精选揭阳市2018-2019学年高一下期末联考数学(理)试题有答案
广东省揭阳市月城中学2018-2019学年高一数学理期末试卷含解析
广东省揭阳市月城中学2018-2019学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是奇函数,当时,当时等于（）A． B． C．D．参考答案：A略2. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，函数解析式为：f（x）=1﹣2x，则当x＞0时，该函数的解析式为（）A．f（x）=﹣1﹣2x B．f（x）=1+2x C．f（x）=﹣1+2x D．f（x）=1﹣2x参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，再利用奇函数的定义以及当x＜0时f（x）的解析式，求得当x＞0时函数的解析式．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是奇函数，由x＜0时，f（x）=1﹣2x，可得f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（1+2x）=﹣1﹣2x，故选：A．3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，则异面直线DB1与C1C所成角的大小是（）A．30° B．45° C. 60° D．90°参考答案：C连接为异面直线与所成角，∵几何体是长方体，是，，异面直线与所成角的大小是60°,故选C.4. （5分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位参考答案：B考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的图象的平移变换，写出结果即可．解答：函数y=lg（1﹣2x）的图象向右平1个单位可得函数y=lg[1﹣2（x﹣1）]=lg（3﹣2x）．故选：B．点评：本题考查函数的图象的平移变换，基本知识的考查．5. 在不等边三角形ABC中，a是最大边，若，则A的取值范（）A． B. C. D.参考答案：C6. 已知集合，则=（）A． B． C． D．参考答案：D7. 将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y＝cos2x＋sin2x B．y＝cos2x－sin2x C．y＝sin2x－cos2x D．y＝cos x sin x 参考答案：B略8. 已知函数，则的单调递减区间为（）A、[0，1）B、（-∞，0）C、D、（-∞，1）和（1，+∞）参考答案：D9. i是虚数单位，复数z满足，则z=A. 1+2iB. 1－2iC. 2+iD. 2－i参考答案：D【分析】运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.【详解】，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.10. 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2 B．4πa2 C．5πa2 D．6πa2参考答案：C【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据相似三角形求出上底面半径和a的关系，再计算两底面积之和．【解答】解：设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S，则∠ASO=30°，设圆台的上底面半径为r，则SA′=2r，OA=2r，SA=4r，∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a，∴r=a，∴圆台的上下底面积S=πr2+π（2r）2=5πr2=5πa2．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. tan(-)＝________.参考答案：12. 经过圆的圆心，并且与直线垂直的直线方程为___ __.参考答案：13. 若sin（﹣α）=，则cos（+α）= ．参考答案：【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式把要求的式子化为sin（﹣α），利用条件求得结果．【解答】解：∵sin（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α）=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.参考答案：4略15. 函数，对于任意的x∈R，都有，则的最小值为.参考答案：16. 已知，则函数f（3）= ．参考答案：11【考点】函数的表示方法；函数的值．【分析】通过换元，求出f（t）的解析式，再把t换成3，可得f（3）的值．【解答】解：令 x﹣=t，t2=x2+﹣2，∴f（t）=t2+2，∴f（3）=32+2=11；故答案为11．17. 若log2（a+3）+log2（a﹣1）=5，则a= ．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】首先根据对数的运算性质求出a值．【解答】解：log2（a+3）+log2（a﹣1）=5=log232∴，解得a=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018届广东省揭阳市高三学业水平(期末)考试数学理试题Word版含答案
正视图 3侧视图810否 输出lg S是k =k +1 开始 结束 输入k =1,S =1 S =S ×k图2绝密★启用前2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试数学理试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2xx x B ≥=，则=B A（A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}4,2{ （D ）}4,3,2{ （2）已知复数(12)()z i a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则||z =（A ）5（B ）52（C ）32（D ）50（3）已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q 若22lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（A ）p q ∨ （B ）p q ∨⌝ （C ） p q ⌝∨（D ）p q ⌝∨⌝ （4）已知sin24a π=，c o s24b π=，且a 、b 的夹角为12π，则=a b ⋅（A ）116（B ）18（C ）38（D ）14（5）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤-1040x y x y x ，则y x z --=的最小值为（A ）6- （B ）4- （C ）2-（D ）0（6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是（A ）222()()f x x x π=- （B ）()co s f x x x π=+（C ）()sin f x x x= （D ）2()c o s 1f x x x =+-图1 （7）图2程序框图是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯ 的常用对数值，那么在空白判断框中，应该填入（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k（8）某几何体三视图如右图3示，则此几何体的体积为（A ）π48640+（B ）π176（C ）π16640+ （D ）704（9）已知10<<<b a ，则 （A ）1ln ln <ba （B ）bb aa ln ln >（C ）b b a a ln ln < （D ）bab a>（10）已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |=121o yxπ-πDCBAPE D CA （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC的面积为4153，2=a ，3=b ，则=Aa sin（A ）364 （B ）151516 （C ）3154 （D ）364或151516（12）已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为112233(,),(,),(,),,(,),n n x yx y x y x y 则1ni i x ==∑（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）7)1(+ax 的展开式中3x 的系数为280-，则实数a 的值为________.（14）记函数2()2f x x x=+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是 .（15）设函数()c o s ()3f x x π=-，则以下结论:①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43x π=对称③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(,)2ππ单调递减其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上） （16）已知双曲线1222=-by x 的离心率为25，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆1)1(22=-+y x上运动时， ||||1PF PQ +的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -=. （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若2132n n nb S -=+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4（1）所示，平面多边形A B C D E 中， AE=ED ，AB=BD ，且5A B =，2A D =，2A E =，1C D =，A D C D ⊥，现沿直线A D 4（2）将A D E ∆折起，得到四棱锥P A B C D -，如图4（2）示． 图4（1）（Ⅰ）求证：P B A D ⊥；（Ⅱ）图4（2）中，若5P B =，求PD 与平面P A B 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维 长度（单位：mm ）， 得到如图5的茎叶图，整数位为茎， 图5 小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的 大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由） （Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标 准如下表：等 级 七 六 五 四 三 二 一 长度(mm) 小于26.0 [26.0,27.0) [27.0,28.0) [28.0,29.0) [29.0,30.0) [30.0,31.0) 不小于31.0试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望.（20）（本小题满分12分）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段A P 上，且2A P A Q =，当点P 在圆上运动时.（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为21s in 2c o s 2ρθθ=-+，（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求M O N ∠的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||||)(a x a x x f --+=，（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1(a f 与|)(|x f 的大小．揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题题序 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DA CB AC A C B CD C解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故1ni i x ==∑2n .二、填空题题序 13 141516答案2-13①②④25解析（16）依题意可知1=a ，21=b ，设)1,0(B ，由12||||2P F P F -=得12||||=||||+2P Q P F P Q P F ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B 上点的最小值，即zyxODCBAPODCBA P2m in 231||||1122F Q F B =-=-=,故1m in 15(||||)222P Q P F +=+=．三、解答题（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差6313a a d -==，---------------------------2分由258,a a +=得1258a d +=，解得132a = ------------------------------------------------4分∴1(1)(2)22n n n n n S n a d -+=+=；----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2nS n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分∴n n b b b b T ++++= 3211111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++ -------------------8分 11111111321(1)()233412221nnnn n -=++++-++++++⨯++--------10分3113(21)2122nn n =--+⨯-++1113212n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分（18）证明：（Ⅰ）取A D 的中点O ，连O B 、O P ，---------1分∵B A B D =，E A E D =，即P A P D =，∴O B A D ⊥且O P A D ⊥，-----------------------------------3分 又O B O P O =，∴A D ⊥平面B O P ，------------------5分 而P B ⊂平面B O P ，∴P B A D ⊥；-----------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴P O O B ⊥,-------------------------------------7分∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示， 则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,(0,11),(011)D P A P =-=，，，，(2,0,1)B P =-,设(,,)m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由00200A P m b c a cB Pm ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-，---------------------------10分 设PD 与平面P A B 所成角为θ，则|,cos |sin ><=m DPθ||||||m DP m DP⋅⋅=322324=⨯=，-------------------11分故22s in 3θ=，即PD 与平面P A B 所成角的正弦值为223.--------------------12分【解法2：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴P O O B ⊥,-------------------7分又OP ⊥OD ，O B O D O =,∴OP ⊥平面ABD ，----------------------------------------------------------8分设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D P A B P A B D V V --=得P A B A B D S h S P O ∆∆⋅=⋅, ∵12,2A B D S A D O B ∆=⋅=1135222A PB S A P ∆=⋅-=,∴214332h ⨯==，-----------------------------------------------------10分设PD 与平面P A B 所成角为θ，则422sin 332h P Dθ===⋅,即PD 与平面P A B 所成角的正弦值为223.----------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分 （Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：51255=，--------------3分； 30.1225=，---------------------------------------------------4分故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和325（或0.12）.-----5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为15，不是二级的概率为14155-=，依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又44256(0)()5625P ξ===（或0.4096），13414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096），22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256）， 411(4)=5625P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分故ξ的分布列为：14455E ξ=⨯=（或0.8）.-------------------------------------------------12分ξ1234()P ξ256625（或0.4096） 256625（或0.4096） 96625（或0.1536） 16625（或0.0256） 1625（或0.0016）（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分由2A P A Q =得则00,2x x y y ==，--------------------------------------------------------------------------2分∵点P 在圆224x y +=上，即22004x y +=，∴22(2)4x y +=，即12422=+yx，∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+yx（2±≠x ）.--------------------------------------5分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分 把m kx y +=代入12422=+yx，得0424)12(222=-+++mkmx xk，-----7分则)42)(12(4162222-+-=∆mkmk )48(822m k-+=，由0>∆，得22)12(4m k>+，-------------------------------------------------------8分由11222221=+-=+kkm x x ，得1222+=-kkm ，---------------------------------9分所以222222)12(4)12(16+=>+kmk kk ，解得1142>k，所以k 的取值范围是),1414()1414,(∞+--∞ ．--------------------------------12分（21）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+，e xax x a x f -++=1ln )('e a xx a -++=1ln ，----------------------------------1分设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ， 即e e a x x a -=-++01ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ，得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ，联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设e a xx a x f x g -++==1ln )(')(，由01)('2>-=xax x g 得ax 1>，∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a上单调递增，在)1,0(a上单调递减，得e a a a af x f -+-==2ln )1(')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分 设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0），由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ，∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分 ②当e a <<0时，0)1(')('min <=af x f ，又0)('>+=-ae a ee a ef ，∴存在11x a>，使1'()0f x =，----------------------9分又0)1('=-++-=e a e a ef ，而ae 11<，∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞时，0)('>x f ，当11(,)x x e ∈时，0)('<x f ， ∴函数)(x f 在)1,0(e和1(,)x +∞上单调递增，在11(,)x e上单调递减，-----10分又03)1(<--=ea e f ，01)(>-=ae ef a e，---------------------------------------11分∴函数)(x f 仅有一个零点，综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为圆心，2为半径的圆的上半圆，----2分 其极坐标方程为[]()20,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[]()20,ρθπ=∈，21s in 2c o s 2ρθθ=-+,得sin 2co s 20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24πθ=或524πθ=，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分所以2||πθθ=-=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分e1a1X 1xy)('x f)(x f②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a aa aaf --+=--+=，---------------------------------------------6分当1||<a 时，012>-a，||2||2||1||1)1(222a a aa a a a af ==--+=，-------------------7分|2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ≥．------------------------------------------------------------------------------10分。
【精品】2018-2019学年度高一下期末数学(理)试卷+答案
- 1 -【精品】2018-2019学年度高一下期末数学（理）试卷考试时间：120分钟；命题人：高一数学教研组一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21,2|x x x 或，其中b a ,为实数，则02>+-c bx ax 的解集为（ ）A()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃-∞-,212, B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,2 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 D ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,221,2.在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形3.在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2 C． D．4.下边程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A.0B.2C.4D.145. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6..在数列{}n a 中,12321n n a a a a ++++=-,则2222123n a a a a ++++= ( )A.()221n- B.()1213n - C.41n- D.()1413n - 7.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C 、D 两观测点，且在C 、D 两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C 、D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ） A ．120m B ．480m C ．240m D ．600m8.向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 （ ）- 2 - A ．95 B ．32 C ． 31 D ．949.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程yˆ=9.4x+9.1，那么表中m 的值为（ ） A ．27.9 B ．25.5 C ．26.9 D ．2610.已知数列{a n }是等差数列，若a 9+3a 11＜0，a 10a 11＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于（ ）A ．20B ．17C ．19D ．2111.设y x 、是满足202=+y x 的正数，则y x 2lg lg +的最大值是( )A ．50B ．2C ．5lg 1+D ．112已知点P (,)x y 满足线性约束条件点M(3，1)，O 为坐标原点，则的最大值为A. 12B. 11C. 3D. -1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 满足：*121212111,,()2n n n a a n N a a a ++===+∈，则10a =__________ 14.设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 。
广东省揭阳市2018-2019学年第一学期高三期末统考理科数学试卷
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试（期末） 数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分1．复数i iz ++-=211的虚部是( ) A.25 B.2 C.23 D.i 23 2．已知集合}013|{≤+-=x x x A ，}3,2,1,1{-=B ，则=B A ( ) A.}2,1{ B. }2,1,0{ C. }3,2,1{ D. }3,2,1,1{-3．已知命题:p 若a>b,则a 2>b 2;命题:q m 、n 是直线,α为平面,若m ∥α,n ⊂α,则m ∥n ,下列命题为真命题的是( )A.q p ∧B.q p ⌝∧C.q p ∧⌝D. q p ⌝∧⌝4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图，则下列结论中表述不正确的是( )A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归型t y5.1799ˆ+=根据该模型预测该地区2019年的环境基础设施投资额为5.256亿5．函数xx x f 1||ln )(+=的图象大致为( )A. B.C.D.6．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--001201x y x y x ，则y x z +-=2的最小值为( ) A.4 B.2 C.2- D.1-7．若8log ,8log ,3log 542===c b a ，则c b a ,,大小关系是( )A.c b a >>B.b c a >>C.c a b >>D. a b c >>8．若A(2，22)在抛物线C; y 2=2x 上,记抛物线C 的焦点为F,直线AF 与抛物线的另一个交点为B ，则=⋅FB FA ( )A.10-B.32-C.3-D. 29- 9.某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为8则该几何体侧面积的最大值为( )A.πB.π2C.π4D.π1610．已知在区间],0[π上,函数2sin 3x y =与函数x y sin 1+=的图象交于点P 设点P 在x 轴上的射影为P',P'的横坐标为x 0，则tanx 0的值为( ) A.21 B.34 C.54 D.158 11．已知双曲线C 22a x −22by ＝1)0,0(>>b a 的左、右焦点分别为F 1、F 2,坐标原点O 关于点F 2的对称点为P,点P 到双曲线的渐近线距离为23,过F 2的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点,若|MN|＝3,△F 1MN 的周长为10,则双曲线C 的离心率为( ) A. 23 B.2 C. 25 D.3 12．如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1, AA 1⊥底面A 1B 1C 1,∠ACB ＝90°与BC ＝CC 1＝1，AC ＝32,P 为BC 1上的动点,则CP ＋PA 1的最小值为( ) A.52 B.231+ C.5 D.521+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13．(x 2＋21x )8的展开式中x 1的系数为__________. 14．向量a =(1,x),b =(−1,−2)不共线,且(a ＋b ）⊥(a －b ),则a ·b ＝_________.15．已知函数x x x f 2)(3+=,若0)2()1(2≤+-a f a f ,则实数a 的取值范围是_______.16．已知)]1(3cos[3)]1(3sin[)(+-+=x x x f ππ,则=+++)2019()2()1(f f f ____.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题第23题为选考题,考生根据要求做答17.(12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S 且满足31=a ，132+=+n n a S(1)求数列{n a }的通项公式;(2)若等差数列{n b }的前n 项和为T n ,且T 1=1a ,T 3=3a ,求数列{11+n n b b }的前n 项和Q n .18.(12分)如图,在三棱锥P-ABC 中,正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直,AB=BC,O 是AC 中点,OH ⊥PC 于H(1)证明:PC ⊥平面BOH ;(2)若OH ＝OB ＝3，求二面角A-BH-O 的余弦值.某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试；方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训,甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下(1)在甲组内任选两人,求恰有有一人优秀的概率；(2) 每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率(i)设公司员工在方式一，二下的受训时间分别为21,ξξ,求21,ξξ的分布列，若选平均受训时间少的,则公司应选哪种培训方式？(ii)按(i)中所选方式从公司任选两人,求恰有一人优秀的概率.20.(12分)已如椭圆C: 22a x ＋22by ＝1 (a>b>0)的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为)31,0(),31,0(-+(1)求椭圆C 的方程;(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且AP ·=O 试探究直线l 是否过定点？ 若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.已知函数kxke kx x f 1)(-= (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x ≥1时，x k xf ln )(≤，求k 的取值范围.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==22ty t x (t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线1l 、2l 相互垂直,与曲线C 分别相交于A 、B 两点(不同于点O),且1l 的倾斜角为锐角α(1)求曲线C 和射线2l 的极坐标方程(2)求△OAB 的面积的最小值,并求此时α的值23.[选修4 -5：不等式选讲](10分)已知函数|2||2|)(+--=x a x x f(1)当2=a 时,求不等式)(x f <2的解集(2)当x ∈[−2,2]时不等式f (x )≥x 恒成立,求a 的取值范围。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_5
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【答案】D【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
_广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班理数学业水平考试试卷
()
D.
6. 已知命题 若
，则
列命题为真命题的是( )
；命题
A.
B.
C.
、 是直线， 为平面，若 // , D.
，则 // .下
答案第 2页，总 18页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时 的值．
6. 已知函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）当
时，不等式
恒成立，求 的取值范围．
7. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足
，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等差数列 的前 n 项和为 ，且
，
，求数列
的前 项和 ．
8. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB＝BC，O
A . 从 2000 年至 2016 年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B . 2011 年该地区环境基础设施的投资额比 2000 年至 2004 年的投资总额还多； C . 2012 年该地区基础设施的投资额比 2004 年的投资额翻了两番 ； D . 为了预测该地区 2019 年的环境基础设施投资额，根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理(含解析)_1
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】= ,选A.2.已知在中，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.3.计算：的结果为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】【分析】利用恒等变换公式化简得的答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.4.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图依次计算得到结束故答案为C【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力.5.某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的规律，计算和的关系为：，将选项代入判断不符合的得到答案.【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,样本中的中年人为6人，则老年人为：青年人为：代入选项计算，B不符合故答案为B【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.6.已知平面向量满足：，，，若，则的值为（）A. B. C. 1 D. -1【答案】C【解析】【分析】将代入，化简得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7.若直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数图象的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算周期得到，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案.【详解】直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1则的对称中心横坐标为：对称中心为故答案选A【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8.一组数平均数是，方差是，则另一组数，平均数和方差分别是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.9.已知角满足，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案.【详解】，，故答案选D【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，将是解题的关键.10.已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.【详解】函数的值域为即，图象在同一周期内过两点故答案选C【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.11.在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据大角对大边判断最小角为，利用正弦定理得到，代入余弦定理计算得到，最后得到.【详解】根据大角对大边判断最小角为根据正弦定理知：根据余弦定理：化简得：故答案选D【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力.12.若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】换元设，将原函数变为，根据函数图像得到答案.【详解】设，则，单调递增，则如图：数的取值范围为故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．【答案】2【解析】【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．【答案】【解析】【分析】将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：画出图像，根据几何概型公式得到答案.【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）则相见需要满足：画出图像：根据几何概型公式：【点睛】本题考查了几何概型应用，意在考查学生解决问题的能力.15.在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.16.已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为__________．【答案】3【解析】【分析】先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.【详解】或当时，函数取得最小值：或（舍去）故答案为3【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，作如下变换：.（1）分别求出函数对称中心和单调增区间；（2）写出函数的解析式、值域和最小正周期.【答案】（1），；（2），，.【解析】【分析】（1）由，直接利用对称中心和增区间公式得到答案.（2）根据变换得到函数的解析式为，再求值域和最小正周期.【详解】由题意知：（1）由得对称中心，由，得：单调增区间为，（2）所求解析式为：0值域：最小正周期：.【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.18.在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，是的中点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和和差公式计算得到答案.（2）利用代入余弦定理公式得到，计算面积得到答案.【详解】（1）∵是的内角，∴且又由正弦定理：和已知条件得：化简得：，又∵∴；（2）∵，是的中点，且，，，∴由余弦定理得：，代入化简得：又，即，可得：故所求的面积为.【点睛】本题考查了余弦定理，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19.为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.【答案】（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.【解析】【分析】（1）直接利用公式计算回归方程为：.（2）由（1），故正相关.（3）把代入得：.【详解】（1）∵，，样本中心点为：∴由公式得：把代入得：所求回归方程为：；（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，∵，∴与之间是正相关.（3）把代入得：（千元）即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【点睛】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.20.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据得到计算得到答案.（2）先求出函数表达式为，再求函数的最大值得到答案.【详解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴（2）易知，∵，∴，，当时，，取得最大值：，又恒成立，即故.【点睛】本题考查了向量平行，函数的最大值，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21.驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.（1）分别求出的值；（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?（3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】（1），，，；（2）2人,3人,1人,1人；（3）.【解析】【分析】（1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值.（2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）依题和图表：由得：，由得：，由得：，由得：，由得：，故所求，，，.（2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确人数分别为:180人,270人,90人,90人用分层抽样抽取7人,则:从第二组回答正确的人中应该抽取: 人，从第三组回答正确的人中应该抽取：人，从第四组回答正确的人中应该抽取: 人，从第五组回答正确的人中应该抽取: 人，故从第二、三、四、五组每组回答正确人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人；（3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为: ，从第三组回答正确的人抽取的3人为:从第四组回答正确的人抽取的1人为:从第五组回答正确的人抽取的1人为:随机抽取2人,所有可能的结果有: ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：，，，，，，，，，，共这11个基本事件.故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：.【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数.（1）求函数的值域和单调减区间；（2）已知为的三个内角，且，，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.（2）通过函数计算，，再计算代入数据得到答案.【详解】（1）∵且∴故所求值域为由得：所求减区间：；（2）∵是的三个内角，，∴∴又，即又∵，∴,故,故.【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】= ,选A.2.已知在中，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.3.计算：的结果为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】【分析】利用恒等变换公式化简得的答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.4.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图依次计算得到结束故答案为C【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力.5.某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的规律，计算和的关系为：，将选项代入判断不符合的得到答案.【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,样本中的中年人为6人，则老年人为：青年人为：代入选项计算，B不符合故答案为B【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.6.已知平面向量满足：，，，若，则的值为（）A. B. C. 1 D. -1【答案】C【解析】【分析】将代入，化简得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7.若直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数图象的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算周期得到，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案.【详解】直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1则的对称中心横坐标为：对称中心为故答案选A【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8.一组数平均数是，方差是，则另一组数，平均数和方差分别是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.9.已知角满足，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案.【详解】，，故答案选D【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，将是解题的关键.10.已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.【详解】函数的值域为即，图象在同一周期内过两点故答案选C【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.11.在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据大角对大边判断最小角为，利用正弦定理得到，代入余弦定理计算得到，最后得到.【详解】根据大角对大边判断最小角为根据正弦定理知：根据余弦定理：化简得：故答案选D【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力.12.若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】换元设，将原函数变为，根据函数图像得到答案.【详解】设，则，单调递增，则如图：数的取值范围为故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．【答案】2【解析】【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．【答案】【解析】【分析】将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：画出图像，根据几何概型公式得到答案.【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）则相见需要满足：画出图像：根据几何概型公式：【点睛】本题考查了几何概型应用，意在考查学生解决问题的能力.15.在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.16.已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为__________．【答案】3【解析】【分析】先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.【详解】或当时，函数取得最小值：或（舍去）故答案为3【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，作如下变换：.（1）分别求出函数对称中心和单调增区间；（2）写出函数的解析式、值域和最小正周期.【答案】（1），；（2），，.【解析】【分析】（1）由，直接利用对称中心和增区间公式得到答案.（2）根据变换得到函数的解析式为，再求值域和最小正周期.【详解】由题意知：（1）由得对称中心，由，得：单调增区间为，（2）所求解析式为：0值域：最小正周期：.【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.18.在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，是的中点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和和差公式计算得到答案.（2）利用代入余弦定理公式得到，计算面积得到答案.【详解】（1）∵是的内角，∴且又由正弦定理：和已知条件得：化简得：，又∵∴；（2）∵，是的中点，且，，，∴由余弦定理得：，代入化简得：又，即，可得：故所求的面积为.【点睛】本题考查了余弦定理，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19.为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.【答案】（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.【解析】【分析】（1）直接利用公式计算回归方程为：.（2）由（1），故正相关.（3）把代入得：.【详解】（1）∵，，样本中心点为：∴由公式得：把代入得：所求回归方程为：；（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，∵，∴与之间是正相关.（3）把代入得：（千元）即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【点睛】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.20.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据得到计算得到答案.（2）先求出函数表达式为，再求函数的最大值得到答案.【详解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴（2）易知，∵，∴，，当时，，取得最大值：，又恒成立，即故.【点睛】本题考查了向量平行，函数的最大值，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21.驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示.（1）分别求出的值；（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人?（3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】（1），，，；（2）2人,3人,1人,1人；（3）.【解析】【分析】（1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值.（2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）依题和图表：由得：，由得：，由得：，由得：，由得：，故所求，，，.（2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确人数分别为:180人,270人,90人,90人用分层抽样抽取7人,则:从第二组回答正确的人中应该抽取: 人，从第三组回答正确的人中应该抽取：人，从第四组回答正确的人中应该抽取: 人，从第五组回答正确的人中应该抽取: 人，故从第二、三、四、五组每组回答正确人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人；（3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为: ，从第三组回答正确的人抽取的3人为:从第四组回答正确的人抽取的1人为:从第五组回答正确的人抽取的1人为:随机抽取2人,所有可能的结果有: ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：，，，，，，，，，，共这11个基本事件.故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：.【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数.（1）求函数的值域和单调减区间；（2）已知为的三个内角，且，，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.（2）通过函数计算，，再计算代入数据得到答案.【详解】（1）∵且∴故所求值域为由得：所求减区间：；（2）∵是的三个内角，，∴∴又，即又∵，∴,故,故.【点睛】本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.。
2018届广东省揭阳市高三学业水平(期末)考试理科数学(解析版附后)
2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试理科数学一、选择题：共12题1. 已知==,则A. B. C. D.2. 已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A. B. C. D.3. 已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A. B. C. D.4. 已知==,且的夹角为,则A. B. C. D.5. 设x,y满足约束条件,则=的最小值为A. B. C. D. 06. 函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A. B.C. D.7. 如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A. B. C. D.8. 某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D. 7049. 已知,则A. B. C. D.10. 已知抛物线,过其焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=10,以线段AB为直径的圆与y 轴相交于M、N两点,则|MN|=A. 3B. 4C. 6D. 811. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为==,则A. B. C. D. 或12. 已知函数满足=,若函数=与图象的交点为则A. 0B.C.D.二、填空题：共4题13. 的展开式中的系数为,则实数的值为________.14. 记函数=的定义域为A,在区间[-3,6]上随机取一个数x,则x A的概率是__.15. 设函数=,则以下结论:①的一个周期为②的图象关于直线对称③为偶函数④在单调递减其中正确的是_.(请将你认为正确的结论的代号都填上)16. 已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时,的最小值为_____.三、解答题：共7题17. 已知等差数列满足(1)求数列的前项和;(2)若,求数列的前n项和．18. 如图所示,平面多边形中,AE=ED,AB=BD,且,现沿直线,将折起,得到四棱锥.(1)求证:;(2)若,求PD与平面所成角的正弦值．19. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.20. 在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在线段上,且,当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程;(2)设直线与上述轨迹相交于M、N两点,且MN的中点在直线上,求实数k的取值范围．21. 已知函数=a为实数).(1)若是曲线的一条切线,求a的值;(2)当时,试判断函数的零点个数．22. 在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数,;现以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和的交点为,求的值．2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试数学理（解析版）一、选择题：共12题1. 已知==,则A. B. C. D.【答案】D所以=.故答案为：D.2. 已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为==的实部与虚部相等,所以,则,所以,则.故答案为：B.3. 已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A. B. C. D.【答案】C【解析】因为=,所以命题p是真命题,则命题是假命题;若,则,但是,故命题q是假命题,命题是真命题.所以命题是假命题,均为真命题,故选C.4. 已知==,且的夹角为,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为==,且的夹角为,所以=====.故答案为：B.5. 设x,y满足约束条件,则=的最小值为A. B. C. D. 0【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由目标函数z与直线=在y轴上的截距之间的关系可知,平移直线=,当直线过点B(1,5)时,目标函数=取得最小值.故答案为：A.6. 函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数的部分图象可知,该函数是偶函数,故排除B;当时,,故排除D;当x=1时,对于A选项,=,故排除A,因此选C.7. 如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,循环结构的功能是为了求出的值,当k=99时,此时S=,不满足结果,则继续循环,当k=100时,S=,满足结果,则循环结束,所以判断框中应该填入的条件为:.故答案为：A.8. 某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D. 704【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是底面半径为4、高是3的圆锥,下面是底面为边长为8的正方形、高是10的长方体,所以该几何体的体积V==.故答案为：C.9. 已知,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以,所以,故A错误;又,所以,所以,所以,B正确;又,所以的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知,由幂函数的单调性可知,所以的大小关系不确定,故D错误.则答案为B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据交集的定义可得结果．【详解】由交集定义可得：本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.若，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【详解】若，，则，错误；，则，错误；，，则，错误；，则等价于，成立，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.3.若直线与直线平行，则的值为（）A. 7B. 0或7C. 0D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和直线平行则斜率相等，故，求解即可。
【详解】∵直线与直线平行，∴，∴或7，经检验，都符合题意，故选B.【点睛】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。
4.若对任意的正数a，b满足，则的最小值为A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可【详解】∵两个正数a，b 满足即a+3b=1则=当且仅当时取等号．故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题．5.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；且，此时或，可知错误；，，，此时或，可知错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥三棱锥体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.7.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得 .故本题选B.8.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE 的中点，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可【详解】根据题意得：，又，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.9.已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，作出直线和点对应的图象如图：，，，，，要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或即直线的斜率的取值范围是，故选：．【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．10.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于( )A. −1B.C.D. 1【答案】C【解析】【分析】根据求得函数的周期，再结合奇偶性求得所求表达式的值.【详解】由于故函数是周期为的周期函数，故，故选C.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.11.函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合函数的单调性进行求解即可．详解】解：函数图象向右平移个单位长度，得到，所得图象关于原点对称，则，得，，∵，∴当时，，则，由，，得，，即的单调递增区间为，，∵，∴当时，，即，即在上的单调递增区间为，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．12.直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】【分析】先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.【详解】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.由题得,,因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分)13.在等比数列中，，，则_____．【答案】1【解析】【分析】由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.【详解】根据题意，等比数列中，其公比为，，则，解可得，又由，则有，则，则；故答案为：1．【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.14.已知，，若，则____【答案】【解析】【分析】由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果.【详解】∵，，∴又∵，∴，即，所以，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题.15.若，则________.【答案】【解析】由题意可得：，即：，解方程可得：.16.已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。
广东省揭阳市普宁大长陇中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试题含解析
广东省揭阳市普宁大长陇中学2018-2019学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,,，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜cA．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数单调性直接求解．【解答】解：∵＜log31=0，0＜＜=1，＞30=1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数单调性的合理运用．2. 下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（）A.0 B． C． D．参考答案：A略3. 已知圆的方程为是该圆内一点，过P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( )A. B. C. D.参考答案：D，最长的弦长为直径，最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，四边形的面积为故答案选点睛：根据题意，为经过点的圆的直径，而是与垂直的弦，因此算出的长，利用垂直于弦的直径的性质算出长，根据四边形的面积公式，即可算出四边形的面积。
4. 已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f （x）的解析式是（）A．f（x）=x+2013 B．f（x）=﹣x+2013 C．f（x）=﹣x﹣2013 D．f（x）=x﹣2013参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】先将x＜0转化为﹣x＞0，再利用已知解析式和奇偶性来求解．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，因为x＞0时，f（x）=x﹣2013，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013，因为函数是奇函数，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013=﹣f（x），所以f（x）=x+2013，故选：A．5. 下列命题中正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D 解析：起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，；是一对相反向量，它们的和应该为零向量，6. 在等差数列{a n}中, 若a3+a5+a7+a9+a11=100, 则3a9－a13的值为（）A. 20B. 30C. 40D. 50参考答案：C略7. 米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设M,N 是锐角的一边BA上的两定点，点P是边BC边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边BC相切时，最大．若，点P在x轴上，则当最大时，点P的坐标为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标。
2018-2019学年广东省揭阳市惠来前詹中学高一数学理联考试题含解析
2018-2019学年广东省揭阳市惠来前詹中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，AB边上的高为CD，若，，，，，则A. B. C.D.参考答案：D由，，可知2. 函数的定义域为***参考答案：略3. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是( )A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由题意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．考点：曲线与方程．4. 一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.下图中哪个图象与这件事正好吻合（其中轴表示时间，轴表示路程．）（）参考答案：A略5. 函数在区间上递减，则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B略6. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于()A．B．C．D．参考答案：C试题分析：函数的图象向左平移个单位后得到，所以，故选C.考点：三角函数图像的变换7. 在中，已知，则的形状是▲．参考答案：等腰三角形或直角三角形略8. 已知两个等比数列{a n}、{b n}满足a1=a，b1- a1=1，b2- a2=2，b3- a3=3，若数列{a n}唯一，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．参考答案：D9. 如图，在△ABC中，，BC=4，点D在边AC上，，，E为垂足.若，则（）A．B． C. D．参考答案：C在中，在中，由正弦定理得，即，整理得故选：C．10. 直线倾斜角的大小是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.【详解】直线化成斜截式为，因为，所以.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为参考答案：12. .设，其中m、n、、都是非零实数，若则= .参考答案：-1略13. 指数函数与对数函数的图象关于直线▲对称.参考答案：略14. 已知集合，，，则，；参考答案：，15. 给出下列命题：①若函数在上是减函数,则的取值范围是；②若函数满足,则的图象关于直线对称；③函数与函数的图象关于直线对称；④若函数,则的最小值为.其中正确命题的序号有____________(把所有正确命题的序号都写上).参考答案：②④16. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线的长为________cm．参考答案：917. 已知，则______________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(精品解析)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项.【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故.故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值. 【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题.19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(名师解析)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项. 【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y 得，得, 则,故 .故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题. 19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2019年1月20日广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学答案
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第1页（共7页）3211PA 1C 1BC 揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.一、选择题AD解析:8.依题意易得2p =,(1,0)F ,由抛物线的定义得||3FA =,联立直线AF 的方程与抛物线的方程消去y 得22520x x -+=,得121,2B B x x ==,则13||(1)22FB =--=,故FA FB ⋅=92-. 9.由三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r,母线的长为l ,则2284r l r l +=⇒+=,又S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 10.依题意得0003sin sin cos 222x x x ==+ 01tan 22x ⇒=04tan 3x ⇒=.11.依题意得点P (2,0)c,2b b ==⇒=由双曲线的定义得1F MN ∆周长为4610a +=,由此得1a =,2c =,故2e =.12.由题设知△1CC B 为等腰直角三角形,又11A C ⊥平面11BCC B ,故∠11A C B =90°,将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形, 得四边形11AC CB 如图示,由此,1CP PA +要取得最小值,当且 仅当1C P A 、、三点共线,由题设知∠1135CC A =,由余弦定理得22112cos135AC =+-⨯25=15A C ⇒=.揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第2页（共7页）OHCB AP15.因函数()f x 为增函数,且为奇函数,22(1)(2)0(2)(1)(1)f a f a f a f a f a -+≤⇔≤--=-,2210a a ⇔+-≤,解得112a -≤≤.【学生填112a -≤≤或1[1,]2-或1{|1}2a a -≤≤都给满分】 16.依题意可得()2sin3f x x π=,其最小正周期6T =,且(1)(2)(6)0,f f f +++=故(1)(2)(2019)f f f +++=(1)(2)(3)f f f ++=三、解答题17.解:（1）当1n =时,29a =,----------------------------------------------------------------------------1分由123n n S a ++=得123n n S a -+=（2n ≥）, 两式相减得112()n n n n S S a a -+-=-,又1n n n S S a --=,∴13n n a a +=（2n ≥）, ------------------------------------------------------------------------------3分 又213a a =,∴13n n a a +=（*n N ∈）, --------------------------------------------------------4分 显然0n a ≠,13n na a +=,即数列{}n a 是首项为3、公比为3的等比数列, ∴1333n nn a -=⨯=； --------------------------------------------------------------------------------6分（2）设数列{}n b 的公差为d ,则有13b =,由33T a =得13327b d +=,解得6d =,--------8分∴36(1)3(21)n b n n =+-=-, --------------------------------------------------------------------9分 又111111()9(21)(21)182121n n b b n n n n +==--+-+--------------------------------------------10分 ∴111111[(1)()()]183352121n Q n n =-+-++--+ 11(1)1821n =-+9(21)n n =+.--------------------------------------------------------------------12分 18.解:（1）∵AB ＝BC ,O 是AC 中点,揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第3页（共7页）A∴ BO ⊥AC ,---------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ,且BO ⊂平面ABC ,平面P AC ∩平面ABC ＝AC, ∴ BO ⊥平面P AC ,-------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ,又OH ⊥PC ,BO ∩OH ＝O ,∴ PC ⊥平面BOH ；------------------------------------5分 （2）易知PO ⊥AC ,又BO ⊥平面P AC ,如图,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,建立空间直角坐标系O - xyz ,由OH =易知PO =OC ＝2,3cos302H y OH =︒=,sin 30H z OH =︒=,∴ (0,2,0)A -,0,0)B,3(0,,2H ,)0,2,0(C , )32,0,0(P ,(3,2,0)AB =,7(0,,2AH =, -----------------------------------7分设平面ABH 的法向量为(,,)m x y z =,则00AB m AH m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2070y y +==⎪⎩,取x =2,得(2,3,7)m =-,----------------------9分 由（1）知PC 是平面BHO 的法向量,易知(0,2,PC =-,------10分设二面角A-BH-O 的大小为θ,显然θ为锐角, 则cos |cos ,|m PC θ=<>||||||m PC m PC ⋅=⋅===∴ 二面角A-BH-O .------------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】19.解:（1）甲组60人中有45人优秀,任选两人,恰有一人优秀的概率为1145152604515453059118C C C ⨯==⨯；--------------------------------------------3分 （2）（i ）1ξ的分布列为1()510152*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,----------------------------------------------6分2ξ的分布列为揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第4页（共7页）2241441164()481216415153151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=, ∵12()()E E ξξ<,∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分（ii ）按培训方式一,从公司任选一人,其优秀的概率为1533124+=, 则从公司任选两人,恰有一人优秀的概率为12333(1)448C ⨯⨯-=.-------------------------12分20.解:（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ,则以点A 圆心,以a 为半径的圆的方程为:222()x y b a +-=,------------------------------------------------------------------------------------1分令0x =得y b a =±,由圆A 与y 轴的交点分别为(0,1+、(0,1可得11b a b a ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩,解得1,b a ==分故所求椭圆C 的方程为2213x y +=.----------------------------------------------------------------4分 （2）解法1:由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥,可知PA 的斜率存在且不为0,设直线:1PA l y kx =+---------------① 则1:1QA l y x k=-+-------------②----------------------6分 将①代入椭圆方程并整理得22(13)60k x kx ++=,可得2613P k x k =-+,则22113P y k=-+,-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 类似地可得2266,133Q Q k x y k k ==-++,----------------------------------------------------------9分 由直线方程的两点式可得:直线l 的方程为 21142k y x k -=-,------------------------------11分 即直线l 过定点,该定点的坐标为1(0,)2-.---------------------------------------------------------12分 【解法2:若直线l 垂直于x 轴,则AP 不垂直于AQ ,不合题意,揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第5页（共7页）可知l 的斜率存在,又l 不过点(0,1),设l 的方程为y kx m =+(1)m ≠, 又设点1122(,)(,)P x y Q x y 、,则1122(,1),(,1)AP x y AQ x y =-=-, 由0AP AQ ⋅=得121212()10x x y y y y +-++=, 由2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩,消去y 得222(31)6330k x kmx m +++-=,----------------------------6分2212(31)k m ∆=-+,当0∆>即22310k m -+>时,122631kmx x k +=-+-------① 21223331m x x k -=+---------②-----------------------------------------7分 又22121212()y y k x x mk x x m =+++,1212()2y y k x x m +=++,--------------------------8分 于是有221212(1)()()210k x x mk k x x m m ++-++-+=,-----------③---------------------9分将①②代入③得22222336(1)()2103131m kmk mk k m m k k -+--+-+=++ 整理得:12m =-,--------------------------------------------------------------------------------------11分 满足0∆>,这时直线l 的方程为12y kx =-,直线l 过定点1(0,)2-.------------------12分】（21）解:（1）21(1)'()()kx kxkx ke kx kef x k e --=⋅2kx kx e -=2()kx k x k e--=.--------------------------1分 ①若0k >,当2(,)x k ∈-∞时,'()0f x >,()f x 在2(,)k-∞上单调递增； 当2(,)x k ∈+∞时,'()0f x <,()f x 在2(,)k+∞上单调递减.----------------------3分②若0k <,当2(,)x k ∈-∞时,'()0f x <,()f x 在2(,)k-∞上单调递减；当2(,)x k ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在2(,)k+∞上单调递增.∴当0k >时,()f x 在2(,)k -∞上单调递增,在2(,)k+∞上单调递减；揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第6页（共7页）当0k <时,()f x 在2(,)k -∞上单调递减,在2(,)k+∞上单调递增.-------------------5分 （2）1()ln xx x f x k ke -=≤（1x ≥）,当0k <时,上不等式成立,满足题设条件；-----------------------------------------------------6分当0k >时,1()ln x x x f x k ke -=≤,等价于1ln 0x x k x e --≤,设1()ln (1)x x g x k x x e -=-≥,则2'()x x k g x e x-=-22xxx x ke xe --=, 设2()2xh x x x ke =--（1x ≥）,则'()2(1)0xh x x ke =--<,∴()h x 在[1,)+∞上单调递减,得()(1)1h x h ke ≤=-.-------------------------------------9分 ①当10ke -≤,即1k e≥时,得()0h x ≤,'()0g x ≤, ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减,得()(1)0g x g ≤=,满足题设条件；--------------------10分 ②当10ke ->,即10k e<<时,(1)0h >,而0)2(2<-=ke h , ∴0(1,2)x ∃∈,0()0h x =,又()h x 单调递减, ∴当0(1,)x x ∈,()0h x >,得'()0g x >,∴()g x 在0[1,)x 上单调递增,得()(1)0g x g ≥=,不满足题设条件； 综上所述,0k <或1k e≥.--------------------------------------------------------------------------12分 22.解:（1）由曲线C 的参数方程,得普通方程为24y x =,由cos x ρθ=,sin y ρθ=,得224sin cos ρθρθ=, 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=,[或24sin cos θρθ=] ---------------------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+； --------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+,则由（1）可得24sin cos A αρα=,揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)答案 第7页（共7页）同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+,即24cos sin B αρα=,-------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅∵02πα<<∴0απ<<,∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥, -----------------9分△OAB 的面积的最小值为16,此时sin21α=,得22πα=,∴4πα=.--------------------------------------------------------------------------10分23.解:（1）①当2x <-时,()22(2)62f x x x x =-+++=+<,解得4x <-,---------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时,()22(2)322f x x x x =-+-+=--<,解得423x -<<,----------------------------------------------------------------------------------------2分③当2x ≥时,()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥,----------------------------------------------------------------------------------------------3分综上知,不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞.-----------------------------------5分（2）解法1:当[2,2]x ∈-时,()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-,---------------6分 设()()g x f x x =-,则[2,2]x ∀∈-,()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立,只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩, -------------------------------------------------------------------------------------8分 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩,解得12a ≤-----------------------------------------------------------------------10分 【解法2:当[2,2]x ∈-时,()2(2)f x x a x =--+,------------------------------------------------6分()f x x ≥,即2(2)x a x x --+≥,即(2)2(1)x a x +≤-----------------------------------7分①当2x =-时,上式恒成立,a R ∈；-----------------------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时,得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立, 只需min61(2)22a x ≤-+=-+,综上知,12a ≤-.--------------------------------------------------------------------------------10分】。
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2018-2019学年度高一级第二学期期末联考理数试题满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，则直线m、n的关系一定成立的是（A）m与n是异面直线（B）m⊥n（C）m与n是相交直线（D）m∥n(2) 已知数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是(A)年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变(B)年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大(C)年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变(D)年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变(3) 若直线l1：mx﹣3y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣3y+5=0互相平行，则实数m的值为（A） 2 （B）﹣1 （C）1 （D）0(4) 利用计算机在区间（13，2）内产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（A）12（B）13（C）14（D）15(5) 函数y=2cos 2（x+34π）-1是 （A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的奇函数 （C ）最小正周期为2π的偶函数（D ）最小正周期为π的偶函数(6) 已知程序框图如图所示，如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入(A)k<11？ （B ）k ＜12？ (C)k<13？ （D ）k ＜14？(7) 已知函数f （x ）的图象是连续不断的，有如下的x ，f （x ）的对应表：（A ）区间[2，3]和[3，4] （B ）区间[3，4]、[4，5]和[5，6] （C ）区间[2，3]、[3，4]和[4，5] （D ）区间[1，2]、[2，3]和[3,4] (8) 函数2ln(23)y x x =-++的单调递减区间是（A ）（1，+∞） （B ）（﹣1，1] （C ）[1，3）（D ）（﹣∞，1）(9) 若函数f （x ）=3a x ﹣k +1（a ＞0，且a ≠1）过定点（2，4），且f （x ）在定义域R 内是增函数，则函数g （x ）=log a （x-k ）的图象是(A) (B) (C) (D)(10) 如果圆x 2+y 2+2m(x+y)+2 m 2-8=0上总存在到点(0,0)的点，则实数m 的取值范围是（A ）[﹣1，1] （B ）（﹣3，3） （C ）（﹣3，﹣1）∪（1，3） （D ）[﹣3，﹣1]∪[1，3] (11) 同时具有性质：①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是4π；②在区间[﹣6π，3π]上是增函数 的一个函数为 （A ）y=cos （2x +6π） （B ）y=sin （2x +6π） （C ）y=sin （2x ﹣6π） （D ）y=cos （2x ﹣6π） (12) 定义在区间（1，+∞）内的函数f （x ）满足下列两个条件：①对任意的x ∈（1，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； ②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x.已知函数y=f （x ）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 (A)[1，2） (B)（1，2](C)4[3，2） (D)43（，2] 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(13) 设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为．0618 0765 4544 1816 5809 7983 86197606 8350 0310 5923 4605 0526 6238(14) 设m∈R，向量a=（m+1，3），b=（2，﹣m），且a⊥b，则|a+b|= .(15) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．(16) 已知1cos sin()63παα+-=-，则cos(2)3πα+= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)（本小题满分10分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量AB，AC表示DE；（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．(18)（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生都参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（Ⅰ）写出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．(i)求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； (ii)求所抽取的2名同学来自同一组的概率．(19)（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线（x ≥0）交于点Q ，与x 轴交于点M ．记∠MOP=α，且α∈（﹣2π，2π）． （Ⅰ）若sin α=13，求cos ∠POQ ；（Ⅱ）求△OPQ 面积的最大值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大小.(21)（本小题满分12分）已知圆C经过点A（1，3），B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．(i)求实数k的取值范围；(ii)若OM•ON=12，求k的值．已知函数f（x）=（13）x.（Ⅰ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．高一理数参考答案及解析一、选择题(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C 二、填空题(13)09 (14) (15)23(16)79三、解答题(17)解：（Ⅰ）△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AB=3AD ，BC=2BE,∴211,(),322DB AB BE BC AC AB ===- ∴2111()3262DE DB BE AB AC AB AB AC =+=+-=+. (5分) （Ⅱ）若AB=6，AC=4，A=60°，则2221111236624DE AB AB AC AC =+⨯⨯+ =136×62+16×6×4×cos60°+14×42=7， ∴||7DE =，即线段DE ． （10分）(18)解：（Ⅰ）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004． （4分） （Ⅱ）由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况. （6分） （ⅰ）设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，则事件E 包含AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）=93155=．（9分） （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，则事件F 包含AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，XY,共7种情况． 所以P （F ）=715． （12分）(19)解：（Ⅰ）因为1sin 3α=，且(,),22ππα∈-所以cos α=所以cos cos()cos cos sin sin 333POQ πππααα∠=-=+=. （5分）（Ⅱ）由三角函数定义，得P （cos α，sin α），从而(cos )Q αα，所以1|cos ||3cos sin |2POQSααα=-=21sin cos |2ααα-1112sin 2||sin(2)|2223πααα=-=+-11|1|22≤+=． 因为(,),22ππα∈-所以当12πα=-时，取等号，所以△OPQ 面积的最大值为142+． (12分) （20）解：（Ⅰ）记AC 与BD 的交点为O,连接OE,如图，∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM ∥OE. ∵OE ⊂平面BDE,AM ⊄平面BDE,∴AM ∥平面BDE. （4分）（Ⅱ）在平面AFD 中，过A 作AS ⊥DF 于S,连接BS,如图，∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AD ∩AF=A ， ∴AB ⊥平面ADF,∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影, 由三垂线定理得BS ⊥DF ，∴BSA ∠是二面角A-DF-B 的平面角.在Rt △ASB 中,,3AS AB ==∴tan ASB ∠=ASB ∠=60°,∴二面角A-DF-B 的大小为60°. （12分） （21）解：（Ⅰ）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2.∵圆C 被直线m ：3x ﹣2y=0平分，∴圆心C （a ，b ）在直线m 上，可得3a ﹣2b=0. ① 又∵点A （1，3），B （2，2）在圆C 上，∴222222(1)(3),(2)(2),a b r a b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩② 将①②联立，解得a=2，b=3，r=1．∴圆C 的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1. (4分) （Ⅱ）(i) 过点D （0，1）且斜率为k 的直线l 的方程为y=kx+1，即kx ﹣y+1=0. ∵直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ， ∴点C （2，3）到直线l 的距离小于半径r ，即1<，解得4433k -<<.∴实数k 的取值范围是44(33-+. （8分） (ii)由221,(2)(3)1y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩消去y ，得（1+k 2）x 2﹣（4+4k ）x+7=0． 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），可得x 1+x 2=2441k k ++，x 1x 2=271k+， ∴y 1y 2=（kx 1+1）（kx 2+1）=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=2271k k ++22441k k k+++1， ∴OM ON =x 1x 2+y 1y 2=271k ++2271k k ++22441k k k+++1=12，解得k=1．此时k ∈44(,33+，成立，∴k=1. (12分) （22）解：（Ⅰ）∵x ∈[﹣1，1]，∴f （x ）=（13）x ∈[13，3]， （1分）y=[f （x ）]2﹣2af （x ）+3=[（13）x ]2﹣2a （13）x +3=[（13）x ﹣a]2+3﹣a 2. . （3分）由一元二次函数的性质分三种情况：若a ＜13，则当11,33x⎛⎫= ⎪⎝⎭即x=1时，y min =g （a ）=28293a -； （5分）若13≤a ≤3，则当31,3xa a ⎛⎫= ⎪⎝⎭即x=-log 时，y min =g （a ）=3﹣a 2； （6分） 若a ＞3，则当13,3x⎛⎫= ⎪⎝⎭即x=-1时，y min =g （a ）=12﹣6a. （7分）∴g （a ）=22821(),93313(3),3126(3).aa a a a a ⎧-<⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩ （8分） （Ⅱ）假设存在满足题意的m 、n ，∵m ＞n ＞3，且g （x ）=12﹣6x 在区间（3，+∞）内是减函数， （9分） 又g （x ）的定义域为[n ，m]，值域为[n 2，m 2]，∴22126,126,m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ （10分） 两式相减，得6（m ﹣n ）=（m+n ）（m ﹣n ），∵m ＞n ＞3，∴m+n=6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾， （11分） ∴满足题意的m 、n 不存在. （12分）。