2.2.1向量加法运算及其几何意义
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
教学设计4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义三维目标1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．教学建议首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现．类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．数学中，教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．1．教学中，应以熟悉的位移的合成和力的合成为背景，引导学生进行实验，使学生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依据“三角形法则”来进行”．在此基础上，给出向量加法的定义．2．向量加法运算主要是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．教科书从几何角度具体给出了通过三角形法则或平行四边形法则作两个向量和的方法．教学中要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型．另外，使学生体会两种加法法则在本质上是一致的．对任意向量与零向量相加，教科书中给出了规定．3．为了让学生认识数的加法与向量加法的区别及联系，可引导学生探究有关向量加法中模的大小关系加强理解，只不过两个数的和是一个数，两个向量的和仍是一个向量．4．引导学生类比数的运算律，通过画图验证向量加法的交换律与结合律． 知识1 向量加法的定义及其运算法则 问题导思分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ，F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 【答案】 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示力的合力．体现了向量的加法运算． 2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 【答案】 三角形法则和平行四边形法则． 1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，如图.对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则则对角线上的向量AC →＝a ＋b向量加法的运算律 问题导思实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？ 【答案】 交换律和结合律、有.课堂探究类型1 向量的加法运算 例1 化简下列各式： (1)MB →＋AC →＋BM →； (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.解：(1)MB →＋AC →＋BM →＝(MB →＋BM →)＋AC →＝0＋AC →＝AC →. (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →＝(P A →＋AO →)＋(OP →＋PB →)＝PO →＋OB →＝PB →. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0. 规律方法1．进行向量的加法运算时常常用到向量平移，还要运用运算律来调整顺序． 2．当运算结果为零向量时，不要写成数字0，因为向量的和仍为向量． 变式训练 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OC →＋CO →＋OA →＝BA →. 类型2 利用向量证明几何问题例2 如图所示，已知E 、F 分别是▱ABCD 的边DC 、AB 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．思路探究 要证四边形AECF 为平行四边形，只需证AE →＝FC →. 解：在▱ABCD 中，AD →＝BC →，又由E 、F 分别是DC 、AB 的中点，得DE →＝FB →. 所以AE →＝AD →＋DE →＝FB →＋BC →＝FC →， 又A 、E 、C 、F 四点不共线， 故四边形AECF 是平行四边形． 规律方法1．用向量证明几何问题的一般步骤： (1)把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系； (3)还原成几何问题．2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等． 变式训练已知：如图，四边形ABCD 中，AO ＝OC ，DO ＝OB .求证：四边形ABCD 为平行四边形． 证明：∵AO ＝OC ，DO ＝OB ， ∴AO →＝OC →，DO →＝OB →. ∴DO →＋OC →＝OB →＋AO →， ∴DC →＝AB →.即DC ∥AB 且|DC →|＝|AB →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 类型3 向量加法的实际应用例3 如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题．变式训练 为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)． 解：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ， 则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋532＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°. 课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行． 当堂检测1．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】 如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】 A2．下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →【解析】 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错． 【答案】 B3．在四边形ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．正方形D ．平行四边形【解析】 AB →＋AD →＝AC →符合平行四边形法则，所以四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】 D4．化简：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG →.解：(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FG → ＝AC →＋CF →＋FG →＝AF →＋FG →＝AG →.。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
三 向量的加法满足 交换律 与 结合律
a b b a ( a b) c a (b c )
D
D
b A a a+b
a b B
C
a+b+c A
a B b+c a+b
c
C b
练习 根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
A （3）以OA,OB为邻边作平行四边形
o
B
（ )4）则 a+ b=OC
C
这种作法叫做 向量加 法的平行四边形法则
规律：起点相同
练习 已知向量a,b,分别用向量加法的 三角形法则与向量加法的平行四边形 法则作出a+b
a b
当向量a , b是共线向量时, a b又如何 作出来? (1) 同向
D
C
d c O b
a
A
B
例:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度
f
a
d
c f
f g
A
c
b
C
(3)a b d (4)c d e
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
2.2.1向量加法运算及其几何表示
A B C C A
方向相反 a b
B
a + b = AB + BC = AC
a + b = AB + BC = AC
对于零向量与任一向量 a，都有 ＋0＝0＋a＝a． ，都有a＋ ＝ ＋ ＝ ．
1.向量加法的三角形法则 1.向量加法的三角形法则
例 某人先位移向量 a ：“向东走 3 km”，接着再位移 ， 向量 b ：“向北走 3 km”，求 + b ． ， a
2.共线 2.共线
(1)同向
a
r r a + b
b
(2)反向
a
b
r r a + b
r r r r | a + b |= | a | + | b |
r r r r | a + b |= | b | - | a | r r r r | a + b |< | a | + | b |
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行 运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的 速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度 间的夹角表示,精确到度).
1.向量加法的三角形法则 1.向量加法的三角形法则
多个向量求和
D
d
C
c
b
O A
B
a
O = a +b +c + d D
2.向量加法的运算律 2.向量加法的运算律
a +b = b+a (2)加法结合律 : (a + b) + c = a + (b + c) 加法结合律
第二章 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则为起点的两个已知向量a ，OC →就是a 与b 的和．把这种作两个向量向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.1．0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3.AB →＋BA →＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC →.( × ) 5．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则 答案 (1)OB → (2)AD →(3)0 题型二 向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →＝0.反思感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.特别地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A 1———→＝0.跟踪训练2 向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( ) A.BC → B.AB →C.AC →D.AM →考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D解析 向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →＝AB →＋BO →＋OP →＋PB →＋BM →＝AM →. 题型三 向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在运动学中的应用解 作出图形，如图所示．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进的． 引申探究1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？ 解 由例3知v 船＝20 m/min ，v 实际＝20×sin 60°＝103(m/min)， 故该船1 h 行驶的航程为103×60＝6003(m)＝335(km)． 2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．解 如图，作平行四边形ABDC ，则AD →＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝|BD →||AB →|＝2010＝2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝53(N)，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.三角形形状的判断典例 已知|AB →|＝1，|AC →|＝1，且|AB →＋AC →|＝3，判断△ABC 的形状．解 由向量加法的平行四边形法则及|AB →|＝|AC →|＝1，知构成的四边形为菱形，且最长的对角线长度为|AB →＋AC →|＝3，则∠BAC ＝60°，故△ABC 为等边三角形．[素养评析] 本题主要考查向量加法的应用，突出考查直观想象的核心素养，培养学生从图形与图形关系中抓住问题本质，从而更好地理解向量加法的平行四边形法则．1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB → B.BA → C ．0 D.AC → 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 D解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 3．若正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|等于( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 B解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2， 所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2.4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 C解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →， 即DC →＝AB →，∴AB ＝DC ，AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．已知向量a 表示“向东航行3 km ”，b 表示“向南航行3 km ”，则a ＋b 表示__________． 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用 答案 向东南航行3 2 km解析 根据题意由于向量a 表示“向东航行3 km ”，向量b 表示“向南航行3 km ”，那么可知a ＋b 表示向东南航行3 2 km.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.一、选择题1．化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA →C.DC →D.CD →考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO → 考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 B解析 OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．下列说法正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 B解析 ①错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；②正确；③错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |. 4．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在平面几何中的应用 答案 D解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，故选D. 5．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，所以AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.6．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12 D ．6考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 B解析 因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍． 又|AC →|＝42＋22＝25，所以向量AB →＋AD →＋AC →的长度为4 5.7．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在平面几何中的应用 答案 B解析 如图所示，作OA →，OB →的和向量OD →，因为OA →＋OB →＋OC →＝0， 所以OD →＋OC →＝0，即OD →与OC →长度相等，方向相反． 所以|OA →|＝|OD →|，所以△AOD 为等边三角形， 所以∠OAB ＝12∠OAD ＝30°，同理，∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°， 所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，即△ABC 为等边三角形． 二、填空题8．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 (1)AD →(2)09．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.10.如图，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 8 3解析 因为a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →，延长BC 至E ，使CE ＝BC ，连接DE .由于CE→＝BC →＝AD →，所以四边形ACED 是平行四边形，所以AC →＝DE →，所以AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →，所以|a ＋b ＋c |＝|BE →|＝2|BC →|＝2|AD →|＝8 3.11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 1解析 在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，即|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.12．设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a|＋b |b|＋c |c|，则|p |的取值范围为____________． 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 [0,3]解析 因为a |a|，b |b|，c |c|是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值 3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.三、解答题13.如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ．求F 1和F 2的合力大小．考点 向量加法的定义及几何意义的应用题点 向量的加法在物理学中的应用解 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|OA →|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，∴∠OCA ＝90°，∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为与F 2成90°角竖直向上．14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.考点 向量加法运算及运算律题点 证明几何图形中的向量等式证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.∵PB →与QC →大小相等，方向相反，∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.15.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.考点 向量加法的定义及几何意义的应用题点 向量的加法在平面几何中的应用证明 由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →，所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．重点难点1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【向量加法的三角形法则】如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA＋AB＝OB.使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与____同向，且|a＋b|＝_______.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【向量加法的平行四边形法则】向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC ，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .① 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB ＝a ，AD ＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【向量加法的多边形法则】向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：12A A ＋23A A ＋34A A ＋… ＋1n n A A -＝1n A A .或12A A ＋23A A ＋… ＋1n n A A -＋1n A A ＝__ .这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效． 例如，在正六边形ABCDEF 中，AC ＋BD ＋CE ＋DF ＋EA ＋FB ＝________. 例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .小结已知向量a与b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.例2化简：(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.小结解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3) AB＋AD＋CD＝________；(4) AC＋BA＋DA＝________.例3在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．小结速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．训练3某人在静止的水中的游泳速度为2 3 km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝AB＋BC＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝. (2)结合律：(a＋b)＋c＝.【当堂训练】1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是() A.FD＋DA＋DE＝0 B.AD＋BE＋CF＝0C.FD＋DE＋AD＝ABD.AD＋EC＋FD＝BD2．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝______；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4) BA＋DB＋EC＋AE＝________.3．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
问题提出
1.向量、零向量、单位向量、平行 向量、相等向量、相反向量的含义分别 是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？
3.两个实数可以进行加、减、乘、 除四则运算，从而给数赋予了新的 内涵.如果向量仅停留在概念的层面上， 那是没有多大意义的.我们希望两个向量 也能进行四则运算，拓展向量的数学意 义，提升向量的理论价值，这就需要建 立相关的原理和法则.
a a＋b C
ｂ
a B
ｂ
A
思考
使前一个向量的终点为后一个向量的起点， 可以推广到n个向量相加吗？ E d (首尾相连，首是首，尾是尾）
AB BC CD DE AE
C
D c
C
A
a
B
b
AB BC CA 0
A
B
三角形法则的作用：多和为一；一分为多
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1 和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO； 图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿 相同方向伸长了相同长度EO.从力学的 观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从 点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪 个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
B
C
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
则飞机飞行的路指的是 AB BC ； 两两次飞行的位
和指的是 AB BC AC. 依题题意， AB BC 800 600 1 400 km)， （ 又 35 , 55 ，∠ ABC 35 55 90 . 所以 AC AB BC 800 2 600 2 1 000 km）. （ BC 600 3 , AC 1 000 5
向量加法及几何意义
ABBCAC
CA
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点 B改变方向到点C，则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
ABBCAC
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加， 并且两个向量的和还是一个向量.一般地， 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用 三角形法则求其和向量？
3.两个向量的和的模不大于这两个向 量的模的和，这是一个不等式性质， 解题中具有一定的功能作用
作业： P84练习：3，4.（做书上） P91习题2.2A组：1，2，3.
a
ｂ
C
a＋b
ｂ
A
a
B
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示
橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向
伸长了相同长度.从力学的观点分析，力
F与F1、F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
F1 F
图1
F2
F2
M
F
EO
C D
A
A
B
小结作业
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量 加法三角形法则的物理模型，力的合成是 向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意 次序、组合进行.若平移这些向量使其首 尾相接，则以第一个向量的起点为起点， 最后一个向量的终点为终点的向量，即为 这些向量的和.
O
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法则 求作两个向量的和向量，其作图特点分 别如何？
2.2.1向量加法运算及其几何意义
A
B
C
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB BC AC
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b.
b
如何求a+ b？
a
C B
C
B
A O
A
AB BC AC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的 速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度 C D
船速
A 水速
B
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间 的夹角表示,精确到度). 在Rt△ABC中,
AB =2, BC =5
2
D
C
AC
AB BC
2 2
2
2 5 = 29 5.4 5 因为 tanCAB , 2 ∴ CAB 68
a b ____ a b (<,>, ,, )
非零向量a, b处于什么位置时？
结论
(1) a b a b (2) a b a b (3) a b a b (4) a b b a
a， b不共线或共线反向 a， b共线且同向
a， b反向且 a b a， b反向且 a b
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
当a 、 ｜ a b |取到最大值8. b 同向时，
AD 3.化简： (1) AB CD BC ________
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2.2.1向量加法运算及其几何意义 (1)
E
O分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
F1+F2=F
E
O
F
思考5
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F
F为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
F A
O
B
C
例2：
长江两岸没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如图，一艘船从长江南岸 A点出发，以 2 3 km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为 向东2km/h.求船实际行驶速度的大小与方向 (1)试用向量表示江水流速、 船速以及船实际航行的速度.
A
例2：
长江两岸没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如图，一艘船从长江南岸 A点出发，以 2 3 km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为 向东2km/h.求船实际行驶速度的大小与方向 (1)试用向量表示江水流速、 船速以及船实际航行的速度. D
8
A
b
B
C
课堂小结：
向量加法的运算 三角形法则 平行四边形法则
向量加法的运算律
(1) ab
b
a
(3)
a
b
本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？
ab
(4)
(2)
b
a
b
a a
ab
b
ab
2.如图，已知a、b , 用向量加法的平行四边 形法则作出a b .
本题能用三角形法则 求向量和吗？
2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律， 即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背 景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起 点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照 任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
(1) OA OC, (2) BC FE, (3) OA FE
E
D
F A
O
B
C
首指向尾为和
例题讲解：
例1.如图，已知向量
a,b，求作向量 a b。
a
b
课堂练习
课本P84 第1题
如图,已知 a,b 用向量加法的三角形法则作出 a b
（1 ）
ab
O
（2）
b
b
a
ab
a
（4 ）
b
ab
（3 ）
a
b
ab
a b
b
课堂练习
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB + BC = _____
E O
E
O F
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线 F1+F2=F
4、向量加法的平行四边形法则:
a
b
O A
作法： 在平面内任取一点O
复习回顾：
1、什么叫向量? 2、什么叫零向量，单位向量呢? 3、什么是相等向量？
2.2.1 向量加法运算及 其几何意义
赖金容
1、向量加法的定义:
求两个向量和的运算叫做向量的加法. 已知向量 a, b ，怎样求向量 a b ?
当
a, b
b
a
共线同向时：
A
B
C
a
AB BC AC
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讲授新课
2. 三角形法则
即 a b AB BC AC，
C A B
讲授新课
2. 三角形法则
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F E D
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
复习引入
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此，我们 研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下，移到任何位置 .
复习引入
问题
数可进行加法运算：1＋2＝3 ．那
么向量的加法是怎样定义的？长度是1 的向量与长度是2的向量相加是否一定 是长度为3的向量呢？
C A B
规定：a 0 0 a
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2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
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2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
ab. 例1. 已知向量a, b，求作向量
O
A
B
讲授新课
ab. 例1. 已知向量a, b，求作向量
O
A
B
讲授新课
ab. 例1. 已知向量a, b，求作向量
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则 问题：
O A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则 问题：
O A
B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J E K D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J E K D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J 将n 个向量首尾 E K 相接，以第一个向量 的起点为起点，最后 D 一个向量的终点为终 点的向量，即为这n C 个向量的和向量. A B
A C B
情境设置
(1) 某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC
(2) 若上题改为从A到B，再从B按反方向 到C， 则两次的位移和： AB BC AC A B C
A C B
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
C A B
讲授新课
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过 轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向 行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航 行的速度(保留两个有效数字) ； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水 速度间的夹角表示, 精确到度). D C A B
解： ( AB BC ) CD
A
D
C
B
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练习. 化简( AB BC ) CD
解： ( AB BC ) CD
A
D
C
B
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练习. 化简( AB BC ) CD
解： ( AB BC ) CD
D A B
AC
C
讲授新课
练习. 化简( AB BC ) CD
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC
C A B
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC (4) 船速为AB, 水速为BC , 则两速度和: C
C A B
A B
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC (4) 船速为AB, 水速为BC , 则两速度和:
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J 将n 个向量首尾 E K 相接，以第一个向量 的起点为起点，最后 D 一个向量的终点为终 点的向量，即为这n C 个向量的和向量. A B
讲授新课
探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？
讲授新课
探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量.
解： ( AB BC ) CD
D A B
AC CD
C
讲授新课
练习. 化简( AB BC ) CD
解： ( AB BC ) CD
D A B
AC CD
C
讲授新课
练习. 化简( AB BC ) CD
解： ( AB BC ) CD
D A B
AC CD
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
练习. 化简( AB BC ) CD
D A B
C
讲授新课
练习. 化简( AB BC ) CD
讲授新课
变式1.一艘船从A点出发以 km/h的速
度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航 行速度的大小为4km/h，求水流的速度.
讲授新课
变式2. 一艘船从A点出发以v1的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，
船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向
与水流间的夹角是60 ，求v1和v2.
o
讲授新课
变式2. 一艘船从A点出发以v1的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，
船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向
与水流间的夹角是60 ，求v1和v2.
o
练习. 教材P.84第1、2题.
课堂小结
1. 向量加法的几何意义； 2. 交换律和结合律；
3.
当且仅当方向相同时取等号.
3. 加法的交换律和平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则 （对于两个向量共线不适应） (2)向量加法的交换律： D C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律:
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律: D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律: D
A
C
B
讲授新课
4. 你能证明向量加法的结合律: D
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
探究：
(2)
讲授新课
ab. 例1. 已知向量a, b，求作向量
讲授新课
ab. 例1. 已知向量a, b，求作向量
O
A
讲授新课
情境设置
(1) 某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
A
B
C
情境设置
(1) 某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC
A
B
C
情境设置
(1) 某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC
(2) 若上题改为从A到B，再从B按反方向 到C， 则两次的位移和： A B C
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C A B
规定：a 0 0 a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F E D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J E D
A
B
C
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ F J E D