北师大版高中数学必修4《函数y=Asin(ωx+j)的图像》

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北师大版高中数学必修四§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)课时目标 1．会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像．2．明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念．3．了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，____叫做振幅，周期T ＝________，频率f ＝________，相位是________，初相是____．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R值域周期性 T ＝__________奇偶性 φ＝________________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由____________________________________得到，单调减区间可由____________________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π64．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图像如下图所示，则φ＝________．9．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2． (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A ． 2B ．－ 2C ．1D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |．(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二) 答案知识梳理 1．A 2πω ω2π ωx ＋φ φ 2．[－A ，A ] 2π|ω|k π (k ∈Z )π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12．∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6．]3．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2．又x ＝π12时，y ＝1．]4．D [由图像知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2．且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6．]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4．]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2．∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2．]7．x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6．8．9π10解析由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45． ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10．9．5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图像观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π． 10．②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2．∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4． ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π2π y 0 2 0 －2描点，连线，如图所示：12．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2．由图像关于M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z ．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．13．A [由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2．∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ．∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin 0＋a cos 0． ∴a ＝－1．方法二由题意得f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0)，即－1＝a ．]。

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§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像(一)课时目标1．了解φ、ω、A对函数f(x)＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响．2．掌握y＝sin x与f(x)＝A sin(ωx＋φ)图像间的变换关系．用“图像变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标______(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标______(当A >1时)或______(当0<A <1时)到原来的______(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为____，最小值为____．4．函数y ＝sin x 的图像到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程．y ＝sin x 的图像――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位______________的图像10ωω>−−−−−−−−−→横坐标变为原来的（）倍纵坐标不变__________的图像――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变______________的图像．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x-Ray 二、填空题7．函数y ＝sin 2x 图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f (x )＝____________．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________．9．为得到函数y ＝cos x 的图像，可以把y ＝sin x 的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是____．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图像；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，试叙述这一过程． 12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )． (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图像变换使f (x )的图像关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π31．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一) 答案知识梳理1．向左向右 |φ| 2．缩短伸长1ω不变 3．伸长缩短 A 倍 [－A ，A ]A －A 4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ)y ＝A sin(ωx ＋φ)作业设计1．B 2．C 3．D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为y ＝1＋cos2x ．]5．B [y ＝sin(2x ＋π6) 4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．] 7．sin x 8．y ＝cos 2x 9．32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z ．∴φ的最小正值是32π．10．①③11．解由y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3．12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3．欲求函数的单调递减区间，只需求 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12． ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图像关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图像向右平移π12个单位即可．13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．]14．D [方法一正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x ．令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3．方法二逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3．]。

高中数学第一章三角函数1.8.1函数y=asin(ωxφ)的图像

1
2
【做一做 1】函数 y= 5 sin 3��- 3 , �� ∈R 的值域是初相是 ,周期是 .
1 1 2π 3 1 5
1
π
,振幅是
,
答案: - 5 , 5
−3
π
1
2
2.四种变换画图方法
1
2
【做一做 2】填空: (1)函数 y=sin �� + 4 的图像是由�� = sin ��的图像向平移
π π
个单位长度得到的;
(2)函数 y=sin 2��- 4 的图像是由�� = sin 2��的图像向平移个单位长度得到的; 1 (3)函数 y=sin x− 5 的图像是由�� = sin ��的图像向平移个单位长度得到的; (4)函数 y=sin x 的图像上每个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 5 倍,可得函数的图像;再将所得图像上的各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 5 倍,可得函数的图像.
(��∈R, ω>0)的最小正周期平移
π
个单位长
度可得到函数 g(x)=cos ωx 的图像. (填写一个正确答案即可)
解析:由 T=π, 得 ω=2, 因此 f (x)=sin 2�� + 4 . 因为g(x)=cos 2x=sin 2�� + 2 , 而f (x+φ)=sin 2(�� + ��) + 4 = sin 2�� + 2�� + 4 , 故�� = , 所以只要将函数y=f (x)的图像上所有点向左平移个单位长度可得到函数g(x)=cos ωx 的图像.

高一数学北师大版必修4课件1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

1 5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一图像变换
图像变换有两个途径 :途径一 :先相位变换,再周期变换;途径二 :先周期变换,再相位变换. 【典型例题 1】写出函数 y=2sin 3�� +
π 4
+1 的振幅、周期和初相,并
说明函数的图像可以由正弦曲线 y=sin x 经过怎样的变换得到. 思路分析:由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)+k 的图像有两种变换方法,即先进行相位变换,再进行周期变换,或先进行周期变换,再进行相位变换.
π 4
+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)先进行周期变换,再进行相位变换 : y=sin x y=sin 3�� +
π 4
y=sin 3x
y=2sin 3�� + y=2sin 3�� +
π 4
π 4
+ 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
点评在三角函数的图像变换中,先平移变换后伸缩变换与
探究四
探究五
解:∵ y=3sin
π �� 3 2
=-3sin
�� π 2 3
,
�� π 2 3
∴ 求原函数的递增区间,即求函数 y=sin 由 2kπ+ ≤ − ≤2kπ+ (k∈ Z), 得 4kπ+ ≤x≤4kπ+ ∴ y=3sin
π �� 3 2 5π 3 11π (k∈Z). 3 π 2 �� 2 π 3 3π 2

高中数学第1章 8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质课件北师大版必修4

56π
43π
161π
73π
x－π3
0
π 2
π
3 2π
2π
y
35 3
1
3
(2)描点．
(3)作图如图所示．
周期 T＝2π，频率 f＝T1＝21π，相位 x－π3，初相－π3，最大值 5，最小值 1，函数的减区间为 2kπ＋56π，2kπ＋161π(k∈Z)，增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)．
A．y＝sin(x＋π6)
B．y＝sin(2x－π6)
C．y＝cos(4x－π3)
D．y＝cos(2x－π6)
[答案] D
[解析] “五点法”对应解方程．设 y＝Asin(ωx＋φ)，显然 A＝1，又图像过点(－π6，0)，(1π2，1)，
所以ωω××1π－2＋π6φ＋＝φπ2＝. 0，
解得 ω＝2，φ＝π3.所以函数解析
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
函数f(x)＝Asin(ωx－
π 6
)＋1(A>0，ω>0)的最大值
为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
[思路分析] (1)根据最大值求A，根据对称轴的条件，得
函数周期，从而求ω；
点，在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系
数法、逐一定参法或图像变换法来求解．
函数 y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，
则( )
A．ω＝π2，φ＝π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4 [答案] C
D．ω＝π4，φ＝54π

1.7函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一) 课件高中数学必修4(北师大版)

向左平移个单位 12 1 横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变 3
【例】将函数y=f(x)的图像上每一点的纵坐标不变，而横
个单位，最后保持图 3 1 像上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得 2
坐标伸长为原来的2倍，再向右平移
到的曲线与y=cosx相同，试求y=f(x)的解析式.
【审题指导】解答本题的关键是确定好变换的方向，同时
点.
(2)用“五点法”画函数 y Asin(x ) 的图像关键是点的
3 ，2π 即可得出所画图，π ，选取，一般令 x 0， 2 2
像的关键点坐标.
【例1】作函数 y 2sin( 1 x ) 在长度为一个周期的闭区间
3 6
上的简图. 【审题指导】函数 y 2sin( 1 x ) 的周期T=6π,画出 x 取 0, , , 3 , 2 时的五个关键点，是解答本题的关键.
(3)图像法类比正弦曲线的画法可知：周期函数的图像可由长度为一个周期的区间上的图像，向右、向左依次平移 T个单位得到，据此可由图像求函数的周期.
y=|sinx|的最小正周期是y=sinx的最小正周期的一半，而y=|tanx|的最小正周期与y=tanx的最小正周期却相同.
【例3】求下列函数的最小正周期. (1) y cos(3x )
(2)用“变换法”画函数图像，要注意统一函数名称，恰当
变换解析式的形式，弄清楚是平移变换、伸缩变换还是对
称变换，明确变换方向.
(3)利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，若先伸
缩后平移时要特别注意平移量的确定. 对于三角函数图像的变换要记住每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.

北师大版数学高一必修4教学案1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像的画法

答案：
6．已知f(x)＝1＋ sin(2x－ )，画出f(x)在x∈ 上的图像．
解∵－ ≤x≤ ，∴－π≤2x≤π
∴－ π≤2x－ ≤ π
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－ π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示
一、选择题
1．函数y＝2sin(－2x＋ )的相位和初相分别是()
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A函数y＝cos 可化为y＝sin[ ＋ ]＝sin .要想得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin(x＋ )的图像向右平移个单位长度．
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则()
解：sin(2ωx＋φ)，再向左平移个单位长度，得到y＝Asin ，即y＝Asin(2ωx＋ωπ＋φ)＝ sinx.
由两个代数式恒等，得 ⇒
∴f(x)＝ sin( x－ )＝－ cos .
法二：将y＝ sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝ sin(x－ )的图像，再把y＝ sin(x－ )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝ sin( x－ )，即y＝－ cos x的图像，故所求函数解析式为f(x)＝－ cos .
第一步：列表
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，即得图像．

北师大版高中数学必修4《函数y=Asin(ωx+j)的图像》说课

※开侨中学数学科组
3.教学重点与难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数 y＝Asin(ωx＋)的图像。难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画 y＝Asin(ωx＋)的图像。
※开侨中学数学科组
二、目的分析
1. 知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解振幅变换，画图像，并与函数y＝sinx作比较说明函数的性质；（3）能利用相位变换画出函数的图像，并与函数y=sinx作比较说明函数的性质 2.过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提炼，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asinx, y＝sin（x＋）的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3.情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合和类比的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
1 2

2
,1)

2
sinx
,
1 ) 2

2

(π，0 )
3 2
（2π，0）
1 ( 3, ) 2 2
2 x
，-1）
-1
（
3 2
2
（
3 2
，－2）
※开侨中学数学科组
思考交流：
y 1 -1
O
y=sinx

2

3 2
2
x )
( 横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍 y A
O
y=Asinx

高中数学(北师大必修四)优质课件 1.8 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(一)

像.(难点)
探究点1 振幅A对三角函数图像的影响
例1 作函数 y = 2sin x 和 y = 1 sin x 的简图，并
2
说明它们与函数y=sinx的关系.
解:（1）列表.
x
0
2
3 2
2
y= sin x 0
1
0
-1
0
y=2sin x 0
2
y= 1 sin x 2
0
1 2
0
-2
0
0
-1
0
2
（2）画图 y
探究点2 参数对函数y=Asin(x+)的影响
例2 画出函数y sin（x ）和y sin(x )的简图，并说明
4
6
它们与函数y sin x的关系.
采用类比法
解:(1)列表
（2）画图
1y
4
O
1 6
y sin(x ) 6
2
x
y sin(x π ) 4
从函数图像和解析式可以看出，把函数y sin x的图像向左平移个单位长 4
上的简图向左、右延拓就可以得到函数y 2sin x, y 1 sin x在R上的图像.
2
（4）讨论性质.
从图像上可看出，在区间0,
2上，函数y
2
sin
x在
0,
2
和
3 2
,
2
上是增加的，在
2
,
3 2
上是减少的；
函数y 2sin x与x轴交点的横坐标是0, ，2;
函数y 2sin x的值域是 2, 2，最大值是2，最小值是 2.
2
像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的1 ，
2

高中数学 1.8.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件北师大

(1)求函数的解析式； (2)求出函数 y 的单调区间．
【思路探究】由已知信息，结合图像确定 ω，A 和 φ 的值，然后视 ωx＋φ 为一体求出单调区间．
【自主解答】 (1)由题意T4＝32π－π2＝π，T＝4π＝2ωπ， ∴ω＝12，A＝ 2，∴y＝ 2sin(2x＋φ)，当 x＝π2，y＝ 2时，即 2＝ 2sin(π2×12＋φ)． ∴π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)， ∵φ∈(－2π，π2)，∴φ＝π4.∴y＝ 2sin(2x＋4π)；
§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值问题的求法，理解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．
2．过程与方法通过利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像研究其性质，使学生掌握数形结合的思想方法，提高学生分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过对三角函数图像的分析和性质的研究，使学生体会数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣．
求下列函数的周期：
(1)y＝3sin(2x＋π3)＋1； (2)y＝4sin(15x－π4)－1； (3)y＝|sin x|. 【思路探究】 (1)(2)用 T＝2ωπ求周期；(3)利用函数的图像来求周期．
【自主解答】 (1)∵ω＝2，∴T＝2ωπ＝22π＝π. (2)∵ω＝15，∴T＝21π＝10π.
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 中影响最值的量是 A 的符号， b 的大小以及 x 的范围．
求y＝Asin(ωx＋φ)的最值
已知函数 y＝a－bcos(2x＋π6)(b>0)的最大值为32，最小值为－12.

2019-2020高中北师版数学必修4第1章 §8 第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件PPT

作是把 y＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0 1
＜ω＜1 时)到原来的__ω__倍(纵坐标不变)而得到的．
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思考 3：对于同一个 x，函数 y＝2sin x，y＝sin x 和 y＝12sin x 的函数值有何关系？
[提示] 对于同一个 x，y＝2sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的 2 倍，而 y＝12sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的12.
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1．函数 y＝2sin2x＋π5的周期、振幅依次是(
)
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
[答案] B
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2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[ －π，π] 有 4 个零点；④f(x)的最大值为 2.
如图所示，由图可知函数 f(x)在[－π， π]只有 3 个零点，故③不正确；∵y＝sin|x| 与 y＝|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到， ∴f(x)可以取到最大值 2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选 C.
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法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x) 为偶函数，故①正确，排除 B；当π2＜x＜π 时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除 A；∵y＝sin |x|与 y＝ |sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，∴f(x)的最大值为 2，故④正确．故选 C.]
参数
作用

北师大版高中数学必修四§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二).docx

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)课时目标 1．会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像．2．明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念．3．了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，____叫做振幅，周期T ＝________，频率f ＝________，相位是________，初相是____．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R值域周期性 T ＝__________奇偶性 φ＝________________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由____________________________________得到，单调减区间可由____________________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π64．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图像如下图所示，则φ＝________．9．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2． (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A ． 2B ．－ 2C ．1D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |．(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二) 答案知识梳理 1．A 2πω ω2π ωx ＋φ φ 2．[－A ，A ] 2π|ω|k π (k ∈Z )π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12．∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6．]3．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2．又x ＝π12时，y ＝1．]4．D [由图像知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2．且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6．]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4．]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2．∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2．]7．x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6．8．9π10解析由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45． ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10．9．5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图像观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π． 10．②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2．∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4． ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π2π y 0 2 0 －2描点，连线，如图所示：12．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2．由图像关于M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z ．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．13．A [由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2．∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ．∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin 0＋a cos 0． ∴a ＝－1．方法二由题意得f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0)，即－1＝a ．]。

北师版高中数学高一必修4课件1.8函数y=Asin(ωxφ)图像(二)

做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数,这种函数我们称为正弦型函数,那么怎样作正弦型函数的图像呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？
明目标、知重点
探究点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0) 的图像
π 2
π
3π 2
2π
x
π 2
2π
7π 2
5π
13π 2
y
0
2
0
－2
0
明目标、知重点
描点画图(如图所示)：
反思与感悟 “五点法”作图时,五点的确定,应先令 ωx＋φ 分别为 0、2π、π、32π、2π,解出 x,从而确定这五点.
明目标、知重点
跟踪训练1 如图是某简谐运动的图像,试根据图像回答下列问题：
明目标、知重点
(3)写出这个简谐运动的函数表达式. 解设这个简谐运动的函数表达式为 y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,＋∞),那么,A＝2；由2ωπ＝0.8,得 ω＝52π；
由图像知初相φ＝0. 于是所求函数表达式是
y＝2sin 52πx,x∈[0,＋∞).
明目标、知重点
探究点二由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求三角函数的解析式
明目标、知重点
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为突破口.以 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点. 2.在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想.例如,它在 ωx＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ωx＋φ＝32π ＋2kπ (k∈Z)时取得最小值.

高中数学北师大必修四 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

练习1：如图，某地一天从6～14时的温
度变化曲线近似满足函数: T/度
y Asin(x ) b. 30
这段曲线对应的函数 20
是什么？
10
O
6 10 14 t/h
A 1 30 10 10
2
1 T 1 • 2 14 6
2 2
8
b 1 30 10 20 (6,10) 6 3 3
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0), ( ,1),( ,0),( 3 ,1), (2 ,0)
函数 y sin 2x 、y sin 1 x与y sin x 的图象
2
间的变化关系. y
1
O
2
2
-1
y sin 2x
4 x
y sin 1 x 2
二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
变式：画出函数y 2sin 1 x 的简图，
3 6 并说明它是由y sin x的图像经过怎样的变换而得到.
y Asin(x )，其中A 0, 0
A：振幅 (运动的物体离开平衡位置的最大距离) T：周期T＝ 2
(运动的物体往复运动一次所需要的时间 )
f：频率f 1 ＝ T 2

2017-2018学年高中数学北师大版必修四课件：第一章 §8 第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法

从而56π＋φ＝π，即 φ＝π6. 又点(0,1)在函数图像上，所以 Asin π6＝1，得 A＝2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋π6.
由函数图像求解析式的一般解题方法是： (1)先根据图像的最高点和最低点，找到振幅，即求 A 的值；
(2)根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式 T＝求出ω的值；
答案：56π
6．已知 f(x)＝1＋ 2sin(2x－π4)，画出 f(x)在 x∈－π2，π2 上的图像．
解 ∵－π2≤x≤π2，∴－π≤2x≤π∴－54π≤2x－π4≤34π (1)列表如下：
x
－π2 －38π －π8
π 8
3π 8
π 2
2x－π4 －54 －π －π2 0
π 2
y＝sin x 的图像各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍 y＝2sin x 横坐标不变
向右平移的图象
π 6
个单位长度 y＝2sin
x－π 6
的图像
各点的
1 横坐标缩短为原来的 2
y＝2sin 2x－π6 的图像向上平移 1 个
纵坐标不变
单位长度 y＝2sin 2x－π6 ＋1 的图像．
1．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移变换：一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移量的确定．找自变量本身的变换量是关键．
解析：选 A 变换后的三角函数为 y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得 A 选项正确．
3.(湖南高考改编)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图所示．求函数 f(x) 的解析式．
[尝试解答] 由题设图像知，周期 T＝21112π－51π2＝π，所以 ω＝2Tπ＝2，因为点51π2，0在函数图像上，所以 Asin2×51π2＋φ＝0，即 sin56π＋φ＝0. 又因为 0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.