圆九年级一对一第六次辅导资料

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一对一讲义

圆梦教育一对一讲义教师:学生:日期:星期:时段:课题九年级上册数学第一章复习熟练掌握并运用有关的几何证明定理及推理，能够做到举一反三学习目标与分析学习重点等腰三角形性质；直角三角形性质；线段的垂直平分线及其性质学习方法先回顾所学定理及推理，再结合相关题目加深理解与记忆，总结做题规律学习内容与过程教师分析与批改第一节：你能证明吗重要定理、推理：1、三角形全等条件：SSS SAS ASA AAS2、定理：等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）3、推论：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合。

4、规律：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰的中线相等，两腰上的高相等。

5、定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）6、规律：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.。

两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.7、反证法步骤：1）假设: 先假设命题的结论不成立;2）归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3）结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.8、定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

9、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

对应练习题：1、由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________；2、如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________；3、△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB = 4，则AB =_________，BC =_________；4、若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（）（A ） α＜45° （B ） α＜90° （C ） 0°＜α＜90°（D ） 90°＜α＜180°5、△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线，延长BA 到E 使DE =DC ，连结EC ，若∠E =51°，则∠B 等于（）（A ）60°（B ）52°（C ）51°（D ）78°6、如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B ；7、如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF ；图1D CB A 图3E D CB A 图5F ED C B A第二节：直角三角形重要定理、推理：1、定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计

鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计一. 教材分析鲁教版数学九年级下册第五章《圆》是整个初中数学的重要内容，主要介绍了圆的定义、性质、圆的度量、弧度制、圆的方程等基本知识。

本章内容在学生的数学知识体系中占有重要地位，为学生进一步学习高中数学和从事相关领域的工作奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认知和推理能力有一定的提高。

但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还存在一定的困惑，特别是圆的方程和弧度制的理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解和掌握圆的相关知识。

三. 教学目标1.了解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程和一般方程。

2.理解弧度制的概念，熟练进行角度与弧度的互换。

3.能够运用圆的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的标准方程和一般方程的推导3.弧度制的理解和应用4.圆的方程在实际问题中的应用五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究和解决问题。

2.利用多媒体和实物模型，直观展示圆的性质和方程。

3.采用合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。

4.注重学生的个体差异，给予学生个性化的指导。

六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的相关模型和教具3.教学课件和教案4.练习题和测试题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的圆形物体，引导学生关注圆的形状和特点。

提问：你们对这些圆形物体有什么认识？什么是圆？2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，引导学生通过观察和思考，总结圆的特点。

展示圆的标准方程和一般方程，解释弧度制的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用圆的知识解决实际问题。

例如，计算圆的周长和面积，将角度转换为弧度等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）呈现一些有关圆的练习题，让学生独立完成。

中考一轮2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义(全册)

2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义（全册）学员编号：12345678 年级：九年级课时数：3学员姓名： xxx 辅导科目：数学学科教师：授课类型一对一教学目标掌握函数的概念、性质、图象、应用星级★★★授课日期及时段 201x年月______日_______---______数形结合思想“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在初中数学学习中占重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以形助数”“以数助形”的角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。

例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．典例：已知反比例函数y＝3x(x>0)的图象经过点(m，y1)、(m＋1，ｙ2)、(m＋2，y3)，则下列关于y1＋y3与2y2的大小关系正确的是( )(A)y1＋y3 >2y2(B)y1＋y3 < 2y2 (C)y1＋y3＝2y2(D)不能确定法一：特殊值法法二：做差法法三：数形结合课前检测一轮复习3------函数的概念、性质、图象、应用知识梳理一、平面直角坐标系1·平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限为象限。

注意：（1）坐标轴上的点不属于任何一个象限。

（2）建立的坐标系，可以选择适当的参照点为原点，在确定x轴、y轴的正方向；（3）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质

例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常见图形
圆中常用辅助线：
遇到弦时
有作垂直于弦的半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.

九年级圆全章辅导讲义

九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心外心的理解针对性练习一、选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图（第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥．（1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

圆的面积讲义

一对一教师辅导讲义学员编号：年级：六课时次数（日期）：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题六上第一单元《圆》第三课时——圆的面积授课时间：备课时间：教学目标1、复习圆的面积的相关含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。

2、熟练掌握圆和圆环面积的计算公式，能用圆的面积计算公式解决实际问题。

3、经历运用圆的有关知识计算所走弯道距离的过程，了解“跑道的弯道的部分，外圈比内圈要长”。

教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业）知识点巩固1、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

2．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。

圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。

3．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者S=π（d÷2）²或者S=π（C÷π÷2）²4．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

5．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。

（其中R＝r＋环的宽度．）7．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。

半圆的周长公式：Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r圆周长的一半=πr8．半圆面积＝圆的面积÷2公式为：Ｓ＝πｒ²÷29．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。

10、25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小圆的面积公式推导1、半圆是（）图形，它有（）对称轴。

(word完整版)初三数学圆的经典讲义

(w o r d完整版)初三数学圆的经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：23考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

初三数学培优辅导资料(6)(可编辑修改word版)

初三数学培优辅导资料（六）1．如图，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止。

设CD 的长为x，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y，则y 与x 之间的函数的图象大致是( )2、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别（为﹣10，）（，30，）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0）∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M，N（点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数的图象是（）A B C D4、如图，抛物线y =ax 2-x -3与x 轴正半轴交于点A（3，0）2.以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC，延长CB 交抛物线于点D，再以BD 为边向上作正方形BDEF,则点E 的坐标是.5．如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……，P n（x n，y n）在函数y= 9 （x＞0）的图象上，x△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3，……，△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，……，A n-1A n，都在x 轴上，则y1+y2 = ．y1 + y2 + … + y n = ．第15 题6、如图，将二次函数y=x2﹣3 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，求b的取值范围。

北师大版九年级下册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

九年级圆基础知识点圆讲义

一对一授课教案一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O⊙”,读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：1直径是弦,是圆中最长的弦; 2半圆是弧,弧是半圆; 3等圆是半径相等的圆;4等弧是弧长相等的弧; 5半径相等的两个半圆是等弧; 6等弧的长度相等;2．P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 4．以已知点O 为圆心,已知线段a 为半径作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个5、如下图,1若点O 为⊙O 的圆心,则线段__________是圆O 的半径；线段________是圆O 的弦,其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． 2若∠A =40°,则∠ABO =______,∠C =______,∠ABC =______．5．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,则这圆的半径是 cm ． 6．圆上各点到圆心的距离都等于 ,到圆心的距离等于半径的点都在． 7．如图,点C 在以AB 为直径的半圆上,∠BAC=20°,∠BOC 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°8、如图,在⊙O 中,弦AB=8cm,OC ⊥AB 于C,OC=3cm,求⊙O 的半径长．9．如图1,如果AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,•错误的是．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADB ACEDOBAOMBACDP O BACED O BA CEDOF 51 2 3 410．如图2,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是A ．4B ．6C ．7D ．811．如图3,在⊙O 中,P 是弦AB 的中点,CD 是过点P 的直径,•则下列结论中不正确的是A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD12．如图4,AB 为⊙O 直径,E 是BC 中点,OE 交BC 于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____．13．P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为5cm,则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14、深圳南山区,3分如图1－3－l,在⊙O 中,已知∠A CB ＝∠CDB ＝60○,AC ＝3,则△ABC 的周长是____________.15．如果两个圆心角相等,那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对16、大连,3分如图1－3－7,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°则∠BOC 的大小是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○三、综合题1、如图,⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD 长．BACE DO3、已知：如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB ,CD 的延长线交于E ,若AB =2DE ,∠E =18°,求∠C 及∠AOC 的度数．板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ,点P 到圆心O 的距离为d ,则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <. 位置关系图形定义性质及判定点在圆外 Pr O点在圆的外部d r >⇔点P 在O ⊙的外部.点在圆上Pr O点在圆周上d r =⇔点P 在O ⊙的圆周上.点在圆内Pr O点在圆的内部d r <⇔点P 在O ⊙的内部.二、确定圆的条件 1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心定点,确定圆的位置；②半径定长,确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时,远才能确定． 2. 过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A 的圆,这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A B 、的圆,这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时,过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时,圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点,而这个交点O 是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”．板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点. d r >⇔直线l 与O ⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点. d r =⇔直线l 与O ⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线.d r <⇔直线l 与O ⊙相交从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定 1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形内切圆 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形． 1、如图,ABC ∆中,AB AC =,O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D ;求证：AC 是O 的切线;OD CBA2、如图,已知AB 是O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线AD OC ∥,若2OA =且6AD OC +=,则CD = ;直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数2 1圆心到直线的距离d 与半径r 的关系d r <d r =d r >公共点名称交点切点无直线名称割线切线无CODBA3、如图⊿ABC 中∠A ＝90°,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,E 为AC 边中点,求证：DE 是⊙O 的切线;8 如图,在ABC △中90ACB ∠=,D 是AB 的中点,以DC 为直径的O 交ABC △的三边,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ,且ME =:2:5MD CO =．1求证：GEF A ∠=∠． 2求O 的直径CD 的长．A。

人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

九年级第6次数学辅导课(4.3)

九年级第6次晚辅（4.3）1．（3分）如图，在平面直角坐标系，一次函数y1＝kx+b与的函数图象交于A（﹣2，a）和B（1，b）两点，当y1＜y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2或x＞1B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞12．（3分）下列命题中，假命题是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．三点可以确定一个圆C．全等三角形的对应边上中线相等D．正n边形外角和为360°3．（3分）数形结合解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较+3与的大小，以下数形结合正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝7，tan∠BAD＝，点O为对角线AC，BD交点，点E为CD延长线上一动点，连接OE交AD于点F，当△AOD∽△OFD时，求DE的长度为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝10，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是（）A．B．C．D．6．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为：aθb＝，例如：1θ2＝，则xθ（﹣2）＝﹣2的解是．7．（3分）如图，AC＝2AB＝6，∠ABC＝90°，反比例函数y＝（k＞0，x＞0），在直角坐标系中A点坐标为（4，），若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k的取值范围为．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，DC＝1，AD＝2DC，P为线段AD上一个动点，过P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为．9．（7分）近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；（3）对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．10．（9分）图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（2）在图②中，画出一个格点C，使△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使tan∠BPH＝1．11．（8分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC 的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，AC＝8，求DC与PC的值．12．（10分）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图象或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．在平面直角坐标系xOy中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形ABCD为ODEP的投影矩形，其投影比k＝．（1）如图3，点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为；（2）如图4，若点M（﹣1，0），点N（2，1）且△MNP投影比k＝2，则点P的坐标可能是（填写序号）；①（1，﹣5）；②（0，2）；③（﹣3，5）；④（4，﹣1）．（3）如图5，已知点C（6，0），在函数y＝2x﹣6（其中x＜3）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k＝，求点D的坐标．。

九年级一对一教案-第6讲-一元二次方程19版

第6讲一元二次方程1.一元二次方程定义2.一元二次方程的根3.解一元二次方程4.根的判别5.韦达定理6.一元二次方程应用知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－1.【例题1】（2017秋•郓城县期中）下列方程一定是一元二次方程的是（）A ．3x 2+﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0 C．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【例题剖析】概念理解题：能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键【例题2】关于x 的方程是一元二次方程，则a= ．【例题剖析】对一元二次方程一般形式的理解题：【例题3】（2017•河北模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +m 2﹣5m +4=0，常数项为0，则m 值等于（） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．0【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解题：【例题4】（2017秋•抚顺县期末）关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3【例题5】（2017秋•潮南区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（）A．﹣2B．1C．0D．5【例题6】已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=．【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解转换计算：【例题7】（2017•临海市模拟）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20142.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2－4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=－3,k=6.【例题剖析】解一元二次方程-直接开平方法的【新定义题】【练习1】给出一种运算：对于函数y=x n，规定y'=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y'=4x3．已知函数y=x3，则方程y'=36的解是（）A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=4，x2=﹣4【练习2】（2017春•甘州区校级期中）在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为．【练习3】在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．【练习4】（2017春•鄂州期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则=．考点1 ：解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【例题剖析】解一元二次方程-配方法【例题8】利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形为（）B．C．D．A．【例题9】用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0考点2 ：解一元二次方程-公式法【例题剖析】解一元二次方程-公式法【例题10】已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【例题11】若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2B．m＜﹣1C．1＜m＜2D．0＜m＜1【例题12】用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．考点3 ：解一元二次方程-因式分解法【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法【例题13】（2017•霍山县校级模拟）使分式的值等于零的x是（）A．6B．﹣1或6C．﹣1D．﹣6【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法实际运用【练习5】（2017•高新区一模）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（）A．8.5B．4C．4或﹣4.5D．4或﹣4.5或8.5【练习6】定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3B．x=﹣1C．x1=3，x2=1D．x1=3，x2=﹣1【练习7】（2017秋•凉州区期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．考点4 ：换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例题剖析】解一元二次方程-换元法【例题14】（2017秋•鄂城区期中）已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3【例题15】已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．3C．﹣2或3D．﹣2且3【例题16】已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【例题17】（2017秋•宜城市期中）已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.【例题剖析】解一元二次方程-根的情况判别【例题18】一元二次方程3x2﹣6x+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【例题19】（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【例题剖析】解一元二次方程-根判别的相关计算【练习8】（2018•泸县校级一模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【练习9】（2017•广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4*4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时★=b2－4ac≥0.（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例题剖析】根与系数的关系的直接计算【例题20】（2017秋•武昌区月考）方程x2﹣6x+10=0的根的情况是（）A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根【例题21】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣15=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣15D．15【例题22】两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．【例题23】（2017春•莱城区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积是（）A．18B．30C．36D．不确定【例题剖析】根与系数的关系的逆运算【练习10】（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【练习11】（2017•新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【练习12】（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【例题剖析】根与系数的关系的转换计算【模型A】+【练习13】若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣【练习14】（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【练习15】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【模型B】x12+x22【练习16】若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6B．﹣6C．18D．﹣18【练习17】已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．【模型C】+【练习18】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【练习19】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【模型D】n m【练习20】（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【练习21】（2018•宜宾模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是．【模型E】根的加、积混合【练习22】（2017•仙桃）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【练习23】设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2009B．2010C．2011D．2012【练习24】（2017•日照模拟）已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2﹣ab+3a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．8【练习25】已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣9【练习26】（2017•昆明模拟）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（）B．﹣C．D．﹣A．【练习27】（2017秋•金堂县期末）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；★ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.★平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；★利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；★传播、比赛问题：★面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.1、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）“每每型”：在经济问题中常常出现这样的描述：“单价每降低1元，每天可多售出10件。

北师大版九年级数学上册第六单元圆(复习课)

E
例（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直
径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长（1）证明：连结AE，如图， ∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°， ∴AE⊥BC，而AB=AC， ∴BE=CE；（2）连结DE，如图， ∵BE=CE=3，∴BC=6， ∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴ = ，即 = ， ∴BA=9， ∴AC=BA=9．
6 3
A
O B
C
3．（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下 E 列结论一定错误的是（） A．CE=DE B．AE=OE C． = D．△OCE≌△ODE
4.（2015•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的 ⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
3、方程的思想方法：当圆的直径（或半径）未知，一般利用勾股定理列方程来解决。
达标检测题
1.（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=（） A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm
2.（2015▪泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆， ∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（） A．4 3 B． C． 2 3 D．8
．
数学思想方法总结
1、转化的思想方法：在利用圆周角定理的推论解决问题时，常用这种方法。如用同弧或等弧所对的圆周角转化等角；将圆中的直径与90° 的圆周角（即：见直径，想直角；见直角，想直径。）联系起来转化应用。 2、数学建模思想：在利用垂径定理进行计算或证明时，要作半径和弦心距构造直角三角形，要熟练掌握半径、弦心距、弦的一半、弓形高等量之间的关系式。

初三中考第一轮复习旋转一对一教案

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T(旋转知识梳理) C（旋转专题）T（旋转综合运用）授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理图形的旋转1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角．注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。

3. 旋转变换的作图：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形．4. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．中心对称1. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点．2.中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质．（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积．3. 中心对称的作图：以上图为例，作关于点O的对称图形：（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；（2）分别作出原图形的关键点的对称点．如：连结AO，并在AO的延长线上截取，则点A’为点A 关于点O的对称点；（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点．所得的图形即为求作的对称图形．4. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180°）5. 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别联系中心对称中心对称是指两个图形的对称关系把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称中心对称图形中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形6. 关于原点对称的点的坐标．点关于原点对称的点的坐标为．二、同步题型分析题型1：图形的旋转（★）例1：平面图形的旋转一般情况下改变图形的（）A. 位置B.大小C.形状D.性质解：旋转不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置，故选A．方法总结：本题考查了旋转的性质，是需要熟记的内容．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．（★）例2：如图，△ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是______三角形．分析：由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=60°，即可判定△ABB'是等边三角形．解：因为，△ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则AB=AB′，∠BAB′=60°，所以△ABB'是等边三角形．方法总结：此题主要考查学生对等边三角形的判定及旋转的性质的理解及运用．（★★）例3：如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是_______。

九年级数学中考总复习九：圆的专题辅导北师大版

中考总复习九：圆一、基础知识和基本图形1．确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．圆的有关性质：（1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形．（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：3．直线与圆：（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相交d＜r；②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。

③直线和圆相离 d ＞r．（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）4．圆和圆的位置关系：设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则：两圆外离d ＞R＋r；两圆外切d = R＋r；两圆相交 R–r＜d＜R＋r；两圆切d = R–r；两圆含d ＜R一r (同心圆d = 0 )．5．有关圆的计算（1）扇形弧长和扇形面积．（2）三角形的切圆．（3）圆锥的侧面展开．（4）有关阴影面积．（割补法）二、例题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sin B＝，则弦AC 的长为______________．分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。

解答：作直径AO，交圆O于D，连CD利用勾股定理求得： AC=32．如图，分别是的切线，为切点，是⊙O的直径，已知，的度数为（）．A．B．C．D．分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决解答：D3．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________．分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。

4．在中，，．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于______________．分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况解答：5或35．如图，已知：△ABC是⊙O的接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于______________．分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO解答：作直径AO，交圆O于E，连CE可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=6．如图，已知大半圆⊙与小半圆⊙相切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．分析：此题需用到垂径定理和整体带入解答：连接，过作⊥MN于E阴影面积为27．已知：如图，△OBC接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°，∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________；BC的长=__________．解答：连AB、AC，可求得B（），BC=8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP与⊙O相切．解答：要考虑到两种情况，5或19．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC AD于点C，BD平分．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=，AF=，求CD的长．解答：（1）连OD，证明OD//BC（2）利用方程和相似，求得CD=10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．解答：连AC，利用∽，求得CD=811．如图，点I是△ABC的心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值围．解答：（1）提示：证∠IBD=∠BID（2）（6）12．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为，，设．①求关于的函数关系式．②当时，求的值．解答：（1）连DO，证OD⊥DP；（2）①连PO，；②，提示：在三角形EBC中求13．二次函数的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，点M是它的顶点．（1）求证：以A为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；（2）将（1）中的⊙A的圆心在轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM 相切．解答：（1），（2）个单位．。