全同粒子体系习题解

全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第六章 全同粒子体系习题解

1．求在自旋态)(2

1z S χ中，x

S ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)()(22=y x S S ∆∆ 解：在z S ˆ表象中)(2

1z S χ、x

S ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(2

1z S χ态中

00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4

010*********)0 1(ˆ2222

121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+

χχx x

S S 4

)(22

22

=-=∆x

x

x S S S 001002)0 1(ˆ212

1=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2

222

121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+

i i i i S S y

y

χχ 4

)(22

22

=-=∆y

y

y S S S 16

)()(4

2

2

=∆∆y x S S

讨论：由x

S ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]z

S i ˆ = 要求4)()(2

22

2z y x S S S ≥∆∆ 16)()(422 =∆∆y x S S ①

在)(2

1z S χ态中，2

=

z S ∴ 16

)()(4

2

2

≥y x S S ∆∆

可见①式符合上式的要求。

2．求⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x

S ˆ的久期方程为

02

2=--λ

λ

20)2(22 ±=⇒=-λλ

∴ x

S ˆ的本征值为2 ±。 设对应于本征值

2

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2

/12/12

ˆχχ =x S ，得 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a

即 122

1=a ∴ 2

1 2

111=

=

b a

对应于本征值2 的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2

-

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχ 222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得 1),(22

*2*2

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a 即 122

2

=a ∴ 2

1 2

122-

==

b a

对应于本征值2 -

的本征函数为 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-11212/1χ

同理可求得y

S ˆ的本征值为2

±。其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

i 1212

1χ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影

γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量z S ˆ有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现z S ˆ的平均值是多少

解：在z S ˆ 表象，n

S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= i i S n ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

-+-=γβ

αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为

0cos 2

)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 即0)cos (cos 4

cos 42222

22

=+--βαγλ

04

2

2

=- λ )1cos cos cos (222=++γβα利用

⇒ 2

±=λ

所以n

S ˆ的本征值为2

±。 设对应于2

=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβ

αβαγ