4.1.2圆的一般方程练习

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2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程作业(系列四)

圆的一般方程A 组基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)．答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________．解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________．解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。

4.1.2圆的一般方程YLL

已知点P ），点例4 已知点P（5，3），点M在圆 4x+2y+4=0上运动上运动， |PM|的最 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值. 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： 2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：用待定系数法求圆方程的基本步骤；（2 列方程组；（1）设圆方程；（2）列方程组；求系数；小结. （3）求系数；（4）小结.
4
圆的一般方程：圆的一般方程：
x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E − 4 F > 0 )
2 2 2 2
y 2 的系数相同，都不为．特点： 1）和的系数相同，都不为0．的二次项．
探究: 探究:
二元二次方程 2 2 Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件是什么？圆的条件是什么？
相关点法 A(x0,y0).
M(x,y)
.O
x
若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用若知道或涉及圆心和半径我们一般采用圆的标准方程较简单较简单. 圆的标准方程较简单
解：设点M的坐标是（x,y),点A的坐标是，由于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所以
x0 + 4 y0 + 3 x= ,y= 2 2 ①
( 0 当a,b同时为时,表示原点0,0).
. 半径为 a2 + b2的圆
(1)表示原点表示原点(0,0). 表示原点

4.1.2 圆的一般方程

高一数学校本作业 4.1.2圆的一般方程班级______姓名__________座号_______2011.011．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )． 3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D ＝E . 4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝26．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 答案：3 7．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.8．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22， ∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝ 2. ∴共有3个点．9．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)10．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)11．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0，即D ＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋＝0.13．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝⎛⎭⎫－95，125和点⎝⎛⎭⎫－215，285.。

4.1.2圆的一般方程

方法技巧用待定系数法求圆的方程时，一般方程和标准方程的选择策略： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.
例2: 已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
代入法求动点的轨迹方程: 方法步骤：(1)设出所求轨迹上的动点 M(x，y)． (2)由中点的坐标公式得出 A 点的坐标． (3)由点 A 在已知圆上，将点 A 的坐标代入圆的方程，就得到点 M 的轨迹方程．
复习
1.圆的标准方程__x__a_2___y__b_2__r_2 ,圆
心（a,b）,半径为r. 若圆心为（0,0），则圆的方程为
_x_2 __y_2 __r.2
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
练习已知等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B(3,5)，
求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．
[解析] 设另一端点 C 的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得
x－42＋y－22＝ 4－32＋2－52，整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
2. x2 y2 2x 4 y 1可化为 (x _1_)2 ( y _2_)2 __4_
3. x2 y2 2x 4 y 5可化为 (x _1_)2 ( y _2_)2 __0_

4.1.2圆的一般方程-例题

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲第四章圆与方程 59 第 30 讲 §4.1.2 圆的一般方程¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程 22 0 x y Dx Ey F ++++= （ 22 40 D E F +-> ）表示圆心是(,) 22D E -- ，半径长为 22 1 4 2D E F +- 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,) x y 满足的关系式. ¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为 22 0 x y Dx Ey F ++++= . 则44220 259530 9130 D E F D E F D E F ++++= ì ï ++++= í ï ++-+= î ，解得 8 2 12 D E F =- ì ï =- í ï = î. ∴ 圆的方程为 22 82120 x y x y +--+= .【例2】设方程 22242 2(3)2(14)16790 x y m x m y m m +-++-+-+= ，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[ ] 22 2 (3)(14)16x m y m m éù -++--=+ ëû ，该方程表示圆，则有 160 m +> ，得 1 (,) 6 m Î-+¥ ，此时圆心的轨迹方程为 2 3 14 x m y m =+ ì í =- î，消去m ，得 2 4(3)1 y x =-- ，由 1 (,) 6 m Î-+¥ 得x =m +3 17 (,) 6 Î+¥ . ∴所求的轨迹方程是 2 4(3)1 y x =-- ， 17 (,) 6x Î+¥ 【例 3】已知线段AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆 22 (1)4 x y ++= 上运动，求线段 AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）解：设圆 22 (1)4 x y ++= 的圆心为P (1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x ,y ). 取PB 中点N ,其坐标为( 14 2 -+ , 03 2 + )，即N ( 3 2 , 3 2). ∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN = 1 2 P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹方程为： 22 33 ()()1 22x y -+-= . 点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过 (4,2),(1,3) A B - 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为 22 0 x y Dx Ey F ++++= .当 0 x = 时， 2 0 y Ey F ++= ，则 12 2 E y y +=- ；当 0 y = 时， 2 0 x Dx F ++= ，则 12 2D x x +=- . 则 164420 1930 ()()4 22D E F D E F D E ì ï ++++= ï +-++= í ï ï -+-= î ，解得 3 52 D E F =- ì ï =- í ï = î .∴ 圆的方程为 22 3520 x y x y +--+= . 点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组） →求（解方程组）→写（写出所求方程） ”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解. N M (x ,y ) A y x P B (4,3)。

高中数学必修2单元配套练习试题4.1.2圆的一般方程及参考答案解析

4.1.2圆的一般方程姓名:___________班级:______________________1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 ( )A.(4,－6),r＝16B.(2,－3),r＝4C.(－2,3),r＝4D.(2,－3),r＝162.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.RB.(－∞,1)C.(－∞,1]D.[1,＋∞)3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是 ( )A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称,则必有( )A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5.两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )A.x＋y＋3＝0B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0D.4x－3y＋7＝06.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点,则( )A.D＝0,E＝0,F≠0B.F＝0,D≠0,E≠0C.D＝0,F＝0,E≠0D.E＝0,F＝0,D≠07.若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限,那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A. C.9.圆心是(－3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为 .10.已知圆C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________.11.若实数x,y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0,的最大值是__________.12.求经过两点P(－2,4),Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.13.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围.程.参考答案1.C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3),半径 4.r ==故选C. 考点:圆的一般方程.2.B【解析】由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k ＞0,得k ＜1.考点:圆的一般方程.3.C【解析】原方程变形为222)(1)0x y ++-=（,所以方程表示的曲线是一个点(−2,1),故选C.考点:方程的曲线.4.A【解析】由题知圆心(2D - , 2E -)在直线y ＝x 上,即2E -＝2D -, ∴D＝E.故选A.考点:圆的一般方程.5.C【解析】两圆的圆心分别为(2,－3)、(3,0),直线方程为y ＝3(x －3),即3x －y －9＝0,故选C.考点:圆的一般方程及直线方程.6.C【解析】点(0,0)在圆上,代入圆的方程可得F ＝0.因为圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴切于原点,所以圆心的横坐标为0,即02D -=,∴D＝0.由D 2＋E 2－4F ＞0,可得E 2＞0,∴E≠0,故选C.考点:圆的一般方程.7.D【解析】圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,32b -),则a ＜0,b ＞0.直线y ＝1x a -－b a ,其斜率k ＝1a -＞0,在y 轴上的截距为－b a＞0,所以直线不经过第四象限,故选D. 考点:圆与直线.8.B【解析】x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径为.由圆的几何性质可知:过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC⊥BD ,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝==.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×故选B. 考点:圆的弦长及四边形的面积.9.x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0【解析】圆的半径r == ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73,整理得,x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0.考点:圆的一般方程.10.(2,－3)【解析】由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0,得(x －1)2＋(y ＋1)2＝5,所以圆心为C(1,－1).设B(x 0,y 0),由中点坐标公式得0002,12,x y +=⎧⎨+=-⎩解得002,3,x y =⎧⎨=-⎩所以点B 的坐标为(2,－3).考点:圆心及中点坐标.3【解析】实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点. =,几何意义为:动点(x,y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方得:(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,半径R ＝3的圆,原点在圆内.连接CO,由圆的几何性质可知,所求的最大值为|OC|+R 3.考点:利用曲线的几何意义求最值.12.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,将P(－2,4),Q(3,－1)代入圆的方程得2420,310,D E F D E F --=⎧⎨-+=-⎩ 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1,x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根.由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36,解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－8或D ＝－6,E ＝－8,F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点:求圆的方程.13.(1)－17＜m ＜1 (2)0 【解析】(1)要使方程表示圆,则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0,即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0,整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r===,.考点:圆的方程与轨迹.14.x2＋y2－2x＋4y－20＝0【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2,－6),∴42200, 26400,D E FD E F+++=⎧⎨+--=⎩①②设圆在x轴上的截距为x1、x2,它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根,得x1＋x2＝－D.设圆在y 轴上的截距为y1、y2,它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根,得y1＋y2＝－E.由已知,得－D＋(－E)＝－2,即D＋E－2＝0. ③由①②③联立解得D＝－2,E＝4,F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.考点:圆的方程.。

4.1.2圆的一般方程【正式】

解：(1)由2x2 2y2 4x 12y 1 0 即：（x 1)2 ( y 3)2 21
得x2 y2 2x 6y 1 0 2
2
故它表示以（1，3）为圆心,
42 为半径的圆. 2
(2)由x2 y2 2ax 0 故它表示以（ a,0）得（x a)2 y2 a2 0 为圆心，a 为半径的圆
解：设所求圆的方程为：(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2
(2 a)2 (8 b)2 r2
a2 b 3
r 5
所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25
方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆吗?
将x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为标准方程
(1)当D2 E 2 4F 0时,
方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示圆心在
( D , E )半径为1 D2 E 2 4F的圆
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时,
方程x2
y2
例5. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切，求反射光线所在直线的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
切,则b _2_或_-2
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：
y
A(5,1)
几何方法
O
x
E

人教A版数学必修二第四章第二课时同步练习4.1.2圆的一般方程

§4.1.2圆的一般方程一、选择题1. 若方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则有（）.A.2k ≤B. 2k < C ．2k > D ．2k ≥2. 下列方程中，表示圆的一般方程的是（）.A.2210x y +-=B.22220x y x y ++-+=C.22(1)(2)1x y -+-=D.2410x y x ++-=3．已知圆的一般方程222410Ax Bxy y x y ++-++=，则A,B 的值为（）A. A=2 ，B=1B. A=2 ，B=0 C ．A=1 ，B=1 D ．A=1 ，B=04. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B ．(2,0)-, 5C ．(2,0),D ．(2,0)- 5. 已知圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，1）半径为2，则D ，E ，F 分别是（）A ．-4、-2、1B ．-4、2、1C ．4、2、–1D ．4、-2、16. 已知圆的方程是x 2+y 2－2x+2y+1=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A. 2x －y+1=0B. 2x+y+1=0C ．2x －y －1=0D ．2x+y －1=07. 如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（）A ．D=EB ．D=FC ．E=FD ．F=08. 已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（）A ．(0,－1)B ．(1,－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．已知圆的方程为22224430x y x y ++-+=，则其圆心坐标为 .10.已知圆22220x y x ky +---=过点（1，-1），则k 的值为 .11.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它表示圆.12.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它表示点.13.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它的轨迹不存在.14.方程02222=--+b ax y x 表示的图形是 .三、解答题15．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求 △ABC 外接圆的方程．16．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；（3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4. C5. D 6．D 7．A 8. A二、填空题9. 答案为（1，-1）10. 答案为 211. 答案为：22k k ><-或12. 答案为：2k =±13. 答案为：22k -<<14. 答案为：点或圆。

高中数学第04章圆与方程专题4.1.2 圆的一般方程试

4.1.2圆的一般方程一、圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径r =_________________. 2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得： 220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E Fx y +-+++=.当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，所以它表示一个点____________；当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是：P 在圆内⇔_______________________，P 在圆上⇔_______________________，P 在圆外⇔_______________________.二、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择____________________；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的________； ③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．三、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①________：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； ②________：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =； ③________：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =； ④________：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．K 知识参考答案：一、1．(,)22D E -- 22142D E F +- 2．2240D E F +-> (,)22D E -- 22142D E F +-(,)22D E--3．2200000x y Dx Ey F ++++< 2200000x y Dx Ey F ++++= 2200000x y Dx Ey F ++++>二、①标准方程或一般方程 ②方程组三、2．①建系 ②设点 ③列式 ④化简K —重点圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程K —难点与圆有关的轨迹问题K —易错忽视圆的一般方程应满足的条件致错1．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法: （1）利用圆的一般方程的定义,求出224D E F +-利用其符号判断. （2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式,根据m 的符号判断. 【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x 2+y 2+2x+1=0; (2)x 2+y 2+2ay-1=0; (3)x 2+y 2+20x+121=0;(4)x 2+y 2+2ax =0.【例2】方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是 A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1【答案】B【解析】由于二元二次方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示一个圆，则D 2+E 2-4F =16m 2+4-20m >0，解得m >1或m <14. 2．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程. 【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩，设圆在x 轴上的截距为x 1,x 2,则x 1,x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根,得x 1+x 2=-D . 设圆在y 轴上的截距为y 1,y 2,则y 1,y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根,得y 1+y 2=-E . 由已知,得-D+(-E )=-2,即D+E-2=0. ③ 联立①②③,解得D =-2,E =4,F =-20, 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.【例4】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上.解法二：因为211611007AB BC k k -+⋅=⨯=---，所以AB BC ⊥，所以AC 是过,,A B C 三点的圆的直径，22||(17)(26)10,AC =-++=线段AC 的中点M 即圆心2(4,)M -．因为221||(44)(32)5||2DM AC -++===，所以点D 在圆M 上，所以,,,A B C D 四点在同一个圆上．【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上. 3．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.（3）相关点法:若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动,且11,x y 可用,x y 表示,则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P 的轨迹方程.【例5】已知点P (x ,y ),A (1,0),B (-1,1),且|PA|=|PB|.(1)求点P 的轨迹方程;(2)判断点P 的轨迹是否为圆,若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题意得·,两边同时平方,化简得x 2+y 2+6x-4y+3=0, 即点P 的轨迹方程为x 2+y 2+6x-4y+3=0. (2)解法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10, 故点P 的轨迹是圆, 其圆心坐标为(-3,2),半径为.解法二：由(1)得D =6,E =-4,F =3, 所以D 2+E 2-4F =36+16-12=40>0, 故点P 的轨迹是圆. 又32D -=-,22E-=, 所以圆心坐标为(-3,2),半径r =.【例6】已知直角ABC △的斜边为AB ,且1,0,()(,0)3A B -,求: （1）直角顶点C 的轨迹方程;（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程.解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-.由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=.因此,直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且.解法三：设AB 中点为D ,由中点坐标公式得()1,0D ,由直角三角形的性质知, 122||||CD AB ==, 由圆的定义知,动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心,以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点）.设,()C x y ,则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且. （2）设点00,,(),()M x y C x y 点,因为,(3,0)B M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得032x x += (3x ≠且1x ≠), 02yy =, 于是有0023,2x x y y =-=.由（1）知,点C 在圆2214))1((3x y x x -+=≠≠-且上运动,将00,x y 代入该方程得22()(244)2x y -+=,即2221()x y -+=.因此动点M 的轨迹方程为2221))1((3x y x x -+=≠≠且. 4．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例7】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围.【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得11.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-U 1(,)2+∞．【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，而导致错误．【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<< 又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-. 综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--U ，．【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为 A ．（4，－6），16 B ．（2，－3），4 C ．（－2，3），4D ．（2，－3），162．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是 A ．1(,)2-∞ B ．(,0)-∞ C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞3．设圆的方程是22222(10)x y ax y a +++-=+，若01a <<，则原点与圆的位置关系是A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定4．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是 A ．224680x y x y +-+-= B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--=D ．224680x y x y ++-+=5．若Rt △ACB 的斜边的两端点A ,B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C 的轨迹方程为 A ．x 2+y 2=25(y ≠0) B ．x 2+y 2=25 C ．(x-2)2+y 2=25(y ≠0)D ．(x-2)2+y 2=256．圆心是（－3，4），经过点M （5，1）的圆的一般方程为．7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A （0,1），则点B 的坐标为． 8．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．（1）2210x y x +++=；（2）222200()x y ax a a +=≠++；（3）222222)0(0x y ax ay a -=≠++．9．已知方程(m ∈R )表示一个圆.(1)求m 的取值范围.(2)若m ≥0，求该圆半径r 的取值范围.10．已知三点坐标分别是A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4),求过A ,B ,C 的圆的一般方程,并判断点M (1,4),N (6,4),P (0,1)与所求圆的位置关系.11．若圆22230x y ax by +-=+的圆心位于第三象限，那么直线0x ay b ++=一定不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π13．当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y +a +2=0恒过定点C ,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为A ．x 2+y 2-2x +6y =0 B ．x 2+y 2+2x +6y =0 C ．x 2+y 2+2x-6y =0 D ．x 2+y 2-2x-6y =014．如图，设定点，动点在圆上运动，以为邻边作平行四边形，求点的轨迹．15．（2016新课标II ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- C ．3D ．216．（2016新课标I ）设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于,A B 两点,若||23AB =,则圆C 的面积为 .1 2 3 4 5 11 12 13 15 CABBCDBCA1．【答案】C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），半径2214(6)12 4.2r =+-+=故选C. 2．【答案】A【解析】由方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，可得1140m +->，解得12m <.故选A. 3．【答案】B【解析】将原点坐标(0,0)代入圆的方程得2()1a -，∵01a <<，∴2(10)a ->，∴原点在圆外． 4．【答案】B【解析】把圆224630x y x y +-++=化成标准方程为22(2)(3)10x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：222(2)(3)x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：222(12)(13),r -+-+=∴25r =，所以所求的圆的方程为22(2)(3)5x y -++=，化简为：224680x y x y +-++=，故选B.5．【答案】C【解析】线段AB 的中点坐标为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以点C 到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C (x ,y )满足=5(y ≠0),即(x-2)2+y 2=25(y ≠0).8．【解析】（1）∵1,0,1D E F ===，∴2241430D E F =-=--<+.∴方程（1）不表示任何图形．（2）∵220D a E F a ===，，，∴22224440D E F a a +--==.∴方程（2）表示点(),0a -．（3）方程两边同除以2，得220x y ax ay +-=+，∴0D a E a F ==-=,,，∴222420D E F a =->+.∴方程（3）表示圆，它的圆心为(,)22aa-，半径22124||2r D E F a =+-=.9．【解析】(1)依题意，得4(m ＋3)2＋4(2m －1)2－4(5m 2＋2)＞0，即8m ＋32＞0，解得m ＞－4，所以m 的取值范围是(－4，＋∞).(2)，因为m ∈[0，＋∞)，所以，所以r 的取值范围是.11．【答案】D【解析】圆22230x y ax by +-=+的圆心为（a ，32b -），则a <0，b >0.直线y ＝1x a -－b a，其斜率k ＝1a ->0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D ． 12．【答案】B【解析】设点P 的坐标为(x ,y ),则(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],即(x -2)2+y 2=4,所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径长的圆,所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.13．【答案】C【解析】直线方程可化为(x +1)a-(x +y-2)=0，直线过定点,即对任意的实数a ，方程恒成立，故有,解得，即直线过定点C (-1,3)，故所求圆的方程为(x +1)2+(y-3)2=10，即x 2+y 2+2x-6y =0.15．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A . 16．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||3,AB =且圆心C 到直线2y x a =+222223()(222a +=+，则22,a = 所以圆的面积为2π(2)4πa +=.【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：222()2lr d =+在求圆的方程时常常用到.。

高中-数学-通用版-4.1.2 圆的一般方程(一)

4.1.2 圆的一般方程（一）一、选择题1、圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为（）A. （4，–6），r=16B. （2，–3），r=4C. （–2，3），r=4D. （2，–3），r=162、由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线3、已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是（）A. a=–1，b=2，r=2B. a=–1，b=2，r=4C. a=1，b=–2，r=2D. a=1，b=–2，r=44、方程x2+xy=x表示的曲线是（）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线5、已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为（）A. 1B.C. 3-D. 26、过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为（）A. x2+y2+4y–21=0B. x2+y2–4y–21=0C. x2+y2+4y–96=0D. x2+y2–4y–96=07、已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. （–2，+∞）C. （–∞，2）D. （–∞，1）8、曲线x2+y2x–4=0关于（）A. 直线x轴对称B. 直线y=–x轴对称C. 点（–2D. 点（，0）中心对称9、在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A. （1，+∞）B. （2，+∞）C. （–∞，–2）D. （–∞，–1）10、已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=（）A. 8B. 16C. 12D. 13二、填空题11、圆x2+y2–2x+4y=0的面积为______．12、圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为______．13、圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是______．14、若直线3x–4y+12=0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为______．15、若方程x2+y2–2mx+（2m–2）y+2m2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是______．三、解答题16、若方程x2+y2+2mx–2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．17、若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．18、求满足下列条件的圆的一般方程：（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．19、已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．20、m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】将圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的方程化成标准形式，得（x +2）2+（y –3）2=16，∴圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的圆心为C （–2，3），半径r =4，选C. 2、【答案】D【分析】本题考查轨迹方程.【解答】动圆x 2+y 2–4tx –2ty +5t 2–4=0可化为()()2224x t y t -+-=，∴圆心的坐标为()2,t t ，半径2r =.设圆心的坐标为(),x y ，则2,x t y t ==，消去参数t 得20x y -=，则圆心的轨迹为一条直线，故选D. 3、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆C 的一般方程为x 2+y 2+2x –4y +1=0，它的标准方程为（x +1）2+（y –2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，可得a =–1，b =2，r =2，选A. 4、【答案】C【分析】本题考查轨迹方程.【解答】方程x 2+xy =x 即x （x +y –1）=0，化简可得x =0或x +y –1=0．而x =0表示一条直线，x +y –1=0也表示一条直线，故方程x 2+xy =x 的曲线是两条直线，选C. 5、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–2x –2y +1=0，即（x –1）2+（y –1）2=1，表示以C （1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x 2+y 2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO 2=2，∴x 2+y 2的最小值为)21C.6、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】AB 的中点坐标为（0，-2），直线AB 的斜率为43-，∴垂直平分线的斜率为34，则线段AB 的垂直平分线方程为324y x +=，化简得3480x y --=①；同理得到AC的中点坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为13，∴垂直平分线的斜率为-3，则线段AC的垂直平分线的方程为53322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，化简得6240x y ++=②.联立①②解得0,2,x y =⎧⎨=-⎩则圆心坐标为()0,2-，圆的半径5r =，则圆的标准方程为()22225x y ++=，即224210x y y ++-=，故选A.7、【答案】C【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x 2+y 2–2x +2y +a =0表示圆，∴22+22–4a ＞0，∴4a ＜8，∴a ＜2，选C. 8、【答案】B【分析】本题考查关于点、直线对称的圆的方程.【解答】曲线x 2+y 2x –4=0表示圆，且圆心坐标为（）；由于圆心在直线y =–x 上，∴曲线关于直线y =–x 对称．∴A 、C 、D 都不正确．选B. 9、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由已知圆的方程为x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0，则圆的标准方程为()()2224x a y a ++-=，故圆的圆心为(),2a a -，圆的半径为2，若曲线C ：x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0上所有的点均在第二象限内，则0a >，且2a ->，解得2a >，故a 的取值范围是()2,+∞，故选B. 10、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–4x +6y =0化为：（x –2）2+（y +3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a 2+b 2=4+9=13．选D ． 11、【答案】5π【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆的方程即（x –1）2+（y +2）21，–2圆，故圆的面积为π•r 2=5π，故答案为：5π．12、【答案】【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.答案第3页，共5页【解答】圆x 2+y 2–2x +6y +8=0，即圆（x –1）2+（y +3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，． 13、【答案】（–3，2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆x 2+y 2+6x –4y +12=0，即（x +3）2+（y –2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）． 14、【答案】x 2+y 2+4x –3y =0 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r=1522=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15、【答案】（0，12）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r=＞0．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0＜m ＜1．∴实数m 的取值范围是0＜m ＜12．故答案为：（0，12）． 16、【答案】（1）1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）圆心坐标为(),1m -，半径r = 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，二元二次方程表示圆的条件. 【解答】（1）∵方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆， ∴()()()22222422450,D E F m m m +-=+--+>即22444200m m m +-->，解得15m <，故m 的取值范围是1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）将方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0写成标准方程为()()22115x m y m ++-=-，可得圆心坐标为(),1m -，半径r = 17、【答案】x 2+y 2–6x –6y +8=0．【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则4201640240D F D F E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ②–①得：12+2D =0，∴D =–6，代入①得：4–12+F =0，∴F =8，代入③得：2E +8+4=0，∴E =–6， ∴D =–6，E =–6，F =8，∴圆的方程是x 2+y 2–6x –6y +8=0．18、【答案】（1）2244330x y x y +-+-=；（2）2226190x y x y +-+-=．【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】（1）=，故圆的方程为（x –2）2+（y +2）2=41，即2244330x y x y +-+-=；（2）由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标为C （1，–3），即圆心的坐标，r==，故圆的方程为（x –1）2+（y +3）2=29，即2226190x y x y +-+-=．19、【答案】（1）最小值为（2）最小值为，最大值为；（3）最大值为【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】（1）实数,x y 满足x 2+y 2–4x +1=0，可化成()2223,x y -+= 其表示以点()2,0为半径的圆. 设yk x=，即y kx =，圆心()2,0到y kx =的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，=23k =，∴max min k k == 即yx（2）令y –x =t ，即x –y +t =0对应直线l ，答案第5页，共5页将直线l 平移，当l 与圆C ：（x –2）2+y 2=3相切时，t 达到最大或最小值，由d=t，∴t 的最小值为，最大值为；（3）满足x 2+y 2–4x +1=0的点P （x ，y ）在以C （2，0）为圆心，x 2+y 2=|OP |2， ∵当P 、O 、C 三点共线时，|OP |达到最大值或最小值，∴当圆C 上的点P 在OC 延长线上时，|OP |的最大值为|OC得到x 2+y 2的最大值为（2当圆C 上的点P 在线段OC 上时，|OP |的最小值为|OC，得到x 2+y 2的最大值为（）2综上所述，x 2+y 2的最大值为．20、【答案】1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=．【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x 2+y 2–4x +2my +2m 2–2m +1=0，即()()222223x y m m m -++=-++，它表示圆时，应有2230m m -++>，求得13m -<<. 当半径最大时，应有223m m -++最大，此时，1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=.。

4.1.2 圆的一般方程(第1课时)

绵阳中学资阳育才学校数学小练习班级：_____________ 姓名：_________________________14.1.2 圆的一般方程(第1课时)一、选择题1．圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标是( )A ．)32(，B ． )32(，-C ．)32(--，D ．)32(-，2．圆086222=++-+y x y x 的周长为 ( )A ．π2B ． π2C ．π22D ．π43．方程064222=--++y x y x 表示的图形是( )A ．为半径的圆为圆心，，以11)21(-B ．为半径的圆为圆心，，以11)21(C ．为半径的圆为圆心，，以11)21(--D ．为半径的圆为圆心，，以11)21(-4．方程02222=-++b ax y x 表示的图形是( )A ．一个圆B ．只有当0=a 时，才能表示一个圆C ．一个点D ．时，才能表示一个圆不全为，0b a5．经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线0=+y x 垂直的直线的方程是( )A ．01=++y xB ． 01=-+y xC ．01=+-y xD ．01=--y x6．若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22，则a 的值为( ) A ．22或- B ．2321或 C ．02或 D ．02或- 二、填空题 7．过三点)00(，O ，)04(，A ，)20(-，B 的圆的一般方程为___________________________．8．若02)1(22=++-++λλλy x y x 表示圆，则λ的取值范围是_____________________．9．圆心在直线x y =上，且经过点)11(，-A ，)13(-，B 圆的一般方程是_______________________________．10．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程是_________________________．2 三、解答题11．已知方程)(0716)41(24222R t t y t y x ∈=-+-++表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)判断点还是圆外在所给圆的圆内、圆上，)43(2t P ．12．求经过)24(，A ，)31(，-B 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．。

4.1。2圆一般方程习题

4.1.2圆的一般方程习题一、选择题1．已知圆的方程是222680x y x y +-++=，那么经过此圆圆心的一条直线方程可以是( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0 2．若方程224250x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 3．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( )A ．以(1，-2)为圆心为半径的圆。

B ．以(1,2)为圆心C ．以(-1，-2)为圆心为半径的圆 D ．以(-1,2)为圆心4．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x-1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y-1)2＝16 5．若x 2＋y 2＋(λ-1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( ) A ．(0，＋≦) B ．[15，1] C ．(－≦，15)(1，＋≦) D ．R 6．曲线x 2＋y 2＋2x-2y ＝0关于( )A.直线x ＝0轴对称B.直线y ＝-x 轴对称C.点(-2,1)中心对称D.点(-1，0)中心对称 7．若直线l ：ax ＋by －1＝0把圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的周长平分，则a ＋2b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－48．已知圆C ：222220x y Dx Ey D ++++=，则下面给出的点中一定位于圆C 外的是( ) A ．(0,0) B ．(1,0) C ．(D ，－E) D ．(D ，E)二、填空题9．与圆x 2＋y 2-2x-6y ＋9＝0关于直线x-y=0对称的圆的方程__________．10．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________________．三、解答题 .11．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．12．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，求它的外接圆的一般方程．13．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．高考连接14.(10年高考上海卷)圆C ： 222440x y x y +--+=的圆心到直线:l 3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.15．(09年高考上海卷)点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1。

4.1.2圆的一般方程

问题2.方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示什么图形: (1)若D + E − 4F > 0, 则表示________;
2 2
Hale Waihona Puke (2)若D2 + E2 − 4F = 0,则表示________;
(3)若D + E − 4F < 0,则表示________.
2 2
二、新课讲解
圆的一般方程x + y + Dx + Ey + F = 0 (D + E − 4 F > 0) :
二、新课讲解
练. 1已知四边形OABC的四个顶点坐标分别为 (−3, A 1), B(−8,−4), C(0,−8), 其中O为坐标原点，试判别四边形OABC有没有外接圆？若有求出外接圆方程 , ; 若没有说明理由 , .
例．圆 2 + y2 − 2x + 4y +1 = 0上点原 O的的到点 2 求 x 距的大 . 离最值
G S
P
三、总结作业
G S P
二、新课讲解
练2. 已知 (3,0)是圆 + y −8x − 2y +12 = 0 P x 内一点 , 那么过 P且被圆截得点的弦最短 , 求弦所时在的直线方程 .
2 2
G S
P
例. 3已知线段的 AB 端点的 B 坐标 (4,3), 端 A在圆是点 (x +1)2 + y2 = 4上运动，求线段的 AB 中点的 M 轨迹方程 .
2 2 2 2
(1)圆标方与般程何互化? 的准程一方如相转 (2)圆标方与般程有么点? 的准程一方各什特 (3)圆标方与般程何当用的准程一方如恰选 ?

高中-数学-通用版-4.1.2 圆的一般方程(二)

4.1.2 圆的一般方程（二）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的一般方程是（） A. x 2+y 2+2x ﹣2y +1=0 B. x 2+y 2﹣2x +2y +1=0 C. x 2+y 2+2x ﹣2y =0D. x 2+y 2﹣2x +2y =02、已知点P 是圆x 2+y 2﹣4x +3=0上的任意一点，那么点P 与原点距离的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43、圆x 2﹣6x +y 2﹣16=0的周长是（）A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π4、已知方程()2213104x y kx k y +++-+=表示圆，则实数k 的取值范围是（）A. k ＞3B. k ≤﹣2C. ﹣2＜k ＜3D. k ＞3或k ＜﹣25、已知点M （3，1）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0外，则k 的取值范围是（）A. 162k -<<B. 162k k <->或 C. k ＞﹣6D. 12k <6、与圆x 2+y 2﹣4x +6y +3=0同圆心，且过（1，﹣1）的圆的方程是（） A. x 2+y 2﹣4x +6y ﹣8=0 B. x 2+y 2﹣4x +6y +8=0 C. x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣8=0D. x 2+y 2+4x ﹣6y +8=07、方程ax 2+ay 2﹣4（a ﹣1）x +4y =0表示圆，则实数a 的取值范围是（） A. RB. （﹣∞，0）∪（0，+∞）C. （0，+∞）D. （1，+∞）8、若圆O ：x 2+y 2=4与圆C ：x 2+y 2+4x ﹣4y +4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）A. x +y =0B. x ﹣y =0C. x +y +2=0D. x ﹣y +2=09、圆：x 2+y 2﹣4x +6y =0的圆心坐标和半径分别为（）A. （﹣2，3），13B. （﹣2，3）C. （2，﹣3）D. （2，﹣3），1310、方程x 2+y 2﹣ax +2y +1=0不能表示圆，则实数a 的值为（）A. 0B. 1C. ﹣1D. 2二、填空题：请将答案填在题中横线上．11、若圆x 2+y 2+2x ﹣2y +F =0的半径为1，则F =______．12、过圆C：x2+y2+2x﹣1=0的圆心，且斜率为1的直线方程为______．13、圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是______，半径是______．14、若方程x2+y2+x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为______．15、已知实数x，y满足x2﹣4x+3+y2=0，则21x yx++-的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、已知A（3，7）、B（3，﹣1）、C（9，﹣1），求△ABC的外接圆方程．17、已知方程x2+y2﹣2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．18、求圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程．19、求下列圆的方程：（1）求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的一般方程；（2）求圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．答案第1页，共4页参考答案1、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】根据题意，要求圆的圆心为（1，﹣1），且过原点，且其半径r == 则其标准方程为（x ﹣1）2+（y +1）2=2，变形可得其一般方程是x 2+y 2﹣2x +2y =0，选D ． 2、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程，点与圆的位置关系.【解答】易知原点在圆x 2+y 2﹣4x +3=0外，又原点到圆心（2，0）的距离为2，半径为1，∴点P 与原点距离的最小值为2﹣1=1．选A. 3、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆x 2﹣6x +y 2﹣16=0化为标准方程是（x ﹣3）2+y 2=25，∴圆的半径是r =5，周长是2πr =10π．选B. 4、【答案】D【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件. 【解答】∵方程()2213104x y kx k y +++-+=表示圆，∴2213(1)44k k +--⨯>0，即2k 2﹣2k ﹣12＞0，k 2﹣k ﹣6＞0，解得k ＞3或k ＜﹣2．选D ． 5、【答案】A【分析】本题考查点与圆的位置关系，二元二次方程表示圆的条件.【解答】根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0，则4+16﹣4（2k +4）＞0，解得k 12<①；若点M （3，1）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y +2k +4=0外，则9+1﹣6+4+2k +4＞0，即2k +12＞0，解得k ＞﹣6②，综合①②可得：﹣6＜k 12<，选A. 6、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】由圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +3=0，得（x ﹣2）2+（y +3）2=10， ∴圆C 的圆心坐标为C （2，﹣3），∵过M （1，﹣1），∴|CM|==x 2+y 2﹣4x +6y +3=0同圆心，且过（1，﹣1）的圆的方程是（x ﹣2）2+（y +3）2=5．即x 2+y 2﹣4x +6y +8=0．选B.7、【答案】B【分析】本题考查点二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵a≠0时，方程为[x22aa--]2+（y2a+）2()22422a aa-+=，由于a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1＞0恒成立，∴a≠0且a∈R时方程表示圆，选B．8、【答案】D【分析】本题考查关于直线对称的圆的方程.【解答】由于圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为x﹣y+2=0，选D. 9、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆：x2+y2﹣4x+6y=0，即圆：（x﹣2）2+（y+3）2=13，故圆心坐标和半径分别为（2，﹣3） C.10、【答案】A【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x2+y2﹣ax+2y+1=0转换为标准式为：222()(1)24a ax y-++=，由于该方程不能表示圆，故a=0，选A.11、【答案】1【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由圆x2+y2+2x﹣2y+F=0，得半径r1==，解得F=1．故答案为：1．12、【答案】x﹣y+1=0【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化.【解答】圆C：x2+y2+2x﹣1=0化为（x+1）2+y2=2，则圆心为（﹣1，0），∴经过圆心（﹣1，0）且斜率为1的直线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．13、【答案】（﹣1，﹣2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，即（x+1）2+（y+2）2=5，则其圆心坐标位（﹣1，﹣2）（﹣1，﹣2）14、【答案】（﹣∞，12）【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x2+y2+x+y+m=0，即212x⎛⎫++⎪⎝⎭（y12+）212=-m，表示圆，∴12-m＞0，求得m12<，则实数m的取值范围为（﹣∞，12），故答案为：（﹣∞，12）．15、【答案】[73，+∞）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．则21311x y x yx x++-++==--131yx++-，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．设AB的方程为y+3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣3=0，由CB=1，=1，求得k43 =．而AE的方程为x=1，故k+1的范围为[73，+∞），故答案为：[73，+∞）．16、【答案】x2+y2﹣12x﹣6y+20=0或（x﹣6）2+（y﹣3）2=25．【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．将ABC三点坐标代入方程得：222222373703(1)309(1)90D E FD E FD E F⎧++++=⎪+-+-+=⎨⎪+-+-+=⎩，解得12620DEF=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，圆的方程为x2+y2﹣12x﹣6y+20=0或（x﹣6）2+（y﹣3）2=25．17、【答案】（1）﹣1＜t＜1；（2）（x﹣1）2+y2=1．答案第3页，共4页【分析】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆的条件.【解答】（1）由圆的一般方程，得4﹣4t2＞0，∴﹣1＜t＜1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．18、【答案】（x+7）2+（y+1）2=1．【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，关于直线对称的圆的方程.【解答】∵圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0转化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，∴其圆心为（1，3），r=1，设（1，3）关于直线2x+y+5=0对称点为（a，b）．则有32111325022baa b-⎧-⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯++=⎪⎩⇒71ab=-⎧⎨=-⎩，故所求圆的圆心为：（﹣7，﹣1）．半径为1．∴所求圆的方程为：（x+7）2+（y+1）2=1．19、【答案】（1）x2+y2﹣8x+6y=0；（2）（x﹣1）2+（y+4）2=8．【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程.【解答】（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有20 42200 FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：D=﹣8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0；（2）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为（1，﹣4），∴半径r==，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．。

圆的一般方程练习

4.1.2 圆的一般方程练习一一、选择题1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（）A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x －y+1=0 +y+1=0－y －1=0 +y －1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（）A 、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝04、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（）A 、ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2C 、－2＜ａ＜0D 、－2＜ａ＜325、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（）A 、D=EB 、D=FC 、E=FD 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。

9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。

10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为。

课时作业2：4.1.2　圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程一、基础达标1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是 ( )A ．(2，－1)，3B ．(－2,1)，3C ．(－2，－1)，3D ．(2，－1)，9答案 A解析圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a ＝2或a ＝0.3．(2014·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝F D ．D ＝E ＝F答案 A解析方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A. 4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22答案 A解析直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1， S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．答案 (2，－3)解析由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x 0＋0＝2y 0＋1＝－2，解得⎩⎨⎧x 0＝2y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．6．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝4解析设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 02，即⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.7．(2014·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k . 由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1. ∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0. 二、能力提升8．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 答案 A解析圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.9．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案 B解析设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得 (x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.10．光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________．答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2.11．已知定点A (2,0)，圆x 2＋y 2＝1上有一个动点Q ，若线段AQ 的中点为P ，求动点P 的轨迹．解设动点P 的坐标为(x ，y )，Q (x 1，y 1)，利用中点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋x 12y ＝y 12即⎩⎨⎧x 1＝2x －2y 1＝2y， ∵x 21＋y 21＝1，∴(2x －2)2＋(2y )2＝1，∴动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝14.∴动点P 的轨迹为以(1,0)为圆心，12为半径的长的圆．三、探究与创新12．设A (－c,0)、B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹．解设动点P 的坐标为(x ，y )，由|P A ||PB |＝a (a >0)得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y2＝a 2，化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12. 所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 13．自点A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解法一设坐标原点为O ，连接OP ，则OP ⊥BC . 设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)，是方程①的解，所以弦BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内部分)．法二由法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2. 由圆的定义知，P 点轨迹是以M (2,0)为圆心，2为半径长的圆，故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内部分)．。

2016秋数学人教A版必修2练习：4.1.2 圆的一般方程含解析

［A基础达标］1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为错误!，则a的值为（)A．－2或2 B．错误!或错误!C．2或0 D．－2或0解析：选C。

由圆心（1，2）到直线的距离公式得错误!＝错误!，得a＝0或a＝2。

故选C.2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是（）A．k〉1 B．k〈1C．k≥1 D．k≤1解析：选B.由方程表示圆的条件得16＋4－20k>0。

所以k<1。

3．若圆O:x2＋y2＝4和圆C:x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析:选D。

因为两圆的圆心坐标为O（0，0)和C（－2,2），直线l为线段OC的垂直平分线，所以直线l的方程是x－y＋2＝0。

4．若方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r （r〉0）的圆，则该圆圆心在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D。

因为方程表示的图形是圆，所以a2＋（－2a）2－4（2a2＋3a）>0,即－4〈a<0。

所以圆心坐标为错误!,在第四象限．5．过P（5，4）作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B,则四边形PACB的面积是（）A．5 B．10C．15 D．20解析：选B。

将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋（y－1)2＝5,所以圆C的圆心坐标为C（1，1)，半径为｜CA｜＝错误!，|CP｜＝错误!＝5，在Rt△ACP中，|AP｜＝错误!＝错误!＝2错误!，所以四边形PACB的面积S＝2×错误!|CA｜×|AP｜＝10。

6．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心,4为半径的圆,则F＝________．解析:由－错误!＝2，－错误!＝－4,错误!错误!＝4,解得F＝4。

课时作业14：4.1.2 圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程1.若方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是( ) A.a ＜-2或32>a B.032<<-a C.-2＜a ＜0 D.322<<-a 2.若曲线x 2+y 2+a 2x +(1-a 2)y -4=0关于直线y -x =0对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( ) A.±21 B.±22 C.21或22- D.21-或223.过原点，且在x 、y 轴上的截距分别为p 、q (p ≠0，q ≠0)的圆的方程是( ) A. x 2+y 2-px -qy =0 B. x 2+y 2+px -qy =0 C. x 2+y 2-px +qy =0 D. x 2+y 2+px +qy =04.由方程x 2+y 2+x +(m -1)y +221m =0所确定的圆中，最大面积是( )A.π2 B.3π4C.3πD.不存在 5.已知点(a +1，a -1)在圆x 2+y 2-x +y -4=0的外部，则a 的取值范围是( ) A.(-∞，2-］∪［2，+∞) B.(-∞，2-］∪(2，+∞) C.(-∞，2-)∪［2，+∞) D.(-∞，2-)∪(2，+∞)6.若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y =33x (x ≥0)相切，则这个圆的方程为_____________________.7.圆心在直线4x +y =0上，且与直线l ：x +y -1=0切于点P (3，-2)的圆的方程是____________. 8.已知点P (x 0，y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的外部，过P 作圆的切线，切点为M ，求证：|PM |=F Ey Dx y x ++++002020.9.已知三角形ABC 的三个顶点为A (1，4)、B (-2，3)、C (4，-5)，求三角形ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.10.已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的轨迹.参考答案1. 【答案】D【解析】由二元二次方程表示圆的条件，有a 2+(2a )2-4(2a 2+a -1)>0，解之，可得322<<-a . 2. 【答案】B【解析】曲线表示圆，它关于直线y -x =0对称的曲线仍是其本身，即其圆心在直线y -x =0上，即21222-=-a a ，解得a =±22.3. 【答案】A【解析】由题意，圆过原点，且在x 、y 轴上的截距分别为p 、q ，则圆的圆心坐标为(2,2qp )，且常数项为零，由此可根据选择肢确定选项. 4. 【答案】B【解析】所给圆的半径为r =3)1(2122)1(1222++-=--+m m m .所以当m =-1时，半径r 取最大值23，此时最大面积是3π4. 5. 【答案】D【解析】将圆的一般式方程配方得(21-x )2+(21+y )2=6，点在圆外，需(211-+a )2+(211+-a )2>6，解得a ∈(-∞，2-)∪(2，+∞). 6. 【答案】(x -1)2+(3-y )2=1【解析】若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y =x 33(x ≥0)相切，则圆心在直线y =x 3上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x -1)2+(3-y )2=1.7. 【答案】(x -1)2+(y +4)2=8【解析】设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .则有⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+=+.)2()3(2|1|,0422b a b a b a解得a =1，b =-4.∴圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8.8.【解析】点P 在圆外，由过点P 的直线与圆相切，则切点、圆心与点P 三点组成一个直角三角形，可以应用勾股定理求解.证明：把圆的方程写成标准方程为(2D x +)2+(2E y +)2=4422FE D -+.P 到圆心的距离为2020)2()2(Ey D x +++. 由勾股定理得|PM |2+202022)2()2(44Ey D x F E D +++=-+. 整理得|PM |2=2020y x ++Dx 0+Ey 0+F .∴|PM.9.【解析】本题的思路之一：因为已知圆上三点坐标，可直接设圆的一般方程，代入数值求出答案；另一思路是观察得出三角形ABC 为直角三角形，则由平面几何性质可得出所求圆的方程和外接圆的圆心坐标及半径.解：法一：设三角形ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，有11640,49-230,16254-50,D E F D E F D E F ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得D =-2，E =2，F =-23，所以三角形ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x +2y -23=0，即(x -1)2+(y +1)2=25，所以外心坐标为(1，-1)，外接圆半径为5. 法二：由题意可得k AB =31，k AC =-3，知三角形ABC 为直角三角形，故外心是斜边即线段BC 的中点(1，-1)，半径为21｜BC ｜=5，外接圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=25. 10.【解析】这是一道求动点轨迹方程问题，设出动点M 的坐标，可由题意列式21||||=MA MO .代入两点间距离公式，直接写出方程，化简即可得到最终结果.要注意最后是否需要检验.同时要区分轨迹与轨迹方程的不同要求.解：在给定的坐标系中，设M (x ，y )是曲线上的任意一点，点M 在曲线上的条件是21||||=MA MO . 由两点的距离公式，上式用坐标表示为21)3(222=-+x y x . 两边平方并化简，得曲线方程x 2+y 2+2x -3=0.将方程配方，得(x +1)2+y 2=4. ∴所求曲线是圆心为C (-1，0)，半径为2的圆，如图.。

高中数学同步练习圆的一般方程

第四章 4.1.2A 级基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3)D ．(2,－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13,可知圆心坐标为(2,－3)．2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称,则k,b 的值分别为( A )A ．12,－4 B ．－12,4C ．12,4 D ．－12,－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直,且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心,∴⎩⎪⎨⎪⎧k·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y ＝x －2上,则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知,圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上,又在直线y ＝x －2上,∴圆心C(3,1),半径r ＝|MC|＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C(2,－3),且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,因为圆C 经过原点,所以F ＝0,又圆心为(2,－3),所以D＝－4,E ＝6.因此,所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22,则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5,则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22,得|1－2＋a|2＝22,∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1),半径r ＝2,圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0),故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆,则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0,解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则12＋22－a －2×2＋2＞0,解得a ＜3,所以实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1,易知圆心C(－2,6),半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C′：(x －a)2＋(y －b)2＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1,即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径． [解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0, 可知D ＝－4m,E ＝2m,F ＝20m －20,∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2,因此,当m ＝2时,D 2＋E 2－4F ＝0,它表示一个点,当m≠2时,D 2＋E 2－4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2,因此,当m ＝2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程．此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1,线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0,得圆心坐标为M(1,－1),半径r ＝|MA|＝5,∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,－32b),则a<0,b>0.直线y ＝－1a x －b a ,其斜率k ＝－1a >0,在y 轴上的截距为－ba >0,所以直线不经过第四象限,故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝210.BD 是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC ⊥BD,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),∴(1－a)2＋(0－b)2＝1,即(a －1)2＋b 2＝1,故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长,则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意,得直线l 过圆心M(－2,－1), 则－2a －b ＋1＝0,则b ＝－2a ＋1,所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5, 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上,则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心, ∴－1＋a2＋2＝0,∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02,表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方,得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,3为半径的圆,而原点的圆内．连接CO 交圆于点M,N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，,由①－③,得a＝1,代入②,得(1－b)2＝r 2,结合①,得b ＝0,所以r 2＝1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0),知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC,又圆过点C(1,1),BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,BC 所在直线的斜率k BC ＝－1,所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4,过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 为AB 的中点,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x,y)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)．因为A 、B 在圆上,所以x 21＋y 21＝4,x 22＋y 22＝4, 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0,所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时,有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0,①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时,点A 、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆,则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0, 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0, 整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r≤477.(3)设圆心坐标为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1,∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

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