中考数学专题复习(二)圆
2021年中考数学复习专题-【圆】解答题专项测练02
2021中考数学复习
【圆】解答题专项测练02
1．已知：如图，AB＝AC，以AB为弦作⊙O与AC切于点A，交BC于D，连接AD；
①求证：DA＝DC；
②若BD＝4，CD＝8，求⊙O半径．
2．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接DE，若∠A＝30°，求．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
5．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
6．如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．
7．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
8．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．
2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)
2021年九级中考数学压轴题满分训练–
几何之圆的专题（二）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交圆O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD，DE于点H，点G，cos∠ABD＝．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：△DGH是等腰三角形；
（3）若FG＝9.5，求⊙O的周长．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；
（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．
3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
4．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4AE•CE；
（3）如图2，点G是AB下方的半圆的中点，连接CG交AD于点F，连接OF，若AC ＝10，DE＝12，求OF的长．
5．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；
（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．
2021年九年级数学中考复习专题之圆：圆心角、弧、弦的关系(二)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：
圆心角、弧、弦的关系（二）
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．50°
2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②＝＝，③四边形MCDN是正方形，④MN ＝AB，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）
A．32°B．60°C．68°D．64°
4．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）
A．50°B．45°C．40°D．35°
5．下列说法正确的是（）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．90°的角所对的弦是直径
C．等弧所对的弦相等
D．圆的切线垂直于半径
6．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，＝，∠AOB＝58°，则∠BDC的度数是（）
A．58°B．42°C．32°D．29°
7．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）
A．26°B．28°C．30°D．32°
8．下列说法正确的是（）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
9．下列说法正确的是（）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习
【基础知识回顾】
一、圆的定义：
1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】
3、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的叫做弦
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类
4、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
5、垂径定理及推论：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的
几何语言：∵CD过圆心, 且___________
∴ , , .
（2）推论：
平分弦（）的直径，并且平分弦所对的
几何语言：∵CD过圆心, 且___________
∴ , , .
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角
2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
几何语言：
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(二)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：
相交弦定理的运用（二）
一．选择题（共10小题）
1．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）
A．2米B．3米C．4米D．5米
2．如图，⊙O的直径AB＝8，弧AC＝弧BC，E为OB上一点，∠AEC＝60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）
A．6 B．4C．D．
3．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（）
A．4 B．5 C．8 D．10
4．如图，⊙O的直径AB＝10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE＝2，DE＝2，则弦心距OF为（）
A．1 B．C．D．
5．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM＝4，MB＝3，则CM•MD＝（）A．28 B．21 C．12 D．7
7．如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD＝4，则AP•BP的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（）
A．3cm B．4cm C．cm D．cm 9．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠
中考数学二轮复习专题 与圆有关的计算及答案详解
中考数学二轮复习专题与圆有关的计算
一、单选题
1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）
A．B．C．D．
2．如图，的半径为1，弦在圆心O的两侧，求上有动点
于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）
A．1B．3C．D．
5．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P
为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．
C．D．
6．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是()
A．1B．C．D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点
E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（）
A．B．3πC．5πD．
8．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）
2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练(二)(含答案)
2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：
填空题专项训练（二）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2；以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3；以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中弧
的长 ．
2．如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与三角形三边相切于点D 、E 、F ，若∠DFE ＝55°，则∠A ＝ °．
3．如图，在Rt △ABC 中，点D 是AB 上的一点，将Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 的对应点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，
经过点B ′，若AC ＝2BC ＝2，则阴影部分的面积
是 ．
4．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN ＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为．
5．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为（用含m、n的代数式表示）．
7．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．
2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(二)含答案
2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》
解答题专题练习（二）
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．
（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
2．如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连AC交PO于E 点．
（1）求证：PB＝PE；
（2）若tan∠CPO＝，求sin∠PAC的值．
3．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC 上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、
射线MA分别相交于点E、F．
（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；
（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．
4．已知如图，⊙O的直径BC＝4，＝＝，点P是射线BD上的一个动点．（1）如图1，求BD的长；
（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；
（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP+PB的最小值．
5．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．
中考复习圆专题含答案
中考专题复习——圆
一、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧.
转为几何语言：
∵CD是直径,CD⊥AB,
∴AM=BM,
⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD
如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？
如图,在下列五个条件中:
①CD是直径,
②CD⊥AB,
③AM=BM,
④⌒AC=⌒BC，
⑤⌒AD=⌒BD
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.
你可以写出相应的命题吗?
条件结论命题
①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理是《圆》这一章的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用．在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常需要结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：
类型一 求直径
【例1】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且点P 是半径OB 的中点，
6 cm CD =，则直径AB 的长是（ ）．
A ． 2 3 cm
B ． 3 2 cm
中考数学二轮复习专题 圆的基本性质及答案详解
中考数学二轮复习专题圆的基本性质
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（）
A．6B．9C．10D．12
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）
A．πB．πC．2πD．π
3．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P
为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．
C．D．
4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（）
A．B．C．D．
6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）
A．2B．2.5C．3D．3.5
7．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接
，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（）
A．B．
C．D．
8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（）
A．B．C．D．
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
10．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（）
A．B．C．2 D．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为
2021年中考数学一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合(二)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：
几何压轴—圆的综合（二）
1．如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：∠B＝2∠F；
（2）已知AE＝8，DE＝2，求CF的长．
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB 交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．
3．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的点，OC⊥BD．
（1）如图①，求证＝；
（2）如图②，连接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大小．
4．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若GH＝2，AG＝4，求△CDG 的面积．
5．已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．
（1）求证：∠OAC＝∠BCD；
（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；
（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用(二)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：
切线长定理综合运用（二）
一．选择题
1．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD 的周长等于3，则PA的值是（）
A．B．C．D．
2．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP．若∠APO＝30°，OA＝2，则BP ＝（）
A．B．C．4 D．2
3．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）
A．40°B．140°C．70°D．80°
4．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P为（）
A．120°B．60°C．30°D．45°
5．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC 上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）
A．9 B．7 C．11 D．8
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
7．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）
A．6B．3C．6 D．3
8．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）
A．10 B．18 C．20 D．22
9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）
2021年中考数学复习专题-【圆】解答题专项提升训练(二)
2021中考数学复习专题
【圆】解答题专项提升训练（二）
一．解答题
1．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若BD＝3，AD＝5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．
3．在扇形OAB中，C是弧AB上一点，延长AC到D，且∠BCD＝75°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，若OA＝12，求该圆锥的底面半径．
4．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，AE平分∠CAB 交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．
5．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，且E是OB的中点，连接CO并延长交AD于点F．（1）求证：CF⊥AD；
（2）若AB＝12，求CD的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．（1）求证：AC∥OD；
（2）求证：OE＝AC．
7．如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，连接CD．
（1）求BD的长；
（2）射线DO交直线AC于点E，连接BE，求BE的长．
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E．
2023年中考数学二轮专题复习频考点突破 圆的综合(含解析)
2023年中考数学频考点突破--圆的综合
1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE.
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 √3，OA＝4，求阴影部分的面积.
2．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM=∠BAC=α．
（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=5
3，若⊙O
的半径为1，cosα=3
4，求AG⋅ED的值．
3．如图，已知A、B是⊙O上两点，⊙OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊙AB 交AB的延长线于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）E为弧AB̀的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan⊙AFE= 34，BE=BG，EG=3 √10，求⊙O的半径．
4．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC=3.
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径.
5．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊙BC，且FE＝FC （CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；
（2）将图1中的⊙CEF绕点C按逆时针旋转，使⊙CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．
①在图2中，依据题意补全图形；
②求证：DF＝√2FG．
6．如图，已知⊙ABC，AC=3，BC=4，⊙C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何综合问题(圆的专题)(二)
2021年九级中考数学压轴题满分训练–几何综合问题
（圆的专题）（二）
1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．
（1）连接BC，求证：BC＝OB；
（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．
4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：
在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为E，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①
中考数学二轮专题复习-圆的性质及有关计算及答案详解
中考数学二轮专题复习-圆的性质及有关计算
一、单选题
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB＝70°，则∠BOC等于（）
A．100°B．110°C．130°D．140°
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）
A．3.1B．4.2C．5.3D．6.4
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（）
A．66°B．34°C．56°D．68°
4．如图，点A，B，C在上，是等边三角形，则的大小为（）
A．60°B．40°C．30°D．20°
5．已知为圆的直径，为圆周上一点，，．则
的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
6．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（）
A．B．3C．D．
7．如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（）
A．B．C．D．
8．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
9．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（）
A．50°B．100°C．130°D．150°
10．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（）
A．45°B．30°C．20°D．15°
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（）
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专题二：圆
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念
（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。 （2）确定圆的条件；
①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；
（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外⇔d ＞r ； ②点在圆上⇔d=r ； ③点在圆内⇔ d ＜r ；
（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。
（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。 二 圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分
弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．
在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：
圆心角相等←−−
→←−−→←−−→所对所对所对
弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角
①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角． ②定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o
的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角． 三、直线和圆的位置关系：
1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
2．直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ⇔<（图 1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ⇔=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离d r ⇔>（图3）．
四、切线的判定和性质： （一）切线的判定
1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线． （二）切线的性质
1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3
）切线垂直于过切点的半径；
l
图
1 l
图
2
l
图2
l
图1
l
图2
l
图3
（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 五、三角形的内切圆 1．三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等． 2．外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2
C
R =
(C 为斜边长) 3．三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:c
b a S r ABC
++=
∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径
c b a ab r ++=
或2
c
b a r -+=.
4．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 六、切线长定理： 1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．
3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．
4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 七、弦切角定理：