第17课时二次函数

合集下载

(中考数学复习)第17讲二次函数的图象与性质(二) 课件解析

课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
4．(2013·苏州)已知二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴的一个
交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两
实数根是
( B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
基础知识 · 自主学习题组分类 · 深度剖课堂回顾 · 巩固提升
第17课二次函数的图象与性质 (二)
浙派名师中考
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系．
2．当满足___b_2－__4_a_c_>_0___时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；当满足__b_2_－__4_a_c_＝__0___时，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴只有一个交点；当满足___b_2－__4_a_c_<_0__时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点．
基础知识 · 自主学习题组分类 · 深度剖课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
1．(2013·宁波)如图17－1所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
C．a－b＋c＜0
D．4ac－b2＜0
浙派名师中考
基础知识 · 自主学习题组分类 · 深度剖课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．解：由A(0，－4)、C(4，0)得：OA＝OC＝ 4，且△OAC是等腰直角三角形．如图17－10所示，在OA上取ON＝OB＝2，则∠ONB＝∠ACB＝45°； ∴∠ONB＝∠NBA＋∠OAB＝∠ACB＝ ∠OMB＋∠OAB，即∠NBA＝∠OMB. 在△ABN、△AM1B中，∠BAN＝∠M1AB，图17－10 ∠ABN＝∠AM1B，

2018年秋九年级数学上册第一部分第二十二章第17课时二次函数的图像和性质(4)—y=a(x_h)2k(a≠0

3） .
（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为（-3， 6） .
拓展提升
10. 在平面直角坐标系上将二次函数y=－2（x－1）2－ 2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，则其顶点为（ C ）
A. （0，0）
B. （1，-2）
C. （0，-1）
D. （-2，1）
拓展提升
最值
2. 抛物线y＝a（x－h）2＋k可由y＝ax2向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到.
典型例题
知识点1：二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质【例1】写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点:
抛物线
y=2（x+3）2+5 y=－3（x－1）2－2 y=4（x－3）2+7
C. y=3（x－3）2－2
D. y=3（x－3）2+2
6. 抛物线的顶点坐标为P（2,3），且开口向下，若函
数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围为 __________. x≥2
巩固训练
x=-1 7. 抛物线y=2（x+1）2的对称轴是__________ ；抛物（-1,-4）；抛物线线y=2（x+1）2-4的顶点坐标是__________ -3 y=-2（x+3）2+10，当自变量x=__________ 时，此函 10 大数取得最__________ 值是__________. 8. 已知点A（π,y1）,B（ ,y2）,C（－2,y3）是抛物
【例2】对于y=2（x－3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ C ）
A. 顶点坐标为（－3,2） B. 对称轴是直线y=3 C. 当x≥3时，y随x的增大而增大

第11讲二次函数的图像与性质

3. (2013· 聊城 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 2 1 2 ＝ x 经过平移得到抛物线 y＝ x － 2x，其对称轴与两 2 2 段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( )
A． 2
B． 4
C． 8
D． 16
变式:如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点 A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .A来自BCD
2.二次函数的增减性
请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质.
(3)当x x=-2 时,y最小值= -1 ; (4)当x x﹤-2 时,y随x的增大而减小; 当x x＞-2 时,y随x的增大而增大;
低 , 小结:当a＞0时,图象有最＿点小函数有最＿＿值， b x<＿＿ - 2a ,y随x的增大而减小, x>＿＿ - b ,y随x的增大而增大;
1.当 a＞0 时,开口向上;当 a＜0 时,开口向下;
2.它的对称轴是直线x=h ;顶点坐标为 (h,k) ;
3.增减性如何考虑?a,h,k分别表示的意义是什么?
1.二次函数的图像与性质(一般式)
(1)图象的开口方向向上 ,顶点坐标 (-2,-1) 对称轴直线x=-2 ; (2)图象与x轴的交点为 (-3,0),(-1,0) ; 图象与y轴的交点为 (0,3) .
考点5:确定a、b、c等符号
自学检测5:(6分钟)
1.(2014•黔东南)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个结论： ①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0； ④b2-4ac＞0 其中正确结论的有 .

二次函数的综合应用中考试题中的核心素养

第三章函数第17课时二次函数的综合应用1. (2017河北)如图，若抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象是( )2. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6 m ，在长度为8 m 的两支柱OC 和AB 之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5 m .(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 m 的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3 m )，行车道最宽可以铺设多少米？第2题图3.根据下列要求，解答相关问题：(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程.①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；抛物线的对称轴x＝－1，开口向下，顶点(－1，2)与x轴的交点是(0，0)，(－2，0)，用三点法画出二次函数y＝－2x2－4x的图象如图①所示；②数形结合，求得界点：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式－2x2－4x≥0的解集为.(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集.①构造函数，画出图象；②数形结合，求得界点；③借助图象，写出解集.(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，求关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)的解集.图①图②第3题图参考答案中考试题中的核心素养1. D 【解析】在抛物线y ＝－x 2＋3中，令y ＝0，解得x ＝±3 ，令x ＝0，则y ＝3，所以抛物线与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点有(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，所以k ＝4，所以反比例函数解析式为y ＝4x，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，所以符合的图象如选项D. 2. 解：(1)根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ，∵相邻两支柱间的距离均为5 m ，∴OA ＝4×5＝20(m)，∴(20，0)，(10，6)两点都在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧400a ＋20b ＝0，100a ＋10b ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝－350，b ＝65．∴拱桥抛物线的函数表达式为y ＝－350 x 2＋65x ； (2)设点F 的坐标为(15，n )，∴n ＝－350 ×152＋65 ×15＝92. ∴EF ＝8－92＝3.5 (m)； (3)当y ＝3＋0.3＝3.3(m)时，有－350 x 2＋65 x ＝3.3，化简，得x 2－20x ＋55＝0，解得x ＝10±35 ，则x 1≈3.292，x 2≈16.708，∴x 2－x 1＝16.708－3.292＝13.416≈13.4 m.答：行车道最宽可以铺设13.4米．3. 解：(1)②x 1＝0，x 2＝－2；③－2≤x ≤0；(2)①构造函数，画出图象：构造函数y ＝x 2－2x ＋1，抛物线的对称轴x ＝1，且开口向上，顶点坐标为(1，0)，关于对称轴x ＝1对称的一对点(0，1)，(2，1)，用三点法画出函数图象如解图所示；第3题解图②数形结合，求得界点：当y＝4时，方程x2－2x＋1＝4的解为：x1＝－1，x2＝3；③借助图象，写出解集：由解图知，不等式x2－2x＋1＜4的解集是：－1＜x＜3.(3)当b2－4ac＞0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x＞－b＋b2－4ac2a或x＜－b－b2－4ac2a；当b2－4ac＝0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x≠－b2a；当b2－4ac＜0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是全体实数．。

沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1

沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。

但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。

同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。

同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。

教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。

5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。

第17课时二次函数与一元二次方程学案基训题目

第17课时二次函数与一元二次方程学案基训题目1、如果二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴有两个交点(m,0)、(n,0),那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有实数根x 1= ,x 2= .2、如果二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴有一个交点(m,0),那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有实数根x 1=x 2= 。

3、如果二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 实数根。

4、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为．5、当ac b 4->0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴有交点； 6、当ac b 4-=0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴有交点； 7、当ac b 4-<0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的情况是，此时二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴有交点。

8、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是( )9、方程的根是；则函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是． 10、抛物线y=a(x －2)(x ＋5)与x 轴的交点坐标为．11、已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它与y 轴交于(0，－6)，则它的表达式为12、方程的根是；则函数的图象与x 轴的交点有个，其坐标是．0542=-+x x 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 542-+=x x y 025102=-+-x x 25102-+-=x x y13、已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x… 1- 0 1 3 … y…3-131…则下列判断中正确的是( )A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 *14、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=－51x 2＋10x ．(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？*15、已知抛物线2234y x kx k =+-(k 为常数，且k ＞0)．(1)证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；(2)设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．2011.3.23。

中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】

第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b）图形的平移图形的平移只改变图形的位置(图形上所有点的坐标都要发生相应的变化)，不改变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，解决问题时，常常综合应用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那概念么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线步骤
点到两坐标轴的距离点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|；坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点＝|y1－y2|；间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的距离 PQ＝ x2＋y2
对应关坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一对系应的 (1)各象限内点的坐标的特征点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ；点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ；点 P(x，点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征坐标的点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数；特征点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数；点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)；坐标轴上的点不属于任何象限

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

第1章二次函数浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝，b＝，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线顶点坐标对称轴开口方向

二次函数的综合应用

设自变量；建立函数表达式；决这类问题的一般步骤是：第一步： _________ 第二步： ________________ 确定自变量取值范围配方法求出顶点坐标公式或________ 第三步： __________________；第四步：根据_____________
最值(在自变量的取值范围内)．
解：(1)从上往下依次填：1000－10x；－10x2＋1300x－30000. (2)由题意，得－10x2＋1300x－30000＝10000，解得 x1＝50，x2＝80. 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润． 1000－10x≥540， (3)根据题意，得解得 44≤x≤46. x≥44， ∵利润 w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250， ∴a＝－10＜0，对称轴为直线 x＝65， ∴当 44≤x≤46 时，y 随着 x 增大而增大． ∴当 x＝46 时，w 最大，w 最大值＝8640 元．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元．
解：(1)w＝xq－p＝－2x2＋140x－500. (2)当 x＝25 时，w＝1750(元)． (3)w＝－2(x－35)2＋1950，∴当 x＝35 时，利润最大，为 1950 元．
7．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为多少？
易错警示易错易混点：确定实际问题中的最值与自变量的取值范围【例题】某商品的进价为 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价涨 1 元，那么每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元)．设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大的月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？

第17课时二次函数(2)

第17课时二次函数（2）班级：姓名：1.理解二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，并能解决相关问题；2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.1.二次函数与一元二次方程的关系；2.二次函数与一元一次不等式的关系.例1.(1)（滨州）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0（2）已知抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，求m 的值.例2.（枣庄）二次函数2y x 2x 3=--的图象如右图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是．1.同步训练P48.自我尝试第11题，开放性作业第1-4题；2.讲义P3.基础巩固训练第4，5，6（1）、（2）题（2008年）14．如图，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数的图象大致是（）（2012年）14．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：s ），四边形PBDQ 的面积为y （单位：cm 2），则y 与x （≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（）A ．B ．C ．D ．17．如图：二次函数y =﹣x 2 + ax + b 的图象与x 轴交于A （-21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标．第14题图F A GEB CAC B第17题图。

2020年北京海淀区空中课堂初三数学第17课：二次函数概念和基本性质回顾课件(共30张PPT)

x
反比例函数。其中，x 是自变量，y 是函数。
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
y kx1
xy k
S矩形 k
二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （ a、b、c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
变式3：若函数 y (m2 1)xm2 m (m 2)x 是二次函数，求m的取值范围。
变式4：若函数 y (m2 1)xm2 m 是二次函数，求不等式(m 3)x 2 最大整数解。
∵ (m 3)x 2
x 2
∴ x 2
∴ 不等式最大整数解为-3
例题2：若函数 y (m2 1)x2 是二次函数，求m的取值范围。变式1：变式2：变式3：变式4：若函数 y (m2 1)xm2 m 是二次函数，求不等式(m 3)x 2 最大整数解。
变式3：已知抛物线经过点C(-1,8)，并且当 x=2时，y有最小值-1，求二次函数解析式.
➢已知顶点坐标顶点式
变式4：如图所示，求这个抛物线的解析式.
解：由图象可知，抛物线对称轴x=2 经过点(3,0)、(0,3)
设二次函数解析式为 y a(x 2)2 k
∵ 抛物线经过了点(3,0)、(0,3)
ax2 bx c 关于x的整式.
ax2
二次项.
a
二次项系数.
bx
一次项.
b
一次项系数.
c
常数项.
ax2 bx c x 的最高次数是2.
a0
例题1：下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
y 4x
一次函数：(1) (3) (6) 二次函数：(2) (5) (7) (8)

2015年广西中考数学总复习课件第17课时_二次函数的应用

2
第17课时
二次函数的应用
4 ．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元．经过市场调查，一周的销售量 y( 件 ) 与销售单价 x( 元 / 件
)(x≥50)的关系如下表：
销售单价x(元/件) 一周的销售量y(件) „ „ 55 450 60 400 70 300 75 250 „ „
＝－5(x－80)2＋4500.
∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．
∵ 50≤x≤100 ，对称轴是直线 x ＝ 80 ，∴当 x＝ 80 时，y 最大值
＝4500.
即当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500元．
第17课时
二次函数的应用
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，
二次函数的应用
图3－17－3
第17课时
二次函数的应用
3．今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的
信息，解答小华和小明提出的问题．
图3－17－4 第17课时二次函数的应用
解：(1)设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得 x－3 (x－2)(500－ ³10)＝800. 0.1 整理得x －10x＋24＝0.解得x1＝4，x2＝6. ∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2³240%＝ 4.8(元)． ∴x2＝6不合题意，舍去，得x＝4. 答：应定价4元/个，才可获得每天800元的利润．
第17课时
二次函数的应用
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：________；
(2)设一周的销售利润为S元，请求出S与x之间的函数关系式
，并确定销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销

2023年高考备考二次函数单元检测(二)(含答案)九年级数学上册同步讲义

第17课二次函数单元检测〔二〕一、单项选择题1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与()0x x >y y 之间满足的函数关系是〔〕x A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数（答案）D（分析）依据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．（详解）解：由题意得，222(2)24y x x x =+-=+与之间满足的函数关系是二次函数， y ∴x 应选：D ．（点睛）此题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．已知抛物线C ：，将抛物线C 平移得到抛物线C ，假设两条抛物线C 、C 关于直线2310y x x =+-x=1对称，则以下平移方法中，正确的选项是〔〕〔A 〕将抛物线C 向右平移个单位〔B 〕将抛物线C 向右平移3个单位52〔C 〕将抛物线C 向右平移5个单位〔D 〕将抛物线C 向右平移6个单位（答案）C称．则B 点平移后坐标应为〔2，-10〕．因此将抛物线C 向右平移5个单位．应选C ．3．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，则以下代数式：ab ，ac ，a+b+c ，a-b+c, 2a+b ，2a-b 中，其值为正的代数式的个数为〔〕A ．2个B ．3个C ．4个D ．4个以上（答案）A（分析）依据抛物线的开口向下可推断a 的符号，依据抛物线对称轴的位置可推断ab 的符号，依据抛物线与y 轴的交点可推断c 的符号，进而可推断ac 的符号；由于x =1时，y=a+b+c ，x =－1时，y=a －b+c ，结合图象即可推断a+b+c 与a －b+c 的符号；由对称轴为直线并结合a 的符号可推断2a +b 的符号，由a 、b 的符号即可推断2a －b 的符号，12b x a=-<从而可得答案.（详解）解：∵图象的开口向下，∴a <0，∵图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴c <0，∴ac >0；∵对称轴在y 轴右侧，∴，∴ab <0； 02b a ->由图可知，当x =1时，y =a+b+c >0，当x =－1时，y=a －b+c <0；∵，a <0，∴－b >2a ，∴2a +b <0； 12b a-<∵a <0，b >0，∴2a －b <0.综上，其值为正的代数式有2个.应选：A.（点睛）此题考查了二次函数的图象与性质和二次函数与其系数之间的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵敏应用数形结合的思想方法是解答的关键.4．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是223y x x =++y 〔〕．A ．B ． 2(1)2y x =-++2(1)4y x =--+C ．D ．2(1)2y x =--+2(1)4y x =-++（答案）B（分析）把抛物线y=x 2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y 轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．（详解）解：∵y=x 2+2x+3=〔x+1〕2+2，∴原抛物线的顶点坐标为〔-1，2〕，令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为〔0，3〕，∵抛物线绕与y 轴的交点旋转180°，∴所得抛物线的顶点坐标为〔1，4〕，∴所得抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3或y=-〔x-1〕2+4]．应选：B ．（点睛）此题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便． 5．已知一次函数y=ax+b 的图象过点〔﹣2，1〕，则关于抛物线y=ax 2﹣bx+3的三条表达：其中全部正确表达的个数是〔〕①过点〔2，1〕，②对称轴可以是x=1，③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．A ．0B ．1C ．2D ．3 （答案）C（解析）∵一次函数y =ax +b 的图象过点〔﹣2，1〕，∴﹣2a+b =1，①当x =2时，y =4a ﹣2b +3=2〔﹣2a +b 〕+3=2×〔﹣1〕+3=1，所以，抛物线过点〔2，1〕，故①正确；②对称轴为直线x =﹣=﹣=1+，故②错误；③顶点的纵坐标为==﹣a ﹣+2，∵a ＜0，∴﹣a ﹣≥2=1， ∴顶点的纵坐标的最小值为3，故③正确；综上所述，表达正确的选项是①③共2个．应选C ．6．对于二次函数，以下说法错误的选项是( )()2230y ax ax a =-+≠A ．对称轴为直线B ．肯定经过点 1x =()2,3C ．当时，随增大而增大D ．当，时，.1x <y x 0a >1m ≠2233am am a -+>-+（答案）C（分析）依据二次函数的性质对选项进行推断即可.（详解）二次函数的对称轴为直线()2230y ax ax a =-+≠ 212a x a-=-=A 选项正确∴把x=2代入，得()2230y ax ax a =-+≠()2222303y a a a =⨯-⨯+≠=该函数图像肯定经过点〔2，3〕∴B 选项正确∴不能确定a 的符号，不能确定当x ＜1时，y 随x 的增大而增大∴C 选项错误∴二次函数的顶点坐标为〔1，-a+3〕()2230y ax ax a =-+≠又a ＞0,m 1≠当x=m 时，y ＞-a+3∴即2233am am a -+-+＞D 选项正确∴应选C.（点睛）此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质对选项进行推断是解题关键.7．如图，在矩形中，，，动点P 沿折线运动到点B ，同时动点Q 沿折ABCD 1BC =60ADB ∠=︒AD DB →线运动到点C ，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P ，Q 在矩形对角线上的DB BC →,P Q 运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t 秒，的面积为S ，则以下图象能大致反映S 与t 之PBQ △间函数关系的是〔〕A ．B ．C ．D ．（答案）D（分析）结合运动状态分段商量：当点P 在AD 上，点Q 在BD 上时，，，过点P 作，通AP t =2DQ t =PE BD ⊥过解直角三角形求出PE ，表示出面积的函数表达式；当点P 在BD 上，点Q 在BC 上时，，，过点P 作，通过解直角三角形求出PE ，表示出面积的函数表()22142BP t t =--=-1BQ t =-PF BC ⊥达式，利用二次函数的性质即可得出结论．（详解）解：当点P 在AD 上，点Q 在BD 上时，，，AP t =2DQ t =则，1PD t =-过点P 作，PE BD ⊥∵，60ADB ∠=︒∴， sin 60PE PD =︒1cos602AD BD =︒=∴，， )1PE t =-2BD =，∴，22BQ t =-∴的面积，为开口向上的二次函数； PBQ △)21012S BQ PE t =⋅<<当时，点P 与点D 重合，点Q 与点B 重合，此时的面积；1t =PBQ △0S =当点P 在BD 上，点Q 在BC 上时，，，()22142BP t t =--=-1BQ t =-过点P 作，PF BC ⊥则，即， sin 60PF PB =︒=PF =∴的面积，为开口向下的二次函数； PBQ △)21322S BQ PF t t =⋅=-+-应选：D ．（点睛）此题考查动态问题的函数图象，依据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行推断是解题的关键．8．已知函数，则以下说法不正确的个数是〔〕()211y ax a x =-++①假设该函数图像与轴只有一个交点，则x 1a =②方程至少有一个整数根()2110ax a x -++=③假设，则的函数值都是负数 11x a<<()211y ax a x =-++④不存在实数，使得对任意实数都成立a ()2110ax a x -++≤x A ．0B ．1C ．2D ．3（答案）C（分析）对于①：分情况商量一次函数和二次函数即可求解；对于②：分情况商量a ＝0和a ≠0时方程的根即可；对于③：已知条件中限定a ≠0且a ＞1或a ＜0，分情况商量a ＞1或a ＜0时的函数值即可；对于④：分情况商量a ＝0和a ≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．（详解）解：对于①：当a ＝0时，函数变为，与只有一个交点，1y x =-+x 当a ≠0时，，∴，22(1)4(1)0a a a D=+-=-=1a =故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；x 1a =0a =对于②：当a ＝0时，方程变为，有一个整数根为，10x -+=1x =当a ≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程()2110ax a x -++=(1)(1)0ax x --=1x =至少有一个整数根，故②正确；对于③：由已知条件得到a ≠0，且a ＞1或a ＜0 11x a<<当a ＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函()211y ax a x =-++111222a x a a+==+数值越大，∵ ， 1111222a a+=+∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 1,1x x a==1x =0y =当a ＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，()211y ax a x =-++∴时，函数取得最大值为， 1122x a =+2224(1)21(1)444a a a a a y a a a-+-+--===-∵a ＜0，∴最大值，即有一局部实数，其对应的函数值，故③错误； 2(1)04a a-->x 0y >对于④：a ＝0时，原不等式变形为：对任意实数不肯定成立，故a ＝0不符合；10x -+≤x a ≠0时，对于函数，()211y ax a x =-++当a ＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a 对对任意实数都成立；0y >()2110ax a x -++≤x 当a ＜0时开口向下，此时函数的最大值为， 2224(1)21(1)444a a a a a a a a-+-+--==-∵a ＜0，∴最大值，即有一局部实数，其对应的函数值， 2(1)04a a-->x 0y >此时不存在a 对对任意实数都成立；故④正确；()2110ax a x -++≤x 综上所述，②④正确，应选：C ．（点睛）此题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类商量的思想，此题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．9．抛物线〔，，为常数，〕与轴交于，两点，顶点，以下结论：2y ax bx c =++a b c 0a ≠x A B ()P m n ,①，②假设，，在抛物线上，则，③关于的方程20a c +<13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭312y y y <<x 有实数解，则，④当时，为等腰三角形．正确的有〔〕个 20ax bx k ++=k c n >-1n a=-ABP △A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）A（分析）利用二次函数的性质一一推断即可．（详解）解：∵，a ＞0， 122b a -<∴a ＞b ，-∵x =1时，y ＞0，-∴a b +c ＞0，-∴2a +c ＞a b +c ＞0，故①错误；-假设〔，y 1〕，〔，y 2〕，〔，y 3〕在抛物线上， 32-12-12由图象法可知，y 1＞y 2＞y 3；故②错误；∵抛物线与直线y =t 有交点时，方程ax 2+bx +c =t 有解，t ≥n ，∴ax 2+bx +c t =0有实数解要使得ax 2+bx +k =0有实数解，则k =c -t ≤c -n ；故③错误，-设抛物线的对称轴交x 轴于H ．∵， 2414ac b a a-=∴b 24ac =4，-∴x =， 22b a-±∴|x 1x 2|=， -2a ∴AB =2PH ，∵BH =AH ，∴PH =BH =AH ，∴△PAB 是直角三角形，∵PA =PB ，∴△PAB 是等腰直角三角形．故④正确．综上，结论正确的选项是④，应选：A ．（点睛）此题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题10．将抛物线y=x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．（答案）y=〔x+2〕2﹣3（解析）真题分析：二次函数图象的平移法则为上加下减，左加右减，依据平移法则可以得出平移后的解析式．考点：二次函数的平移．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象上有三点〔﹣，y 1〕，45〔﹣ ，y 2〕，〔，y 3〕，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____． 5416（答案）y 1＜y 2＜y 3（解析）真题解析：∵一元二次方程的一根为，230x bx +-=3-∴ 9330b --=，解得， 2b =，∴二次函数解析式为 ()222314y x x x =+-=+-，当时， 45x =-11425y =-，时， 54x =-21416y =-，时， 16x =349436y =-，∴ 123y y y <<，故答案为：123.y y y <<12．如图，一段抛物线y ＝－x(x －1)(0≤x≤1)记为m 1，它与x 轴的交点为O ，A 1，顶点为P 1；将m 1绕点A 1旋转180°得m 2，交x 轴于点A 2，顶点为P 2；将m 2绕点A 2旋转180°得m 3，交x 轴于点A 3，顶点为P 3……如此进行下去，直至得m 10，顶点为P 10，则P 10的坐标为________．（答案）(，－) 19214（解析）真题分析：依据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案．真题解析：y=-x 〔x-1〕〔0≤x≤1〕，OA 1=A 1A 2=1，P 2P 4=P 1P 3=2，P 2〔1．5，-0．25〕P 10的横坐标是1．5+2×〔10-2〕÷2]=， 192p 10的纵坐标是-． 14考点：二次函数图象与几何变换．13．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是．（答案）y=3〔x+3〕2-3（解析）解：抛物线y =3x 2的顶点坐标为〔0，0〕，把点〔0，0〕先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的点的坐标为〔﹣3，﹣3〕，所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y =3〔x +3〕2﹣3．故答案为：y =3〔x +3〕2﹣3．点睛：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．（答案）〔﹣1，2〕．（分析）因为点B 关于对称轴的对称点为点A ，连接AC ，设直线AC 与对称轴x =﹣1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，再求得点M 的坐标即可．（详解）∵抛物线y =﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A 、B 两点，令y =0，得：﹣x 2﹣2x +3=0，解得：x =－3或x =1，∴点A 〔﹣3，0〕，C 〔0，3〕．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A 〔﹣3，0〕、C 〔0，3〕分别代入直线y =kx +b ，得：，解得：，∴直线AC 解析式为y =x +3； 303k b b -+=⎧⎨=⎩13k b =⎧⎨=⎩设直线AC 与对称轴x =﹣1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小．把x =﹣1代入直线y =x +3得：y =2，∴M 〔﹣1，2〕．即当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为〔﹣1，2〕．故答案为〔﹣1，2〕．（点睛）此题考查了抛物线与x 轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC 的解析式是解答此题的关键． 15．如下图，二次函数y=ax 2+bx+c 〔a≠0〕的图象经过点〔﹣1，2〕，且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1以下结论：①4a ﹣2b+c ＜0②2a ﹣b ＜0③abc ＞0④b 2+8a ＞4ac 正确的结论是_____．（答案）①②③④（分析）①依据x=-2时的函数值解答即可；②依据函数图象的对称轴在y 轴的左侧解答；③依据函数图象开口向下推断出a<0，再依据对称轴推断出b<0，依据函数图象与y 轴的交点推断出c>0，然后相乘即可得解；④依据顶点纵坐标值大于x=-1时的函数值列式整理即可得解．（详解）解：∵x=﹣2，y ＜0，∴4a ﹣2b+c ＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1， 2b a而a ＜0，∴b ＞2a ，即2a ﹣b ＜0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以③正确；∵抛物线的顶点的纵坐标为， 244a ac b -∴＞2，∴4ac ﹣b 2＜8a ，∴b 2+8a ＞4ac ，所以④正确．故答案为①②③④．（点睛）此题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，解题关键是掌握二次函数的图像性质.三、解答题16．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件〔每件售价不能高于65元〕．设每件商品的售价上涨元〔为正整数〕，每个月x x 的销售利润为元．y 〔1〕每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？〔2〕请你直接写X 价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（答案）〔1〕55元或56元；〔2〕时，．5160x ≤≤2200y ≥（分析）〔1〕依据题意得出y 与x 的函数关系式，可知y=-10-〔x-5.5〕2+2402.5，当x=5.5时y 有最大值，即可求解；〔2〕设y=2200，解得x 的值．然后分情况商量解．（详解）解：〔1〕由题意得：y=〔210-10x 〕〔50+x-40〕=-10x 2+110x+2100=-10〔x-5.5〕2+2402.5〔0＜x≤15且x 为整数〕，∵a=-10＜0，∴当x=5.5时，y 有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x 为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400〔元〕，当x=6时，50+x=56，y=2400〔元〕∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．〔3〕当y=2200时，-10x 2+110x+2100=2200，解得：x 1=1，x 2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价时，每个月的利润．5160x ≤≤2200y ≥（点睛）此题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．17．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，∠D =90°，AC ⊥BC ，DC =8cm ，AD =6cm ．点F 从A 点出发，以//2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，同时，点E 从B 点出发，以1 cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t (s )．〔1〕求AB 长度；〔2〕设四边形ACEF 的面积为y (cm 2)，求y 与t 的函数关系式；〔3〕是否存在某一时刻t ，使得四边形ACEF 的面积是△ACD 的面积的倍？假设存在，求出此时t 的54值；假设不存在，说明理由．〔4〕求t 为何值时△BEF 为直角三角形．（答案）〔1〕；〔2〕；〔3〕存在，或；〔4〕或 25cm 22475552y t t =-+52t =154t =12526t =7522t =（分析）〔1〕先求出AC =10，证明△ADC ∽△BCA ，依据相似的性质即可求出AB =cm ，BC =cm ，问题得252152解；〔2〕求出S △BCA = ，设△BEF 边BE 上的高为h ，则，即可求出，依据三角形面积752h BF AC AB =8105h t =-公式求出S △BEF =，即可求出y 与t 的函数关系式； 18(1025t t -〔3〕求出S △ADC =24，依据四边形ACEF 的面积是△ACD 的面积的倍，结合〔2〕函数关系式得到关于t 54的方程，解方程检验即可求解；〔4〕分别依据∠EFB =90°或∠FEB =90°利用相似，得到关于t 的方程，即可求解，经检验即可求解．（详解）解：〔1〕∵AB ∥CD ，∠D =90°，∴∠DAB =90°，AC =10 cm ，∴∠DAC+∠BAC =90°,∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =∠D =90°，∴∠B+∠BAC =90°，∴∠DAC =∠B ，∴△ADC ∽△BCA ， ∴,， DC AC AC AB =CD AC AD BC =即,， 81010AB =8106CB=∴AB =cm ，BC =cm ， 252152∴AB = cm ； 252(2)∵BC =cm ，AC =10cm ， 152∴S △BCA =， 17522BC AC ⋅=设△BEF 边BE 上的高为h ，则， h BF AC AB=∴， 8105h t =-∴S △BEF =， 118(10)225BE h t t ⋅=-∴y =S △BCA －S △BEF =； 27518475(10)522552t t t t --=-+(3)由题意得S △ADC ==24， 12AD AC A 假设四边形ACEF 的面积是△ACD 的面积的倍， 54则， 247553052t t -+=解得或， 52t =154t =经检验符合题意，所以存在或； 52t =154t =〔4〕①当∠EFB =90°时，∵∠B =∠B ，∴△BFE ∽△BCA ，∴， BE BF BA BC=即， 2522251522t t -=解得； 12526t =①当∠FEB =90°时，∵∠B =∠B ，∴△BFE ∽△BAC ，∴， BF BE BA BC =即， 2522251522t t -=解得求得； 7522t =经检验符合题意，所以或． 12526t =7522t =（点睛）此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数等知识，综合性强，理解题意，熟知相关定理，充分理解相似的判定与性质是解题关键．18．在平面直角坐标系中，已知y 1关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx+c 〔a≠0〕的图象过点〔0，1〕，且在y 轴的左侧，函数值y 1随着自变量x 的增大而增大．〔1〕填空：a 0，b 0，c 0〔用不等号连接〕；〔2〕已知一次函数y 2=ax+b ，当﹣1≤x≤1时，y 2的最小值为﹣且y 1≤1，求y 1关于x 的函数解析式；〔3〕设二次函数y 1=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为〔﹣1，0〕，且当a≠﹣1时，一次函数y 3=2cx+b ﹣a 与y 4=x ﹣c 〔m≠0〕的图象在第—象限内没有交点，求m 的取值范围．（答案）(1)、＜，≤，＞；(2)、解析式为y=﹣x ；(3)、m ＜0或0＜m≤2 （解析）真题分析：(1)、依据开口方向确定a 的正负，再依据对称轴的位置确定b 的值，依据y 1=ax 2+bx+c 〔a≠0〕的图象过点〔0，1〕，得到c=1，由此即可推断；(2)、依据题意一次函数y 2=ax+b 的图象经过点〔1，﹣〕，二次函数y 1=ax 2+bx+c 〔a≠0〕的对称轴是y 轴，由此即可解决问题；(3)、依据题意可知y 3=2x+1， y 4=mx ﹣1，依据题意即可解决问题．真题解析：(1)、由题意抛物线的对称轴在y 轴的值右侧或y 轴，开口向下， ∴a ＜0，﹣≥0， ∴b≥0， ∵y 1=ax 2+bx+c 〔a≠0〕的图象过点〔0，1〕， ∴c=1＞0， ∴a ＜0，b≥0，c ＞0，(2)、∵y 2=ax+b ，当﹣1≤x≤1时，y 2的最小值为﹣， ∴x=1时，y=﹣，即a+b=﹣， ∵y 1≤1， ∴〔0，1〕是抛物线的顶点， ∴对称轴是y 轴， ∴b=0， ∴a=﹣， ∴y 1关于x 的函数解析式为y=﹣x ．(3)、∵二次函数y 1=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为〔﹣1，0〕，∴a ﹣b+1=0， ∴b ﹣a=1，a+1=b ，∵c=1，a≠0， ∴y 3=2x+1，y 4=mx ﹣1，∵直线y 3=2x+1与直线y 4=mx ﹣1的图象在第—象限内没有交点， ∴m ＜0或0＜m≤2．考点：二次函数综合题．19．如图，已知二次函数的图象与x 轴的一个交点为A 〔4，0〕，与y 轴的交点为B ，过21134=-++y x x c A 、B 的直线为．2y kx b =+〔1〕求二次函数的解析式及点B 的坐标；1y 〔2〕由图象写出满足的自变量x 的取值范围；12y y <〔3〕在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？假设存在，求出P 的坐标；假设不存在，说明理由．（答案）〔1〕，B 〔0，3〕；〔2〕x ＜0或x ＞4；〔3〕P 1〔0，〕，P 2〔，0〕． 211334y x x =-++76-78（分析）〔1〕将A 点坐标代入y 1，可得抛物线的解析式，依据自变量为零，可得B 点坐标；〔2〕依据一次函数图象在上方的局部是不等式的解集，观察图象可得到答案；〔3〕依据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P 在线段的垂直平分线上，依据直线AB ，可得AB 的垂直平分线，依据自变量为零，可得P 在y 轴上，依据函数值为零，可得P 在x 轴上．（详解）解：〔1〕将A 点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，1y ∴二次函数的解析式为， 1y 211334y x x =-++∵当x=0时，=3，1y ∴B 点坐标为〔0，3〕；〔2〕由图象得直线在抛物线上方的局部，是x ＜0或x ＞4，∴x ＜0或x ＞4时，；12y y <〔3〕存在，解答如下：依据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P 在线段的垂直平分线上，作线段AB 的垂直平分线l ，垂足为C ，∵A 〔4，0〕，B 〔0，3〕，设直线AB 解解析式为，y kx b =+则有：，解得：， 40{3k b b +==3{43k b =-=∴直线AB 的解析式为，334y x =-+设AB 的垂直平分线l 的解析式为：， 43y x m =+∵直线l 过AB 的中点为〔2，〕， 32∴，解得：， 34223m =⨯+76m =-∴AB 的垂直平分线l 的解析式为， 4736y x =-①当x=0时，y=，P 1〔0，〕，76-76-②当y=0时，x=，P 2〔，0〕， 7878综上所述：P 1〔0，〕，P 2〔，0〕，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形． 76-78考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题；4．压轴题．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A 〔﹣4，0〕，B 〔0，﹣4〕，C 〔2，0〕三点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕已知点D 〔m ，m ﹣2〕在第三象限的抛物线上，求点D 关于直线AB 对称的点E 的坐标；〔3〕假设点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，推断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点Q 的坐标．（答案）〔1〕y=x 2+x ﹣4；〔2〕E 点坐标为〔0，﹣2〕；〔3〕综上所述，Q 点的坐标为〔﹣4，4〕或〔﹣2+2122﹣．（解析）真题分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+4〕〔x ﹣2〕，然后把B 点坐标代入求出a 即可得到抛物线解析式；〔2〕先推断△AOB 为等腰直角三角形得到∠ABO=45°，再把把D 〔m ，m ﹣2〕代入y=x 2+x ﹣4求出m 得12到D 〔﹣2，﹣4〕，则利用D 嗲和B 点坐标可推断BD ∥x 轴，BD=2，如图1，依据对称的性质BE=BD=2，BF 垂直平分DE ，再推断点E 在y 轴上，于是利用OE=OB ﹣BE=2可得到E 点坐标；〔3〕如图2，依据平行四边形的判定方法当PQ=OB=4，PQ ∥OB 时，点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，设Q 〔t ，﹣t 〕，则P 〔t ，t 2+t ﹣4〕，分类商量：当OQ 为边时，四边形OQPB 为平行四边形，12则﹣t ﹣〔t ，t 2+t ﹣4〕=4，当OQ 为对角线时，四边形OBQP 为平行四边形，则t 2+t ﹣4﹣t=4，然后分别解方程1212求出t 即可得到满足条件的Q 点坐标．真题解析：〔1〕设抛物线的解析式为y=a 〔x+4〕〔x ﹣2〕，把B 〔0，﹣4〕代入得a•4•〔﹣2〕=﹣4，解得a=， 12所以抛物线解析式为y=〔x+4〕〔x ﹣2〕，即y=x 2+x ﹣4； 1212〔2〕∵A 〔﹣4，0〕，B 〔0，﹣4〕，∴OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，把D 〔m ，m ﹣2〕代入y=x 2+x ﹣4得m 2+m ﹣4=m ﹣2，解得m 1=2，m 2=﹣2， 1212∴D 〔﹣2，﹣4〕，而B 〔0，﹣4〕，∴BD ∥x 轴，BD=2，∵点D 和点E 关于直线AB 对称〔DE 交AB 于F 〕，如图1，∴BE=BD=2，BF 垂直平分DE ，∴∠DBF=∠EBF=45°，∴∠DBE=90°，∴点E 在y 轴上，而OE=OB ﹣BE=2，∴E 点坐标为〔0，﹣2〕；〔3〕推断有2个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形．如图2，当PQ=OB=4，PQ ∥OB 时，点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，设Q 〔t ，﹣t 〕，则P 〔t ，t 2+t ﹣4〕， 12当OQ 为边时，四边形OQPB 为平行四边形，则﹣t ﹣〔t ，t 2+t ﹣4〕=4，解得t 1=0〔舍去〕，t 2=﹣4，此时Q 点12坐标为〔﹣4，4〕；当OQ 为对角线时，四边形OBQP 为平行四边形，则t 2+t ﹣4﹣t=4，解得t 1=﹣2+2，t 2=﹣2﹣2〔舍去〕，此12时Q 点坐标为〔﹣2﹣，综上所述，Q 点的坐标为〔﹣4，4〕或〔﹣2﹣．（考点）二次函数综合题．。

中学数学二次函数及绝对值课件

y = a(x – h)2 + k 的图像之性质
(1) 当 a > 0 时，曲线的开口向上；当a < 0 時，曲线的开口向下
(2) 先把曲线 y = ax2沿水平方向移动h单位，再沿垂直方向移动k单位，即可得出 y = a (x – h)2 + k 的图像 (当h > 0 时，先向右移动；当k > 0 時，则向上移动。当 h 、 k 为负数时，则以相反方向移动 )
已知 () 的根是 x b b2 4ac 2a
表达式 b2 4ac 为二次方程的判別式，并以符号來表示，即 b2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有两个不等的实根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有兩个相等的实根（或二次方程有二重根）
2
4ac 4a
b2
(1) 当 a 0 时，曲线的开口向上；当 a 0 时，曲线的开口向下
(2)
顶点位于
b 2a
,
4ac 4a
b2
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极小值 2a
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极大值 2a
(3) 直线 x b 是这条曲线的对称轴 2a
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.3 二次方程的根之和与积
例 1.12
若二次方程 x2 mx ( m 5) 0 的根是和 1 ，试求 m 的实数值
解：
两根之和： 1 m 2 1 m....................(1)
两根之积： ( 1) m 5................( 2 )
x 4 12 2
2 3
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.1 二次方程的解法例 1.4

沪科版数学九年级上册《二次函数表达式的确定》教学设计1

沪科版数学九年级上册《二次函数表达式的确定》教学设计1一. 教材分析《二次函数表达式的确定》是沪科版数学九年级上册的一章内容，主要介绍了二次函数的标准形式以及如何确定二次函数的表达式。

本节课的内容对于学生理解二次函数的性质和图像具有重要意义。

教材通过引入二次函数的定义和性质，引导学生探究如何从给定的条件中确定二次函数的表达式，从而加深学生对二次函数的理解。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的理解有一定的基础。

但是，二次函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并通过探究活动帮助学生建立二次函数的表达式。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义和性质，理解二次函数的表达式。

2.能够从给定的条件中确定二次函数的表达式。

3.培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质的理解。

2.如何从给定的条件中确定二次函数的表达式。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

2.通过探究活动，帮助学生理解和掌握二次函数的表达式。

3.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图像和性质。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学课件和教学素材。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，例如：一个抛物线形的风力发电机，其发电量与风速的平方成正比，求该风力发电机的发电量与风速的关系式。

2.呈现（15分钟）呈现二次函数的定义和性质，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

通过多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的性质。

3.操练（20分钟）让学生通过探究活动，从给定的条件中确定二次函数的表达式。

可以设置一些具有代表性的例题，让学生分组讨论和解答，然后进行分享和讨论。

4.巩固（10分钟）针对学生在探究活动中遇到的问题，进行讲解和巩固。

17【基础】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(基础课程讲义例题练习含答案)

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向向上向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性在对称轴的左侧，即当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1. 抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？(4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？【答案与解析】(1)由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为223y x x =-++，如图所示．(2)由2230x x -++=得11x =-，23x =．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ 2223(1)4y x x x =-++=--+，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，举一反三：【变式】（•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5… 由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值2. 分别在下列范围内求函数223y x x =--的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3．【答案与解析】∵ 2223(1)4y x x x =--=--，∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，4y =-最小值．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数223y x x =--(2≤x ≤3)的图象是抛物线223y x x =--的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，232330y =-⨯-=最大值；当x ＝2时，222233y =-⨯-=-最小值．【总结升华】先求出抛物线223y x x =--的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x ＝3时，0y =最大值；x ＝2时，3y =-最小值．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用3.（•梅州）对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】解：y=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1，②错误；③当y=0，则x （﹣x+2）=0，解得：x 1=0，x 2=2，故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x ＜2时，y ＞0，④正确．故选：C ．【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．4. 一条抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1．（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；x y（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线2y =的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是4x =． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得1,42,3.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴ 所求抛物线的解析式为21234y x x =-+-． x -2 0 2 4 6 8 10 y-8-31-3-8描点、连线，如图所示：（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10，观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1．（3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．举一反三：【变式】已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0，b >0，c <0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过点(2,0)A -，(0,0)O ，1(3,)B y -，2(3,)C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定3．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0a <；②1c >；③0b >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>．你认为其中信息正确的有（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值二、填空题7．把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a+b+c ＝________．8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0； ②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.三、解答题13．（•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.(1)求点B和点C的坐标；(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围.(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式；(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．2.【答案】A ；【解析】由于抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为1x =-，根据抛物线对称性知当3x =-和1x =时，其函数值相等，∵ 0a <，开口向下，当2x >-时，y 随x 增大而减小，又213-<<，∴ 12y y >．3.【答案】C ；【解析】由图象知0a <，1c >，02b a->，∴ 0b >，当1x =时，0a b c ++>，当1x =-时，0a b c -+<，∴ ①②③④正确．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2.5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h.6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.二、填空题7．【答案】11 ；【解析】将235y x x =-+向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得237y x x =++．∴ a ＝1，b ＝3，c ＝7.8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02b a ->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->，∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD=AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±，即=3b a -±，由20b a -＞得=3b a-，3b =-. 11．【答案】(2，4)；【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4).12．【答案】 34；【解析】又因为函数图象经过，所以，代入即可求得. 三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3，∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ，∴B （﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：解得：∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；(2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)==∵点M运动到B点上停止，∴，∴()；(3)存在. BC==①若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2∴ BM=1 ∴OM=3-1=2∴∴QM=所以Q的坐标为Q(2，)；②若BQ=BD=2∵△BQM∽△BCO，∴==∴=∴ QM=∵=∴=∴BM=∴ OM=所以Q的坐标为Q(，).15.【答案与解析】(1)直线与坐标轴的交点，.则解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或. 或当时，即，此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为或.。