高二数学必修五限时训练
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案2.doc
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】双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2， n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)， ∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C 2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
高中数学必修5限时训练与单元测试(25份)
双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A BC ＝a bc .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③不正确，④⑤正确． 答案 B2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC 中，已知b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a 等于( ) A.6－22 B.6＋22 C.2＋1D ．3－ 2解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝b sin Asin B，得a＝6＋22.答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23a sin B，cos B＝cos C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sin A＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2b sin A，∴3sin A＝2sin B sin A.∵sin A≠0，∴sin B＝32，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.答案 D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sin A－sin Bsin C＝________.解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4. ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13.∴1－2sin 2A ＝13.∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63， 由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2. 由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)， ∴m ·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C . 又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a＋b＝112.双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22. 又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc 2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( )A ．32 2B ．16 2C ．4 2D ．16解析 由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin Acos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析 由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析 如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC ＝AB sin ∠BAC sin C＝10×2212＝102(m)． 答案 C6．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－513，则sin B ＝________.解析 ∵cos A ＝－513，∴sin A ＝1213. 由正弦定理，可得3sin A ＝2sin B ， ∴sin B ＝2sin A 3＝23×1213＝813. 答案 8137．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析 如图所示，设O A →表示水流方向，O B →为船航行方向．则O C →为船实际航行方向．由题意，知|A C →|＝43，|O A →|＝23，∠OAC ＝60°， 在△OAC 中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×1＝36.2∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.双基限时练(五)1．如图，B ，C ，D 三点在地面同一直线上，CD ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A 离地面的高度等于( )A.a sin αcos βcos (α－β) B.a cos αsin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α)D.a sin αsin βsin (β－α)解析 在△ACD 中，由正弦定理， 得AC sin α＝CD sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin β＝a sin αsin βsin (β－α).答案 D2．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为( )A ．20(1＋3) mB ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 mC ．20(6＋2) mD ．10(6＋2) m解析 如图所示，易知AD ＝CD ＝AB ＝20(m)，在Rt △ADE 中，DE ＝AD tan60°＝20 3 (m)． ∴塔吊的高度为CE ＝CD ＋DE ＝20(1＋3)(m)． 答案 A3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 m B.40033 m C.20033 mD.2003 m解析 由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为2003，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m ，则200－x ＝2003×33，∴x ＝4003 m.答案 A4．如图，一船从C 处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝12BD＝5.故这只船的速度是10海里/小时．答案 C5．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为()A．18 3 m B．20 3 mC．32 m D．24 3 m解析在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝AD tan60°＝3AD.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝3AD.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，，即242＝AD2＋3AD2－2×3AD2×32∴AD＝24.故CD＝243(m)．答案 D6．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝旋转后的方向走 3 km后他离最开始的出发点恰好为 3 km，那么x的值为________．解析如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC ＝30°.由余弦定理，得(3)2＝32＋x2－2×3×x cos30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检验都适合题意．答案3或2 37．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析 由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°.由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB ·sin ∠BAC ＝30sin15°·sin30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.答案 无8．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲梯顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．解析在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝AB tan30°＝8 3.在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BD tan30°＝8.∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．答案329．甲船自某港出发时，乙船在离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？解如图所示，甲船由A港沿AE方向行驶，乙船由D处向A港行驶，显然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．∴s＝2时，BC最小为21，此时AB＝5，AC＝4.即甲船离港4海里，乙船离港5海里．故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港5海里．10.如图，甲船在A 处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的3倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？解 设到C 点甲船遇上乙船， 则AC ＝3BC ，B ＝120°， 由正弦定理，知BC sin ∠CAB＝AC sin B ，即1sin ∠CAB ＝3sin120°，sin ∠CAB ＝12.又∠CAB 为锐角， ∴∠CAB ＝30°.又C ＝60°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝10， 又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°， ∴AC ＝103(海里)，因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了103海里．双基限时练(六)1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ， ∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin120°sin30°＝6 3. 又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3. 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab <c 2，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．形状无法判定解析 由a 2＋b 2＋ab <c 2，得a 2＋b 2－c 2<－ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <－12.又cos120°＝－12，∴C >120°，故△ABC 为钝角三角形． 答案 A3．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3B ．1C.33D.32解析 由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32，得BA ＝1， 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B . ∴AC ＝3，∴AC 2＋BA 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角． ∴tan C ＝AB AC ＝33. 答案 C4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则该三角形的面积是( )A ．6 B.152 C ．8D ．10解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35，或x ＝2(舍去)．∴cos α＝－35，sin α＝45，∴S △＝12×3×5×45＝6.答案 A5．△ABC 中，A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．7B ．25C ．55D ．49解析 由S ＝220 3，得12bc sin A ＝220 3.即12×16×c ×32＝220 3，∴c ＝55. ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝162＋552－2×16×55×12＝2401.∴a ＝49. 答案 D6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋9－2×3×3×32＝3，∴c ＝ 3.又a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin Cc ＝3·123＝12，∴a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案 30°7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.解析 ∵(3b －c )cos A ＝a cos C ， ∴由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C .∴3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∴cos A ＝33.答案 338．在△ABC 中，a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B ＝________. 解析 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得bc ·cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，同理ac ·cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)．∴a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B＝a 2－b 2＋12(b 2＋c 2－a 2)－12(a 2＋c 2－b 2)＝a 2－b 2＋b 2－a 2＝0. 答案 09．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c ＝4，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )．又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案 239310．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ； (2)求边a 的长．解 (1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60°. (2)由余弦定理，可知 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0. 所以a ＝5，或a ＝－1(舍)． 因此所求角C ＝60°，边a 长为5.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6， ∴a ＝433，b ＝233.∴△ABC 的面积S ＝12·a 2－b 2·b ＝23 3. 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，知b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.12．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos A ＝1213，∴sin A ＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，∴bc ＝12×13. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝bc cos A ＝144. (2)由(1)知bc ＝12×13，又c －b ＝1， ∴b ＝12，c ＝13.在△ABC 中，由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝122＋132－2×12×13×1213＝25，∴a ＝5.双基限时练(七)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝n C. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D2．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 答案 C4．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图形表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等 D ．数列可能没有通项公式 答案 C5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1＝a n ＋3， ∴数列{a n }是递增数列． 答案 A6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2) D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)解析 把数的前5项代入验证，知a n ＝a n －1＋n 适合． 答案 B7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，….答案 38．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，解得n ＝10，或n ＝52(舍去)，∴a 10＝0.08. 答案 109．若数列的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.解析 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案 3－4n 1510．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析 由a n ＝n 2－8n ＋12<0， 得(n －2)(n －6)<0， ∴2<n <6，又n ∈N ＋， ∴n ＝3,4,5共3项． 答案 311．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝2nn ＋1.解 (1)∵a n ＝(－1)n ＋2，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1. ∴数列的前5项是1,3,1,3,1. 图象如图①.① ②(2)数列{a n }的前5项依次是：1，43，32，85，53.图象如图②. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？ (3)求证：0<a n <1.解 (1)a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3，∴710为数列{a n }中的项，为第3项． (3)证明：a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1.∵n ∈N *，∴3n ＋1>3.∴0<33n ＋1<1，∴0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.双基限时练(八)1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．0,0,0，…，0，…B ．－2，－1,0，…，n －3，…C ．1,3,5，…，2n －1，…D ．0,1,3，…，n 2－n2，… 答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2009－7n ，则使a n <0的最小n 的值为( )A ．286B ．287C ．288D ．289答案 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 解析⎩⎨⎧a 7＋a 9＝16，a 4＝1，⇒⎩⎨⎧2a 1＋14d ＝16，a 1＋3d ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－174，d ＝74.∴a 12＝－174＋11×74＝15. 答案 A4．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为( )A ．5x ＋5B ．2x ＋1C ．5D ．4解析 由等差中项，得2(2x ＋1)＝x ＋4x ＋2 ∴x ＝0，∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝4. 答案 D5．若{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q 2解析 依题意，得a p ＝a 1＋(p －1)d ＝q ， a q ＝a 1＋(q －1)d ＝p ，∴p －q ＝(q －p )d ，∴d ＝－1，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)(－1)＝0. 答案 B6．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析 依题意，得m ＋2n ＝8,2m ＋n ＝10， 两式相加m ＋n ＝6，∴m 和n 的等差中项为3. 答案 B7．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析由⎩⎨⎧a 5＝10，a 12＝31，⇒⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，⇒⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3.答案 －2 38．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N *)，且f (2)＝2，则f (101)＝________. 解析 令a n ＋1＝f (n ＋1)，则 a n ＋1＝a n －14，且a 2＝2， ∴a 2＝a 1－14，∴a 1＝94.∴a n ＝94＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52－14n .∴f (101)＝a 101＝52－14×101＝－914. 答案 －9149．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 由a n －1＋a n ＋1＝2a n ，得 a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． ∴数列{a n }是等差数列．又a 1＝1，a 2＝3，∴d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －110．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.解 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意，得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解得a 1＝4，d ＝32. ∴a n ＝4＋32(n －1)＝32n ＋52. ∴a 25＝32×25＋52＝40.11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．解 (1)由a 1＝3，d ＝7－3＝4， n ＝4，得a 4＝3＋(4－1)×4＝15； n ＝10时，得a 10＝3＋(10－1)×4＝39.(2)由a 1＝2，d ＝9－2＝7，得这个数列的通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100， 解得n ＝15∈N *，∴100是这个数列的第15项．12．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？解设从2007年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为a n万平方米．由题意，得{a n}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.所以a n＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.令350＋50n>820，解得n>475.由于n∈N*，则n≥10.所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．双基限时练(九)1．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．－12解析 2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0. 答案 C2．已知等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45 解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝13， 又a 1＝2，∴d ＝3， ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3(2＋12)＝42. 答案 B4．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案 A5．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析 由已知，可得a 51＝0，∴a 3＋a 99＝2a 51＝0. 答案 C6．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析 令c n ＝a n ＋b n ，则{c n }也为等差数列，c 1＝a 1＋b 1＝100，∴c 2＝a 2＋b 2＝100，∴c n ＝100，∴c 37＝a 37＋b 37＝100.答案 C7．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝________. 解析 a 8＝a 3＋5d ， ∴d ＝a 8－a 35＝－20－105＝－6. 答案 －68．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.解析 a 5＋a 8＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18.答案 189．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析 依题意得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等差数列，且公差d ＝1.又a 11＝1，∴a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n 2.答案 n 210．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，a n ＝17－2n ，则过(3，a 2)、(4，a 4)两点的直线的斜率为________．解析 ∵a 1＝15，a n ＝17－2n ， ∴a 2＝17－4＝13，a 4＝17－8＝9.∴过点(3,13)、(4,9)两点的直线的斜率为k ＝9－134－1＝－4.答案 －411．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1. (1)求{b n }的通项公式；(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由． 解 (1)∵a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1， ∴b 1＝a 1＝1，b 2＝a 3＝5，b 3＝a 5＝9，…，b n ＝a 2n －1＝2(2n －1)－1＝4n －3.(2)由b n ＝4n －3，知b n －1＝4(n －1)－3＝4n －7. ∵b n －b n －1＝(4n －3)－(4n －7)＝4， ∴{b n }是首项b 1＝1，公差为4的等差数列．12．已知f (x )＝x 2－2x －3，等差数列{a n }中，a 1＝f (x －1)，a 2＝－32，a 3＝f (x )．求：(1)x 的值； (2)通项a n .解 (1)由f (x )＝x 2－2x －3， 得a 1＝f (x －1)＝(x －1)2－2(x －1)－3 ＝x 2－4x ，a 3＝x 2－2x －3，又因为a 1，a 2，a 3成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3，即－3＝x 2－4x ＋x 2－2x －3， 解得x ＝0，或x ＝3.(2)当x ＝0时， a 1＝0，d ＝a 2－a 1＝－32， 此时a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－32(n －1)； 当x ＝3时，a 1＝－3，d ＝a 2－a 1＝32，。
高中数学必修五练习册(课时专项训练)打印
1.1.1正弦定理（课时作业A ）一、 选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）1、在ABC ∆中，下列式子与sin aA相等的是 （ ） A 、b c B 、cos b b C 、sin sin B C D 、sin bB2、在ABC ∆中，已知c=10，∠A ＝30o，则∠B 等于 （ ）A.105oB. 60oC. 15oD.105o 或15o3、在ΔABC 中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b= ( )A B ． C ．．4、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. 30,14,7===A b a ，有两解B.150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解 5、在ABC ∆中，sin sin A B =,则ABC ∆是 （ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形6、在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA7、在ABC ∆中，若15,10,60a b A ︒===则cos B 等于 （ ）A 、3-B 、3C 、3-D 、3二、 6、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 1、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于 .2、在中ABC ∆，AB=,75C 45A 3︒=∠︒=∠，，则BC 的长度是3、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是 .4、在ABC ∆中，若,22a A B ==则cos B . 5、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 .三 、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）1、在ABC ∆中，已知30,33,3===B c b ,解此三角形。
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】双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A sin B sin C ＝a bc .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③不正确，④⑤正确． 答案 B2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC 中，已知b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a 等于( ) A.6－22 B.6＋22 C.2＋1D ．3－ 2解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝b sin Asin B，得a＝6＋22.答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23a sin B，cos B＝cos C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sin A＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2b sin A，∴3sin A＝2sin B sin A.∵sin A≠0，∴sin B＝32，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.答案 D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sin A－sin Bsin C＝________.解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4，∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13.∴1－2sin 2A ＝13.∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63， 由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( )A ．32 2B ．16 2C ．4 2D ．16解析 由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin Acos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6D ．4 6解析 由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析 如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC＝AB sin∠BACsin C＝10×2212＝102(m)．答案 C6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－513，则sin B＝________.解析∵cos A＝－513，∴sin A＝1213.由正弦定理，可得3sin A＝2sin B，∴sin B＝2sin A3＝23×1213＝813.答案8137．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析如图所示，设O A→表示水流方向，O B→为船航行方向．则O C→为船实际航行方向．由题意，知|A C→|＝43，|O A→|＝23，∠OAC＝60°，在△OAC中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×1＝36.2∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案 1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
高中数学必修5课后限时训练25 不等式章末检测卷
高中数学必修5课后限时训练25 不等式章末检测卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N答案：A解析：M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N . 2．若a <b <0，则下列不等关系中，不能成立的是( )A.1a >1b B ．1a －b >1aC ．a 13<b 13D ．a 23>b 23答案：B解析：∵a <b <0，∴a －b <0，由1a －b >1a，得a >a －b ，即b >0，与b <0矛盾． 3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >3}B ．{x |x <－2或1<x <3}C ．{x |－2<x <1或x >3}D ．{x |－2<x <1或1<x <3}答案：C解析：原不等式可化为(x ＋2)(x －1)(x －3)>0，则该不等式的解集为{x |－2<x <1或x >3}．4．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m ≤0D ．m ≤－3或m ≥0答案：A解析：∵y ＝x 2－4x 在[0,1]上单调递减，∴y min ＝1－4＝－3.又∵不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，∴m ≤－3.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1 C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 答案：B解析：∵x 2y 2≤(x 2＋y 22)2＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴1－x 2y 2≥34≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1. 6．设x >0，y >0，a ＝x ＋y 1＋x ＋y ，b ＝x 1＋x ＋y 1＋y，a 与b 的大小关系( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B解析：∵x ＋y ＋1>0，b (1＋x ＋y )＝x 1＋x (1＋x ＋y )＋y 1＋y (1＋x ＋y )＝x ＋xy 1＋x ＋xy 1＋y＋y >x ＋y ， ∴b >x ＋y 1＋x ＋y＝a . 7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－12答案：A解析：∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．8．若x ∈(0，12)时总有log a 2－1(1－2x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．|a |<1 B ．|a |<2C ．|a |>2D ．1<|a |<2答案：D解析：∵x ∈(0，12)，∴0<1－2x <1. 又∵此时总有log a 2－1(1－2x )>0，∴0<a 2－1<1，∴1<|a |< 2.9．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．－12C ．2D ．－5 答案：A解析：作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.10．下列函数中，最小值是4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案：C解析：当x ＜0时，y ＝x ＋4x≤－4，排除A ； ∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4ex 即e x ＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D. 11．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3答案：D解析：本题考查指数函数与幂函数的单调性．∵a x <a y (0<a <1)，∴x >y ，而幂函数y ＝x 3在定义域上为增函数，∴x 3>y 3.12．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13] B ．[－12，13] C ．[－12，＋∞) D ．[－12，1) 答案：D解析：所求问题转化为求动点(x ，y )与定点(－1,1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤w <1.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案：2 解析：由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2，∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2，∴m ＝2.14．若点(x ，y )在第一象限，且在直线2x ＋3y ＝6上移动，则log 32x ＋log 32y 的最大值是__________． 答案：1解析：由题意x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴u ＝log 32x ＋log 32y ＝log 32(x ·y )＝log 32[16(2x ·3y )] ≤log 32[16(2x ＋3y 2)2]＝1， 等号在2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时成立． 15．不等式(m ＋1)x 2＋(m 2－2m －3)x －m ＋3＞0恒成立，则m 的取值范围是__________．答案：[－1,1)∪(1,3) 解析：m ＋1＝0时，m ＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m ＋1≠0时，要使不等式恒成立须⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0△<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0(m 2－2m －3)2－4(m ＋1)(－m ＋3)＜0 ， ∴－1＜m ＜3且m ≠1.综上得－1≤m ＜3且m ≠1.16．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．答案：24m 18m解析：设鱼池的长宽分别为x m ，y m ，∴xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．解析：由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2.Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0，∴k 2≥12. ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2)＝6k 2－2≥6×12－2＝1. ∴x 21＋x 22的最小值为1. 18．(本题满分12分)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252. 证明：∵ab ≤a ＋b 2＝12， ∴ab ≤14，∴1ab≥4， ∴(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥2(a ＋1a ＋b ＋1b 2)2 ＝2(1＋a ＋b ab 2)2＝2(1＋1ab 2)2≥2(1＋42)2＝252，当且仅当a ＝b ＝12，a ＋1a ＝b ＋1b时，等号成立． 19．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3.当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0，∴x <14，故m ＝－1不满足题意． 当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3. 综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3. 20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解析：(1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧ y －(1.2－1)×1 000>00<x <1， 即⎩⎨⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13. 21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式ax x －2>1 . 解析：a ＝0时，∅ax x －2>1⇔(a －1)x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0.∵a ＜1，∴a －1＜0.∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a>2， ∴不等式的解为2<x <21－a； 当a <0时，1－a >1，∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2， ∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅.22．(本题满分14分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．解析：设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0.(1)当m ＋1>0时，可画简图： 则⎩⎨⎧ m ＋1>0f (1)<0f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎨⎧ m ＋1<0f (1)>0f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1.由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。
高中数学必修5课后限时训练20 数列复习题
高中数学必修5课后限时训练20 数列复习题一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．151答案：B解析：∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1答案：B解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368答案：B解析：由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.4．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为( )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－3答案：B解析：设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2b 1＝3. 5．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( ) A ．65 B ．56C ．20D ．110答案：B解析：由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n·a 1＝a 1·q n ＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56. 6．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84答案：C解析：由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________.答案：0解析：∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29D ．∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0. 8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：4解析：本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n . 解析：由S n ＝10n －n 2可得，a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2.n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2 (n ≤5)，50－10n ＋n 2 (n ≥6). 10．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．解析：(1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n ＝13S n －1 ② ①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2). (3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432 ＝37[(43)2n －1]．。
高中数学必修5限时训练双基限时练13
双基限时练(十三)1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B.32 C.169D ．2解析 a 6·q 3＝a 9，∴q 3＝a 9a 6＝32，∴a 3＝a 6q 3＝6×23＝4.答案 A2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析 由等比数列的性质，知 a 1·a 2·a 3…a 10＝(a 5·a 6)5＝95＝310，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2…a 10)＝log 3310＝10. 答案 B3．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( )A.22B.255C.1－52D.5－12 解析 由a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＝a n q ＋a n q 2. ∵a n >0，∴q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12.答案 D4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6a19等于( )A.32B.23C.16D ．6解析 ∵a 7·a 14＝a 4·a 17＝6， a 4＋a 17＝5，且a n >a n ＋1， ∴a 4＝3，a 17＝2，∴q 13＝a 17a 4＝23.∴a 6a 19＝a 6a 6q 13＝1q 13＝32.答案 A5．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( )A ．48B ．72C ．144D ．192解析 a 6·a 7·a 8＝(a 5·a 6·a 7)q 3 ∴24＝3q 3，∴q 3＝8，∴a 7·a 8·a 9＝(a 6·a 7·a 8)q 3＝24×8＝192. 答案 D6．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析 依题意，知a k ＝a 1＋(k －1)d ＝9d ＋(k －1)d ＝(k ＋8)d ，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.又a2k＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.即k2－2k－8＝0.∴k＝4，或k＝－2(舍去)．答案 B7．已知{a n}是等比数列，若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.解析∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25.又a n>0，∴a3＋a5＝5.答案 58．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a n＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.答案169．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n}，(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a210＝[2(2)9]2＝4×29＝2048.答案204810．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么 a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18，② ②÷①得 q ＝32.③ 把③代入①得 a 1＝163. 因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8， a n ＝a 1·q n －1＝163·(32)n －1，所以数列的第1项和第2项分别为163和8，通项公式为a n ＝163(32)n－1.11．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解 由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2.故这三个数可表示为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )． 解得d ＝6或d ＝0(舍去)． 此时三个数为－4,2,8.②若2为等比中项，则有22＝(2－d )(2＋d )．解得d ＝0(舍去)． ③若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.综上可知，这三个数是8,2，－4.12．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；(3)当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.① 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.② 而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5.∴由①与②解得a 3＝4，a 5＝1. ∴q 2＝a 5a 3＝14，q ＝12.∴a 1＝16.∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝4.∴数列{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列． ∴S n ＝n (9－n )2.(3)由S n n ＝9－n 2，得当n ≤8时，S nn >0， 当n ＝9时，S n n ＝0，当n >9时，S nn <0， ∴当n ＝8或n ＝9时，S 11＋S 22＋…＋S nn 最大．。
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】双基限时练(六)1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ， ∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin120°sin30°＝6 3. 又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3. 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab <c 2，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．形状无法判定解析 由a 2＋b 2＋ab <c 2，得a 2＋b 2－c 2<－ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <－12.又cos120°＝－12，∴C >120°，故△ABC 为钝角三角形． 答案 A3．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3B ．1C.33D.32解析 由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32，得BA ＝1， 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B . ∴AC ＝3，∴AC 2＋BA 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角． ∴tan C ＝AB AC ＝33. 答案 C4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则该三角形的面积是( )A ．6 B.152 C ．8D ．10解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35，或x ＝2(舍去)．∴cos α＝－35，sin α＝45，∴S △＝12×3×5×45＝6.答案 A5．△ABC 中，A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．7B ．25C ．55D ．49解析 由S ＝220 3，得12bc sin A ＝220 3.即12×16×c ×32＝220 3，∴c ＝55. ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝162＋552－2×16×55×12＝2401.∴a ＝49. 答案 D6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋9－2×3×3×32＝3， ∴c ＝ 3.又a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin Cc ＝3·123＝12，∴a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案 30°7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.解析 ∵(3b －c )cos A ＝a cos C ， ∴由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C .∴3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∴cos A ＝33.答案 338．在△ABC 中，a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B ＝________. 解析 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得bc ·cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，同理ac ·cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)．∴a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B＝a 2－b 2＋12(b 2＋c 2－a 2)－12(a 2＋c 2－b 2)＝a 2－b 2＋b 2－a 2＝0. 答案 09．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c ＝4，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )．又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案 239310．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ； (2)求边a 的长．解 (1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60°. (2)由余弦定理，可知 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0.所以a ＝5，或a ＝－1(舍)． 因此所求角C ＝60°，边a 长为5.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6， ∴a ＝433，b ＝233.∴△ABC 的面积S ＝12·a 2－b 2·b ＝23 3. 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，知b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.12．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos A ＝1213，∴sin A ＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，∴bc ＝12×13. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝bc cos A ＝144. (2)由(1)知bc ＝12×13，又c －b ＝1， ∴b ＝12，c ＝13.在△ABC 中，由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝122＋132－2×12×13×1213＝25，∴a ＝5.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
高中数学必修5限时训练双基限时练17
双基限时练(十七)1．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |解析 由题设，知a >0，c <0，且b >c ，∴ab >ac . 答案 C2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析 借助数轴：∴a >－b >b >－a . 答案 C3．已知a <b <|a |，则以下不等式中恒成立的是( ) A ．|b |<－a B ．ab >0 C ．ab <0D ．|a |<|b |解析 由条件a <b <|a |，知a <0. ∴|a |＝－a ，∴a <b <－a . ∴|b |<|a |＝－a .故A 正确． 答案 A4．若α，β满足－π2<α≤β≤π2，则α－β的取值范围是( ) A ．－π≤α－β<0 B ．－π<α－β≤0 C ．－π<α－β<πD ．－π≤α－β≤π解析 ∵－π2<α≤β≤π2， ∴－π2<α≤π2，－π2≤－β<π2. ∴－π<α－β<π，又α－β≤0， ∴－π<α－β≤0. 答案 B5．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a <－db ，则( ) A ．bc <ad B ．bc >ad C.a c >b dD.a c <b d解析 ∵ab >0，－c a <－db ，∴－bc <－ad ，∴bc >ad . 答案 B6．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题是________． 解析 当c ＝0时，①错； ∵a >|b |≥0⇒a 2>b 2，∴②正确； ∵a >b ⇒a 3>b 3，∴③正确； 当b <0时，④错． 答案 ②③7．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.能推得1a <1b 成立的是________．解析 ①b >0>a ⇒1a <1b ；②0>a >b ，则ab >0，∴1b >1a ； ④a >b >0，则ab >0，∴1b >1a . 答案 ①②④8．如图所示的程序框图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图，阅读下边的程序框图，并回答下面的问题：(1)若a >b >c ，则输出的是__________；(2)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝23，c ＝log 32，则输出的数是__________． 解析 该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中的最大者． ∵a 3＝12，b 3＝827<12，∴a >b ，又3b ＝2，而3c ＝3log 32＝log 38<2，∴b >c ，∴a >b 且a >c ， ∴输出a .答案 (1)a (2)a9．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求α－2β的范围．解 ∵π2<β<π，∴－2π<－2β<－π. 又0<α<π2，∴－2π<α－2β<－π2.10．已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －c ，f (2)＝4a －c ，令f (3)＝9a －c ＝mf (1)＋nf (2)，知m ＝－53，n ＝83.∴f (3)＝83f (2)－53f (1)． ∵－1≤f (2)≤5，∴－83≤83f (2)≤403. 又－4≤f (1)≤－1，∴53≤－53f (1)≤203. ∴－1≤83f (2)－53f 11．已知1<a <2,3<b <4，求下列各式的取值范围． (1)2a ＋b ； (2)a －b ； (3)a b .解 (1)∵1<a <2，∴2<2a <4.又3<b <4， ∴5<2a ＋b <8.(2)∵3<b <4，∴－4<－b <－3.又1<a <2， ∴－3<a －b <－1.(3)∵3<b <4，∴14<1b <13. 又1<a <2，∴14<a b <23.12．已知三个不等式①ab >0，②c a >db ，③bc >ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，能否组成正确的命题？若能，能组成几个？写出所有正确的命题；若不能，说明理由．解 ∵②c a >d b ⇔bc －adab >0， ③bc >ad ⇔bc －ad >0. 根据实数的符号法则有： ①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①. 故能组成三个正确命题，它们分别是：⎭⎬⎫ab >0c a >d b ⇒bc >ad ，⎭⎬⎫ab >0bc >ad ⇒c a >db，⎭⎬⎫c a >d bbc >ad ⇒ab >0.。
高二必修5数学练习题
高二必修5数学练习题一、集合与函数1. 判断下列各题中，A是否是B的子集：(1) A={x|2<x≤3}，B={x|x≤3}(2) A={x|x^23x+2=0}，B={1, 2}2. 求下列函数的定义域：(1) y = √(x^25x+6)(2) y = 1/(x^24)3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(2)和f(1)的值。
二、三角函数1. 已知sinα=3/5，α为第二象限角，求cosα和tanα的值。
2. 求下列函数的值域：(1) y = 2sinx + 1(2) y = 3cosx + 43. 已知tanθ=4，求sinθ和cosθ的值。
三、数列1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n 2，求前5项的和。
2. 已知数列{bn}为等差数列，b1=1，b3=3，求b5的值。
3. 已知数列{cn}为等比数列，c1=2，c3=16，求c6的值。
四、平面向量1. 已知向量a=(2, 3)，求向量a的模。
2. 已知向量b=(3, 4)，求向量b的单位向量。
3. 已知向量a=(4, 5)，向量b=(2, 3)，求向量a与向量b的夹角。
五、解析几何1. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(1, 5)，求线段AB的中点坐标。
2. 已知直线方程为y=2x+1，求该直线与x轴、y轴的交点坐标。
3. 已知圆的方程为(x1)^2 + (y+2)^2 = 16，求圆的半径和圆心坐标。
六、立体几何1. 已知正方体的边长为2，求其对角线的长度。
2. 已知长方体的长、宽、高分别为3、4、5，求其体积。
3. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的侧面积。
七、不等式与不等式组1. 解不等式：2x 3 > x + 12. 解不等式组：\[\begin{cases}x 2y > 4 \\3x + y ≤ 6\end{cases}\]3. 已知不等式a 3b > 2，若a = 5，求b的取值范围。
人教版数学高二必修5限时练 余弦定理(二)
1.1.2 余弦定理(二)一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．1 D.133．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－145．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定6．已知三角形ABC 的三边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( )A ．120°B ．90°C ．150°D ．60°二、填空题7．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.8．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ．则角B ＝________.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．答案精析1．B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.30°8．(2,8) 9.45° 10.411．证明 因为右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ×cos B －sin Bsin C ×cos A＝a c ×a 2＋c 2－b 22ac －b c ×b 2＋c 2－a22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12．解 (1)104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理asin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.13．解 (1)由已知及正弦定理，得sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1，即cos B ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)由题设，b 2＝ac .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.∴(a －c )2＝0.从而有a ＝c . 由(1)知B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．。
人教新课标版数学高二必修5限时练 3.4基本不等式
3.4 基本不等式一、选择题1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－22．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 3．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy≥1 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1 D.145．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab ≥22B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab≥2ab D.2ab a ＋b >ab 6．设0<a <1<b ，则一定有( )A ．log a b ＋log b a ≥2B ．log a b ＋log b a ≥－2C ．log a b ＋log b a ≤－2D ．log a b ＋log b a >2二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为_________________________． 8．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．9．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接)三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？3.4 基本不等式（一）一、选择题1．答案 D解析 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c ) ＝24－23＝2(3－1)＝23－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b≥2b a ·a b＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．4．答案 B解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 5．答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)，∴2ab a ＋b ≤1，2ab a ＋b≤ab . 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．6．答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.二、填空题7． 答案 大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 8．答案 (－∞，2]解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立， ∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.9．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 10．答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n .三、解答题11．证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．12．证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 13．解 设每间虎笼长为x m ，宽为y m.(1)依题意得，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大．(2)依题意得，S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6m ，宽为4m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二 由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长为6m ，宽为4m 时，可使钢筋网总长最小．。
人教新课标版数学高二必修5限时练 1.2应用举例(二)
1.2 应用举例(二)一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33mB ．201＋32m C ．20(1＋3) mD ．30m 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200mB ．300mC ．400mD ．1003m3．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米B.2h 米C.3h 米 D ．22h 米5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15mB ．5mC ．10mD ．12m6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002mB ．400mC ．2003mD ．500m二、填空题 7.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3mm ，BC ＝22mm ，AB ＝29mm ，则∠ACB ＝______________.8．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.若AB ＝BD ，则B 、D 间的距离为________km.三、解答题10．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).11.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．12．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？答案精析 1．A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.3π48．156 9.32＋62010．证明 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB， 即AP sin (180°－γ＋β)＝a sin (γ－α)， AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)， 所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 11．解 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°行走40 m 到达C 处，即BC ＝40，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°， ∴AC ＝20 2.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大， 在△ABC 中，由面积公式知 12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝202×40×sin 15°40＝202sin 15°， ∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202(22×32－22×12)＝10(3－1)． 在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， 所以塔高为(10－1033) m. 12．解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC 12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
人教版数学高二必修5限时练 2.2 等差数列(二)
2.2 等差数列（二）一、选择题1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．42．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148D ．－823．下面是关于公差是d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 44．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．105．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．1或26．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．3007．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－33D ．－3二、填空题8．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.9．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．10．在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，则a m＋n的值为________．三、解答题11．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n.(1)数列{a n}是否为等差数列？说明理由；(2)求a n.13．下表给出一个“等差数阵”：ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2017这个数在等差数阵中所在的一个位置．参考答案一、选择题1．答案B解析由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．答案D解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.3．答案D解析对于p1：a n＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴a n－a n－1＝d＞0，则p1正确；对于p2：na n＝na1＋n(n－1)d，∴na n－(n－1)a n－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．故数列{na n}不一定递增，则p2不正确；对于p3：a nn ＝a1n＋n－1n d，∴a nn－a n－1n－1＝－a1＋dn(n－1)，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{a nn}是递增数列，但d＞a1不一定成立，则p3不正确；对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4. 4．答案 C解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8) ＝12a 6＝8. 5．答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 6．答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450， ∴a 5＝90.∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 7．答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.二、填空题 8．答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15， ∴a 2＝5.∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d ) ＝5(25－d 2)＝80， 又d 为正数， ∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105. 9．答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4. ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴这三个数的积为－21. 10．答案 0解析 方法一 设等差数列的公差为d ， 则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n . 所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 三、解答题11．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 12．解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∵{a n }是正项数列， ∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }是等差数列，公差为1. (2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n 2.13． 解 (1)a 45表示等差数阵中第4行第5列的数，先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意，a 15，a 25，a 35，a 45，…成等差数列， 所以a 45＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该等差数阵的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第j 列是首项为4＋3(j －1)，公差为2j ＋1的等差数列， 则a ij ＝4＋3(j －1)＋(i －1)(2j ＋1)＝2ij ＋i ＋j ＝j (2i ＋1)＋i .要求2017在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得j (2i ＋1)＋i ＝2017， 则j ＝2017－i 2i ＋1.因为j ∈N *，所以当i ＝1时，得j ＝672.所以2017在等差数阵中的一个位置是第1行第672列．。
高中数学必修5课后限时训练3 正、余弦定理的综合应用
高中数学必修5课后限时训练3 正、余弦定理的综合应用题组1：基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：B解析：由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A a ＝cos B b ，∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18答案：C解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：B解析：∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.4．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形答案：B解析：∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .5．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是() A ．x >2 B ．x <2C ．2<x <433 D ．2<x ≤433答案：C解析：欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <A ．即32x <2<x ，∴2<x <433. 6．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案：B解析：∵33＝12×4×3sin C ， ∴sin C ＝32， ∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.答案：0解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为________． 答案：57解析：∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，C ．又b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC ＝57.三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B 2，求三角形各边边长． 解析：∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°.由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac ＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14，∴a ＋c ＝16∴a ，c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10 ， ∴该三角形各边长为14,10和6.10．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析：(1)由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2. 又∵A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＝π2， 即2A ＝π2－B,0<A <π4. 故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33. (2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝3 2.∴S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2. 题组2：能力提升一、选择题1．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C >0B ．cos B ·cosC >0C ．cos A ·cos B >0D ．cos A ·cos B ·cos C >0答案：C解析：由正弦定理得，a <b <c ，∴角C 是最大角，∴角C 为钝角，∴cos C <0，cos A >0，cos B >0.2．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形答案：B解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形．3．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ； ②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ； ④b ＝c sin A ＋a sin C ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．4．△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C 等于( ) A ．32 B ．12C ．33D ．34答案：B解析：由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12. 二、填空题5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．答案：1534解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2＋5BC ，即BC 2＋5BC －24＝0，解之得BC ＝3，所以S ＝12×5×3×sin120°＝1534. 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________． 答案：1解析：如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中，cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x 2， 在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x， ∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x 2＝－x 2－22x， ∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1.三、解答题 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解析：∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ，a ＝4，cos A ＝14， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bC ． 又b ＋c ＝6，∴bc ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8， 得b ＝2，c ＝4，或b ＝4，c ＝2.又∵b <c ，∴b ＝2，c ＝4.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解析：(1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得．12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )， ∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3.(2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝85. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝18＋8325.。
人教版新课标A版高中数学必修5双基限时练及答案7.doc
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】双基限时练(七)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝n C. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D2．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 答案 C4．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图形表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等 D ．数列可能没有通项公式 答案 C5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1＝a n ＋3， ∴数列{a n }是递增数列． 答案 A6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2) D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)解析 把数的前5项代入验证，知a n ＝a n －1＋n 适合． 答案 B7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，….答案 38．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，解得n ＝10，或n ＝52(舍去)， ∴a 10＝0.08. 答案 109．若数列的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.解析 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案 3－4n 1510．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析 由a n ＝n 2－8n ＋12<0， 得(n －2)(n －6)<0， ∴2<n <6，又n ∈N ＋， ∴n ＝3,4,5共3项． 答案 311．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝2nn ＋1.解 (1)∵a n ＝(－1)n ＋2，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1. ∴数列的前5项是1,3,1,3,1. 图象如图①.① ②(2)数列{a n }的前5项依次是：1，43，32，85，53.图象如图②. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？ (3)求证：0<a n <1.解 (1)a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3，∴710为数列{a n }中的项，为第3项． (3)证明：a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1.∵n ∈N *，∴3n ＋1>3.∴0<33n ＋1<1，∴0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.。
高中数学必修5限时训练基限时练12
双基限时练(十二)1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4.A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析 由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列．答案 C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D.12解析 a 6＝a 1q 5＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－1.答案 B3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9. ∵a n >0，∴q ＝3.∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.答案 B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析 由a n ＋1－2a n ＝0，得a n ＋1a n＝2，∴{a n }为等比数列，且公比q ＝2，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1(2＋q )a 3(2＋q )＝a 1a 1q 2＝14.答案 D5．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 312＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝a 1q 6＝64. 答案 A6．已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．解析 由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，∵x ＋1≠0，∴4(x ＋1)＝3x ，∴x ＝－4，∴公比q ＝2x ＋2x ＝－6－4＝32.∴第4项为xq 3＝－4×(32)3＝－272.答案 －2727．2＋3与2－3的等比中项是________． 答案 ±18．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________.解析 根据题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝b 1b 3＝1×4＝4，又b 2>0，∴b 2＝2，∴a 1＋a 2b 2＝52.答案 529．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为________．解析 设等比数列的公比为q ，则q ≠0， a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 答案 a n ＝2×33－n 或a n ＝2×3n －310．已知数列{lg a n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列． 证明：设数列{lg a n }的公差为d ，根据等差数列定义，得lg a n ＋1－lg a n ＝d ，∴lg a n ＋1a n ＝d ，∴a n ＋1a n ＝10d (常数)，∴{a n }是一个以10d 为公比的等比数列．11．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．解 根据题意，设这三个数依次为aq ，a ，aq (aq ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27，a q ＋a ＋aq ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，或⎩⎨⎧a ＝3，q ＝13.∴所求三个数依次为1,3,9或9,3,1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，S 1，S 2，…，S n ，…，成等比数列，试问数列a 2，a 3，a 4，…，a n 成等比数列吗？证明你的结论．解 设a 1＝a ，则S 1＝a 1＝a ，∵{S n }成等比数列，设其公比为q ，则由等比数列的通项公式有S n ＝S 1·q n －1＝aq n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1－aq n －2＝aq n －2(q －1)． a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝aq n －aq n －1＝aq n －1(q －1)．当q ＝1时，{S n }为常数列，此时a n ＝0与题设条件a n ≠0矛盾，故q ≠1.又a n ＋1a n＝aq n －1(q －1)aq n －2(q －1)＝q (n ≥2)，故数列a 2，a 3，a 4，…，a n ，…成等比数列．。
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第1章 1.1 第1课时一、选择题1．在△ABC 中，a ＝10，B ＝60°，C ＝45°，则c ＝______.A ．10＋3B ．10(3－1)C ．10(3＋1)D ．10 3 2．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80° B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60° C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120° 3．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形4．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <22D ．2<x <2 35．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a ＝( ) A.6±22 B.6－22 C.6＋24 D.6＋227．在锐角△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±28．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝sin Cc ，则△ABC 是( )A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A.22 B.24 C.32 D.3＋1410．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 二、填空题11．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边．若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝______.13．在△ABC 中，a ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则a ＝________. 14．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶4∶5，则sin A －sin Bsin C 的值为________．三、解答题15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，一个腰上的高为3，这条高线与底边的夹角为60°，求此三角形的面积．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．17．△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .(1)求A ，B ；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.18.在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3.(1)求sin A的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．第1章 1.1 第2课时一、选择题1．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在2．在钝角三角形ABC中，若sin A<sin B<sin C，则()A．cos A·cos C>0 B．cos B·cos C>0C．cos A·cos B>0 D．cos A·cos B·cos C>03．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于()A．30°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是()A．无解B．一解C．两解D．不能确定5．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π36．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是() A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518 B.34 C.32 D.788．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于() A.833 B.2393 C.2633 D.39269．已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tan B＋tan C＋3＝3tan B·tan C，则△ABC的面积为()A.34B．33 C.334 D.3410．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则角B等于()A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题11．在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，则a、c的长分别为________．12．在△ABC中，已知sin A＝2cos B·sin C，则三角形形状为__________．13．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________．14．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C 的值为________．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝________.三、解答题16．在△ABC中，已知AB＝102，A＝45°，在BC边的长分别为20，2033，5的情况下，求相应角C.17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C的度数；(2)AB的长度．18.在四边形ABCD中，已知BC＝a，DC＝2a，四个内角A、B、C、D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长．第1章 1.1 第3课时一、选择题1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°2．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是()A．(8,10) B．(8，10) C．(8，10) D．(10，8)3．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形4．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <433 D ．2<x ≤4335．已知△ABC 的周长为7.5 cm ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，下列结论： ①a ∶b ∶c ＝4∶5∶6②a ∶b ∶c ＝2∶5∶ 6③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm ④A ∶B ∶C ＝4∶5∶6 其中成立的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若向量a 与b 夹角为π3，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |等于( )A ．0B ．1 C. 2 D ．27．△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.348．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π3，π)9．在△ABC 中，sin B ＝35，cos A ＝513，则cos C 的值为( )A.6365B.1665C.5665 D ．－166510．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题11．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________． 12．(2011·新课标全国文，15)△ABC 中 ，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 13．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边上的中线长为72，那么边BC 的长为__________．三、解答题14．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B2，求三角形各边边长．15．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足B ＝A ＋C2，三边a 、b 、c 满足b 2＝ac .求证：a ＝c .16．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ， 且sin B ＝4cos A sin C ，求b .17.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，判断三角形的形状．第1章 1.2 第1课时一、选择题1．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A.3 B ．23 C ．23或 3 D ．32．如图，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，在下列四组数据中，考虑实际操作的可能性，测量时应当选用数据( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b3．已知△ABC 的三边长a ＝3，b ＝5，c ＝6，则△ABC 的面积是( ) A.14 B ．214 C.15 D ．2154．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km5．已知△ABC 中，a ＝2、b ＝3、B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°6．海上有A 、B 、C 三个小岛，已知A 、B 相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )A ．103海里 B.1063海里 C ．52海里 D ．56海里7．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A、B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里9．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A ，B 两船的距离为( )A ．23kmB ．32km C.15km D.13km10．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，若cos B ＝( ) A.53 B.54 C. 55 D.56二、填空题11．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东075方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.12．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m，则河的宽度是__________．三、解答题13.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)14．如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．第1章 1.2 第2课时一、选择题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20(1＋33)m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m2．△ABC 的对边分别为a 、b 、c 且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 外接圆的直径为( ) A ．4 3 B ．5 C ．5 2D ．6 23．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )A.7kmB.13kmC.19kmD.10－33km5．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m6．如图所示，在山根A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC为( )A ．5002mB ．200mC ．10002mD ．1000m7．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10mC.490013m D ．35m二、填空题8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.9甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．10．如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．三、解答题11．如图所示，两点C ，D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1，D 1，利用高为1.5 m 的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C ，D 间的距离是12 m ，计算烟囱的高AB .第1章 1.2 第3课时一、选择题1．已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，A 为锐角，△ABC 的面积为6，则AB →·BC →的值为( ) A ．16 B ．－6 C ．9D ．02．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( ) A ．20 6B ．25C ．55D ．49 3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和74．△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．85．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15分钟6．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)米B ．5 0002米C ．4 000米D ．4 0002米7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为32，c ＝2，A ＝60°，则a 的值为( )A ．1 B.3 C ．3 D.58．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时B ．346海里/小时 C.1722海里/小时D ．342海里/小时9．在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，则AC 的长为( ) A.61 B ．27 C.53 D.522二、填空题10．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°.则BD 的长为________．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，∠ABC 的平分线交过A 的与BC 平行的直线于D ，则△ABD 的面积为________．三、解答题12．在△ABC 中，C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16. (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式． (2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出最大值．(3)当a 等于多少时，周长l 有最小值？并求出最小值．13．在△ABC 中，c ＝22，a >b ，C ＝π4，且有tan A ·tan B ＝6，求a 、b 及三角形的面积．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝ 3.求(1)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值． (2)△ABC 的内切圆的半径长．15．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以每小时a 海里的速度向北航行，已知甲船速度是每小时3a 海里，问甲船沿什么方向前进，才能与乙船相遇？第一章基本知能达标测控一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。