2017年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
广东省揭阳2017届高三上学期第一次时期考试数学文试题Word版含答案
揭阳一中高三数学（文）上学期时期1考试（命题人：方少萍 审题人：杨敏）一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，那么A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3}2．已知复数142iz i i+=-，那么复数z 的模为（ ）A ．4B ． 5C ．6D ．73．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>0，命题q ：∀x ∈R ，x <x ，那么以下说法中正确的选项是（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(¬q )是真命题D ．命题p ∨(¬q )是假命题4．设抛物线2:4C y x =的核心为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，假设QRF ∆的面积为2，那么点P 的坐标为（ ） A ．（1，2）或（1，－2） B ．（1，4）或（1，－4） C ．（1，2） D ．（1，4）5．某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，那么 该几何体的表面积为（ ）A ．92＋14πB ．82＋14πC ．92＋24πD ．82＋24π6．函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，那么3(7)(log 12)f f -+=（ ）A ．8B ．15C ．7D ．167．某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，那么（ ） A ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线2x π=对称 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n =2a n －4（n ∈N *），那么a n =（ ） A ．2n +1B ．2nC ．2n －1D ．2n －210．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，那么（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 11．πsin 22cos 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值是（ ）A ．－3B ．－32C ．32D ．312．已知函数()y f x =的概念域为R ，当x <0时，()1f x >，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+恒成立．假设数列{a n }知足a 1=f (0)，且11()(2)n n f a f a +=--(*)n N ∈，那么a 2021的值为（ ）A ．4029B ．3029C ．2249D ．2209二、填空题：此题共4小题，每题5分．13．已知向量(,1)a x x =-，(1,2)b =，且a //b ，那么x = ___________ ．14．设曲线x e x f xsin )(=在（0,0)处的切线与直线x +my +l=0平行，那么m = _____ ． 15. 假设x ，y 知足约束条件2022020x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥，则3z x y =+的最大值为．16．假设偶函数(),y f x x R =∈，知足(2)()f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，2()2f x x =-，那么方程()sin ||f x x =在[－10，10]内的根的个数为 ___________ ．三、解答题：解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（本小题总分值12分）在ΔABC 中，a ，b ，c 别离为内角A ，B ，C 的对边，且sin sin().3a Bb A π=-+（1）求A ；（2）若ΔABC 的面积234S c =，求sin C 的值．18．(本小题总分值12分）为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n 名 学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组： [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90，100]， 频率散布直方图如下图，成绩落在[70,80)中的人数为20．（1）求a 和n 的值；（2）设成绩在80分以上（含80分)为优秀，已知样本中成绩落在[50,80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80,100]中的男、女生人数比为3：2，请完成下面的2×2列联表，并判定是不是有95%的把握以为物理成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（本小题总分值12分）如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面A BCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，假设E ，F 别离为PC ，BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P －ABCD 的体积．20．(本小题总分值12分)已知圆心为C 的圆，知足以下条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13． （1）求圆C 的标准方程；（2）设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是不是存在如此的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？若是存在，求出l 的方程；假设不存在请说明理由．21．(本小题总分值12分) 已知函数21()(22)(21)ln .2f x x a x a x =-+++ （1）假设曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，求f (x )的单调区间；（2）对任意的a ∈[32，52]，函数g (x )=f (x )－λx 在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．请考生在（22）～（24）题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分． 22．（本小题总分值10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ． （1）过E 做O 的切线，交AC 与点D ，证明：D 是AC 的中点；（2）假设3CE AO =，求ACB ∠的大小．23．（本小题总分值10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线1:3x t l y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆221:(3)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立直角坐标系．（1）求圆1C 的极坐标方程，直线1l 的极坐标方程； （2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ∆的面积．24．（本小题总分值10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.（1）假设不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（2）在(1)的条件下，假设f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．P(K 2≥k)0．50 0．05 0．025 0．005k0．4553．841 5． 024 7．879（第22题图）揭阳一中高三数学（文）上学期时期1考试参考答案14．－ 1 15. 103BBCAA CBDAD CA 13．－1 16．10 ∵sin sin()3a Bb A π=-+，17．解：（1）∴由正弦定理得sin sin sin sin()3A B B A π=-+，即sin sin()3A A π=-+，亦即13sin (sin cos )22A A A =-+， 化简得3tan 3A =- ∵(0,)A π∈，∴56A π=． ……………………（6分） （2）由（1）已得56A π=，那么1sin 2A =，由2311sin 424S c bc A bc ===，得3b c =， ∴22222252cos (3)23cos76a b c bc A c c c c c π=+-=+-=，那么7a c =， 由正弦定理得sin 7sin 14c A C a ==． ……………………（12分） 18．解： (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 通过F 点，又点E 为PC 的中点，∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．……………………（4分） (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………（8分） (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高， 又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a2． ∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PG ＝13×a 2×a 2＝16a 3． ……………………（12分）19．解：（1）由10a =1－(0．005+0．01+0．015+0．02)×10=0．5得 a =0．05， 则n =20100.05⨯= 40．． ……………………（5分）（2）优秀的男生为6人，女生为4人；不优秀的男生为10人，女生为20人．因此2×2列联表如下表：则2240(620410) 2.222 3.84116241030K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 因此没有95%的把握以为物理成绩优秀与性别有关．…………（12分）20．解： (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．………………………………（5分） (2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不知足题意．……………………（6分） 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x －12＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0．∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0，解得k ＜1－263或k ＞1＋263． ………………………………（8分）x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，那么－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34 ………………（11分）显然k ＝34 ∉ (－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在如此的直线l ． ………………………………（12分）[来源:Z#xx#]男生 女生 合计 优秀 6 4 10 不优秀 10 20 30 合计16244021．解：（1）21(21)(1)()(22)(0)a x a x f x x a x x x+---'=-++=> 若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0， 则1(2)02f a '=-+<，即12a >， ∴2a +1>1 那么令()0f x '>，解得0<x <1或x >2a +1； 令()0f x '<，解得1<x <2a +1．∴()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2a +1,+∞)，单调递减区间为(1，2a +1) ．…（5分） （2）∵()()g x f x xλ=-在区间[1，2]上为增函数，∴()0g x '≥对任意的a ∈[32，52]，x ∈[1，2]恒成立，∴221()(22)0a g x x a x xλ+'=-+++≥， 化简可得32(22)(21)0x a x a x λ-++++≥，即232(22)20x x a x x x λ-+-++≥，其中a ∈[32，52] ……………（7分）∵x ∈[1，2]，∴2220x x -≤，∴只需2325(22)202x x x x x λ-+-++≥ 即32760x x x λ-++≥对任意x ∈[1，2]恒成立． 令32()76h x x x x λ=-++，x ∈[1，2]， 则2()31460h x x x '=-+<在[1，2]上恒成立， ∴32()76h x x x x λ=-++在区间[1，2]上为减函数，∴min ()(2)80h x h λ==-≥，解得8λ≥． ……………………………（12分） 22.（1）证明：连接,OE AE ，∵AC 是O 的切线，DE 也是O 的切线，∴弦切角CAE DEA ∠=∠，∴ADE ∆是等腰三角形，AD DE =， ∵AB 是O 的直径，∴090AEB CEA ∠==∠．∴D 是AEC ∆的外心，即是AC 的中点．………………………………（5分）（2）解：不妨设AO =1，那么CE =3 在ABC ∆中，22sin 3AO ACB CE BE BE ∠==++………① 在ABE ∆中，cos 22BE BE EBA AO ∠==，即sin 2BEACB ∠=………② 联立①②，解得1sin sin -22ACB ACB ∠=∠=或（舍）， ∴锐角030ACB ∠=． ………………………………（10分）23．解：（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入1C 展开整理得：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=，∴圆1C 的极坐标方程为：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=．∵直线1l 的方程消参得3yx=， 又∵tan y xθ=， ∴直线1l 的极坐标方程为tan 3,3πθθ==即（R ρ∈）……（5分）（2）∵直线1l 的一般方程为30x y -=，∴圆心C 1（3，2）到直线1l 的距离为|332|1231•-=+， ｜MN ｜=2121()32-=，∴11133224C MN S ∆=⨯⨯=． ……………………………………（10分） 24 ．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，因此⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. …………………………………（5分）(2) 解法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.因此当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.又f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，因此m的取值范围为(－∞，5]．…………………………………（10分）解法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．因为|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)因此g(x)的最小值为5.又f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，因此m的取值范围为(－∞，5]．…………………………………（10分）。
广东汕头金山中学2017级高三第一学期期中考试文科数学试题及答案评分标准(12页)
广东汕头金山中学2017级高三第一学期期中考试文科数学试题文科数学一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集，集合，，那么集合等于（ ）A. ]3,1[- B.C. )1,2[--D. )4,2[-⒉已知命题，则为 （ ）A. B. C. D.⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( )A. 32<≤mB.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,-∞B. )+∞C.(,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增⒍函数x x x 2)(y 3-=图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（ ）U =R {}|23A x x =-≤≤{}|14B x x x =<->或)(B C A U {}|34x x x 或≤≥2:,240P x R x x ∀∈-+≤P ⌝2,240x R x x ∀∈-+≥2000,240x R x x ∃∈-+>2,240x R x x ∀∉-+≤2000,240x R x x ∃∉-+>A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（ ） A.2- B. 1- C. 1 D.2 9．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E ，F ，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B. 三棱锥ABF E -的体积为定值 C. D.异面直线所成的角为定值10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( )A. B. 2 C. D.11. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A.83 B. 1 C. 89 D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 7D. 91111ABCD A B C D -11BD 2EF =AC BE ⊥//EF ABCD 平面,AEBF二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为 14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示， 若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC AA sin cos sin cos +的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y ab a b +=>>A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥,求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f x x ++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞05．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及M求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．解答：解：∵全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，∴∁U M={b，c，e}，则N∩∁U M={c，e}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特称即可得到结论．解答：解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值﹣，故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答：解：∵函数是R上的单调减函数，∴∴故选B点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解答：解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：A点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f （x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对考点：函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．解答：解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．故选：C．点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）∪（3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞0且x≠3，故函数的定义域为（0，3）∪（3，+∞）故答案为：（0，3）∪（3，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．解答：解：由已知可得：a＞0，且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解得a＜，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．解答：解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：证明△CDF∽△AEF，可求．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＞0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（a，3a），故p成立有x∈（a，3a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，故q成立有x∈[﹣2，3]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（a，3a）⊊[﹣2，3]，解得，﹣2≤a≤1又a＞0，所以0＜a≤1，故a的取值范围为：0＜a≤1．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．解答：（1）证明：由已知得，b n=2an＞0，当n≥1时，==2an+1﹣an=2d，∴数列{b n}为首项是2a1，公比为2d的等比数列；（2）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣2a2=2a2ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而a e﹣1＞e a﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而a e﹣1＜e a﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．。
广东省揭阳一中、金山中学2017届高三上学期期中联考文数试卷及答案
广东省揭阳一中、汕头金山中学2017届高三上学期期中联考数学（文科）本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b夹角的余弦值为（ ）A.23 B.23- C.21 D.21- 4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A.1 B.32 C. 34 D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个 11.已知函数数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为 ． 14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x yx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。
广东省汕头市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤<（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（4）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B) 3 (C)13- (D) 3- （5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 （6）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（8）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152(9)若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )0.3＞(1－m)0.5（10）已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π（11）设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为( ) .(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）8+ （B ）8+（C ）2+ （D ）1224++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14） ()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）（15）已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=⋅=-，则||AD 的最小值是 .（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（20）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x = （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学试题答案及评分参考一．选择题（1）D （2）D（3）C（4）A （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D（11）D（12）A二．填空题（13）43（14） 40- （15）1（16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255252x x x+-=-⨯⨯．………………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC =AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=2．………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯115224=⨯⨯=．……………………………………………12分 【18】[自主解答] (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2， 得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－17)＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1]＝12(1－16n ＋1)． 因此，要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)恒成立，则m 需满足12≤m20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.（19）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=． 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （（20）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面 BD ⊂平面A B C D ，所以1A O B D ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 所以cos ,<>==n m 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥连接11AC 与11B D 交于点1O ， 连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ， 所以11CAAC 为平行四边形． 因为O ，1O 分别是AC ，11AC ………………………10分所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1C H O O⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ． 过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B O B C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，1122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ，所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH =．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==11分所以二面角1B OB C --的余弦值为412分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出二种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分 设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1e ln(1)20x x +-+->， 只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1e ln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！）（22）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行．即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2s i n 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 322⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．……………………………10分（23）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分（Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =--=0<．当x <<()f x x x =+-2x =£+-=+当x ≥()f x x x =++= 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+--x x ≤+==当且仅当x所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
2017-2018学年度汕头市金山中高三期中考试试卷答案 精
2017-2018学年度 汕头市金山中学 高三文科数学 期中考试 参考答案ACDBB CBBAD CA 25 288π17. [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4. 即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分18.解析：【答案】没有 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.所以没有 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．19．（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =， 则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ，AN PCD ⊆面∴平面PAD ⊥平面PCD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ， 因为AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .PO AD PAD ABCD ⊥=⋂面面 PO PAD ⊂面所以PO ABCD ⊥面所以PO P ABCD -是锥的高.//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =，则.其他方法酌情给分 20．解析：（Ⅰ）由点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上得， 221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=()()1122:=2,,,,.II l x l y kx P x y Q x y ⊥-（）当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得 ()224116120.k x kx +-+=1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.4444,20.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln a x f x x -=′，因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，所以()()11,ln110,1f a a f b ==⎧⎪⎨=+=⎪⎩′，解得1a =，0b =. 所以()ln xf x x=.所以()21ln xf x x -=′. 令()0f x =′，得x e =，当0x e <<时，()0f x >′，()f x 单调递增； 当x e >时，()0f x <′，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. （Ⅱ）当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>. 证明如下：因为x e >时()f x 单调递减， 且()ln 0xf x x=>， 又()10f =，当1x e <<时，()f x 单调递增，且()0f x >.若()()()1212f x f x x x =≠，则12,x x 必都大于1，且必有一个小于e ，一个大于. 不防设121x e x <<<，当22x e ≥时，必有122x x e +>.当22e x e <<时，()()()()()22122222ln 2ln 222e x x f x f e x f x f e x x e x ---=--=--， 设()()ln 2ln 2e x x g x x e x -=--，2e x e <<，则()()()221ln 21ln 2e x x g x x e x -+--=--′ ()()()()2222241ln ln 222e e x x x x ex x x e x ----++=-()()(){}()2222241ln 2ln 2e e x x x x e e x e x ⎡⎤--+---+⎣⎦=-.因为2e x e <<， 所以()()2220,e x e e--∈.故()222ln 0x e e ⎡⎤---+>⎣⎦.又()()41ln 0e e x x -->， 所以()0g x >′.所以()f x 在区间(),2e e 内单调递增.e所以()()110g x g e e e>=-=. 所以()()122f x f e x >-.因为11x e <<，22e x e <<，所以202e x e <-<， 又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增， 所以122x e x >-，即122x x e +>.综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>.22．（1）22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）14.解析：(1)直线l 的参数方程为126{16x tcos y tsin ππ=+=+,即122{ 112x y t=+=+ (t 为参数)由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)把12{ 112x y t=+=+代入22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 23.解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1． 综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4． 故实数m 的取值范围为[－3,4]．。
数学---广东省揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学(文)
广东省揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学（文）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟．一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)1．知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i2．“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(1＋i) (m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时，第一步应验证()A．n＝1时成立B．n＝2时成立C．时n＝3成立D．n＝4时成立5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(x)＋ln x，则f′()e＝()A．1 B．－1 C．－e－1 D．－e6．若a＝2⎰x2dx，b＝20⎰x3dx，c＝20⎰sin xdx，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．c<b<a D．c<a<b7．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．48．已知f(x)＝x3－6x3＋9x－abc，a<b<c且f()a＝f()b＝f(c)，现给出如下结论：①f()0f()1>0；②f()0f()1<0；③f()0f()3>0；④f()0f()3<0其中正确结论的序号是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e10．定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )tan x 成立，则( )A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ()1<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1 C.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3二、填空题(每题5分，共25分)11．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．12．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ·b ＝________.13．已知函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是________．14．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x ，x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式(2ax －1)ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)的恒成立，则实数a 的值为________． 三、解答题(共56分) 16．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且满足||z 2＋(z ＋z )i ＝5＋2i. (1)求z ；(2)若m ∈R ，w ＝z i ＋m ，求证：||w ≥1.17．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x －1－x .(1)求函数f (x )的最小值；(2)设g (x )＝12x 2，求y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的公共点个数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln ()2x ＋1＋bx ＋1.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线2x ＋y －3＝0平行，求a 的值；(2)若b ＝12，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．19．(本小题满分12分)在数列{}a n 与{}b n 中，a 1＝1，b 1＝4，，数列{}a n 的前n 项和S n 满足nS n ＋1－()n ＋3S n ＝0,2a n ＋1为b n 与b n ＋1的等比中项，n ∈N *. (1)求a 2，b 2的值；(2)猜想数列{}a n 与{}b n 的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝ 0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ln x ＋kx ，k ∈R .(1)k ＝1时函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≥2＋1－ex恒成立，求实数k 的取值范围；(3)设g (x )＝xf (x )－k ，若对任意的两个实数x 1，x 2满足0<x 1<x 2，总存在x 0>0，使得g ′()x 0＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2成立，证明：x 0>x 1.参考答案一、选择题1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D 二、填空题11．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 12.－44 13.[]0，1∪(－32，－12] 14.(0,1)∪()2，3 15.12三、解答题16．【解析】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则||z 2＝a 2＋b 2，(z ＋z )i ＝2a i由a 2＋b 2＋2a i ＝5＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝52a ＝2 4分解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－25分 ∴z ＝1＋2i 或z ＝1－2i 6分 (2)当z ＝1＋2i 时，||w ＝||z i ＋m ＝|| 1＋2i i ＋m ＝||－2＋i ＋m ＝ m －2 2＋1≥1 8分当z ＝1－2i 时，||w ＝||z i ＋m ＝|| 1－2i i ＋m ＝||2＋i ＋m ＝ m ＋2 2＋1≥1 10分∴||w ≥1 12分 17．【解析】 (1)f ′(x )＝e x －1＝0∴x ＝0，f (x )在(－∞,0)上单调减，(0，＋∞)在上单调增∴f (x )min ＝f ()0＝0 (6分) (2)e x －1－x ＝12x 2令h (x )＝e x －1－x －12x 2∴h ′(x )＝e x －1－x由(1)问结论知h ′(x )≥0恒成立 所以h (x )在R 上单调增， 又因为 h ()0＝0∴y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有一个公共点． (12分) 18．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，f ′(x )＝2bx ＋2a ＋b2x ＋1，由题意可得⎩⎨⎧f ′()1＝0f ′()0＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝1所以a ＝－32. (4分)(2)若b ＝12，则f (x )＝a ln(2x ＋1)＋12x ＋1，所以f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2，1° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2>0，由函数定义域可知，4x ＋2>0，所以2x ＋4a ＋1>0，①当a ≥0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； ②当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a －12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． (8分) 2° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2<0，即2x ＋4a ＋1<0，①当a ≥0时，不等式f ′(x )<0无解；②当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，－2a －12，f ′(x )<0，函数f ′(x )单调递减． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，＋∞为增函数；当a <0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－2a －12，＋∞为增函数；在区间⎝⎛⎭⎫－12，－2a －12为减函数． (12分)19．【解析】 (Ⅰ)由题设有a 1＋a 2－4a 1＝0，a 1＝1， 解得a 2＝3.由题设又有4a 22＝b 1b 2，b 1＝4，解得b 2＝9. (2分)(Ⅱ)由题设nS n ＋1－()n ＋3S n ＝0，a 1＝1，b 1＝4，及a 2＝3，b 2＝9，进一步可得a 3＝6，b 3＝16，a 4＝10，b 4＝25，猜想a n ＝n ()n ＋12，b n ＝()n ＋12，n ∈N *. (4分)先证a n ＝n ()n ＋12，n ∈N *当n ＝1时，a 1＝1×()1＋12，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝2 时，a 2＝2×()2＋12，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝k ()k ＋12，k ≥2.由题设，kS k ＋1＝()k ＋3S k ，① (k －1)S k ＝()k ＋2S k －1.②①的两边分别减去②的两边，整理得ka k ＋1＝()k ＋2a k ， 从而a k ＋1＝k ＋2k a k ＝k ＋2k ·k ()k ＋12＝()k ＋1[()k ＋1＋1]2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式a n ＝n ()n ＋12， 对任何的n ≥2成立．综上所述，等式a n ＝n ()n ＋12对任何的n ∈N *都成立． (8分)再用数学归纳法证明b n ＝()n ＋12，n ∈N *. (1)当n ＝1时，b 1＝()1＋12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即b k ＝()k ＋12， 那么b k ＝4a k ＋12b k ＝()k ＋12()k ＝22()k ＋12＝[()k ＋1＋1]2. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式b n ＝()n ＋12对任何的n ∈N *都成立． (12分) 20．【解析】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2 ∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (4分) (2)依题意，有所求 面积＝1-⎰(x 2＋2x ＋1)dx ＝(13x 3＋x 2＋x )|01-＝13. (8分)(3)依题意， 有1t --⎰(x 2＋2x ＋1)dx ＝0t-⎰(x 2＋2x ＋1)dx ，∴(13x 3＋x 2＋x )|1t --＝(13x 3＋x 2＋x )|0t -， －13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t,2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132. (13分)21．【解析】 (1)当k ＝1时，函数f (x )＝ln x ＋1x ()x >0，则f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当f ′(x )<0时，0<x <1，当f ′(x )>0时，x >1， 则函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞). 4分 (2)f (x )≥2＋1－ex恒成立， 即ln x ＋kx ≥2＋1－e x 恒成立，整理得k ≥2x －x ln x ＋1－e 恒成立．设h (x )＝2x －x ln x ＋1－e ，则h ′(x )＝1－ln x ，令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当x ∈()0，e 时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增， 当x ∈()e ，＋∞时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减，因此当x ＝e 时，h (x )取得最大值1，因而k ≥1. 8分 (3)g (x )＝xf (x )－k ＝x ln x ，g ′(x )＝ln x ＋1. 因为对任意的x 1，x 2(0<x 1<x 2)总存在x 0>0， 使得g ′()x 0＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2成立，所以ln x 0＋1＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2，即ln x 0＋1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2x 1－x 2，即ln x 0－ln x 1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2x 1－x 2－1－ln x 1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2－x 1＋x 2x 1－x 2＝ln x 1x 2＋1－x 1x 2x 1x 2－1. 12分设φ()t ＝ln t ＋1－t ，其中0<t <1，则φ′()t ＝1t －1>0，因而φ()t 在区间(0,1)上单调递增φ()t <φ()1＝0，又x 1x 2－1<0.所以ln x 0－ln x 1>0，即x 0>x 1. 14分。
2017届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三上学期暑假联考地理试题及答案
图 1 揭阳一中、潮州金山中学2017届高三上学期暑假联考文综地理试题一、选择题：（本大题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案涂在答题卡上。
）1. 某日我国一中学学习小组于当地正午前后持续测量该校旗杆影子，并记录了影子的长度和方向（旗杆的长度已知），利用该记录数据一定能推导出A ．日出的时间B ．正午太阳高度C ．当地的经度D ．当地的纬度月平均气温（℃）日最低 日最高 26 40 20 34 24 30 19 29 1929图 2A ．纬度B ．地形C ．大气环流D ．海陆位置3. 读图2（我国某地的地理要素日变化曲线图），纵轴起始点为0，图中曲线最不可能是A.太阳辐射日变化曲线B.地面辐射日变化曲线C.气温日变化曲线D.受雾影响的能见度曲线4. 径流系数是指一定汇水面积内径流量与降水量的比值。
城市化可能会提高区域径流系数，原因是A ．雨岛效应，降水增加B ．热岛效应，蒸发加强C ．硬地增加，下渗减弱D ．绿地减少，蒸腾减弱5. 有关山的形成,下面说法正确的是A.岩层断裂错位上升形成断块山B.板块运动地块隆起形成向斜山C.岩层受侵蚀弯曲形成褶皱山D.岩浆侵入，冷却堆积形成火山6.青藏高原东部和南部高原边缘为森林地带，向西北依次为高寒草甸、高寒草原和高寒荒漠。
产生这种分异的主要因素是A．热量 B．光照 C．地形 D．降水量7.图3为我国某地河流实测径流量和降水量。
图中反映了该河流8月中旬的一次降水量与径流量的变化过程，最大降水量与最大径流量之间有一个时间差，近年观测发现这个时间差逐年变大，这可能是由于①水土流失日益严重②流域内植树种草，植被覆盖率提高③全球气候变暖④退耕还沼，退耕还湖效果显著A．①②B．②③C．③④D．②④图 3图 58. 读图4我国某城市总人口的逐日变化示意图（2008年11月28日～2009年3月8日）,引起春节期间下图城市人口巨大变化的最主要原因是 A ．洪涝灾害B ．疾病传播C ．旅行度假D ．民工返乡图5示意1972~2011年我国西北地区某流域不同朝向冰川面积的变化(单位:km)。
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题 文
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题文9．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（，e）D．（e，+∞）10．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则此时灯塔C位于游轮的( )A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向11．已知ABC∆的三个顶点,,A B C的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O为坐标原点，动点P满足1CP=，则OA OB OP++的最小值是（）．A．423-B．31-C．31+D．3 12．已知都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①为奇函数，为偶函数；②；③当时，总有，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．二. 填空题（共4小题，每题5分。
答案填在答题卡相应位置上） 13．已知向量，若，则=+→→|2a |b __________．14．已知{}na 是等差数列，前n 项和为()nS n N ∈* ，且 0,01817<>s s ，则ns 最大时n= ．15．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是 ． 16．关于x 的不等式032>-+-bx x 在区间（0，∞+）上的解集含有唯一整数，则实数b 的取值范围是 .三、解答题（解答题答案写在答题卡相应位置上） 17、（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 2A C+=（1）求B tan 的值；（2）若3a =，22b =ABC 的面积． 18、（12分）已知{}na 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a aa -==.(1)求{}na 的通项公式；(2)若对任意的,b nn N ∈*是2log na 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和.19、（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面. （1）证明：⊥PBC 平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.20、（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x（°C） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗）2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （注：()()()1122211ˆˆ,ˆnni i iii i nnii i i x y nxyx x y y bay bx x nx x x ====---===---∑∑∑∑） 21、（12分）设函数()313f x xax =-()0a >，()221g x bxb =+-.（1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值；（2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围； （3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．在下列22题23题中选做一题。
2017届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三上学期暑假联考理科数学试题及答案
揭阳一中、潮州金山中学2017届高三上学期暑假联考数学（理）试题一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1. 若集合{}0P y y =≥，P Q Q = ，则集合Q 不可能是（ ） A ．∅ B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R x y y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x => 2.若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A.2-B.2C.2i -3.已知R a ∈且0≠a ，则“11<a”是 “a >1A ．充分不必要条件 B C ．充要条件 D4用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的 部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所 示，则①处应填（ ）.A 0.85y x = .B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+5.在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅= ，则△ABC 的面积为（ ） DA.3 B.4 C.6D.1256. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A ．21 B ．1 C ．23 D ．27.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14B. 15C. 16D. 178. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+；③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9.不等式316x x ++-≥的解集是 ． 10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3= .11.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .12.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠= ，则椭圆的离心率为 .13.设x 、y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为4，则2a bab+的最小值为 . （二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若1CD BD ==, 则圆O 的面积为 .三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本题满分12分）设(3,sin 2)a x =- , (cos 2b x =,()f x a b =⋅（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合；（Ⅲ）求满足()f α=且0απ<<的角α的值．17. （本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（Ⅰ）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列，数学期望和方差．18．(本题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD-中，AB//CD，AB AD⊥，4,2AB AD CD===，PA⊥平面ABCD，4PA=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦PQPB的值．19．（本题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-记12log n n b a =．（Ⅰ）求1a ,2a 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）令221(2)(1)n n n c n b +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <．20．（本题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．21. （本题满分14分） 设函数()=ln(1)1axf x x x +-+，()a R ∈；()(1)1x g x k kx =+--，(1,)k ∈-+∞. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[0,1]x ∈时，求函数()g x 的最大值；（Ⅲ）求证：*1111ln(1)()1nnk k n n N k k==<+<∈+∑∑理科数学参考答案（Ⅱ）当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值 此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………9分（Ⅲ）由()f α=)6πα+= 得1cos(2)62πα+=-…10分又由0απ<<得 22666πππαπ<+<+， 故242633πππα+=或，解得7412ππα=或． ……12分17. 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………5分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===． (8)分∴ξ的分布列为：3176012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= … 10分22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅=…… 12分 18．（Ⅰ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,D ，(2,C . …………2分所以(4,BD =-，(2,AC = ，(0,0,4)AP =，zyxP D CB A所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯++⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 4分因为 AP AC A = ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . …………………6分（Ⅱ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ= . 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,44)CQ λλ=---+. ……………9分 由（Ⅰ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.因为 sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅， ……………12分得解得7[0,1]12λ=∈所以712PQ PB =. 法2：(Ⅰ) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ …..2分 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥ (4)C分因为 AP AC A = ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . ………6分（Ⅱ）解：设PQPBλ=（01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.记AC 交BD 于O ，连结PO .过Q 作QE 平行于BD ，交PO 于E . 连结CE 、CQ .由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，∴QE ⊥平面PAC ，∴QCE∠即为CQ 与平面PAC 所成角.∴33sin ==∠CQ QE QCE ①. ……8分设k PB PQ =（10≤≤k ），则k BOQE=.在ACD Rt ∆中， 2=CD ，22=AD ，∴32=AC .易证ACD ∆∽BAO ∆，∴AD BOAC AB =，即22324BO =，∴BO =，∴k QE 364= ②. 在PAB Rt ∆中， 4=PA ，4=AB ，∴24=PB ，∴k PQ 24=.在PAC Rt ∆中， 4=PA ，32=AC ，∴72=PC . 根据余弦定理有：PCPQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， …………12分即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得28483222+-=k k CQ ③. 将②，③代入①，解得127=k . ………14分 19解：（Ⅰ）由11612S a =-，得11612a a =-，解得118a =． (1)分22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得2132a =． …………3分 （Ⅱ）由612n n S a =- ……①，当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， …………4分 ①－②得：114n n a a -=，…………５分∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列 …………６分 12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …………７分2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭． …………８分（Ⅲ）证明:由（2）有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. …………10分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 12分 ])2n (1)1n (1211[161222+-+-+=…………13分 645)211(1612=+<. …………14分20.解：（Ⅰ）依题意，得2a =，ce a ==1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C的方程为2214x y += ． ……………3分 （Ⅱ）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M在椭圆C上，所以412121xy -=． （*） ……………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． (6)分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分 （Ⅲ） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y yx y x x S ++=， …………10分 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅（**） ………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………12分代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………14分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x af x x x x +-+-'-=+++， …1分令()=01f x x a '⇒=-， ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时：在区间(1,)-+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)-+∞； ……2分ⅱ）当110a a ->-⇒>时：在区间(1,1)a --上，()<0f x '恒成立，故()f x 的减区间为(1,1)a --； ……3分在区间(1,)a -+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)a -+∞. ……4分（Ⅱ）ⅰ）k =时，()0g x =，所以max ()0g x =； ……5分ⅱ）0k ≠时，易知()(1)ln(1)x g x k k k '=++-，于是：(1)(1)ln(1)g k k k '=++-，(0)ln(1)g k k '=+-，由（Ⅰ）可知(1)0g '>， 下证(0)0g '<，即证明不等式ln(1)0x x +-<在(1,0)(0,)x ∈-+∞ 上恒成立.（法一）由上可知：不等式ln(1)1xx x +>+在(1,0)(0,)x ∈-+∞ 上恒成立，若(1,0)(0,)x ∈-+∞ ，则11(1,0)(0,)11x x x -=-∈-+∞++ ，故1ln()ln(1)11x x x =-++ 111xx x x x -+>=--++，即当(1,0)(0,)x ∈-+∞ 时，1ln()1x x >-+，从而ln(1)x x +<，故当(1,0)(0,)x ∈-+∞ 时，ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分（法二）令()ln(1)G x x x =+-，(1,)x ∈-+∞，则1()111xG x x x-'=-=++，列表2如下：表2：由表2可知：当(1,0)(0,)x ∈-+∞ 时，()(0)0G x G >=， 故ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分由于(1)0g '>，且(0)0g '<，故函数()(1)ln(1)x g x k k k '=++-区间(0,1)内必存在零点.……8分又当(0,)k ∈+∞时，ln(1)0k +>，指数函数(1)x y k =+为增函数()g x '⇒为增函数，同理当(1,0)k ∈-时，ln(1)0k +<，指数函数(1)x y k =+为减函数()g x '⇒也为增函数，于是，当(1,0)(0,)k ∈-+∞ 时， ()(1)ln(1)x g x k k k '=++-必为增函数， 从而函数()g x '在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为0x ，则0()=0g x '， 易知当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减； 当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增， 又易知(0)(1)0g g ==，故max ()0g x =；。
广东省汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案)$716297
2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2430A x x x =-+<，212B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 2．已知命题：p :在ABC ∆中，“sin cos A B >”是“ABC ∆为锐角三角形”的必要不充分条件;q :2000,220x R x x ∃∈++<.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨ 3．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．已知函数sin 2cos 2y x x =-，则下列结论中正确的是( )．A ．关于点(,8π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称C ．向左平移4π后得到奇函数 D ．向右平移8π后得到偶函数 5．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( )(A) (B) (C) (D)6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在 22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时7．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为 ( )．A ．8 2B ．9 2C ．14 2D ．8 38．若()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，()22xf x =-，则12(log 24)f 的值等于（ ） A ．43-B ．72-C ．12D ．12- 9．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥yx ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |210．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有211221()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(sin )(log 2)(3)7,,3log 2sin 7f f f a b c ππππ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ． b a c << 11．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()1,00,f x f x f f x ''>-=是()f x 的导函数，则不等式()1xxe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,-+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()0,+∞12．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f (x 1＋x 22)≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f (x 1＋x 2＋x 3＋x 44)≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为 ． 14．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为 ． 15．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则a 的取值范围是 ． 16．已知函数22 ( 0)()3 ( 0)x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若2(sin ,1)2B Cm +=， (2,cos21)n A =-+，且m n ⊥.(1)求角A 的大小；(2)当a =，且△ABC 的面积错误！未找到引用源。
广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷
广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）对于非空集合，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M⊕N＝________.2. （1分）(2017·上海模拟) 函数y=x2﹣3x（x＜1）的反函数是________．3. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 计算： =________．4. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 已知tanθ=2，则sin2θ+sec2θ的值为________．5. （1分） (2017高三上·邳州开学考) 已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是________．6. （1分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为________7. （1分） (2018高二下·惠东月考) 设等比数列满足，则的最大值为________.8. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知函数，当时，函数的最小值与最大值之和为________．9. （1分） (2020高三上·开鲁月考) 在研究函数的变化规律时，常常遇到“ ”等无法解决的情况，如，当时就出现此情况．随着微积分的发展应用，数学家采取了如下策略来解决：分式的分子、分母均为可导函数，分别对分式的分子、分母的两个函数求导，如对函数的分子、分母求导得到新函数，当时，的值为1，则1为函数在处的极限，根据此思路，函数在处的极限是________．10. （1分） (2016高一下·南汇期末) 函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．11. （1分）设x=cosα，且，则arcsinx的取值范围是________12. （1分） (2016高一上·东海期中) 设，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（f（x）），f3（x）=f2（f（x）），…，fn（x）=fn﹣1（f（x）），（n≥2，n∈N）则f100（x）=1的解为x=________．13. （2分）已知数列n∈N* ，n≥2的前n项和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），则a1=________；数列{an}的通项公式为an=________．14. （1分） (2018高一上·和平期中) 函数的零点的个数是________．二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）设函数，则对于任意实数a和b，是的（）条件A . 必要不充分B . 充分不必要C . 充要D . 既不充分也不必要16. （2分） (2019高一上·定远月考) 定义在上的偶函数在上是减函数,则（）A .B .C .D .17. （2分）设变量x，y满足约束条件且目标函数z1＝2x＋3y的最大值为a，目标函数z2＝3x－2y的最小值为b，则a＋b＝（）A . 10B . －2C . 8D . 618. （2分）设指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），则下列等式中不正确的是（）A . f（x+y）=f（x）•f（y）B .C . f（nx）=[f（x）]n（n∈Q）D . [f（xy）]n=[f（x）]n•[f（y）]n（n∈N+）三、解答题 (共5题；共45分)19. （10分） (2015高三上·厦门期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．20. （10分） (2019高三上·杨浦期中) 《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？21. （5分）(2020·茂名模拟) 已知函数，对，满足 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，使不等式，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高二上·烟台期中) 已知等差数列的各项为正数，其公差为1，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．23. （10分） (2019高一上·株洲月考) 某市出租车的计价标准是：4km以内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、选择题 (共4题；共8分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
金山中学2017届高三上学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市金山中学高三(上）期中数学试卷一、填空题（每题4分,共56分）1．已知集合A=｛x｜log2(x﹣1)＜2}，B={x|2＜x＜6}，且A∩B= ．2．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是｛x｜2＜x＜3｝，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．3．若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan(π﹣α）= ．4．在等差数列｛a n｝中，a7=8,前7项和S7=42，则其公差是．5．= ．6．若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数对称轴为．7．在△ABC中，a=5，b=8，C=60°,则的值为．8．关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．9．若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数图象过,则函数的图象一定过．10．设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{a n｝的公比q的值等于．11．已知不等式对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围．12．将正整数排成如图所示:其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为．13．若偶函数y=f(x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0］时,f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为个．14．若数列｛a n}满足“对任意正整数n,恒成立"，则称数列｛a n}为“差非增数列”．给出下列数列｛a n}，n∈N*:①a n=2n++1，②a n=n2+1，③a n=2n+1,④a n=ln，⑤a n=2n+．其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号)．二、选择题(每题5分，共20分）15．若a、b∈R，则“a＜b＜0"是“a2＞b2”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知角θ的终边经过点P(x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于( ）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣17．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f(﹣x)=﹣f（x)；当x＞时,f（x+）=f（x﹣）．则f（6)=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．218．已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g(x）=log a||x｜﹣b|的图象是( ）A．B．C．D．三、简答题(共74分）19．已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c,且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；(2)若c=，求a﹣b的取值范围．20．已知数列｛a n｝的前n项和，｛b n｝是等差数列,且a n=b n+b n+1；（1）求数列{b n｝的通项公式;（2)求的最大项的值,并指出是第几项．21．某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t(单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件);已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半"之和时，则当年的产量和销量相。
揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三(上）期中数学试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．｛1，2}B．｛x|x≤1} C．｛﹣1,0，1｝D．R2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足•（+)=5,且｜|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为(）A．B．﹣C．D．﹣4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（)A．1 B．2 C．3 D．45．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺,末一日织一尺，计织三十日”,由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33％ B．49％ C．62% D．88%6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(）A． B．C． D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．若A为不等式组表示的平面区域,则当a从﹣2连续变化到1时,则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为(）A．1 B．C．D．9．已知A，B是球O的球面上两点,∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的体积为（）A．81πB．128π C．144π D．288π10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a＞b＞0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=，则关于方程f（｜x｜)=a，(a∈R）实根个数不可能为(）A．2 B．3 C．4 D．512．函数f（x）=Asin（2x+φ）(｜φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1）=f(x2），有f（x1+x2)=,则（）A．f（x）在(﹣,）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x)在（，)上是减函数 D．f（x)在(,）上是增函数二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分,满分20分)13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间［481，720]的人数为．14．已知x＞0,y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．15．已知抛物线y2=2px(p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．16．设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1,x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题,共70分．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．(1）求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2)设a n b n=，S n为数列｛b n｝的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．18．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优"；当n∈［100，200）时，拥挤等级为“良"；当n∈［200，300）时，拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;游客数量［0，100）[100，200）［200，300）[300，400］（单位：百人）天数 a 10 4 1频率 b（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形,CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH（1）求证：平面AGH⊥平面EFG（2）若a=4,求三棱锥G﹣ADE的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b)2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标;（3）在（2)的条件下求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x)=a（x﹣1)(e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）证明：当a＞0时,函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ)若函数f(x）存在两个极值点x1，x2，证明:0＜f（x1）＜且0＜f(x2)＜．［选修4-4：坐标系与参数方程］22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．［选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=｜2x﹣a｜+｜2x+3|，g（x)=|x﹣1|+2．(1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若集合B={x｜x≥0｝，且A∩B=A，则集合A可能是（)A．{1，2}B．｛x｜x≤1}C．｛﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B=｛x｜x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B=｛x｜x≥0｝，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中｛1，2}满足要求，故选：A2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选:D．3．已知平面向量、满足•（+）=5，且｜｜=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解:根据条件，=；∴．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件,k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2,不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B5．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”,由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的(）A．33％ B．49％ C．62％ D．88％【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n｝,且a1=5,a30=1，设公差为d，则1=5+29d,解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．故选:B．6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°,又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解:由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选:D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换(）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）=cos（2x﹣）=cos2(x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，故选:C．8．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x +y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x +y=a （即y=﹣x +a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形,△EOC 是直角边为1等腰直角三角形， 所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．9．已知A ，B 是球O 的球面上两点,∠AOB=60°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则球O 的体积为（ ） A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π 【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为18,求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =，故R=6，则球O 的体积为πR 3=288π， 故选D ．10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为(）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c,AC=AB=a，OC=b,根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解:由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc,S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c)×=,∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．11．已知函数f（x）=，则关于方程f（｜x|）=a，（a∈R）实根个数不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得求函数y=f（｜x｜）的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f（｜x|)的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论．【解答】解:方程f(｜x|）=a,（a∈R）实根个数即为函数y=f(|x|）和直线y=a的交点个数．由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f(｜x｜）的图象,如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．故选：D．12．函数f(x）=Asin（2x+φ)(｜φ｜≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b)=0,对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)=f（x2）,有f（x1+x2）=，则（）A．f（x)在(﹣，)上是减函数B．f（x)在（﹣,）上是增函数C．f（x）在(，）上是减函数D．f（x）在（,）上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f（x)的最小正周期,且b﹣a为半周期，再根据f（x1)=f（x2）时f(x1+x2）的值求出φ的值,从而写出f（x）的解析式，判断f（x)的单调性．【解答】解：∵f(x）=Asin(2x+φ)，∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f（a）=f(b）=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈［a,b］，且f(x1）=f（x2)时，有f（x1+x2)=,∴sin[2（x1+x2）+φ］=，即2（x1+x2）+φ=，且sin（2•+φ)=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，∴函数f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数,∴f(x)在区间（﹣，）上是单调增函数．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查,将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中,编号落入区间[481，720］的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1~480的人中，恰好抽取=24人,接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为:4．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4),由AM的斜率可求出a的值．【解答】解:根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1,4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1,故a=．故答案为：．16．设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值,利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈（0,+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x)==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号,即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x)＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1,此时函数g（x)为减函数,即当x=1时，g(x）取得极大值同时也是最大值g（1）=,则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．)17．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．（1）求｛a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设a n b n=，S n为数列{b n｝的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可知，解得即可，（2）求出数列b n的通项公式，根据裂项求和求出S n，即可求出t的范围．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得,解得a1=d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n=2n+=n(n+1），（2）∵a n b n=，∴b n==（﹣),∴S n=(1﹣+…+﹣）=（1﹣）＜,∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t≥18．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”;当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；游客数量[0，100) ［100,200）[200，300）[300,400]（单位：百人）天数 a 10 4 1频率 b（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优"的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率．【解答】解:（Ⅰ)游客人数在[0,100）范围内的天数共有15天，故a=15,b=，…游客人数的平均数为=120（百人）．…(Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1,2），（1，3），（1，4)，（1，5)，（2,4)，（2，5)，（3，4)，(3，5），（4，5),共10种，…其中游客等级均为“优”的有（1，4)，（1,5),(4，5）,共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率为．…19．在多面体ABCDEFG中,四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH（1)求证：平面AGH⊥平面EFG（2)若a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定．【分析】(1)连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG,从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．（2）由V G﹣ADE =V E﹣ADE,能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：（1）连接FH，由题意，知CD⊥BC,CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG,∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH,…由题意，得BH=，CH=，BG=,∴GH2=BG2+BH2=，FG2=（CF﹣BG）2+BC2=，FH2=CF2+CH2=,则FH2=FG2+GH2,∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解:(2）∵CF⊥平面ABCD,BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G﹣ADE =V E﹣ADE,∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G﹣ADE的体积V G﹣ADE =V E﹣ADE=．20．已知椭圆C： +=1(a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+(y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程;（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证:直线MN过定点，并求出定点坐标；(3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1)根据椭圆C： +=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+(y﹣b)2=a2相切,建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2)由得（m2+4)y2﹣4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论;(3）求出三角形的面积,变形，利用基本不等式求△AMN面积的最大值．【解答】解:(1）由题意即…（2）∵A（﹣2，0）设l1:x=my﹣2，由得（m2+4）y2﹣4my=0∴同理∴i）m≠±1时，过定点ii）m=±1时过点∴l MN过定点（3）由（2）知=令时取等号，∴时去等号，∴21．已知函数f(x）=a（x﹣1）（e x﹣a)（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ)证明:当a＞0时,函数f(x）有且只有一个极值点；（Ⅱ)若函数f（x）存在两个极值点x1，x2,证明：0＜f(x1）＜且0＜f（x2）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）证明：当a＞0时,f′（x)=0只有一个根,即可证明函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）求出函数f（x）存在两个极值的等价条件,求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可．【解答】(Ⅰ)证明：函数的导数f′(x）=a[e x﹣a+(x﹣1）e x]=a（xe x﹣a），当a＞0时，由f′(x)=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象,则两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f（x）有且只有一个极值点；(Ⅱ)由（Ⅰ)知，当a＞0时，函数f（x)有且只有一个极值点;不满足条件,则a＜0,∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点,令h′（x）=a(x+1)e x=0，得x=﹣1，令h′（x）＞0得x＜﹣1,令h′（x）＜0得x＞﹣1，∴h（x）在（﹣∞，﹣1］上是增函数,在[﹣1，+∞）上是减函数,∵h(0）=f′（0）=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′（t）=a(te t﹣a)=0，得a=te t，此时f（t）=a（t﹣1)(e t﹣a）=te t（t﹣1）(e t﹣te t）=﹣e2t t（t﹣1）2=﹣e2t（t3﹣2t2+t）,∵x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点，∴f（x1）=﹣e（x13﹣2x12+x1），f（x2）=﹣e（x23﹣2x22+x2），将代数式﹣e2t（t3﹣2t2+t)看作以t为变量的函数g（t)=﹣e2t（t3﹣2t2+t)．g′（t）=﹣e2t(t2﹣1）（2t﹣1)，当t＜﹣1时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＞0，则g′（t）在(﹣∞,﹣1）上单调递增，∵x1＜﹣1,∴f（x1)=g（x1）＜g（﹣1)=，∵f（x1）=﹣e x1（x1﹣1）2＞0，∴0＜f（x1)＜，当﹣1＜t＜0时,g′（t)=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＜0，则g′（t）在（﹣1，0）上单调递减，∵﹣1＜x2＜0,∴0=g(0）=g（x2)=f（x2)＜g（﹣1）=综上,0＜f（x1）＜且0＜f(x2)＜．[选修4—4：坐标系与参数方程］22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P,Q两点，求｜PQ｜的值．【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算｜PQ|．【解答】解：（1)∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，由(t为参数)消去t得:．所以直线l的普通方程为．（2)把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1,t2，则t1+t2=3，t1t2=5．所以｜PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲］23．已知函数f（x)=｜2x﹣a｜+｜2x+3｜，g（x）=｜x﹣1|+2．（1）解不等式｜g（x)｜＜5；(2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1）=g（x2)成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1｜+2｜＜5，转化为﹣7＜|x﹣1｜＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f(x）}⊆{y｜y=g（x)｝,通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解:（1）由｜|x﹣1|+2｜＜5，得﹣5＜|x﹣1｜+2＜5∴﹣7＜｜x﹣1｜＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…(2）因为任意x1∈R,都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x)}⊆｛y｜y=g（x）}，又f（x）=｜2x﹣a|+|2x+3|≥｜（2x﹣a)﹣（2x+3）|=|a+3|,g（x）=｜x﹣1|+2≥2,所以｜a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2017年1月6日。
高三数学试题揭阳一中高三上期中数学试题学科试卷
高三数学试题揭阳一中高三上期中数学试题学科试卷
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高三数学试题：揭阳一中高三上期中数学试题
广东省潮州金中-揭阳一中____届高三第一学期期中联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。
1、设全集U是实数集R，M＝{_|_2＞4}，N＝{_|__ge;3或_＜1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()[来源:学科网]
A.{_|－2_le;_＜1}
B.{_|－2_le;__le;2}
C.{_|1＜__le;2}
D.{_|_＜2}
2、下列命题中的假命题是（）
A．B．是的充分不必要条件
C．D．__lt;2是|_|_lt;2的充分非必要条件
3、的值为（）
A．B．C．D．
4、已知_alpha;_isin;(2(_pi;)，_pi;)，sin_alpha;＝5(3)，则tan(_alpha;＋4(_pi;))等于()
A.7(1)
B.7
C.－7(1)
D.－7
5、下面四个函数中，对于,满足的函数可以是（）
A.㏑_
B.
C.3_
D.3_
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广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷
广东省揭阳市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·重庆模拟) 已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x=ab，a，b∈A，且a≠b），则A∩B=（）A . {﹣1，0，2，3}B . {0，1，2}C . {0，2，4}D . {0，2，3，6}2. （2分） (2017高一上·安庆期末) 下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（）A . y（x）=x•exB .C .D .3. （2分） (2018高二下·台州期中) 函数，的图象可能是（）A .B .C .D .4. （2分）在等比数列{an}中，a1= ，则a5等于（）A .B .C .D .5. （2分）设函数f（x）=（ex﹣1）•（x﹣1）2则（）A . f（x）在x=1处取到极小值B . f（x）在x=1处取到极大值C . f（x）在x=﹣1处取到极小值D . f（x）在x=﹣1处取到极大值6. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 设函数，则“函数在上存在零点”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分且必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若，则 =（）A .B . 1C .D .8. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 函数f（x）= 的图象可能是（）A .B .C .D .9. （2分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （1，+∞）10. （2分）已知数列{an}和{bn}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A . 7B . 8C . 9D . 1011. （2分）已知函数，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）若函数为奇函数，则a=（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为________14. （1分） (2018高二下·河北期末) 直线是曲线的一条切线，则实数________．15. （1分）(2017·民乐模拟) 已知数列{an}的首项a1=m，其前n项和为Sn ，且满足Sn+Sn+1=3n2+2n，若对∀n∈N+ ， an＜an+1恒成立，则m的取值范围是________．16. （1分） (2017高二下·穆棱期末) 设函数对任意实数满足 ,且当时, ,则 ________.三、解答题 (共14题；共72分)17. （15分） (2016高一上·浦东期末) 已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．18. （10分）(2017·扬州模拟) 已知各项不为零的数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，Sn=panan+1（n∈N*），p∈R．（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数p的值；（2）若a1，a2，a3成等差数列，①求数列{an}的通项公式；②在an与an+1间插入n个正数，共同组成公比为qn的等比数列，若不等式（qn）（n+1）（n+a）≤e对任意的n∈N*恒成立，求实数a的最大值．19. （10分） (2016高一上·定州期中) 已知实数a≠0，函数f（x）=（1）若a=﹣3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1﹣a）=f（1+a），求a的值．20. （5分） (2020高二上·兰州期末) 设函数在和处有极值，且，求的值，并求出相应的极值.21. （2分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ上的两点A，B对应的极角分别为,，则弦长|AB|等于（）A . 1B .C .D . 222. （2分）参数方程（t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（）A . （1,0），（0，-2）B . （0,1），（-1,0）C . （0，-1），（1,0）D . （0,3），（-3,0）23. （1分）(2013·重庆理) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=________．24. （1分）(2013·湖北理) （选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．25. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 已知在直角坐标系中,直线的参数方程为是为参数）,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）在曲线上求一点 ,使得它到直线的距离最大,并求出最大距离.26. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .27. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件28. （1分） (2016高一上·虹口期中) 不等式|2﹣x|＜1的解集为________．29. （1分）若f（x）=3﹣2x，则|f（x+1）+2|≤3的解集为________30. （10分）(2018·榆社模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共14题；共72分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、30-2、。
广东省汕头市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤<（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（4）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B) 3 (C) 13- (D) 3-（5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16（6）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（8）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152(9)若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )0.3＞(1－m)0.5（10）已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π（11）设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为( ) .(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）8+ （B ）8+（C ）2+ （D ）1224++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14） ()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案）（15）已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=⋅=-，则||AD 的最小值是 .（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（20）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（21）（本小题满分12分）已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =-（Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．2017年 潮师高级中学 期中测试理科数学试题答案及评分参考一．选择题（1）D （2）D（3）C（4）A （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D（11）D（12）A二．填空题（13）43（14） 40- （15）1（16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =，由余弦定理得2222225cos 225AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠==⨯⨯⨯⨯． ………4分因为CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC所以cos 2BCCBD BDx∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC =AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分所以2x =25分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos 2BC CBD BD ∠==，所以30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC =． 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=．……………………………………………12分 【18】[自主解答] (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2， 得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－17)＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1]＝12(1－16n ＋1)． 因此，要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m20(n ∈N *)恒成立， 则m 需满足12≤m20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.（19）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （（20）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面 BD ⊂平面A B C D ，所以1A O B D ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 所以cos ,<>==n m 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥连接11A C 与11B D 交于点1O ， 连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，………………………10分所以11CAA C 为平行四边形．因为O ，1O 分别是AC ，11A C 的中点， 所以11OA O C 为平行四边形．且111O C OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1C H O O ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B O BC --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1A O ⊥11A B，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ，所以11B C A D ===． 因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH =．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e3x mf x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出二种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分 设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=．所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分 所以要证明1eln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x 、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） （22）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分 所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2s i n 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（23）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分（Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <<()f x x x =2x =+£+-=+当x ≥()f x x x =+=+ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =-x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分 因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=，即12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z ，此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
广东省揭阳一中、潮州金中2017届高三数学8月联考试题理
2021-2021学年度高三级两校摸底考理科数学试题一、选择题：共12小题，每题5分，共60分．在每个小题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求一项． 1. 设集合{|41|9,}A xx x R =-<∈，，那么R C A B =〔 〕A.(32]--B.C.D. 2. i 是虚数单位,ii-25虚部为〔 〕 A.2 B.2- C. 2i D.2i -3. 等比数列{}n a 各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，那么=〔 〕 A. 1 B. 3 C. 6 D. 94. 2021年高考体检，某中学随机抽取5名女学生身高x 〔厘米〕与体重y 〔公斤〕数据如下表：x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，那么=a 〔 〕 A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.1045. 在双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-中，22c a b 成等比数列，那么该双曲线离心率等于〔 〕A.2 3 2 D.436. 如下图，网格纸上每个小格都是边长为1正方形，粗线画出是一个几何体三视图，那么该几何体体积为〔 〕A ．4B ．2C ．43D ．237. 函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><最小正周期是π，假设将其图象向左平移6π个单位后得到图象关于原点对称，那么函数()f x 图象〔 〕A.关于直线对称B.关于直线对称8. ()()log 1,(1)()21, (1)a x a x f x a x a x +->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有成立，那么实数a 取值范围是〔 〕A. ()1,+∞B.()1,2C.(]1,2D.()2,+∞ 9. 根据右边程序框图，当输入x 为2017时，输出y =〔 〕A ．28B ．10C ．4D ．2C ：24y x =焦点为F ，过F 直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点〔A 在x 轴上方〕，且3AF FB =，那么AF = 〔 〕A.4B.3C.32D.33 11. 正四面体ABCD 2 〕 A ．43π B ． C ． D ．3π12.函数，假设方程()0f x a -=四个根分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，那么取值范围是〔 〕A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应横线上。
广东省揭阳一中、金山中学2017届高三上学期期中联考理数试卷(含答案)-(化学)
开始n p<是输入p结束输出S 否12nS S =+1n n =+0,0n S ==广东省揭阳一中、汕头金山中学2017届高三上学期期中联考数学（理科）一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设复数2)1(12i iz +++=，则复数的共轭复数的模为()A 2B ．1C ．2D 32．已知全集R U =，若集合}{x y y A --==23,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02xx xB ，则=BC A U ()A ．)3,2[)0,( -∞B ．(],0(2,3)-∞ C ．)2,0[D ．)3,0[3．下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件4．在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则()259log b b 的值为()A ．2B ．4C ．8D ．15．执行下如图表1的程序框图，若输出127128s =，则输入p =（）A.6 B.7C.8D.96．已知某几何体的三视图如图表2所示，则该几何体的体积为()A.163B.643 C.803D.4337．已知()(),,1,2,4k Z AB k AC ∈==，若17AB ≤ 则B ∠是直角的概率是()A ．49B ．13C ．29D ．198.已知222sin cos 0,sin 23cos sin ααααα+=--=则（）．图表1图表2A.517-B.417-C.516-D.-29.三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，PB P A PC PB P A ⊥===,2，三棱锥ABCP -的外接球的表面积为()A.π48 B.π12 C.π34 D.π33210.已知)1(23)('xf x f x+=，则曲线)(x f 在点0=x 处的切线在x 轴上的截距为（）A ．1B ．3ln 5C ．3ln 5-D ．3ln 5111．已知数列}{n a 满足113a =，且()()11n n n a a a n N *+=+∈，则122017111111m a a a =++++++ 的整数部分是()A ．0B ．1C ．2D ．312.已知函数)1,0(0),(log 0,12sin )(≠>⎪⎩⎪⎨⎧<->-=a a x x x x x f a π的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是()A.)55,0( B.)1,55( C.)1,77( D.)77,0(二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在16)(yx xy -的二项展开式的17个项中，整式的个数是.14．已知Ω为xOy 平面内的一个区域.p :点()()20,,0360x y a b x y x x y ⎧⎫-+≤⎧⎪⎪⎪∈≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭；q :点(),a b ∈Ω.如果p 是q 的充分条件,那么区域Ω的面积的最小值是_________．15．已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ,直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则双曲线的离心率为16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a bc 222sin sin sin sin sin A B C A B C=++三.且2a =，则ABC ∆的外接圆的半径R =_________解答题（第17—21为必做题，第22,23题为选做题，共70分）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．18.(本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．(1)证明:BF∥平面ACD；(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；(3)求点G到平面BCE的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan F PF ∠=(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln ,f x x x ax a R =+-∈(1)若()f x 在),(00y x P （),22[0+∞∈x ）处的切线方程为2-=y ，求实数a 的值；(2)若()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点，()f x '是函数()f x 的导函数，证明：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭请考生在第22,23二题中任选一题作答，解答时请写清题号(如果多答，则按所做的第一题积分)22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=，射线:3OM πθ=与直线l 的交点为Q 、与圆C 的交点为O 、P ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设()f x =|1||1|x x -++.(1)求()2f x x ≤+的解集;(2)若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：1~5.ABBBB 6~ABD 11~12CD二、填空题：13.3;14.2;15.31;16.332三、解答题17.解：(1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，得a 1＝1．……2分当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1，……4分又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1．……6分(2)由(1)可知S n ＝1－a n q1－q，又S 3＋S 6＝2S 9，……8分得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q ，……9分化简得a 3＋a 6＝2a 9，……10分两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列．……12分18.解：(1)设事件A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩”()1223125525p A C =⨯⨯=……3分（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3……4分()22342255189010050C C p C C ξ⋅====⋅，()211123432422554812110025C C C C C p C C ξ⋅+⋅⋅====⋅()111223242422553210C C C C C p C C ξ⋅⋅+⋅===⋅()21121422551325C C C p C C ξ⋅===⋅……8分ξ∴的分布列为ξ0123p9501225310125……10分ξ∴的数学期望为()9123160123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19．解法一：(1)以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C，1(,2F ，∴3(,0)2BF =- ，……2分平面ACD 的法向量为)1,0,0(0)1,0,0(=⋅BF ，BF ⊄平面ACD 内……3分∴BF ∥平面ACD ；………4分（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥，(1,CB =，(1,CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，取2)n = ，……6分∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=；……8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE的法向量为2)n =，……10分∴所求距离||||BG n d n ⋅== ……12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ……2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ；……4分（2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES S θ∆∆=，……6分易求得BC=BE =，CE =1||2BCE S CE ∆=而23||4ACD S AC ∆==，∴2cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<，∴4πθ=；……8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C—BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，BCE S ∆=CG =，……10分∴BGE BCE S GC h S ∆∆⨯==即为点G 到平面BCE 的距离……12分20.解:(1)依题意71)34(11cos 2221=+=∠PF F ，322||21==c F F 在21PF F ∆中，由余弦定理得21212221221cos ||||2||||||PF F P F P F P F P F F F ∠-+=且||7||21P F P F =，联立解得21||,27||21==P F P F ……3分所以a P F P F 242127||||21==+=+，所以2=a 所以1222=-=c a b ∴所求C 的方程为2214x y +=.……6分（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①……8分又122814km x x k +=-+设,D E 中点为00(,)M x y ，224(,1414km mM k k -++1AM k k =-，得②2143k m k +=-……10分将②代入①得2221441(3k k k++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得5k >或5k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 为55(,(,)55-∞-⋃+∞……12分21.解：（1）依题意有2ln 0200-=-+ax x x ，02100=-+a x x ，……2分消去a 得01ln 200=+-x x ，),22[0+∞∈x ……3分1ln )(2+-=t t t h ，),22[+∞∈t显然0)1(=h ，且02121)(2≤-=-='tt t t t h 故01ln 200=+-x x 当且仅当10=x ……4分所以32100=+=x x a ……5分（2）12,x x 是函数()f x 的两个零点有()21111ln 0f x x x ax =+-=()22222ln 0f x x x ax =+-=，相减得121212ln ln x x a x x x x -=++-……5分121212121212ln ln 222x x x x f x x a x x x x x x +-⎛⎫'=++-=-⎪++-⎝⎭ ……6分所以要证明1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，只需证明121212ln ln 20x x x x x x --<+-()120x x <<即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明()12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>*+……9分令12(0,1)x t x =∈，则()()1ln 22g x t t t =+-+则()1ln 1g t t t '=+-，()211g t t t ''=-<()()()()0,1120g t g t g '''∴>=>在上递减，()()()()0,110g t g t g ∴<=在上递增，所以()*成立，即1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭………12分22.解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，………2分又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=………5分（2）设11(,)P ρθ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ==………7分设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩223,3πρθ==………9分所以||2PQ =………10分23.解：(1)由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩………3分解得02x ≤≤()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤………5分（2）|1||21|111112123||a a a aaaa+--=+--≤++-=当且仅当11120a a⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号.………8分由|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|3x x -++≥解得：32x ≤-或32x ≥.故实数x 的取值范围是33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。
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2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）A．B．1 C．2 D．2．（5分）已知全集U=R，若集合A={y|y=3﹣2﹣x}，B={x|≤0}，则A∩∁U B=（）A．（﹣∞，0）∪[2，3）B．（﹣∞，0]∪（2，3）C．[0，2） D．[0，3）3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且a7=b7，则log2（b5b9）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．15．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）已知某几何体的三视图如图表所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若||≤，则∠B是直角的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知2sinα+cosα=0，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣29．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．4πD．32π10．（5分）已知f（x）=3x+2xf′（1），则曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为（）A．1 B．5ln3 C．﹣5ln3 D．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=a n（a n+1）（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是．14．（5分）已知Ω为xOy平面内的一个区域，p：点（a，b）∈；q：点（a，b）∈Ω．如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是．15．（5分）已知双曲线：=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=．三.解答题（第17-21为必做题，第22，23题为选做题，共70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足（1﹣q）S n+qa n=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．18．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．（1）证明：BF∥平面ACD；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF 1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R（1）若f（x）在P（x0，y0）（x∈[））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：z=+（1+i）2=+2i=1﹣i+2i=1+i，=1﹣i，．故选：A．2．（5分）已知全集U=R，若集合A={y|y=3﹣2﹣x}，B={x|≤0}，则A∩∁U B=（）A．（﹣∞，0）∪[2，3）B．（﹣∞，0]∪（2，3）C．[0，2） D．[0，3）【解答】解：由2﹣x＞0得y=3﹣2﹣x＜3，则A={y|y=3﹣2﹣x}=（﹣∞，3），由得，解得0＜x≤2，则B=（0，2]，又U=R，则∁U B=（﹣∞，0]∪（2，+∞），所以A∩∁U B=（﹣∞，0]∪（2，3），故选：B．3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．4．（5分）在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且a7=b7，则log2（b5b9）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵2a3﹣a72+2a11=0，∴4a7﹣a72=0，解得a7=4．∴b7=4．∴log2（b5b9）===4．故选：B．5．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟执行程序框图，可得．解得：n=7．故当p=7时，n=7＜p，不成立，退出循环，输出S的值为．故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图表所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：它有四棱锥F﹣ABCD与三棱锥F﹣ABE组成，故体积V=×4×4×4+××2×4×4=，故选：C．7．（5分）已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若||≤，则∠B是直角的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由丨丨≤，k∈Z知，k2+1≤17，∴k∈{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，由=（k，1），=﹣=（2﹣k，3），且⊥，∴•=k（2﹣k）+3=0，解得k=﹣1，3，∴∠ABC是直角的概率为P=．故选：C．8．（5分）已知2sinα+cosα=0，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2【解答】解：∵已知2sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α====﹣，故选：A．9．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．4πD．32π【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π故选：B．10．（5分）已知f（x）=3x+2xf′（1），则曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为（）A．1 B．5ln3 C．﹣5ln3 D．【解答】解：由题意知，f（x）=3x+2xf′（1），∴f′（x）=（ln3）•3x+2f′（1），令x=1代入上式得，f′（1）=（ln3）•3+2f′（1），解得f′（1）=﹣3ln3，∴f（x）=3x﹣6（ln3）x，f′（x）=（ln3）•3x﹣6ln3，∴f（0）=1，f′（0）=ln3﹣6ln3=﹣5ln3，则在x=0处的切线方程是y﹣1=﹣5ln3（x﹣0），即y=﹣5（ln3）x+1，令y=0代入得，x=，∴曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为：，故选：D．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=a n（a n+1）（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由a n=a n（a n+1）（n∈N*）得出：=﹣，+1所以=﹣，所以m=++…+=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣．因为a n=a n（a n+1）（n∈N*），+1﹣a n=a n2≥0，所以a n+1而a2=a12+a1=+=，a3=a22+a2=+=＜1．a4=a32+a3=×+=×＞1，所以＜1．由m=3﹣知0＜m＜3，所以m的整数部分为2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0∵x＞0时，f（x）=sin（x）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，则若f（x）=sin（x）﹣1，（x＞0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（x）﹣1=f（x），即y=﹣sin（x）﹣1，x＜0，设g（x）=﹣sin（x）﹣1，x＜0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（x）﹣1，x＜0与f（x）=log a（﹣x），x＜0的图象至少有5个交点，则0＜a＜1且满足g（﹣7）＜f（﹣7），即﹣2＜log a7，即log a7＞log a a﹣2，则7＜，解得0＜a＜，故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是3．=，【解答】解：展开式的通项为：T r+1由题意，r=6，8，10，故答案为3．14．（5分）已知Ω为xOy平面内的一个区域，p：点（a，b）∈；q：点（a，b）∈Ω．如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若p是q的充分条件，则区域Ω的面积的最小值即为△ABC的面积，由得，即B（1，3），又A（0，6），C（0，2），则△ABC的面积S=，故答案为：215．（5分）已知双曲线：=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为1．【解答】解：∵直线y=（x+c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF1F2=60°，∠MF2F1=30°．∴∠F1MF2=90°，即F1M⊥F2M．∴|MF1|=|F1F2|=c，|MF2|=|F1F2|sin600=c，由双曲线的定义有：|MF2|﹣|MF1|=c﹣c=2a，∴离心率e===+1．故答案为：1．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=．【解答】解：由正弦定理可化sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC为a2+b2+c2=2absinC，再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入上式可得2（a2+b2）=2absinC+2abcosC，∴2（a2+b2）=4ab（sinC+cosC）=4absin（C+），∴a2+b2=2absin（C+）≤2ab，又由基本不等式可得a2+b2≥2ab，∴a2+b2=2ab，∴（a﹣b）2=0且sin（C+）=1，∴a=b且C=，∴△ABC为正三角形，由正弦定理可得2R===，解得R=故答案为：三.解答题（第17-21为必做题，第22，23题为选做题，共70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足（1﹣q）S n+qa n=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．当n≥2时，由（1﹣q）S n+qa n=1，得（1﹣q）S n﹣1+qa n﹣1=1，两式相减得：（1﹣q）a n+qa n﹣qa n﹣1=0，即a n=qa n﹣1，又q（q﹣1）≠0，所以{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，故a n=q n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n=，又S3+S6=2S9，得+=，化简得a3+a6=2a9，两边同除以q得a2+a5=2a8．故a2，a8，a5成等差数列．18．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（1）甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，共有25种抽法，其中只有一个优秀成绩，共有12种抽法，∴其中只有一个优秀成绩的概率为；（2）ξ=0，1，2，3，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.219．（12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．（1）证明：BF∥平面ACD；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．【解答】（1）证明：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B （2，0，1），E（0，0，2），C（1，，0），F（，，1），∴=（，，0）又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量且•=0∴BF∥平面ACD；…（4分）（2）解：设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则⊥，且⊥，由=（1，，1），=（﹣1，，2）得，不妨设y=，则=（1，，2）又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量∴所求角θ满足cosθ=∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为；…（8分）（3）解：由已知G点坐标为（1，0，0），∴=（﹣1，0，﹣1），由（2）平面BCE的法向量为=（1，，2）∴所求距离d=||=．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF 1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵tan∠F1PF2=4．∴cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．联立，解得a=2，m=，n=．∴b2=a2﹣c2=1，故所求C的方程为．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2，①又，设D，E中点为M（x0，y0），M，∵k AM k=﹣1，得②，将②代入①得，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或∴存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R（1）若f（x）在P（x0，y0）（x∈[））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．【解答】解：（1）依题意有lnx0+﹣ax0=﹣2，+2x0﹣a=0，…（2分）消去a得lnx0﹣+1=0，x0∈[，+∞），…（3分）h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[，+∞），显然h（1）=0，且h′（t）=﹣2t=≤0，故lnx 0﹣+1=0当且仅当x0=1，…（4分）所以a=+2x0=3…（5分）（2）x1，x2是函数f（x）的两个零点有f（x1）=lnx1+﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+﹣ax2=0，相减得a=+x1+x2，…（5分）∵f′（）=﹣…（6分）所以要证明f′（）＜0，只需证明﹣＜0，（0＜x1＜x2），即证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*）…（9分）令=t∈（0，1），则g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，则g′（t）=lnt+﹣1，g″（t）=﹣＜0，∴g′（t）在（0，1）递减，g′（t）＞g′（1）=2＞0，∴g（t）在（0，1）递增，g（t）＜g（1）=0，所以（*）成立，即f′（）＜0．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数名称 定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。