答】解：由复数Z 1=i ，Z 2=3−i ，则Z 2Z 1=3−i i=i(3−i)i 2=−1−3i ．故选C ． 3.【答案】 C【考点】向量的减法及其几何意义【解析】由已知中平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，根据向量加减法的三角形法则，可得向量BC →的坐标，根据平行四边形的几何特征及相等向量的定义，可得AD →=BC →，进而得到答案．【解答】解：∵ 平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，又AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，∴ BC →=AC →−AB →=(−1, −1)，故AD →=BC →=(−1, −1). 故选C . 4. 【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．【解答】选择支C 正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵ m // n ，∴ m 、n 确定一个平面γ，交平面α于直线l ． ∵ m // α，∴ m // l ，∴ l // n ． ∵ n ⊥β，∴ l ⊥β， ∵ l ⊂α，∴ α⊥β．故C 正确．故选：C ．5. 【答案】 C【考点】程序框图【解析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数y ={x 2−1(x ≤2)log 2x(x >2)，由此解关于x 的方程f(x)=3，即可得到可输入的实数x 值的个数．【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x ≤2时，得到函数y =x 2−1；当x >2时，得到函数y =log 2x ．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2−1=3，解之得x=±2②当x>2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，−2或8，共3个数故选：C6.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况：3个偶数、1个奇数；1个偶数，3个奇数，利用组合知识，即可求得结论．【解答】解：由题意知，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况，当取得3个偶数、1个奇数时，有C43C51=20种结果，当取得1个偶数，3个奇数时，有C41C53=40种结果，∴共有20+40=60种结果，故选A．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．据此即可计算出其体积．【解答】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．∴V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×4×3×2=4．8.【答案】C【考点】同余的性质（选修3）【解析】根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402...1；②∵−3÷5=0...2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．【解答】解：①∵2011÷5=402...1，∴2011∈[1]，故①对；②∵−3=5×(−1)+2，∴对−3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a−b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】2,6【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，根据三角形面积公式建立关于a的方程，解之可得a=2．再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=2时，z=2x+y取得最大值为6．【解答】解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组{y≤xy≥−xx≤a表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A(a, a)，B(a, −a)，O(0, 0)∴平面区域的面积S =12×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．设z=F(x, y)=2x+y，将直线l:z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(2, 2)=6故答案为：2，6【答案】√6【考点】与圆有关的比例线段【解析】由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=1，AB=2，PO=3，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．【解答】解：设⊙O的半径为R则PC=PO−OC=3−RPD =PO +OD =3+R 又∵ PA =1，AB =2， ∴ PB =PA +AB =3 由切割线定理易得： PA ⋅PB =PC ⋅PD即1×3=(3−R)×(3+R) 解得R =√6．故答案：√6．【答案】 −2,2n−1−12【考点】等比数列的前n 项和【解析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|a n |是以a 1为首项，|q|为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解：q =√a4a13=√−83=−2，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=12(1−2n )1−2=2n−1−12.故答案为：−2；2n−1−12. 【答案】 3√32【考点】正弦定理【解析】根据余弦定理b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，结合题中数据算出c =3，从而得到△ABC 的面积S =12ac sin B =3√32，再由△ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高），即可算出ℎ的大小，从而得到BC 边上的高．【解答】解：∵ △ABC 中，a =2，b =√7，且∠B =60∘， ∴ 根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，可得7=4+c 2−4c cos 60∘，化简得c 2−2c −3=0，解之得c =3（舍负） ∴ △ABC 的面积S =12ac sin B =12×2×3×sin 60∘=3√32又∵ △ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高） ∴ ℎ=2S a=3√32×22=3√32故答案为：3√32【答案】9【考点】双曲线的定义【解析】根据A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a ，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵ A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4, 0)， ∴ 由双曲线性质|PF|−|PF′|=2a =4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A 、P 、F′三点共线时等号成立．故答案为：9．【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用【解析】依据函数定义，得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，则命题①为真命题；由于k ∈Z 时，f(k)=k −{k}=k −k =0，但由于f(x)∈(−12，12]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；由题意知，函数f(x)=x −{x}∈(−12，12]的最小正周期为1，则命题③为真命题；由于，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}为分段函数，且在(−12，12]，(12，32]为增函数，但在区间(−12，32]上不是增函数，故命题④为假命题．正确的命题为①③故答案为①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：（1）由函数的解析式可得cos x ≠0，所以x ≠kπ+π2，k ∈Z ．所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．… 再由f(x)=sin 2x(sin x+cos x)cos x=2sin x(sin x +cos x)=2sin 2x +sin 2x =√2sin (2x −π4)+1，…可得函数的周期T =2π2=π．…（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−7π12≤2x −π4≤π4．… 故当2x −π4=π4时，即x =π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2； …当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【考点】求两角和与差的正弦求二倍角的正弦求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．由此求得函数f(x)的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为√2sin(2x−π4)+1，由此可得函数的周期T=2π2．（2）根据−π6≤x≤π4，利用正弦函数的定义域和值域求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}．…再由f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x =2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+sin2x=√2sin(2x−π4)+1，…可得函数的周期T=2π2=π．…（2）因为−π6≤x≤π4，所以−7π12≤2x−π4≤π4．…故当2x−π4=π4时，即x=π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2；…当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠C=90∘，DE // BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩A1D=D，∴BC⊥面A1DC．(2)以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A1(2, 0, 4)，设n→=(x, y, z)为平面A1BC的一个法向量，∵CB→=(0,3,0)，CA1→=(2,0,4)，BE→=(2,−1,0)，∴{3y=02x+4z=0，令x=2，得y=0，z=−1．所以n→=(2, 0, −1)为平面A1BC的一个法向量．设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ=|cos<BE→⋅n→>|=√5⋅√5=45．所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为45．(3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴A1B=√(x−0)2+(0−3)2+(6−x−0)2=√2x2−12x+45，根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B取得最小值，A1B的最小值是3√3，此时点D为AC的中点，即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为3√3．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面所成的角空间两点间的距离公式直线与平面垂直的判定【解析】（1）由Rt △ABC 中，∠C =90∘且DE // BC ，证出A 1D ⊥DE ．结合A 1D ⊥CD ，可得A 1D ⊥面BCDE ，从而得到A 1D ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理，结合BC ⊥CD 可证出BC ⊥面A 1DC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、A 1各点的坐标，从而算出CB →、CA 1→的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（3）设D(x, 0, 0)，可得A 1(x, 0, 6−x)，由此得到A 1B =√2x 2−12x +45，结合二次函数的图象与性质可得当D 为AC 中点时A 1B 的长度最小，并且这个最小值为3√3．【解答】(1)证明：∵ 在△ABC 中，∠C =90∘，DE // BC ， ∴ AD ⊥DE ，可得A 1D ⊥DE ．又∵ A 1D ⊥CD ，CD ∩DE =D ， ∴ A 1D ⊥面BCDE ． ∵ BC ⊂面BCDE ， ∴ A 1D ⊥BC ．∵ BC ⊥CD ，CD ∩A 1D =D ， ∴ BC ⊥面A 1DC ．(2)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A 1(2, 0, 4)，设n →=(x, y, z)为平面A 1BC 的一个法向量， ∵ CB →=(0,3,0)，CA 1→=(2,0,4)，BE →=(2,−1,0)， ∴ {3y =02x +4z =0，令x =2，得y =0，z =−1．所以n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量．设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ=|cos <BE →⋅n →>|=√5⋅√5=45．所以BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为45． (3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴ A 1B =√(x −0)2+(0−3)2+(6−x −0)2=√2x 2−12x +45，根据二次函数的图象与性质，可得当x =3时，A 1B 取得最小值， A 1B 的最小值是3√3，此时点D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，A 1B 的长度最小，最小值为3√3．【答案】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23．（2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14，解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【考点】离散型随机变量的期望与方差相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率p 1=1−p(A 1¯A 2¯)．（2）由三人中只有甲破译出密码的概率为14．知12×(1−13)×(1−p)=14，由此能求出p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=14．p(X =1)=1124．p(X =2)=14．p(X =3)=124．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23．（2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14． ∴ 12×(1−13)×(1−p)=14，解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【答案】解：（1）f(1)=−a +1，k 1=f′(1)=1−a ，所以切线l 的方程为 y −f(1)=k 1×(x −1)，即y =(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x =ln x −x +1，x >0，则 F′(x)=1x−1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x =1．所以任意x >0且x ≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x ，即函数y =f(x)(x ≠1)的图象在直线l 的下方．（2）令y =0，即ln x =ax −1，画图可知当a ≤0时，直线y =ax −1与y =ln x 的图象有且只有一个交点，即一个零点；当a >0时，设直线y =ax −1与y =ln x 切于点(x 0, ln x 0)，切线斜率为k =1x 0∴ 切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，把(0, −1)代入上式可得x 0=1，k =1∴ 当0<a <1时，直线y =ax −1与y =ln x 有两个交点，即两个零点；当a =1时直线y =ax −1与y =ln x 相切于一点，即一个零点；当a >1时直线y =ax −1与y =ln x 没有交点，即无零点．综上可知，当a >1时，f(x)无零点；当a =1或a ≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0<a <1时，f(x)有两个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性根的存在性及根的个数判断【解析】（1）已知f(x)=ln x −ax +1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；（2）令y =0，进行变形ln x =ax −1，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y =f(x)的零点；【解答】解：（1）f(1)=−a +1，k1=f′(1)=1−a，所以切线l的方程为y−f(1)=k1×(x−1)，即y=(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x=ln x−x+1，x>0，则F′(x)=1x −1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x=1．所以任意x>0且x≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x，即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方．（2）令y=0，即ln x=ax−1，画图可知当a≤0时，直线y=ax−1与y=ln x的图象有且只有一个交点，即一个零点；当a>0时，设直线y=ax−1与y=ln x切于点(x0, ln x0)，切线斜率为k=1x0∴切线方程为y−ln x0=1x0(x−x0)，把(0, −1)代入上式可得x0=1，k=1∴当0<a<1时，直线y=ax−1与y=ln x有两个交点，即两个零点；当a=1时直线y=ax−1与y=ln x相切于一点，即一个零点；当a>1时直线y=ax−1与y=ln x没有交点，即无零点．综上可知，当a>1时，f(x)无零点；当a=1或a≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0<a<1时，f(x)有两个零点．【答案】解：（1）设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x 220+y25=1；（2）将y=x+m代入x 220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a2=b2+c2联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；（3）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．【解答】解：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x220+y25=1；（2）将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【答案】（1）解：显然a n=n+1，a n+a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n}是三角形数列．因为k>1，显然有f(a n)<f(a n+1)<f(a n+2)<…，由f(a n)+f(a n+1)>f(a n+2)得k n+k n+1>k n+2第21页共22页 ◎ 第22页共22页解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052，两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1…经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052．显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ，所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)，所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②，由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4，由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4．即数列{b n }最多有26项．… 【考点】数列与不等式的综合数列的应用【解析】（1）确定{a n }是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k 的取值范围；（2）求得数列{c n }的通项，再利用定义进行证明即可；（3）确定{g(c n )}单调递减，利用定义可得不等式lg 2013+(n −1)lg (34)>0且lg c n−1+lg c n >lg c n−2，由此可得n 的范围，从而可得结论．【解答】（1）解：显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)<…，由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2 解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052，两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1… 经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052．显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ，所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)，所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②，由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4，由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4．即数列{b n }最多有26项．…。

石景山区2012~2013第一学期期末考试试卷讲评

4
⑤ 当x取何值时,代数式
x x 1 2 3 比x+3的值大1？
⑥有甲、乙两班学生，已知乙班比甲班少4人,如果从乙班调17人到甲班，那么甲班人数比乙班人数的3倍还多2人，求甲、乙两班原来各有多少人?
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五、列方程解应用题（本题5分，写出解答过程） 21．石景山某校七年级1班为郊区的某校“手拉手” 班级捐赠课外图书和光盘共120件．已知捐出的图书数比捐出的光盘数的2倍少15件．求该班捐给“手拉手”班级的图书有多少件？
【试卷题目】
4．有理数 a、b在数轴上的位置如图所示，则 a-b的值在（ D ）
A．-3与-2之间 C．0与1之间考点：数轴
B．-2与-1之间 D．2与3之间
方法：取特值
【试卷题目】
8．如图是一个长方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（ A ）
A
考点：三视图
B
C
D
【试卷题目】
11．
【学习目标】
1. 通过分析明确自己的进步与不足，设立努力的目标。 2. 通过讲评纠正错误，夯实基础，归纳解题方法，并体会数学思想的运用。
3. 借助链接，拓展思路，提升能力
【试卷题目】
3．代数式于（ B ） A．-3 与的值互为相反数，则等
B．3
C．-1
D． 1
考点：相反数的性质
思想方法：方程思想
－2 －1 0 1 2 3 （第27题图）
（2）当点P以每分钟2个单位长度的速度从原点O向左运动的同时，点A以每分钟3个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟2个单位长度的速度向左运动，求多少分钟时点P到点A和点B的距离相等．如果设t分钟时点P到点A和点B的距离相等： ①请你用含t的式子表示：此时，在数轴上点A对应的数是，点B对应的数是，点P对应的数是；线段 PA＝，线段PB＝． ②请你求出t的值．

2012-2013石景山初三期末考试数学试题参考答案

DCBA石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．6； 10．9； 11．相交； 12．=．三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13.解：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+.=1123232-+⨯+ ……………………4分 =33. ……………………5分 14.解：（1）令0=x 得8=y ，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0,8）；………1分（2）令0=y 得1=x 或4-=x ，所以对称轴方程为23-=x ； ………3分（3）根据图象可知：抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围是.14<<-x ………5分15．解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为D . ………1分在Rt △ADB 中，30=∠ABC ，4=AB2sin ==∴B AB AD ， ………2分 60=∠BAD ………3分又 105=∠BAC45=∠∴DAC ，………4分 222==∴AD AC . ………5分16.解：（1）所有可能情况：（2,3,4）、（2,3,5）、(2,4,5)、(3,4,5); ………4分（2）能搭成三角形的情况有3种，所以，能搭成三角形的概率为43. .……5分17. 解：连结D 、A ，过点C 分别作坐标轴的垂线段CF CE ,.………1分90=∠DOA DA ∴为⊙C 的直径 ………2分 30=∠OBA 30=∠∴ADO 又 2=DO 332=∴OA ∴点A 的坐标为)0,332(， OA CE OD CF //,// 且C 为DA 中点，33,1==∴CE CF ∴圆心C 的坐标为18. 解:(1) 点)3,1(-A 在xmy =的图象上，∴3-=m 反比例函数的解析式为x y 3-=； ………1分又点),3(n B 在xy 3-=的图象上，1-=∴n由题意,得⎩⎨⎧-=+-=+133b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==41b k ，∴一次函数的解析式为4-=x y ； ………3分(2)如图，作⊥AC y 轴，x AE ⊥轴，x BD ⊥轴.=--+=∆∆∆O BD O CA AED B ACO E O AB S S S S S 梯形矩形 4. ………5分19. 解：如图，△ABC 为有一个内角为60的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以15=∠DAB . ………1分作AB DE ⊥，垂足为E . ………2分设1=DC ,则1=AC ，由勾股定理2=AD ，由∠60=BAC 可得2=AB ，3=BC ………3分∴13-=BD在Rt BED ∆中，30=∠B ∴ 213-=DE ………4分在Rt DEA ∆中，426sin -==∠AD ED DAE∴即42615sin -= . ………5分 E CB A111N20.解： (1)如图：①当N 为BC 中点，AB MN // 此时△CMN ∽△CAB ,有21==AB MN CA CM ∵102=AB∴10=MN ； ………2分 ②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1∴AB MN BC CM 1=，又 26=BC∴352=MN .………4分∴MN 的长为10或352（2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 21.解：设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为21ax y =，由题意可得a 210001000=，解得：10001=a ，即：100021x y =. ………1分设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2，由题意，可得⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=301001b k ，即：3010012+-=x y ………3分设毛利润为y 万元，由题意，可得=y )301001(+-x x 10002x - （其中10000≤≤x ）………4分 =x x 301000112+-，因为10001115000>=x ，所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大，因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大. ………………6分D 22. 解：（1）易得A （0，2），B （4，0） ……………… 1分将x =0，y =2代入c bx x y ++-=2得2=c ………………2 分将x =4，y =0，2=c 代入c bx x y ++-=2 得到,27=b2272++-=∴x x y ……………… 3分（2）由题意，易得217(,2),(,2)22M t t N t t t -+-++……………… 4分从而得到t t t t t MN 4)221(22722+-=+--++-=)40(<<t …… 5分当2=t 时，MN 有最大值4 . ………………6 分23.（1）证明：连结APAC AB = ∴弧AB =弧AC又 P 是劣弧BC 的中点，∴弧BP =弧CP ………………1分∴弧ABP =弧ACP ， ∴AP 为⊙O 的直径又 DP 为⊙O 的切线，∴DP AP ⊥ ………………2分作BC AM ⊥，垂足为M ∴M 为BC 中点， ∴AM 必过圆心O ，即：P O M A ,,,四点共线∴BC DP //. ………………3分（2）在Rt AMB ∆中，BC BM 21==6，8=∴AM ，43tan =∠BAM在Rt OMB ∆中，设r OB =，则由勾股定理得2226)8(+-=r r解得=r 425，225=AP ………………5分在Rt APD ∆中，DAP AP DP ∠⋅=tan =.87543225=⨯ ………………6分五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．解：（1）由题意，得12=-ab……………………………………1分 ∴a b 2-=且0≠a ． ……………………………………2分（2）由直线5+=kx y 过点A （4,1）∴541+=k ，解得1-=k∴5+-=x y ……………………………………3分设抛物线顶点坐标为（1，n ），代入5+-=x y 中，可得451=+-=n∴抛物线顶点坐标为（1，4）， ……………………………………4分代入322+-=ax ax y 中，可得1-=a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ．…………………………………５分（3）∵点P （t ，2t ）在抛物线上∴3222++-=t t t …………………………………6分解得3±=t∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（32,3）和（32,3--）．…………………………………7分25．解：（1）∵抛物线622-+-=bx x y 过点 A （1,0）∴620-+-=b …………………………………1分 ∴8=b∴抛物线1C 的解析式为 2)2(268222+--=-+-=x x x y ∴)2,2(M令0=y ，则06822=-+-x x 解这个方程，得3,121==x x∴3=m ……………………………………2分（2）由题意，抛物线2C 过点C （-3,0）,D （-1,0）,N （-2，-2）∴抛物线2C 的解析式为 6822)2(222++=-+=x x x y …………3分（3）过点'M 作H M '⊥x 轴于点H ， …………………………………4分若四边形''''N C M B 是矩形，则''OM OB =由题意，设'M )2,2(t -，'B )0,3(t -，则H )0,2(t - ………………5分在Rt △OH M '中，2222'''OB OM H M OH ==+∴222)3(2)2(-=+-t t …………………………………6分解得21=t ∴21=t 秒时，四边形''''N C M B 是矩形．………………………………7分。

2012-2013学年北京市西城区(北区)八年级上学期期末练习数学试卷(含答案)

北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学 2013.1（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．计算23-的结果是（）．A ．－9B ．－9C ．19 D ．19- 2．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（）． A ．（3，5） B ．（3，－5） C ．（5，－3） D ．（－3，－5）4．将正比例函数y =3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）． A ．34y x =+ B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =- 5．下列各式中，正确的是（）．A ．3355x x y y --=- B ．a b a b c c +-+-=C ． a b a bc c ---=- D ． a ab aa b -=--6．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）． A ．在AC 、BC 两边高线的交点处 B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 7 ）．A ．1与2之间B ．2与3之间AC ．3与4之间D ．4与5之间8．一次函数y mx m =+（m 为常数且m ≠0），若y 随x 增大而增大，则它的图象经（）． A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 9．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，在BC 上截取BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若△ABC 的面积为22cm ，则△BPC 的面积为（）．A ．20.5cmB ． 21cmC ．21.5cmD ． 22cm 10．小华、小明两同学在同一条长为1100米的直路上进行跑步比赛，小华、小明跑步的平均速度分别为3米/秒和5米/秒，小明从起点出发，小华在小明前面200米处出发，两人同方向同时出发，当其中一人到达终点时，比赛停止．设小华与小明之间的距离y （单位：米），他们跑步的时间为x （单位：秒），则表示y 与x 之间的函数关系的图象是（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）11．在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是__________． 12．在0.14，117，，π这五个实数中，无理数的是．13．一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为，与y 轴的交点坐标为．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，AB 的垂直平分线与 AC 交于点D ，与AB 交于点E ，连结BD ．若AD ＝12cm ，则BC 的长为 cm ． 15．若29x =，38y =-，则x +y ＝．16．某校组织学生到距离学校15千米的西山公园秋游，先遣车队与学生车队同时出发，先遣车队比学生车队提前半小时到达公园以便提前做好准备工作．已知先遣车队的速是学生队车速度的1.2倍，若设学生车队的速度为x 千米/时，则列出的方程是． 17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，且∠BAD =30°，若AD =DE ，∠EDC =33°，则∠DAE 的度数为 ° 18．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k ＞0）”的△ABCB是唯一的，那么k 的取值范围是．三、解答题（本题共28分，第19、20题每小题5分，第21～23题每小题6分） 19．计算：1)+解：20．先化简，再求值：2112()3369mm m m m +÷-+-+，其中9m =．解： 21．解方程：3111x x x -=-+．23．如图，直线y kx b =+经过点A （0，5），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C,求点C 的坐标；（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集．解：（1）（2）（3）关于x 的不等式2x －4≥kx +b 的解集是．四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．阅读下列材料：木工张师傅在加工制作家具的时候，用下面的方法在木板上画直角：如图1，他首先在需要加工的位置画一条线段AB ，接着分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的适当长为半径画弧，两弧相交于点C ，再以C 为圆心，以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D （点D 需落在木板上），连接DB ．则∠ABD 就是直角．木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法．解决下列问题：（1）利用图1就∠ABD 是直角作出合理解释(要求：先写出已知、求证，再进行证明)；（2）图2表示的一块残缺的圆形木板，请你用“三弧法”，在木板上．．．画出一个以EF 为一条直角边的直角三角形EFG （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．解：（1） 25．已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点 A （a ，1）．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的解析式；（2）点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；（3）直线x m =与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．A CB D图1 图2 EF五、解答题（本题6分）26．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连结AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB =4， AC =7，求NC 的长．（1）证明：（2）解：图1图2北京市西城区（北区）2012–2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题 2013.1一、填空题（本题共6分）1．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：（1）经过x 轴上点（5，0）的正方形的四条边上的整点个数是；（2）经过x 轴上点（n ，0）（n 为正整数）的正方形的四条边上的整点个数记为m ，则m 与n 之间的函数关系是．二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数；（2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点Q在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ．求证：PF ＝PQ ；（3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若P为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．图1 图23．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．（1）证明：（2）结论：；（3）证明：图1 图2图3北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2013.1二、填空题（本题共24分，第13题4分，第18题2分，其余各题每小题3分）19．解： 1)++＝24 ····························································································· 3分＝2．········································································································ 5分20．解： 2112()3369mm m m m +÷-+-+ ＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+ ···················································································· 3分＝33m m -+． ··········································································································· 4分当9m =时，原式＝931932-=+． ········································································ 5分 21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+． ········································································ 2分化简，得331x x -+=-． ··················································································· 4分解得 2x =． ······································································································ 5分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x =是原分式方程的解． ·············································································· 6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． ··························································································· 1分,,,AE BF A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ··········································································5分 ∴EC =FD ． ································································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩······························································································1分解方程得1,5.k b =-=⎧⎨⎩ ·················································································2分 ∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+·······························································3分（2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C,∴解方程组5,2 4.y x y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y ==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ·········································································· 5分（3）x ≥3． ········································································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒．证明：∵AC=BC ， ∴12∠=∠． ∵BC=CD ， ∴34∠=∠． ··························· 1分在△ABD 中， 1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒．即90ABD ∠=︒． ·············································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形．········································································································································· 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点 A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-． ·························································································· 1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=．解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-． ····················································· 2分（2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ······························································ 4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ··········································· 5分以下分两种情况：（ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --．则12ABCS BC AH ∆=⋅ =13(3)(4)24m m ---- =23368m m ++．（ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m ++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH ∆=⋅ =13(3)(4)24m m ++=23368m m ++．综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠. ∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． ···································· 1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ． ··································· 2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ················ 3分 ∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ············································································· 4分 ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ．解得 x ＝5.5． ∴CN ＝5.5． ···································································································· 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分） 1．（1）20； ······················································································································ 3分（2）4m n =． ············································································································· 3分二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴OA =OB ． ··································································································· 1分 ∴BAO ABO ∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． ··········································································· 2分（2）在等腰直角三角形APD 中，90PD A ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．A MDCBNE F354 412∴DP ⊥AD 于D ．由（1）可得45BAO ∠=︒． ∴1BAO ∠=∠．又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ······························································································· 3分 ∴90AG P PG F D ∠=∠=∠=︒． ∴445BAO ∠=∠=︒．∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒．即390GPQ ∠+∠=︒．又∵PQ ⊥PF ，∴290GPQ ∠+∠=︒． ∴23∠=∠． ······················ 4分在△PGF 和△PDQ 中， ,,23,PGF D PG PD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ． ·································································································· 5分（3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，,12,,PB PE PH PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ································· 6分∴34∠=∠．∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒． ∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAO HBO ∠=∠=︒．由（1）可得 OA =OB ．在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH DAO HBO OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．x图1图2∴OD =OH ，∠5=∠6． ············································································· 7分 ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690D O H D O B ∠=∠+∠=︒. ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ， ∴OP ⊥DP ，1745DOH ∠=∠=︒. ∴7ODP ∠=∠． ∴OP =PD ． ····································································································· 8分3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°， ∴60ABC ∠=︒, BC =12AB ．∵BD 平分∠ABC ，∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ．∴AE =BE =12AB ．∴BC =BE . ······························································································· 1分 ∴△BCE 是等边三角形. ········································································· 2分（2）结论：AD = DG ＋DM ．········································································································································ 3分（3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：延长BD 至H ，使得DH ＝DN . ········································································· 4分由（1）得DA =DB ，30A ∠=︒． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒．∴4560∠=∠=︒． ∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H ∠=∠=︒． ∴2H ∠=∠． ∵60BNG ∠=︒, ∴767BNG ∠+∠=∠+∠.即D NG H NB ∠=∠. 在△DNG 和△HNB 中，A D GC B ME图2A图1图3G。

2013年北京石景山初二期末数学考试题及答案

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷初二数学考生须知1．本试卷共6页．共七道大题，25道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．3．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、或签字笔．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．36的平方根是（） A ． 6± B ． 6C ． 36±D ．362．223-=（）A ．3B ．2C ．22D ．423．当<0x 时，2x x的值为（）A ． 1-B ．1C ．1±D ．x4．若分式22xx -+的值是零，则x 的值是（） A ．0=xB ．2±=xC ．2-=xD ．2=x5．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（） A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件6．下列图形中，是轴对称图形的是( )ABCD7．五边形内角和的度数是( )A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，//1=502=60a b ∠︒∠︒，，，则3∠的度数为( ) A ．80°B ．70°a b123C ．60°D ．50°9．如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（） A ．∠B =∠E B ．∠BCA =∠F C ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF10．如图，分别写有实数25π，，取到的数是无理数的可能性大小是（）A ．41 B ．21 C ．34D ．1二、填空题（本题共15分，每小题3分）11x 的取值范围是． 12．计算(3 ．13．等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为．14．等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，以斜边AB和长度为1的边BB 1为直角边构造直角△ABB 1，如图，这样构造下去……，则AB 3= ；AB n = ．15．对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为．三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20 16+．解：173x y --互为相反数，求+x y 的值．18．解方程：2216124x x x --=+-. 3ABCDEF19．先化简，再求值：21()(1)1x x x x x-÷+--，其中=2x . 解：四、画图题（本题满分6分）20．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A 和点B 是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC ；（2）在图2中确定格点D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD ；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有________个．五、列方程解应用题（本题满分6分）21．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准解读》（以下简称《解读》）．其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元．若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？六、解答题（本题共3个小题，共17分） 22．(本小题6分)叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．定理：已知：求证：证明：23．(本小题5分) 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =36°．（1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的所有等腰三角形（用字母表示，写在横线上，不要求证明）．AB C24．(本小题6分)已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD ⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD =∠FCD ．求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ．证明：七、探究题（本题满分6分）25．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，若把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．（1）当∠A ＝35°时，求∠CBD 的度数．（2）若AC ＝4，BC ＝3，求AD 的长．（3）当AB ＝ m （m > 0），△ABC 的面积为m +1时，求△BCD 的周长．（用含m 的代数式表示）ABCDEF BCDE石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试初二数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）16．解：原式+--……………………………………………3分+ ……………………………………………5分 17．解：由已知可得⎩⎨⎧=--=+-03092y x y x ………………………………………………2分；解出⎩⎨⎧==1215y x 所以27=+y x . ………………………………………5分 18．解：22(2)(4)16x x ---=．...............................................................................2分48x -=．2x =-． ……………………………………………………..4分检验：2x =-时最简公分母(+2)(2)=0x x -，所以2x =-是增根．∴原方程无解． ……………………………………5分19. 解： 21()(1)1x x x x x-÷+--＝()21111x x x x -⋅-+＝1x . ……………………4分当2=x＝2. ……………………………………………5分四、画图题（本题满分6分）20．解：(1) 画出一个如下图1中的一个三角形………………………………2分 (2) 画出一个如下图2中的一个三角形………………………………4分(3) 4．（理由如图2） ………………………………6分五、列方程解应用题（本题满分6分）21．解：设《标准》的单价为x 元，则《解读》的单价为(x +25)元. ……1分根据题意，得x 378=251053x ， …………………………………3分解得，x =14. ………………………………………………………4分经检验x=14是所列方程的解，且符合题意. ……………………………5分 ∴x +25=39.答：《标准》的单价为14元，则《解读》的单价为39元. …………6分（注：不检验、不作答各扣1分）六、解答题（本题共3个小题，共17分）22．(本小题6分)解：定理：三角形的三个内角和等于180°……………………1分已知：△ABC （如图）.求证：∠A +∠B +∠ACB =180°. …………2分证明：延长BC 到D ，过C 作CE//AB . …………3分∴ ∠1=∠A , ∠2=∠B .∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB =180°. ………………6分 23．(本小题5分)解：(1)如右图…………………………………………2分(2) △ABC 、△ADB 、△DBC …………………5分 (每写出一个得1分)24．(本小题6分)解：证明：(1) ∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB =∠CDF =90°.∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝∠DAC ＝45°. ……………………..1分 ∴ AD=CD . ………………………………………2分在△ABD 和△CFD 中，ABCDE1 2ABCDADB CDF AD CDBAD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝ ∴ △ABD ≌△CFD . ………………………………3分(2) ∴ BD=FD . ……………………………………………………………4分 ∵ ∠FDB =90°，∴∠FBD ＝∠BFD ＝45°. ∵∠ACB ＝45°，∴∠CEB ＝90°.∴ BE ⊥AC ． ………………………………………………………………6分七、探究题（本题满分6分） 25．解：（1）20°． …………………………1分（2）设AD ＝x ，由已知BD ＝x ；CD ＝4-x .在△BCD 中，∠C =90°，根据勾股定理,得x 2=(4-x )2+32 ……………2分解得x ＝258. ∴AD ＝258………………………3分（3）设AC ＝b ，BC ＝a ，由已知m 2=a 2+b 2，且112ab m =+……………4分可求出a +b =m +2. ……………5分由已知a +b 即为△BCD 的周长，所以△BCD 的周长为m +2. ……………6分BC DE。

北京市石景山区2012-2013学年七年级上学期期末数学试题

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷初一数学考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为100分，考试时间为100分钟． 2. 本试卷共6页，各题答案均写在试卷相应位置上．题号一二三四五六七八总分得分一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项前的字母填在题后括号内） 1．9-的倒数是（）A ．91 B ．91- C ．9 D ．9-2．经专家估算，南海属我国传统海疆线以内的油气资源约合15 000亿美元．用科学记数法表示数字15 000是（） A ．15×103B ．1.5×103C ．1.5×104D ．1.5×1053．代数式21x -与43x -的值互为相反数，则x 等于（）A ．-3B ．3C ．-1D ． 1 4．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则b a -的值在（）A ．-3与-2之间B ．-2与-1之间C ．0与1之间D ．2与3之间 5．下列运算正确的是（）A ．32x y xy -=-B ．235x x x +=C ．222523x x x -=D ．222x y xy xy -= 6．当1x =-时，代数式227x x -+的值是（）A ．10B ．8C ．6D ．47．已知线段AB =6，在直线AB 上画线段BC ，使BC =2，则线段AC 的长（）-3b a -2321-10A．2B．4 C．8 D．8或4 8．如图是一个长方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（）A B C D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）９．已知∠α 的补角比∠α 大30°，则∠α = °．10．绝对值大于1且小于4的所有负整数．．．之和等于．11．bba-=+22若，______622=+-+baba则．12．已知关于x的方程3142=+-xmx的解是x=1，则m的值为．13．看图填空：DCBA⑴=BD BC+=AD-；⑶若点B是线段AC的中点，ADAC21=，则=AC BD．14．观察下列图形：45-7-3-13-31842012-2521603-2y-2x-549图①图②图③图④图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y：；图⑤中的数x：．三、计算题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．写出计算过程）15．)3()18(322-÷-⨯-．解：16．⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯1578365120．解：17．()2323238⨯--⨯-．解：18．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯---22012)21(4)5332(1．解：四、解方程（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．写出解题过程） 19．04)3(2=-+x ．解：20．21312=--x x ．解：五、列方程解应用题（本题5分，写出解答过程）21．石景山某校七年级1班为郊区的某校“手拉手”班级捐赠课外图书和光盘共120件．已知捐出的图书数比捐出的光盘数的2倍少15件．求该班捐给“手拉手”班级的图书有多少件？解：六、解答题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）22．当x 为何值时，代数式22)1(2x x --的值比代数式232-+x x 的值大6．解：23．如图，已知OA ⊥OD ，BO 平分∠AOC ，∠AOB ︰∠COD =2︰5．求∠AOB 的度数。

2024北京石景山初二(上)期末数学试卷及答案

石景山初二期末试卷数学学校姓名准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6的算术平方根为（A ）3 （B）（C （D ）2．我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ） 3．若代数式31xx -的值为0，则实数x 的值为（A ）0x =（B ）1x =（C ） 0x >（D ） 1x ≥4．下列说法中，正确的是（A ）“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件（B ）随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件（C ）投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上（D ）“事件可能发生”是指事件发生的机会很多．如图，△ABC 中AB 边上的高线为6．下列变形正确的是（A ）22x x y y +=+（B ）22a b a b a b -=--（C ）112x y x y+=+（D ）836222142a b a b a b =7．在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同.某校初二五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进行下一次摸球试验.每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸出红球共100 次，估计袋中红球与白球数量的比值约为（A ）1:5 （B ）1:6 （C ）1:11 （D ）1:128．关于x 的分式方程351x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（A ）5m >-（B ）5m <- （C ）5m >-且3m ≠-（D ）3m ≠-二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是． 10．在括号内填入适当的整式对分式变形：()2m n n =，变形的依据是．11． ()()11+= .12．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α= °.13．如图，点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，BC =EF ，AB ∥DE ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件，这个条件可以是；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 .（A ）AD （B ）CE （C ）AF （D ）BG BC DEFA GBCEAFD4．国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．15．如图，△ABC中，AB=AC=1，BC．BD平分∠ABC. 则（1）∠C=°；（2）点D到BC的距离为 .16．如图，在等边△ABC中，AB=6，点O在AB上，且AO=4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE=60°.（1）连接DE，则△ODE的形状为；（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为 .三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题6分；24题5分，第25-26每小题6分；第27-28每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17()021-+π．1819．解方程：311323162x x-=--．20．如图，AC，BD交于点O，OA=OD，∠1=∠2.求证：AB = CD.CB21B CDOADCBA21．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题目大意为：“如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在池塘的中央，高出水面的部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到池塘边的C '处，问水深和芦苇长各多少尺？”请根据题意解决问题.22．已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AB >BC .（1）利用尺规作图，作△ABC 中AC 边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：12CBD A ∠=∠.23．已知210a a +-=，求代数式321121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值．24．台球技艺中包含了许多物理、数学的知识.图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E 的阻挡，击球者想通过正面击打主球M ，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F .球的反弹路径类似于光的反射光路.台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD 边上作出撞击点P ,使得 ∠MP A =∠FPD ，并用数学知识进行证明.锦囊：ACB 图3DFEM5．2023年8月29日华为Mate 60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？26．小明根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律.下面是小明的探究过程,请补充完整：（1）具体运算,发现规律.第1个：21222⨯=+;第2个：332233⨯=+;第3个：443344⨯=+;第4个：554455⨯=+;第5个：.……（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：（n为正整数）.（3）证明（2）中的猜想.7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC =BC，D为射线BC上一点（不与点B，C 重合），连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F.（1）如图1，点D在线段CB上，且DB<CD.①请补全图形；②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明.（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系.（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题.图28．在66 的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P 与格点△ABC 给出如下定义：点P 为网格中一点（与点B ，C 不共线），连接P A ，PB ，PC ，若P A 与△PBC 的某条边相等，则称P 为△ABC 的关联点.（1）如图1，在格点1P ，2P ，3P 中，是△ABC 关联点的是；（2）如图2，若点P 为△ABC 的关联点，当点P 是△ABC 内部(不含边界)的格点时，请标出所有满足条件的点P 的位置；（3）如图2，E 是△ABC 的边AC 上一点（不与点A ，C 重合），过点E 作AC 的垂线，与△ABC 的边AB (或BC )交于点F ．若线段EF 上存在△ABC 的两个关联点，求线段AE 的取值范围.图1 图2AC第一学期初二期末答案及评分参考步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。

北京石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学(文)试卷

北京市石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学（文）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．38B．4C．2D．348.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即[]{}5k n k n=+∈Z，0,1,2,3,4k=．给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z=∪∪∪∪；④整数,a b属于同一“类”的充要条件是“[]0a b-∈”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．2C．3D．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 不等式2560x x-+≤的解集为 .10．直线+0x y=被圆22+4+0x x y=截得的弦长为．11．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S的面积为4，则=a；若点SyxP∈),(，则yxz+=2的最大值为 .12．在等比数列{}na中，141=,=42a a-，则公比=q；123++++=na a a aL．13．在ABC∆中，若2,60,a B b=∠=︒=c=．14.给出定义：若11< +22m x m-≤(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}=x m.在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．图1图2A 1BCDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是､2､､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率． 18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面 1//BC A DE ∴面 ……4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B =………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =． …………………6分（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x ''--，解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分（Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x.令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知,2a =2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <, 由②得3lg>-lg 20134n ，解得26.4n <. 即数列{}n b 最多有26项. …………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2012-2013西城区初二上学期期末数学试题答案

北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共28分，第19，20题，每小题5分，第21～23题，每小题6分）19．解： 1)-++＝24+·······················································································3分＝2． ································································································5分20．解：2112()3369m m m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+···············································································3分＝33m m -+． ···································································································4分当9m =时，原式＝931932-=+． ···································································5分21．解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得(1)3(1)(1)(1)x x x x x +--=-+．···································································2分化简，得331x x -+=-． (4)分解得2x =． (5)分检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，∴2x=是原分式方程的解． ········································································6分22．解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． ················································································· 1分∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ·································································5分 ∴EC =FD ． ························································································6分23．解：（1）∵直线y kx b =-+经过点A （5，0）、B （1，4），∴50,4.k b k b +=+=⎧⎨⎩······················································································1分解方程得 1,5.k b=-=⎧⎨⎩ ···········································································2分∴直线AB 的解析式为 5.y x =-+·························································3分（2）∵直线24y x =-与直线AB 相交于点C ,∴解方程组5,2 4.yx y x =-+=-⎧⎨⎩得3,2.x y==⎧⎨⎩∴点C 的坐标为（3，2）． ··································································· 5分（3）x ≥3． ······························································································ 6分四、解答题（本题共12分，第24题5分，第25题7分） 24．（1）已知：在△ABD 中， AC =BC =CD ．求证：90ABD ∠=︒．证明：∵AC=BC ，∴12∠=∠． ∵BC=CD ， ∴34∠=∠．························ 1分在△ABD 中，1234180∠+∠+∠+∠=︒．∴1490∠+∠=︒．即90ABD ∠=︒． ········································· 3分（2）如图，△EFG 为所求作的三角形．······························································································································ 5分25．解：（1）∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y kx =的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a +=.解得4a =-．····················································································1分∴A （－4 ，1）． ∴41k -=．解得 14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-． ················································2分（2）P 1（－8 ，0）或P 2（0 ，2）； ·························································4分阅卷说明：每个结果1分（3）依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m-）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． ·······································5分以下分两种情况：（ⅰ）当m <－4时，BC ＝11(3)42m m --+＝334m --．AH ＝4m --．则12ABC S BC AH ∆=⋅=13(3)(4)24m m ----=23368m m ++．（ⅱ）当m >－4时，BC ＝11(3)24m m++＝34AH ＝4m +．则12ABCS BC AH∆=⋅=13(3)(4)24m m ++=23368m m ++．综上所述，ABC S ∆=2338m m +五、解答题（本题6分）26．证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ． ·································1分 ∵F 为EC 的中点， ∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ． ·······························2分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F . ······ 3分∴3C ∠=∠，4F ∠=∠． ∵M 为BC 的中点 ∴BM ＝CM ．在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C B M C M ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ···································································· 4分 ∴BF ＝CN ．∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝7－x ，BE ＝AB ＋AE ＝4＋7－x ． ∴4＋7－x ＝x ．解得 x ＝5.5．∴CN ＝5.5． ··························································································· 6分北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准 2013.1一、填空题（本题6分）1．（1）20； ············································································································ 3分（2）4m n =．····································································································· 3分二、解答题（本题共14分，第2题8分，第3题6分） 2．解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）．∴OA =OB ． ·························································································· 1分 ∴BAO ABO ∠=∠ 在△AOB 中，90AOB ∠=︒．∴45BAOABO ∠=∠=︒． ···································································· 2分（2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD∠=∠=︒．∴DP ⊥AD 于D ．AMDCBNEF35 41 2由（1）可得45BAO ∠=︒．∴1BAO ∠=∠．又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ． ······················································································· 3分 ∴90AGPPGF D ∠=∠=∠=︒．∴445BAO ∠=∠=︒． ∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒．即390G P Q ∠+∠=︒．又∵PQ ⊥PF ， ∴290G PQ ∠+∠=︒．∴23∠=∠． ··················· 4分在△PGF 和△PDQ 中，,,23,P G F D P G P D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ．···························································································5分（3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ．∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，,12,,P B P E P H P D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）．∴BH =ED ． ····························· 6分 ∴34∠=∠． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒．∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒.∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴．∴90DAO HBO ∠=∠=︒．由（1）可得 OA =OB ．在△DAO 和△HBO 中，x图2,,,AD BH D AO H BO O A O B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）．∴OD =OH ，∠5=∠6． ···································································· 7分 ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690DOH DOB ∠=∠+∠=︒. ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ， ∴OP ⊥DP ，12745DOH ∠=∠=︒.∴7ODP∠=∠．∴OP =PD ． ······················································································ 8分3．（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，∴60ABC∠=︒, BC =12AB ．∵BD 平分∠ABC ，∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB ．∵DE ⊥AB 于点E ． ∴AE =BE =12AB ．∴BC =BE . ······················································································ 1分 ∴△BCE 是等边三角形. ································································ 2分（2）结论：AD = DG ＋DM ．······························································································································3分（3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：延长BD 至H ，使得DH ＝DN . ···································································4分由（1）得DA =DB ，30A∠=︒．ADGC BME图2B 图1∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒． ∴4560∠=∠=︒．∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H∠=∠=︒．∴2H ∠=∠． ∵60BNG ∠=︒, ∴767BNG ∠+∠=∠+∠.即DNG HNB ∠=∠.在△DNG 和△HNB 中，,,2,D N H N D N G H N B H ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB .∵HB =HD ＋DB =ND ＋AD , ∴DG = ND ＋AD .∴AD = DG －ND . ························································································· 6分图3G。

北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷

27．（5 分）等边△ABC 的边长为 4，D 是射线 BC 上任一点，线段 AD 绕点 D 顺
时针旋转 60°得到线段 DE，连接 CE．
（1）当点 D 是 BC 的中点时，如图 1，判断线段 BD 与 CE 的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；
（2）当点 D 是 BC 边上任一点时，如图 2，请用等式表示线段 AB，CE，CD 之间的数量关系，并证明；
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7．（3 分）化简
的结果是（）
A．x+1
B．
C．x﹣1
D．
8．（3 分）如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD．若 AD=14，则 BC 的长为（）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（3 分）如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠C=65°．将其折叠，如图 2，
使点 A 与点 B 重合，折痕为 ED，点 E，D 分别在 AB，AC 上，那么∠DBC 的度
数为（）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
10．（3 分）如图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的．若 AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边
（3）当点 D 是 BC 延长线上一点且 CD=1 时，如图 3，求线段 CE 的长．
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北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．A； 8．D； 9．B； 10．A；二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．3； 12．； 13．AC=DF； 14．﹣m3； 15．； 16．；

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理)试题

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4开始输出y输入x否是>2x2=-1y x 2=log y x6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，PA BC O•D正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 3231则圆O 的半径等于． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．12．在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方；（Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）ABCDE图1 图2A 1BCDE已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.题号 9 10111213 14 答案2；6611222n ；---3329①③由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -.所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则44sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅n ．所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+ …………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33． …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分 A 1BCD Exzy（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X 分布列为：X 0 1 2 3 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--，解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x-''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0af e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点；当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=，因为32e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。

初二第一学期石景山数学期末考试题及参考复习资料

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷初二数学一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项前的字母填在题后括号内）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．21B ．17C．75D．35a 2．若分式392--x x 的值是零，则x的值是（）A ．0=x B ．3±=x C ．3-=x D ．3=x 3．下列计算结果正确的是（）A ==B ．3=D = 4．当b ＜0时，ab 2-的化简结果是（）A ．a ab B ．a a b -C ．a a b --D ．a ab -CBA5．下列亚运会会徽中的图案，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列判断中错误．．的是（）A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等7．已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为（）A.11B.15C. 18D.15或188.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45° D．30°9．“a是实数, ||0a≥”这一事件是（）A.必然事件B.不确定事件C.不可能事件D.随机事件10.小明的相册里放了大小相同的照片共32张，其中与同学合影8张、与父母合影10张、个人照片14张，他随机地从相册里抽出1张，抽出的恰好是与同学合影的概率是（）A.21B.31C.41D.81二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点共有个．12．已知，1,2,b aab a ba b=-+=+则式子＝．A B53-第14题图第15题图13．若关于x 的分式方程131m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是． 14．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE=°．15．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连结BD ，则BD 的长为．三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 16．计算：+．解： 17．x x x xx 182321232+-. 解：18．解方程：2111x x x x++=+. 解：19.先化简，再求值：)252(+--x x ÷423+-x x ，其中2=xE B AD E C B A解：四、画图题（本题满分6分）20.已知：图①、图②均为76 的正方形网格，点A B C 、、在格点(小正方形的顶点)上．请你分别在图①、图②中确定格点D ，画出一个以A B C D 、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形，并画出对称轴.五、列方程解应用题（本题满分6分）21．某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书300本．已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多20%．求两个班各有多少人？解：六、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）22．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），点F，图①图②E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ，请你添加一个条件，使△CDF ≌△BDE (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．解：（1）你添加的条件是：；（2）证明：23．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ 3 ．点D 为BC 边上一点，∠AD C ＝60°，且2BD=3AD ，求AB 的长．解：24．已知：如图，有一块四边形地ABCD ，90ADC ∠=︒，8AD m =，6CD m =，26AB m =，24BC m =，求这块地的面积S ．解：七、探究题（本题满分5分，请依据自己的能力在下面两题中选择一．．．题．作答，注意都作不多记分．．．．．．） ACBDFEDCBACBA25．已知：四边形ABED 中，AD ⊥DE 、BE ⊥DE .⑴如图1，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD=2BE ．判断△ABC 的形状：（不必说明理由）；⑵保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；⑶保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．解：25′．在△ABC 中,1AB AC ==,BC 边上有2010个不同的点122010,,P P P ,记()21,2,2010i i i i m AP BP PC i =+⋅=,求122010m m m ++的值．石景山区2010-2011学年度第一学期期末考试试卷A B C D E图1 MN A B C D E 图2 A B C DE M N 图3CBA初二数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）11．4； 12．6-； 13．2m >-且1m ≠； 14．20； 15．三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）16．解：原式﹦1+3分﹦1+ ………………………………………………5分 17．解：原式=x x x x x x 23232+-………………………………………………3分 =x x 2………………………………………………5分 18．解：2(1)(21)(1)x x x x x ++=++………………………………………………2分解这个整式方程得：12x =-………………………………………………4分经检验：12x =-是原方程的解．………………………………………………5分∴原方程的解为12x =-．19．解：原式2542+--=x x ÷)2(23+-x x =2)3)(3(+-+x x x ⨯3)2(2-+x x =)3(2+x …………3分当2=x 时，原式=10 ………………………………………………5分四、画图题（本题满分6分）202分，对称轴各1分．五、列方程解应用题（本题满分6分） 21．解：设2班有x 人…………………………………………………1分则根据题意得：xx 3002%)201(300=++ (3)分解得x =25…………………………………………………………4分经检验x =25是原方程的根…………………………………………………5分∴120%x =30 答：1班有30人，2班有25人． …………………………………………6分（注：不检验、不作答各扣1分）六、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 22．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可 ………………………………………………2分（2）以DC BD =为例进行证明：∵CF ∥BE ，∴∠FCD ﹦∠EBD ． ………………………3分又∵BD DC =， …………………………4分∠FDC ﹦∠EDB ， ………………………5分∴△CDF ≌△BDE ．…………………………………分23．解：在Rt △ADC 中，∠AD C ＝60°∴∠DA C ＝30°，AD=2CD ………………………………………………1分 ∵222AC CD AD =-…………………………2分 ∴3422=-CD CD∴12=CD ∴1=CD （舍去负值） ……………………………………………4分 ∴2=AD ，3=BD ……………………………………………5分在Rt △ABC 中1943222=+=+=BC AC AB ………………………………6分24．解：连结AC (1)分A CB D F EC 图① C 图②D在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222AC AD DC =+2286=+，所以10AC =． (2)分在ABC ∆中，由22222624100AB BC -=-=，………………………3分即222AC BC AB +=．所以ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒．……………………………4分所以()2111024869622ABC ADCS S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=…………6分所以这块地的面积为296m ．七、探究题（本题满分5分）25．解(1) 等腰直角三角形………………………………………………1分 (2) DE =AD +BE ；………………………………………………2分证明：如图2，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒，∴∠CAD =∠2又∵AC =CB ，∠ADC =∠CEB =90︒， ∴Rt △ADC ≅Rt △CEB∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC +CE =BE +AD ，………………………………………3分即DE =AD +BE (3)DE =BE -AD …………………………………………………4分如图3，Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90︒，∠1+∠2=90︒，∴∠CAD =∠2，又∵∠ADC =∠CEB =90︒，AC =CB ，∴Rt △ADC ≅Rt △CEB ，∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC -CE =BE -AD ，……………………………………………5分DCB A即DE =BE -AD25′．解：如图,作AD BC ⊥于D ,……………………1分因为1AB AC ==,则BD CD =．…………………2分由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+ 所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC-=-=-+=⋅……………3分所以2221AP BP PC AB +⋅==．…………………4分因此2122010120102010m m m ++=⨯=．………5分1ABC DE图12M NABCDE 图212ABC DEM N 图31 2。