似曾相识燕归来 数与形合“e”点通——例谈浙江省数学高考向量题的解法策略

被广大高考试题研究者所青睐. 笔者认为 ２０１８ 年
浙江省数学高考第 ９ 题依然尽显“ 浙江风格”ꎬ题
面简洁ꎬ题新意深. 试题围绕单位向量、向量的核心
考点来创新命题ꎬ精彩纷呈. 历年浙江卷向量题的
核心考点是模、数量积、线性运算. 因命题的角度不
同ꎬ每年都会有新颖的试题情境ꎬ 特别是特殊向
量———单位向量出现时ꎬ就有不同的试题和解法.
所以向量 ｂ 的终点在以 ＡＥ 为直径的圆上 ( 如图
１) ꎬ于是 ｜ ａ － ｂ ｜ 的最小值为 ｜ ＢＣ ｜ ＝ ３ － １. 故选 Ａ. 评注 解法 １ 从分析问题的数量关系入手ꎬ借
用单位向量 ｅ“ 数” 的属性———长度为 １ꎬ利用方程
的相关知识ꎬ再运用向量 ａ － ｂ“形”的属性ꎬ由几何 直观观察可知:当 ＤＣ⊥ＯＣ 时ꎬ ｜ ＢＣ ｜ 最小.
方法. 试题是向量模的最值问题ꎬ可以从绝对值的
“形” 入手ꎬ进行合理构造ꎬ寻求解题思路. 解法 ４
由“形”而思ꎬ合理构造. 基于 ｜ ａ － ｂ ｜ 及 ａꎬｂ 的模构
造三角不等式ꎬ充分利用了绝对值的“形”ꎬ这里 ａꎬ
ｂ 几何意义的确定是关键ꎬ同时结合圆的几何性
质ꎬ解法 ４ 显得灵活快捷.
１. １ 题源回溯
������４６������
中学教研( 数学)
２０１８ 年第 １１ 期
似 曾 相 识 燕 归 来 数 与 形 合 “ ｅ” 点 通∗
———例谈浙江省数学高考向量题的解法策略
●李承法 ( 开化中学ꎬ浙江 开化 ３２４３００)
摘 要: 文章用向量的“ 数” “ 形” 属性ꎬ从代数、几何角度解析 ２０１８ 年浙江省数学高考第 ９ 题ꎬ从 ４ 个方面梳理近年来
不过例 １ 对单位向量的设置更加灵活ꎬ情景更为新
颖、独到ꎬ令人拍案称绝.
１. ２ 例 １ 的变式与简解
������４７������
即
(２ｂ
－ ４ｅ)２ ４
－ (４ｅ)２
＝
－ ３ꎬ
整理得
｜ ｂ － ２ｅ｜ ＝ １ꎬ
下同解法 １ꎬ略.
评注 本题的核心是对数量积 ｅꎬｂ 的处理. 关
于数量积的运算可用极化恒等式. 解法 ３ 用极化恒
等式聚焦本质ꎬ将几何与代数有机结合ꎬ巧妙转化
数量积ꎬ快速得到向量 ｂ 的轨迹ꎬ从而找到解决问
题的突破口.
解法 ４ (代数角度)由解法 ３ 知 ｜ ｂ － ２ｅ ｜ ＝ １ꎬ
由图 １ 得
｜ ａ － ２ｅ｜ ≥ ３ꎬ 从而 ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ (ａ － ２ｅ) － (ｂ － ２ｅ) ｜ ≥
｜ ａ － ２ｅ｜ － ｜ ｂ － ２ｅ｜ ≥ ３ － １.
评注 问题的“形” 往往蕴含着解题的思路与
０ꎬ所以点 Ｃ 在以 ＡＢ 为直径的圆
上ꎬ故 ｜ ｃ ｜ ＝ ｜ ＯＣ ｜ 的最大值为圆
的直径 ｜ ＡＢ ｜ ꎬ即 ２.
此题 为 向 量 的 模 的 最 值 问
图３
题ꎬ涉及了单位向量并应用了单位向量模为 １ 的属
性ꎬ形式上看是关于向量 ｃ 的方程ꎬ本质是考查圆
的向量式方程. 因此说例 １ 与例 ２ 是同源试题ꎬ只
笔者以这道题及近年来浙江卷涉及单位向量的高
考试题为例ꎬ梳理高考向量题的考查视角和解题策
略ꎬ并作变式思考.
１ ｅ 与模:借用单位向量 ｜ ｅ ｜ ＝ １
向量模就是向量长度ꎬ涉及它的问题求解通常
有几何和代数两个角度:线段长←几何 ｜ ａ ｜ 代→数 平方.
例 １ 已知 ａꎬｂꎬｅ 是平面向量ꎬｅ 是单位向量.
若非零向量
ａ
与
ｅ
的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角为
π ３
ꎬ向
量
ｂ
满足
ｂ２
－
４ｅ������ｂ ＋ ３ ＝ ０ꎬ则 ｜ ａ － ｂ ｜ 的最小值是
( )
Ａ. ３ － １ Ｂ. ３ ＋ １ Ｃ. ２ Ｄ. ２ － ３ (２０１８ 年浙江省数学高考试题第 ９ 题)
解法 １ (几何角度)因为 ｂ２ － ４ｅ������ｂ ＋ ３ ＝ ｂ２ － ４ｅ������ｂ ＋ ３ｅ２ ＝ ( ｂ － ｅ) ������( ｂ － ３ｅ) ＝ ０ꎬ
３ｘꎬ则 ｜ ａ － ｂ ｜ 表示 ｂ 的终点到直线 ｌ 的距离. 又圆
心 Ｄ 到直线 ｌ 的距离为
｜ ＤＣ ｜
＝ ２ｓｉｎ
π ３
＝
３ꎬ
故 ｜ ａ － ｂ ｜ 的最小值为 ３ － １. 评注 坐标法是解决向量问题的重要方法之
一ꎬ其特点就是用代数的方法处理几何问题ꎬ思维 起点低ꎬ易于操作. 解法 ２ 用坐标法快速求解ꎬ不仅 思维量小ꎬ运算量也不大ꎬ降低了思维起点. 前提是 合理建系ꎬ否则会人为增加运算量.
图１
图２
解法 ２ (代数角度) 设单位向量 ｅ ＝ (１ꎬ０)ꎬ 向量 ｂ ＝ ( ｘꎬｙ) ꎬ因为 ｂ２ － ４ｅ������ｂ ＋ ３ ＝ ０ꎬ所以
ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ｘ ＋ ３ ＝ ０ꎬ
即
(ｘ － ２)２ ＋ ｙ２ ＝ １ꎬ
从而向量 ｂ 的终点 Ｂ 在以点 Ｄ(２ꎬ０) 为圆心、１ 为
半径的圆上(如图 ２). 设 ａ 所在直线方程为 ｌ:ｙ ＝
含有单位向量的浙江省数学高考向量题的考查视角与解法策略ꎬ并指出向量复习教学要寻求问题的通解通法ꎬ实现数形结 合.
关键词: 单位向量ꎻ几何代数ꎻ最值 中图分类号:Ｏ１２３. １ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００３ － ６４０７(２０１８)１１￣００４６￣０５
一年一度的浙江省数学高考向量题八方关注ꎬ
解法 ３ ( 代数角度) 因为 ｂ２ － ４ｅ������ｂ ＋ ３ ＝ ０ꎬ 所以
ｂ(ｂ － ４ｅ) ＝ － ３ꎬ
∗ 收文日期:２０１８￣０６￣２４ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣２４ 作者简介:李承法(１９６９—) ꎬ男ꎬ浙江开化人ꎬ中学高级教师. 研究方向:数学教育.
２０１８ 年第 １１ 期
中学教研( 数学)
回溯浙江省数学高考单独命题以来ꎬ笔者认为
例 １ 与 １０ 年前这道高考题( 例 ２) 同源.
例 ２ 已知 ａꎬｂ 是平面内两个互相垂直的单
位向量. 若向量 ｃ 满足(ａ － ｃ) (ｂ － ｃ) ＝ ０ꎬ则 ｜ ｃ ｜ 的
最大值是
( )
Ａ. １
Ｂ. ２
Ｃ.
２
Ｄ.
２ ２
(２００８ 年浙江省数学高考理科试题第 ９ 题) 分析 如图 ３ꎬＯ→Ａ ＝ ａꎬＯ→Ｂ ＝ ｂꎬＯ→Ｃ ＝ ｃꎬ因为( ａ － ｃ) ( ｂ － ｃ) ＝