数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.（2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式.注：①并非所有的数列都有通项公式；②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式.题型归纳及思路提示题型1 数列通项公式的求解 思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a②叠乘法：形如1()nn a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.利用n S 与n a 的关系求解 形如1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据1*1(1)(2,)n n n S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩，求出n a 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n-或者1(1)n -- 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2n 、{}2n与(1)n-有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374,,,,,,;751381911---L（2）2,22,222，L ，222L ；（3）数列{}n a 中各项为：12,1122,111222，L，{111222n n L L 123个个，L 分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.解析：（1）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以(1)n-；②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，L ，则2(1)34nn n a n +=-+. 解法一：1212021021022(101010)1(110)22(101)1109n n n n n n n a ----=⨯+⨯++=+++-==--L L g g 解法二：原数列⇔2229,99,999999n ⨯⨯⨯L L 123个，即2=(10-1)9nn a （3）121=(10-1)10+(10-1)=(10-1)(10+2)999n n n n n n a g 变式1 将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为__________ 12 34 5 67 8 9 10L L L L L L L L L 变式2 观察下列等式：211122ni i n n ==+∑，2321111326ni i n n n ==++∑34321111424ni i n n n ==++∑45431111152330ni i n n n n ==++-∑5654211151621212ni i n n n n ==++-∑67653111111722642ni in n n n n ==++-+∑ L L L L1111101nk k k k k k k i i a n a n a n a n a +-+-==+++++∑L ，可以推测，当*2()k k N ≥∈时，111k a k +=+，12k a =，1_____k a -=，2_____k a -=利用递推公式求通项公式叠加法 数列有形如1()n n a a f n +=+的递推公式，且(1)(2)()f f f n +++L 的和可求，则变形为1()n n a a f n +-=，利用叠加法求和例6.21 已知数列{}n a 满足132n n a a n +=++ *()n N ∈，且12a =，求数列{}n a 的通项公式.分析：式子132n n a a n +=++ *()n N ∈是形如1()n n a a f n +=+的形式，故利用叠加法求和. 解析：132n n a a n +-=+ *()n N ∈可得131n n a a n --=-，（2n ≥） 1234n n a a n ---=-，L L L215a a -=相加可得：232n n n a +=（2n ≥），且12a =也满足上式，故232n n na +=*()n N ∈ 变式1 已知数列{}n a 中，12a =，12n n na a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式变式2 已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++ *()n N ∈，则n a =____A 、2ln n +B 、2(1)ln n n +-C 、2ln n n +D 、1ln n n ++ 变式3 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-，（2n ≥，0q ≠）（1）设1n n n b a a +=-*()n N ∈，证明：{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式 变式4 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 为常数）*()n N ∈，且123,,a a a 成公比不为1的等比数列.（1）求c 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式2、叠乘法 数列有形如1()nn a f n a -=g 的递推公式，且(1)(2)()f f f n g g L g 的积可求，则将递推公式变形为1()nn a f n a -=，利用叠乘法求出通项公式n a 例6.22 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A 、2n n B 、12n n - C 、21n n - D 、12n n +分析：数列的递推公式是形如1()nn a f n a -=的形式，故可以利用叠乘法求解. 解析：由12(1)n n na n a +=+变形得112n n a n a n ++=，从而 12(1)n n a na n -=-，L ， 2122a a =，故1132112211132()212212n n n n n n a a a a n n na a a a n n ------==--g g L g g g g g L g g （2n ≥） 即112n n a n a -=（2n ≥），所以12n n n a -=（2n ≥，*n N ∈），且11a =满足上式，故12n n na -=（*n N ∈），选B变式1 已知数列{}n a 中，11a =，12n n a n a n++=，求数列{}n a 的通项公式 3、构造辅助数列法 （1）待定系数法形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠）的递推式，可构造1()n n a p a λλ++=+，转化为等比数列求解.也可以与类比式1n n a pa q -=+作差，由11()n n n n a a p a a +--=-，构造{}1n n a a +-为等比数列，然后利用叠加法求通项.例6.23 已知数列{}n a 中，11a =，1112n n a a +=+，求{}n a 的通项公式. 分析：式子1112n n a a +=+形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，0pq ≠且1p ≠），故利用构造法转化. 解析：解法一、设1112n n a a +=+等价于11()2n n a a λλ++=+，得到11122n n a a λ+=-，对应1112n n a a +=+，得到2λ=-故原递推式等价于112(2)2n n a a +-=-，因此数列{}2n a -为首项为1-，公比为12的等比数列，所以112()2n n a --=-，故112()2n n a -=- 解法二、由1112n n a a +=+得 1112n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈）， 因此111()2n n n n a a a a +--=-（2n ≥，*n N ∈），所以数列{}1n n a a -- 是首项为2112a a -=，公比为12的等比数列.2112111()()()22n n n n a a a a ----=-=2121()2n n n a a ----=L L L L1211()2a a -= 叠加得到：211111()111122()()1()1222212n n n n a a ----=+++==--L 故112()2n n a -=- （*n N ∈）变式1 已知11a =，132n n a a -=+（2n ≥，*n N ∈），求{}n a 的通项公式.例6.24 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+ （*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.分析：将原递推公式转化为1(1)4()n n a a n a an λλ++++=++，即1433n n a a an a λ+=++-，比较1431n n a a n +=-+，得1a =-，0λ=，所以数列{}n a n -是首项为1，公比为4的等比数列，故14n n a n --=，即14n n a n -=+ （*n N ∈）2、同除以指数形如 1nn n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）的递推式，当p d =时，两边同除以1n d +转化为关于n n a d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的等差数列；当p d ≠时，两边人可以同除以1n d +得111n n n n a a p d d d d ++=+g ，转化为11n np b b d d+=+g ，同类型（1）.例6.25 已知数列{}n a 中，11a =-，1132n n n a a --=+（2n ≥，*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.解析：解法一、将1132n n n a a --=+两边同除以3n得11112()3333n n n nn a a ---=+⨯， 则1111121212()()()33333333n n nna a -=+⨯++⨯=-L ，则132n nn a -=- 解法二、将1132n n n a a --=+两边同除以2n得11312222n n n n a a --=+g ，令2nnna b =，得13122n n b b -=+，构造13()2n n b b λλ-+=+，得1λ=，因此数列{}1n b +为等比数列，且111331(1)()22n n n n b b --+=+=，则1312n n n b -=- （*n N ∈）， 故13122n n n n a -=-，进而得到132n nn a -=- 评注：一般地，对于形如 1nn n a pa d +=+ (0p ≠且1p ≠，1d ≠）的数列求通项公式，两边同除以1n d +转化为待定系数法求解；两边同除以1n p+转化为叠加法求解.变式1 在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+（1）设12nnn a b -=，试证明：数列{}n b 是等差数列. （2）求数列{}n a 的前n 项的和n S取倒数法 对于1(0)n n n aa a ac b ca +=≠+，取倒数得111n n n n b ca b ca aa a a a++==+g .当a b =时，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；当a b ≠时，令1nnb a =，则1n n b c b b a a+=+g ，可用待定系数法求解. 例6.26 在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，求数列{}n a 的通项公式. 分析：式中含有形如1n a +和n a 的分式形式，故考虑利用倒数变换求其通项公式. 解析：因为1121122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，11111(1)22n n n n a a ++=+-=，故21n a n =+（*n N ∈） 变式1 已知数列{}n a 中首项135a =，1312n n n a a a +=+（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式.变式2 已知数列{}n a 中首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足1112n n n S S S --=+（2n ≥，*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式. 取对数法 形如1(0,0)k n n n a ca c a +=>>的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.例6.27 已知数列{}n a 中首项13a =，且31n na a += （*n N ∈），则数列的通项n a =_______ 分析：取对数时，常用以1a 为底的对数，便于计算. 解析：因为13a =，所以对31n na a +=两边取以3为底的对数，得到313log 2log n n a a +=，故{}3log n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以13log 2n n a -=，所以123n na -=（*n N ∈）变式1 已知数列{}n a 中首项110a =，且2110n na a +=g （*n N ∈），求数列的通项n a 已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题对于给出关于n a 与n S 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转化n S 为n a 的形式，手段是使用类比作差法，使nS 1n S --=n a （2n ≥，*n N ∈），故得到数列{}n a 的相关结论，这种方法适用于数列的前n 项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将n a 转化为n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈），先考虑n S 与1n S -的关系式，继而得到数列{}n S 的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解{}n a 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前n 项和的形式不够独立的情况.简而言之，求解n a 与n S 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化n S 的形式为n a 的形式，适用于n S 的形式独立的情形，如已知142nn S a -=+（2n ≥，*n N ∈）；其二称为转化法，实质是转化n a 的形式为n S 的形式，适用于n S 的形式不够独立的情形，如已知2221n n n S a S =-（2n ≥，*n N ∈）；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对n 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注n 的范围.例6.28 已知正项数列{}n a 中，前n 项的和n S，且满足1n a =+，求数列{}n a 的通项公式.解析：由已知，可得24(1)n n S a =+ ①类比得到2114(1)n n S a --=+（2n ≥，*n N ∈）②式①-式②得 221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-即1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-所以11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又因为10n n a a -+>，故120n n a a ---=（2n ≥，*n N ∈），因此数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公比为2 故21na n =- （*n N ∈）评注：本题是关于n a 与n S 的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出n S 的直接形式，需要考生稍加变形，转化为24(1)nn S a =+后，才可使求解方向变得更为明朗.变式1 已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，11a =，142n n S a +=+（*n N ∈）（1）设12n n n b a a +=-，求n b ；（2）设112nn nc a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）设2n nna d =，求2010d例6.29 已知数列{}n a 中，0n a >，且对于任意正整数n 有11()2n n nS a a =+，求数列{}n a 的通项公式分析：已知n a 与n S 的关系，求数列的通项公式利用n a =n S 1n S --（2n ≥，*n N ∈）求解，将试题右边的含n a 的式子换成n S 1n S --来处理.解析：当1n =时，111111()2S a a a ==+，及0n a >，解得 11a =当2n ≥时，由11()2n n n S a a =+得1111()2n n n n n S S S S S --=-+-，变形整理得2211n n S S --=，数列{}2n S 是等差数列，首项为1， 公差为1 故21(1)1nS n n =+-⨯=，所以n S =1n =适合上式，故n S =（*n N ∈）故当2n ≥时，n a =n S 1n S --= 1n =适合上式，故na =*n N ∈）变式1 已知数列{}n a 中，0n a ≠(1)n ≥，112a =，前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-（2n ≥，*n N ∈）（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式变式2 设数列{}n a是正数组成的数列，且有*2)n a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式.例6.30 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知111,42n n a S a +==+. （1）设12n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.解析 （1）在142n n S a +=+中，令1n =，得2142S a =+，即12142a a a +=+，故25a =，由142n n S a +=+知2142n n S a ++=+，两式相减得2144n n n a a a ++=-，即211224n n n n a a a a +++-=-，故12n n b b +=，且121230b a a =-=≠，即{}n b 是以2为公比的等比数列.（2）由2142S a =+且11a =知26S =，故2215a S a =-=，所以212523a a -=-=，即有111232n n n b b --==g g ，所以11232n n n a a -+-=g ，于是113224n n n n a a ++-=，因此数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等差数列.所以1331(1)22444n na n n =+-⨯=-，故2(31)2n n a n -=-g . 变式1 已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且*585()n n S n a n N =--∈. （1）证明：数列{1}n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，请指出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*24()n n S a n n n N =+-∈. （1）写出数列{}n a 的前3项123,,a a a ； （2）求证：数列{21}n a n -+为等比数列； （3）求n S .变式3 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2*112121,()33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.题型2 数列的求和 思路提示求数列前n 项和的常见方法如下： （1）通项分析法.（2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n 项和公式.（3）错位相减法：数列的通项公式为n n a b g 或n nab 的形式，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列.（4）分组求和法：数列的通项公式为n n a b +的形式，其中{}n a 和{}n b 满足不同的求和公式.常见于{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列或者{}n a 与{}n b 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律. （5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. （6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和. 一、通项分析法例6.31 求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++L L L 的前n 项的和. 解析 数列的通项21122221n n n a -=++++=-L ，即*21()n n a n N =-∈， 所以数列的前n 项的和为121212(12)(21)(21)(21)(222)2212n nnn n S n n n +-=-+-++-=+++-=-=---L L即1*22()n n S n n N +=--∈.评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前n 项和问题应该强化的意识. 变式1 求数列9，99，999，L ，999nL 123的前n 项和. 二、公式法利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.例6.32 已知等差数列{}n a 中，259,21,2n a n a a b ===，求数列{}n b 的前n 项和n S .分析 根据数列{}n a 为等差数列，259,21a a ==，求出数列{}n a 的通项， 从而知数列{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式求n S .解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得154a d =⎧⎨=⎩.数列{}n a 的通项公式为41n a n =+，由2na nb =得412n n b +=，因为454141222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是首项为512b =，公比为42q =的等比数列.于是得数列{}n b 的前n 项和54442[1(2)]32(21)1215n n n S --==-. 评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.变式1 如图6-4所示，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在点1Q 处的切线与x 轴交于点2P .再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,;;,n n P Q P Q P Q L ，记点k P 的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =L .（1）试求k x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤； （2）求1122||||||n n PQ P Q P Q +++L .三、错位相减法 求数列{n n a b g }和{nna b }的前n 项和，数列{}n a ， {}n b 分别为等差与等比数列.求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，与原数列的和作差，即n n S qS -，然后求n S 即可.例6.33 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =g ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T . 解析 （1）22n n S a =-，*1122(2,)n n S a n n N --=-≥∈上两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，得122n n n a a a -=-，故12n n a a -=， 令1*11111,22,2,2()n n n n a a a a a q n N -==-===∈.点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，则120n n b b +-+=，12n n b b +=+， 则{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，*1(1)221()n b b n n n N =+-⨯=-∈.（2）(21)2n n n n c a b n ==-gg ， 121232(21)2(1)n n T n =⨯+⨯++-⨯L 23`21232(21)2(2)n n T n +=⨯+⨯++-⨯L由（1）-(2)得112118(12)22222(21)22(21)212n nn n n T n n -++--=+⨯++⨯--⨯=+--⨯-L12(32)6n n +=--，故1(23)26n n T n +=-+.评注 由于结果的复杂性，自己可以通过代入1,2n =等验证，111222,T a b T a b ==等以确保所求结果的准确性. 变式1 已知数列{}n a 的前n 项和21(*)2n S n kn k N =-+∈,且n S 的最大值为8.（1）确定常数k ，并求n a ； （2）求数列92{}2nna -的前n 项和n T . 变式2已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}nb 是等比数列，且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121(*)n n n n T a b a b a b n N -=+++∈L ，证明：12210(*)n n n T a b n N +=-+∈.四、分组求和法对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和.例6.34 在数列{}n a 中11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.（1）设nn a b n=，证明1{}n n b b +-为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 解析 （1）由已知得1111(1)12112n nn n n n n a a a n b n n n +++++===+++，即112n n nb b +=+， 故112n n nb b +-=，且111(2,*)2n n n n b b n n N b b +--=≥∈-，因此1{}n n b b +-是公比为12的等比数列. （2）由（1）知当2n ≥时，1121111,,22n n n b b b b ---=-=L ，叠加得 11122111122n n n n n b b b b b b -----+-++-=++L L ， 所以111112211212n n n b b ---==--，得11112n n b b -=+-，1n =时也成立，又111b a ==，所以112(*)2n n b n N -=-∈，得12(*)2n nn na nb n n N -==-∈. 12123(21)(4)(6)(2)24223(2462)(1)222n n n nS n nn --=-+-+-++-=++++-++++L L L令21231222n n nT -=++++L ， 23111231222222n n n n nT --=+++++L ， 故2111(1)11112212(1)2122222222212n n n n n n n nT nn n n --+=++++-=-=--=--g L ，故1242n n nT -+=-，又2462(1)n n n ++++=+L ， 所以12(1)42n n nS n n -+=++-. 变式 1 已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=g 的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L .（1）求1357,,,a a a a ；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .变式2 等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表6-1的同一列.表6-1第1列 第2列 第3列 第1行 3 2 10 第2行 6 4 14 第3行 9 8 18(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .五、裂项相消法将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项. 常用的裂项相消变换有： 1.分式裂项1111()()n n p p n n p=-++；1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++.2.根式裂项1p=.3.对数式裂项lg lg()lgn pn p nn+=+-.4.指数式裂项1()(1)1n n naaq q q qq+=-≠-；11111()(1)(1)(1)111nn n n nqqq q q q q++=-≠-----.使用裂项法，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列{}na中每一项na均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.例6.35 求数列1111,,,,,132435(2)n n⨯⨯⨯+L L的前n项和nS.解析先分析通项公式1111()(2)22nan n n n==-++，所以1111111111311[(1)()()](1)(*)23242221242224 nS n Nn n n n n n=-+-++-=+--=--∈+++++L评注如果数列的通项公式可以写成()()f n p f n+-的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如11{}n na a+，其中{}na是等差数列时，可尝试使用此法.变式1 已知数列1111,,,,,12123123n+++++++L LL，求它的前n项和nS.例6.36已知等差数列{}na满足3577,26a a a=+=，{}na的前n项和nS.（1）求na及nS；（2）令21(*)1nnb n Na=∈-，求数列{}nb的前n项和nT.解析（1）设{}na的首项为1a，公差为d，由已知可得111273210262a d aa d d+==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩.所以1(1)21(*)na a n d n n N=+-=+∈，1()(2)(*)2nna a nS n n n N+==+∈.（2）因为21na n=+，所以214(1)na n n-=+，因此1111()4(1)41nbn n n n==-++，故1211111111(1)(1)(*)42231414(1)n n nT b b b n N n n n n =+++=-+-++-=-=∈+++L L .故数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.评注 采用裂项相消法求解数列的前n 项和，消项时要注意相消的规律，可将前几项和表示出来，归纳规律.一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项. 变式1 设正项数列{}n a 前n 项和n S 满足21(1)4n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T .变式2 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg ,1n n a T n =≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan n n n b a a +=g 求数列{}n b 的前n 项和n S .六、倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）.例6.37设()f x (7)(6)(5)(0)(8)f f f f f -+-+-++++L L 的值.解析因为1()(1)22x xf x f x +-==+=+x =+==所以(7)(6)(5)(0)(8)8f f f f f -+-+-++++==L L . 变式1 函数121()(0),,4xf x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，121()()2f x f x +=. （1）求m 的值；（2）已知数列{}n a 满足121(0)()()()(1)n n a f f f f f n n n-=+++++L ，求n a ；（3）若12n n S a a a =+++L ，求n S .变式2 已知函数()f x 对任意x R ∈都有1()(1)2f x f x +-=.（1）求1()2f 的值；（2）若数列{}n a 满足121(0)()()()()(*)n n na f f f f f n N n n n n-=+++++∈L ，数列{}n a 是等差数列吗？试证明之；（3）设4(*)41n n b n N a =∈-，1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .变式3 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求0121231n n nn n n n S C a C a C a C a +=++++L .最有效训练题1.L ，则 ）A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项2.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,),(,1),*n n n n c a a b n n n N +==+∈u u r u u r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，总有//n n c b u u r u u r成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，总有n n c b ⊥u u r u u r成立，则数列{}n a 是等比数列3.设{}n a 是单调递减的等差数列，前3项的和是15，前3项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2011a =（ ）A ．12B ．2C ．-1D ．1 5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对*n N ∀∈，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（0，2）C ．[1，2）D ．（0）6.对于数列{}n a ，如果*k N ∃∈及12,,,k R λλλ∈L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成立，其中*n N ∈，则称{}n a 为k 阶递推数列，给出下列三个结论： ①若{}n a 为等比数列，则是1阶递推数列； ②若{}n a 为等差数列，则是2阶递推数列；③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则是3阶递推数列. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）-1，7，-13，19，L ，n a =_____________； （2）0.8，0.88，0.888，L ，n a =_____________； （3）115132961,,,,,,248163264--L ，n a =_____________；（4）0，1，0，1，L ，n a =_____________. 8.若数列{}n a 满足111n n d a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称{}n a 为调和数列.已知数列1{}nx 为调和数列，且1220200x x x +++=L ，则56x x +=__________.9.在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，则100S =__________. 10.根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式. （1）已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+； （2）已知数列{}n a 的满足132n n n a a +=++，且12a =； （3）1111,(2,*)n n n a a a n n N n--==≥∈； （4）在数列{}n a 中，111,2(*)n n n a a a n N +==+∈； （5）在数列{}n a 中，113,21(*)n n a a a n N +==+∈；（6）在数列{}n a 中，2111,2(*)n nn a a a a n N +==+∈. 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(*)nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .12. 已知数列{}n a 的首项1122,(*)31n n n a a a n N a +==∈+（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）求数列{}nna 的前n 项和n S .。