Lebesgue积分的另一种定义
第4章_第一节 Lesbesgue积分的定义及性质
0
1
定理4.1 设ϕ ( x )和ψ ( x )为可测集E上的非负简单函数,则有
(2) ∫ cϕ ( x )dx = c ∫ ϕ ( x )dx (c为非负实数);
E E
(1) 0 ≤ ∫ ϕ ( x )dx ≤ ∞;
E
(3) ∫ (ϕ ( x ) + ψ ( x )) dx = ∫ ϕ ( x )dx + ∫ ψ ( x )dx;
n →∞
limψ n ( x) = f ( x) ≥ ϕ m ( x), ∀m
n →∞
由引理 4.1可得
n →∞
lim ∫ ϕn ( x)dx ≥ ∫ ψ l ( x)dx, ∀l
n →∞ E E
lim ∫ ψ n ( x)dx ≥ ∫ ϕm ( x)dx, ∀m
再对 l , m分别取极限可得 lim ∫ ϕn ( x)dx = lim ∫ ψ n ( x)dx.
令 Ak = { x ∈ Ei | ψ k ( x) ≥ ci − ε } (ε > 0, k = 1, 2, ),
Байду номын сангаасEi
k →∞
Ei
由于{Ak }是递增的可测集列及 limψ k ( x) ≥ ϕ ( x) > ci − ε ( x ∈ Ei ).
k →∞ ∞
则有 mEi =m(∪ Ak )=m( lim Ak )= lim mAk ,
⒉ 一般可测函数积分的性质
⑴零测集上的任何函数的积分为0. ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 | ∫E f ( x )dx |≤ ∫E | f ( x ) |dx
f (x) = f
+
(x) − f
Riemann积分 Lebesgue积分
从Riemann 积分到Lebesgue 积摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义 设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。
注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。
2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。
若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。
也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。
Lebesgue积分与收敛定理
Lebesgue积分与收敛定理Lebesgue积分是数学分析中一种重要的积分方式，它由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出，并成为现代测度论的基础。
Lebesgue 积分理论相比于传统的黎曼积分理论更加广泛适用于各种函数，且具有更强的收敛性质。
Lebesgue积分的定义和计算方法相对复杂，但其背后的思想却非常直观。
Lebesgue积分是通过测量函数在定义域上的取值与所谓的测度之间的关系来定义的。
具体而言，给定一个定义在实数轴上的函数f(x)，我们可以将实数轴分割成许多维度无穷小的区间，并在每个区间上计算函数的取值与区间长度的乘积。
然后将所有这些乘积相加，即可得到Lebesgue积分。
与黎曼积分相比，Lebesgue积分的优势在于其更强的收敛定理。
在Lebesgue积分中，我们可以定义函数序列的极限，并通过极限的性质来研究函数的收敛行为。
其中最为重要的收敛定理包括单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue收敛定理和控制收敛定理等。
单调收敛定理是指如果一个递增（或递减）的函数序列在积分定义域上逐点收敛于某个函数，那么它的积分也收敛，并且其积分值等于极限函数的积分。
这一定理在研究一些特殊的函数序列，如三角函数序列和幂函数序列时特别有用。
Fatou引理和Lebesgue收敛定理则是用来研究函数序列的逐点收敛性质的定理。
Fatou引理是指对于任意一个非负的函数序列，其逐点极限的积分不能大于或小于其下极限（上极限）的积分。
Lebesgue收敛定理则是对一般函数序列加以推广的结果，它给出了函数序列逐点收敛的充要条件，并且得出了收敛函数的积分等于极限函数的积分。
控制收敛定理是通过额外的控制函数来研究函数序列的收敛性质。
具体而言，如果对于一个函数序列，存在一个可测函数g(x)和一个可积函数h(x)，使得对于所有的x，序列中的每个函数的绝对值都小于g(x)，并且序列中的每个函数与极限函数之间的差的绝对值都小于h(x)，那么这个序列就称为控制收敛的。
Lesbesgue积分的定义
+∞
）
注：当 ( L) ∫E f ( x)dx 有限时，称f(x)在E上 L可积
( 积分的几何意义： L) ∫E f ( x)dx = mG( E; f )
G ( E; f ) = {( x, y ) : x ∈ E ,0 ≤ y < f ( x)}
2.L积分与R积分的关系 Riemann积分 对定义域作分划
证明参照教材p-102
（2）Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则 f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且
( L) ∫
[ a ,b ]
f ( x)dx = ( R) ∫ f ( x)dx
从 而 ∑ m i ( x i −1 − x i ) ≤
i =1
n
∫
[ a ,b ]
f ( x ) dx ≤
∑M
i =1
n
i
( x i −1 − x i )
对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得
∫
[ a ,b ]
f ( x)dx = ∫
b
a
f ( x)dx = ∫
b
a
f ( x)dx
xi-1 xi
例
Dirichlet函数不Riemann可积
D ( x) =
{
0
1
1 x∈[ 0 ,1]∩ Q 0 x∈[ 0 ,1]− Q
处处不连续
Riemann函数Riemann可积
R( x) =
{
1/ q 0
x = p / q∈( 0 ,1) ∩ Q x∈( 0 ,1) − Q
lebesgue积分收敛定理
Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。
Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。
Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。
这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。
下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。
一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。
给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。
Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。
二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。
Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。
Lebesgue integral
由于对于足够大的n，几乎所有的x都位于B n内，我们便有
对于一个测度为0的系列成立。因此根据μ的可数可加性
。 由于这个结果对于任何正的ε成立，因此定理得证。 其它表达方式 关于勒贝格测度的积分也可以不通过使用整个测度理论引导出来。一个这样的方法是使用丹尼尔积分 。
使用泛函分析的方法也可以发展出积分的理论。任何定义在 （或一个固定的开子集）上的紧支撑连 续函数f都有黎曼积分。从这些积分开始，我们可以建立更一般的函数的积分。设C c 为 上所有实数 值紧支撑连续函数所构成的空间。定义C c的范数为
），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。 在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。 勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。 今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是勒贝格引入的在一个测度内的函数的积分理论。 狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线的亚域中定义的函数的积分。 引入 在闭区间 a 和 b 之间对函数 f 的积分可以被看作是求 f 的函数图像下的面积。对于多项式这样比 较常见的函数来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢？广义地来 说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义？这个问题的答案具有很大的理论性和 实际性意义。 19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。在这个过程中数学家也试图 给积分计算提供一个稳固的定义。波恩哈德·黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样 的基础。黎曼积分的出发点是设立一系列容易计算的积分，这些积分最后收敛于给定的函数的积分。 这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。 但是在求函数序列的极限的时候黎曼积分的效果不良，这使得这些极限过程难以分析。而这个分析比 如在研究傅里叶级数、傅里叶变换和其它问题时却是极其重要的。勒贝格积分能够更好地描述在什么 情况下积分有极限。勒贝格积分所使用的容易计算的积分与黎曼积分所使用的不同，这是勒贝格积分 更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无 理数时输出值为1，其它情况下输出值为0的狄利克雷函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。 推导 以下的介绍是遵循最常见的勒贝格积分的介绍进行的。在这个介绍中积分理论分两部分：
Lebesgue积分的定义及初等性质
f
)
≤
S(DA,
f
)
≤
A
f
( x)dx
+
ε 2
，
∫ ∫ B
f
( x)dx
−
ε 2
≤
s(DB ,
f
)
≤
S (DB ,
f
)
≤
B
f
( x)dx
+
ε 2
.
81
令 DE = DA ∪ DB ，则 DE 是 E 的分划，将上两式相加得
∫ ∫ f (x)dx + A
B
f (x)dx − ε
≤ s(DA, f ) + s(DB , f )
∫ ∫ 共同值为 f (x) 是 E 上的（L）积分，记为 E f (x)dx 或 E f (x)dm .
以上是 Rq 中测度有限可测集上有界函数的（L）积分定义.我们看到它在形式上同 R 积
77
分完全类似.除了“积分区域”更一般之外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同.
定理 5. 2. 2 设 f (x) 是 E ∈ Lq (mE < ∞) 上的有界函数，则 f (x) ∈ L(E) ⇔ 对
由 ε > 0 的任意性，故
−
∫ E f (x)dx − ∫ E f (x)dx = 0 −
−
∫ ∫ “ ⇒ ”设 E f (x)dx = E f (x)dx ，由上、下积分的定义，∀ ε > 0. ∃分划 D1 ，D2 使 −
∫ ∫ S(D1,
f
)
−
−
E
f
( x)dx
<
ε 2
，
−
E
Lebesgue积分思想简介.pdf
Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系数学与应用数学 2012级吴茂岚指导老师柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。
而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。
另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。
虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。
关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract：The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz's calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the "basic continuous" function. And many of the real problems encountered in the function does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of. Key word:Riemann integral, Real variable function,calculus一、引言Lebesgue在发表于1902年的经典论文《积分、长度与面积》与随后出版的两部论著《论三角函数》和《积分与原函数的研究》中第一次阐述了测度理论与积分思想。
有界函数的Lebesgue积分的一个等价定义
。
fx ( ) 是 E 上 的 有界 函 数 记 厂 (x ) 在 E 上的下 上 确界为
-
。
、
集“
J
’
(
B 一
一一
口
十 钾 一 习
X ) 立 J 戈 咬 一二
b 一
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甘 裘{s 等 }
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分 别 称 为厂( x ) 在 定义
2
。
E
上的
) 等分 关 于 厂( x
E
_
”
Байду номын сангаас
的下积 分与 上积分
。
若 有 界 函 数 了( x ) 在
_ _
:
“
o
:
I
riemann积分与lebesgue积分的区别
riemann积分与lebesgue积分的区别Riemann积分与Lebesgue积分是数学中两种不同的积分方法。
虽然它们都可以用于计算函数在一个区间上的面积，但它们的计算方式、适用范围和性质等方面有很大的不同。
本文将从定义、计算方式、适用范围和性质等方面详细介绍Riemann积分和Lebesgue积分的区别。
一、Riemann积分的定义及计算方式Riemann积分是一种用有限和的方式来逼近函数在一个区间上的面积的方法。
它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，即$a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_n=b$，其中$Delta x_i=x_i-x_{i-1}$为第$i$个小区间的长度。
在每个小区间上取一点$x_i^*in[x_{i-1},x_i]$，则有$$int_a^bf(x)dx=lim_{Deltaxrightarrow0}sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Delta x_i$$其中$Delta x=max{Delta x_i}$为小区间长度的最大值。
Riemann积分的计算方式是将区间$[a,b]$分成许多小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，求出每个小区间上的面积，最后将所有小区间上的面积相加即可得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。
二、Lebesgue积分的定义及计算方式Lebesgue积分是一种更加广义的积分方式，它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，$E$是$[a,b]$上的一个可测集合，定义$f(x)$在$E$上的积分为$$int_Ef(x)dx=int_a^bf(x)chi_E(x)dx$$其中$chi_E(x)$为$E$的特征函数，即$$chi_E(x)=begin{cases}1,xin E0,xotin Eend{cases}$$Lebesgue积分的计算方式是将函数$f(x)$在$[a,b]$上的值域分成许多小区间，然后将每个小区间上的面积相加，最终得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。
Lebesgue积分
lim
n→∞
fn (x)
) = lim d
n→∞ dx
fn (x) 。
一致收敛条件是进行极限运算与求和运算，求导运算交换顺序的充
分条件，但不是必要条件。
在 L 积分中，类似的问题不考虑一致收敛性，而找到可积的控制函
数，得到积分运算与极限运算可交换顺序。L-控制收敛定理：
①{fn }可 E 可测；
方法定义 L 积分，将 R 积分中的定积分、重积分、常义积分、广义积分 熔为一个整体，从高度的抽象中达到了高度的统一。
L-积分“三步”转化的主要思想如下。
L-积分研究的是可测函数的积分，根据可测函数的特性转化过程是：
①一般可测函数 f (x) ；
② f (x) 用非负可测函数表示： f (x) = f + (x) − f − (x)
4、掌握有界变差函数和绝对连续函数的概念，了解它们在微分与积 分关系中的地位和作用。
5、了解为什么说勒贝格积分是黎曼积分的推广及二者的关系。对 L 积分的计算最终还是转化为黎曼积分来完成。能准确地表述 R 可积的充 分必要条件。
131
二、主要的数学思想与方法
1、 由“三步”转换定义 L 积分的思想与方法：
fn (x)
=
lim lim
n→∞ x→x0
f
(x)
（极限交换顺序）
135
②
f
(x)
于
I
可积，且
lim
n→∞
∫ab
fn (x)dx
=
∫ab
lim
n→∞
fn (x)dx
（极限与积分交换顺序）
⑵若 1° fn (x) 收敛于 f (x) ；
2°
Lebesgue积分的三种定义等价性证明及其应用
Lebesgue积分的三种定义等价性证明及其应用学院：年级：专业：姓名：学号：指导教师：目录摘要 (3)第一章 Lebesgue积分与Riemann积分 (5)1.1 积分理论的发展 (5)1.2 在n R上Riemann积分相比较于Lebesgue积分的局限性 (6)1.3 在n R上Lebesgue积分与Riemann积分的联系 (7)第二章 Lebesgue积分三种定义等价性证明 (9)2.1 Lebesgue积分的三种定义 (10)2.2 三种积分定义的等价性证明 (11)第三章 Lebesgue积分的应用 (12)小结 (14)参考文献 (15)摘要Lebesgue积分与Riemann积分都是是分析数学研究的核心内容，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位，本文主要研究了在n R上Lebesgue积分与Riemann积分的比较，介绍了Riemann积分的局限性，进而在Lebesgue积分与Riemann积分之间的联系与优越性方面进行一些讨论.本文着重对Lebesgue积分的三种定义给出等价性证明，并在Lebesgue积分的应用方面给出介绍。
关键词Lebesgue积分Riemann积分等价性AbstractLebesgue integral and Riemann integral are the core of the analyzed mathematical research .The two integrals in the analysis of mathematics are in an important position. We compare Lebesgue integral and Riemann in the article. After introduction of limitations of Riemann integral, we discussed Lebesgue integral to Riemann the integration of the linkage between superiority.The main points of Lebesgue three definitions for equivalence and Lebesgue integration of applications in respect to give a presentation.Key WordsLebesgue integral Riemann integral equivalence第一章 Lebesgue 积分与Riemann 积分积分是整个分析数学最基本的概念和最基本的运算。
第17讲Lebesgue积分的性质
第17讲 Lebesgue积分的性质
问题9：有限测度集上有界可测函数的积分 性质能否推广到一般可测函数的积分情 形（包括有限测度集上的可测函数与无 限测度集上的可测函数）？
第17讲 Lebesgue积分的性质
定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也 同样是正确的。其证明需实施一下极限 手续。 *定理5 如果E是可测集，则
E
f ( x )dx lim { f ( x )}m dx
m E
m
第17讲 Lebesgue积分的性质
) 从定义5不难看到， f ( x 可积性与 | f ( x的可积相同，即有 )|
定理4 设 f ( x ) 是可测集E上的可测函数，
则 f ( x )在E上Lebesgue可积当且仅当
定义5 设 f ( x )是E上的可测函数，对任意
正整数m， E m同定义4，记
第17讲 Lebesgue积分的性质
Jm f ( x )dx, J m f ( x )dx Em Em
若 lim J m 与 lim J m 至少有一个不为+，则
称 f ( x )在E上有积分并记
(i)当 f ( x ) 在E上可测，g ( x ) 在E上非负可积，
| f ( x ) | g ( x ) 时， f ( x )也在E上可积，且
第17讲 Lebesgue积分的性质
E
| f ( x ) |dx g ( x )dx
E E
证明 因为 | f ( x ) | g ( x )，故当 g ( x )dx
第17讲 Lebesgue积分的性质
特别地，当 f ( x ) 是E上的非负可测函数时，
Lesbesgue积分的定义及性质
(4)设A和B为E的两个互不相交的可测子集，则
f (x)dx f (x)dx f (x)dx;
AUB
A
B
证明 （1）由定义可得；
（2） 对于任意自然数n,令
1
An
E[ f
,
x
An
0, x E \ An
0
E
f (x)dx
E n (x)dx
1 n mAn
E fn (x)dx
E
lim
n
fn (x)dx
f(x)
说明：小于等于显然成立， fn(x)
因为fn(x)总在f(x)的下方,
cf(x) 只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。
Levi逐项积分定理的证明
证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，
[0,1] Ei ( x)dx
[ 0 ,1]
i 1
Ei
(x)dx
k，
n
若对每个i，mEi
k n
，则
i 1
mEi
k n
n
k，从而得到矛盾，
所以存在i0，使mEi0
k。
n
⑵非负可测函数的积分
设f(x)为E上非负可测函数，定义
(L)E f (x)dx sup{(L)E (x)dx :(x)为E上的简单函数
i 1
j 1
E(x)dx E (x)dx
例：若E1, E2,…, En是[0,1]中的可测集，[0,1]中每一点 至少属于上述集合中的k个(k≤n),则在E1, E2,…, En中必 有一个点集的测度大于或等于k/n
n
证明：当
浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别
浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。
然而对广义Riemann 积分来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。
那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。
一、积分定义Riemann 积分定义 假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10与任意[],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 110→-+-≤≤i i n i x x 就有A x xf i i n i i→-+-=∑)()(11ξ则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。
Lebesgue 积分定义 设n R E ⊂是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使{}).,()()(βα⊂∈=E x x f E f 若βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记{}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ，对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式ε<-A D S )(，则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。
若)(x f 是E 上的可测函数，且∞<mE ，如果-+f f ,在E 上的积分至少有一个不为∞+，则称)(x f 在E 上有积分，并记.)()()(dx x f dx x f dx x f EEE⎰⎰⎰-+-= 若⎰Edx x f )(为有限数，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积。
二、L 积分与R 积分的联系由于在通常意义下的R 可积性意味着L 可积性，所以我们有定理 如果有界函数)(x f 在闭区间[]b a ,是R 可积的，则)(x f 在[]b a ,也是L 可积的，且[]⎰⎰=bab a dx x f dx x f )()(,，此处[]⎰b a dx x f ,)(表示f 在[]b a ,上的L 积分，⎰badx x f )(表示f 在[]b a ,上的R 积分。
Lebesgue积分与Riemann积分的区别
Lebesgue 积分与Riemann 积分的区别Lebesgue 积分与Riemann 积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。
Riemann 积分是近代数学的核心，lebesgue 积分是现代实变函数论的核心。
在有界函数范围内，R 积分存在以下缺陷。
1）R 积分与极限可交换的条件太严； 2）积分运算不完全是微分运算的逆运算；3）不适宜于无界区间：R 积分只能用来在有界区间内对函数进行积分； 4）缺乏单调收敛。
1 积分的定义 1.1 L 积分的定义 定义1：设()f x 是()n E R mE ⊂<∞上的非负可测函数。
定义()f x是E 上的Lebesgue 积分()()()()sup x Eh x f x EE f x dx h x dx ∈≤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰，()h x 是nR 上的非负可测简单函数，积分可以是+∞；若()Ef x dx <∞⎰，则称()f x 在E 上是Lebesgue 可积的。
设()f x是n E R ⊂上的可测函数，若积分()Ef x dx+⎰、()Ef x dx-⎰中至少有一个是有限值，则称()()()EEEf x dx f x dx f x dx+-=-⎰⎰⎰为()f x在E 上的Lebesgue 积分；当上式右端两个积分值结尾有限时，则称()f x在E 上Lebesgue 可积的。
定义2：设E 是一个Lebesgue 可测集，mE <∞，()f x是定义在E 上的Lebesgue 可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(),f x l μ⊂，在[],l μ中任取一分点组D记并任取i k E ζ∈（约定当k E =Φ时，()()0i k f m E ζ=），作和如果对任意的分法与i ζ的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称它为()f x 在E 上关于勒贝格测度的积分，记作定义3：设()f x是n E R ⊂（mE <∞）是的有界可测函数。
非负可测函数积分
∑a
i =1
n N( )
(n)
i
m Ei
(
(n)
)
若 n → ∞ 时，若上式极限存在，则定义该极限为非负可测 函数 f ( x ) 的积分。
+ − f = f − f 最后再通过表达式
过渡到一般的可测函数。
将采用第三种方法！
5
3.1.1非负可测函数的积分
定义3.1.1 设 h( x ) 是可测集 E 上非负可测简单函数，
D( x)dx = 0
注：Dirichlet实质上是有理数集合上的特征函数。
练习：设 E 为可测集，求
∫
Rn
χ E dx 。
9
注：对于非负简单可测函数 h( x ) ，均可定义其积分，且
∫ h( x)dx ≥ 0
E
∫ h( x)dx 取值可能为
E
+∞ 。
10
注：非负简单可测函数积分几何意义：下方图体积。
定义312设是可测集合上非负可测函数定义其中为非负简单函数且积分可取值为在e上lebesgue可积或者说f注1非负可测函数积分必存在但积分值可能为这样处理问题较为方便
Lebesgue积分
Lebesgue积分：在Lebesgue测度理论基础上 建立的关于可测函数的积分理论。 优点：可统一处理有界与无界函数，还可处理定义 在可测集上函数。 Lebesgue积分推广了Riemann积分，Lebesgue 可积函数类要比Riemann可积函数类大很多。 特别的，它提供了比Riemann积分更加广泛而有 效的收敛定理。
类似Riemann积分，作对应划分的小和 与大和
∑b m(E )
j =1 j j
m
∑ B m(E )
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５ ６
高 等 数 学 研 究
２ １ 牟 ７月 ０Ｉ
Ｍ 一 ｓ ｐ － ｚ ： ∈ Ｅ ） ｕ ｛ （ ）Ｘ 厂 ， ｍ 一 ｉｆ， ） Ｘ ∈ Ｅ ） ｎ｛ （ ： ，
若令
Ｎ
Ｈ — Ｕ ， Ｅ
则 称
Ｍ ＝１ ＋ｍａ （ ： ｘ￣ ｋ一 ３４ …， ， ，， Ｎ｝
第 １ ４卷 第 ４期
２１ ０ １年 ７ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ４， ． １ １ Ｎｏ ４
Ｊ１ ｕ．，２ １ ０ １
Ｌ ｂ ｓ ｕ 积 分 的 另 一 种 定 义 ｅ ｅｇ ｅ
王 漱 石
函数 厂 且 ，
Ｐ（ ）≠ ． 厂
基金项 目； 国家 特 色 专业 建 设 点 “ 学 与 应 用 数学 ” 国家 精 品课 程 “ 数 ； 复 变 函数 ”浙 江 省 新 世 纪教 改 项 目（ Ｂ ７ Ｏ ，ｃ ９ ６） ｆ Ｙ ０ １９ Ｚ ００ ３． 作 者 简 介 ： 漱 石 （９ ０－） 男 ， 江 平 湖 人 ， 授 ， 要 从 事 算 子 理 王 １４ － ， 浙 教 主
． ．
｛ 一
）＜ — 二 １＋ ２
—
。
ｍ
Ｈ ・
再 令
Ｅ１一 Ｅ１ Ｅ２＝ Ｅ２ ， ，
并在 ３≤ ｋ≤ ＋ ２时令
Ｅ＾一 ｛ ∈ Ｈ ： ３≤ 厂（ ）＜ 卜２ Ｘ ｚ ），
ｏ 。＜ （ ） Ｓ 厂 ＜ ＋ 。 ． ， ≤ （） 。 （ ）一 Ｓ ， ， ， （ ）
而 （ ） ｚ 和 （ ） 是 Ｅ上 的 可测 函数 ， 厂 ｚ 也 在 ｚ都 故 （）
Ｅ上 可测 ．
Ｍ｛ 一 ｓ ｐ 厂 ） Ｘ ∈ Ｅ ） ， １ ） ｕ｛（ ： ｌ ，
ｍ ＝ ｉｆ， ） Ｘ∈ Ｅ ） 在 Ｅ 上 定 ｌ ｎ（ （ ： ｌ ． 义 函数 （ 和 （ ）如下 ： ） ｚ
那 么
∑ ｍ ∑ 矾 ≤ Ｅ ＋２
＾ ３ ＝ Ｎ＋ Ｉ
∑
， １ ｜ 一
＜ 。 ＋。，
一
× Ｈ ２ ｝＜号 号一 ． ｍ＋× 十 ｅ
故 ， ｚ 在 Ｅ上 （ （） Ｌ）可 积．
其中
ｊ 一 ｓ ｐ ｌ （ ）｛ｚ ∈ （ ｕ｛，ｚ ： ） ．
不妨设
ａ ｄｔｅｐ ｒｍｅｅｓｉ ｈ ｏ ｍｕａｓｔ ｆ （ ＋ ｎ ） ｍ ｎ ｈ ａａ ｔｒ ｔ ｅｆｒ ｌ ａｉ ｙ ｍｔ ｎ ｓ ｓ （ ｓ— ｎ）Ｉ ｍ ｓ．Ａ ｌｓ ｆｔ ｅｐ ｉ ｔ ｅ ｔ ｎｔ ２ ｃ ｓｏ ｈ ｒ ｉ ａ ｍｉ ｖ
Ｅｖ ｎ ｒａ ｇｅ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｗｈ ｎ ｍ — ｓ ｋ，”一 ｋ一 １ — ｋ＋ １（ ａ ｓ ｉｎ ｌｓａ ｅｏ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ — ，ｔ 愚∈ Ｎ ＋，ｋ≥ ２ ｒ ｅ ｕｒ ｄ ）ａ ｅｒ ｑ ｉｅ
而对 任意 Ｐ≥ １ 令 ，
Ｅ 神２ ｐ ＝ Ⅳ ｐ ＋ ＋ ．
如 果 由此 可 得
则称 函数 ，在 Ｅ上 （ 可 积 ， 量 厂 和 Ｓ 厂 Ｌ） 称 （） （ ）的共
同值 为 ，在 Ｅ 上的 Ｌ ｂ ｓ ｕ 积分 ， ｅ ｅｇ ｅ 记作
ｒ
Ａ ＝ Ｅ女 ＝ ＝｛ ｝
∈ Ｐ（ ）， 厂
ｗｉｈ Ｃ ａ ｔ ｍ ｌｎｅ ｉ ｈａ ｈｅ ｔ ｅ ｄｇ ｓ ａ ｅ ｏｂ ａ ｎ ｄ ｂｙ ｔ ｉ ｔｖ ｅ ｏ ｒ ａ ｏ ｍｕ ａ， ｔ ｓ ｉｓ ｈｅ ｉ ｓ ｔ ｔｔ ｈｒ ｅ ｅ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｈｅ ｐｒｍｉｉ ｅ Ｈ ｒ ｎ ａ ｒ ｙ ｆ ｒ ｌ
若记
ｌ— ｉｆ ，（ ｎ ｛ ）：ｚ ∈ Ｅｋ ， ）
（ Ｉ，（ ）ｘ Ｌ） ｚｄ．
Ｊ 丘
舰 一 ｓ ｐ － ） ∈ Ｅ ） ｕ｛（ ： 厂 ＾， 则 有
０≤ ｓ（ 厂）一 （ ，）＝ △， △， ＝ ：
定理 １ 设 有 可测集 Ｅ Ｒ ， 其上 的一个 实 及
函数 厂， ，在 Ｅ上 （ 可 积 的充要 条 件是 厂为 Ｅ上 则 Ｌ） 的可测 函数且 Ｐ（ ） 空 ． 厂 非 证 明 充分 性． 厂 ｚ 在 Ｅ上可 测且 Ｐ（ ） 设 （） ， 非
ｎ篇 １
其 中每个 Ｅ 可测 ， 且
Ｂ — ｊ （ ｎＥ ２ 『 忌≠ ７ ， ｚ ）
收 穰 日期 ： ０ ９ ０ ２ ０ — ６— ２ ｌ 改 日期 ：０ １ ０ ８修 ２ １ — ６— ０ ． ５
的分法 的全 体所 成之 集 记为 Ｐ（ ） 厂． 定 义 ３ 设 有 可测 集 Ｅ Ｒ ， 及其 上 的一 个实
（ 州 师 范学 院 理 学 院 ，浙 江 湖 州 ３ ３ ０ ） 湖 １ ００
一
∞ Ｕ
Ｅ”
摘
要 用 可 数 分 法 代 替 有 限分 法 ， 去 掉 函数 有 界 和 定 义 域 测 度 有 限 的 限 制 ， 次 性 地 作 出 函 数 Ｌ ｂｓ ｕ 可 一 ｅｅｇ ｅ
可 积 的 定 义 并 得 出可 积 的 充 要 条 件 ．
些分法 都属 于 Ｐ（ ） 厂． 定义 ４ 设 Ｐ（ ） 空 ， ， 非 记
Ｓ， （ ）一 ｉｆＳ ａ， ） △ ∈ Ｐ（ ） ， ｎ（（ ， ： 厂 ） （ ）一 ｓ ｐ Ｓ（ ， ： ∈ Ｐ（ ） ， 厂 ｕ （ ￣， ） △ ， ｝ 则 有
一
ｍ ａｘ
１２…。 ， ” ，
关 键 词 可 数 分 法 ； 测 函 数 ； ｅ ｅｇ ｅ 分 可 Ｌ ｂ ｓｕ 积
中图 分 类 号 Ｏ１ ４ １ ７ ． 文 献标 识 码 Ａ 文 章编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４ ０ ５ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ —０ ５ ０
关于 Ｌ ｂ ｓ ｕ 积 分 的定 义 ， 常分 三 步 ： ｅ ｅｇ ｅ 通 第一 步对 测度有 限 的可测 集 上 的有界 函数用 确界 式定义 （ Ｌ）积分 ， 在这 种 情 况 下 得 出 函数 （ 并 Ｌ）可 积 的充 要条 件为 函数 可测 ． 时对 函数 定 义 域 所 作 的 分法 这 为有 限分 法 ， 即把 函数 定 义域 表 示 为 有 限个 互 不相 交 的可测集 的并 ． 二 步考 虑非 负 可测 函数 ． 第 第三 步 是一 般可测 函数 ［ ］ １． ｑ 本文试 图对 这 一 方法 作 些 修 改 ， 可数 分 法代 用 替 有 限分法 ， 这样 可去 掉 函数 有 界 和 定 义 域 测 度有 限的 限制 ， 次 性 地作 出 函 数 （ 一 Ｌ）可 积 的定 义 并 得 出可积 的充 要条 件． 于 积分值 为 ＋ｏ 至 。或 一Ｃ 的情 × 。
论 的研 究 ． ｍａ ｙ ｎ ｏ ８ ｈ ｔ ｌ ｃ ｍ． Ｅ ｉｌ ａ ｂ ６ ＠ ｏ ｍａ ． ｏ ｌ １
ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ‘
对 于
Ａ一 （ ｝ Ｅ 不 妨 记 ∈ Ｐ（ ， 厂）
Ａ ｅ ｕｌ ｎ Ｅｖ ｎ ｏ ｅ Ｒ ｓ ｔｏ ａ ｓ Ｐｒ ｂｌ ｍ
Ｗ Ｕ Ｂｏ
（ ｎ Ｘｉ ｉ ｄ ｅ Ｓ ｈ ｏ ，Ｃｈ ｎ ｓ ｏ ０ ２ ９ Ｌｏ ｇ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌ Ｍ ａ ｇ ｈ ｕ ４ １ ４ ，Ｐ ＲＣ）
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂｙ ｔ ｅ ｈｏ ｆ ｅｅ ｎｔ ｒ ｍ ｂ ｒ ｔ ｏ ｙ，ｔ ｓ ｐａ ｒ ｓ ｕｄ ｅ ａ ｒ ｌ ｍ． ｓｒ ｃ ： ｈｅ ｍ ｔ ｄ ｏ ｌ ｍｅ ａ ｙ ｎｕ ｅ ｈｅ ｒ ｈｉ ｐｅ ｔ ｉ ｓ Ｅｖ ｎｓ ｐ ｏｂ ｅ
那 么
＝ ０ ， 一 ０， ＝＋ 。 ｏ，
使 得对 任意 ， 法 △ 比 △ 分 更 细 ， 而且
０≤ Ｓ（ ， ）一 ｊ＜ 二 ， △ － 厂
１
而且对 任意 ｋ≥ ３ 有 ，
０＜ Ｉ＜＋ 。 。， ０≤ ＾＜ ＋ ０ ｏ．
０ ≤卜 （ ， ＜吉， △， ｎ）
推 论 １ 设 厂为 测度 有 限 的可测集 Ｅ Ｒ 上 的
有 界 函数 ， ｆ在 Ｅ上 （ 可 积 的充要 条件 为 ｌ在 Ｅ 则 Ｌ） 厂
上 可 测
（ ）一 』
（ ）一 ｍｌ ｚ
（ ∈ Ｅ ） ｚ ｌ ，
必 要 性． － ｚ 在 Ｅ上 （ ） 设 厂 ） （ Ｌ 可积 ， 由定 义 ３ 则 可
知 Ｐ（ ） 空 ． 只要证 ，（ ） Ｅ上 可测． 厂 非 现 ｚ 在 取
｛ ） △ Ｐ（ ， ）
晟 ＝ ｛ ∈ Ｅ： （ 厂 ）一 ０ ， ）
￡ ＝ （ ∈ Ｅ：Ｉ （ ）Ｉ ｘ 一十 ０ ｝ ｆ ０，
和与下 和．
作［ Ｍ， 一 Ｍ］的分法 ：
一
若 △∈ 尸（ ） 则 比它 细的分 法 也属 于 Ｐ（ ） 显 ，， 厂． 然 当分 法加 细时 上和不 增 ， 和不减 ， 个上 和大 于 下 每
使 得
Ｍ — Ｙ０＜ Ｙｌ＜ … ＜ Ｙ 一 Ｍ ，
或等 于每个 下和 ， 即使对 应 于不 同的分法 ， 要求这 但
形 则另作 说 明． 定 义 １ 设有 可测 集 Ｅ Ｒ ， 如果
Ｅ
则称
△＝ ｛ ） Ｅ
是 Ｅ的一 个可 数 分法 ， 简称 分法 ．
设 Ｅ有另 一个 分 法
Ａ 一 ｛ ） ， Ｅ：
如果对任意 Ｅ ∈△ ， ： 都存在 Ｅ ∈△， 使得
Ｅ： Ｅ ， 则说 分法 △ 比 △ 细．
显然对 于 Ｅ 的任意 两个 分法 △ 和 △ ， 必存在 第 三 个分 法 比△ 和 △ 都 要细 ． 定 义 ２ 设有 可测 集 Ｅ Ｒ ， 以及定 义在 Ｅ上
的实 函数 ， 把 Ｅ的满 足条 件 ．
∑ ｓ ｛厂ｚ Ｉ ∈Ｅ） ｍ ＋。 ｕ Ｉ （） ： ｐ ｚ ・Ｅ ＜ 。