第7章灰色预测方法 (2)
灰色预测法
灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。
灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。
灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。
样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。
3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-==如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n ee-++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换(0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈=3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+其中(1)(0)1()()(1,2,...,)ki x k x i k n ===∑ 。
灰色预测法
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
第七章灰色系统综合评价方法
（ ）
于是，灰色聚类系数（即加权合成值）为：
（ ）
第五步：进行灰色系统聚类评价。
记 ，则与模糊聚类评价类似，可以根据“最大隶属原则”进行聚类。若
则该单位被判别为“c灰类”。但当“最大隶属原则”失效时，采用点值进行灰类识别更加合理。
第六步：若需要进行综合评价排序，则将B转化为点值y，即
式中，tj为第j灰类的“灰水平”赋值。根据每个单位的y值大小就可以进行综合评价排序，其赋值原则与模糊综合评价类似。
第四步：计算聚类系数bj，确定聚类向量。
第j类的聚类系数定义为：
（ ）
即为第j灰类各指标的白化权函数值的加权算术平均。
若将各指标在各灰类之下的白化权函数值用矩阵表示，记为R，即
灰色预测法
解答： 以 X 1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
1,0.9475,0.9235,0.9138 X1 1,1.063,1.1227,1.1483 X2 1,.097,1.0294,1.0294 X3 1,1.0149,0.805 X m1 i
i 1
k
•对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多， 累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序 列变为非随机序列。
•一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲 线逼近。
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原 为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X
1
k X k X k 1
0 0
三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
设
ˆ 0 k X ˆ 0 1, X ˆ 0 2,..., X ˆ 0 n X
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X 2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
农业
商业 试求关联度。
运输业 X 3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
X 4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
X4 参考序列分别为 X 1 , ，被比较序列为 X 2 , X 3 ,,
第二步：求序列差
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
4 0,0.0674,0.1185,0.2148
第三步：求两极差
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
灰色预测模型
用差分代替微分，又因等间隔取样，t(t1)t1,故得
x(1 )(2 ) x(1 )(2 )x(1 )(2 ) x(1 )(1 )x(0 )(2 ), t
类似地有
x(1)(3)x(0)(3),..., x(1)(N )x(0)(N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
A
30
7.3 销售额预测
（2）建立矩阵：B, y
B1212[[xx((11))((32))xx((11))((21))]]
1 4.513 1 7.8205
1 1
1122[[xx((11))((54))xx((11))((43))]]
1 1
11.184 1 14.7185 1
y=[x(0)(2), x(0)(3), x(0)(4),x(0)(5)]T
A
19
7.2 灰色系统的模型
1[x(i)(i)x(i)(i1)],(i2,3,...,N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xx((00)M )((32))1212[[xx((11))((32))M xx((11))((21))]] x(0)(N) 12[x(1)(N)x(1)(N1)]
1 11ua. 1
y BU
方程组(7.6)’的最小二乘估计为
(7.6)’
Uˆ uaˆˆ(BTB)1BTy
(7.7)
A
21
7.2 灰色系统的模型
把估计值 aˆ 与 uˆ 代入（7.4）式得时间响应方程
xˆ(1)(k1)x(1)(1)u aˆˆea ˆku a ˆˆ
(7.8)
当 k1,2,L,N1时 ， 由(7.8)式算得的 xˆ(1)(k 1) 是拟合值；
第07章_灰色理论与安全系统
第七章灰色理论与安全系统本章主要内容第一节灰色理论概述第二节安全系统的灰色特征第三节灰色理论和安全系统第七章灰色理论与安全系统第一节灰色理论概述一、灰含义和灰现象控制论学者艾什比将内部信息缺乏的客体称为“黑箱”,据此，人们常用颜色的深浅表示信息的多少。
“黑”指信息缺乏，“白”指信息完全，“灰”则指信息部分已知、部分未知，即信息不完全。
这是“灰”的基本含义。
在不同场合、不同情况下,“灰”可以转化和引申为不同的含义：从表象看，白是明朗，黑是暗，灰是朦胧；从过程看，白是新，黑是旧，灰是新旧交替；从性质看，白是纯，黑是不纯，灰是多种成分；从结果看，白是唯一的解，黑是无数的解，灰是非唯一的解；从态度看，白是肯定，黑是否定，灰是扬弃；从方法看，白是严厉，黑是放纵，灰是宽容。
二、三大系统客观世界是物质的世界，也是信息的世界。
但在工程技术、社会、经济、农业、环境、生态、军事等领域，经常会出现信息不完全的情况，如系统因素或参数不完全明确，因素关系不完全清楚，系统结构不完全知道，系统的作用原理不完全明了等。
1.白色系统信息完全明确的系统为白色系统。
一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售等信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利、库存，可判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统，不过这是一个没有物理原型的白色系统。
一个加有电压的电阻是一个系统，当电阻值给定后，电压和电流之间就有明确的关系，这也是一个白色系统，而且是一个具有物理原型的白色系统。
2.黑色系统信息完全不明确的系统是黑色系统。
如遥远的某个星球，也可看作是一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这是一个黑色系统。
3.灰色系统信息部分明确、部分不明确的系统为灰色系统。
1)物理原型灰色系统人体是一个系统,人体的一些外部参数如身高、体重、年龄等,一些内部参数如血压、脉搏、体温等是已知的，而其他一些参数，如人体穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，物质信息的传递方式等尚未知道透彻，人体科学中还有许多不解之谜，因此人体是一个灰色系统，是一个具有物理原型的灰色系统。
灰度预测公式(2)
灰色预测模型原理灰色理论的微分方程模型称为GM模型，G表示Gray,M表示Model，GM(1,N)表示一阶，N个变量的微分方程模型。
G（1,1）是灰色预测的基础。
其步骤是：首先给定测定数据列x(0)= x01,x02,….x0(N)(1) 一次累加得x(1)= x11,x12,….x1(N)(2)其中x1k=x1i ,(k=1,2…n)ki=1(3)其次x1满足一阶线性方程：d x1dt+ax1=b（4）然后，再计算a，b根据灰微分方程：x1k=−12x1k+x1k−1 a+b（5）令y=x02x03⋮x0NB=−12x12+x111−12x13+x121⋮1−12x1N+x1N−11U=ab（6）矩阵形式为：y=BU（7）计算最小二乘估计为：U=ab=(B T B)−1B T y（8）把a，b带入原方程得时间响应方程：x1k+1=x11−ab e−a k+ab（9）在经过累减运算可得原始数列x0的预测模型为：x0k+1=x1k+1−x1(k),(k=1,2,…)（10）运用灰色预测模型，预测山东省15年内的供水总量：山东省历年供水量如下表原始数据列x(0)计算一次累加数据列x(1)，计算结果见下表建立矩阵得y=x02x03⋮x0N=212.16211.79220.54225.99B=−303.501−515.471−731.641−954.901再运用Matlab计算最小二乘估计为：U=ab =(B T B)−1B T y=−0.045836.1284把a，b带入原方程得时间响应方程得x1t+1=1003.35e0.0458t−788.829把数据代入即可预测出十五年内的供水总量。
山东省其他用水量也用这种方法计算就可求得用水量的规律，再预测山东省十五年内用水状况。
汇总如下表灰色预测模型优点：1、模型可用于近期、短期、中期的预测对近十五年的供水预测相符，且预测精度较高。
2、灰色预测模型不需要掌握大量的数据，大大减少了数据寻找中的工作量。
灰色预测法PPT
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
灰色预测法原理及解题步骤
灰色预测法原理及解题步骤一、类型数列预测——某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测灾变预测——对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测系统预测——对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测拓扑预测——将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
注意：使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是：通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。
在这里利用灰色预测模型对（）进行预测。
通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。
根据上述的特点可采用灰色预测模型。
二、灰色预测具体步骤1》检验处理数据，级比必须满足A、如果不全属于，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平移变换），使其落入区域中。
B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型建立GM（1，1）模型（1）一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度）（2）求均值数列（3）建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
（4）求的参数估计a、b（最小二乘法）（5）给出累加时间数列预测模型（6）做差得到原始预测值三、检验预测值（1）残差检验（2）级比偏差值检验1》参考数据计算出级比，再由发展系数a，求出相应级比偏差若ρ（k）<0.2,则达到一般要求;若ρ（k）<0.1,则效果好程序实现：采用EXCEl的方法实现灰色预测。
2013-2-2 于北华大学电子宋方雷。
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。
否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。
4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。
3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。
时序预测中的灰色模型介绍(Ⅱ)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种在实际生活和工作中非常常见的问题。
许多领域，如气象、经济、交通等都需要进行时序数据的预测，以便做出相应的决策。
其中，灰色模型是一种常用的预测方法，它能够对具有短时、小样本、非线性和不确定性的时序数据进行较为准确的预测。
1. 灰色模型的基本原理灰色模型是由中国科学家陈纳新教授于1982年提出的，它是一种基于少量数据，将不确定性和不完备性信息转化为可用信息的数学模型。
灰色系统理论是从不确定性的角度出发，描述了不确定性系统的非随机性特征。
灰色模型的基本原理是将时序数据进行建模，并通过建模得到的规律进行预测。
2. 灰色模型的应用范围灰色模型广泛应用于各种领域的时序数据预测中，如经济学、环境科学、医学、工程技术等。
在经济学领域，灰色模型被用于短期经济预测、股票市场预测等。
在环境科学领域，灰色模型被用于气象预测、气候变化预测等。
在医学领域，灰色模型被用于疾病传播预测、流行病学预测等。
在工程技术领域，灰色模型被用于负荷预测、能耗预测等。
3. 灰色模型的优势灰色模型在应对短时、小样本、不确定性等问题时，具有很大的优势。
首先，灰色模型能够较好地处理非线性问题，因为它不要求时序数据服从某种特定的分布。
其次，灰色模型对于不完备信息的处理能力较强，它能够通过建模得到的规律，对缺失信息进行补充，从而提高预测的准确性。
此外，灰色模型的计算简单，不需要过多的参数调整，因此适用于处理小样本数据。
4. 灰色模型的不足虽然灰色模型在处理短时、小样本、不确定性等问题上具有一定优势，但也存在一些不足之处。
首先，灰色模型对数据的要求较高，需要较为连续的时序数据，且对数据的质量要求较高。
其次，灰色模型在处理长期预测问题时，效果不如传统的时间序列分析方法。
另外，灰色模型的理论研究相对较少，其应用也相对较为局限。
5. 灰色模型的改进与发展为了克服灰色模型的不足，研究者们提出了许多改进和扩展的方法。
例如，改进了灰色模型的建模方法，提高了对不完备信息的处理能力；引入了混沌理论、粒子群算法等方法，提高了灰色模型的预测精度；将灰色模型与其他预测方法相结合，形成了集成预测模型等。
灰色预测模型原理.概要
对原始数据列依次作前后相邻的两个数据相减的运算过程，记为IAGO（ Inverse Accumulated Generating Operation ）。累减生成可将累加生成还原成 非生成数列。
设x
(1)
为原始序列,x
(1)
[x
(1)
(1), x
(1)
(2),
,x
(1)
( n)], 令
1）累加生成 通过数列各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列，记为AGO（ Accmulating Generation Operator ）。
设x
(0)
为原始序列,x
(0)
[x
(0)
(1), x
(0)
(2),
,x
(0)
( n )], 令
k (0) (1) x ( k ) x ( i ); k 1,2, , n i 1
3）能处理贫信息系统。
二、概念明晰——灰色系统理论
1、创立与发展
我国学者邓聚龙教授于19世纪80年代初创立并发展，把一般系统论，信息论 和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，是结合运用 数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法。
20多年来，引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论已成功应用到工 业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大 量实际问题。
灰色预测模型原理
一、概念明晰——灰色系统
1、定义
灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的 不确定性系统。
两个极端：
1）黑色系统：信息完全未确定的系统。 2）白色系统：信息完全确定的系统 2、特点 1）用灰色数学处理不确定量，使之量化。
第七章 灰色预测法
Yn ( X ( 0) (2), X ( 0) (3), X ( 0) (4),, 通最小二乘法求出 模型中两个参数 , ˆ ( B T B) 1 B T Yn a
5.将求出的参数代入微分 方程并求解 可得如下对一次累加序 列的预测模型:
(3), X
(1)
( 0)
( N )}
2.对原始序列作一次累加 生成X (1) X
(1)
{ X (1), X (2),, X (n)}
(1) (1) (1) k (0)
其中: X (k ) X
i 1
(i ) X (k 1) X
(1)
(0)
(k )
X (1) X
(1)
ç3 0.739411 0.632479 0.726354 1 0.789305 0.682872 0.630645
18
3.求关联度
1 n r0 k 0 k (t ) n t 1
例见Excel操作：
19
例5:求联度：
1 2 3 4 5 6 7 Ø Á ¹ ª ¶ È
ç1 0.475806 0.450157 0.621756 0.746231 0.826601 0.478729 0.335606 0.562126
试建立GM(1,1)模型并进行预测.
29
第一步:作一次累加生成(AGO):
设一次累加生成序列 X (1) X (1) { X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3), X (1) (4), X (1) (5)} 其中: X (1) (k ) X ( 0) (i ) X (1) (k 1) X ( 0) (k )
i 1 k
第七章灰色预测
• 部分信尽知可信息能息发的挥作现用有。已
已知，部分
信息未知
• 灰色系统
•白
• 信息完 全已知
• 白色系 统
13
2020年7月23日星期四 greytheory@
灰色预测第一篇论文
邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用[J], 大自然探索,1984年第3期,37-43.
2 灰色预测基 本思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
24
2020年7月23日星期四 greytheory@
➢灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量,也就是通过数据到数据 的”映射”,时间序列到时间序列的”映射”来处理和发现规律, 称之为灰色 序列生成；
➢累加生成是一种有• 效邓的的聚优弱龙化化数.信累据息加序处生列理随成机问的性题灰的[指J方].数法华.律中—工灰学色院控学制报系,19统87.
• 建立系统模型，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、 优化五个步骤，故称为五步建模。
语言模型 网络模型 量化模型 动态模型
优化模型
开发思想，形 成概念，通过 定性分析、研 究，明确研究 的方向、目标 、途径、措施 ，并将结果用 准确简练的语 言加以表达。
对语言模型 中的因素及 各因素之间 的关系进行 剖析，找出 影响事物发 展的前因、 后果，并将 这种因果关 系用框图表 示。
• 公理2 解的非唯一性原理
•
信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色
系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。
• 公理3 最少信息原理
•
灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信
息”。
10
2020年7月23日星期四 greytheory@
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第7章 灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。
灰数有以下几类： 1． 仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，其中a 为灰数⊗的下确界，它是一个确定的数，我们称[]∞,a 为⊗的取数域，简称⊗的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
2． 仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，其中a 为灰数⊗的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3． 区间灰数既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。
当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。
为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
1．信息型灰数，指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数，如：预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗；预计西安地区5月份最高气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。
这些都是信息型灰数。
由于暂时缺乏信息，不能肯定某数的确切取值，而到一定的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。
2．概念型灰数，也称意愿型灰数。
指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。
如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；某工厂废品率为1%，希望大幅度降低，当然越小越好，[]01.0,0∈⊗。
这些都是概念型灰数。
3．层次型灰数，由层次的改变形成的灰数。
有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。
例如，一个人的身高，以厘米度量是白的，若精确到万分之一毫米就成灰的了。
7.1.2 灰数白化与灰度有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白化比较容易，我们可以其基本值为主要白化值。
以a 为基本值的灰数可记为()a a a δ+=⊗或()()+-∈⊗,,a a ，其中a δ为扰动灰元，此灰数的白化值为()a a =⊗~。
如今年的科研经费在5万元左右，可表示为()δ+=⊗5000050000，或()()+-∈⊗,50000,50000，它的白化值为50000。
对于一般的区间灰数[]b a ,∈⊗，我们将白化值⊗~取为：b a )1(~αα-+=⊗，[]1,0∈α定义7.1 形如b a )1(~αα-+=⊗，[]1,0∈α的白化称为等权白化。
定义7.2 在等权白化中，取21=α而得到的白化值称为等权均值白化。
当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。
定义7.3 设区间灰数[]b a ,1∈⊗，[]d c ,2∈⊗，b a )1(~1αα-+=⊗，[]1,0∈α，d c )1(~2ββ-+=⊗，[]1,0∈β，当βα=时，称1⊗与2⊗取数一致，当βα≠时，称1⊗与2⊗取数非一致。
在灰数的分布信息已知时，往往采取非等权白化。
例如某人2000年的年龄可能是40岁到60岁，[]60,40∈⊗是个灰数。
根据了解，此人受初、中级教育共12年，并且是在60年代中期考入大学的，故此人的年龄到2000年为58岁左右的可能性较大，或者说在56岁到60岁的可能性较大。
这样的灰数，如果再作等权白化，显然是不合理的。
为此，我们用白化权函数来描述一个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程度。
对概念型灰数中表示意愿的灰数，其白化权函数一般设计为单调增函数。
一般来说，一个灰数的白化权函数是研究者根据已知信息设计的，没有固定的程式。
函数曲线的起点和终点一般应有其含义。
如在外贸谈判中，就有一个由灰变白的过程。
开始谈判时，甲方说我的出口额至少要5亿元，乙方说我的进口额不大于3亿。
则成交额这一灰数将在3亿与5亿间取值，其白化权函数可将起点定为3亿，终点定为5亿。
灰度即为灰数的测度。
灰数的灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为特征的未知程度。
在实际应用中，我们会遇到大量的白化权函数未知的灰数，例如由一般灰色系统之行为特征预测值构成的灰数，就难以给出其白化权函数。
我们认为，灰数的灰度主要与相应定义信息域的长度及其基本值有关。
如果考虑一个4000左右的灰数，给出其估计值的两个灰数[]4002,39981∈⊗和[]4100,39002∈⊗，显然1⊗比2⊗更有价值，亦即1⊗比2⊗灰度小，若再考虑一个基本值为4的灰数，给出灰数[]6,23∈⊗，虽然1⊗与3⊗的长度都是4，但1⊗比3⊗的灰度小是显而易见的。
7.2 灰色预测的概念7.2.1 灰色系统及灰色预测的概念1． 灰色系统基本概念灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。
比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。
信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。
一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。
显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
2. 灰色系统的特点灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。
在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。
他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。
随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。
模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。
灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。
不确定量 量化（用确定量的方法研究）1、概率论与数理统计；2、模糊数学；3、灰色数学（灰色系统理论）（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。
灰色系统视不确定量为灰色量。
提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。
灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。