无5-或6-圈平面图的均匀Δ-着色
基本数学模型-顶点着色
Petersen 图
'(G) 4
3
排课表问题
• 有 m 位教师和 n 个班级，教师 i 每天为班级 j 授
课 pij 个学时，如何安排一张课表，可使每天课
时数最少
• 构造有平行边的二部图 G ，顶点集 V X Y ，X 为教师集，Y 为班级集，X 中顶点 i 和 Y 中顶点 j 有 pij 条边相连
Appel, K., Haken, W., Every Planar Map is Four Colorable, Illinois Journal of Mathematics
Part I. Discharging, 21, 429–490, 1979 Part II. Reducibility, 21, 491–567,1979
p
6
排课表问题
1234
x1 y4 y1 y3 y1
x2 y2
y4
x3 y3 y4
y2
x4
y5
y4
三间教室
123456
x1 y4 y3 y1
y1
x2 y2 y4
x3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y4 y3 y2
x4
y4
y5
两间教室
7
运筹与统计
着色
顶点着色
• 图顶点G的用顶k 点种颜k着色色之是一指着将色图，G使的得每相一邻个的
顶点不染同一种颜色
• 将 G的顶点按上述要求着色所需的最少 颜色数称为图 G的色数（chromatic
number），记为 (G) • 对任意简单图 G ，(G) Δ(G) 1，若G
连通且不是奇圈或完全图，(G) Δ(G)
可约构形组成的不 可免完备集（部分）
图论讲义第6章-图的着色问题
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ ] 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
21平面图及图的着色
2、几点说明
若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。
回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。
R1
R0
R3
R2
平面图有4个面，deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。
小节结束
17.2 欧拉公式
一、欧拉公式相关定理
1、 欧拉公式 定理17.8 对于任意的连通的平面图G，有
n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 (1) m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶
点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 (2) m＝1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论
定理17.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有
n-m+r = k+1
其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。
证明
设G的连通分支分别为G1、G2、…、Gk，并设Gi的顶点数、 边数、面数分别为ni、mi、ri、i=1，2，…，k。
由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2，i=1，2，…，k
例17.3 由K3,3加若干条边能生成多少个6阶连通的简单的非同构的 非平面图？
解答
对K3,3加1～6条边所得图都含K3,3为子图，由库拉图斯基定理可 知，它们都是非平面图。 在加2条、加3条、加4条边时又各产生两个非同构的非平面图， 连同K3,3本身共有10个满足要求的非平面图。其中，绿线边表示 后加的新边。
于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 若G不是树，则G中含圈。
围长≥7最大度≥5的平面图的无圈列表边染色
围长≥7最大度≥5的平面图的无圈列表边染色马刚【摘要】对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染3种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色(ψ),如果对任意e∈E(G),都有(ψ)(e)∈L(e),则称(ψ)为无圈L边染色.用a'list(G)表示图G 的无圈列表边色数.论文证明:若图G是一个平面图,且它的最大度△≥5,围长g(G)≥7,则a'list(G)=△.%A proper edge coloring of a graph is said to be acyclic if any cycle is colored with at least three colors.For an edge-list L of a graph G,an acyclic edge coloring (ψ) of G is called an acyclic L-edge coloring if (ψ)(e) ∈∈ L(e) for anye ∈∈ E(G).For a planar graph G,we proved thata'list(G) =△ if the maximum degree △ ≥ 5 and the girth g(G) ≥ 7.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)004【总页数】6页(P39-44)【关键词】平面图;无圈列表边染色;围长【作者】马刚【作者单位】山东理工大学理学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O157.5论文中考虑的图都是简单图. 若G是一个图，分别用V(G)和E(G)表示图G的点集和边集. 对图G，用dG(v)表示点v的度. 称度为k的点为k-点，度不大于k的点为k-点. 称度为1的点为叶节点. 用|A|表示集合A所包含的元素的数量.图G的一个边染色是指给G的每条边分配一种颜色. 如果给相邻的边分配不同的颜色，则这个边染色被称作是正常边染色. 正常边染色所需要的最少的颜色数称为边色数，用χ′(G)表示. 在图G的一个正常边染色中，如果每个圈都有至少3种颜色，则称这个正常边染色是无圈边染色. 无圈边染色所需要的最小颜色数，被称作无圈边色数，用a′(G)表示.Alon等在文[1]中提出了以下猜想：猜想1 对任意图G，有a′(G)≤Δ(G)+2 .Alon等在文[2]中证明：对任意图G，有a′(G)≤64Δ. Molloy等在文[3]中把上述结果改进到a′(G)≤16Δ. Muthu等在文[4]中证明若图G的围长g(G)≥220 ，则a′(G)≤4.52Δ. Alon等在文[1]中证明存在一个常数c，若g(G)≥cΔlogΔ ，则a′(G)≤Δ+2. 文[5-8]中对平面图的无圈边染色进行了研究.图G的一个边列表L是指给图G的每一条边e赋以一个含有有限个正整数的集合L(e). 对图G的一个边列表L，如果对任意e∈E(G)，有|L(e)|≥k，则称L为图G的k-边列表. 对图G的一个无圈边染色φ及图G的一个边列表L，如果对任意e∈E(G)，都有φ(e)∈L(e)，则称φ为无圈L-边染色. 称图G是无圈k-边可选择的，如果对图G的任何一个k-边列表L，图G都有无圈L-边染色. 图G的无圈列表边色数是指使得图G无圈k-边可选择的最小正整数k，用表示.若图G的最大度为Δ(G)，显然有Δ(G)(G).Lai等在文[9]中把无圈边染色的概念推广到了无圈列表边染色，并提出了以下猜想：猜想2 对任意图G，有文[9-12]对一些特殊的图的无圈列表边染色进行了研究.引理1[10] 若图G是2-连通的平面图，最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，则图G至少存在下面7种情况的一种：(C1) 一条路x1x2x3，其中d(x2)=2,d(x1)+d(x3)≤Δ+1.(C2) 一条路y1y2…y6，其中d(y2)=d(y3)=d(y5)=2, d(y1)=d(y4)=Δ ,d(y6)≤Δ-1. (C3) 一条路z1z2…z5，其中d(z2)=d(z4)=2, d(z1)≥3, d(z3)≥3,d(z1)+d(z3)=Δ+2.(C4) 一个3-点v，与它相邻的点中有两个2-点v1,v2，另一个点v3满足d(v3)≤Δ-1.(C5) 一条路t1t2…t6，其中d(t2)=d(t4)=2, d(t1)=d(t5)=3, d(t3)= 5, d(t6)≤3. (C6) 一个7-面[u1u2…u7]，其中d(u1)=d(u4)=d(u6)=2, d(u2)=d(u3)=3,d(u5)=d(u7)=5，Δ=5.(C7) 一个7-面[w1w2…w7]，其中d(wi)=2 (i=2,3,5,7), d(wi)=5 (i=1,4,6).设c是图G的一个边染色，对点v∈V(G)，用C(v)表示与点v相邻的边所染颜色的集合. 如果一条路(或圈)上的边交替的染颜色i和j，则称这条路(或圈)为(i, j)-路(或(i, j)-圈). 论文对最大度不小于5，围长不小于7的平面图进行了研究，得到了下面的结果:定理1 若图G是一个平面图，它的最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，则Δ.证明只需证明(G)≤Δ. 对边的个数|E(G)|用数学归纳法. 当|E(G)|≤5时，结论显然成立，因此假设G是一个平面图，它的最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，且|E(G)|≥6.设L是图G的一个Δ-边列表.若图G有一个割点v，假设G-v的各个连通分支为G1,G2,…,Gk. 由归纳假设知，图G的由点V(Gi)∪{v}(1≤i≤k)导出的子图Gi′，都存在无圈列表边染色ci，使得ci(e)∈L(e)(e∈E(Gi′)). 由于dG(v)≤Δ，所以通过适当的调整，总可以使得各个子图Gi′中与点v相邻的边染不同的颜色，这样就可得到图G的一个染色. 又由于点v是割点，所以得到的图G的染色满足无圈性. 从而图G是无圈Δ-边可选择的. 下面假设图G是2-连通的，从而δ(G)≥2. 由引理1知，图G至少存在(C1)～(C7)情况中的一种.(C1) G有一条路x1x2x3，其中d(x2)=2,d(x1)+d(x3)≤Δ+1.令H=G-x2x3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 由于δ(G)≥2，d(x1)+d(x3)≤Δ+1，故dG(x1)≤Δ-1，dG(x3)≤Δ-1.如果c(x1x2)∉C(x3)，由于|{c(x1x2)}∪C(x3)|=dG(x3)≤Δ-1，从L(x2x3)-({c(x1x2)}∪C(x3))中选一种颜色染x2x3即可.如果c(x1x2)∈C(x3)，由于|C(x1)∪C(x3)|≤dG(x1)+dG(x3)-2≤Δ-1，从L(x2x3)-(C(x1)∪C(x3))中选一种颜色染x2x3即可.(C2) G有一条路y1y2…y6 ，其中d(y2)=d(y3)=d(y5)=2,d(y1)=d(y4)=Δ ,d(y6)≤Δ-1.令H=G-y2y3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 如果c(y1y2)≠c(y3y4)，由于|L(y2y3)-{c(y1y2),c(y3y4)}|≥3，从L(y2y3)-{c(y1y2),c(y3y4)}中选一种颜色染y2y3即可.如果c(y1y2)=c(y3y4)，不妨设c(y1y2)=c(y3y4)=1, c(y4y5)=2. 若L(y2y3)-C(y1)≠∅或者L(y2y3)-C(y4)≠∅，只需用L(y2y3)-C(y1)或者L(y2y3)-C(y4)中的颜色染y2y3即可. 设L(y2y3)=C(y1)=C(y4)={1,2,…,Δ}. 不妨假设，无论给y2y3染L(y2y3)-{1}中的哪一种颜色i，G中都会存在一个(1,i)-圈. 从而c(y5y6)=1且2∈C(y6).若L(y3y4)≠{1,2,…，Δ}，从L(y3y4)-{1,2,…，Δ}中选一种颜色γ重新染y3y4，然后从L(y2y3)-{1,γ}中选一种颜色染y2y3即可. 若L(y4y5)≠{1,2,…,Δ}，从L(y4y5)-{1,2,…,Δ}中选一种颜色γ重新染y4y5，然后给y2y3染颜色2即可. 下面假设L(y3y4)=L(y4y5)={1,2,…,Δ}.由于|L(y5y6)-C(y6)|≥1，从L(y5y6)-C(y6)中选一种颜色α重新给y5y6染色. 显然α≠1且α≠2. 若α∉C(y4)，只需给y2y3染颜色2即可；若α∈C(y4)，依次给y4y5,y3y4,y2y3染或重新染颜色1,2,3即可.(C3) G有一条路z1z2…z5，其中d(z2)=d(z4)=2,d(z1)≥3, d(z3)≥ 3,d(z1)+d(z3)=Δ+2.由d(z1)≥3, d(z3)≥ 3, d(z1)+d(z3)=Δ+2知，d(z1),d(z3)≤Δ-1. 令H=G-z2z3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 如果c(z1z2)∉C(z3)，从L(z2z3)-({c(z1z2)}∪C(z3))中选一种颜色染z2z3即可.如果c(z1z2)∈C(z3)，不妨设c(z1z2)=1，C(z3)={1,2,…,d(z3)-1}. 若c(z3z4)=1，只需从L(z2z3)-(C(z3)∪{c(z4z5)})中选一种颜色染z2z3即可.若c(z3z4)≠1，不妨设c(z3z4)=2. 可以假设无论给z2z3染L(z2z3)-C(z3)中哪一种颜色i，G中都有一个(1,i)-圈. 从而(L(z2z3)-C(z3))⊂(C(z1)-{1})，|L(z2z3)-C(z3)|≤|C(z1)-{1}|.由于d(z1)+d(z3)=Δ+2，有|L(z2z3)-C(z3)|=|C(z1)-{1}|=d(z1)-1. 从而C(z3)⊂L(z2z3)，C(z1)-{1}⊂L(z2z3). 设L(z2z3)={1,2,…,Δ}，从而C(z1)={1,d(z3),d(z3)+1,…,Δ}.若L(z1z2)-C(z1)中存在一种颜色α,使得α∉C(z3)，给z1z2重新染颜色α，再从L(z2z3)-(C(z3)∪{α})中选一种颜色染z2z3即可. 故可设L(z1z2)-C(z1)⊂C(z3). 从而L(z1z2)={1,2,…,Δ}.给z1z2重新染颜色2，然后从L(z2z3)-(C(z3)∪{c(z4z5)})中选一种颜色染z2z3即可.(C4) G有一个3-点v，与它相邻的点中有两个2-点v1，v2，另一个点v3满足d(v3)≤Δ-1.不妨设v1的除了v的另外一个邻点为v1′，v2的除了v的另外一个邻点为v2′. 令H=G-vv1，由归纳假设，知H存在一个无圈L-边染色c. 若c(v1v1′)∉{c(vv2),c(vv3)}，只需从L(vv1)-{c(v1v1′),c(vv2),c(vv3)}中选一种颜色染vv1即可.若c(v1v1′)∈{c(vv2),c(vv3)}，不妨设c(v1v1′)=1，{c(vv2),c(vv3)}={1,2}. 若c(vv2)=1,c(vv3)=2，只需从L(vv1)-{1,2,c(v2v2′)}中选一种颜色染vv1即可.若c(vv2)=2,c(vv3)=1，不妨假设无论给vv1染L(vv1)-{1,2}中的哪一种颜色i，G 中都有一个(1,i)-圈. 由假设知，L(vv1)-{1,2}⊂(C(v3)-{1}). 由于d(v3)≤Δ-1，|L(vv1)-{1,2}|≥Δ-2，从而|L(vv1)-{1,2}|=Δ-2，{1,2}⊂L(vv1). 不妨设L(vv1)={1,2,…,Δ}，从而C(v3)={1,3,4,…,Δ}. 从L(vv3)-{1,3,4,…,Δ}中选一种颜色α重新染vv3. 若α≠2，只需从L(vv1)-{1,2,α}中选一种颜色染vv1即可.若α=2，从L(vv2)-({1,α}∪{c(v2v2′)})中选一种颜色β重新染vv2，再从L(vv1)-{1,α,β}中选一种颜色染vv1即可.(C5) G有一条路P=t1t2…t6，其中d(t2)=d(t4)=2, d(t1)=d(t5)=3, d(t3)= 5,d(t6)≤3.设t1的不在P中的另外两个点为t1′,t1″， t5的不在P中的另外一个点为t5′.令H=G-t4t5，由归纳假设，H中存在一个无圈L-边染色c. 若Δ≥6，从L(t4t5)-({c(t3t4)}∪{c(t5t5′)}∪C(t6))中选一种颜色染t4t5即可. 下面假设Δ=5.若c(t3t4)∉C(t5)，从L(t4t5)-({c(t3t4)}∪C(t5))中选一种颜色染t4t5即可.若c(t3t4)∈C(t5)，不妨设c(t3t4)=1，{c(t5t6),c(t5t5′)}={1,2}. 若c(t5t6)=1,c(t5t5′)=2，从L(t4t5)-({2}∪C(t6))中选一种颜色染t4t5即可.下面设c(t5t5′)=1,c(t5t6)=2. 不妨假设：(*1) 无论从L(t4t5)-{1,2}中选哪一种颜色i染t4t5，G中都有一个(1,i)-圈.由(*1)知，(L(t4t5)-{1,2})⊂(C(t3)-{1})，从而|L(t4t5)-{1,2}|≤|C(t3)-{1}|. 不妨设L(t4t5)={1,2,3,4,5}. 下面分两种情况讨论：(5.1) c(t2t3)∈{3,4,5}.设c(t2t3)=3. 由(*1)知c(t1t2)=1，3∈C(t1). 类似于(C2)中的讨论，可设L(t3t4)=L(t2t3)=C(t3). 为了打破G中的(1,3)-路，从L(t1t2)-C(t1)中选一种颜色α重新染t1t2. 若α∉(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，只需给t4t5染颜色3即可. 若α∈(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，依次给t2t3,t3t4,t4t5染或重新染颜色1,3,4即可.(5.2) c(t2t3)∉{3,4,5}.(5.2.1) c(t2t3)=2.若G中不存在从t4到t5且经过t2,t5′的(1,2)-路，从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可.若G中存在从t4到t5且经过t2,t5′的(1,2)-路，从而t1t2=1，2∈{c(t1t1′),c(t1t1″)}.不失一般性，可设L(t3t4)=L(t2t3)=C(t3). 从L(t1t2)-C(t1)中选一种颜色α重新染t1t2. 若α∉(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可. 若α∈(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，依次给t2t3,t3t4重新染颜色1,2，再从L(t4t5)-(C(t6)∪{1})中选一种颜色染t4t5即可.(5.2.2) c(t2t3)≠2.设c(t2t3)=β，显然有β∉{1,2,…,5}. 从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可.(C6) G有一个7-面f=[u1u2…u7]，其中d(u1)=d(u4)=d(u6)=2,d(u2)=d(u3)=3, d(u5)=d(u7)=5，Δ=5.用u2′表示u2的不在f中的邻点，用u3′表示u3的不在f中的邻点. 用y1,y2,y3表示u5的不在f中的邻点. 令H=G-u1u2，由归纳假设知，H中有一个无圈L-边染色c. 若c(u1u7)∉{c(u2u3),c(u2u2′)}，从L(u1u2)-{c(u1u7),c(u2u3),c(u2u2′)}中选一种颜色染u1u2即可. 下面设c(u1u7)∈{c(u2u3),c(u2u2′)}，不妨设c(u1u7)=1，{c(u2u3),c(u2u2′)}={1,2}.若c(u2u3)=1，从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),c(u3u4)})中选一种颜色染u1u2即可.下面设c(u2u2′)=1,c(u2u3)=2. 不妨假设：(*2) 无论从L(u1u2)-{1,2}中选哪一种颜色i染u1u2，G中都存在一个(1,i)-圈. 由(*2)知(L(u1u2)-{1,2})⊂(C(u7)-{1}). 不妨设L(u1u2)={1,2,…,5}. 下面分两种情况讨论：(6.1) c(u6u7)∈{3,4,5}.设c(u6u7)=3，由(*2)知c(u5u6)=1.(6.1.1) c(u4u5)=3.由(*2)知c(u3u4)=1,c(u3u3′)=3. 不失一般性，可设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打断(1,3)-路，首先从L(u3u4)-{1,2,3}中选一种颜色α重新染u3u4.若α∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，再给u1u2染颜色3即可.若α∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，依次给u4u5,u5u6,u6u7,u1u7,u1u2染或重新染1,3,1,3,4即可.(6.1.2) 3∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}.设c(u4u5)=α. 不妨设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打破G中的(1,3)-路，首先分别给u4u5,u5u6重新染1,α.首先对u3u4重新染色. 若c(u3u4)=1，从L(u3u4)-C(u3)中选一种颜色重新染u3u4即可. 下面设c(u3u4)≠1. 若c(u3u3′)≠1或c(u3u4)∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，这时不需对u3u4重新染色. 下面设c(u3u3′)=1且c(u3u4)∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}. 若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})≠∅，从L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})中选一种颜色重新染u3u4即可；若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})=∅，此时有L(u3u4)=({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})，可重新给u3u4染颜色2，然后从L(u2u3)-{1,2,3}中选一种颜色β重新染u2u3(β的选取要使得G中不存在从u2到u3且经过u2′,u3′的(1,β)-路，这样的β是存在的).下面给u1u2染色. 若α∉(C(u7)-{1,3})，只需给u1u2染颜色3即可. 若α∈(C(u7)-{1,3})，依次给u6u7,u1u7重新染颜色1,3，再从L(u1u2)-{1,3,c′(u2u3)}中选一种颜色染u1u2即可(若u2u3重新染过颜色，c′(u2u3)表示重新染过后的颜色；若没有，c′(u2u3)表示原先的颜色).(6.2) c(u6u7)∉{3,4,5}.(6.2.1) c(u6u7)=2.若G中不存在从u1到u2且经过u6,u2′的(1,2)-路，从L(u2u3)-(C(u3)∪{1})中选一种颜色重新染u2u3，再给u1u2染颜色2即可.若G中存在从u1到u2且经过u6,u2′的(1,2)-路，则c(u5u6)=1. 设c(u4u5)=α，显然α≠2. 不失一般性，可设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打破G中的(1,i)-路(i∈{3,4,5})，首先依次给u1u7,u6u7,u5u6,u4u5重新染颜色2,1,α,1.若c(u3u4)=1，从L(u3u4)-C(u3)中选一种颜色β重新染u3u4，再从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),β})中选一种颜色染u1u2即可. 下面设c(u3u4)≠1.若c(u3u3′)≠1或者c(u3u4)∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，不需要对u3u4重新染色，只需从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),c(u3u4)})中选一种颜色染u1u2即可.若c(u3u3′)=1且c(u3u4)∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，此时若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})≠∅，从L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})中选一种颜色β重新染u3u4，然后从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),β})中选一种颜色染u1u2即可.若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})=∅，此时有L(u3u4)={1,2,c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，可重新给u3u4染颜色2，然后从L(u2u3)-{1,2}中选一种颜色β重新染u2u3 (β的选取要使得G中不存在从u2到u3且经过u2′,u3′的(1, β)-路，这样的β是存在的)，再从L(u1u2)-{1,2,β}中选一种颜色染u1u2即可.(6.2.2) c(u6u7)≠2.显然有c(u6u7)∉{1,2,…,5}，从L(u2u3)-(C(u3)∪{1})中选一种颜色重新染u2u3，再给u1u2染颜色2即可.(C7) G有一个7-面[w1w2…w7]，其中d(wi)=2 (i=2,3,5,7), d(wi)=5 (i=1,4,6). 令H=G-w2w3. 由归纳假设，H有一个无圈L-边染色c. 若c(w1w2)≠c(w3w4)，从L(w2w3)-{c(w1w2),c(w3w4)}中选一种颜色染w2w3即可.若c(w1w2)=c(w3w4)，不妨设c(w1w2)=c(w3w4)=1. 若存在i∈(L(w2w3)-{1}),使得G中不存在从w2到w3经过w1的(1,i)-路，给w2w3染颜色i即可. 若无论从L(w2w3)-{1}中选哪一种颜色i染w2w3，G中都有一个(1,i)-圈，则c(w5w6)=c(w6w7)=1，此时H中的染色不是正常染色，矛盾.【相关文献】[1] ALON N, SUDAKOV B, ZAKS A. 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平面图的缺陷DP-染色
摘要本文主要证明了两个结果：一是任意的平面图G都存在一个最大度不超过6的子图H，使得G−E(H)是2-退化的。
作为这个结果的推论，我们知道任意平面图G都是6-缺陷DP-3可染的；另一方面本文证明了存在平面图不是3-缺陷DP-3可染。
当d=4,5时，平面图是否为d-缺陷DP-3-可染的，仍然是一个未解决的问题。
关键词：平面图；2-退化的平面图；缺陷染色；无圈定向；DP-染色。
AbstractThis paper proves that every planar graph G contains a subgraph H withΔ(H)≤6such that G−E(H)is2-degenerate.As a consequence of this result,every planar graph G is6-defective DP3-colorable.On the other hand,we show that there is a planar graph which is not3-defective DP3-colourable.It remains an open problem whether every planar graph is d-defective DP3-colourable,for d=4,5.Keywords:planar graphs;2-degenerate planar graphs;defective colouring;acyclic orientation;DP-coloring.目录摘要⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅i Abstract⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅iii 目录⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅v 第一章绪论⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1基本概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.1图的相关概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.2DP染色概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21.2平面图的缺陷DP-染色研究现状⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅51.3本文主要结果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6第二章k d的一个下界⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅92.1定理1.2的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9第三章主要定理⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.1预备知识⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.2定理3.1的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14参考文献⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21攻读学位期间取得的研究成果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅23致谢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅25浙江师范大学学位论文独创性声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28学位论文使用授权声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28vi学位论文诚信承诺书⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅29第一章绪论1.1基本概念1.1.1图的相关概念一个图G由一个顶点集和一个边集组成，我们一般把图G的顶点集合和边集合分别记为V(G)和E(G)，用⋃︀V(G)⋃︀来表示图G的顶点数(或阶数)，用⋃︀E(G)⋃︀来表示图G的边数。
CAD判断题题库
一是非题，判断题*AutoCAD的图标菜单栏可以定制，可以删除，也可以增加。
(对)*AutoCAD是美国Autodesk公司的计算机制图软件。
(对)*在CAD中，可采用鼠标二中键滚轮代替图标菜单中的缩放和旋转操作。
(对)*所有的命令都可以采用键盘输入(即快捷方式)以提高绘图制度，快捷方式的字母可由用户自己来定义。
(对)*正交线指的是水平线和竖直线。
(错)*正交线指的是在正交方式下绘制的直线。
(对)*使用编辑图形命令时(如移动、阵列等)可以先点命令，再选图形，也可首先选图形，再点命令。
(对)*使用外部块命令时，当外部块图形改变时，引用部会也会随之改变。
(错)*创建图案填充时，当选区取比例1，表明构成图案填充的直线间距为1。
(错)*CAD设计与常规设计方法相比，有利于产品的标准化、分列化、通用化。
(对)*机械制图中，GB/T为推荐性国家标准的代号，一般可简称为“国标”(错)*国家标准中。
A4图纸的幅面尺寸为210X297，A3的图纸的幅面尺寸为295X420(对)*在标准制图中，每张图纸都应该画出标题栏，标题栏的位置应位于图样的右下角(对)*在机械制图中，2：1的比例成为放大的比例，如实物的尺寸为10，那么图中图形应画5(错) *在机械制图中，投影采用的是正投影法，即投射线与投影面相垂直的平行投影法。
(对) *平面四边形与投影面倾斜时，其投影变小，投影的形状有可能会变成三角形(错)*在三面投影体系中，主视图，俯视图，左视图之间保持长对正，高平齐，宽相等的原则(对) *一个平面图形在三面投影体系中的投影有可能是一个点、一条直线或一个平面(错)*任何复杂的物体，仔细分析起来，都可看成是由若干个基本几何体组合而成的(对)*为了将尺寸标注的完整，在组合体的视图上，一般需要标注定形尺寸、定位尺寸、总体尺寸等尺寸。
(对)*为了使图形清晰，应尽量将尺寸注在视图的外面，以免尺寸线、数字和轮廓线相交。
(对) *在制图中画出的粗实线，虚线是在实物上面真正存在的轮廓线(对)*波浪线在制图中一般应用在断裂处的边界线，视图和剖视的分解线(对)*将机件的某一部分向基本投影面投射所得到的视图，称为局部视图，所以局部视图一定会使某个基本视图的一部分。
同济大学机械制图习题集第六版
CD是侧平线；KL是铅垂线。
2、作下列直线的三面投影：
（1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。
（2）正垂线CD，从点C向后，长15。
●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77）
3、判断并填写两直线的相对位置。
●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77）
6、用直角三角形法求直线AB的真长及其对H面、V面的倾角α、β。
●用直角三角形求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角。
第9页平面的投影（一）
1、按各平面对投影面的相对位置，填写它们的名称和倾角（0°、30°、45°、60°、90°）。
●解题要点：利用各种位置平面的投影特性及有积聚性的迹线表示特殊位置平面的投影特性做题。
简单时可用直观法。
6、作?EFG与 PQRS的交线，并表明可见性。
●铅垂面PQRS与一般平面相交，从铅垂面的水平投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
7、作正垂面M与 ABCD的交线，并表明可见性。
●正垂面MV与一般平面相交，从正垂面的正面投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
第13页曲面面立体及其表面上的点和线
1、作圆柱的正面投影，并补全圆柱表面上的素线AB、曲线BC、圆弧CDE的三面投影。
●利用圆柱的投影特点（积聚性）和其表面取点的方法做题，注意可见性的判断。
2、已知圆柱的轴线的两面投影以及圆柱的正面投影，作出圆柱及其表面上点A和点B的水平投影。
[Δ](G)=8且不含4-圈的平面图的完备染色
=8且不含4-圈的平面图的完备染色](https://img.taocdn.com/s3/m/fd77c5c618e8b8f67c1cfad6195f312b3069eb4e.png)
[Δ]（G）=8且不含4-圈的平面图的完备染色解：
首先，我们要弄清楚回路图的计算方法。
其实，它的计算方法也很简单，只需要将回
路图中的每条边以及节点数相加即可。
即Δ(G)=e+v，其中e表示边数，v表示点数。
因此，根据给出的条件，Δ（G）=8，即e+v=8，因此可知，e=4，v=4。
根据提出的条件，e=4，v=4，我们可以得出一个完备染色的平面图，如图1所示。
其中，4个节点依次为A、B、C、D，4条边分别连接AB、AC、BC、AD。
另外，再染色图中不
能有4-圈，所以以上平面图可满足要求。
根据染色的定义，即不同的节点需要使用不同的颜色来染色，我们可以使用2个颜色（如红色和蓝色）来染色。
具体染色方式如图2所示。
经过染色后，其中任意两个节点
（也就是边）连接时，其相应的颜色不能相同，即相邻节点不能是相同颜色，且每个节点
只能分配一种颜色，因此可知，图2中的颜色染色方式符合完备染色的要求。
另外，根据条件，要求该图不含4-圈。
或者说，图中不允许出现有4个节点依次围绕一个节点的形式，以上图2就不会出现这种情况，因此以上完备染色的结果就满足了要求。
综上所述，根据给出的完备染色的条件，即Δ（G）=8且不含4-圈的平面图，我们可以得到一个完备染色的结果，具体如图2所示。
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色对于一个图G，我们定义Δ(G)为G的最大度数。
如果Δ(G) = 8，则表示图G中最多有8条边与一个顶点相连。
完备染色是指对于图G中的每个顶点，都能够用不同的颜色进行染色，且相邻的顶点不能被染成相同的颜色。
那么对于一个不含三角形的平面图G且Δ(G) = 8的情况下，我们来探讨一下其完备染色的问题。
我们知道不含三角形的平面图也称为平面三角图，即它不存在三角形的子图。
对于一个平面图，我们可以利用归纳法证明其完备染色的存在性。
基本情况：当G为一个度数均小于8的平面图时，我们可以轻易进行完备染色，即顶点的度数最大只有7，我们可以用7种颜色进行染色，其中必定有一种颜色可以用于该顶点。
归纳假设：假设对于一个最大度数为n的平面图G，存在一种完备染色的方法。
归纳步骤：我们考虑对于一个最大度数为n+1的平面图G，我们选择一个度数为n+1的顶点v。
由于G是一个不含三角形的平面图，我们可以利用平面图的特性进行分析。
我们知道，对于一个平面图G，存在一个平面嵌入，即可以将图G嵌入到一个平面上，并且边都不相交。
那么我们可以在平面上以度数为n+1的顶点v为中心画出一个圆，然后将其与与v相连的边进行连接，我们可以将平面图分割成若干个小的子图。
由于G是一个不含三角形的平面图，那么我们就可以得到每个子图都是一个不含三角形的平面图，并且子图中度数都小于n+1。
根据归纳假设，我们知道这些子图都可以进行完备染色。
那么我们可以在每个子图中将与v相连的边涂上相同的颜色，并且与v相连的顶点的颜色也不能与相邻的顶点颜色相同。
我们可以依次处理每个子图，最终完成整个平面图G的完备染色。
在实际应用中，平面图的完备染色也具有一定的应用价值。
在电路设计中，我们可以将电路中的元件和连接线抽象成图，然后利用完备染色来合理分配电路元件的颜色，从而使得电路设计更加清晰可视。
又如，在任务调度中，我们可以将任务和资源之间的关系抽象成图，然后利用完备染色来进行任务分配和资源调度，从而提高整体的调度效率。
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色平面图是指可以画在二维平面上的图形，而完备染色是指对于一张平面图中的任意节点，它的邻接节点都染上不同的颜色。
今天我们来讨论一种特殊的平面图，即不含三角形的平面图的完备染色。
在这里，我们首先来定义一下平面图的完备染色。
对于一张平面图G，如果我们能够用最少的颜色对其节点进行染色，并且使得相邻的节点颜色不同，那么称这种染色方式为完备染色。
而对于不含三角形的平面图来说，它的完备染色具有着特殊的性质和挑战。
为了更好地理解不含三角形的平面图的完备染色，我们可以从一些例子来开始。
我们考虑一个简单的例子。
假设我们有一张平面图，它包含5个节点，分别用A、B、C、D、E表示，而它们之间的连接关系为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE。
那么在这种情况下，我们可以使用3种颜色就可以对这张平面图进行完备染色，即1号节点染色成红色，2号节点染色成黄色，3号节点染色成绿色。
这样的染色方式满足了相邻节点颜色不同的条件，因此它是这张不含三角形的平面图的完备染色。
接下来，我们考虑一个稍微复杂一些的例子。
假设我们有一张包含10个节点的平面图，我们可以通过分析它的连接关系并进行染色，来得出这张平面图的完备染色方式。
不含三角形的平面图的完备染色并不是一件简单的事情，因为它需要考虑到不含三角形的特殊性质，以及在染色过程中如何保证相邻节点颜色不同的条件。
在实际应用中，不含三角形的平面图的完备染色具有着重要的意义。
例如在电路设计、交通规划等领域中，我们常常需要对不含三角形的平面图进行染色，以满足特定的需求。
而对于大规模的平面图来说，寻找一种最优的完备染色方式也是一个有挑战性的问题。
总结一下，不含三角形的平面图的完备染色是一个有趣和具有挑战性的问题。
它不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中有着广泛的应用。
通过对不含三角形的平面图的完备染色进行研究，我们可以更好地理解平面图的性质和特点，同时也可以为实际问题的求解提供有益的启发。
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色平面图指的是可以画在平面上的图形，不会有交叉或重叠的现象出现。
完备染色是指对于图中的每个节点（顶点），相邻节点（有边相连的节点）必须被染上不同的颜色。
如果给定图G的边长（即边的总数），我们要找到一个满足条件的完备染色，即对于每个节点，其相邻节点必须被染上不同的颜色。
我们需要找到一个满足条件的染色方案，并证明其满足完备染色的要求。
考虑没有三角形的平面图。
当图中不存在三角形时，我们可以将图中的节点依次编号为1、2、3、...、n，其中n为节点数。
根据完备染色的要求，我们需要为每个节点染上不同的颜色。
为了方便起见，我们可以将节点的编号作为颜色的标识。
即节点i的颜色为i。
证明：假设存在一个平面图G，其边长为m，且不存在三角形，但无法进行完备染色。
根据平面图的定义，每个节点最多与其他节点相邻，且不存在重复的边。
每个节点最多与m-1个其他节点相邻。
由于节点的编号从1到n，而节点最多与m-1个节点相邻，所以存在节点k（1≤k≤n），其相邻节点的编号为k+1、k+2、...、k+m-1。
（若k+m-1>n，则其编号为k+1、k+2、...、(k+m-1)%n）根据完备染色的要求，节点k的颜色为k，而相邻节点k+1、k+2、...、k+m-1的颜色应与节点k的颜色不同。
但由于节点的编号从1到n，存在m个相邻节点，而颜色的标识为1到n，由鸽笼原理可知，必然会有两个节点具有相同的颜色，从而与完备染色的要求相矛盾。
假设不成立，平面图G存在满足要求的完备染色。
总结：对于不存在三角形的平面图G，其完备染色中可以使用节点的编号作为颜色的标识，即节点i的颜色为i。
通过证明，我们可以得知，在不含三角形的平面图中，存在满足完备染色的染色方案。
不含5-圈和6-圈的平面图的(2,1)-全标号
不含5-圈和6-圈的平面图的(2,1)-全标号吕萧;孙磊【摘要】图G的(2,1)-全标号是对图G的顶点和边的一个标号分配,使得:(1)任意两个相邻顶点标号不同;(2)任意两条相邻边标号不同;(3)任意顶点与其相关联的边标号至少相差2.两个标号的最大差值称为跨度,图G的所有(2,1)-全标号的最小跨度称为(2,1)-全标号数,记为λT2(G).本文证明了如果G是一个△=p+5的平面图,且G 不包含5-圈和6-圈,那么λT2(G)=2△-p,p=1,2,3.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】10页(P211-220)【关键词】(2,1)-全标号;平面图;圈【作者】吕萧;孙磊【作者单位】山东师范大学数学与统计学院,山东济南 250014;山东师范大学数学与统计学院,山东济南 250014【正文语种】中文【中图分类】O157.51 引言频道分配问题是指将电波频率分配给各个传输站,为避免信号干扰,如果两个站点距离非常近,则分配给它们的频率至少要相差2,若两个站点距离较近,但不是非常近,则分配给它们的频率只要不同即可.受此问题启发,Griggs和 Yeh[1]引入了 L(2,1)-标号,它的自然推广是L(p,1)-标号[2].Whittesey[3]等人研究了图G的剖分图的L(2,1)-标号.图G的剖分图s1(G)是在图G的每条边上插入一个点得到的图.图s1(G)的L(p,1)-标号对应原图G的一个(p,1)-全标号.图G的k-(p,1)-全标号是对图G的顶点和边的一个标号分配,即存在映射f:V(G)∪E(G)→{0,1,···,k},使得(1)G中任意相邻两点u,v,有|f(u)−f(v)|≥1;(2)G 中任意相邻两边 e,e′,有|f(e)−f(e′)|≥ 1;(3)G中任意相关联的点u和边e,有|f(u)−f(e)|≥p.称这样的一个分配为图G的(p,1)-全标号.(p,1)-全标号的跨度为任意两个标号的最大差值.图G的所有(p,1)-全标号的最小跨度称为(p,1)-全标号数,记作λTp(G).本文中未说明的定义和符号与文献[4]中一致.另外,本文不考虑标号和颜色的区别.由此可见,图的(p,1)-全标号是加强了条件的全染色问题,即还要求任意一点与其关联边的标号至少相差p.不难看出,图G的(1,1)-全标号恰是图G 的全染色,故λT1(G)=χ′′(G)−1,其中χ′′(G) 是全色数.文献 [5]研究了λTp(G)的上界,证明了λTp(G)≤2∆(G)+p−1.但对最大度较大的图,这个上界并不是紧的.于是,他们给出了猜想:猜想1.1[5] λTp(G)≤min{∆(G)+2p−1,2∆(G)+p−1}.当p=1时,这个猜想即全染色猜想.文献[5]利用图的最大割证明了并改进了(2,1)-全标号的某些结果:若∆(G)≥5是奇数,则λT2(G)≤2∆(G)−1;若∆(G)≥ 2,则λT2(G)≤ 2∆(G);若∆=2,则λT2(G)=4;若∆(G)≤3,则λT2(G)≤6.对于平面图,当最大度较小时文献[6]证明了:若∆≤3，围长g≥18,则λT2(G)≤5;若∆≤4，围长g≥12,则λT2(G)≤7.本文讨论了最大度为6、7、8的图,如果不含5-圈和 6-圈,λT2(G)=2∆−p.2 主要结果及其证明定理 2.1 若G为连通平面图,∆(G)=p+5,且G不包含5-圈和6-圈,则假设G=(V,E)为点数加边数最小的反例,即∆(G)=p+5,且G不包含5-圈和6-圈,而λT2(G)>2∆−p.且G的每一个真子图都能用2∆−p+1种颜色得到(2,1)-全标号.因为G不包含5-圈和6-圈,所以我们有下列观察:(O1)v是一个4+-点,如果v关联着一个3-面,那么v至少关联2个7+-面;(O2)每一个k-点(k≥4)至多关联(k-2)个3-面;(O3)如果一个4-面f与一个4-面相邻,那么f与f′交于一条长为2的路,路上点的度数为∆,2,∆.也就是说如果δ(f)≥3,那么与f相邻的面都是7+面.G有以下结构性质:(a)对每条边e=uv∈E,min{d(u),d(v)}≤⌊∆/2⌋,有d(u)+d(v)≥∆+2;(b)G 不含偶圈v1v2v3···v2tv1,使得d(v1)=d(v3)= ···=d(v2t−1)=2;(c)如果最大度点v关联两个2-点v1、v2,那么v1和v2都不关联3-面;(d)G不包含下图中的构型,分别为图1中的(1)、(2)、(3)、(4).其中黑色点除在下图中的邻点外无其他邻点,在图(1)和(2)中d(v)=∆−1,在图(3)和(4)中d(v)=∆−1.图1 G的构型图证明 (a)假设有一条边uv∈E,使得d(u)≤∆/2,d(u)+d(v)≤∆+1,由G的极小性,G−e 可用p+11种颜色得到一个(2,1)-全标号.现擦去点u的颜色.记此时的G的部分(2,1)-全标号为Φ.现在染点u和边uv.对点u,至少有种选择,则可将u染好.对边uv,至少有种选择,因此可以将Φ拓展到G上,得到矛盾.(b)假设G有偶圈由 G 的极小性,可用 p+11种颜色得到 G\{v1,v3,···,v2t−1}的一个 (2,1)-全标号,为了染好C上的每条边,对每条边,至少有种颜色可选择,现在染好C上的边.对C上的每个2-点,至少有种颜色选择,从而将G−C的(2,1)-全标号拓展到G上,得到矛盾.(c)设d(v)=6,d(v1)=d(v2)=2,v1关联一个3-面,现由G的极小性,可用p+11种颜色得到G-u1v1的一个(2,1)-全标号.现擦去v1和v2的颜色.将此时的G的部分(2,1)-全标号记作Φ.考虑边u1v1,由u1v1的邻边和关联的点,至少有种颜色选择.把边u1v1染好.对于点v1、v2各自至少有种颜色可供选择.从而将Φ拓展到G上,得到G的p+11种颜色的(2,1)-全标号,得到矛盾.(d)情形 1 设d(v)=∆−1,d(u)=d(w)=3.由 G的极小性,可用 p+11种颜色得到H=G\{uv,wv}的一个(2,1)-全标号,擦去点u和w的颜色.记此时的G的部分(2,1)-全标号为Φ.记AΦ(x)为x的可用颜色集,x∈V(G)∪E(G).下文中都用此记号来记可用颜色集.现在先来染点w和边vw.对点w,至少有p+11−(3+2×3)≥3种颜色可供选择.对边 wv,至少有种颜色选择.现在将点w和边wv染好.下面讨论点u和边uv.对点u至少有种颜色可供选择,对边uv至少有种颜色可供选择.选择α∈AΦ(u)来染点u.如果那么可以选择γ∈AΦ(uv)\{α−1,α,α+1}染好边uv;否则那么可以选择AΦ(u)中除α之外的两种颜色之一β去染u.因为可选择γ′∈AΦ(uv)\{β−1,β,β+1}来染边 uv.从而将Φ拓展到了 G 上,得到 p+11种颜色的G的(2,1)-全标号,矛盾.情形 2 设d(v)=∆−1,d(u)=d(w)=3.由 G的极小性,可用 p+11种颜色得到H=G\{uv,wv}的一个(2,1)-全标号,擦去点u和w的颜色.记此时的G的部分(2,1)-全标号为Φ.现在先来染点w和边vw.对点w,至少有种颜色可供选择.对边wv,至少有种颜色可供选择.现在将点w和边wv染好.下面讨论点u和边uv.对点u至少有种颜色可供选择,对边uv至少有种颜色可供选择.选择α∈AΦ(u)来染点u.如果那么可以选择γ∈AΦ(uv)\{α−1,α,α+1}染好边uv;否则那么可以选择且β∈AΦ(u)去染u.因为故可选择γ′∈AΦ(uv)\{β−1,β,β+1}来染边 uv.从而得到Φ在G 上的拓展,即 p+11种颜色的G的(2,1)-全标号,得到矛盾.情形3 设d(v)=∆,d(u)=3d(w)=2.由G的极小性,可用p+11种颜色得到H=G−uv 的一个(2,1)-全标号,擦去点u和w的颜色.用Φ记此时的G的部分(2,1)-全标号.现在先来染点w.对点w,至少有种颜色可供选择,将点w染好.现在讨论点u和边uv,对点u,至少有种颜色可供选择,对边uv至少有种颜色可供选择.选择α∈AΦ(uv)来染边uv.如果那么可以选择γ∈AΦ(u)\{α−1,α,α+1}染好 u;否则那么可以选择β∈AΦ(uv)\{α}去染uv.又因为可选择γ′∈AΦ(u)\{β−1,β,β+1}来染点 u.从而得到Φ在 G 上的拓展,即 p+11种颜色的G的(2,1)-全标号,矛盾.情形4 设d(v)=∆,d(u)=3d(w)=2.由G的极小性,可用p+11种颜色得到H=G−uv 的一个(2,1)-全标号,擦去点u和w的颜色.用Φ记此时的G的部分(2,1)-全标号.现在先来染点w.对点w,至少有种颜色可供选择,将点w染好.现在讨论点u和边uv,对点u,至少有种颜色选择.对边uv至少有种颜色可供选择.选择α∈AΦ(uv)来染边uv.如果那么可以选择γ∈AΦ(u)\{α−1,α,α+1}染好 u;否则那么可以选择β∈AΦ(uv)\{α}去染uv.又因为故可选择γ′∈AΦ(u)\{β−1,β,β+1}来染点 u.从而得到Φ在 G 上的拓展,即 p+11种颜色的G的(2,1)-全标号,矛盾.G是平面图,由欧拉公式|V(G)|−|E(G)|+|F(G)|=2,有定义原始权值,∀x∈V(G),w(x)=2d(x)−6.∀x∈F(G),w(x)=d(x)−6.由上式知权值总和为−12.下面根据权值转移规则,则给每个x∈V∪F分配新权值w′(x).权值规则不会影响总和.所以下面来证∀x∈V∪F,w′(x)≥0得到矛盾.权值转移规则如下:(R1)每个2-点从它的每个邻点接收1.(R2)每个4+-点给每个关联的4-面1.(R3)每个4-点给每个关联的3-面1.(R4)每个5+-点给每个关联的3-面如果δ(f)≤3;否则,给 1.现在验证∀x∈V∪F,w′(x)≥0:设f为G中任意一个面.如果d(f)≥7,显然w′(f)=w(f)≥0.如果d(f)=4,显然w(f)=−2.由结构性质(a),f至少关联2个4+-点,如果d(f)=3,显然w(f)=−3.由结构性质(a),f关联3个4+-点或至少关联2个5+-点,设v为G中任意一个顶点.如果d(v)=2,w′(v)=w(v)+1×2=0.如果d(v)=3,w′(v)=w(v)=0.如果d(v)=4,w(v)=2,由结构性质(a),v的邻居都是4+-点,由观察(O1)和(O3),v至多关联 2个7−-面,w′(v)≥2−2×1=0.如果d(v)=∆−1=p+4(p=1,2,3),初始权值w(v)=2p+2,而且由结构性质(a),v的邻居都是3+-点(a).若v关联一个3-面f,由观察(O1),那么v至少关联两个7+-面.如果δ(f)=3,那么由结构性质(d),n3(v)=1,即至多有一个3-面从v处接收否则 v给关联的面p+2,w′(v)=2p+2−(p+2)=p>0;若 v关联的都是 4+-面,因为G不含5-和6-圈,所以v至多关联p+1个4-面,如果初始权值w(v)=2p,由结构性质(a),v的邻居都是4+-点,因为G不含5-圈和6-圈，v至多关联 p+1个7−-面,w′(v)≥2p−(p+1)=p−1>0.如果初始权值 w(v)=2p−2,由结构性质 (a),v的邻居都是 5+-点,v至多关联 p个7−-面,w′(v)≥ 2p−2−p=p−2>0.如果若v关联的邻居都是3+-点,由观察(O1),v至多关联(∆−2)=p+3个从v点接收的3-面,否则考虑与v关联的2-点的个数n2(v).如果 n2(v)=1,由观察 (O1)和(O3),v至多关联(∆−2)=p+3个4−-面,由性质 (d)其中至多有(p+1)个从v点接收的3-面,如果n2(v)=2,由观察(O3)和结构性质(b)(c),p=1(∆=6)时,v会关联2个3-面,至多p个4-面或1个3-面,至多(p+1)个4-面或不关联3-面,至多(p+3)个4-面,此时p=2(∆=7)时,v会关联3个 3-面,至多(p−1)个4-面或2个 3-面,至多p个4-面或1个 3-面,至多(p+1)个4-面或不关联 3-面,至多(p+3)个4-面,p=3(∆=8)时,v会至多关联4个3-面,不关联4-面或关联3个3-面,至多(p−1)个4-面或2个3-面,至多p个4-面或1个3-面,至多(p+1)个4-面或不关联3-面,至多(p+3)个 4-面,如果n2(v)=3,由观察 (O3)和结构性质(b)(c),p=1(∆=6)时,v会关联 2个 3-面,至多p−1个4-面或1个 3-面,至多p个4-面或不关联3-面,至多(p+2)个 4-面,p=2(∆=7)时,情况与p=1(∆=6)时相同,此时p=3(∆=8)时,v会关联3个 3-面,至多(p−2)个 4-面或 2个 3-面,至多p−1个4-面或 1个3-面,至多p个4-面或不关联3-面,至多(p+2)个4-面;如果n2(v)=4,由观察(O3)和结构性质(b)(c),p=1(∆=6)时,v会关联1个3-面,至多p−1个4-面或不关联3-面,至多(p+1)个 4-面;p=2(∆=7)时情况与p=1(∆=6)时相同,此时p=3(∆=8)时,v会关联 2个3-面,至多p−2个4-面或 1个3-面,至多p−1个4-面或不关联 3-面,至多(p+1)个4-面,从而如果n2(v)=5,由观察(O3)和结构性质(b)(c),p=1(∆=6)时,v不关联3-面,至多p个4-面;此时p=2(∆=7)时,v会关联1个3-面,至多p−2个4-面或不关联3-面,至多p个4-面,此时p=3(∆=8)时,v会关联 2个3-面,至多p−3个4-面或 1个3-面,至多p−2个4-面或不关联 3-面,至多p个4-面.此时如果n2(v)=6,由观察(O3)和结构性质(b)(c),p=1(∆=6)时,v既不关联3-面也不关联4-面,此时p=2(∆=7)时,v不关联 3-面,至多(p−1)个 4-面,此时p=3(∆=8)时,v会关联1个 3-面,至多(p−3)个4-面或不关联3-面,至多(p−1)个4-面,此时特别地,∆=7、8时,情况如下:如果n2(v)=7,由观察(O3)和结构性质(b)(c),p=2(∆=7)时,v既不关联3-面也不关联4-面,此时p=3(∆=8)时,v不关联3-面,至多(p−2)个4-面.此时如果n2(v)=8,p=3即∆=8时,v既不关联3-面也不关联4-面.此时于是移值后,在任何一种情况下,对每个元素x∈V(G)∪F(G),有w′(x)≥0,所有点数值和这与矛盾,从而完成定理1的证明.参考文献[1]Griggs J R,Yeh R beling graphs with a condition at distancetwo[J].SIAM J.Discrete Math.,1992,5:586-595.[2]Chang G J,Ke W T,Kuo D,et al.On L(d,1)-labeling of graphs[J].Discrete Math.,2000,220:57-66.[3]Whittlesey M A,Georges J R,Mauro D W.On the λ-number of Qnand related graphs[J].SIAM J.Discrete Math.,1995,8:449-506.[4]Yu Y,Zhang X,Wang G,et al.(2,1)-Total labeling of planar graphs with large maximum degree[J].Computer Science,2011,26(1):53-59.[5]Havet F,Yu M L.(p,1)-Total labeling of graphs[J].Discrete Mathematics,2008,308(4):496-513.[6]Sun Lei,Li Haiying.(2,1)-Total labeling of planar graphs with large girth and low degree[J].Ars Combinatoria,2011,100:65-72.。
平面图的多项式与着色
平面图的多项式与着色韩友发;亢云凤;董婷【摘要】In this paper ,we study properties of division plane graph with coloring by discussing the zeros of chromatic polynomial of graphs .We analyze the minimum number of ways to faces by colo-ring the graph ,so that no two adjacent faces receive the same color ,giving the important properties of the number of ways to color plane division figure .This paper gives a new study method of coloring plane division figure .We compute the dichromatic polynomial of graphs , summarize the coloring properties of decomposing plane before and after ,and discuss the coloring properties of sphere divi-sion figure .We discuss the coloring number of the regional figure Gn and Gm with a public side and their generalized division figure ,and also discuss the coloring number of the triangulation figure of simple polyhedron and sphere .%研究平面剖分图的着色性质,通过讨论图的色多项式的零点问题,分析对图的着色保证相邻的两个区域着不同颜色的最少方法数目,进而给出了平面剖分图的着色方法数目的重要性质.主要研究方法是对平面图的着色提供了一个新的研究渠道,即通过色多项式计算,得出平面剖分前后的着色数目,进而再计算球面剖分图的着色数目.首先,研究"具有一条公共边的两个区域Gn和G m,及广义剖分图"的着色问题;其次,研究"简单正多面体及球面的三角剖分图"的着色问题.【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)003【总页数】4页(P289-292)【关键词】平面图;色多项式;广义剖分;三角剖分【作者】韩友发;亢云凤;董婷【作者单位】辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】O189.3纽结理论是20世纪以来作为拓扑学的一个重要部分而发展起来的.而且在很多领域得到了应用，进而纽结理论成了拓扑学中引人入胜的一支，它在数学中的重要性日渐上升.1928年由美国数学家亚历山大[1]发现了亚历山大多项式，但是该多项式不能区分纽结和它的镜面像，也就是它们相同的亚历山大多项式.经过50多年，1984年新西兰数学家琼斯[2]找到纽结新的一个多项式不变量能够区分某些亚历山大多项式不能区分的纽结.很快，许多科学家发现纽结理论和许多科学领域都有联系,数学家考夫曼[3]试图用图式方法来探究纽结不变量，而且发现纽结理论与图论有密切的联系，即纽结的投影图与平面图是一一对应的.进而在图论上来探究纽结的交叉点的符号问题，这样就涉及在平面图上的着色问题.平面图的着色问题的研究来源于图论中的着色理论.塔特多项式和方括号多项式是纽结理论和图论的基本关系的主要桥梁，尤其是塔特多项式及与色多项式之间的关系[4-5]对着色问题的研究具有重大的意义.同时，纽结理论在统计力学、生物DNA分子重组等领域都有着广泛的应用[6-8].笔者就是在分析研究这些成果的基础上，重点研究图及剖分图的着色问题.1.1 图论中的一些定义定义1.1 一个图是一个偶对V,E:(1)V是一个集合，其中的元素称为顶点.(2)E是无序积V×V中的一个子集合，其中的元素称为边；集合V×V中的元素可在E中出现不止一次.定义1.2 起点和终点相同的路径称为闭路径，闭路又称为圈.长为k(k即是边长的个数)的圈称为k-圈,k为偶数时称为偶圈，k为奇数时，称为奇圈.定义1.3 图G称为多重图，如果G中有两个顶点之间有多重边或有一个顶点带一个环.定义1.4 平面图G的对偶图G*定义如下：G中每一个面f内取一点作G*的一个顶点f*，G*中的f*、g*相连接e*的充要条件是f*，g*在 G中对应的面f,g含公共边e，且使 e和 e*相交.定义1.5 平面图G的k-面着色是k种颜色在G的面上的一个分配，称面着色的平面图为k-面可着色.使G为k-面可着色的最小的k称为G的面色数，记为x*G.显然，对任意平面图G，都有x*G=xG*.1.2 图的双色多项式首先介绍图的双色多项式Z(G)[3]，它有两个变量q和v，满足下面3个条件：(1)Z(•)=q;(3)Z()=Z()+vZ().例(1)Z()=Z(•)+vZ(•)=q+vq;(2)Z()=Z(••)+vZ(•)=q2+vq;(3)Z()=q3+3vq2+3v2q+v3q.P(G)有下列性质：引理1.1[5] 在双色多项式Z(q,v)中，当v=-1时，双色多项式特殊化为色多项式P(G).P(G)表示对图G的顶点用q种颜色着色并保证相邻的两个顶点不同色的着色的方法数目.引理1.2[5] 如果图G是子图H和K的不交并，那么P(G)=P(H)P(K).引理1.3[5] 如果图G是子图H和K的并，满足H∩K是一个顶点，那么1.3 广义剖分和三角剖分定义1.6 对于一个单纯复形K，找到其重心O，把重心O与单形的相应的顶点连接起来的一种剖分，称这种剖分为广义剖分.重复上述过程k次得到的图记为TkK(k≥1).例单形K的一次广义剖分.定义1.7 拓扑空间X称为多面体，如果存在单纯复形K与同胚f:|K|≅X.这时把单纯复形K与同胚f组成的对偶(K,f)称为空间的一个三角剖分.对图剖分后区域着色问题进行研究，即计算图的广义剖分及三角剖分后的色多项式来进一步观察剖分后图的着色数目，看一看剖分前后图的着色数目是否有变化，通过前后图形的着色数目的对比进行一些题目的讨论并得到一些结论.为了便于计算把区域图G转化为其顶点的对偶图G*来研究.引理2.1[9] 设图Gn是含有n个区域的图且它的对偶图见图1，有(1)当n是奇数时，如果q≥3，则P(G*)≠0.(2)当n是偶数时，如果q≥2，则P(G*)≠0.注这说明n个区域图的着色情况为：当区域数为偶数时，可以用两种或两种以上的颜色着色就可以保证相邻区域着不同的颜色；而当区域数为奇数时，可以用3种或3种以上的颜色着色可以保证相邻区域着不同的颜色.定理2.1 设G(见图2)是由Gn和Gm构成，且Gn和Gm有一条公共边，则有(1)当n与m中有一个为奇数，且q≥3时，P(G*)≠0.(2)当n与m都为偶数，且q≥2时，P(G*)≠0.证由引理1.2和引理1.3知道当v=-1时,有由引理2.1知：n与m中有一个为奇数时，且当q≥3时，P(G*)≠0.n与m都为偶数时，且当q≥2时，P(G*)≠0.因此定理得证.定理2.2 设图G(见图2)是由Gn和Gm构成，且Gn和Gm有一条公共边，对G 进行一次广义剖分后图T1G(见图3),则有：当q≥3时,P(T1G*)≠0.证由引理1.2与引理1.3有Z(T1G*)=Z(T1)Z(T1)+Z(T1)Z(G)=Z(T1)Z(T1)=令v=-1时,有P(T1)=(q-2)m+nP(G2n)P(G2n)=(q-2)m+n((q-1)2n+(q-1))((q-1)2m+(q-1)).即当q≥3时，P(T1G*)≠0.注1 定理说明有一个公共边的两个圆盘区域经一次广义剖分后可以用3种或3种以上的颜色着色能保证相邻区域着不同的颜色.给出了研究平面图着色的一种方法. 注2 应用本文的方法可以讨论多面体及球面的三角剖分图的着色数目的性质.【相关文献】[1] ALEXANDER J W.Topological invariants of knots and links[J].Trans Amer Math Soci,1928,30(2):275-306.[2] JONES V F R.Hecke algebra representations of braid groups and linkpolynomials[J].Annals of Maths,1987,126:335-388.[3] KAUFFMAN L H.New invariants in the theory of knots[J].The American Mathematical Monthly,1988,95(3):195-242.[4] BOLLOBA B.Modern graph theory[M].Berlin:Springer,1998:335-378.[5] TUTTE W T.Graph theory[M].Addison-Wesley, Reading, MA, 1969:253-284.[6] BAXTER R J.q colorings of the triangular lattice[J].J Phys A:Math Gen,1986,19:2821-2839.[7] ERNST C,SUMMERS D W.A calculus for rational tangles:applications to DNA recombination[J].Math Proc Camb Phil Soc,1990,108：489-515.[8] ERNST C,SUMNERS D W.Solving tangles equations arising in a DNA recombination model[J].Math Proc Camb Phil Soc,1999,126:23-36.[9] 韩友发，王英姣，沙欣，等.某些平面图着色的性质[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2016，37(1)：36-40.。
航海学第三节航迹计算
B an-1 H
Q
dw b1 d C a ds 2 A C a1
A'
Q'
E
F
航迹计算公式：
D
= ScosC D = Depsecn = SsinCsecn 当航行纬度不高，且航程不很长时，可用平 均纬度m代替中分纬度n ，即： D = ScosC D = Depsecn = SsinCsecm
二、计算公式
设起始点地理坐标为(φ1,λ1)，如果能求得起始点和到达点之 间的纬差(Dφ)和经差(Dλ)，就可由下式求取到达点的地理坐标 (φ2,λ2)：
2 1 D
2 1 D
因此，航迹计算的核心问题,是如何根据已知的航向、航程， 去计算纬差和经差。
如图所示，A为起航点(φ1,λ1)，B为到达点(φ2,λ2)，AB为恒向 线，其航程为S，AB与各经线的交角均为真航向TC。将恒向线航程 等分为n等分，每等分的长度为ds，过各等分点作经线和纬圈，得 到n个球面三角形，可将其近似看做平面三角形。设dφ为dS的南北 分量，dW为dS的东西分量。
由图中可看出：
d dS cosC
由此可得到：
2 1
s 0
dw dS sin C
D d cosC dS S cosC
Dep dW sin C dS S sin C
s 0 s 0
式中：Dφ——纬差； S——恒向线航程； TC——恒向线航向； Dep——东西距。东西距(departure)——恒向线航程的东西 分量，用Dep表示，单位为海里。 注意东西距与经差的区别：东西距是纬圈上被两条经线所夹 劣弧长度，以海里为单位，其值随纬度增加而逐渐减小;经差则是 赤道上被两经线所夹劣弧长度，其大小与纬度增减无关。
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色
△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色完备染色是指对于一个图G，给每个节点染色且保证相邻节点的颜色不同，并且使用尽可能少的颜色数。
而不含三角形的平面图则是指一个平面图中不存在任何三个互相相邻的节点。
本文将讨论的是含有8个节点的不含三角形的平面图的完备染色问题。
首先，我们需要了解不含三角形的平面图的性质。
根据Kuratowski定理，一个平面图不含K5或K3,3子图当且仅当它是一个平面图，更加具体的，这个平面图是可平面嵌入的。
而不含三角形的平面图则显然是可平面嵌入的。
这意味着我们可以在平面上绘制出这张图，并且不会出现交叉或者重合边。
接下来，我们考虑如何对这张图进行染色。
因为一个节点最多与5个其他节点相邻，所以我们可以使用五种颜色来染色。
为了证明我们可以使用5种颜色完成完备染色，我们需要证明这张图中不存在一个包含6个节点的子图，这个子图中的每个节点都与其他节点相邻。
如果存在这样的子图，我们可以将这6个节点放在一个空间中，它们就会构成一个三角形，这与我们的假设矛盾。
因此，我们可以使用5种颜色来完成这张图的完备染色。
一种可行的染色方式是对这张图进行一个外向的染色。
我们从外围的节点开始染色，每次把周围的未染色节点的所有颜色排除，最后给它染上剩下的一种颜色。
这样，我们可以保证相邻节点的颜色不同，而且使用的颜色数最少。
综上，我们证明了对于一个含有8个节点的不含三角形的平面图，可以使用5种颜色来完成完备染色。
这个结果也可以扩展到更大规模的不含三角形的平面图，因为不含三角形的平面图具有很好的结构性质，这使得我们可以利用一些数学工具来证明这种性质的一般性质。
高度平面图的列表L(p,q)-标号
高度平面图的列表L(p,q)-标号
张苏梅;马巧灵
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(034)003
【摘要】如果平面图G的最大度Δ(G)=|V(G)|-k, k=1,2,…,则称G为一个hk-图,k=1,2的hk-图称为高度平面图.研究了高度平面图G的列表L(p,q)-标号问题, 给出了高度平面图G的列表L(p,q)-标号数λl(G;p,q)的上界,并对h1-图证明了λl(G;p,q)≤(2q-1)Δ+6(p-q);对h2-图有λl(G;p,q)≤(2q-1)Δ+8p-6q-1.
【总页数】5页(P42-46)
【作者】张苏梅;马巧灵
【作者单位】济南大学理学院,250022,山东省济南市;济南大学理学院,250022,山东省济南市
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.不含5-圈和6-圈的平面图的(2,1)-全标号 [J], 吕萧;孙磊
2.最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表 [J], 姚潇彦
3.不含3-圈的1-平面图的列表边染色与列表全染色 [J], 宋文耀;苗连英;张淑洁
4.外平面图的(2,1)-点面标号问题 [J], 陈东; 张梦婷
5.高度平面图的L(p,q)-标号 [J], 张苏梅;王纪辉
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应用地球物理复习题部分答案
《应用地球物理》复习题一、名词解释重力正常场:假定地球是一个内部物质成均匀同心层分布且与大地水准面偏差最小的旋转椭球体，即参考椭球体，则其表面的重力场就称之为重力正常场。
参考椭球:为便于计算重力正常值，我们选择一个内部物质呈均匀同心层分布且与大地水准面偏差最小的旋转椭球体作为地球的形状，这个椭球体称为参考椭球。
大地水准面:当水准面与平均海平面重合时，这个面就称大地水准面固体潮:引力的变化会引起地球固体部分周期性的形变，这种形变叫固体潮。
重力异常:在重力勘探中，由地下岩（矿）石密度分布不均匀所引起的重力变化称为重力异常。
，这剩余密度:假设地下有一个体积为V，密度为ρ的地质体，围岩的密度为ρ称为剩余密度。
两种的密度差Δρ＝ρ﹣ρ重力梯级带:由一组彼此大致平行，且沿一定方向延伸的密集等值线所表示的异常分布，称为重力梯级带。
重力高:在重力异常等值线平面图中，若等值线圈闭中心处的重力异常值比周围的大，则这种异常分布称为重力高。
布格异常:经过地形校正，布格校正和正常场校正后的重力异常称为布格异常。
正演:由地质体的赋存状态和物性参数计算该地质体引起的场异常或效应的过程。
反演:地球物理反演是由地球物理异常的分布确定地质体的赋存状态和物性参数的过程。
磁感应强度:磁化:介质受到磁场的作用会获得磁性，产生附加磁场，从而使原有磁场发生变化，这种作用称为磁化。
地磁日变:地磁日变是地磁短期平静变化的一种，周期为24小时，依赖于地方太阳时，白天比夜晚变化大，夏季比冬季变化幅度大。
剩余磁化强度:岩、矿石形成时，被当时地磁场磁化后保留下来的磁化强度称为剩余磁化强度，它与现代地磁场无关。
磁异常:在消除了各种短期磁场变化以后，实测地磁场与作为正常磁场的主磁场之间仍存在着差异，这个差异就称为磁异常。
化极:将测区内磁性体产生的磁异常换算为假定磁性体位于地磁极处产生的磁异常，称为“化到地磁极”，简称化极。
有效磁化强度:总磁化强度M在观测剖面上的分量Ms，定义为有效磁化强度。