全同粒子体系习题解

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量子力学教程第三十讲

* 2 * P P i 1 i 1
根据波函数的归一化条件：
由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：
C N! 1
2
归一化常数
C 1/ N !
Spin and identical particle
n i 个粒子处于某一个态 n 时, 有 ni !种交换，即 ni! 种排列不形成新的状态，这时求和
Spin and identical particle
（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态
n2 1 n1 2 n 1 3
Spin and identical particle
四、玻色子体系的波函数 N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（7.7-13）式进行构成。所不同的是单粒 i 子态中，能容纳的玻色子数不受限制，可大于1。波函数形式可表示为：
s (q1, q2 ,, qN ) C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
(1)
s (q1, q2 , q3 ) (q1 ) (q2 ) (q3 )
(2)
Spin and identical particle
第二种情况：
两粒子同处于态，一粒子处于态
s
(3)
2!1! (q1, q2, q3 ) { (q1 ) (q2 ) (q3 ) 3! (q1 ) (q3 ) (q2 ) (q2 ) (q3 ) (q1 )}

量子力学习题及答案

29．30．31．32．
对易子[
dx
?,l?]?（?i?l?），[l。,e]?xyxz
dx
?,l?]?（i?l?）?y]??x]?[x,p，[x,p，[l。xyz
d?x
?y]??x]?（）。[y,p，[y,p。,e]??xdx
，x和px的测不准关系是[
?2（?x??p?）。
4
____
2
____
2x
33．在一维情况下，若粒子处于状态?(x,t)中，则在动量表象中的波函数为
??dx?*?dx）平均值为=（?*f。
（
8．
??
??
9．
波函数?和c?是描写（同一）状态，?ei?中的ei?称为（相因子），
ei?不影响波函数?i??1）。
10．11．
定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为
零）的状态。
ee
?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是
?
2
d
22mdx2
?1(x)?u(x)?1(x)?e?1(x) 2 Ⅱ：0?x?a ?
?
2
d
2mdx2
?2(x)?e?2(x) 2 Ⅲ：x?a?
?
2
d
2mdx
2
?3(x)?u(x)?3(x)?e?3(x)由于(1)、(3)方程中，由于u(x)??，要等式成立，必须

量子力学习公式概念和习题

角量子数：l=0, 1, 2, 3, …
最大电子数：2n2
ppt课件
s, p, d, f
最大电子数：2(2l+1)
20
四个量子数
(1) 主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量 (2) 角量子数 l 确定电子的轨道角动量 (3) 磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量 (4) 自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下： ① n , l , ml 相同，但 ms 不同的可能状态有两个。
ppt课件 5
四. 玻尔的氢原子理论
1.玻尔的量子理论
1）定态假设 2）跃迁条件
h En Em
3）轨道角动量量子化假设
2.玻尔的氢原子理论结果
h L rm v n n 2
rn n r1
2
r1 0.0529nm 玻尔半径
E1 13.6 eV 基态能量
ppt课件 6
全同粒子：
全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交换位置，不引起体系物理状态的改变。
——全同性原理
全同粒子系的特征：全同粒子系波函数具有的交换对称性。
ppt课件 22
2）原子中的电子分布 a.泡利不相容原理
在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有
相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。

(完整版)第一章练习题及答案

第一章

一、单项选择题(每小题1分) 1．一维势箱解的量子化由来( d )

a. 人为假定

b. 求解微分方程的结果

c. 由势能函数决定的

d. 由微分方程的边界条件决定的。

2．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0→+

∞)( b )

a. sinx

b. e -x

c. 1/(x-1)

d. f(x) = e x

( 0≤ x ≤ 1); f(x) = 1 ( x > 1)

3.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是( c. ) a.薛定谔 b. 狄拉克 c. 海森堡 c.波恩

4．立方势箱中2

810ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 7

d. 2

5.立方势箱在2

812ma h E ≤

的能量范围内，能级数和状态数为( c

)

a.5，20

b. 6，6

c. 5，11

d. 6，17

6．立方势箱中2

87ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 4

d. 2

7．立方势箱中2

89ma h E <

时有多少种状态( c )

a. 11

b. 3

c. 4

d. 2

8.已知x

e 2是算符x P

ˆ的本征函数，相应的本征值为( d ) a.

i h 2

h 4 c. 4ih d.

i h

9．已知2e 2x 是算符x

i ∂∂

的本征函数，相应的本征值为( d ) a. -2 b. -4i c. -4ih d. -ih/π 10.下列条件不是品优函数必备条件的是( c ) a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积

11．一维谐振子的势能表达式为2

1kx V =，则该体系的定态

量子力学练习题

量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一. 填空题

1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于 1900 年提出了假设，解决了的问题。

2．按照德布罗意公式，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为

λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量

E=kT 23

（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。

4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数

=)(x n ψ()a x a

x n a n <<=

0sin 2πψ和。

5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=

eV eV 51.13

.132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为

),(21q q s ψ= ；玻色体系

为费米子时

=),(21q q A ψ ；费米体系

7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是

E n =()

()

+-'+'+∑≠0

020m n

m mn mn n

E E

H H E ，

)(x n ψ = ()

)

() +-'+∑≠000

0m m n

量子力学练习题

1、若?F 、?G

均为厄米算符，则??F G 也为厄米算符（） 2、不同定态的线性叠加还是定态（） 3、若?A 与?B 对易，且?B 与?C 对易，则必有?A 与?C 对易（） 4、若两力学量算符?F 与?G 对易，则在任意态中，它们都有确定的值（）

5、所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子（）

6、归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ 表示时刻，r

处粒子出现的概率（） 7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有

*?()()n

n x p x dx ∞

-∞

ψψ=?

；*

1?()()n n x p

x dx ∞

+-∞

ψψ=?

8、称为隧道效应； 9、在2?L 和?z L 的共同本征态lm

Y 中，22??x y L L = 10、氢原子处于0

32020(,)r

a A r e Y θ?-ψ=态，则其最可几半径r =

11、

Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的特性。

12. 两个角动量11j =、212

j =

耦合的总角动量J = 和

13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为

14. 本征值方程的特点是什么？

15. 全同性原理是

16. 已知?d F x dx

=+，?d F x dx

=-，求??[,]?F F +-

= 17. 求??[,()]?x

f p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。

19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。（） 20.设氢原子处于态

量子力学复习习题

量⼦⼒学复习习题

⼀、选择题（每⼩题3分，共15分）

1．⿊体辐射中的紫外灾难表明：C

A. ⿊体在紫外线部分辐射⽆限⼤的能量；

B. ⿊体在紫外线部分不辐射能量；

C.经典电磁场理论不适⽤于⿊体辐射公式；

D.⿊体辐射在紫外线部分才适⽤于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B

A. Ψ代表微观粒⼦的⼏率密度；

B. Ψ归⼀化后，ψ

ψ*代表微观粒⼦出现的⼏率密度；

C. Ψ⼀定是实数；

D. Ψ⼀定不连续。

3．对于⼀维的薛定谔⽅程，如果Ψ是该⽅程的⼀个解，则：A A. *ψ⼀定也是该⽅程的⼀个解；

B. *

ψ⼀定不是该⽅程的解；

C. Ψ与*

ψ⼀定等价；

D.⽆任何结论。

4．与空间平移对称性相对应的是：B

A. 能量守恒；

B.动量守恒；

C.⾓动量守恒；

D.宇称守恒。

5．如果算符∧

A、

∧

B对易，且

∧

Aψ=Aψ，则：B

A. ψ⼀定不是∧

B的本征态；

B. ψ⼀定是∧

B的本征态；

C. *

ψ⼀定是∧B的本征态；

D. ∣Ψ∣⼀定是∧

B的本征态。

1、量⼦⼒学只适应于C

A．宏观物体B．微观物体

C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体

2、算符F的表象是指C

A．算符F是厄密算符B．算符F的本征态构成正交归⼀的完备集

C．算符F是⼳正算符D．算符F的本征值是实数

3、中⼼⼒场中体系守恒量有B

A．只有能量B．能量和⾓动量

C．只有⾓动量D．动量和⾓动量

4、Pauli算符的x分量的平⽅

σ的本征值为（B）

A 0

B 1

C i

D 2i

5、证明电⼦具有⾃旋的实验是A

A．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验

C．⿊体辐射实验D．光电效应实验

1、量⼦⼒学只适应于C

量子力学习题选解

一．选择题

1.一个空腔可以看作黑体。实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]

A.只与绝对温度有关

B.与绝对温度及组成物质有关

C.与空腔的形状及组成物质有关

D.与绝对温度无关，只与组成物质有关

2.光电效应中，光电子的能量[ ]

A.只与光强有关，与光的频率无关

B.只与光的频率有关，与光强无关

C.与光强和光的频率都有关

D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关

3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变

C.随散射角的增加而减小

D.变化情况视元素种类而定

4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波

5.普朗克常数的单位是[ ]

A.s J ⋅

B.s N ⋅

C.K s J /⋅

D.K s N /⋅

6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为

A.1

A B.15

A C.10

A D.150

7.下列表述正确的是

A.波函数归一化后是完全确定的

B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r

⋅=),(ψ

D.所有的波函数都可以归一化

8. 在球坐标中，

ϕθψππd drd z y x 2

),,(⎰⎰

表示

A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率

B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率

C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率

D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率

9.波函数的标准条件为

A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续

量子力学习题解答

由波函数的连续性，有
因此
1 Bek1x 3 Fek1x
1(a) 2 (a), Bek1a C sin k2a D cosk2a
(10)
1(a) 2 (a), k1Bek1a k2C cosk2a k2D sin k2a (11)
2 (a) 3 (a), C sin k2a D cosk2a Fek1a
当 T 100K 时， E 1.381021 J 。
量子力学盛忠志主讲
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为 h mec2 ，其中 me 为电子的静止质量，
而 c ，所以 h ，即有
mec
max
h mec
证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为
2 2m
d2 dx2
(x)
U
( x)
(x)
E
(x)
①
将式中的 x以(x) 代换，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U
(x)
(x)
E
(x)
②
利用U (x) U (x) ，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U (x)
(x)
E
(x)
③
量子力学盛忠志主讲
比较①、③式可知， (x)和 (x) 都是描写在同一势场作用下的

第七章-自旋和全同粒子

第七章自旋和全同粒子

§7 - 1 电子自旋

一电子自旋的概念

在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。

描述电子自旋运动的两个物理量：

1 、自旋角动量(内禀角动量)S

它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值

±=z s ；

(7. 1)

2、自旋磁矩(内禀磁矩)μs

它与自旋角动量S 间的关系是：

S e

s m e

-=μ,

(7. 2)

B e

s 2μμ±=±=m e z

(7. 3)

式中(- e )：电子的电荷，m e ：电

子的质量，B μ：玻尔磁子。

3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） e

s e s 2m e g m e s z

=-=μ,

(7. 4)

g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数,

是对于轨道运动的g 因数的两倍。强调两点：

● 相对论量子力学中，按照电子的

相对论性波动方程−−狄拉克

方程，运动的粒子必有量子数为

1/2的自旋，电子自旋本质上是

一种相对论效应。

●自旋的存在标志着电子有了一个

新的自由度。实际上，除了静质

量和电荷外，自旋和内禀磁矩已

经成为标志各种粒子的重要的

物理量。特别是，自旋是半奇数

还是整数(包括零)，决定了粒子

是遵从费米统计还是玻色统计。

二电子自旋态的描述

ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这

两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。

电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：

量子力学总结习题考卷及答案

量⼦⼒学总结习题考卷及答案

第⼀章

⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。

⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。

⒎普朗克量⼦假说：

表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。

表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。

⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。这种电⼦称之为光电⼦。

⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。

②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。⒑爱因斯坦光量⼦假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。爱因斯坦⽅程

⒒光电效应机理：

当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。

⒓解释光电效应的两个典型特点：

①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。

②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。

周世勋量子力学教程习题解答

16
2.5
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解： ( x) 2xe 2 2 1
2
2 2
x
1 ( x) 1 ( x) 4 2
2 3
x 2 e 2
2 2
x

x 2 e
2 2
x
2 2 d1 ( x) 2 3 [2 x 2 2 x 3 ]e x dx
15
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A
1 a
n A sin ( x a), x a 证： n a 0, x a
由归一化，得
1 n dx A 2 sin 2
2 a
a
n ( x a)dx a
A 2
可见 J与t 无关。
i

9
2.2
由下列定态波函数计算几率流密度：
(1) 1
1 ik r e r
( 2) 2
1 i k r e r
从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。解： J1和J 2只有r分量在球坐标中

1 1 r0 e e r r r s i n
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章自旋与全同粒子——第8章

。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
(sz
)
1 0
,
1 2
(
sz
)
0 1
。
对一般的自旋态： (s
)
a
b
a
1
(sz
)
b
1
(sz
)
。
2
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
，S2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
3 2 4

量子力学习题(林秀敏)

量子力学习题7

1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗

意波长。 2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。（1）能量为100电子伏特的自由电子；

（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；

（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k 时，具有动能kT E 2

的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。

3、若电子和中子的德布罗意波长等于o

A 1，试求它们的速度、动量和

动能。 4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量

相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为

一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000o A （可见光）o

A 1（x 射线），o

A 001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？ 6、设粒子的归一化波函数为),,(z y x ϕ，求（1）在),(dx x x +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率；（3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。 7、设粒子的归一化波函数为),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr r r +内找到粒子的几率；

（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 8、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Et

i ix Et

ix e

x e

x t x

---+=ψ)()(),(211ψψ

[])()(21x x ψψ≠ （2）t E i t E i e

量子力学习题

1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中，（1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？
全同粒子：
全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交换位置，不引起体系物理状态的改变。
——全同性原理
全同粒子系的特征：全同粒子系波函数具有的交换对称性。
14
2）原子中的电子分布 a.泡利不相容原理
在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有
相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。
l=0 (s) (2) n = 2 l=1 (p)
ml = 0 ml = -1 ml = 0 ml = 1
ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 2n2 = 8 个量子态
(3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态内填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s22s22p63s23p3。 1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为在 z 方向的投影可以为
解：（1）一维无限深方势阱中粒子的可能能量
π En n 2 2ma

全同粒子体系习题解

量子力学教程第三十讲

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第七章-自旋和全同粒子

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周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

量子力学习题(林秀敏)

量子力学习题

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章自旋与全同粒子——第8章