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2015年江苏省南通中学高三上学期期中数学试卷含解析答案

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南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)

南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)

江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题数学I一、填空题1.已知集合{2,1}A，{1,2,3}B ，则A B.2.已知复数z 满足341(i z i 为虚数单位)，则z 的模为.3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为.4.函数2()lg(23)f x x x 的定义域为. 5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是. 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为.7.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.8.在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x 为渐近线，且经过抛物线24yx 焦点的双曲线的方程是.9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(m yxxx R ，2)m在1x 处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为.10.已知函数()sin 26f x x．若()(0)2yf x 是偶函数，则.11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a ，公差0d．若1260a a ，23100a a ，则155a a 的最大值为.12.已知函数(0)xyab b 的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b的最小值为.13.如上图，圆O 内接ABC 中，M 是BC 的中点，3AC．若4AO AM ，则AB.开始y<50x ←2x+y 输出x结束YNy ←2x+yx ←1,y ←113yOxACBOM （第12题）（第13题）14.已知函数()f x 是定义在1,上的函数，且1|23|,12,()11(),2,22x x f x f x x　则函数2()3y x f x 在区间(1,2015)上的零点个数为.二、解答题15.在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b Cc B a A ．（1）求角A 的大小；（2）若3AB AC，求ABC 的面积．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ，14CC ，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACBMNC 1B 1A 117.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b ab的左、右焦点，顶点B 的坐标为0,b ，且12BF F 是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ，2BCF 的面积分别为1S ，2S ．若122S S ，求直线l 的斜率．18.在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C )，展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)．（1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）Oxy BACF 1F 2BC入口16m20m19.若函数()y f x 在0x x 处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()yf x 的极值点．已知函数3()3ln (f x axx xa aR )．（1）当0a 时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数）20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1122n na a (nN *)，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2134n S nn (nN *)，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围．数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA．B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵273mM的逆矩阵127nMm，求实数m，n．C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为21,214x ty t（t为参数），曲线与直线l：12y x相交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数．求证：111a b cbc ca ab a b c．OACBMDN【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90o ．（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小；（2）求二面角B-AE-C 的余弦值．23.设n a 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n (nN *)，且每数位上的数字只能是1或2．（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）求证：51n a (nN *)是5的倍数．BAEDCASq12ABE ACE。

数学上学期期中试题-南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试数学试题及答案卷高三(理)

数学上学期期中试题-南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试数学试题及答案卷高三(理)

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ． 2．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则M⋂N = ▲ ．3．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值 为 ▲ ．4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5．函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．．7．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位。

9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ． （填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲11．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ． 12．给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>， 则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三(上)期中数学试卷和答案

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三(上)期中数学试卷和答案

2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若集合A={1，2}，B={3，2a}，且A∩B={2}，则实数a的值为．2．（5分）若sinα=2cosα，则sin2α+2cos2α的值为．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是．4．（5分）已知直线l过直线x﹣y+2=0和2x+y+1=0的交点，且与直线x﹣3y+2=0垂直，则直线l的方程为．5．（5分）椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为．6．（5分）函数的单调递增区间是．7．（5分）已知函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则a=．8．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=8，b=10，△ABC 的面积为，则△ABC中最大角的正切值是．10．（5分）在△ABC中，若AB=5，AC=12，||=||，则的值为．11．（5分）已知a为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，a]，都有f（x）∈[﹣a，a]，则实数a的取值范围是．12．（5分）若直线x+2y﹣2=0与椭圆mx2+ny2=1交于点C，D，点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OC⊥OD，则m+n=．13．（5分）已知函数，若函数y=f（f（x）﹣a）有四个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，0＜α＜，求的值．16．（14分）在△ABC中，∠B=45°，D是边BC上一点，AD=5，CD=3，AC=7．（1）求∠ADC的值；（2）求的值．17．（14分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求圆C的方程．18．（16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为，求该圆形标志物的半径．19．（16分）已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．（1）若，△ABM的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上．若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若a=2，求函数f（x）的极值；（2）已知函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若此切线在点A处穿过y=f（x）的图象（即函数f（x）上的动点P在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式；（3）若a＞0，函数g（x）=f（x）﹣ax有且只有一个零点，求实数a的值．数学加试试卷解答题21．已知圆C：x2+y2+2x=15，M是圆C上的动点，N（1，0），MN的垂直平分线交CM于点P，求点P的轨迹方程．22．已知函数，f′（x）为f（x）的导函数．若g（x）=f（x）+f′（x）为奇函数，求φ的值．23．P是△ABC内一点，且满足条件+2+3=，设Q为延长线与AB的交点，令=p，用p表示．24．已知．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意，存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2），求实数b取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若集合A={1，2}，B={3，2a}，且A∩B={2}，则实数a的值为1．【解答】解：∵A={1，2}，B={3，2a}，且A∩B={2}，∴2a=2，解得：a=1，故答案为：1．2．（5分）若sinα=2cosα，则sin2α+2cos2α的值为．【解答】解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，则sin2α+2cos2α====，故答案为：．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．4．（5分）已知直线l过直线x﹣y+2=0和2x+y+1=0的交点，且与直线x﹣3y+2=0垂直，则直线l的方程为3x+y+2=0．【解答】解：联立，解得，∴直线x﹣y+2=0和2x+y+1=0的交点为（﹣1，1），又直线l和直线x﹣3y+2=0垂直，∴直线l的斜率为﹣3．则直线l的方程为y﹣1=﹣3（x+1），化为一般方程为3x+y+2=0．故答案为：3x+y+2=0．5．（5分）椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为．【解答】解：设满足条件的点为P（2，m），可得，解之得m=±，得P（2，±），∵椭圆中，a2=16，b2=7，∴c==3，可得椭圆的右焦点为F（3，0）．由此，|PF|==，即点P到右焦点的距离为．故答案为：6．（5分）函数的单调递增区间是（开闭区间都可）．【解答】解：函数=2sin（x﹣），由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z．又x∈[﹣π，0]，∴单调增区间为．故答案为：．7．（5分）已知函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则a=0．【解答】解：∵函数y=x2+（a∈R）在x=1处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，∴f′（1）=2，则f′（x）=2x﹣，即f′（1）=2﹣a=2，解得a=0，故答案为：08．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪（100，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg）=f（|lg|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg|＞1，即lg＞1或lg＜﹣1解得：x＞100或0＜x＜1所以满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪（100，+∞）．故答案为：（0，1）∪（100，+∞）．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=8，b=10，△ABC的面积为，则△ABC中最大角的正切值是或．【解答】解：∵，∴．∵0＜C＜π，∴或．①当C=时，显然C是最大角，其=﹣；②当C=时，由余弦定理得c==＜10．∴边b是最大边．由余弦定理得cosB==，∴B为锐角，=，∴tanB==．10．（5分）在△ABC中，若AB=5，AC=12，||=||，则的值为．【解答】解：如图所示，设=，∴四边形ABDC是平行四边形．∵||=||，∴平行四边形ABDC是矩形．∴||=||==13，在Rt△ABC中，cos∠ABC=．则==．故答案为：．11．（5分）已知a为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，a]，都有f（x）∈[﹣a，a]，则实数a的取值范围是（0，2] ．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+a﹣1，对称轴x=1，①0＜a≤1时，f（x）在[0，a]递减，f（x）max=f（0）=a，f（x）min=f（a）=a2﹣a，即函数的值域为[a2﹣a，a]⊆[﹣a，a]，∴﹣a≤a2﹣a，解得：a∈（0，1]；②当a∈（1，2]时：f（x）max=f（0）=a，f（x）min=f（1）=a﹣1，即函数的值域是[a﹣1，a]⊆[﹣a，a]，∴﹣a≤a﹣1，解得：a∈（1，2]；③当a∈（2，+∞）时：f（x）max=f（a）=a2﹣a，f（x）min=f（1）=a﹣1，即函数的值域是[a﹣1，a2﹣a]⊆[﹣a，a]，∴a2﹣a≤a，解得：a∈∅，综上：a∈（0，2]．12．（5分）若直线x+2y﹣2=0与椭圆mx2+ny2=1交于点C，D，点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OC⊥OD，则m+n=．【解答】解：设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，化为（4m+n）x2﹣4nx+4n﹣4=0，∴x1+x2==2x0，x1x2=．∵OC⊥OD，∴=x1x2+y1y2=0，∴x1x2+=0，化为5x1x2﹣2（x1+x2）+4=0．∴﹣+4=0，化为：m+n=．故答案为：13．（5分）已知函数，若函数y=f（f（x）﹣a）有四个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合是（1，1+）．【解答】解：知函数，函数性质分段讨论如下：①当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，最小值为﹣1，②当x≤0时，令f'（x）=（x+1）e x=0，解得x=﹣1，所以，x∈（﹣∞，﹣1）函数递减，（﹣1，0）函数递增，且f（0）=，x→﹣∞时，f（x）→，综合以上分析，作出函数图象，如右图．由图可知，函数y=f（x）有两个零点，x=﹣1和x=2，﹣﹣﹣﹣（*）再考察函数y=f[f（x）﹣a]的零点，由（*）可知，f（x）﹣a=﹣1或f（x）﹣a=2，即f（x）=a﹣1或f（x）=a+2，根据题意，这两个方程共有四个根，结合函数图象，a﹣1∈（0，），解得，a∈（1，1+），故填：（1，1+）．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：设M（x，y），则B（2x+2，2y），代入圆C：（x﹣2）2+y2=4，可得（2x+2﹣2）2+（2y）2=4，即x2+y2=1由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2．∵圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣2≤k≤2，故答案为：[﹣2，2]．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，0＜α＜，求的值．【解答】解：（1）由图可知，A=2，T==2π，故ω=1，所以，f（x）=2sin（x+ϕ）．又，且，故．于是，f（x）=2sin（x﹣）．（2）由，得sin（α﹣）=，因为，所以cos（α﹣）=，所以，sin（2α﹣）=2sin（α﹣）cos（α﹣）=，cos（2α﹣）=2cos2（α﹣）﹣1=，所以=．16．（14分）在△ABC中，∠B=45°，D是边BC上一点，AD=5，CD=3，AC=7．（1）求∠ADC的值；（2）求的值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=AC2．把AD=5，CD=3，AC=7代入上式得．因为0＜∠ADC＜π，所以∠ADC=．…（7分）（2）在△ADC中，由正弦定理得：．故．所以…（14分）17．（14分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求圆C的方程．【解答】解：（1）因为22+42﹣4a＞0，所以a＜5．因为M（0，1）在圆C内，所以12﹣4+a＜0，所以a＜3．综上知a＜3…（3分）因为弦AB的中点为M（0，1），所以直线l⊥CM．因为k CM=﹣1，所以k l=1．所以直线l的方程为y=x+1…（7分）（2）由得2x2+a﹣3=0，故，x2=﹣．不妨设A（，+1），B（﹣，﹣+1）…（10分）则，故a=2…（13分）故圆C：x2+y2+2x﹣4y+2=0…（14分）18．（16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为，求该圆形标志物的半径．【解答】解：（1）圆C：x2+（y﹣25）2=252．直线PB方程：x﹣y+50=0．设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），因为直线PF与圆C相切，所以，解得…（6分）所以直线PF方程：，即4x﹣3y+200=0…（8分）（2）设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圆C：x2+（y﹣r）2=r2．因为tan∠APF=tan（∠GPF﹣∠GPA）==，所以…（10分）所以直线PF方程：，即40x﹣9y+2000=0．因为直线PF与圆C相切，所以，…（13分）化简得2r2+45r﹣5000=0，即（2r+125）（r﹣40）=0．故r=40…（16分）19．（16分）已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．（1）若，△ABM的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上．若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线，直线BM：y=x﹣b．联立可得M．=x M==1．∴S△ABM又∵，∴b=c=1．∴椭圆方程为．（2）∵M，∴D．代入椭圆方程得+=1，化简得2e4﹣2e2+1=0，此方程无解，∴不存在这样的椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若a=2，求函数f（x）的极值；（2）已知函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若此切线在点A处穿过y=f（x）的图象（即函数f（x）上的动点P在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式；（3）若a＞0，函数g（x）=f（x）﹣ax有且只有一个零点，求实数a的值．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=2x﹣=2，故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故f（x）在x=1处有极小值f（1）=1﹣0=1；（2）∵f（x）=x2﹣alnx，∴f′（x）=2x﹣，f″（x）=2+；∵切线在点A处穿过y=f（x）的图象，∴f″（1）=2+a=0，故a=﹣2；故f（x）=x2+2lnx；（3）函数g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣alnx﹣ax，∵函数g（x）=f（x）﹣ax有且只有一个零点，∴方程x2﹣alnx﹣ax=0有且只有一个解，∴方程=有且只有一个解，令h（x）=，则h′（x）==；故h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；=﹣∞，h（1）==1，=0；故=1；故a=1．数学加试试卷解答题21．已知圆C：x2+y2+2x=15，M是圆C上的动点，N（1，0），MN的垂直平分线交CM于点P，求点P的轨迹方程．【解答】解：由题有NP+PC=MP+PC=4＞NC，故点P的轨迹为以C、N为焦点，长轴长为4的椭圆…（5分）所以点P的轨迹方程为…（10分）22．已知函数，f′（x）为f（x）的导函数．若g（x）=f（x）+f′（x）为奇函数，求φ的值．【解答】解：因为，所以g（x）=sin（x+φ）+cos（x+φ）=2sin（x+φ+）…（3分）因为g（x）为奇函数，所以φ+=kπ…（7分），即φ=kπ﹣，因为0＜ϕ＜π，所以…（10分）23．P是△ABC内一点，且满足条件+2+3=，设Q为延长线与AB的交点，令=p，用p表示．【解答】解：∵=+，=+，P是△ABC内一点，且满足条件+2+3=，∴（+）+2（+）+3=，∴+3+3=．又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，故可设=λ，=μ，∴λ+3+2+3μ=，∴（λ+2）+（3+3μ）=．再根据和不共线，∴λ+2=0，3+3μ=0，求得λ=﹣2，μ=﹣1，∴=﹣．结合=p，可得=2．24．已知．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意，存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2），求实数b取值范围．【解答】解：（1），，令h（x）=ax2﹣x+1﹣a（x＞0），由h'（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a，解得x1=1，．当时，﹣1＞1＞0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，﹣1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，综上所述：当0＜a＜时，函数f（x）的增区间为（1，﹣1），减区间为（0，1）和（﹣1，+∞）．（2）当a=时，f（x）在[，1）上是减函数，在（1，e）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），∴当x∈[，e]，f（x1）的值域为B=[﹣，﹣﹣2]又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]的值域为A，∵f（x1）=g（x2），∴B⊆A（*），当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b≥0与（*）矛盾；当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4﹣b2≥0也与（*）矛盾；当b＞2时，A=[8﹣4b，5﹣2b]，∴8﹣4b≤﹣，5﹣2b≥﹣﹣2，∴≤b≤（7﹣+），故实数b取值范围[，（7﹣+）]。

江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷

江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷

江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B=．2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．4．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为．6．（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为．7．（5分）如图所示的算法中，输出的结果是8．（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为．9．（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l过点P（3，1），则当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为．11．（5分）已知等比数列{a n]的前n项和为S n，且a1+a3=1+a2+a4，S4=2，则数列{a n]的公比q为．12．（5分）已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在R上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+++=10，则2x+y的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥CD．（1）求证：直线AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．17．（14分）如图，海平面某区域内有A、B、C三座小岛（视小岛为点），岛C在A的北偏东70°方向，岛B在C的南偏西40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A、B两岛间的距离为3n mile．求A、C两岛间的距离．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞）的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2+（y﹣2）2=1上任意一点，求PQ的最大值．19．（16分）已知无穷数列{a n]满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意n∈N*，都有a n＞0，a2n+1=a n a n+2+4．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣c，g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（1）若ac＜0，求证：函数y=g（x）有极值；（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c＞1．江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B={﹣2，﹣1，2，3}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据两集合并集的感念进行求解即可．解答：解：集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B={﹣2，﹣1，2，3}故答案为：{﹣2，﹣1，2，3}点评：本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．解答：解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）点评：本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．4．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y===，其中θ=arctan2．再利用周期性公式即可得出．解答：解：y===，其中θ=arctan2．∴最小正周期为．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，3），（3，4）共4个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为P==，故答案为：点评：本题主要考查随机事件的性质，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为150．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．解答：解：每个个体被抽到的概率为=，∴本科生被抽的人数是×3000=150故答案为：150．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题．7．（5分）如图所示的算法中，输出的结果是11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当x=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=3，x=2；当x=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=5，x=3；当x=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=7，x=4；当x=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=9，x=5；当x=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=11，x=6；当x=6时，不满足进行循环的条件，故输出结果为11，故答案为：11点评：本题考查的知识点是程序语句，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣1的图象上又在直线y=x+a上，即可求出b的值．解答：解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在曲线y=lnx的图象上∴n=0，而切点（1，0）又在直线y=x+a上∴a=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由=，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB 1C的体积．解答：解：∵各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，∴B 1M⊥平面ACM，且B1M=，，∴三棱锥M﹣AB1C的体积：====．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l过点P（3，1），则当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：化已知圆为一般式，得到圆心C（1，2），半径r=5，利用垂径定理结合题意，即可求出直线l的方程．解答：解：圆方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心C（1，2），半径r=5，∴k CP==﹣，∴当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．故答案为：2x﹣y﹣5=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知等比数列{a n]的前n项和为S n，且a1+a3=1+a2+a4，S4=2，则数列{a n]的公比q为．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a1+a3=1+a2+a4得（a1+a3）﹣（a2+a4）=1，再由S4=2得，S4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）﹣2（a2+a4），化简后利用等比数列的通项公式求出公比q．解答：解：∵a1+a3=1+a2+a4，S4=2，∴（a1+a3）﹣（a2+a4）=1则S4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）﹣2（a2+a4），即3（a2+a4）=a1+a3，3（a1q+a1q3）=a1+a1q2，解得q=，故答案为：．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及变形化简能力，属基础题．12．（5分）已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=﹣14．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，C（0，0），A（3，0），B（0，4），设D（x，0），E（0，y）．则=（x，﹣4），=（3，0），=（﹣3，y），=（0，4）．∵•=6，•=8，∴3x=6，4y=8，解得x=2，y=2．则•=（﹣3，2）•（2，﹣4）=﹣6﹣8=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在R上为增函数，则实数a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数在R上为增函数，得到3+a≥1+a2，解得﹣1≤a≤2，再分类讨论x＞1时，x≤1时，根据函数的函数的单调性得到a∈R，求交集得到a的范围．解答：解：∵f（x）=，若f（x）在R上为增函数，∴3+a≥1+a2，解得﹣1≤a≤2，当x＞1时，函数f（x）=3x+a为增函数，∴a∈R．当x≤1时，函数f（x）=x+a2为增函数，∴a∈R．综上所述，实数a的取值范围是故答案为：点评：本题主要考查了函数的单调性，关键是根据函数的单调性构造关于a的不等式，属于基础题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+++=10，则2x+y的最大值为18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：x+++=10，变形为+=10．∵x＞0，y＞0，∴10（2x+y）=+10+≥+2=+18，当且仅当y=4x=或12时取等号．化为（2x+y﹣18）（2x+y﹣2）≤0，解得2≤2x+y≤18．∴2x+y的最大值为18．故答案为：18．点评：本题考查了用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合B=，通过三角形内角即可求A；（2）利用已知条件化简求出tanA=3tanB，通过tanA=2，即可求tanB的值．解答：解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A﹣B），B=，得sin（A+）=2sin（A﹣）．∴．化简，得sinA=cosA．∴tanA=．又A∈（0，π），∴A=．（2）∵sin（A+B）=2sin（A﹣B）．∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB﹣cosAsinB）．化简，得3cos AsinB=sinAcosB．又cosAcosB≠0，∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算能力．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥CD．（1）求证：直线AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB∥CD，由此能证明AB∥面PDC．（2）由已知得CD⊥AD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．解答：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴AB∥CD．…（2分）又DC⊂面PDC，AB不包含于面PDC，…（4分）∴AB∥面PDC．…（7分）（2）证明：∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，…（9分）又PA⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD．…（11分）又CD⊂面PDC，∴面PAD⊥面PCD．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（14分）如图，海平面某区域内有A、B、C三座小岛（视小岛为点），岛C在A的北偏东70°方向，岛B在C的南偏西40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A、B两岛间的距离为3n mile．求A、C两岛间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先求出∠ABC=105°，再在三角形ABC中，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意可知∠CAB=45°，∠ACB=30°．…（4分）则∠ABC=105°．…（6分）在三角形ABC中，由正弦定理可得．…（8分）∴AC=6sin105°=（+）．…（12分）答：A、C两岛间的距离为（+）n mile．…（14分）点评：正确认识方向角的含义是解决本题的关键．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞）的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2+（y﹣2）2=1上任意一点，求PQ的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用e==，b2=2，a2=b2+c2．解出即可．（2）由圆E：x2+（y﹣2）2=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，可得|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，可得=6﹣．于是|EP|2=．由于，利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵e==，又b2=2，a2=b2+c2．解得a2=6．∴椭圆C的方程为．（2）由圆E：x2+（y﹣2）2=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，∴|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，则，即=6﹣．∴|EP|2=+=6﹣+=．∵，∴当y 1=﹣1时，|EP|2取得最大值12，即|PQ|+1．∴|PQ|的最大值为+1．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（16分）已知无穷数列{a n]满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意n∈N*，都有a n＞0，a2n+1=a n a n+2+4．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件，令n=1，得=a1a3+4，令n=2，得，由此能求出a2，a3，a4的值．（2）由=a n a n+2+4，得+4，由此推导出数列{}为常数数列从而能求出a n=2n﹣1．解答：解：（1）由条件，∀n∈N*，=a n a n+2+4，令n=1，得=a1a3+4．…（2分）又∵2a2=a1+a3，且a1=1，解得a2=3，a3=5．…（4分）再令n=2，得，解得a4=7．…（6分）（2）∵=a n a n+2+4，①∴+4，②由①﹣②得，=（a n a n+2+4）﹣（a n+1a n+3+4）=a n a n+2﹣a n+1a n+3…（8分）∴，∴a n+1（a n+1+a n+3）=a n+2（a n+a n+2），∴，∴数列{}为常数数列．…（12分）∴==2，∴a n+a n+2=2a n+1，∴数列{a n}为等差数列．…（14分）又公差d=a2﹣a1=2，∴a n=2n﹣1．…（16分）点评：本题考查数列中前4项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣c，g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（1）若ac＜0，求证：函数y=g（x）有极值；（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c＞1．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求导数，函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x﹣α）（x﹣β），利用零点存在定理，即可证明结论；（2）记h（x）=e x﹣cx﹣c，则h′（x）=e x﹣c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点，即可得出结论．解答：证明：（1）由g（x）=ax3+bx2+cx得g′（x）=ax2+bx+c，∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．…（4分）∴函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x﹣α）（x﹣β）∴若x1＜α＜x2＜β＜x3，则g′（x1）g′（x2）＜0，g′（x2）g′（x3）＜0．∴g（x）有极值．…（6分）（2）由e x﹣c=cx，得e x﹣cx﹣c=0，记h（x）=e x﹣cx﹣c，则h′（x）=e x﹣c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点…（9分）若c≤0，h（x）单调递增，则h（x）最多1个零点，矛盾．…（11分）∴c＞0．此时，令h′（x）=0，则x=lnc．列表：x （﹣∞，lnc）lnc （lnc，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）∴h（x）min=h（lnc）=﹣clnc＜0，∴c＞1．…（16分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

江苏省南通市如皋中学2015届高三数学上学期调研试卷(一)理(含解析)

江苏省南通市如皋中学2015届高三数学上学期调研试卷(一)理(含解析)

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= ．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= ．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= ．13．已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i+1，其虚部为：1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= 3 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=m+1，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= 9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，代入即可得到答案．解答：解：由于=（3，3），=（1，﹣1），则||=3，||=，=3﹣3=0，由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，即有18﹣2λ=0，解得λ=9．故答案为：9．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ﹣8 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值．解答：解：由题意可得cosα=﹣=，求得x=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为 1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．解答：解：根据题意，则a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．故答案为：1．点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”是真命题．∴方程x2+4x+m=0根的判别式：△=42﹣4m≤0．∴m≥4．故答案为：[4，+∞）．点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5．原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25．最小值为．x2+y2的取值范围是．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答：解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k⇒﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为﹣7 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，从而g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．解答：解：∵奇函数f（x）=，∴f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，∴g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．故答案为：7．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为 5 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，∴n=2+1=3，函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+m，且f′（1）=3+m=2，解得m=﹣1，切点P（1，3）在曲线上，则1﹣1+c=3，解得c=3，故m+n+c=﹣1+3+3=5，故答案为：5点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得：＞2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（m）+f（2n）=1，∴log4（m﹣2）+log4（2n﹣2）=1，且m＞2，n＞1．化为（m﹣2）（2n﹣2）=4，即mn=2n+m．∴＞2，∴m+n=n+=n﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号．∴m+n的最小值是3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= 1 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=60°得出|+||+2||•||COS ∠APB=λ2||，从而求出λ的值．解答：解：如图示：，∵，∴+=﹣λ，∴=λ2，∴||+||+2||•||COS∠APB=λ2||，又∵点P是△ABC的外心，∠C=60°，∴||=||=||=R，∠APB=120°，∴R2+R2+2•R•R•（﹣）=λ2R2，∴λ2=1，∵，∴λ=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13．（3分）（2014秋•如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f （）sinx的解集为（，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．解答：解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，则f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，构造函数g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）=＜0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）＜2f（）sinx等价为式＜=，即g（x）＜g（），则＜x＜，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2=﹣2x；当a2＜x≤3a2时，f（x）=x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2=﹣2a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2=2x﹣8a2．画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．∵∀x∈R，f（x+2）≥f（x），∴8a2≤2，解得a∈[﹣12，12]．点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．解答：解：（1）∵sin（A+）=，∴cos（2A+）=1﹣2sin2（A+）=，则sin（2A﹣）=sin（2A+﹣）=﹣cos（2A+）=﹣；（2）∵cosA=，b=3c，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a2+c2=b2，即B为直角，则sinC==．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ的值．解答：解：（1）∵=3，由题意可得=+=+=+（﹣）=+，再根据=x+y，∴x=，y=．（2）∵已知||=4，||=2，且•=﹣9=4×2×cosθ（θ为与的夹角），∴cos θ=，可得θ=60°，即求与的夹角为60°．点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来．解答：解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；a=﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答：解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4），当a＞2时，f（x）在[0，1]和[，4]上单调递增，在[1，]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4），当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案．解答：解：（1））设∠EFD=θ，EF=l，过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=，在△CME中，CE=，∴l=+，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴l′=﹣+=0，可得tanθ=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在△CFD中，CF=，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ∴灯带长L=+++8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴L′=0，可得tanθ=1此时BE=16米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）==（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，则函数y=f（x）•g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）F（x）==（x＞0且x≠1），则令F'（x）==0，即，即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，故|x+a﹣x|=|a|＜1，则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．。

2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷

2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷

2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：根据所给的关于复数的等式，写出复数z的表达式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果，然后求出复数的模即可得到答案．解答：解：∵复数z满足zi=1+2i，∴z=，所以z的模为．故答案为．点评：本题考查复数的代数形式的除法运算，以及复数的求模运算，是一个基础题，这种题目一般出现在高考卷的前几个题目中，是一个必得分题目．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．解答：解：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．“x=2”⇒“∥”；充分不必要条件．故答案为充分不必要条件点评：理解向量平行的坐标运算以及会充分必要条件的判断．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为f（x）=3cos（x+）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的顶点（﹣，3）、（，﹣3）可得A=3，T==，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣）+φ=0，求得φ=，故有函数f（x）=3cos（x+），故答案为：f（x）=3cos（x+）．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．解答：解：（1）当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=﹣1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a＜﹣1时，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故答案为（﹣1，0）．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出不等式组表示的平面区域；通过x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；结合图象求出（1，0）到直线的距离即可．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；点到直线的距离公式可得：，x2+y2﹣2x的最小值为：（）2﹣1=1故答案为：1．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是[，）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由f′（x）==+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．解答：解：∵函数，∴y′==+≥2=（当且仅当=取等号），∴y′∈[，+∞），∴tanθ，又0≤θ＜π，∴≤θ．故答案为：[，）．点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．解答：解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得CP垂直平分AB，且y0=2x0．直线垂直的关系，解得x0与a的关系，把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围．解答：解：圆x2+y2+2x﹣3=0即（x+1）2+y2=4，表示以C（﹣1，0）为圆心，半径等于2的圆．∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x0，y0）在直线y=2x上，∴y0=2x0．又CP的斜率等于，∴•a=﹣1，解得x0=．把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0可得，（a2+1）x2+（4a+2）x+1=0．由△=（4a+2）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2+16a＞0，得a＞0或a＜﹣．∴﹣1＜＜0，或0＜＜．故x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，），故答案为：（﹣1，0）∪（0，）点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．利用直线和圆的位置关系结合判别式△是解决本题的关键．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据题意先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确．解答：解：①当x∈（，]时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣0|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣1|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣2|，…作出函数的图象如右图：由图可知：①错，②，③对，再作出y=lnx的图象可判断x∈（0，2]时有两个交点，④对故答案为：②③④．点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题，考查由函数图象研究函数的性质，作图及识图能力、数形结合思想．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据条件求出命题p，q成立的等价条件，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，2x∈（0，1]，∵1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立，∴1≥a•2x，∴a≤，∵当x≤0时，≥1，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．∵命题p和q有且仅有一个正确，∴①若p正确而q不正确，则，即a≤，②若q正确而p不正确，则，即a＞1，故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．求出命题的等价条件是解决本题的关键．注意函数的定义域的合理运用．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C﹣的范围，再由sin（2C﹣）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围．解答：解：（1）∵a2+b2＜c2，∴由余弦定理得：cosC=＜0，∴C为钝角，∴＜2C﹣＜，∵sin（2C﹣）=，∴2C﹣=，则C=；（2）由（1）得C=，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2，即（）2≤，≤，又a+b＞c，即＞1，则的范围为（1，]．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；转化思想．分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ 的周长l为定值．（2）利用S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，∠DAQ=45°﹣θ，DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，∴PQ===．∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2．（2）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1﹣﹣=2﹣≤2．当t=时取等号．探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2（平方百米）．点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据圆的标准方程求出即可；（2）先求出圆心和半径以及圆心C到直线l的距离d，从而得到答案；（3）分别证明圆M与直线l相切，圆M与圆C相离，从而证出结论．解答：解：（1）∵D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，∴F2＞4F，解得：F＞4；（2）易得圆C的圆心C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离d==，∴d2﹣r2=﹣=1；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明如下：1°：∵M（0，0）到直线l的距离为：=1=R，∴圆M与直线l相切；2°：∵CM==，且R+1=+1，∴＞+1⇔＞⇔4＞0，∴CM＞R+1，∴圆M与圆C相离，综上，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．点评：本题考察了直线和圆的位置关系，考察圆的标准方程，是一道中档题．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；（2）在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，等价于2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解，分类讨论，可求m的取值范围；（3）求出切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx ﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解，分类讨论，可求m的值．解答：解：（1）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2﹣x+lnx，所以f′（x）=﹣2x﹣1+=﹣，所以当0＜x＜，f′（x）＞0，当x＞，f′（x）＜0，因此当x=时，f（x）max=f（）=﹣﹣ln分）（2）f′（x）=2mx﹣1+=，即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．①m≤0显然成立；②m＞0时，由于对称轴x=＞0，故△=1﹣8m＞0，所以m＜，综上，m＜．（8分）（3）因为f（1）=m﹣1，f′（1）=2m，所以切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解．令g（x）=mx2﹣x+lnx﹣2mx+m+1，则g′（x）=2mx﹣1﹣2m+==（10分）所以1°m=，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，所以mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1只有一解．（12分）2°0＜m＜，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，），g′（x）＜0；x∈（，+∞）），g′（x）＞0，由g（1）=0及函数单调性可知g（）＜0，因为g（x）=mx[x﹣（2+）]+m+lnx+1，取x=2+，则g（2+）＞0．因此在（，+∞）），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意（14分）3°m＞，x∈（0，），g′（x）＞0；x∈（，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，同理在（0，），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意．（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题设知，由此能求出a1+a3+a5+…+a2k﹣1的值．（2）①由a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，知2a2k+1=a2k+a2k+2，再由，能够证明{b k}是等差数列，且公差为1．②由d1=2，得a3=a2+2，解得a2=2，或a2=﹣1．由此进行分类讨论，能够求出D k．解答：解：（1）∵数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，公比q k=2（k∈N*），∴，∴a1+a3+a5+…+a2k﹣1==．（2）①∵a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，∴2a2k+1=a2k+a2k+2，而，a2k+2=a2k+1•q k+1，∴，则，得，∴，即b k+1﹣b k=1，∴{b k}是等差数列，且公差为1．②∵d1=2，∴a3=a2+2，则有，解得a2=2，或a2=﹣1．（i）当a2=2时，q1=2，∴b1=1，则b k=1+（k﹣1）×1=k，即，得，∴=，则==（k+1）2，∴，则d k=a2k+1﹣a2k=k+1，故．（ii）当a2=﹣1时，q1=﹣1，∴，则=k﹣．即，得，∴=××…××1=（k﹣）2．则=（2k﹣1）（2k﹣3），∴d k=a2k+1﹣a2k=4k﹣2，从而D k=2k2，综上所述，D k=，或．点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。

江苏省南通中学2015届高三12月月考(数学)试卷及答案

江苏省南通中学2015届高三12月月考(数学)试卷及答案

南通中学2015届高三12月月考数学参考公式：锥体的体积公式 13V S h =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式 V S h =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．设复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅=▲ .5-2．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被 选中的概率是 ▲ .123．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ .134．为了调查城市 2.5PM 的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6、12、18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .45．设集合{}1,2M =、{}2N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的 ▲ 条件．充分不必要条件（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写）6．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：3-是整数；结论：3-是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 ▲ 错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）. 大前提7．关于x 的不等式22230(0)x ax a a --<<的解集为12(,)x x ，且2112x x -=，则实数a 的值等于 ▲ . 3-8．已知抛物线28y x =的焦点是双曲线22213x y a -=（0a >）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 ▲ .第3题12x =9．设x 、y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且ay x z -=的最小值为7，则实数=a ▲ .3-10．在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，角120A ︒=，2AB AC ⋅=-，则||AM 的最小值为▲ .设AB c =、AC b =，由1AB AC ⋅=-，120A ︒=得4bc =，倍长AM 至D ，则60ABD ︒∠=，由余弦定理得22224AD b c bc bc bc bc =+-≥-==，即22AM AD =≥，1AM ≥即||AM 最小值为1.11．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(,0)B m （0m >），若圆上存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最小值为 ▲ .显然2AB m =，因为90APB ︒∠=，所以12OP AB m ==，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为5OC =，所以min ()4OP OC r =-=，即m 的最小值为4.12．如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为▲ ./22(1)(1)()0(1)x x f x x -+-==+得1x =为极大值点，且1(1)2f =，设A 、B 的纵坐标为1(0)2k k <<，则由21x k x =+得 20kx x k -+=，1A B x x k+=，1A B x x ⋅=，所以||A B AB x x =-==2V k π===24π≤，当且仅当4k =时取“=”，此时0∆>，故旋转体体积的最大值为4π.13．设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 ▲ .方法1：设1a ，2a ，3a 依次为a d -，a ，a d +，因为12a a >，所以0d <，因为12b b >，所以01q <<， 又2213b b b =，所以422222()()()a a d a d a d =-+=-，则222a d a =-或222a a d =-（舍），所以d =.若d =，则222222222111())b a a aq b a aa d=======+>-（舍）；若d =，则222222222111()()1)1b a a a q b a a a d ======<-，所以3q =-方法2:易知422213a a a =，则2213a a a =±，若2213a a a =，则123a a a ==（舍），若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，所以22113360a a a a ++=，所以23311()610a aa a +⋅+=，则313a a =-又2223332111()b a aq b a a ===且01q <<，所以3q =-14．已知函数()af x x x=-，且对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .因为2(1)(1)(1)11a a x f x x x x ---=--=--，所以对任意(0,1)x ∈，都有22(1)11a x a x x x---⋅≥-即 22()[(1)](1)a x a x x x -⋅--≥-恒成立，整理得222(1)(21)(1)()0x x a x x a a -+--+-≥，令(1)x x t -=，则104t <≤，问题等价于22(21)()0t a t a a +-+-≥对104t <≤恒成立，令22()(21)()g t t a t a a =+-+-，因为22(21)4()10a a a ∆=---=>，所以211241()04a g -⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或 2102(0)0a g -⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩，即21416830a a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩或2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，所以141344a a ora ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或1201a a ora ⎧≥⎪⎨⎪≤≥⎩，所以14a ≤-或1a ≥.另解1：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0t a t a +⋅++≥，所以1t a ≥-+或t a ≤-，由题意得10a -+≤或14a -≥即14a ≤-或1a ≥. 另解2：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0a t a t +⋅++≥，所以1a t ≥-+或a t ≤-， 因为104t <≤，所以3(1)14t ≤--<或104t -≤-<，由题意得14a ≤-或1a ≥. 另解3：()[(1)]11a a x x x x ---≥-，设1x m x n =⎧⎨-=⎩，则01011m n m n <<⎧⎪<<⎨⎪+=⎩，又2212m n mn +=-，所以()()1a a m n m n --≥即2()10a n m a mn mn m n-++-≥，即2(21)(1)0a mn a mn mn +-+-≥，即 ()(1)0a mn a mn ++-≥，所以a mn ≤-或1a mn ≥-+，因为104mn <≤，所以由题意得14a ≤- 或1a ≥.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠= （0θπ<<），点C 坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（Ⅰ）求t OA OQ S =⋅+的最大值；y（Ⅱ）若CB ∥OP ，求sin(2)3πθ-．【解析】（Ⅰ）∵(1,0)OA =，(cos ,sin )P θθ，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+，∴1cos OA OQ θ⋅=+，而12||||sin sin 2S OA OP θθ=⋅⋅⋅⋅=， 所以1cos sin 12sin()4t OA OQ S πθθθ=⋅+=++=++，………………………………4分∵0θπ<<，∴当4πθ=时，t OA OQ S =⋅+取得最大值为1+7分（Ⅱ）(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=，由CB ∥OP 得cos 2sin θθ=，又0θπ<<，结合22sin cos 1θθ+=得sin θ=，cos θ=4sin 25θ=，3cos 25θ=， (11)分所以sin(2)3πθ-sin 2coscos 2sin33ππθθ=⋅-⋅=．……………………………………14分 16．（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 、F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）求四面体CDFN 体积的最大值．（翻折前） （翻折后）【解析】（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，∴MN ∥EF ∥CD ，MNEF CD ==，∴四ABCDEF边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ，又∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ；………………………………………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NE x =，则4E C x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=-21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-，即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2．…………………………………………14分17．（本题满分14分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，103PQ =km ，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场Q ，已知游船以10/km h 的速度沿方位角θ的方向行驶，3sin 5θ=．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小艇先到达湖岸南北大道M 处，然后乘景区电动出租车到停车场Q 处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车）．游客甲乘小艇行驶的方位角是α，电动出租车的速度为70/3km h ．（Ⅰ）设4sin 5α=，问小艇的速度为多少/km h 时，游客甲才能与游船同时到达点Q ；（Ⅱ）设小艇速度为10/km h ，请你替该游客设计小艇行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．【解析】（Ⅰ）方法一：如图，作PNAB ⊥，N 为垂足，3sin 5θ=，4sin 5α=， 在Rt PNQ ∆中，103sin 235PN PQ θ=⋅=⋅=（km ）， cos QN PQ θ=⋅=1048353⋅=（km ）．在Rt PNM ∆中， BAMN QM BA234tan 23PN MN α===（km ）．76Q M Q N M N =-=， 5cos 2NM PM α==，………………………………………4分设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，则1101310103PQ t ===（h ）， 设小艇的速度为1/v km h ，则2111755162707022033PM MQ t v v v =+=+=+（h ），由已知得21120t t +=，即15111220203v ++=，∴1757v =，∴小艇的速度为75/7km h 时，游客甲才能与游船同时到达Q ； ………………………………………………8分（Ⅰ）方法二：如图，∵3s i n 5θ=，4sin 5α=，∴4c o s 5θ=，3cos 5α=，sin sin()QPM αθ∠=-= sin cos cos sin αθαθ⋅-⋅725=，由正弦定理得sin()sin()QM QPαθπα=--，所以76QM =，sin sin()PM PQθπα=-，所以52PM =．下同方法一；（Ⅱ）在Rt PNM ∆中，∵2sin sin PN PM αα==（km ），2c o s t a n s i n PN MN ααα==（km ）． ∴82cos 3sin QM QN MN αα=-=-（km ），所以143cos 70105sin 3535sin 3PM QM t ααα=+=+-173cos 435sin 35αα-=⨯+． ………………………………………………………………………11分 ∵2/2213sin (73cos )cos 37cos 35sin 35sin t αααααα---=⨯=⋅，∴令/0t =得3cos 7α=．当3cos 7α<时， /0t >；当3cos 7α>时，/0t <．∵cos y α=在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角α满足 3cos 7α=时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． ………………………………14分18．（本题满分16分）已知函数21()ln 2f x x a x =-⋅（a R ∈），2()24g x x mx =-+（m R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求实数a 与b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调减区间；（Ⅲ）当1a =时，若对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）/()a f x x x =-，由/(2)212a f =-=得2a =，∴21()2ln 2f x x x =-，(2)22ln 2f =-，即切点为(2,22ln 2)-，代入方程y x b =+得2ln 2b =-；……………………………………5分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2/()a x af x x x x-=-=，①当0a ≤时，/()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()f x 无减区间；②当0a >时，由/()0f x <得0x <<()f x 减区间为；…………………………………………………………10分（Ⅲ）由题意可得[1,2]x ∈时，min min ()()f x g x ≥． ……………………………………………12分∵1a =时，/1(1)(1)()0x x f x x x x+-=-=>，()f x 在[1,2]x ∈为增函数，∴m i n1()(1)2f x f ==，222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-．①当1m <时，()g x 在区间[1,2]上递增，所以min 1()(1)522g x g m ==-≤，由1522m -≤解得94m ≥，舍去；②当12m ≤≤时，2min 1()()42g x g m m ==-≤，解得m ≤m ≥2m ≤≤；③当2m >时，()g x 在区间[1,2]上递减，所以min 1()(2)842g x g m ==-≤，由1842m -≤解得158m ≥，∴2m >.综上，2m ≥…………………………………………………………………………16分 19．（本题满分16分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线:l103x =分别交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段MN 长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TBE ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）令0x=得1y =，所以(0,1)D ，所以1b =，令0y =得2x =-，所以(2,0)A -，所以2a =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；……………………………………………………………5分（Ⅱ）显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为(2)y k x =+（0k >），联立得(2)103y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1016(,)33k M ，由22(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=， 显然16∆=，由求根公式得222814k x k -==+或222814k x k--==+（舍），所以222284(,)1414k k E k k -++，从而直线BE 的方程为1(2)4y x k =--，联立得1(2)4103y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 101(,)33N k -，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当14k =时取“=”，因此，线段MN 长度的最小值为83；………………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，14k =时线段MN 的长度最小，此时64(,)55E，5BE =，因为TBE ∆的面积 为S =15，所以点T 到直线BE的距离为24S d BE ==，因为直线BE 的方程为20x y +-=，设 过点T 且与直线BE 平行的直线m 的方程为0x y t ++=(2)t ≠-=32t =-或52t =-，当32t =-时，直线m 的方程为302x y +-=，联立得 2230244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得251250x x -+=，显然判别式0∆>，故点T 有2个；当52t =-时，直线m 的方程为502x y +-=，联立得2250244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得2520210x x -+=，显然判别式0∆<，故点T 不存在．所以，椭圆C 上存在两个点T ，使得TBE ∆的面积为15．…………………………………………16分 20．（本题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，221n n a a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的m N *∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m内的项的个数记为{}m b ．①求数列{}m b 的通项公式； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 前m 项的和为m T ，求出所有使得等式111m m t T t T t c +-=-+成立的 正整数m ，t ．【解析】（Ⅰ）设公差为d ，首项为1a ，则由423S S =得114(41)2(21)43[2]22a d a d ⋅-⋅-+⋅=+⋅， 即123d a =；由221n n a a =-得21n n a nd a +=-，∴1n a nd =+，将123d a =代入1n a nd =+得1213n n a a =+，令1n =得13a =，从而2d =，故21n a n =+；…………4分 （Ⅱ）①令22212m m n <+<，则121112222m m n ---<<-，即121221m m n --≤≤-， ∴21122m m m b --=-；………………………………………………………………………………8分 ②2211221()222m m m m m c b ---===-，显然数列{}m c 是首项为2，公比为12的等比数列，前m 项 的和为m T 14(1)2m =⋅-，由111m m t T t T t c +-=-+取倒数得11m m t m T c t c T t ++-=+-，即111m t m c c T t++=+-，即 1221()12()12(4)()2m t m t ---=--化简得221(4)242m t t -=-⋅-即1(4)242m t t --⋅-=，即1(4)242m t t --⋅=+， ∵1240t -+>，∴(4)20m t -⋅>，∴4t <，又t N *∈，∴1t =或2t =或3t =．……………12分当1t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得325m ⋅=，显然无正整数解；当2t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得226m ⋅=，即23m =，显然无正整数解；当3t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得28m =，显然3m =为正整数解．综上，存在符合条件的正整数3t =，3m =．…………………………………………………………………………………………………16分Ⅱ 附加题部分21．【选做题】B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 方程．【解析】由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）已知直线l的参数方程为122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值．【解析】（Ⅰ）直线lcos()14πθ+=-，曲线C 的普通方程为2y x =；（Ⅱ）将1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．另解：显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 得210x x --=，所以1122x =+、2122x =-13(2222A --，13(2222B ++，则32(22MA =-、32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-=． 【选做题】22．（本题满分10分）如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都为点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，且13PM BN PA BD ==． （Ⅰ）求证：MN AD ⊥；（Ⅱ）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底边长都为 ∴3OA =，3OP =，则(3,0,0)A ，(0,3,0)B 、(0,3,0)D -，(0,0,3)P ，所以(1,0,2)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2)0MN =--≠，(3,3,0)0AD =--≠，∴(1)(3)1(3)(2)00MN AD ⋅=-⋅-+⋅-+-⋅=，所以MN AD ⊥；（Ⅱ）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(3,0,3)AP =-，由00n A D n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330330x y x z --=⎧⎨-+=⎩， 取1z =，则1x =，1y =-，即(1,,1)n =-，则111c o s ,||||n MN n MN n MN ⋅-⨯+<>==⋅3=-MN 与平面PAD 所成角为θ，22sin |cos ,|3n MN θ=<>=，MN 与平面PAD 所成 角的正弦值为3．23．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)M ，P 是动点，且POM ∆的三边所在直线的斜率满足OM OP PM k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）点N 在直线41y x =-上，过N 作（Ⅰ）中轨迹C 的两切线，切点分别为A 、B ，若ABN ∆ 是直角三角形，求点N 的坐标．【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，由OM OP PM k k k +=得212y y x x -+=-，即22x y =，所以P 点的轨迹C 的方程是22x y =(0x ≠且2)x ≠；（Ⅱ）因为212y x =，所以'y x =，设2111(,)2A x x ，2221(,)2B x x （12x x ≠），(,)Nab ，则1AN k x =， 2BN k x =，由于AN 是曲线的切线，所以211112x b x x a-=-，即211220x ax b -+=，同理222220x ax b -+=，两式相减得121212()()2()0x x x x a x x +---=，又12x x ≠，故122x x a +=．1︒ 若AN BN ⊥，则1AN BNk k =-，所以121x x =-，由⎧⎪⎨⎪⎩211222122202201x ax b x ax b x x -+=-+==-得 221212()2()40x x a x x b +-++=即2121212[()2]2()40x x x x a x x b +--++=即2(2)22240a a a b +-⋅+=，所以12b =-，又41b a =-，所以18a =，此时11(,)82N -； 2︒ 若AN AB ⊥，则1AN AB k k =-，即222112111221x x x x x -⋅=--，化简得121()20x x x ++=，即。

江苏省南通中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷(含解析)

江苏省南通中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷(含解析)

江苏省南通中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．（5分）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1•z2=．2．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．4．（5分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为．5．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要）6．（5分）若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数，小前提：﹣3是整数．结论：﹣3是自然数．”这个推理显然错误则推理错误的是．（选填“大前提”、“小前提”或“结论”之一）7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．9．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=．10．（5分）在△ABC中，点M是BC的中点，角A=120°，•=﹣2，则||的最小值为．11．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．12．（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．13．（5分）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．16．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．17．（14分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣a•lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求实数a与b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）当a=1时，若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．19．（16分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．附加题：【选修4-2：矩阵与变换】21．已知M=，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F 的方程．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．【选做题】23．如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，2），P是动点，且△POM的三边所在直线的斜率满足k OM+k OP=k PM．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）点N在直线y=4x﹣1，过N作（1）中轨迹C的两切线，切点分别为A，B，若△ABN是直角三角形，求点N的坐标．江苏省南通中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．（5分）设复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则z1•z2=﹣5．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．解答：解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，∴z2=﹣2+i．∴z1•z2=﹣（2+i）（2﹣i）=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．2．（5分）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．考点：计数原理的应用．专题：计算题；概率与统计；排列组合．分析：求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．解答：解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是=．故答案为：．点评：本题考查甲被选中的概率，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为21．考点：伪代码．专题：计算题．分析：第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．解答：解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环故答案为：21点评：本题考查伪代码，考查学生的读图能力，考查学生的理解能力，属于基础题．4．（5分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为4．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：用样本容量乘以乙组城市数所占的比例，即得乙组中应抽取的城市数．解答：解：乙组城市数所占的比例为=，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×=4，故答案为 4．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．5．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：应用题．分析：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N⊆M”为真命题；若N⊆M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立，从而可判断解答：解：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N⊆M”为真命题若N⊆M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立∴a=1是N⊆M的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是准确利用集合之间的包含关系的应用．6．（5分）若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数，小前提：﹣3是整数．结论：﹣3是自然数．”这个推理显然错误则推理错误的是大前提．（选填“大前提”、“小前提”或“结论”之一）考点：进行简单的合情推理．专题：规律型；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误．解答：解：大前提：整数包含自然数与负整数．故大前提错误．故答案为：大前提．点评：本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=12，则实数a的值等于﹣3．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．解答：解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1•x2=﹣3a2，又x2﹣x1=12因为（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1•x2，所以144=4a2+12a2=16a2，解得a=±3，因为a＜0，所以a=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=﹣3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意易得最小值在点（，）处取到，代值解a验证可得．解答：解：不等式组所对应的可行域为两直线相交所称的角形区域，联立，可解得，故最小值在点（，）处取到，∴﹣a•=7，解得a=﹣3或5，经验证当a=5时，目标函数取最大值，不合题意故答案为：﹣3点评：本题考查简单线性规划，涉及分类讨论的思想，属中档题．10．（5分）在△ABC中，点M是BC的中点，角A=120°，•=﹣2，则||的最小值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，求得bc=4，再由中点的向量表示，结合向量的平方即为模的平方，运用重要不等式c2+b2≥2bc，即可得到最小值．解答：解：设AB=c，AC=b，由•=﹣2，A=120°，即有bccos120°=﹣2，得bc=4，点M是BC的中点，则=（），=（+2）=（c2+b2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（2×4﹣4）=1．当且仅当b=c=2取得最小值，且为1．则||的最小值为1．故答案为：1．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查中点向量的表示，考查重要不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．12．（5分）如图为函数f（x）=的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：求导数，求出AB=|x A﹣x B|，可得旋转体的体积，即可求出旋转体的体积的最大值．解答：解：由题意得x=1为极大值点，且，设A、B的纵坐标为，则由得kx2﹣x+k=0，，x A•x B=1，所以AB=|x A﹣x B|==，所以=，当且仅当时取“=”，此时△＞0，故旋转体体积的最大值为．故答案为：．点评：本题考查旋转体的体积的最大值，考查导数知识的运用，正确求旋转体的体积是关键．13．（5分）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为3+2．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+2点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是a≥1或a．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：化简所求f（x）•f（1﹣x）≥1为+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a （0＜t），讨论对称轴和区间的关系，列出不等式，解出它们，求并集即可．解答：解：由于函数f（x）=﹣x，f（x）•f（1﹣x）≥1即为（﹣x）（﹣1+x）≥1，则+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），则上式即为+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），对称轴t=﹣a，若a，则区间（0，]为增，则f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，则区间（0，]为减，则f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a则有a；若0＜﹣a≤，则有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈∅．综上可得，a≥1或a．故答案为：a≥1或a．点评：本题考查函数的性质和运用，考查二次函数在闭区间上的单调性和运用，考查分类讨论的思想方法，以及恒成立问题的解决方法，属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．考点：任意角的三角函数的定义；单位圆与周期性．专题：三角函数的求值．分析：（1）求出A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），然后求解•，以及平行四边形OAQP的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可．（2）利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值．解答：解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP 是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sinθ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）点评：本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简．16．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．解答：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键．17．（14分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由sinθ=，sinα=，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．解答：解：（Ⅰ）如图，作PN⊥AB，N为垂足．sinθ=，sinα=，在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×=2（km），QN=PQcosθ=5.2×=4.8（km）．在Rt△PNM中，MN==1.5（km）．设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则t1==0.4（h），t2==（h）．由已知得：t2+=t1，=0.4，∴v1=．∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM==（km），MN=（km）．∴QM=QN﹣MN=4.8﹣（km）．∴t==．∵t′=，∴令t'=0得：cosα=．当cosα＜时，t'＞0；当cosα＞时，t'＜0．∵cosα在α∈（0，）上是减函数，∴当方位角α满足cosα=时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣a•lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求实数a与b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）当a=1时，若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由求得a值，得到函数解析式，进一步求得f（2），由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）求出f（x）的定义域，再求出函数导函数，分a≤0，和a＞0讨论求得函数的单调区间；（Ⅲ）把对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）转化为x∈[1，2]时，f（x）min≥g（x）min．然后分m＜1，1≤m≤2，m＞2讨论求解m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣a•lnx，得，由，得a=2，∴，则f（2）=2﹣2ln2，即切点为（2，2﹣2ln2），代入方程yx+b得，b=﹣2ln2；（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）无减区间；②当a＞0时，由f′（x）＜0得，此时，f（x）减区间为；（Ⅲ）由题意可得x∈[1，2]时，f（x）min≥g（x）min．∵a=1时，，f（x）在x∈[1，2]为增函数，∴，g（x）=x2﹣2mx+4=（x﹣m）2+4﹣m2．①当m＜1时，g（x）在区间[1，2]上递增，∴，由，解得，舍去；②当1≤m≤2时，，解得或，∴；③当m＞2时，g（x）在区间[1，2]上递减，∴，由，解得，∴m＞2．综上，．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．19．（16分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M 的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k 的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证解答：解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）点评：本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的性质列方法求解a1=1，d=2，即可得出通项公式．（2）求解2n ﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，得出2m﹣1＜n＜22m﹣1，即可得出项数b m（3）求出{c n}通项公式，前n项和，再代入求解即可．解答：解：（1）∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1，∴4a1﹣2d=0，a1=d﹣1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1（2）∵a n=2n﹣1，∴2n﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，∴2m﹣1＜n＜22m﹣1，即项数22m﹣1﹣2m﹣1，∴①∵c m=，∴C m=，∴c1=2，=，∴{c n}是等比数列，数列{c m}的前m项和为T m=即，∵所有使得等式=∴（4﹣t）2m=4+2t﹣1存在符合条件的正整数m=t=3，点评：本题综合考察了数列的性质，几何不等式等知识，运算思维量大，属于难题．附加题：【选修4-2：矩阵与变换】21．已知M=，N=，设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F 的方程．考点：矩阵与矩阵的乘法的意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：选作题；矩阵和变换．分析：先用矩阵的基本乘法算出MN对应的变换，然后根据变换的性质求出曲线方程即可．解答：解：由题设得．…4分设所求曲线F上任意一点的坐标为（x，y），y=sinx上任意一点的坐标为（x'，y'），则MN=，解得．…7分把代入y'=sinx'，化简得y=2sin2x．所以，曲线F的方程为y=2sin2x．…10分点评：本题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的求法．试题难易程度一般，考查知识点的综合运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．解答：解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，∴直线l的极坐标方程，（3分）曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，其普通方程是：y=x2（2分）（2）将代入y=x2得，3分∵点M（﹣1，0）在直线上，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2（2分）．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选做题】23．如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）求出=（﹣1，1，﹣2），=（﹣3，﹣3，0），证明•=3﹣3+0=0，可得⊥，即可证明MN⊥AD；（2）求出平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求MN与平面PAD所成角的正弦值．解答：（1）证明：由题意，A（3，0，0），D（0，﹣3，0），M（1，0，2），N（0，1，0），则=（﹣1，1，﹣2），=（﹣3，﹣3，0）．∴•=3﹣3+0=0，∴⊥，∴MN⊥AD；（2）解：∵P（0，0，3），A（3，0，0），D（0，﹣3，0），∴=（3，0，﹣3），=（﹣3，﹣3，0），设平面PAD的法向量为=（x，y，z），则，∴可取=（1，﹣1，1），∵=（﹣1，1，﹣2），。

【数学】江苏省南通第一中学2015届高三上学期期中考试

【数学】江苏省南通第一中学2015届高三上学期期中考试

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）一、填空题：1.i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ．2.设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则 = ▲ ．3.已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：()//k +a b c 考点：向量平行的坐标表示4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5.函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．7.已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 【答案】247- 【解析】试题分析：由题意得: 4cos 5α=，33sin 54αα=-，tan =-,22tan 24tan 2.1tan 7ααα==-- 考点：二倍角公式 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位.9.设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ．（填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10.已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝1()2x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲ 【答案】124【解析】试题分析：因为22+log 3(3,4)∈，所以2log 2422211(2+log 3)(3log 3)(log 24)()224f f f =+===考点：函数值11.在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113B A B C B D B A B C B D+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．【解析】试题分析：因为AB =DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为113BA BC BD BA BC BD+=，所以平行四边形ABCD为菱形，且120ABC∠=,因此sin120 3.ABCDS=考点：向量加法平行四边形法则12.给出下列四个命题（1）命题“x R∀∈，cos0x>”的否定是“x R∃∈，cos0x…”；（2）若2()21f x ax x=++只有一个零点，则1a=；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x，有()()f x f x-=，()()g x g x-=-，且当0x>时，()0f x'>，()0g x'>，则当0x<时，()()f xg x''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

江苏省南通中学高三数学上学期期中试卷 理(解析版)苏

江苏省南通中学高三数学上学期期中试卷 理(解析版)苏

2012-2013学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，则A∩B={4}，故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 ．考点：四种命题．专题：综合题．分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．（5分）已知，则= ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．（5分）函数y=x﹣2lnx的单调减区间为（0，2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x﹣2lnx 的导数，再解不等式f′（x）＜0，可得出函数的单调减区间．解答：解：求出函数f（x）=x﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（0，2）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．5．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，∴•=•3cos45°=3．由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）﹣f（2013）= ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可得函数的周期为4，由此可得结论．解答：解：由题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0∵对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），∴函数的周期为4，∴f（2012）=f（4×503）=f（0）=0∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（1）=﹣∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣∴f（2012）﹣f（2013）=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分），设{a n}是正项数列，其前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）（a n+3），则数列{a n}的通项公式a n= 2n+1 ．考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，故答案为：2n+1．点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．8．（5分）已知命题p：在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围（﹣∞，]∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数在x∈（﹣∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，3x∈（0，1]，∵函数在x∈（﹣∞，0]上有意义，∴1﹣a•3x≥0，∴a≤，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．（4分）①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．9．（5分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A 且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f （x）单调递增区间[] ．考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．解答：解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f（x）单调递减区间；当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f（x）单调递增区间．故答案为：[，π]．点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2010•苏州模拟）当时，恒成立，则实数a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由题意当时，恒成立，可得﹣≤ax﹣2x3≤，化为两个恒成立问题，从而求解．解答：解：∵当时，恒成立，∴﹣≤ax﹣2x3≤，∴ax﹣2x3+≥0和ax﹣2x3﹣≤0，在[0，]上恒成立；∴，下求出2x2﹣的最大值和2x2+的最小值，∵，∵2x2﹣在上增函数，∴2x2﹣≤2×﹣1=﹣，∴a≥﹣；∵，∵2x2+≥2×+1=，∴a≤，∴，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意函数的增减性．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（2008•辽宁）设，则函数的最小值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式对函数进行化简，然后取点A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）且在x2+y2=1的左半圆上，将问题转化为求斜率的变化的最小值问题，进而看解．解答：解：∵，取A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）∈x2+y2=1的左半圆，如图易知．故答案为：．点评：本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考查知识的综合运用能力和灵活能力．13．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时，实数a的取值的集合为{3} ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．解答：解：∵log a x+log a y=c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．∴实数a的取值的集合为{3}．点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．14．（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S n，则S10= 45 ．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为 S n=，∴S10=45．故答案为：45．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．专题：综合题．分析：（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．解答：解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．16．（14分）已知函数f（log a x）=，其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；（3）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，求函数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据对数式与相应指数式的关系，由函数f（log a x）=，将括号中对应的对数式化为x后，解析式中x要化为a x，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；（2）根据（1）中函数的性质，及x∈（﹣1，1）可将不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，化为﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，进而得到实数m的取值范围；（3）由当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f （2）﹣6≤0整理可得a的取值范围．解答：解：（1）由f（log a x）=，得，…2’因为定义域为R，=﹣f（x）所以f（x）为奇函数，…4’因为，当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）为R上的单调增函数；…6’（2）由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），，又x∈（﹣1，1），则﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，得1＜m＜；…10’（3）因为f （x ）为R 上的单调增函数，所以当x ∈（0，2）时，f （x ）﹣6的值恒为负数，所以f （x ）﹣6＜0恒成立， 则f （2）﹣6=≤0，…12’整理得a 2﹣6a+1≤0，所以≤a≤， 又a ＞0且a≠1，所以实数a 的取值范围是[，1）∪（1，≤]．…14’ 点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大． 17．（16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式． 专题： 计算题． 分析： （1）利用数列中a n 与 Sn 关系解决． （2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n =n （3﹣b n ）=，利用错位相消法求和即可．解答： 解：（1）因为n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2，所以a 1=1． 因为S n =2﹣a n ，即a n +S n =2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n +S n+1﹣S n =0，即a n+1﹣a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n ．因为a n ≠0，所以=（ n ∈N *）．所以数列{a n }是首项a 1=1，公比为的等比数列，a n =（ n ∈N *）．（2）因为b n+1=b n +a n （ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n =．从而有b 2﹣b 1=1，b 3﹣b 2=，b 4﹣b 3=，…，b n ﹣b n ﹣1=（ n=2，3，…）．将这n ﹣1个等式相加，得b n ﹣b 1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（16分）（2010•盐城三模）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．19．（16分）（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．解答：解：（1）f'（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣（﹣2+3x1）=（﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）而过B（x2，y2）的切线方程是y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，由于两切线是同一直线，则有：﹣4x1+3=﹣4x1+3，得x1+x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又由﹣+2=﹣+2，即﹣（x1﹣x2）（+x1x2+）+（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+﹣12=0即（4﹣x2）×4+﹣12=0，﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（7分）（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i 有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k ，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k ，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B 时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．三、（理科附加题）21．（2012•西山区模拟）自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据MA为圆O的切线，由切割线定理得MA2=MB•MC．从而MP2=MB•MC．依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．解答：选修4﹣1：几何证明选讲，解：因为MA是圆O的切线，所以MA2=MB•MC（2分）又M是PA的中点，所以MP2=MB•MC因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）于是∠MPB=∠MCP，在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，即100°+2∠MPB+40°=180°；得∠MPB=20°（10分）点评：本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．22．（2009•盐城一模）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．考点：圆周角定理．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是圆周角定理，要证明：∠OBP+∠AQE=45°，我们可以连接AB，然后根据圆周角定理，得到∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠AQE，进行得到结论．解答：证明：连接AB，则∠AQE=∠ABP，而OA=OB，所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°点评：根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．23．（2011•许昌三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图：⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．解答：解：（1）BE平分∠ABC；证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点∴AE=EC=6又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴∴…（10分）点评：本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．本题解题的关键是正确读图，做题时最好自己作图以帮助理解题意．24．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是16 ．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：分类讨论，报考的3所中，不含考试时间相同的两所与含考试时间相同的两所中的一个，利用分类计数原理，可得结论．解答：解：由题意分两种情况：若报考的3所中，不含考试时间相同的两所，则有C43=4种报考方法，若报考的3所中，含考试时间相同的两所中的一个，则有C21•C42=12种报考方法，由分类计数原理，可得该学生不同的报考方法种数12+4=16种，故答案为：16点评：本题考查组合的运用，考查分类计数原理，属于基础题．25．（2011•扬州三模）理科附加题：已知展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（Ⅱ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：证明题；综合题．分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值．（II）先利用到序相加法求出F（2）﹣F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证．解答：解：（Ⅰ）依题意，k=1，2，3，…，n+1，a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为C n0=1，，，所以，解得n=8；（Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=F（2）﹣F（0）=2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n设S n=C n0+2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n，则S n=（n+1）C n n+nC n n﹣1…+3C n2+2C n1+C n0考虑到C n k=C n n﹣k，将以上两式相加得：2S n=（n+2）（C n0+C n1+C n2…+C n n﹣1+C n n）所以S n=（n+2）2n﹣1所以F（2）﹣F（0）=（n+2）2n﹣1﹣1又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）═（n+2）2n﹣1﹣1＜（n+2）2n﹣1．点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式；求数列的前n 项和问题关键是利用数列的通项公式的形式，选择合适的方法．。

【恒心】2015届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(含附加题)试题及参考答案【纯word版】

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某某省某某中学2014-2015学年度第一学期期中考试高三政治试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()UA B =．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α=．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a +=． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为.8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++=． 10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值X 围是． 12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知FE A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x.(1) 若1,a =且p q ∧为真, 某某数x 的取值X 围； (2) 若p 是q 的必要不充分条件, 某某数a 的取值X 围.16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f ，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），某某数a 的取值X 围．20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DCB 11第22题23．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值X 围； （3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是． 答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为． 答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α=． 答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）． 答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a +=． 答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为. 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________． 答案：3159．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++=． 答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于． 答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值X 围是． 答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是． 713．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是． 答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a =． 答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p实数x满足22430x ax a-+<, 其中0a>；:q实数x满足23x.(1) 若1,a=且p q∧为真, 某某数x的取值X围；(2) 若p是q的必要不充分条件, 某某数a的取值X围.所以实数x的取值X围是23x<<. ………………………7分(2) p是q的必要不充分条件，即q⇒p,且p⇒/q，设A={}()x p x,B={}()x q x, 则A⊃≠B，………………………10分又(2,3]B=，A=(,3)a a；所以有2,33,aa≤⎧⎨<⎩解得12;a<≤所以实数a的取值X围是12a<≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝2AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B 的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．因为F为C1B的中点，所以FG＝∥12C1C．在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∥C1C，且E为A1A的中点，ABCDEC1 A1B1F（第16题）所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． …………………………4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． …………………………6分 （2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． …………………………9分 根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．………………………12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． …………………………14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f ，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 30x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即3tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分 （2）2()123cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调递增区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），某某数a 的取值X 围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．…………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数，………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值X 围为1(0,][e,)e a ∈∞+．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ． 解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==--．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a =k a 2+22+k a ，而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=，所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分 （3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+， 所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分 （ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+==， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-， 212(1)k k ka a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分 （ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==-， 22222111311222()()()(21)3531222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----， 212(21)(23)k k ka a k k q +==--， 所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．…………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0CP a a =≤≤ ，则2CQ a =，(2,2,0),(22,0)P a Q ∴-1(2,2)B Q=--,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥, ∴110B Q D P ⋅=，∴240a --+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分(2)设平面1C PQ 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-， 则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角, 故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值X 围； （3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．DCB 11第22题解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=． ∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值X 围是1ea >． ……………………………………………7分 （3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，Ⅲ12-ⅠyxⅡO Ⅳ。

江苏省南通中学第一学期高三数学期中考试卷 苏教版

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江苏省南通中学2007-2008学年度第一学期期中考试高三数学试卷（教师版）一．填空题（共50分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则AB = {4} .2．函数23x y t =⋅+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是(,2]-∞-．3．定义一种运算：,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数()sin cos f x x x =⊗ 的值域为[-． 4．将函数πsin() ()6y x x R =+∈的图象上所有的点向左平移π4个单位，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为1sin()2π125y x =+．5．设,x y 为实数，且51i 12i 13i x y +=-- -，则x y +=4． 6．已知|a |=2，|b |=3，a 和b 的夹角为45°，求当向量λa + b 与a +λb 的夹角为锐角时，λ的取值范围是11λλλ<<>,或． 7．已知{}n a 前n 项和为2342n S n n =-，则{||}n a 的前n 项和n T =22423,7342294,7n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩．8．设动点坐标(,)x y 满足(1)(4)0,3x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩，则22x y +的最小值为 10 ．9．不等式10ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-.10．给出四个命题：（1）“,,a b c 成等比数列”是“函数f (x )=ax 2+bx +c )0(≠a 的图像与x 轴没有公共点”的充分不必要条件；（2）若{n a }成等比数列，n S 是前n 项和，则484128,,S S S S S --成等比数列；（3）ABC ∆中，若三边,,a b c 成等比数列，则公比q ∈；（4）若20x x m +-=没有实根，则0m ≤； （5）若等差数列{n a }的前n 项和为n S ，则三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110S S S共线． 其中假．命题的序号为 （2） ． 二．选择题（共30分，每小题5分，请将答案填写到答题卡相应位置）： 11．已知集合2112{|lg 0},{|222,}x M x x N x x Z -+===<<∈，则M N = （ B ）A ．{1,1}-B ．{1}-C ．{0}D ．{1,0}-12．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，*n N ∈），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则 （ B ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件13．在ABC ∆中，已知2222()sin(A B)()sin(A B)a b a b +-=-+，则A B C ∆的形状是（ D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形14．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是 （ D ）A ．13BCD ．215．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ) = f (x ＋2)，当x ∈[3，5]时，f (x )=2－|x －4|，则（ D ）A ．(sin )(cos )66ππf f < B ．(sin1)(cos1)f f >C ．(cos )(sin )332π2πf f < D ．(cos 2)(sin 2)f f >16．若ππ()sin()sin()(0)44f x a x b x ab =++- ≠是偶函数，则点(,)a b 的轨迹方程 （ B ）A ．0(0)x y x -=≠B ． 0(0)x y x +=≠C ．20(0)x y x -=≠D ．20(0)x y x +=≠三、解答题（共80分，其中17、18、19每题12分，20题14分，21、22题每题15分，请将答案填写到答题卡相应位置）：17．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos ,sin )αα，π3π(,)22α∈．（1）若|AC||BC|=，求角α的值；（2）若1AC BC 2⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．解：（1）22|AC ||BC |=，则22223)si (n cos (s n )s 3o i c αααα-+=+-，所以s in o s c αα=，因为π3π(,)22α∈，所以5π4α=；（2）3)cos sin (sin 3)13(sin c 1A os )C BC (cos 2αααααα-+-=-+=-=⋅， 所以，sin co 12s αα+=，因此23cos (sin 2s c )1i 4n os αααα=+-=-， 原式=22sin 2sin cos 2sin (sin cos 2sin sin sin )3c cos 1cos cos os 4ααααααααααααα++==++=-．18．设函数()214f x x x =+--．（1）求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的不等式2()37f x a a ≥--在[]0,5恒成立，试求a 的取值范围． 解：（1）15,21()33,425,4x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 作出其图像（如右图）所以，函数()f x 的值域是9[,)2-+∞（2）由图像可知，函数()f x 在[]0,5上的最小值为(0)3f =-， 由题意可知，2(0)37f a a ≥--，因此14a -≤≤． 19．已知C x ∈，且210x x ++=．（1）求 x ；（2）若x 的虚部大于0，求23200712342008S x x x x =++++⋅⋅⋅+． 解：（1）根据求根公式可得x = （2）由条件可知，ωx ==，且3ω1=，2320072320072008123420082320072008S x x x x xS x x x x x =++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++两式相减可得22007200820082008)1200811200820081112008ω12008ω1ω(1x S x x x x x x x x x x S =+++⋅⋅⋅+---=-=---=--∴==-====-20．设2224()(log )log 1f x a x b x =++，（,a b 为常数）．当0x >时，()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数．（1）若1()02f =，且()f x 的最小值为0，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，2()1()log f x k g x x +-=在[]2,4上是单调函数，求k 的取值范围．解: （1）222()log log 1f x a x b x =++由1()02f =得10a b -+=, 得222()log (1)log 1f x a x a x =+++若0a =则2()log 1f x x =+无最小值.故0a ≠.欲使()f x 取最小值为0,只能使204(1)04a a a a >⎧⎪⎨-+=⎪⎩,得1a =,2b =.∴222()log 2log 1f x x x =++．得0x <则0x ->,∴222()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+， 又()()F x F x -=-,∴222()log ()2log ()1F x x x =-----， 又(0)0F =说明：本题也可以用分组求和.∴222222log 2log 1,0()0,0log ()2log ()1,x x x F x x x x x ⎧++>⎪-==⎨⎪-----<⎩ (2)2222log 2log 11()log x x k g x x+++-=22log 2log kx x =++.[2,4]x ∈. 得2log x t =.则2ky t t=++,[1,2]t ∈. ∴当0k ≤,1≤2时,y 为单调函数.综上,1k ≤或4k ≥.21．已知定义域为R 的二次函数()f x 的最小值为0且有(1)(1)f x f x +=-，直线()4(1)g x x =-被()f x的图像截得的弦长为{}n a 满足12a =，1()()()0N*n n n n a a g a f a n +-+= (∈).（1）函数()f x ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设13()()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n ． 解：（1）设()2()(1)0f x a x a =->，则直线()4(1)g x x =-与()y f x =图象的两个交点为（1，0），416(1)a a+，，24()(0)a a +=> 21()(1)a f x x ∴==-，（2）2()(1),()4(1)n n n n f a a g a a =-=-21()4(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=· 1(1)(431)0n n n a a a +∴---=11214310n n n a a a a +=∴≠--=，，1131(1)114n n a a a +∴-=--=，数列{1}n a -是首项为1，公比为34的等比数列，11331()()144n n n n a a --∴-==+，（3）213(1)4(1)n n n b a a +=---1212133333[()]4()3{[()]()}4444n n n n ---=-=-令13()4n n b y u -==， 则2211133[()]3()2424y u u =--=--*n N ∈，u ∴的值分别为3927141664，，，……，经比较916距12最近，∴当3n =时，n b 有最小值是189256-，当1n =时，n b 有最大值是0.22．设定义在12[,]x x 上的函数()y f x =的图象为C ，C 的端点为点A 、B ，M 是C 上的任意一点，向量11OA (,)x y =，22OB (,)x y =，OM (,)x y =，若12(1)x x x λλ=+-，记向量ON OA (1)OB λλ=+-.现在定义“函数()y f x =在12[,]x x 上可在标准k 下线性近似”是指|MN |k ≤恒成立，其中k 是一个人为确定的正数. （1）证明：01λ≤≤；（2）请你给出一个标准k 的范围，使得[0，1]上的函数y=x 2与y=x 3中有且只有一个可在标准k 下线性近似.解：（1）由题意， x 1≤x ≤x 2即x 1≤λx 1+(1－λ) x 2≤x 2，∴ x 1－ x 2≤(x 1－ x 2)λ≤0， ∵ x 1－ x 2<0， ∴ 0≤λ≤1．（2）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B 、N 、A 三点在一条直线上，又由（1）的结论， N 在线段AB 上且与点M 的横坐标相同． 对于 [0，1]上的函数y=x 2，A(0，0)，B(1，1)， 则有|MN |= x －x 2 =211()42x --，故1|MN |[0,]4∈； 对于[0，1]上的函数y=x 3， 则有|MN |= x －x 3= g (x )， 在(0，1)上， g ′(x )= 1－3 x 2，可知在(0，1)上y = g (x )只有一个极大值点，所以函数y = g (x )在(0)上是增函数;在1)上是减函数，又g故|MN |∈[0， ]．经过比较，14，所以取k ∈[14)，则有函数y=x 2在[0，1]上可在标准k 下线性近似，函数y=x 3在[0，1]上不可在标准k 下线性近似．。

江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题

江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题

江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则AB = ▲ ．2．下列四个图像中，是函数图像的是 ▲ ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 ▲ ．5．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．8． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． 11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是▲ ．12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取 值范围是 ▲ ．13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，A B R ð．16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单 位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .高一数学期中考试参考答案（考试时间120分钟，满分160分）3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ．(){}2,2--4．函数()110,1x y a a a -=+>≠过定点 ▲ ．()1,25．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．4-6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．2()1f x x =-7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．2-或168． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．3()2x f x x =--9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．{}2-10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． [1,0]-11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．44,55-⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ． []0,213．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等 式()()f x f x x -->的解 集为 ▲ ．[2,1)(0,1)--14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．{}012x x x ≤≤=或二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A ＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ； (2)求AB ，A B R ð．解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.……………………………7分(2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．解 (1) 0m = ……………………………………………………………6分(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………14分17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)2a =- ……………………………………………………………6分 (2) a 的取值范围为38,85⎡⎫⎪⎢⎣⎭………………………………………………14分 18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单 位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．……8分……16分19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数（Ⅲ）22()()11h x x ax b x ax b =++=++--若存在x ，使()h x x ≤，则由2() 1 (,)h x x ax b a b =++-∈R 开口向上，因此存在x ，使()h x x >，于是()f x x =有实根∵A =∅ ∴()h x x >∴()()h h x h x x >>⎡⎤⎣⎦，于是()h h x x =⎡⎤⎣⎦无实数根即B =∅．………………………………………………………………16分 20．（本题满分16分）函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．……………………3分又任取12112x x <<<，∵()()21122112122()11()1()0n n n nf x x x x x x f x x x x x =+--+-=⎡⎤⎛⎫⎢⎥--+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．………………………………………………8分 (2)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. ………………………10分 据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. ……………………………………………………………16分注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．。

江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 抛物线x 2= - 4y 的焦点坐标为 ▲ .2. 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离 是 ▲ .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为π16，则圆柱的高是 ▲ . （理） 已知空间两点(1,2,1),(2,0,2).A B -x 轴上存在一点P ，使得PA PB =，则P 点坐标为 ▲ .4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为▲ .5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .6．已知椭圆122=+n y m x 与双曲线122=-by a x （0,0>>b a ）有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF 等于 ▲ .7. 1l ，2l ，3l 是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 ▲ .（1）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒；（2）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ （3）123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面 ；（4）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面8. 设(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点,则2x y -的最大值是 ▲ .9. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最 短路线的长为 ▲ cm.10. 直线y=kx-2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 ▲ .11. 设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，AC BD b ⋅=，则22+EG FH = ▲ .12.如图所示，等边ABC ∆ 的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥平面平面 , 若折叠后'A B 的长为d ，则d 的最小值为 ▲ .13. 已知P 是椭圆221168x y +=上任意一点，EF 是圆M ：22(2)1x y +-=的直径，则PE PF ⋅ 的最大值为 ▲ ．14.设短轴长为的椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221y x a a -=的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12， l l 与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：221164y x -=有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：BEPAD 平面；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面.BCADPE（第16题）APBQ CE FA ′17.设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线.（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BA AC ⊥,1AB BB a ==，直线1B C 与平面ABC 成30︒ 角.（1）求证：111B AC ABB A ⊥平面平面； （2）求1C 到1B AC 平面的距离； （3）求三棱锥11-A AB C 的体积.B 1C 1A 1BCA（第18题）19．已知圆224O x y +=：，若椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径． （1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，①设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 的长；②求ABC ∆面积的最大值．20．已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、3(1,)2C 三点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0)F -，(1,0)H ，求当DFH ∆内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标；（3）若直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与BN 的交点在直线4x =上．江苏南通中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 请注意文理科类，不需写出解答过程,把答案写在答题纸的指定位置上）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请注意文理科类，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内）. 15. （本题满分14分）班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________装订线内请勿答题17. （本题满分14分）18. （本题满分16分）B1C1A119. （本题满分16分）20. （本题满分16分）江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.抛物线x 2=-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .2.已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 7 .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为π16，则圆柱的高是4. （理） 已知空间两点(1,2,1),(2,0,2).A B -x 轴上存在一点P ，使得PA PB =，则P 点坐标为（1,0,0）.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为53.5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π.6．已知椭圆122=+n y m x 与双曲线122=-by a x （0,0>>b a ）有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点，则12PF PF 等于a m -.7. 1l ，2l ，3l 是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 1 .（1）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒；（2）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ （3）123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面 ；（4）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面8.设(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点,则2x y -的最大值是.9.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短 路线的长为13 cm.10.直线y=kx-2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是2.11.设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，AC BD b ⋅=，则22+EG FH =212)2a b -（.12.如图所示，等边ABC ∆ 的边长为a ，将它沿平行 于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥面平面 , 若折叠后'A B 的长为d ，则d .13. 已知P 是椭圆221168x y +=上任意一点，EF 是圆M ：22(2)1x y +-=的直径，则PE PF ⋅ 的最大值为23．14.设短轴长为的椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221y x a a -=的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12， l l 与椭圆的公共 点都只有一个的圆的方程为922=+y x ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：221164y x -=有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.解：由题意得， 222222201218418a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩解得 ，所求双曲线标准方程为：221128y x -=e .c a x ±±==顶点(）；焦点(离心率渐近线方程y=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：BEPAD 平面；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面. 证明：（1）证法一：取PD 中点F ，连结EF ，AF .E 是PC 中点，F 是PD 中点，APB Q CEFA ′BCADP EF,2EF CD CD EF ∴=,2,,=,AB CD CD AB EF AB EF AB ABEF =∴∴又四边形是平行四边形.,,,BE AF AF PAD BE PAD BEPAD∴⊂⊄∴又平面平面平面证法二：延长DA ，CB ，交于点F ，连结PF . ,2,..,,.AB CD CD AB B CF E PC BEPF PF PAD BE PAD BEPAD =∴∴⊂⊄∴为的中点又为的中点，平面平面 平面(2),,,.,,,.,.,.AB PAD PA AD PAD AB AD AB PA AD AB AD PB AB PB B AD PAB PA PAB AD PA AB AD A PA ABCD ⊥⊂∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⋂=∴⊥平面、平面平面又平面平面 17.设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线。

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2014-2015学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B=．2．（5分）命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是．3．（5分）若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1•z2为纯虚数，则实数a 的值为．4．（5分）已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2），则sinα=．5．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a10的值为．7．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．8．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．9．（5分）已知向量，，中任意两个都不共线，且+与共线，+与共线，则向量++=．10．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于．11．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．12．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为13．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集为[0，22]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则a1=．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．17．（15分）已知向量=（2sinx，cosx），=（cosx，2cosx）．（1）若x≠kπ+，k∈Z，且∥，求2sin2x﹣cos2x的值；（2）定义函数f（x）=•﹣1，求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．18．（15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．19．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．20．（16分）在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．21．（10分）（选修4﹣2：矩阵与变换）设M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．23．（10分）如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD 上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．24．（10分）已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）﹣a（2x+1）2﹣x（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；（2）如图，设直线x=﹣，y=﹣x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；（3）比较32×43×54×…×20142013与23×34×45×…×20132014的大小，并说明理由．2014-2015学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3} ．【解答】解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．2．（5分）命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈Z，x2+2x+m＞0．【解答】解：“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈Z，x2+2x+m＞0，故答案为∀x∈Z，x2+2x+m＞03．（5分）若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1•z2为纯虚数，则实数a 的值为﹣1．【解答】解：因为z1•z2=（a﹣i）（1+i）=（a+1）+（a﹣1）i，它是纯虚数，所以a+1=0 且a﹣1≠0 所以a=﹣1故答案为：﹣1．4．（5分）已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2），则sinα=﹣cos2．【解答】解：由任意三角函数的定义：sinα=故答案是﹣cos25．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．6．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a10的值为﹣7．【解答】解：a4+a7=2，a5•a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5•a6=a4•a7∴a4•a7=﹣8，a4+a7=2，∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2，∴a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3=﹣，∴a1+a10=﹣7．故答案为：﹣7．7．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2．【解答】解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣28．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：159．（5分）已知向量，，中任意两个都不共线，且+与共线，+与共线，则向量++=．【解答】解：∵+与共线，+与共线，∴存在实数λ，μ使得，．∴=．∵向量，，中任意两个都不共线，∴μ=﹣1，λ=﹣1．∴向量++=．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．11．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上也单调递增．∵，∴，当A为锐角时，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（），0＜cosA＜，＜A＜当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，∴A为直角不成立．当A为钝角时，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（﹣），cosA＜﹣，＜A＜π综上，A的取值范围为故答案为12．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：13．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集为[0，22]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是11．【解答】解：∵关于x的不等式++c≥0的解集为[0，22]，∴22=，且＜0，即＞0，则a11=a1+10d＞0，a12=a1+11d＜0，故使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是11．故答案为：11．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则a1=﹣2或126．【解答】解：由已知可得，a n+2=q（a n+2），n=1，2，…，+1①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，此时a1=﹣2．②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，且，（q为常数，|q|＜1），又因为a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2∈{﹣16，﹣4，0，8，32}，因为a n≠﹣2，所以a n+2≠0，又|q|＜1，从而a3+2=32，a4+2=﹣16，a5+2=8，a6+2=﹣4，故有a3=30，a4=﹣18，a5=6，a6=﹣6，且，=qa n+2q﹣2得，代入a n+1可得到a2=﹣66，a1=126．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；当a=1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1≤a≤2；∴实数a的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．【解答】证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵F为C1B的中点，∴．在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，，E为A1A的中点，∴，∴四边形AEFG是平行四边形．∴EF∥AG．∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）∵点D是正△ABC的AC边的中点，∴BD⊥AC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1．∴BD⊥C1E．∵，∴Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴∠A1EC1=∠ADE．∴，∴C1E⊥ED．∵ED∩DB=D．∴C1E⊥平面BDE．17．（15分）已知向量=（2sinx，cosx），=（cosx，2cosx）．（1）若x≠kπ+，k∈Z，且∥，求2sin2x﹣cos2x的值；（2）定义函数f（x）=•﹣1，求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．【解答】解：（1）因为∥，所以4sinxcosx﹣cos2x=0，…（2分）因为x≠k，k∈Z，所以cosx≠0，即tanx=，所以2sin2x﹣cos2x==﹣．…（5分）（2）f（x）=•﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），…（8分）令2k≤2x+≤2k，k∈Z，得k≤x≤k]，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间是[k，k]，k∈Z．…（11分）因为x∈[0，]，所以2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，所以当x∈[0，]时，函数f（x）的值域[﹣1，2]．…（15分）18．（15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g （t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，；（Ⅱ）因为；①当1≤t＜15时，当且仅当，即t=5时取等号②当15≤t≤30时，，可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元．19．（16分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）20．（16分）在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．【解答】解：（1）∵数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，公比q k=2（k∈N*），∴，∴a1+a3+a5+…+a2k﹣1==．（2）①∵a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，∴2a2k+1=a2k+a2k+2，而，a2k+2=a2k+1•q k+1，∴，则，得，﹣b k=1，∴，即b k+1∴{b k}是等差数列，且公差为1．②∵d1=2，∴a3=a2+2，则有，解得a2=2，或a2=﹣1．（i）当a2=2时，q1=2，∴b1=1，则b k=1+（k﹣1）×1=k，即，得，∴=，则==（k+1）2，∴，则d k=a2k+1﹣a2k=k+1，故．（ii）当a2=﹣1时，q1=﹣1，∴，则=k﹣．即，得，∴=××…××1=（k﹣）2．则=（2k﹣1）（2k﹣3），∴d k=a2k+1﹣a2k=4k﹣2，从而D k=2k2，综上所述，D k=，或．21．（10分）（选修4﹣2：矩阵与变换）设M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵MN变换下的曲线方程．【解答】解：∵M=，N=，MN==，（2分）设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，则=，∴，即，（4分）又点p0（x0，y0）在曲线y=sinx 上，故y0=sinx0，从而y=sin2x，所求曲线的方程为y=2sin2x．…（7分）22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．【解答】解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，它表示以（0，2）为圆心，2为半径的圆，直线方程l的普通方程为，圆C的圆心到直线l的距离故直线l被曲线C截得的线段长度为．23．（10分）如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD 上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．【解答】解：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设，则，B1（2，0，2），D1（0，2，2），，，∵B1Q⊥D1P，∴，∴，解得a=1…（4分）∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（5分）（2）设平面C 1PQ的法向量为，∵，又，∴，令c=﹣1，则a=b=2，…（8分）∵为面APQ的一个法向量，∴，而二面角为钝角故余弦值为…（10分）24．（10分）已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）﹣a（2x+1）2﹣x（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；（2）如图，设直线x=﹣，y=﹣x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；（3）比较32×43×54×…×20142013与23×34×45×…×20132014的大小，并说明理由．【解答】解：（1）f（x）=（2x+1）ln（2x+1）2﹣a（2x+1）2﹣x（a＞0），f′（x）=2ln（2x+1）﹣4a（2x+1）+1；∵f（x）在x=0处取极值，∴f′（0）=﹣4a+1=0．∴a=（经检验a=符合题意）．（2）因为函数的定义域为（﹣，+∞），且当x=0时，f（0）=﹣a＜0．又直线y=﹣x恰好通过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f（x）＜﹣x，即（2x+1）ln（2x+1）2﹣a（2x+1）2﹣x＜﹣x．∵2x+1＞0，∴a＞．令h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，得x=．∵x＞﹣，∴x∈（﹣，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．∴h max（x）=h（）=．∴a的取值范围是a＞．（3）：由（2）知，函数h（x）=在（，+∞）上单调递减，函数P（x）=在（e，+∞）上单调递减．∴＞，∴xln（x﹣1）＞（x﹣1）lnx；∴ln（x﹣1）x＞lnx（x﹣1），即当x∈（e，+∞）时，（x﹣1）x＞x（x﹣1），∴令x=4，5， (2011)则34＞43，45＞54，…，20112012＞20122011；又∵23×34＞32×43；∴32×43×54×...×20142013＜23×34×45× (20132014)赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．xx（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数名称 定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

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