19版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练64椭圆(二)理
2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-6 椭圆(二)课件 文
九
平面解析几何
章
第六节
椭圆(二)
高考概览 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问 题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合的 思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．已知点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系
[答案] D
3．设 A1、A2 是椭圆x42＋y22＝1 的左、右顶点，P 在椭圆上， 若 kPA1＝2，则 kPA2 的值为________．
[解析]
设 P(x0，y0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，∴kkPPAA12＝＝xx00yy＋－00 22＝2
两式相乘得 2kPA2＝x02y－02 4 又点 P(x0，y0)在x42＋y22＝1 上，∴x20＋2y20＝4 代入上式得 kPA2
＝
0
，
x1
＋
x2
＝
83 5
，
x1x2
＝
8 5
，
由
弦
长
公
式
得
|AB|
＝
1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝85.
[答案]
8 5
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 直线与椭圆的位置关系——常考点 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m
取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4 ＝0，有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第6讲椭圆二课件
3．(2022·河南平顶山模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)与直线 y＝x
＋3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为( )
A.42x52＋y52＝1
B．x52＋y42＝1
C.x92＋y52＝1
D．2x52 ＋2y02 ＝1
答案 B
解析 将直线方程 y＝x＋3 代入 C 的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋
2．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截得的弦长的
最大值是( )
A．2 C．4
B．4 3 3 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x， y)，则x42＋y2＝1，即 x2＝4－4y2，则弦长为 x2＋y－12＝ 4－4y2＋y2－2y＋1 ＝ －3y2－2y＋5，因为－1≤y≤1，所以当 y＝－13时，弦长最大为433.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时， 直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，
y＝2x＋m，
①
得方程组x42＋y22＝1， ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方 程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。
当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第四节 椭圆实用
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
椭圆定义的应用
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解
决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，
[答案] 4 3
求椭圆的标准方程
求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法．根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦 点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法．这种方法是求椭圆方程的常用方法，具 体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后 再根据条件建立关于 a，b 的方程组．如果焦点位置不确定， 要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设 为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2(1．)焦椭点圆在的x标轴准上方的程椭圆的标准方程是__xa_22_＋__by_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22_＋__xb_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
a42＋b32＝1， c2＝a2－b2， ac＝12
得 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1.
[答案] (1)x32＋y22＝1 (2)x82＋y62＝1
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (0＜e ＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆的一条准线，常数e 叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程及几何性质焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2＋x2b 2＝1 (a >b >0) (3)范围 －a ≤x ≤a ， －b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ， －b ≤x ≤b(4)中心原点O (0，0)(5)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )， B 2(0，b )(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2－b 2(9)离心率※(10)准线x ＝±a 2cy ＝±a 2c自查自纠1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率2．(2)x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) (7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(0＜e ＜1)(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解：由25－m 2＝4，得m 2＝9，又m >0，∴m ＝3.故选B . “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B .(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解：设||F 1F 2＝2c ，则||PF 2＝233c ，∴||PF 1＝433c .∴2a ＝||PF 1＋||PF 2＝23c ，故e ＝ca ＝33.故选D . 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解：由椭圆C 的右焦点为F (1，0)知c ＝1，且焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，a2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故填x 24＋y 23＝1.已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x 轴上时，有m －4＝1，得m ＝5，此时长轴长为25；当焦点在y 轴上时，长轴长为4.故填25或4.类型一 椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点；(3)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P 到两焦点的距离分别为5，3，过点P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，2c ＝6，即a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，∴其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵所求椭圆过点P (－3，2)，∴有9a 2＋4b2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝5，∴联立上述两式，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. (3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x 轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将两已知点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1，9a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝323，b 2＝325.故椭圆方程为332x 2＋532y 2＝1，长半轴长a ＝323＝436，短半轴长b ＝325＝4105. ∵c 2＝a 2－b 2＝323－325＝6415，∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝105.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，∴a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.故填y 220＋x 24＝1.类型二 椭圆的离心率设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c－c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D . 【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解：设左焦点为F 1，由F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，∴F 1Q ⊥QF .不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a＝ck ＋bk ，∴c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，得b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.故填22.类型三 椭圆的焦点三角形已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 点坐标为(x 0，y 0)．(1)||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0. 在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝||PF 12＋||PF 22－||F 1F 222||PF 1·||PF 2＝（a ＋ex 0）2＋（a －ex 0）2－4c 22（a ＋ex 0）（a －ex 0）＝cos60°＝12，解得x 20＝4c 2－a 23e2. ∵x 0∈(－a ，a )，∴x 20∈[0，a 2)，0≤4c 2－a 23c 2a 2＜a 2， 有0≤4c 2－a 2＜3c 2，解得12≤e <1.∴椭圆离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：将x 20＝4c 2－a 23e 2代入b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，求得y 20＝b 43c 2，∴||y 0＝b 23c . ∴S △F 1PF 2＝12||y 0||F 1F 2＝12·b 23c ·2c ＝33b 2.得证．【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 类型四 椭圆的弦长(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ＝c2， 得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【点拨】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a ，∴椭圆C 的方程为x 2a2＋9y25a2＝1 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，与①联立得32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4－78a ＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.故填x 29＋y 25＝1. 类型五 椭圆中的最值问题(1)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6 ，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.∴|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.(2)求A (0，2)到椭圆x 24＋y 2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B (x ，y )，则|AB |＝x 2＋（y －2）2＝－3y 2－4y ＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋283，∵点B 是椭圆上的点，∴－1≤y ≤1.∴|AB |的最大值为2213，最小值为1.(3)在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解：设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋（－3）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3，2)．【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A )；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到椭圆的距离d ＝x 2＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0，6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋（sin θ－6）2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D .(2)(2015·安徽合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为____________．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.故填4.1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 ①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A .2．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴，只须2k>2，解得0<k <1.故选D .3．(2014·全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解：由椭圆的定义知△AF 1B 的周长为4a ＝43，a ＝ 3.由e ＝c a＝c3＝33，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A .4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3解：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，∴|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，∴b 2＝3，即b ＝ 3.故选D .5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解：由题意知A ()a ，0，B ()0，b ，AB →＝()－a ，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∵AB∥OP ，∴AB →∥OP →，因此有()－a ·b 2a ＝b ·()－c ，解得b ＝c .∴a 2－b 2＝a 2－c 2＝c 2，得e ＝22.故选C .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解：由余弦定理||AF 2＝||BF 2＋||AB 2－2||BF ·||AB cos ∠ABF ＝82＋102－2×8×10×45＝36，||AF ＝6，∵||AF 2＋||BF 2＝||AB 2，∴△AFB 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，由对称性知四边形AFBF ′为平行四边形． 又∵∠AFB ＝90°，∴四边形AFBF ′为矩形． ∴⎩⎨⎧2c ＝||FF ′＝||AB ＝10，2a ＝||AF ＋||AF ′＝||AF ＋||BF ＝14， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝7.∴e ＝c a ＝57.故选B .7．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．解：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．解：设MN 的中点为P ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别为△ANM 与△BNM 的中位线，有|PF 1|＝12|AN |，|PF 2|＝12|BN |，又∵点P 在椭圆上，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2·2a ＝12.故填12.9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：由题意得c a ＝53，2b ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝9，b 2＝4， 于是椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.10．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.11．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：(1)由题意知|BF 2|2＝b 2＋c 2＝a 2＝2，∵点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知BF 2→＝(c ，－b )．∵点B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， ∴直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 设A (x 1，y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC ⊥x 轴，∴由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. ∴F 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2c ＋c3a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2.又∵F 1C ⊥AB ， ∴F 1C →·BF 2→＝c 2（3a 2＋c 2）a 2＋c 2－b 4a 2＋c 2＝0，即c 2(3a 2＋c 2)－(a 2－c 2)2＝0，化简得5c 2＝a 2，e 2＝15，e ＝55.(2015·全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，∴k OM ·k ＝－9，即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，∴l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.∵k >0，k ≠3，∴当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第九章 解析几何 9.5 椭圆课件 理 新人教A版
椭圆的定义及其标准方程
例1(1)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F(1,0),O为坐标原
点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程
为
.
(2)已知 F1,F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C
满足∠AMB=120°,则 m 的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,√3]∪[4,+∞)
答案: (1)C (2)A
考点1 考点2 考点3
解析: (1)圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,
则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0).所以m=-1,
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)(2017北京东城模拟)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1 的直线与椭圆交于A,B两点,则点A,B和椭圆的另一个焦点F2构成的 △ABF2的周长为( )
A.2 B.4 C.8 D.2√2
(2)(2017湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为
解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求 a,b,c 的值,由 e2=������������22 = ������2������-2������2=1-
������ ������
2
直接求.
(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转 化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何6椭圆(二)课件理
5．(2018·安徽安庆六校联考)已知斜率为－12的直线 l 交椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)于 A，B 两点，若点 P(2，1)是 AB 的中点， 则 C 的离心率等于( )
1
2
A.2
B. 2
3
3
C.4
D. 2
答案 D
解析 kAB＝－12，kOP＝12，由 kAB·kOP＝－ba22，得12×(－12)
4×10×(－35)＝1
404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1相
交．
2．已知以 F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y ＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 2
B．2 6
C．2 7
D．4 2
答案 C
解析 方法一：验证法：2a＝2 7时，a＝ 7，c＝2，b＝ 3，
又直线AB的斜率为－12，
∴ba22＝12，∴e＝
1－ba22＝
2 2.
授人以渔
题型一 直线与椭圆的位置关系
已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1恒有
＝ －3y2－2y＋5，
当
y＝－13时，弦长最大为43
3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交
点为(2cosθ，sinθ)，则弦长为
4cos2θ＋（1－sinθ）2 ＝ －3sin2θ－2sinθ＋5 ＝
－3（sinθ＋13）2＋136≤4
3
3 .
当且仅当 sinθ＝－13时取等号．选 B.
4．椭圆的焦点为 F1，F2，过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10，△ PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为( )
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理
§9.6 椭 圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (0＜e ＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆的一条准线，常数e 叫做椭圆的__________．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2＋x2b 2＝1 (a >b >0) (3)范围 －a ≤x ≤a ， －b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ， －b ≤x ≤b(4)中心原点O (0，0)(5)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )， B 2(0，b )(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2－b 2(9)离心率※(10)准线x ＝±a 2cy ＝±a 2c自查自纠1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率2．(2)x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) (7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(0＜e ＜1)(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解：由25－m 2＝4，得m 2＝9，又m >0，∴m ＝3.故选B . “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B .(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解：设||F 1F 2＝2c ，则||PF 2＝233c ，∴||PF 1＝433c .∴2a ＝||PF 1＋||PF 2＝23c ，故e ＝ca ＝33.故选D . 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解：由椭圆C 的右焦点为F (1，0)知c ＝1，且焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，a2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故填x 24＋y 23＝1.已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x 轴上时，有m －4＝1，得m ＝5，此时长轴长为25；当焦点在y 轴上时，长轴长为4.故填25或4.类型一 椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点；(3)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P 到两焦点的距离分别为5，3，过点P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，2c ＝6，即a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，∴其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵所求椭圆过点P (－3，2)，∴有9a 2＋4b2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝5，∴联立上述两式，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. (3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将两已知点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1，9a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝323，b 2＝325.故椭圆方程为332x 2＋532y 2＝1，长半轴长a ＝323＝436，短半轴长b ＝325＝4105. ∵c 2＝a 2－b 2＝323－325＝6415，∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝105.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，∴a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.故填y 220＋x 24＝1.类型二 椭圆的离心率设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c－c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D . 【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解：设左焦点为F 1，由F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，∴F 1Q ⊥QF .不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a＝ck ＋bk ，∴c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，得b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.故填22.类型三 椭圆的焦点三角形已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 点坐标为(x 0，y 0)．(1)||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0. 在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝||PF 12＋||PF 22－||F 1F 222||PF 1·||PF 2＝（a ＋ex 0）2＋（a －ex 0）2－4c 22（a ＋ex 0）（a －ex 0）＝cos60°＝12，解得x 20＝4c 2－a 23e2. ∵x 0∈(－a ，a )，∴x 20∈[0，a 2)，0≤4c 2－a 23c 2a 2＜a 2， 有0≤4c 2－a 2＜3c 2，解得12≤e <1.∴椭圆离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：将x 20＝4c 2－a 23e 2代入b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，求得y 20＝b 43c 2，∴||y 0＝b 23c . ∴S △F 1PF 2＝12||y 0||F 1F 2＝12·b 23c ·2c ＝33b 2.得证．【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 类型四 椭圆的弦长(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ＝c2， 得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【点拨】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a ，∴椭圆C 的方程为x 2a2＋9y25a2＝1 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，与①联立得32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4－78a ＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1.故填x29＋y25＝1.类型五 椭圆中的最值问题(1)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6 ，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.∴|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.(2)求A (0，2)到椭圆x 24＋y 2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B (x ，y )，则|AB |＝x 2＋（y －2）2＝－3y 2－4y ＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋283，∵点B 是椭圆上的点，∴－1≤y ≤1.∴|AB |的最大值为2213，最小值为1.(3)在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解：设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋（－3）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3，2)．【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A )；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到椭圆的距离d ＝x 2＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0，6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋（sin θ－6）2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D .(2)(2015·安徽合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为____________．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.故填4.1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A .2．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴，只须2k>2，解得0<k <1.故选D .3．(2014·全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解：由椭圆的定义知△AF 1B 的周长为4a ＝43，a ＝ 3.由e ＝c a＝c3＝33，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A .4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3解：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，∴|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，∴b 2＝3，即b ＝ 3.故选D .5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解：由题意知A ()a ，0，B ()0，b ，AB →＝()－a ，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∵AB∥OP ，∴AB →∥OP →，因此有()－a ·b 2a ＝b ·()－c ，解得b ＝c .∴a 2－b 2＝a 2－c 2＝c 2，得e ＝22.故选C .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解：由余弦定理||AF 2＝||BF 2＋||AB 2－2||BF ·||AB cos ∠ABF ＝82＋102－2×8×10×45＝36，||AF ＝6，∵||AF 2＋||BF 2＝||AB 2，∴△AFB 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，由对称性知四边形AFBF ′为平行四边形． 又∵∠AFB ＝90°，∴四边形AFBF ′为矩形． ∴⎩⎨⎧2c ＝||FF ′＝||AB ＝10，2a ＝||AF ＋||AF ′＝||AF ＋||BF ＝14， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝7.∴e ＝c a ＝57.故选B .7．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．解：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．解：设MN 的中点为P ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别为△ANM 与△BNM 的中位线，有|PF 1|＝12|AN |，|PF 2|＝12|BN |，又∵点P 在椭圆上，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2·2a ＝12.故填12.9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：由题意得c a ＝53，2b ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝9，b 2＝4， 于是椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.10．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.11．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：(1)由题意知|BF 2|2＝b 2＋c 2＝a 2＝2，∵点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知BF 2→＝(c ，－b )．∵点B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， ∴直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 设A (x 1，y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC ⊥x 轴，∴由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. ∴F 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2c ＋c3a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2.又∵F 1C ⊥AB ， ∴F 1C →·BF 2→＝c 2（3a 2＋c 2）a 2＋c 2－b 4a 2＋c 2＝0，即c 2(3a 2＋c 2)－(a 2－c 2)2＝0，化简得5c 2＝a 2，e 2＝15，e ＝55.(2015·全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，∴k OM ·k ＝－9，即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，∴l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.∵k >0，k ≠3，∴当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。
2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 椭圆及其性质练习 文
§9.3椭圆及其性质考纲解读求椭圆的离心率分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.2好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=. 又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac-a 2=0,即2e 2+e-1=0. 又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP 的方程为x=my-c(m>0),则直线FP 的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP 的方程联立,可解得x=,y=,即点Q 的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m 2-4m=0,所以m=,即直线FP 的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN 的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.9答案 B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C 于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 A3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案1232017年高考“最后三十天”专题透析4.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B =,从而y B =.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H ),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H =.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M =.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.4好教育云平台——教育因你我而变5所以,直线l 的斜率为-或.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ⊥PF 1. (1)若|PF 1|=2+,|PF 2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF 1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e 的取值范围.解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF 1⊥PF 2,因此 2c=|F 1F 2|===2,即c=,从而b==1.故所求椭圆的标准方程为+y 2=1.(2)如图,连接QF 1,由PF 1⊥PQ,|PQ|=λ|PF 1|,得 |QF 1|==|PF 1|.由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a,|QF 1|+|QF 2|=2a,进而 |PF 1|+|PQ|+|QF 1|=4a.于是(1+λ+)|PF 1|=4a,解得|PF 1|=,故|PF 2|=2a-|PF 1|=.由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c)2=4c 2,2017年高考“最后三十天”专题透析从而+=4c2,两边除以4a2,得+=e2.若记t=1+λ+,则上式变成e2==8+.由≤λ<,并注意到t=1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.6.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k===2.(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P =-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q =.又因为λ=,及x M=0,可得λ===.(ii)由(i)有=,所以==,好教育云平台——教育因你我而变6即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=. 又因为y P=2x P +2c=-c,所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为+=1.7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,72017年高考“最后三十天”专题透析故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P 的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.教师用书专用(8—10)8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 D9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C 的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF ==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ =,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2好教育云平台——教育因你我而变89的形式.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,所以y 1+y 2=,y 1y 2=,x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=.因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以=,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2).所以解得m=±1.此时,S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×·|OF|·|y 1-y 2|=2=2.10.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P,且与直线l:y=x+交于A,B 两点.若△PAB 的面积为2,求C 的标准方程.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y 0=-(x-x 0),即x 0x+y 0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(,).2017年高考“最后三十天”专题透析(2)设C 的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C 上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·.由点P到直线l 的距离为及S△PAB =×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C 的方程为+=1.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.答案 B2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案 A3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 B4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右好教育云平台——教育因你我而变10顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.12答案 B6.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案7.(2015安徽,20,13分)设椭圆E 的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M 的坐标为,又k OM =,从而=.进而a=b,c==2b.故e==.(2)证明:由N是AC的中点知,点N 的坐标为,可得=.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.8.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.1112好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.解析 (1)根据c=及题设知M ,2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac,解得=或=-2(舍去). 故C 的离心率为.(2)由题意,知原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故=4,即b 2=4a,①由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|. 设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则即代入C 的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b 2=4a=28.故a=7,b=2.教师用书专用(9—14)9.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( )A. B. C. D.答案 D10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A 、B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 B11.(2013四川,9,5分)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.答案13.(2013福建,15,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-114.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b==2,∴椭圆C 的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,132017年高考“最后三十天”专题透析由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴=-1,∴+=13,即此时点P 的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.综上所述,所求P 点的轨迹方程为+=13.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析(1)设椭圆C 的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C 的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.好教育云平台——教育因你我而变14直线AM的斜率k AM =,故直线DE的斜率k DE =-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E =-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E =-n.又S△BDE =|BD|·|y E |=|BD|·|n|,S△BDN =|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N 在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN =2×××=.(4分)(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.152017年高考“最后三十天”专题透析由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.(7分)由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增. 又f()=15-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2.(12分)3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O 且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知得,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E 的方程是+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),16好教育云平台——教育因你我而变由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M 点坐标为,直线OM的方程为y=-x,由方程组得C ,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.4.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.解析(1)椭圆C 的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e==.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率k BM ==1.1718好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析(3)直线BM 与直线DE 平行.证明如下: 当直线AB 的斜率不存在时,由(2)可知k BM =1. 又因为直线DE 的斜率k DE ==1,所以BM∥DE.当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则直线AE 的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M .由得(1+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-3=0.所以x 1+x 2=,x 1x 2=.直线BM 的斜率k BM =.因为k BM -1==121221(-1)[-2()-3](3-)(-2)k x x x x x x ++==0,所以k BM =1=k DE . 所以BM∥DE.综上可知,直线BM 与直线DE 平行.5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2.过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点,与C 2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解析 (1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y, 由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l 的斜率为±.1920好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析6.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-x+m 与椭圆交于A,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C,D 两点,且满足=,求直线l 的方程.解析 (1)由题设知解得a=2,b=,c=1,∴椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心到直线l 的距离d=,由d<1得|m|<.(*)∴|CD|=2=2=.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由得x 2-mx+m 2-3=0,由根与系数关系可得x 1+x 2=m,x 1x 2=m 2-3.∴|A B|==.由=得=1,解得m=±,满足(*).∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.教师用书专用(7—10)7.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE.过点A作AE 的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,得E点坐标为(x0,0),设D(x D,0),则=(x0,-2),=(x D ,-2),再由AD⊥AE知,·=0,即x0x D+8=0.由于x0y0≠0,故x D =-.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G.故直线QG的斜率k QG ==.又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以+2=8.①从而k QG =-.故直线QG的方程为2122好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析y=-.②将②代入椭圆C 的方程,得 (+2)x 2-16x 0x+64-16=0.③ 再将①代入③,化简得x 2-2x 0x+=0.解得x=x 0,所以y=y 0,即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A,B 两点,若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率. 解析 (1)设M 到直线l 的距离为d,根据题意得,d=2|MN|.由此得|4-x|=2,化简得+=1,所以动点M 的轨迹方程为+=1.(2)解法一:由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k 2)x 2+24kx+24=0, 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k 2)=96(2k 2-3)>0,由根与系数的关系得x 1+x 2=-, ①x 1x 2=. ②又因A 是PB 的中点,故x 2=2x 1,③将③代入①,②得x 1=-,=,可得=,且k 2>,解得k=-或k=,所以直线m 的斜率为-或.23解法二:由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). ∵A 是PB 的中点,∴x 1=, ①y 1=. ②又+=1, ③+=1, ④联立①,②,③,④解得或即点B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以直线m 的斜率为-或.9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,离心率e=,过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求△PP'Q 的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1.从而e 2+=1.由e=得b 2==8,从而a 2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x 0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则2017年高考“最后三十天”专题透析|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P'(x1,-y1),故|PP'|=|2y1|,所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|==.当x0=±时,△PP'Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.10.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足△AOB 的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C 的方程为+=1(a>b>0),由题意知解得a=,b=1.因此椭圆C 的方程为+y2=1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知-<m<0或0<m<.将x=m 代入椭圆方程+y2=1,24好教育云平台——教育因你我而变得|y|=.所以S△AOB =|m|=.解得m2=或m2=.①又=t =t(+)=t(2m,0)=(mt,0),因为P为椭圆C上一点,所以=1.②由①②得t2=4或t2=,又因为t>0,所以t=2或t=.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|==2.因为点O到直线AB的距离d=,所以S△AOB =|AB|d=×2·=|h|.2526好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析又S △AOB =,所以|h|=.③令n=1+2k 2,代入③整理得3n 2-16h 2n+16h 4=0, 解得n=4h 2或n=h 2, 即1+2k 2=4h 2或1+2k 2=h 2.④又=t =t(+)=t(x 1+x 2 ,y 1+y 2)=,因为P 为椭圆C 上一点,所以t2=1,即t 2=1.⑤将④代入⑤得t 2=4或t 2=, 又知t>0,故t=2或t=,经检验,适合题意.综合(i)(ii),得t=2或t=.三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 C2.(2018广东惠州二调,10)设F 1,F 2为椭圆+=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则27的值为( ) A. B.C.D.答案 D3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x 轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+y 2=1C.+=1D.+=1答案 C4.(2017河南三市联考,5)“mn>0”是“方程mx 2+ny 2=1表示椭圆”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为,且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 A6.(2016河南八市重点中学联考,14)在平面直角坐标系中,已知△ABC 的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B 在椭圆+=1上,则= .答案考点二 椭圆的几何性质7.(2018黑龙江哈六中12月模拟,9)椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F 关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C 上的点,则椭圆C 的离心率为( )A. B. C. D.-1答案 D2017年高考“最后三十天”专题透析8.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.答案 B9.(2017黑龙江哈六中模拟,13)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为.答案考点三直线与椭圆的位置关系10.(2018河南开封调研,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C11.(2016天津和平调研考试,13)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案12.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设点A、F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题设得:解得∴椭圆方程为+=1.28好教育云平台——教育因你我而变(2)设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程+=1联立得(3k2+4)y2+6ky-9=0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),∴y1+y2=- ,y1y2=-,∴S四边形OCAD=S△OCA+S△ODA =×2×|y1|+×2×|y2|=|y1-y2|====,其中t=,t≥1.∵t≥1,∴f(t)=3t+单调递增,∴3t+≥4,∴S四边形OCAD≤3(当且仅当k=0时取等号).故四边形OCAD的面积的最大值为3.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:75分时间:60分钟) 一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018贵州贵阳摸底测试,12)P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离心率e2为( )A. B. C. D.答案 B3.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一2930好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析点,|OP|=a,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P 是圆F 1:(x+1)2+y 2=16上任意一点(F 1是圆心),点F 2与点F 1关于原点对称,线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1,PF 2交于M,N 两点,则点M 的轨迹方程为 .答案+=15.(2017广东五校联考,16)已知椭圆C:+y 2=1的两焦点为F 1、F 2,点P(x 0,y 0)满足0<+<1,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 . 答案 [2,2)6.(2016湖南长沙一中月考,15)如图,∠OFB=,△ABF 的面积为2-,则以OA 为长半轴,OB 为短半轴,F 为一个焦点的椭圆方程为.答案+=1三、解答题(每小题15分,共45分)7.(2018河南新乡一模,20)已知直线l:y=2x-2与椭圆Ω:+=1(m≠0)交于A,B 两点.(1)求Ω的离心率;(2)若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点,求Ω的方程及圆C 的标准方程.解析 (1)e====.(2)由得17x 2-32x+16-4m 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则Δ=(-32)2-68(16-4m 2)>0,x1+x2=,x1x2=.由已知得·=x1x2+y1y2=x1x2+4(x1-1)(x2-1)=5x1x2-4(x1+x2)+4=0,即5·-4·+4=0,∴m2=1,且满足Δ>0.故Ω的方程为+y2=1.设圆C的圆心为(x0,y0),则x0==,y0=2(x0-1)=-.|AB|=·=.故圆C的标准方程为+=.8.(2018四川成都一模,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴长度之比等于2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l 的方程.解析(1)∵c=,=2,a2=b2+c2,∴a=2,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)易知当直线l的斜率为0时,不合题意.当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去x可得(4+m2)y2+2my-3=0.∴Δ=16m2+48>0,y1+y2=,y1y2=.∵点B在以MN为直径的圆上,2017年高考“最后三十天”专题透析∴·=0.∴·=(my1+1,y1-1)·(my2+1,y2-1)=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0,∴(m2+1)·+(m-1)·+2=0.整理,得3m2-2m-5=0,解得m=-1或m=.∴直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0.9.(2017湖南六校联盟联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点F1,F2是椭圆E的左、右焦点,过F1的直线与椭圆E交于A,B两点,且△F2AB的周长为8.(1)求椭圆E的标准方程;(2)动点M在椭圆E上,动点N在直线l:y=2上,若OM⊥ON,探究原点O到直线MN的距离是否为定值,并说明理由.解析(1)由题意得解得a=2,b=,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)设原点O到直线l的距离为d.①若直线ON的斜率不存在,则|ON|=2,|OM|=2,所以|MN|=4,d==.②若直线ON的斜率存在,设直线OM的方程为y=kx(k≠0),代入+=1得x2=,∴y2=,易知直线ON的方程为y=-x,代入y=2,得N(-2k,2),|MN|2=|ON|2+|OM|2=(-2k)2+(2)2+=,则|MN|·d=|OM|·|ON|⇒d2==3,则d=.综上所述,原点O到直线MN的距离为定值.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求椭圆标准方程的方法1.(2017河北衡水六调,8)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1答案 D2.(2016河南三市调研,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且与抛物线y2=x交于A、B两点,若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 A方法2 求椭圆的离心率(范围)的方法3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使k MH k NH∈,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.答案 A4.(2018湖北武汉部分重点中学调研,11)已知A,B分别为椭圆+=1(0<b<3)的左、右顶点,P,Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,若点A到直线y=x的距离为1,则该椭圆的离心率为( )2017年高考“最后三十天”专题透析A. B. C. D.答案 B5.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,9)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.答案 B6.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为.答案方法3 与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法7.(2016河北唐山统考,11)平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2=( )A. B.- C.- D.-2答案 B8.(2018湖北重点中学12月联考,21)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线x=c交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.(1)求椭圆E的标准方程与离心率;(2)若直线l与椭圆E交于C、D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.解析(1)由题知解得∴椭圆E的标准方程为+=1,离心率e==.(2)易知直线l的斜率存在,设为k,设C(x1,y1),D(x2,y2),则∴+=0,∴+=0,又P(2,2)是线段CD的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴k==-,故直线l的方程为y-2=-(x-2),化为一般形式即3x+4y-14=0.9.(2017广东七校第二次联考,20)已知圆E:x2+=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且=λ(λ≠0).(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.解析(1)∵圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2,∴c2+=,解得c=.∵F1,E,A三点共线,∴AF1为圆E的直径.∴AF2⊥F1F2,∴|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,∴2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2.由a2=b2+c2,得b=,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)可得,点A的坐标为(,1),由题意知直线l的斜率为,设直线l的方程为y=x+m,。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 理
答案 B 因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,因为P(5,2),F1(-6,0),F2 (6,0),所以|PF2|= 5 ,|PF1|=5 5 ,所以2a=6 5 ,a=3 5 ,又c=6,所以b2=9,所以 b=3,2b=6.
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短
1)(3m2
4) 3k
6k 2m2 2 1
(3k
2
1)m2
=
4m2 4k 3k 2
2
1
4
= 4(k 2 1) 4k 2 4 =0. 3k 2 1
所以OA⊥OB.
综上所述,总有OA⊥OB成立.
(3)因为直线AB与圆O相切,所以圆O的半径即为△OAB的AB边上的高, 当l的斜率不存在时,由(2)可知|AB|=2, 则S△OAB=1. 当l的斜率存在时,由(2)可知,
ka
kO (caE的ac)中,所点以为 12N=,aa则 Ncc ,即0, ka2a=,3由c,于所B以,Me=,13N .三故点选共A.线,所以kBN=kBM,即
2 =
a
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法 (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
考点三 直线与椭圆的位置关系
典例3 已知圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C:x2+3y2=4相交于A,B两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△OAB面积的最大值.
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第九章解析几何第四节椭圆实用课件文
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
椭圆定义的应用
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解
决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，
即 c2－34a2＋14b2＝0，将 b2＝a2－c2 代入并化简，得 a2＝32c2，所
以 e2＝ac22＝23，所以 e＝ 36(负值舍去)．[答案]
6 3
第二十三页，编辑于星期四：十四点 二十分。
[方法技巧]
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，
答案：x32＋y2＝1
第十五页，编辑于星期四：十四点 二十分。
5.
[考点一、二]
(2018·南
通
中
学
高
三
周测Βιβλιοθήκη )已知椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1
(a＞b＞0)的右焦点为 F2(1,0)，点 H2，2 310在椭圆上． (1)求椭圆的方程；
(2)点 M 在圆 x2＋y2＝b2 上，且点 M 在第一象限，过点 M 作
1.[考点一]已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练63椭圆一理20180515464
题组训练63 椭圆（一）1．若椭圆x 216＋y2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．10 B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又 e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( ) A.x 2144＋y2128＝1 B.x 236＋y220＝1 C.x 232＋y236＝1 D.x 236＋y232＝1 答案 D解析 ∵2a＝12，c a ＝13，∴a ＝6，c ＝2，b 2＝32.∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．若椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k. 由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5. 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y25＝1 B.x 236＋y216＝1 C.x 236＋y210＝1 D.x 245＋y225＝1 答案 B解析 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F(－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP|＝|OF|＝|OF 1|，知PF 1⊥PF.在Rt △PFF 1中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y216＝1.7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32 C.83 D.23答案 B解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m. ∵e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝32.8．(2018·郑州市高三预测)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B ．2－ 3 C.5－2 D.6－ 3答案 D解析 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝c a ＝6－3，故选D.9．(2018·贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33B.12C.22D.13答案 C解析 由题意知，直线l 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为(－c ，－22c)，(c ，22c)，代入椭圆得c 2a 2＋c 22b 2＝1，两边同乘2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2.因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，所以c 2a 2＝2或12.又因为0<e<1，所以e ＝c a ＝22，故应选C.10．(2018·湖北孝感第一次统考)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a>b>0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( ) A ．4 B ．4 3 C ．8 D ．8 3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝4，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.周长为4a ＝8.11．(2018·黑龙江大庆一模)已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22) 答案 C解析 由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c ，由|OA|>b ，即c>b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e<1.故选C.12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案 x 216＋y28＝1解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y28＝1.13．(2018·上海市十三校联考)若椭圆的方程为x 210－a ＋y2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________． 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a)＝22，解得a ＝8.14．(2018·山西协作体联考)若椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________． 答案 43解析 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A(x 0，y 0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 02＋2y 02＝3x 02，解得x 02＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 02＝43.15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________． 答案33解析 方法一：∵|F 1F 2|＝2c ，MF 1⊥x 轴， ∴|MF 1|＝233c ，|MF 2|＝433c.∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝23c.∴e ＝2c 2a ＝33.方法二：由F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y2b2＝1，得y ＝b 2a ，∵|F 1F 2||MF 1|＝3，∴2c b2a ＝ 3.∵b 2＝a 2－c 2，∴2ac a 2－c 2＝3，即2e 1－e 2＝3. 解得e ＝－3(舍)，e ＝33. 16．(2018·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________． 答案 4 3解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 答案 [13，1)解析 设P(x ，y)，则|PF 2|＝a －ex ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则|PF 2|＝|F 1F 2|，∴a －ex ＝2c ，∴x ＝a －2c e ＝a （a －2c ）c.∵－a≤x≤a，∴a （a －2c ）c ≤a ，∴c a ≥13，∴13≤e<1.故椭圆C 的离心率的取值范围是[13，1)． 18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c. 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y2b 2＝1，得94a 2＋b24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.19．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b. 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac.将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a.①由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|. 设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a ＋1b＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.1．(2018·河南开封考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)答案 D解析 ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k>2，故0<k<1，故选D.2．(2018·宜春二模)已知椭圆的焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，离心率e ＝32，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝23，则∠F 1PF 2的大小为( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 由题意可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，且c ＝3，离心率e ＝32＝c a ，a2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n＝4，∵PF 1→·PF 2→＝23，∴mncos ∠F 1PF 2＝23，又(2c)2＝(23)2＝m 2＋n 2－2mncos ∠F 1PF 2，∴12＝42－2mn －2×23，解得mn ＝43.∴43cos ∠F 1PF 2＝23，∴cos ∠F 1PF 2＝12，∴∠F 1PF 2＝π3，故选D.3．已知A(3，0)，B(－2，1)是椭圆x 225＋y216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和为( ) A ．20 B ．12 C ．22 D ．24答案 A解析 易知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，由题知|MF 1|＋|MA|＝10，因此，|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF 1|.∴|MA|＋|MB|≤10＋|BF 1|，|MA|＋|MB|≥10－|BF 1|. ∴|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和为20.选A.4．(2018·人大附中模拟)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形．若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C ．4－2 3 D.3－1答案 D5．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是________． 答案 x 232＋y216＝1解析 由题意，得⎩⎨⎧a －c ＝4（2－1），b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y216＝1.6．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________． 答案 2解析 由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(2cos α，sin α)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2(cos α－22)2＋2，所以当cos α＝22时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2. 7．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________． 答案 4解析 连接PF 2，则OM 为△PF 1F 2的中位线，|OM|＝3，∴|PF 2|＝6. ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.8．设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y24＝1(a>2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析 由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P|＋|PF 2|)2－2|F 1P||PF 2|－2|F 1P|·|PF 2|cos60°＝4a 2－3|F 1P|·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P|·|PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|F 1P|·|PF 2|sin60°＝12×163×32＝433.另解：S △＝b 2tan θ2＝4·33＝433.9．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( ) A.x 24＋y23＝1 B.x 216＋y212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y24＝1 答案 A解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝16. 知其半径r ＝4，∴长轴长2a ＝4，∴a ＝2. 又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y23＝1.10．(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________．答案 57解析 如图所示．根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos ∠ABF ，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos ∠ABF ，得|OF|＝5. 根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a ＝14，得a ＝7. 又|OF|＝c ＝5，故离心率e ＝57.***11 11．已知P 是椭圆x 24＋y 22＝1上的一点，求点P 到点M(m ，0)(m>0)的距离的最小值． 答案 ①0<m<1时，|PM|min ＝2－m 2 ②m≥1时，|PM|min ＝|m －2|解析 设P(x ，y)，则x ，y 满足x 24＋y 22＝1， ∴y 2＝2－x 22，－2≤x≤2， ∴|PM|＝（x －m ）2＋y 2＝（x －m ）2＋2－x 22 ＝x 22－2mx ＋m 2＋2＝12（x －2m ）2＋2－m 2. ∴①若0<2m<2，即0<m<1时，x ＝2m 时，函数12(x －2m)2＋2－m 2取最小值2－m 2，∴此时|PM|的最小值为2－m 2.②若2m≥2，即m≥1时，二次函数12(x －2m)2－m 2＋2在[－2，2]上单调递减， ∴当x ＝2时，函数12(x －2m)2＋2－m 2取最小值(m －2)2. ∴此时|PM|的最小值为|m －2|.。
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答案 B
解析
设 A(x 1，y 1) ， B(x 2， y 2) ，因为
A，
B
在椭圆
y2 9＋
x 2＝
1
上，所以
2
y1 9
＋
x 12＝
1，
y
2 2
＋
x
22＝
1，
两式相
9
减得
y
12－ 9
y
2
2
＋
x
12－
x22＝ 0，得
（ y1－ y2）（ 9
y1＋ y2） ＋(x
1－
x2)(xLeabharlann 1＋ x2) ＝ 0，又弦
(2c
，－
b )
a
＝ 2(x
－c，
b2
b2
4c2 b2
y) ，即 2c＝ 2x－ 2c，－ a ＝ 2y，可得 x ＝ 2c， y ＝－ 2a，代入椭圆方程可得 a2 ＋ 4a2＝1. 由 e
＝
c a，
b
2＝
a
2－
c
2，得
4e2＋
1 4
－
1 4
e2＝
1，解得
e＝
5 5 ，故选
A.
x2 y2
3
6．已知椭圆 C：a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的离心率为 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k>0) 的直线与 C
x2 y2 5．(2018 ·广西南宁、 梧州摸底联考 ) 已知椭圆 a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1，F2，
过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 ＝3S△ BCF2，则椭圆的离心率为 (
A， B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 )
C，若 S△ABC
5 A.
5
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题组训练 64 椭圆（二）
x2 y2 1．已知椭圆 E：a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F(3 ，0) ，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，若
AB的中点为 M(1，－ 1) ，则 E 的方程为 ( x2 y2
A. ＋ ＝ 1 45 36 x2 y2
x2 y2 ＋ ＝ 1.
18 9
2．(2018 ·南昌二模
) 已知椭圆：
y2 9＋
x
2＝
1，过点
11 P( 2， 2) 的直线与椭圆相交于
A， B 两点，
且弦 AB被点 P 平分，则直线 AB的方程为 ( )
A． 9x－ y－4＝ 0
B． 9x＋y－ 5＝ 0
C． 2x＋ y－2＝ 0
D． x＋y－ 5＝ 0
A． 6x－ 5y－ 14＝ 0
B． 6x－5y＋ 14＝0
C． 6x＋ 5y＋ 14＝ 0
D． 6x＋5y－ 14＝0
答案 B
解析 由题意知 F1( － 1， 0) ，设 A(x 1， y1) ，B(x 2， y2) ，
x 1＋ x 2＋ 0＝－ 3， x 1＋ x 2＝－ 3，
则
∴
①
y 1＋ y 2－ 2＝0，
相交于 A，B 两点．若向量 →AF＝ 3→FB，则 k＝ (
)
A． 1
B. 2
C. 3 答案 B
D． 2
解析
设点
A(x 1， y1) ， B(x 2， y 2) ．因为 A→F＝ 3→FB，故
y 1＝－ 3y2 . 因为
e＝
3 2 ，设
a＝2t ， c
＝ 3t ， b＝ t ，故 x2＋ 4y2－4t 2＝ 0，直线 AB 的方程为 x ＝ sy ＋ 3t. 代入消去 x ，所以 (s 2＋
AB 被点
1 P( 2，
1
y1 －y2
y1－ y2
2) 平分，所以 x 1＋ x 2＝ 1，y 1＋ y 2＝ 1，将其代入上式得
9 ＋ x1－ x2＝ 0，得 x1－ x2＝－ 9，即
1
1
直线 AB的斜率为－ 9，所以直线 AB的方程为 y－ ＝－ 9(x － ) ，即 9x＋ y－ 5＝ 0.
2
3 B.
3
10 C. 5
33 D. 10
答案 解析
A 设椭圆的左、 右焦点分别为 F1( － c ，0) ，F2(c ，0) ，将 x ＝－ c 代入椭圆方程得
b2 y＝± a .
2
2
2
设
b A(－ c， a ) ， C(x， y) ，由
S△ ＝ ABC 3S△BCF2，可得
A→F2＝ 2F→2C，即有
为
|4cos d＝
θ ＋ 4sin
θ－
2| ＝
5
π 2sin （θ ＋ 4 ）－
5
2|
| － 4 2－ 2|
，∴ d ＝ max
＝ 10.
5
2
2
xy
4．(2018 ·广东梅州阶段测评 ) 已知椭圆 E： ＋ ＝1 的一个顶点 C(0，－ 2) ，直线 l 与椭
54
圆 E 交于 A， B 两点，若 E 的左焦点 F1 为△ ABC的重心，则直线 l 的方程为 ( )
2
x2 y2 3．椭圆 ＋ ＝ 1 上的点到直线 x＋ 2y － 2＝ 0 的最大距离是 ( )
16 4
A． 3
B. 11
1
C． 2 2
D. 10
答案 解析
D x2 y2
设椭圆 ＋ ＝ 1 上的点 P(4cos θ， 2sin θ) ，则点 P 到直线 x＋ 2y － 2＝ 0 的距离 16 4
|4
答案 解析
3 ±
3
椭圆
x2＋ 9y2＝ 9
即椭圆
x2 9
＋
y2＝
1，所以椭圆的焦点坐标为
( ±２
2， 0) ．因为直线 y
＝k(x ＋ 2 2) ，所以直线过椭圆的左焦点 F( － 2 2，0) ，设 A(x 1，y 1) ，B(x 2，y2) ，将直线 y
＝k(x ＋ 2 2) 代入椭圆 x 2＋ 9y2＝ 9，可得 (1 ＋ 9k2)x 2＋36 2k2x＋72k 2－ 9＝ 0，所以 x1＋ x2＝
C. 27＋ 18＝ 1
) x2 y2
B. ＋ ＝ 1 36 27 x2 y2
D. 18＋ 9 ＝1
答案 D
解析
0＋1 1 kAB＝ 3－1＝ 2， k OM＝－ 1，由
kAB·k OM＝－
b2 a2，得
b2 1 a2 ＝2，∴
a2＝ 2b2.
∵c＝
3，∴
a2＝ 18，
b2 ＝ 9 ，椭圆
E 的方程为
y 1＋ y 2＝2.
3 设 M为 AB的中点，则 M(－ 2， 1) ．
2
2
x1 y1
＋ ＝1，
54
（ x 1－ x 2）（ x1＋ x2） （ y 1－y2）（ y 1＋ y 2）
由
x
2 2
y
2 2
作差得
＋
＝ 0，
5
4
＋ ＝1，
54
y 1－ y 2 6
将①代入上式得
x
1－
x
＝
2
5
.
6
63
即 k＝ 5，由点斜式得，直线方程为 y－ 1＝ 5(x ＋ 2) ，即 6x－5y ＋ 14＝0.
4)y 2＋ 2
3sty － t 2＝ 0，所以
y 1＋ y 2＝－
2 3st s 2＋ 4
，
y1y 2＝－
t2 s2＋
4，－
2y2＝－
2 3st s2＋ 4
，－
3y
2 2
＝
t2 － s2＋4，解得
s
2＝
1 ，又
2
1 k＝ ，则
s
k＝
2. 故选 B.
7．已知直线 l ：y＝ k(x ＋ 2 2) 与椭圆 x2＋ 9y2＝9 交于 A，B 两点，若 |AB| ＝ 2，则 k＝ ________．