距离之和最小值的数型结合的应用
小学奥数-数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
数形结合求最值
数形结合求最值作者：李维奇来源：《考试·高考理科版》2011年第05期关键词数形结合斜率截距距离求最值是数学中一个重要专题，而解析几何中的一些概念和公式也被广泛运用于此，方法简洁实用。
如：斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式，以及直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等。
一、斜率模式当x1≠x2时，斜率k=y1－y2x1－x2，因此，对于分式的形式，视情况可以将其转化为斜率的形式。
例1 如果实数x,y满足(x－2)2+y2=3，求yx的最大值。
解：条件中的方程在解析几何中表示圆，而yx=y－0x－0，即表示圆上的点与原点的连线的斜率，如图1，易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得，易得最大值为3。
如果利用选修教材中的圆的参数方程，即x=3cosθ+2y=3sinθ，就有如下变式：变式11 求函数y=3sin x3cos x+2的值域。
可变形为y=3sin x－03cos x+2－0，也可变形为y=3sin x3cos x－(－2)。
若将sin x与cos x的关系表示出来，即可得如下变式：变式12 求函数y=3•1－x23x+2的最大值。
可设x=cosθ，则有y=3sinθ3cosθ+2，即转化为变式11，但与之相区别的是θ∈［0,π］，这是后者所没有要求的。
其几何意义就不能完全用图1来表示，而是个半圆。
变式2 求函数y=2sin x－12sin x+1的值域。
函数变形为y=sin x－12sin x+12，即表示点(sin x,sin x)与点C－12,12的连线的斜率，如图2，由于sin x∈［－1,1］，可得点(sin x,sin x)是线段AB上的动点，易得经过点C的直线l1,l2的斜率分别为3和13，可知原函数的值域为(－SymboleB@ ,13］∪［3,+SymboleB@ )。
变式3 求函数y=x2+1x－1的值域。
y=x2－(－1)x－1，表示点(x,x2)与点(1,－1)的连线的斜率，而点(x,x2)是抛物线y=x2上的动点(x≠1)，如图3，直线l1与l2是抛物线的切线，设切点为(x0,x02)，则由导数知，斜率为2x0，则切线方程为y－x02=2x0(x－x0)，将点(1,－1)代入，得x0=1±2，直线l1与l2的斜率即为2±22，因此原函数的值域为(－SymboleB@ ,2－22］∪［2+22,+SymboleB@ )。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
数形结合的思想
｛
６
４
气
２ １
０ｙ ； ０ｙ０四种情况讨论． ，≥０ ＜ ， ＜
解： 由绝 对值 的 定 义 ， 方程 可 原
１ｘ 当 ≥０ｙ －， ，≥０时 ，
一
致有以下三种 ：１ （）利用数学式或数 学概念的几何意义．（） ２ 函数 图象 的
应 用 ． ３ 高 中 阶段 将 要 学 习 的 解 析 （）
（） 当 ３ ≥５时 ，＝ ５ ＋ ２ ： ， （一 ） （＋ ） ，
一
解 ： 函数 Ｊ 考虑 ＝
＋ 与 ３Ｊ ＝
易， 化繁为简． 化生为熟 ， 从而解决问
题 的 目的．
３ 此 时 ｙ￣ ２ ５ ３ ７ ． ．＝ ｘ — ＝ ．
ｋ 分 别 作 此 两函数 的 图象如 图 ３由 ． 。
学 素养 和数 学思 维能 力． 运 用 数形 结 合 思 想 解 题 包 括 三 个方面 ， 以形助 数 ， 以数 助形 ， 形 互 数 助． 涉及 数形 结 合思 想 的常见 题 型大
｛， ２ｘ５时， ７ 当一＜＜
１
＼ ／
Ｖ
、
ｌ一， ５ ． ２３Ｉ 时 ｘ ＞
ｙ ｌ
数形结合是数学解 题中常用的 思想方法 ， 利用数形结合思想 ， 有助
于把握 数 学 问题 的本质 ． 如华 罗庚 诚 先 生所 说 ：数 缺形 时 少直 观 ， 少 数 “ 形
ｘ３ ｌ ２ ， ≤一 ３ — ＂ － ２时 ，
时难人微． 数形结合百般好 ，隔裂分 家万事休． ”因此 ， 我们在解题中要充 分地利用数形结合思想 ， 这样做既能 使许多数学问题迎刃而解 ， 又能使我 们加深对数学 的理解 ， 培养我们的数
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22-+-=214x y如等式()()3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析 例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解不等式x x +>2解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x yx 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合巧解绝对值问题
和－ 3．
４２
y － 5 ＋ y ＋ 1 ＝9.
∵ x ＋ 2 ＋ x － 1 ≥3，y － 5 ＋ y ＋ 1
≥6，
而 x＋2 ＋ x－1 ＋ y－5 ＋ y＋1
＝9，
∴ x ＋ 2 ＋ x － 1 ＝3，y － 5 ＋ y ＋ 1
＝6，
∴－ 2≤x ≤1，－ 1≤y ≤5，
故 x＋y 的最大值与最小值分别为 6
四、解不等式
例 ６ 不等式 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 的解集
是
．
解：由绝对值的几何意义知， x＋2 ＋
x － 3 的最小值为 5，此时 x 在－ 2～3 之间（包
括两端点）取值. 若 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 成立，
则 x 必在－ 2 的左边或 3 的右边取值 （如图 5
所示），故原不等式的解集为 x ＜－ 2 或 x ＞3．
图5
五、判断方程解的个数
例 ７ 方 程 x ＋ 1 + x ＋ 99 + x ＋ 2 ＝
1996 共有（ ）个解．
A.4 B． 3
C． 2
D．1
解：当 x 在－ 99～－ 1 之间（包括这两个端
点）取值时，由绝对值的几何意义知，x ＋ 1 ＋
x ＋ 99 ＝98， x ＋ 2 ＜98． 此时， x ＋ 1 ＋
一点到表示数 3 和 6 两点的距离的差. 当 P 点
在 3 的左边时，其差恒为－3；当 P 点在 6 的右
边时，其差恒为 3；当 P 点在 3～6 之间（包括这
七、巧用乘法分配律
例８
解方程
1 2018
（x＋2688）－
1 2016
（x＋
2688）＋
运用两点间的距离公式求最值
运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数的最小值．分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），，．则即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2 求函数的最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2，表示在平面直角坐标系中的动点到定点，，，的距离之和．而中，，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；中，，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，所以，当且仅当点Ｐ为与的交点时， f（x，y）取得最小值，此时点P的坐标为．二、求距离的平方和的最值例3 已知点，，点满足y=2x，求取得最小值时点P的坐标．分析：利用两点间距离公式将表示为的形式，再消元得一个关于x（或y）的二次函数，最后求值．解：由已知点满足，结合两点间的距离公式，得，当时，取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解．一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值1．已知P(－2, －2), Q(0, 1), R(2, m)，若|PR|+|RQ|最小，则m的值为（A）（B）0 （C）－1 （D）－2．已知A(8, 6), B(2, －2)，在直线3x－y+2=0上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为（A）(2, 0) （B）(－4, －10) （C）(－10, －4) （D）(0, 2)3．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||PA|－|PB||最大，则点P坐标为 .4．函数y=的最小值为 .5求函数y＝＋的最小值．。
线段之和最短问题
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
全等三角形动点问题解题技巧
全等三角形动点问题解题技巧在解决全等三角形动点问题时，需要灵活运用几何知识、函数图象性质、特殊位置规律、分类讨论思想、数形结合思想和整体思想等技巧，以便快速找到问题的突破口。
一、把握动点轨迹，运用几何知识求解最值动点轨迹是求解全等三角形动点问题的基础。
在解决此类问题时，需要先确定动点的运动轨迹，然后运用几何知识求解最值。
例如，在求解动点A在直线l上移动，求A点到定点B的距离最短值时，可以运用抛物线的定义，将AB沿直线l的投影作为A点的轨迹，然后根据抛物线的性质求解最值。
二、利用函数的图象性质求最值利用函数的图象性质求解全等三角形动点问题，主要是通过建立坐标系，确定动点的坐标，然后利用函数的图象性质求解最值。
例如，在求解一个直角三角形中的动点C，使得AC和BC的长度之和最小值时，可以建立直角坐标系，设A、B两点的坐标分别为(0,0)和(1,0)，然后设C点的坐标为(x,y)，最后利用函数的图象性质求出AC和BC 的长度之和的最小值。
三、借助特殊位置，寻找动点规律全等三角形动点问题中，常常涉及到动点的特殊位置。
借助这些特殊位置，可以寻找动点的规律，从而快速解决问题。
例如，在求解一个等边三角形中的动点D，使得AD和BD的长度之和最小值时，可以借助等边三角形的三条边的中垂线交点为D的特殊位置，然后根据中位线的性质求出AD和BD的长度之和的最小值。
四、运用分类讨论思想求解动点问题分类讨论思想是求解全等三角形动点问题的重要技巧之一。
在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题分成不同的情况进行讨论，然后分别求解。
例如，在求解一个矩形中的动点E，使得AE和BE的长度之和最小值时，需要考虑E点在矩形的边和角上两种情况分别进行讨论，然后分别求出最小值。
五、运用数形结合思想求解动点问题数形结合思想是求解全等三角形动点问题的常用技巧之一。
在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题转换成图形问题进行分析和求解。
初一数学最小值距离问题
初一数学最小值距离问题
在初一数学中，最小值距离问题通常涉及到几何图形，尤其是平面几何。
解决这类问题时，可以采用以下方法：
1. 转化法：通过一定的转化，将问题从一种形式转化为另一种更易解决的形式。
例如，将最小值问题转化为两点之间的距离问题，或定点到定直线的最短距离问题。
2. 构造法：通过添加辅助线或构造新的图形，将问题转化为更易解决的形式。
例如，在求AP+BP的最小值时，可以构造一条线段等于AP，然后利用三
角形两边之和大于第三边的性质。
3. 数形结合法：将代数与几何结合起来，利用代数方法解决几何问题。
例如，利用代数不等式求最值，或利用几何意义解释代数不等式的性质。
解决最小值距离问题需要综合考虑这些方法，具体问题需要具体分析。
同时，还需要熟练掌握几何的基本概念和性质，如平行、垂直、对称等。
通过大量的练习和总结，才能逐步提高解决这类问题的能力。
解析几何中的一些最值问题
OCCUPATION2011 7162解析几何中的一些最值问题文/王海滔最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析几何等学科内的各个分支，在生产实践当中广泛应用，解析几何中的最值问题也是历届各类考试的热点。
如何利用相关的数学方法，运用数形结合的思想解决这类问题，来提高学生分析问题和解决问题的能力，为进一步学好高等数学中的最值问题打下基础，是中学数学复习中不可忽视的问题。
下面，笔者结合具体的例子，对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。
一、利用对称性求最值（动点在直线上）动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。
【例1】已知点P 在x 轴上运动，A (-2，2），B （1，3）（1）则│P A │+│PB │的最小值为多少？分析：作出A 点关于x 轴的对称点A'(-2，2），那么│P A │+│PB │=│P A'│+│PB │，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│P A'│+│PB │≥│A'B │，当且仅当A'，P ，B 三点共线时取得最小值│A'B（2）则│PB │-│P A 分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA 交x 轴于P ，│PB │-│PA │此时得到的最大值为│BA小结：当动点在直线上时，（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。
若是同侧，作对称点即可解决。
（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。
若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。
二、利用圆锥曲线的定义求最值（动点在圆锥曲线上）动点在圆锥曲线上求最值，解决方法是先利用圆锥曲线定义对所求的问题进行转化，再利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用点到直线的距离为垂线段最短，求出最值。
【例2】已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A （４，２），点P 是该抛物线上的一个动点，试求│PF │+│P A │的最小值为______。
高考中的数形结合思想
图 ２
（
）
＼／
ｏ ｊ
。
：ｌ ３
Ｃ． ： １ ｂ
Ｄ ｂ ＝２
．
（ ０ １年 浙 江省 数 学 高考 理科试 题 ） ２１
评注
本 题 主要考查 分段 函数 ， 过 函数 图像 通
分 析 由双 曲线 一 ＝１可 知 渐 近线 方 程
／
０ ／
／
距 离 的 ２倍． 出 已知 画
不 等式表 示 的平 面区域
法都是通过图像或图形 ， 利用数形结合的思想得到 结论 ， 别是 解法 １ 特 简单 明 了． ３２ 解 决函数 与方程 、 ． 不等 式 问题
通 过 函数 图像 研究 函数 盼 质是 探 究 函数 性 质常用 的方 法． 因为 函数 图像 是 函数 的一种 主要 的 表达形 式 ， “ ” 从 形 的方 面刻 画 了函数 的 变化 规 律 ， 显示 了函数 的性 质 ， 究数 量关 系提供 了直 观的 为研 形象． 图像处理 方 程 根 的 个数 问题 时 ， 用 往往 把 方
对 简单 的几何 问题． 过 空 间想 象 ， 用数 形 结 合 通 利
决不 等式 问题最 直接 的体 现． 线性规 划 的考查通 对 常 以距 离 、 积 、 率 、 整 数 解等 问题 出现 ， 过 面 斜 正 通 “ ” 形 来探 求 “ ” 数 ．
３ ３ 解决解析 几 何 问题 ．
程根的问题看作 ２个函数图像的交点问题． 处理不
等式 时 ， 题 目的条件 与结论 出发 ， 从 联系相 关 函数 ， 着重分 析其 几何 意 义 ， 图形 上 找 出解 题 的思 路 ， 从
Ａ． 。： 。 Ｂ
距离之和最小
距离之和最小问题一、教学目标1.初步学会利用三角形、轴对称性质等知识，求线段和的最小值;2.经历问题探究的过程，培养画示意图的习惯;3.感受图形变换、转化、数形结合等思想方法，体验数学思考的严谨性；4.学会用网络和信息技术手段获取知识，解决简单问题。
二、教学重难点重点:1.求线段和的最小值；2.感受数学思想方法。
难点:1. 网络和信息技术手段的应用；2.理解利用轴对称的性质将折线段和的问题转化为求一条线段长的问题。
三、教学过程1.创设情境、激发兴趣请说出：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句。
如果不熟悉，请从网络上获取。
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走到小河边的P处给马喝水后再到河岸对面的点B拓展：将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走到小河边的P处给马喝水后再到河岸同侧的点B宿营，他怎么走才能使路程最短呢？2.导入新课，明确模型今天我们来学习如何解决中考数学中的一类问题--距离之和最小问题.为了让大家对距离之和最小问题有一个更充分的了解，我们先从生活实际来感受一下这个问题的本意。
若要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图ＢＡ所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0，3),Ｂ点的坐标为（6,5）,求从A,B 两点到奶站距离之和的最小值。
那么，除去实际的背景，这个问题实际上可以描述为：已知两个定点A,B 和x 轴上的一个动点P ，求AP+BP 最小值问题。
3.合作探究，提炼方法我们利用轴对称的性质以及两点之间线段最短的的性质，可将求折线段和的问题转化为求一条线段长的问题。
故我们选x 轴为对称轴，画出顶点A 的对称点 A ′，联结对称点 A ′与另一点B ，则交x 轴于点P 为所求动点。
构造Rt △BA ′D ，求BA ′的长即为AP+BP 的最小值。
专题05 抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值-高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到定点或定直线的
专题05 抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值本内容主要研究抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值.利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；数形结合，画图得出最值.
先看例题：
例：已知直线l1:x－y－5=0和直线l2:y=－4,抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是().
归纳整理：
抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值：
利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；
数形结合，一条直线是抛物线的准线或者是与准线平行的直线，求出焦点到另一条直线的距离从而得出所求最值.
再看一个例题，加深印象：
例：已知直线l1:4x－3y+6=0和直线l2:x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
总结：
1. 求抛物线上的点到两条直线的距离之和的最小值，其中一条直线是抛物线的准线或者是与准线平行的直线，利用线物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化.
2. 数形结合，求出焦点到另一条直线的距离从而得出所求最值.
练习：
1. 抛物线y2=4x上的动点到准线的距离和到直线y=2x+3的距离之和的最小值为( )
A.1
2. 已知直线l1:4x－3y+6=0和直线l2:x=－1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2
B.3
C.11
5
D.
37
16
答案：
1.
2.。
数形结合解最值
数形结合解最值四川省广元市宝轮中学 唐明友“数”转化为“形”直观，“形”结合于“数”简便，两者之间相辅相成，相互转化，“数”和“形”的这种辩证关系就是数形结合思想。
本文例析运用数形结合思想解决最值问题。
一.结合数轴例1.若a<b<c ，试求函数y=ax -+b x -+cx -的最小值。
分析与解：本题若用“零点区间讨论法”解， 且a 、b 、c 不是具体的数，计算起来非常麻烦。
根据绝对值的几何意义，在数轴上ax -、b x -、cx -分别表示线段AX 、BX 、CX 的长。
现在要求ax -+b x -+cx -的最小值，从几何意义上理解，就是在数轴上找一点X ，使点X 到A 、B 、C 三点距离之和最小。
由图知，当X 与点B 重合时，即当x=b 时该距离之和最小，∴y 的最小值为c －a 。
说明：如果a 、b 、c 是具体的常数，还可通过分类讨论，画出分段函数的图像，再根据图像找出最小值。
二.结合直角三角形 例2.求代数式42+a +9)12(2+-a 的最小值分析与解：仅从代数角度思考显然难以奏效，观察到两个根号下都是平方和的形式，自然联想到勾股定理，进而可考虑构造R t △ACP 和R t △BDP 。
如图，A C ⊥l 于C,BD ⊥l 于D,AC=2,BD=3,CD=12,P 在直线l 上， 且PC=a(由题意a 为负数或0均不是最小的，可设a>0), 则PA+PB=42+a +9)12(2+-a ，因此，本题化为“在直线l 上求一点P ，使PA+PB 的 值最小”。
为此，取点A 关于直线l 的对称点A ，，过点A ，作A ，E ⊥BD 交其延长线于点E ，连接PA ，、A ，B ，则 原式=PA+PB=PA ，+PB ≥A ，B=22BE E A +，=223)(212++=13因此，原式的最小值是13。
说明：本题亦能构造平面直角坐标系，求代数式的最小值，相当于要在x 轴上求一点（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）这两点的距离的和最短，请同学们去思考。
解析几何中求距离最值问题的方法与策略
解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。
数形结合的应用
在解数学问题时,根据问题的背景和可能,使“数”的问题借助于形去观察,而“形”的问题借助于数去思考.采用“数形结合”来解决数学问题的策略,称之为“数形结合思想”.应用数形结合解题的基本思路是:根据所研究的“数”(代数式.不等式.方程.函数解析式等)的结构特征,通过唤起表像或再造想像,构造出与之相适应的几何图形(或数轴.坐标系下的点或图像),并利用图形的特征和规律,解决数的问题;或将图形信息部分或全部转换成代数信息,削弱和清除形的推理部分,使解决形的问题转化为数量关系的讨论.数学以现实世界的数量关系与空间形式作为其研究对象,而数和形是互相联系的,也是可以互相转化的.把问题的数量关系转化为图形的性质问题,或者把 图形的性质问题转化为数量关系;问题,是数学活动中一种十分重要的思维策略,这种处理问题的思想方法就是数形结全的思想方法.综观数学的发展史, 数与形的结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具,同时也使许多代数课题具有了鲜明的直观性,从而开拓出新的研究方向.例如,笛卡儿通过数形结合使几何问题转化为代数问题,把长期分道扬镳的代数与几何结合起来,开辟了数学发展的新纪元.不仅由此创立的解析几何成为数学发展史上不朽的里程碑,而且他的研究也是运用数形结合思想方法的光辉范例.又如,在现代数中人们把函数看作一个个“点”,把一类函数的全体看作一个“空间”,由此引出了无穷维函数空间的概念,这也是成功地运用数形结合思想方法的结果.对于一个微分;方和平组的求解,由此就可 以归结为相应函数空间中一个几何变换的不动点问题,从而使抽象的分析问题 获得了直观的几何意义.数形结合关键词：数形结合;数形转换;想像和再造想像;想像力 摘 要：“数学的关键在于解题”。
而解题的速度和质量则取决于解题者的技巧和能力。
浅谈数形结合方法在解高考题中的运用Shallow talk that the fewform combinesthe usage that themethod is in solve high subject of examinationSummary:" The key of mathematics lies in solving".But the speed and quantities of the solution then be decided by the technique and the ability of solveKeyword:The few form combine; the few form conversion; imagine and give a new life the imagination; imagination是初等数学中十分重要的思想方法,在数学问题解决中具有独特的策指导与调节作用.作为数形结合的具体方法,主要有解析法.复数法.图解法等等.由数形结合,萌生构想,爱因斯坦曾指出:“提出新的问题,新的可能性,从新的角度去看旧的问题,都需要有创造性的想像力.”在数学教学中,适时地抓住数形结合这一途径,是培养创造性想像力的契机.其应用主要分为：（1）“由形化数”，借助所给图形,仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征。
数形结合应用举例
数形结合应用举例数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法，根据条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何背景。
通过数形结合，数形转化寻找最佳解题思路，使问题得到解决。
一、求方程根的问题例1：方程a x x +=-21有两个解，求a 的取值范围。
解析：在同一坐标系内作出函数21x y -=，a x y +=的图象，如图所示，当直线a x y +=在两条直线之间平行移动即可。
由 12==ad 得2=a ，∴21a ＜≤。
练习：1、[2009年重庆卷]，已知以T=4为周期的函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=3,1.,211,1,12x x x x m x f 。
其中0m ＞，若方程()x x f =3恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）。
A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34 2、讨论方程kx x x =+-342，（k 为常数）的解的个数。
例2：设a 、b 分别是方程03log 2=-+x x 和032=-+x x 的实根，则b a 2log 2+= 。
解析：在同一坐标系中作出函数x y 21log =，x y 22=，x y -=33，x y =4的图象。
记A 、B 分别是1y 与3y ，2y 与3y 的交点，即A （a ，a 2log ），（b ，b 2），又∵1y 与2y 关于x y =对称，∴由⎩⎨⎧-==xy x y 3，得⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23M 。
又∵直线AB 与直线OM 垂直， ∴223b a x M +==，2322a log b 2=+=M y 。
∴32log 2=+b a 。
练习：1、[2009年辽宁卷]，若x 满足522=+x x ，2x 满足()51log 222=-+x x ，则=+21x x （ ）A 、25 B 、3 C 、27 D 、4 2、[2009年湖北部分重点中学二联]已知A 、B 、C 均为正数，且满足a a 31log 3=，b b 31log 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c3log 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A 、a ＜b ＜c B 、c ＜a ＜b C 、c ＜b ＜a D 、b ＜a ＜c二、解决不等式的问题例3：关于x 的不等式1212++≤-+-a a x x 的解集为φ，则a 的取值范围为（ ）A 、（0，1）B 、（-1，0）C 、（1，2）D 、（-∞，-1）解析：由题意知()1212min ++-+-a ＞a x x 恒成立。
利用绝对值的几何意义求距离之和的最小值
利用绝对值的几何意义求距离和的最小值NO1.【绝对值的求和的最小值】背景介绍一个代数式是含多个绝对值相加而成，求这个代数式的最小值的过程我们称为绝对值求和的最小值问题。
形如()x a x b a b −+−≤通常我们会利用零点分段法进行计算，即根据绝对值的性质考虑去掉绝对值符号，去掉绝对值符号就需要对绝对值里的代数式进行正负讨论，讨论时先令绝对值内部的代数式为0，分别求出,x a x b ==，再根据a b 、的大小关系，把数轴上的点分成三部分，分别为,,x a a x b x b ≤≤≤≥，在每一段范围内进行去绝对值符号化简，进而求最小值。
可以看出，这个计算量还是很大的，那么有没有简单一些的办法呢？NO2.【绝对值的几何意义求和最小值】原理我们知道：数轴上表示数a 与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a而数轴上表示数3与数1的距离为2，等于31−；数轴上表示数3与数1−的距离为4，等于3(1)−−；那么数轴上表示数a 与数b 的距离为a b − 那么对于()x a x b a b −+−≤，我们可以从几何意义上进行理解：x a −可以看作是数轴上表示数x 与数a 的距离x b −可以看作是数轴上表示数x 与数b 的距离 而x a x b −+−就可以看作数轴上表示数x 与数a 、数b 的距离之和而数轴上表示数a 、数b 、数c 的点把数轴分成了四部分，如下图当x 在a 的左边，距离之和可以表示为下图的两条线段之和当x 在ab 之间时，距离之和可以表示为下图的两条线段之和当x 在b 的右边时，距离之和可以表示为下图的两条线段之和通过对比，我们不难发现当x 在ab 之间时，距离之和最小，等于b a − 对于()x a x b a b +++≤可以看作数轴上表示数x 与数a −、数b −的距离之和，当x 在b a −与-之间时，距离之和最小，等于a b−+同理可得()x a x b x c a b c −+−+−≤≤可以看作数轴上表示数x 与数a 、数b 、数c 的距离之和：观察可知当x b =之间时，距离之和最小，等于c a −NO3.【绝对值的几何意义求和最小值】识记技巧识别技巧：所求式子为几个含有绝对值的代数式相加的性质【敲重点】（1）把每一个绝对值换成距离（2）距离之和在数轴上表示出来（3）分段看距离之和找最小值NO4. 【绝对值的几何意义求和最小值】典型题型例1数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A ，B 在数轴上对应的数分别为a ，b ，则A ，B 两点间的距离表示为AB a b =−．根据以上知识解题：（1）点A 在数轴上表示3，点B 在数轴上表示2，那么AB =；（2）在数轴上表示数a 的点与2−的距离是3，那么a = ； （3）如果数轴上表示a 的点位于4−和2之间，那么42a a ++−=；（4）对于任何有理数x ，36x x −+−是否有最小值？如果有，直接写出最小值，如果没有，请说明理由．【解答】（1）321AB a b =−=−=故答案为：1（2）3AB =()32a ∴=−−即1a =或5−故答案为：1或5−（3）当42a −<<时()()42426a a a a ++−=+−−=故答案为：6（4）有，最小值为3例2. 数学实验室：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离||AB a b =−．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．（3）若x 表示一个有理数，则14x x −++的最小值= ．（4）若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 是．（5）若x 表示一个有理数，当x 为，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为．【解答】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|62|4−=数轴上表示1和4−的两点之间的距离是()|14|5−−=故答案为：4，5（2）数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为()|3||3|x x −−=+数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为|6|x −故答案为：|3|x +，|6|x −（3）根据绝对值的定义有：|1||4|x x −++可表示为点x 到1与4−两点距离之和，根据几何意义分析可知当x 在4−与1之间时，|1||4|x x −++有最小值5故答案为：5（4）当1x <−时，|1||3|13224x x x x x ++−=−−+−=−+=解得：1x =−此时不符合1x <−，舍当13x −时，|1||3|134x x x x ++−=++−=此时1x =−，0x =，1x =，2x =，3x =当3x >时，|1||3|13224x x x x x ++−=++−=−=解得：3x =此时不符合3x >，舍去故答案为：1−或0或1或2或3（5）可看作是数轴上表示x 的点到2−，3，4三点的距离之和∴当3x =时，|2||3||4|x x x ++−+−有最小值|2||3||4|x x x ∴++−+−的最小值|32||33||34|6=++−+−=故答案为：3，6例3：如图，数轴上有点a ，b ，c 三点（1）用“<”将a ，b ，c 连接起来；（2）b a −1（填“<”“>”，“=”）；（3）化简11c b c a a −−−++−；（4）用含a ，b 的式子表示下列的最小值：①x a x b −+−的最小值为； ②1x a x b x −+−++的最小值为； ③x a x b x c −+−+−的最小值为． 【解答】（1）根据数轴上的点得：c a b <<（2）由题意得：1b a −<（3）11c b c a a −−−++−()11b c a c a =−−−−+−11b c a c a =−−+++−b=（4）①当x 在a 和b 之间时，x a x b −+−有最小值x a x b ∴−+−的最小值为：x a b x b a −+−=−②当x a =时()1011x a x b x b x x b −+−++=+−+−−=+为最小值③当x a =时0x a x b x c b a a c b c −+−+−=+−+−=−为最小值。
椭圆上的点到焦点和定点的距离之和,差的最值-含解析
椭圆上的点到焦点和定点的距离之和，差的最值一、单选题当点P 在位置M 时，PA PF '-当点P 在位置N 时，PA PF '-取到最小值所以PA PF '-的取值范围是⎡-⎣所以||||PA PF +的最大值max D =所以max min 8D D +=.故选：C.2．已知F 为椭圆C ：2214x y +=上一点，则PQ ＋PF 的最大值为（A ．3C ．423+【答案】D3．已知椭圆22:167x y C +值为（）A ．7B 【答案】C【分析】把P 到左焦点的距离转化为可得．【详解】因为22311167+<设椭圆C 的右焦点为F '由椭圆的定义可得PF '所以PM PF PM +=+当且仅当P 是射线MF '与椭圆的交点时取等号．故选：C..4．已知F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，的最大值为（）A ．42B ．43【答案】D【分析】设椭圆C 的左焦点为F 当点P 在AF '的延长线上时取等号，得【详解】由题意可得：2,a b ==∵()22213514312+=>，故点(1,A 设椭圆C 的左焦点为(1,0)F '-，则设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF =+－由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ －当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ ∴当P 在射线F Q '的延长线上时，PQ PF －PQ PF ∴+的最小值为826-．故选：B7．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，上顶点为长的最大值为（）A ．2B ．4【答案】D。