高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案新人教B版选修2_3

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高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质_1

答案：C
12/13/2021
4．(1－x)6 的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为________．解析：令 x＝1，则 C06－C16＋C26－C36＋C46－C56＋C66＝0，且(C06＋C26＋C46＋C66)＋(C16＋ C36＋C56)＝26， ∴C16＋C36＋C56＝25＝32. 答案：32
[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．
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(2)解答该问题 ①注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，如本例中利用性质可确定出展开式中第 6 项的二项式系数最大． ②注意对概念的区分要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝对值最大的项的区别.
(2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大，
因为 Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，
所以CCr1r100··221100－－rr≥ ≥CC1r1r＋－00 11··221110－－rr，－1，
8分
得C2Cr10r1≥0≥2CCr1r1－＋00 11，，即121r－＋r1≥≥2r1，0－r，解得83≤r≤131. 因为 r∈N，所以 r＝3，10 分故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4＝－C310·27·x4＝－15 360x4.12 分
… 解析：由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1. 答案：2n－1
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答案：C
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2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8 等于( )

高中数学第一章计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案(含解析)新人教A版选修2

河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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“杨辉三角"与二项式系数的性质（1）a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)｜a0｜＋｜a1|＋|a2|＋…＋｜a7|.跟踪训练2(1)（x＋错误!)·(2x－错误!)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（)A．－40 B．－20C．20D．40（2）（2015·泉州市南安一中高二期中）若(2x＋错误!）4＝a＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则（a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2的值为0________。

三与杨辉三角有关的问题例3 如图所示,在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2，3,3,6,4，10，…，记这个数列的前n项和为S（n），则S（16)等于（）A．144 B．146C．164 D．461二项式系数与项的系数的区分跟踪训练3如图所示,满足:①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n(n≥2）行的第m个数记作a（n，m），则a(100，2）＝________。

高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质说课稿新人教版

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2．学情分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.3．教学重点与难点重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.关键：函数思想的渗透.二、教学目标1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究．学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.四、教学过程1. 展示成果话杨辉课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，探究与发现“杨辉三角”包含的规律.（1）学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识.（2）各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律.【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2. 感知规律悟性质通过课外学习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第行就是展开式的二项式系数，展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值.【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.3. 联系旧知探新知【问题提出】怎样证明展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）展开式的二项式系数，可以看成是以n为自变量的函数吗？它的定义域是什么？（2）画出函数图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．．增减性与最大值：k n C 相对于1-k n C 的增减情况由n k n 1+-决定．由2111+<⇔>+-n k n k n 可知，当 21+<n k 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 的偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项21-n n C ，21+n nC 相等，且同时取得最大值．【设计意图】教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过分组讨论、自主探究、合作交流，说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值，提高学生合作意识.4. 合作交流议方法【继续探究】问题：展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算()nb a +展开式的二项式系数的和（ n=1，2，3，4，5，6）. （2）猜想()nb a +展开式的二项式系数的和. （3）怎样证明你猜想的结论成立？【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应.5. 悬念小结再求索【课堂小结】通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象和推理.同时教会学生如何开展研究性学习.。

2017-2018学年高中数学选修2-3教材用书：第一章计数原理1.3-2“杨辉三角”与二项式

2017-2018学年⾼中数学选修2-3教材⽤书：第⼀章计数原理1.3-2“杨辉三⾓”与⼆项式1．3.2 “杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质(a＋b)n的展开式的⼆次项系数，当n取正整数时可以表⽰成如下形式：问题1：从上⾯的表⽰形式可以直观地看出什么规律？提⽰：在同⼀⾏中，每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两⾏中，除1以外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和．问题2：计算每⼀⾏的系数和，你⼜能看出什么规律？提⽰：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n问题3：⼆项式系数的最⼤值有何规律？提⽰：n＝2,4,6时，中间⼀项最⼤；n＝3,5时，中间两项最⼤．⼆项式系数的性质1．求⼆项式系数最⼤的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；n为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．奇数项的⼆项式系数和与偶数项的⼆项式系数和相等，但这并不意味着等号两边⼆项式系数的个数相同．当n为偶数时，奇数项的⼆项式系数多⼀个；当n为奇数时，奇数项的⼆项式系数与偶数项的⼆项式系数个数相同.如图所⽰，在“杨辉三⾓”中，从1开始箭头所指数字组成⼀个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S19的值．S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.解决与“杨辉三⾓”有关问题的⼀般思路如图，在由⼆项式系数所构成的“杨辉三⾓”中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏ 1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……解析：由“杨辉三⾓”知，第1⾏中的数是C01，C11；第2⾏中的数是C02，C12，C22；第3⾏中的数是C03，C13，C23，C33；…；第n⾏中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n.设第n⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解得n＝34.答案：34设(1－2x)5012345求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；(2)a1＋a3＋a5的值；(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．记f(x)＝(1－2x)5.(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝12＝12(－1－35)＝－122.(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35－1＝242.“赋值法”是解决⼆项式系数问题常⽤的⽅法，根据题⽬要求，灵活赋予字母所取的不同值．⼀般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.(1)求a0＋a1＋…＋a10；(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10.解：(1)令x＋1＝1，即令x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a10×110，得a0＋a1＋…＋a10＝0.(2)令x＋1＝－1，即令x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1 016.已知x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的⼆项式系数和的⽐为32.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项．令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. ⼜展开式中⼆项式系数和为2n，∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴⼆项式系数最⼤的项为第3,4两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最⼤，则由T k ＋1＝C k5(x 23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x1043k +，得3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，k ∈N ，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，即展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45x 23·(3x 2)4＝405x263.1．求⼆项式系数最⼤的项，根据⼆项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；当n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．求展开式中系数最⼤项与⼆项式系数最⼤项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，⼀般采⽤列不等式组、解不等式的⽅法求得．x －2x 28的展开式中：(1)求⼆项式系数最⼤的项． (2)系数的绝对值最⼤的项是第⼏项？解：(1)⼆项式系数最⼤的项为中间项，即为第5项．故T 5＝C 4 8·24·x2－8＝1 120x －6.(2)因T k ＋1＝C k 8·(x )8－k－2x 2k ＝(－1)k ·C k 8·2k ·x 4－5k 2.设第k ＋1项系数的绝对值最⼤，则?C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，C k 8·2k ≥C k －18·2k －1，即18－k ≥2k ＋1，2k ≥19－k .整理得k ≥5，k ≤6.于是k ＝5或6.故系数的绝对值最⼤的项是第6项和第7项．4.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项已知(2x －1)n的展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值．设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…，由已知得B －A ＝38令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n，所以(－3)n ＝38＝(－3)8，所以n ＝8，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1＝255.1．求解本题易犯下列问题：⼀是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．⼆是错误地认为－38＝(－3)8.三是把C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 看成⼆项展开式各项⼆项式系数和，忽略了C 0n .2．解答此类问题应掌握(a ＋b )n 的展开式的各个⼆项式系数的和为2n，且奇数项⼆项式系数的和与偶数项⼆项式系数的和都等于2n －1.已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．解析：依题可得a 0＋a 2＋a 4＝－(a 1＋a 3＋a 5)＝16，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256.答案：－2561．(1＋x)2n＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在项数是( )A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：选C 该式展开共2n＋2项，中间有两项，第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为⼆项式系数最⼤的项．2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )A．64 B．32C．63 D．31解析：选B C0n＋2C1n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( ) A．32 B．1C．－243 D．1或－243解析：选B (a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k·C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25 a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和，则n的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x ＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：55．求(1－x)8的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项；(2)系数最⼩的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由⼆项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间⼀项(即第5项)的⼆项式系数最⼤．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)⼆项展开式系数的最⼩值应在各负项中确定最⼩者，即第4项和第6项系数相等且最⼩，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.⼀、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )A．180 B．－180C．45 D．－45解析：选A a8＝C810·22＝180.2．在(a－b)20的⼆项展开式中，⼆项式系数与第6项的⼆项式系数相同的项是( ) A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项解析：选B 第6项的⼆项式系数为C520，⼜C1520＝C520，所以第16项符合条件．3．“杨辉三⾓”如图所⽰，“杨辉三⾓”中的第5⾏除两端数字1外，均能被 5整除，则具有类似性质的⾏是( )1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……A．第6⾏ B．第7⾏C．第8⾏ D．第9⾏解析：选B 由题意，第6⾏为1 6 15 20 156 1，第7⾏为17 21 35 35 21 7 1，故第7⾏除去两端数字1外，均能被7整除．4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的⼆项式系数之和为1 024B．展开式中的第6项的⼆项式系数最⼤C．展开式中第5项或第7项的⼆项式系数最⼤D．展开式中第6项的系数最⼩解析：选C 根据⼆项式系数的性质进⾏判断，由⼆项式系数的性质知：⼆项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，⼆项式系数最⼤的项是中间⼀项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最⼩的．5．在(x－2)2 016的⼆项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S 等于( )A．23 023B．－23 023C ．23 024D ．－23 024解析：选B 因为S ＝x －2 2 016－x ＋22 0162，当x ＝2时，S ＝－23 0242＝－23 023.⼆、填空题6．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的⼆项式系数，第3项的系数是________．解析：由⼆项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数，∴C 2 7为第3项的⼆项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84. 答案：3 847．(1－3a ＋2b )5的展开式中不含b 的项的系数之和是________．解析：令a ＝1，b ＝0，即得不含b 的项的系数和为(1－3)5＝－32. 答案：－328．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1·x ＋a 2·x 2＋…＋a 50·x 50，则a 3等于________．解析：a 3＝C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋…＋C 350＝C 45＋C 35＋…＋C 350＝C 451. 答案：C 451 三、解答题9．(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中⼆项式系数最⼤的项和系数最⼤的项．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26n ＝8.∴(1＋2x )n的展开式中，⼆项式系数最⼤的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最⼤，则有?C k 82k≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1.∴5≤k ≤6.⼜∵k ∈{0,1,2，…，8}，∴k ＝5或k ＝6. ∴系数最⼤的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n.(1)当m ＝n ＝7时，f (x )＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (2)当m ＝n 时，f (x )展开式中x 2的系数是20，求n 的值；(3)f (x )展开式中x 的系数是19，当m ，n 变化时，求x 2系数的最⼩值．解：(1)赋值法：分别令x ＝1，x ＝－1，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝128. (2)T 3＝2C 2n x 2＝20x 2，∴n ＝5.(3)m ＋n ＝19，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12m (m －1)＋12n ·(n －1)＝12＝171－mn ＝171－(19－n )n ＝? ????n －1922＋3234，所以，当n ＝10或n ＝9时，f (x )展开式中x 2的系数最⼩值为81.11．(2x －3y )9展开式中，求： (1)⼆项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)⼆项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)令x ＝1，y ＝1，得各项系数之和a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59，⼜a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，故所有奇数项系数之和为59－12.(4)∵T k ＋1＝C k9(2x )9－k(－3y )k＝(－1)k 29－k·3k C k 9x9－k·y k，∴a 1<0，a 3<0，a 5<0，a 7<0，a 9<0.∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.。

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质新人教A版

[变式训练] 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
解析：由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为
2∶3，即二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 C1n3∶
n！
n！
C
14 n
＝Leabharlann 2∶3，即13！（n－13）！
2．关于(a－b)10 的说法，错误的是( ) A．展开式中的二项式系数之和为 1 024 B．展开式中第 6 项的二项式系数最大 C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
（2＋9）×8 10×9×8
2
＋ 3×2×1 ＝164.
答案：C
归纳升华解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：先通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．
A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，
第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13
＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝

高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件1新人教A版选修2_3

3 4
4 7 7
3
4
解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是
nn－1 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝ 2 ＋1.
5 11
…
14
…
11
5
…
解析答案
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成
0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，
第1次全行的数都为1的是第1行，第2次
全行的数都为1的是第3行，…，第n次全
已知
1 2 n x － x
解
1 8 2 n 7 2 －2 ＝128，n＝8，x － x 的通项
1 r r 2 8－r 16－3r Tr＋1＝C8(x ) －x ＝(－1)rCr x . 8
当r＝4时，展开式中的系数最大，
2 2 1
内容
m n－m Cn ＝Cn ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个
与最大值如果n为奇数，那么其展开式中间两项 Tn 1 与 Tn 1 的二项式
2 1
二项展开式中各二项式系数的和等于
1 2 ，即 C0 ＋ C ＋ C n n n＋…
二项式
＝
.
项的二项式系数之和，都 .
系数的和奇数项的二项式系数之和等于
(3)所有奇数项系数之和.
解析答案
类型三
二项式系数性质的应用
例3
已知f(x)＝(
＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和
大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
反思与感悟
解析答案
展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的 1 2 n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 二项式系数的和大128，求 x － x 跟踪训练3

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

(3)展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)rC5r·a5－r·xr，令 r＝2，则 a2＝(－1)2C25·a3＝ 80，所以 a＝2.则(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令 x＝1，得 a0＋a1＋… ＋a5＝1.
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课堂互动探究
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探究2 二项展开式的系数和问题例 2 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
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答案
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答案
拓展提升 1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n 中的 n 进行讨论． (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
[解] 在(2x－3y)10 的展开式中： (1)各项的二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为 C100＋C210＋…＋C1100＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为 C110＋C310＋…＋C910＝29＝512. (3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为 a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中 x ＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

n
值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数_C__n2__取得最大值；
n－1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C
2 n
，C
2 nLeabharlann 相等，且同时取到最大值.
栏目导引
第一章计数原理
(3)各二项式系数的和 ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
栏目导引
第一章计数原理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个
二项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Cnr ＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐_增__大___的，
由对称性知它的后半部分是逐渐_减__小___的，且在中间取到最大
栏目导引
第一章计数原理
(2)由题意知 C0n＋C1n＋C2n＝79，解得 n＝12 或 n＝－13(舍去). 设展开式中第(r＋1)项的系数最大，由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12，则CCr1r122· ·44rr≥ ≥CCr1r1－＋22 11· ·44rr－＋11，，所以 9.4≤r≤10.4. 又 r∈{0，1，2，…，12}，所以 r＝10，所以系数最大的项为 T11，且 T11＝1212·C1102·(4x)10＝16 896x10.
灵活运用性质解决相关问题
第一章计数原理
问题导学预习教材 P32～P35 的内容，并思考下列问题： 1.杨辉三角有哪些特点？ 2.二项式系数的性质有哪些？
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第一章计数原理

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角

跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以 C1n3∶C1n4＝2∶3，即n－1413＝23，解得 n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
解析答案
(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数
组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个
数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
A.144
B.146
√C.164
D.461
解析由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19，
所以 S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29
＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)
＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.
解析答案
反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
个二项式系数相等
如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项 Tn1 的
增减性与二项式系数最大
2
最大值如果n为奇数，那么其展开式中间两项 Tn1 与 Tn11 的二项式
系数相等且同时取得最大值
2
2
二项展开式中各二项式系数的和等于 2n ，各二项式即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn ＝_2_n_ 系数的和奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，

高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质a23a高二23数学

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数(xìshù)的性质
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目标定位
重点难点
1.理解“杨辉三角”的性质重点：二项式系数的性质
以及和二项式系数的关系．以及应用．
2．掌握二项展开式系数的性难点：二项展开式中有关
质并灵活运用.
系数的和及最大项问题.
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则系数最大的项为 T7＝C68·26·x－11＝1 792x－11.
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(4)系数最小的项为 T6＝C58·25·x－ 2 ＝－1 792x－ 2 .
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二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者是指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关 (yǒuguān)．求最大系数值的项可根据数列(系数值构成的数列)的单调性确
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【解析】(1)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.
令 x＝0，得 a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.
(2)由(1)，得 a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，
①
令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，
②
由①－②，得 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67.
定．
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2．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数(xìshù)相等，求展开
式中二项式系数(xìshù)最大的项和系数(xìshù)最大的项．
【解析】T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意，有 C5n·25＝C6n·26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为

原创1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

例1 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a6 x6 a7 x7
求（1）a0
（2） a1 a2 a6 a7
赋值法
解：设 f (x) (1 2x)（7 1）令x=0,即 f (0) (1 2 0)7 1 展开式右边即为 a0 所以 a0 f (0) 1 （2）令x=1, f (1) (1 2 1)7 1 a0 a1 a2 a6 a7
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是Cnk 与 Cnk1 比较的大小.
C
k n
n! k ! (n
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr x r
Cnn x n
思考探究
1.展开式的二项式系数 Cn0,Cn1,Cn2 Cnr , Cnn 有什么变化规律？ 2.二项式系数最大的是哪一项？
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引素材

1 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引问题导入在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等吗？思路分析：在展开式（a+b ）n =0n C a n +1n C a n-1b+2n C a n-2b 2+3n C a n-3b 3+…+nn C b n 中，令a=1,b=-1,则得（1-1）n =0n C -1n C +2n C -3n C +…+（-1）nn n C , 即0=（0n C +2n C +4n C +…）-（1n C +3n C +5n C +…）.所以0n C +2n C +4n C +…=1n C +3n C +5n C +….这是二项式的一个题目，本节我们讨论是否还有其他更直观的解决方法，它就是杨辉三角.知识预览1.二项式系数组成的杨辉三角1 第0行1 1 第1行1 2 1 第2行1 3 3 1 第3行1 4 6 4 1 第4行1 5 10 10 5 1 第5行1 6 15 20 15 6 1 第6行……其规律是：表中每行每端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的____________.事实上，设表中任一不为1的数为r n C 1+，那么它肩上的两个数分别为____________和____________，由组合数的性质2，知识r n C 1+=____________+____________. 答案：和 1-r n C r n C 1-r n C r n C2.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端____________的两个二项式系数相等.（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数、相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数和：0n C +1n C +22C +…+nn C =_________________,0n C +2n C +4n C +…=_________________,1n C +3n C +5n C +…=_________________. 答案：等距离 21-n n C 21-n n C 2n 2n-1 2n-1。

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练案新人

湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练案新人教A版选修2-3的全部内容。

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质1. 掌握二项式系数的四个性质。

2. 培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.一、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于（)A．180 B．－180C．45 D．－45解析：a8＝C8，10·22＝180.答案：A2．在（a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ）A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项解析：第6项的二项式系数为C错误!，又C错误!＝C错误!，所以第16项符合条件．答案：B3．已知C错误!＋2C错误!＋22C错误!＋…＋2n C错误!＝729，则C错误!＋C错误!＋C错误!的值等于( ）A．64 B．32C．63 D．31解析：C错误!＋2C错误!＋…＋2n C错误!＝（1＋2)n＝3n＝729,∴n＝6，∴C16＋C错误!＋C错误!＝32。

答案:B4．已知关于x的二项式(错误!＋错误!）n展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a 的值为( )A．1 B．＋1C．2 D．±2解析:由题意知2n＝32，n＝5,T r＋1＝C错误!（错误!)5－r a r·1r3x＝C错误!a r5526rx ，令错误!－错误!r＝0，得r＝3，∴a3C错误!＝80，解得a＝2.答案：C5．在（1＋2x）7的展开式中,C错误!是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．解析：由二项式系数的定义知C错误!为第k＋1项的系数,∴C错误!为第3项的二项式系数．∵T2＋1＝C错误!·（2x)2＝22·C错误!x2，∴第3项的系数为22·C错误!＝84。

2018_2019年高中数学第一章计数原理1_3_2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

r≥5，整理得 r≤6.
于是 r＝5 或 6.
故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项．
1.本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)与杨辉三角有关的问题，见典例 1； (2)求展开式的系数和，见典例 2； (3)展开式中的最大值问题，见典例 3.
[解]
Tr＋1＝Cr ( 8·
x)
8－r
.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项，故
20 4 － T5＝C4 24· x 2 8·
＝1120x－6.
(2)设第 r＋1 项系数的绝对值最大， 1 2 ≥ ， r r r＋1 r＋1 2 ≥C8 · 2 8－r r＋1 C8· 则 r r 即 r－1 r－1 2 ≥C8 · 2 ， C8· 2≥ 1 . r 9－r
r－1 r C ＋ C n n 两个数的和，即 Cr ＝ . n＋1
2．二项式系数的性质
[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(
2 n 2．二项式展开式的二项式系数和为 C1 ＋ C ＋…＋ C n n n.(
) )
3 ．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )
[解]
(1)令 x＝0，则 a0＝－1，
令 x＝1，则 a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① 所以 a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② ①－② 1 由得：a1＋a3＋a5＋a7＝ [128－(－4)7]＝8256. 2 2 ①＋② 1 (3)由得：a0＋a2＋a4＋a6＝ [128＋(－4)7]＝－8128. 2 2