数值传热_南昌大学传热学复习资料(计算题)
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2
hP θ 0th ( mH ) m
其中
h = 17W / ( m 2 ⋅ K ) , P = π d = π × 12.5 ×10 −3 = 0.0393m m= hP 17 × 0.0393 = = 3.754, H = 0.15m π λ Ac 2 386 × × 0.0125 4
θ0 = t0 − t f = 200 − 38 = 162 ℃ 所以 Φ1 =
Bi ＝0.1＝
hL (25W /(m2 ⋅ K )) L = k 206W /(m ⋅ K )
则
L = 0.824m
由 L= 可得 V l3 = 2 As 6l
l = 6 L = 6(0.824m) = 4.94m
8.试比较准则数 Nu 和 Bi 的异同。 hl hl ）与 Bi 数（ Bi = ）完全相同，但二者物理意义却不同。 Nu 数 λ λ
即方腔内自然对流完全忽略时，依靠纯导热的 Nu 数将等于 1，即 Nu 数的最小值为 1，不会小于 1， 所以上述结果是不正确的。
10.一般情况下粘度大的流体其 Pr 数也较大。 由对流换热的实验关联式 Nu = C Rem Pr n 可知 （ m ＞0， n ＞0） ， Pr 数越大， Nu 数也越大，从而 h 也越大。即粘度大的流体其表面传热系数也越高。这与 经验得出的结论相反，为什么？ 解：粘度越高时， Pr 数越大，但 Re 数越小。由 ud ν Nu = C Re Pr = C e ∝ ν n − m 。一般情况下，对流换热 m ＞ n ，即 n − m ＜0，所以粘 ν a
解：从形式上看， Nu 数（ Nu =
中的 λ 为流体的导热系数，而一般 h 未知，因而 Nu 数一般是待定准则。 Nu 数的物理意义表示壁面 附近流体的无量纲温度梯度，它表示流体对流换热的强弱。而 Bi 数中的 λ 为导热物体的导热系数， 且一般情况下 h 已知， Bi 数一般是已定准则。 Bi 数的物理意义是导热体内部导热热阻（ l / λ ）与 外部对流热阻（ l / h ）的相对大小。
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相反。在木板和铝板同时长时间放在太阳光下时，哪个温度高？为什么？
解：波长小于 2 µ m 时，太阳光的辐射能量主要集中在此波段，而对常温下的物体，其辐射波长一 般大于 2 µ m 。在同样的太阳条件下，铝板吸收的太阳能多，而在此同时，其向外辐射的能量却少 于木板（在长波范围内，铝板吸收比小于木板，由基尔霍夫定律，其发射率亦小于木板） 。因此， 铝板温度高。
1. 相距很近且彼此平行的两个黑体表面，若（1）两表面温度分别为 1800K 和 1500K； （2）两表面 温度分别为 400K 和 100K。试求两种情况下辐射换热量的比值。由此可以得出什么结论？
解： （1）两表面温度分别为 1800K 和 1500K 时： q1 = σ (T14 − T24 ) = 5.67 ×10−8 × (18004 − 15004 ) = 308170W / m2 （2）两表面温度分别为 400K 和 100K 时： q2 = σ (T14 − T24 ) = 5.67 × 10−8 × (4004 − 1004 ) = 1446W / m2 二者比值： q1 / q2 = 308170 /1446 = 213 由此可以看出，尽管冷热表面温度都是相差 300K，但前者的换热量是后者的 213 倍。因此，辐射 在高温时更重要。
解： 先判断本题能否利用集总参数法。 hR 10 × 0.1× 10−3 Bi = = = 1.49 ×10 −5 ＜0.1 λ 67 可用集总参数法。
时间常数
τc =
ρ cV ρ c R 7310 × 228 0.1×10 −3 = = × = 5.56 s hA h 3 10 3
则 10 s 的相对过余温度 τ θ = exp − θ0 τc 10 = exp − = 16.6 ％ 5.56
15.试解释下列名词 （1）有效辐射； （2）表面辐射热阻； （3）重辐射面； （4）遮热板。
解： （1） 有效辐射——包括辐射表面的自身辐射 E 和该表面对投入辐射 G 的反射辐射 ρ G ， 记为 J ， 即 J = E + ρG 。 （2）表面辐射热阻——当物体表面不是黑体表面时，该表面不能全部吸收外来投射辐射能量， 这相当于表面存在热阻。该热阻称为表面辐射热阻。以 1− ε 表示，它取决于表面的辐射特性。 εA
14.选择太阳能集热器的表面涂层时，该涂料表面光谱吸收比随波长的变化最佳曲线是什么？有人 认为取暖用的辐射采暖片也需要涂上这种材料，你认为合适吗？
解：最佳的曲线应是在短波（如 λ ＜3 µ m ）部分光谱吸收比 α (λ ) = 1 ，而在长波部分（ λ ＞3 µ m ） ， α (λ ) = 0 ，这样吸收太阳能最多，而向外辐射散热却为零。对于辐射采暖器，其表面温度不高，大 部分辐射位于长波范围，此时 α (λ ) = 0 ，由基尔霍夫定律， ε (λ ) = 0 ，反而阻碍其散热，因而涂上 这种材料不合适。
热电偶过余温度不大于初始过余温度 1％所需的时间，由题意 τ θ = exp − θ0 τc τ exp − ≤0.01 5.56 解得 τ ≥25.6 s ≤0.01
6. 一 个 20 cm × 16 cm × 80 cm 的 铁 块 ( k ＝ 64 W /( m ⋅ K )) 突然置 于 平 均 对流 换热系数 h ＝ 11.35 W / ( m 2 ⋅ K )( 2 Btu /(h ⋅ ft 2 ⋅ o F ) )的自然对流环境中。试确定其 Bi 数，并判断采用集总热容 法分析铁块的冷却过程是否合适（假设铁块的初始温度比环境高） 。
2. 如图所示的墙壁，其导热系数为 50 W /(m ⋅ K ) ，厚度为 50 mm ，在稳态情况下的墙壁内一维温 度分布为： t = 200 − 2000 x 2 式中 t 的单位为℃， x 的单位为 m 。试求：
（1）墙壁两侧表面的热流密度； （2）壁内单位体积的内热源生成热。
解： （1）由傅里叶定律： q = −λ dt = −λ (−4000 x) = 4000λ x dx
2
17 × 0.0393 ×162 × th ( 3.754 × 0.15 ) = 14.71 W 3.754
故整个杆的散热量 Φ = 2Φ 1 = 2 ×14.71 = 29.42 W
2
4.一块无限大平板，单侧表面积为 A ,初温为 t0 ，一侧表面受温度为 t∞ ，表面传热系数为 h 的气流 冷却，另一侧受到恒定热流密度 q w 的加热，内部热阻可以忽略。试列出物体内部的温度随时间变 化的微分方程式并求解之。设其他几何参数及物性参数已知。
3. 如图所示的长为 30 cm ，直径为 12.5 mm 的铜杆，导热系数为 386 W / ( m ⋅ K ) ，两端分别紧固地 连接在温度为 200℃的墙壁上。温度为 38℃的空气横向掠过铜杆，表面传热系数为 17 W / ( m2 ⋅ K ) 。 求杆散失给空气的热量是多少？
解：这是长为 15 cm 的等截面直肋的一维导热问题。由于物理问题对称，可取杆长的一半作研究对 象。由公式知： 一半热量： Φ 1 =
所以墙壁两侧表面的热流密度： q x =0 = −λ dt dx =0
x =0
q x =δ = 4000 λ x x =δ = 4000 × 50 × ( 0.05) = 10kW / m 2 （2）由导热微分方程： d 2t Φ + =0 dx 2 λ 得： Φ = −λ d 2t = −λ ( −4000 ) = 4000λ = 4000 × 50 = 2 ×105W / m3 2 dx
− hA ρ cV τ hA − qw ρ cV τ + 1 − e h − hA ρ cV τ
dt + hA ( t − t ∞ ) − Aqw = 0 dτ
+
qw h
B = θ0 −
qw h
5. 用 热 电偶测 量 气 罐 中 气 体的温度。热 电偶 的 初 始 温度为 20 ℃， 与 气 体的表面 传 热系数为 10W / ( m 2 ⋅ K ) 。热电偶近似为球形，直径为 0.2 mm 。试计算插入 10 s 后，热电偶的过余温度为初 始过余温度的百分之几？要使温度计过余温度不大于初始过余温度的 1％， 至少需要多长时间？已 知热电偶焊锡丝的 λ = 67W / ( m ⋅ K ) ， ρ = 7310 kg / m3 ， c = 228 J / ( kg ⋅ K ) 。
7.一个处于 100℃的立方体铝锭，置于对流环境中，平均对流换热系数 h ＝25 W /( m 2 ⋅ K ),如果要 求使用集总热容法所产生的误差小于 5％，试确定铝锭的最大临界边长。
解：对于这种形状的物体，只要 Bi 数小于 0.1，采用集总热容法的精度就可达到 ± 5％。从表 B－1
（SI）查得 k ＝206 W /( m ⋅ K )。这样，
9.对有限空间的自然对流换热，有人经过计算得出其 Nu 数为 0.5。请利用所学过的传热学知识判 断这一结果的正确性。
解：以下图所示的有限空间自然对流为例。如果方腔内的空气没有对流，仅存在导热，
则
q=λ
th − tc δ
此时当量的对流换热量可按下式计算
q = h(th − tc ) 由以上两式： hδ = 1 ，即 Nu ＝1。 λ
m n m n
度增加时， Nu 数减少，即 h 减小。
11.如图所示的真空辐射炉，球心处有一黑体加热元件，试指出①，②，③3 处中何处定向辐射强 度最大？何处辐射热流最大？假设①，②，③处对球心所张立体角相同。
解：由黑体辐射的兰贝特定律知，定向辐射强度与方向无关。故 L1 = L2 = L3 。而三处对球心立体角 相当，但与法线方向夹角不同， cos ϕ1 ＞ cos ϕ2 ＞ cos ϕ3 。所以①处辐射热流最大，③处最小。
12.“善于发射的物体必善于吸收” ，即物体辐射力越大，其吸收比也越大。你认为对吗？
解：基尔霍夫定律对实际物体成立必须满足两个条件：物体与辐射源处于热平衡，辐射源为黑体。 也即物体辐射力越大，其对同样温度的黑体辐射吸收比也越大，善于发射的物体，必善于吸收同温 度下的黑体辐射。所以上述说法不正确。
13.在波长 λ ＜2 µ m 的短波范围内，木板的光谱吸收比小于铝板，而在长波（ λ ＞2 µ m ）范围内则
（3）重辐射面——辐射换热系统中，表面的净辐射换热量为零的表面被称为重辐射面，或称 绝热表面。 （4）遮热板——插入两个辐射换热表面之间用以削弱辐射换热的薄板。
16.如图所示，直径为 d 的圆柱表面及平面 AB 在垂直纸面方向均为无限长。试求平面与圆柱外表 面间的角系数 X AB ,e O 。
解：由图 8－14 所示，按交叉线法 X AB ,e O = 而 所以 由图中几何关系 α = 2 β = 2 arctan( 而 故 » = d α = d 2 arctan( t ) CD 2 2 H t X AB ,e O = d arctan( ) 2t H t ) H
解：特征长度为 L = V / As ,而 As = 2(0.20 × 0.16 + 0.16 × 0.80 + 0.20 × 0.80) = 0.64 m 2 所以 L= (0.20 × 0.16 × 0.80)m3 = 0.04m 0.64m 2
由此， hL (11.35W / m 2 ⋅ K )(0.04m) Bi = = = 0.0071 k 64W / m ⋅ K 采用集总热容法计算瞬态温度可给出很好的结果。
解： 由题意，物体内部热阻可以忽略，温度仅为时间的函数，一侧的对流换热和另一侧恒热流加 热作为内热源处理，根据热平衡方程可得控制方程为 ρ cV 初始条件： t τ = 0 = t0 引入过余温度 θ = t − t ∞ ，则 dθ + hAθ − Aqw = 0 ρ cV dτ θ = t0 − t∞ = θ 0 τ =0 上述控制方程的通解为 θ = Be 由初始条件有 故温度分布： θ = t − t∞ = θ 0 e
hP θ 0th ( mH ) m
其中
h = 17W / ( m 2 ⋅ K ) , P = π d = π × 12.5 ×10 −3 = 0.0393m m= hP 17 × 0.0393 = = 3.754, H = 0.15m π λ Ac 2 386 × × 0.0125 4
θ0 = t0 − t f = 200 − 38 = 162 ℃ 所以 Φ1 =
Bi ＝0.1＝
hL (25W /(m2 ⋅ K )) L = k 206W /(m ⋅ K )
则
L = 0.824m
由 L= 可得 V l3 = 2 As 6l
l = 6 L = 6(0.824m) = 4.94m
8.试比较准则数 Nu 和 Bi 的异同。 hl hl ）与 Bi 数（ Bi = ）完全相同，但二者物理意义却不同。 Nu 数 λ λ
即方腔内自然对流完全忽略时，依靠纯导热的 Nu 数将等于 1，即 Nu 数的最小值为 1，不会小于 1， 所以上述结果是不正确的。
10.一般情况下粘度大的流体其 Pr 数也较大。 由对流换热的实验关联式 Nu = C Rem Pr n 可知 （ m ＞0， n ＞0） ， Pr 数越大， Nu 数也越大，从而 h 也越大。即粘度大的流体其表面传热系数也越高。这与 经验得出的结论相反，为什么？ 解：粘度越高时， Pr 数越大，但 Re 数越小。由 ud ν Nu = C Re Pr = C e ∝ ν n − m 。一般情况下，对流换热 m ＞ n ，即 n − m ＜0，所以粘 ν a
解：从形式上看， Nu 数（ Nu =
中的 λ 为流体的导热系数，而一般 h 未知，因而 Nu 数一般是待定准则。 Nu 数的物理意义表示壁面 附近流体的无量纲温度梯度，它表示流体对流换热的强弱。而 Bi 数中的 λ 为导热物体的导热系数， 且一般情况下 h 已知， Bi 数一般是已定准则。 Bi 数的物理意义是导热体内部导热热阻（ l / λ ）与 外部对流热阻（ l / h ）的相对大小。
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相反。在木板和铝板同时长时间放在太阳光下时，哪个温度高？为什么？
解：波长小于 2 µ m 时，太阳光的辐射能量主要集中在此波段，而对常温下的物体，其辐射波长一 般大于 2 µ m 。在同样的太阳条件下，铝板吸收的太阳能多，而在此同时，其向外辐射的能量却少 于木板（在长波范围内，铝板吸收比小于木板，由基尔霍夫定律，其发射率亦小于木板） 。因此， 铝板温度高。
1. 相距很近且彼此平行的两个黑体表面，若（1）两表面温度分别为 1800K 和 1500K； （2）两表面 温度分别为 400K 和 100K。试求两种情况下辐射换热量的比值。由此可以得出什么结论？
解： （1）两表面温度分别为 1800K 和 1500K 时： q1 = σ (T14 − T24 ) = 5.67 ×10−8 × (18004 − 15004 ) = 308170W / m2 （2）两表面温度分别为 400K 和 100K 时： q2 = σ (T14 − T24 ) = 5.67 × 10−8 × (4004 − 1004 ) = 1446W / m2 二者比值： q1 / q2 = 308170 /1446 = 213 由此可以看出，尽管冷热表面温度都是相差 300K，但前者的换热量是后者的 213 倍。因此，辐射 在高温时更重要。
解： 先判断本题能否利用集总参数法。 hR 10 × 0.1× 10−3 Bi = = = 1.49 ×10 −5 ＜0.1 λ 67 可用集总参数法。
时间常数
τc =
ρ cV ρ c R 7310 × 228 0.1×10 −3 = = × = 5.56 s hA h 3 10 3
则 10 s 的相对过余温度 τ θ = exp − θ0 τc 10 = exp − = 16.6 ％ 5.56
15.试解释下列名词 （1）有效辐射； （2）表面辐射热阻； （3）重辐射面； （4）遮热板。
解： （1） 有效辐射——包括辐射表面的自身辐射 E 和该表面对投入辐射 G 的反射辐射 ρ G ， 记为 J ， 即 J = E + ρG 。 （2）表面辐射热阻——当物体表面不是黑体表面时，该表面不能全部吸收外来投射辐射能量， 这相当于表面存在热阻。该热阻称为表面辐射热阻。以 1− ε 表示，它取决于表面的辐射特性。 εA
14.选择太阳能集热器的表面涂层时，该涂料表面光谱吸收比随波长的变化最佳曲线是什么？有人 认为取暖用的辐射采暖片也需要涂上这种材料，你认为合适吗？
解：最佳的曲线应是在短波（如 λ ＜3 µ m ）部分光谱吸收比 α (λ ) = 1 ，而在长波部分（ λ ＞3 µ m ） ， α (λ ) = 0 ，这样吸收太阳能最多，而向外辐射散热却为零。对于辐射采暖器，其表面温度不高，大 部分辐射位于长波范围，此时 α (λ ) = 0 ，由基尔霍夫定律， ε (λ ) = 0 ，反而阻碍其散热，因而涂上 这种材料不合适。
热电偶过余温度不大于初始过余温度 1％所需的时间，由题意 τ θ = exp − θ0 τc τ exp − ≤0.01 5.56 解得 τ ≥25.6 s ≤0.01
6. 一 个 20 cm × 16 cm × 80 cm 的 铁 块 ( k ＝ 64 W /( m ⋅ K )) 突然置 于 平 均 对流 换热系数 h ＝ 11.35 W / ( m 2 ⋅ K )( 2 Btu /(h ⋅ ft 2 ⋅ o F ) )的自然对流环境中。试确定其 Bi 数，并判断采用集总热容 法分析铁块的冷却过程是否合适（假设铁块的初始温度比环境高） 。
2. 如图所示的墙壁，其导热系数为 50 W /(m ⋅ K ) ，厚度为 50 mm ，在稳态情况下的墙壁内一维温 度分布为： t = 200 − 2000 x 2 式中 t 的单位为℃， x 的单位为 m 。试求：
（1）墙壁两侧表面的热流密度； （2）壁内单位体积的内热源生成热。
解： （1）由傅里叶定律： q = −λ dt = −λ (−4000 x) = 4000λ x dx
2
17 × 0.0393 ×162 × th ( 3.754 × 0.15 ) = 14.71 W 3.754
故整个杆的散热量 Φ = 2Φ 1 = 2 ×14.71 = 29.42 W
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4.一块无限大平板，单侧表面积为 A ,初温为 t0 ，一侧表面受温度为 t∞ ，表面传热系数为 h 的气流 冷却，另一侧受到恒定热流密度 q w 的加热，内部热阻可以忽略。试列出物体内部的温度随时间变 化的微分方程式并求解之。设其他几何参数及物性参数已知。
3. 如图所示的长为 30 cm ，直径为 12.5 mm 的铜杆，导热系数为 386 W / ( m ⋅ K ) ，两端分别紧固地 连接在温度为 200℃的墙壁上。温度为 38℃的空气横向掠过铜杆，表面传热系数为 17 W / ( m2 ⋅ K ) 。 求杆散失给空气的热量是多少？
解：这是长为 15 cm 的等截面直肋的一维导热问题。由于物理问题对称，可取杆长的一半作研究对 象。由公式知： 一半热量： Φ 1 =
所以墙壁两侧表面的热流密度： q x =0 = −λ dt dx =0
x =0
q x =δ = 4000 λ x x =δ = 4000 × 50 × ( 0.05) = 10kW / m 2 （2）由导热微分方程： d 2t Φ + =0 dx 2 λ 得： Φ = −λ d 2t = −λ ( −4000 ) = 4000λ = 4000 × 50 = 2 ×105W / m3 2 dx
− hA ρ cV τ hA − qw ρ cV τ + 1 − e h − hA ρ cV τ
dt + hA ( t − t ∞ ) − Aqw = 0 dτ
+
qw h
B = θ0 −
qw h
5. 用 热 电偶测 量 气 罐 中 气 体的温度。热 电偶 的 初 始 温度为 20 ℃， 与 气 体的表面 传 热系数为 10W / ( m 2 ⋅ K ) 。热电偶近似为球形，直径为 0.2 mm 。试计算插入 10 s 后，热电偶的过余温度为初 始过余温度的百分之几？要使温度计过余温度不大于初始过余温度的 1％， 至少需要多长时间？已 知热电偶焊锡丝的 λ = 67W / ( m ⋅ K ) ， ρ = 7310 kg / m3 ， c = 228 J / ( kg ⋅ K ) 。
7.一个处于 100℃的立方体铝锭，置于对流环境中，平均对流换热系数 h ＝25 W /( m 2 ⋅ K ),如果要 求使用集总热容法所产生的误差小于 5％，试确定铝锭的最大临界边长。
解：对于这种形状的物体，只要 Bi 数小于 0.1，采用集总热容法的精度就可达到 ± 5％。从表 B－1
（SI）查得 k ＝206 W /( m ⋅ K )。这样，
9.对有限空间的自然对流换热，有人经过计算得出其 Nu 数为 0.5。请利用所学过的传热学知识判 断这一结果的正确性。
解：以下图所示的有限空间自然对流为例。如果方腔内的空气没有对流，仅存在导热，
则
q=λ
th − tc δ
此时当量的对流换热量可按下式计算
q = h(th − tc ) 由以上两式： hδ = 1 ，即 Nu ＝1。 λ
m n m n
度增加时， Nu 数减少，即 h 减小。
11.如图所示的真空辐射炉，球心处有一黑体加热元件，试指出①，②，③3 处中何处定向辐射强 度最大？何处辐射热流最大？假设①，②，③处对球心所张立体角相同。
解：由黑体辐射的兰贝特定律知，定向辐射强度与方向无关。故 L1 = L2 = L3 。而三处对球心立体角 相当，但与法线方向夹角不同， cos ϕ1 ＞ cos ϕ2 ＞ cos ϕ3 。所以①处辐射热流最大，③处最小。
12.“善于发射的物体必善于吸收” ，即物体辐射力越大，其吸收比也越大。你认为对吗？
解：基尔霍夫定律对实际物体成立必须满足两个条件：物体与辐射源处于热平衡，辐射源为黑体。 也即物体辐射力越大，其对同样温度的黑体辐射吸收比也越大，善于发射的物体，必善于吸收同温 度下的黑体辐射。所以上述说法不正确。
13.在波长 λ ＜2 µ m 的短波范围内，木板的光谱吸收比小于铝板，而在长波（ λ ＞2 µ m ）范围内则
（3）重辐射面——辐射换热系统中，表面的净辐射换热量为零的表面被称为重辐射面，或称 绝热表面。 （4）遮热板——插入两个辐射换热表面之间用以削弱辐射换热的薄板。
16.如图所示，直径为 d 的圆柱表面及平面 AB 在垂直纸面方向均为无限长。试求平面与圆柱外表 面间的角系数 X AB ,e O 。
解：由图 8－14 所示，按交叉线法 X AB ,e O = 而 所以 由图中几何关系 α = 2 β = 2 arctan( 而 故 » = d α = d 2 arctan( t ) CD 2 2 H t X AB ,e O = d arctan( ) 2t H t ) H
解：特征长度为 L = V / As ,而 As = 2(0.20 × 0.16 + 0.16 × 0.80 + 0.20 × 0.80) = 0.64 m 2 所以 L= (0.20 × 0.16 × 0.80)m3 = 0.04m 0.64m 2
由此， hL (11.35W / m 2 ⋅ K )(0.04m) Bi = = = 0.0071 k 64W / m ⋅ K 采用集总热容法计算瞬态温度可给出很好的结果。
解： 由题意，物体内部热阻可以忽略，温度仅为时间的函数，一侧的对流换热和另一侧恒热流加 热作为内热源处理，根据热平衡方程可得控制方程为 ρ cV 初始条件： t τ = 0 = t0 引入过余温度 θ = t − t ∞ ，则 dθ + hAθ − Aqw = 0 ρ cV dτ θ = t0 − t∞ = θ 0 τ =0 上述控制方程的通解为 θ = Be 由初始条件有 故温度分布： θ = t − t∞ = θ 0 e