[原创]必修第一册第五章5.7三角函数的应用

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高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用教案第一册

第五章三角函数5。

7 三角函数的应用本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.7节三角函数的应用，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。

本节教材通过例题，循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。

培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。

复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

3.身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系.建立对应的函数模型；f。

数据分析：有采集的数据分析获得函数模型教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.多媒体请你查阅资料,了解振子的运动原由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此振子振动的周期为0.6ｓ,即2π= 0由交变电流的产生原理可知,电流i 随时间t的变化规律可用i=Asin（ωt+φ ）来刻4.33Ａ,可得sin φ =0。

866，因此 φ 约为π3．所以电流i 随时间t 变化的函数解析式是： i=5sin(100πt+π3),t ∈[100，＋∞）．当t=1600时，π=5; 当t=1150时,π=0;当t=7600时，π=−5; 当t=160时，π=0; 三、当堂达标1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0。

1 s 和0。

5 s 时运动速度最大D ．该质点在0。

3 s 和0.7 s 时运动速度为零【解析】由题图可知,该质点的振幅为5 cm 。

人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.7三角函数的应用(第一课时)》教案

《5.7 三角函数的应用（第一课时）》教学设计教学目标1．通过研究两个理想的物理模型——简谐运动和交流电，了解三角函数在刻画周期性现象方面的应用，提高数学应用意识，培养数学建模能力．2．通过问题研究和练习巩固，经历分析数据、观察图形、求解析式等数学活动，提高数形结合能力，发展直观想象素养．教学重难点教学重点：利用三角函数刻画简弹簧振子的运动．教学难点：将生活中与周期性现象有关的实际问题转化成与三角函数有关的数学问题．课前准备视频、Geogebra软件、PPT课件．资源引用：【情景演示】生活中的周期性现象【情景演示】简谐振动教学过程（一）整体感知引导语：前面我们学习了三角函数图象和性质，了解到三角函数是刻画现实生活中周期性现象的理想模型，今天这节课开始，我们来研究三角函数的应用．问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？预设的师生活动：学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充．预设答案：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面：（1）匀速圆周运动。

如表的指针的转动，摩天轮等；（2）自然界中的周期性现象。

如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等；（3）物理学中的周期性现象。

如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等．（二）新知探究模型一：简谐运动播放视频：弹簧振子的简谐运动．★资源名称：【情景演示】简谐振动★使用说明：本资源通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化．适合于三角函数有关周期性讲解的辅助展示，通过自然世界中实例的演示，使学生更加形象生动的了解知识与生活的联系，为新知识的学习做好铺垫．注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．（图1）预设的师生活动：师生共同观看视频．设计意图：通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化．问题2：如何利用三角函数刻画弹簧振子的运动过程？预设的师生活动：学生回答．预设答案：因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振子的运动过程．设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画弹簧振子运动的思考过程．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位s ）与位移y （单位mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．问题3：画出散点图并观察，位移y 随时间t 的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？预设的师生活动：学生画出散点图，分析得出位移y 随时间t 的变化规律．预设答案：根据散点图（如图2），分析得出位移y 随时间t 的变化规律可以用sin()y A t ωϕ=+这个函数模型进行刻画．设计意图：画出散点图，分析数据，建立变量满足的函数模型．问题4：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？（图2）表1预设的师生活动：学生观察数据表和散点图基础上回答问题，并根据所得数据求出函数的解析式．教师对学生的解答进行点评之后，给出简谐运动的有关概念．预设答案：A =20，T =60 s ，初始状态的位移为-20 mm ．函数的解析式为10ππ20sin()32y t =-，[0)t ∈+∞，．教师补充：弹簧振子的这种运动是简谐运动，在物理学中，把物体受到的力（总指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动在生活中大量存在，如钟摆的摆动，弹簧振子的运动，琴弦的震动，水中浮标的上下浮动等，其主要特征是物体的位移随着时间呈周期性变化，因此简谐运动可以利用三角函数刻画．在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[0)x ∈+∞，来表示，其中A 为振幅（物体离开平衡位置的最远距离），2πT ω=为周期，1f T=为频率．x ωϕ+相位，ϕ为初相．设计意图：根据数据求出函数解析式，并得到简谐运动的有关知识．练习1：如图3所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的解析式．预设的师生活动：学生自主解答，教师指导和点评．预设答案：（1）振幅A ＝3，周期T ＝4，频率f ＝41．图3（2）设这个简谐运动的函数表达式为π2π3sin()25y x =+．设计意图：通过一个抽象的简谐运动的图象，让学生经历由图（简谐运动的图象）到数（简谐运动的解析式）的思考过程．巩固利用三角函数刻画简谐运动的有关知识．练习2：如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一段固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是π3cos()[0)3g s t t l =+∈+∞，，. （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001 rad）；（2）已知g =9.8 m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1 s ，线的长度应当是多少（精确到0.1 cm ）？预设的师生活动：学生观看沙漏摆动的视频，自主解决问题，教师指导和点评．预设答案：（1）最大偏角为0.1203 rad ．（2）要使沙漏摆动的周期是1 s ，线的长度l 应当为24.8 cm ．设计意图：通过一个具体的简谐运动的实验，让学生经历根据三角函数模型解决实际问题的研究过程，进一步加深学生对利用三角函数刻画周期性现象的认识，初步了解三角函数在解决实际问题方面的简单应用．模型二：交变电流播放视频：交变电流的产生预设的师生活动：师生共同观看视频．图4设计意图：通过观看视频了解交变电流的物理原理，感受交变电流的周期性变化．问题5：如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画交变电流的思考过程．例2 如图5（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位A ）随时间t （单位s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当1171060015060060t =，，，，时，求电流i ．问题6：观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用sin()[0)i A t t ωϕ=+∈+∞，，来刻画．教师补充：其中A 为振幅，2πω为频率，t ωϕ+为相位，ϕ为初相．设计意图：分析图象，建立变量满足的函数模型，给出利用三角函数刻画交变电流时相应参数的意义．图5（1）图5（2）问题7：根据图象，你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？预设的师生活动：学生解答．预设答案：A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33 A ．由这些值可求得电流i 随时间t 的变化的解析式是π5sin(100π)[0)3i t t =+∈+∞，，．当0=t 时，532i =；当1600t =时，5=i ；当1150t =时，0=i ；当7600t =时，5-=i ；当160t =时，0=i ．设计意图：经历由图到数的分析过程，具体求某些具体的电流，了解三角函数的简单应用．练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U （单位V ）关于时间t （单位s ）的函数解析式．图6预设的师生活动：学生自主解答，教师引导和点拨．预设答案：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V．电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，+∞)．设计意图：通过研究交流电压随时间变化的问题，进一步巩固利用三角函数刻画与交变电流有关的周期性现象，体会到一个周期性现象可以伴随产生其它周期性现象，感受三角函数应用的广泛性．（三）归纳小结问题8：对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其它方面的收获？预设答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．物理中的简谐运动和交变电流都是理想当中的三角函数模型．在本节课的学习中，我们经历了由一般到特殊，由抽象到具体学习过程，涉及到数形结合思想和数学建模思想．设计意图：在回顾本节课所学内容和学习经历，感悟数学思想方法的基础上谈收获，进一步提升学生的学习体验．（四）布置作业教科书习题5.7第1，2题．（五）目标检测设计1．某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式．预设答案：（1）振幅是3，周期是4，频率是14；（2）ππ3cos 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，学会由三角函数模型的图象得到函数解析式．2．弹簧振子以点O 为平衡位置在B ，C 间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子位于点B ，经0.5 s 振子首次到达点C ．求：（1）振动的周期和频率；（2）振子在5 s 内通过的路程及此时位移的大小．预设答案：（1）设振幅为A ，则2A =20 cm ，A =10 cm ，设周期为T ，则2T =0.5 s ，T =1 s ，f =1 Hz ．（2）振子在1T 内通过的距离为4A ，故在l =5s =5T 内通过的距离s =5×4A =20A =20×10 cm=200 cm=2 m ，5 s 末物体处在点B ，所以它相对平衡位置的位移为10 cm ．设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，根据实际构建三角函数模型处理问题．。

数学人教A版(2019)必修第一册5.7三角函数的应用(共16张ppt)

反思感悟
方法总结
处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
新知运用
跟踪训练1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移(单位：)与时间(单位：)的函数关系是.(1)画出它的图象.(2)回答以下问题：①当小球开始摆动(即=0)时,离开平衡位置的距离是多少?②当小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
【解析】 (2) ①当小球开始摆动(即 )时,离开平衡位置的距离为 .②当小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是 .③小球来回摆动一次需要 (即周期).
二、三角函数在生活中的应用
例题2 如图,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数，根据图象求函数解析式.
【解析】观察图象可知,从8~14时的图象是的半个周期的图象, ，，，，将 , 代入上式,解得 ,所求解析式为 , .
新知运用
跟踪训练3 一物体相对于某一固定位置的位移 (cm) 和时间 (s) 之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置和时间之间的关系的一个三角函数式为___________.
【解析】设 ,从表中可以得到 , ,则 .又由 ,可得 ,可取 ,故 ,即 .
【解析】(1)根据散点图,可考虑用函数=cos+刻画与的函数关系.由表中数据,知最小正周期,.由,,得,由,,得,,,.
0
3
6
9
12
15

人教A版高中数学必修第一册第五章5-7三角函数的应用课件

第五章三角函数
5.7 三角函数的应用
整体感知
[学习目标] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模) [讨论交流] 预习教材P242－P248，并思考以下问题：问题1．在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？问题2．解三角函数应用题有哪四步？
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f (t)可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b． (1)根据以上数据，求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，试依据(1) 的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 简谐运动探究问题如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移 y(单位：mm)之间的对应数据如表所示．
t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0
(3)设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点(图5.7-6)．
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016，3.995)，因此为了安全，货船最好在6.6时之间停止卸货并驶离港口．应用迁移来自题号√12

2023新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册

(2)∵y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝12cosπ6t＋1＞1，cos6πt ＞0，2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即 12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又 0≤t≤24，所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24，所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者列表如下：
t
－π6
π 12
π 3
2t＋3π
0
π 2
π
sin2t＋π3
0
1
0
s
0
4
0
7π
5π
12
6
3π 2
2π
－1
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin 3π＝2 3，所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm．
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－ 4 cm．
1
1 4π
12x－π6
－π6
[频率为22π＝41π，
相位为12x－π6，初相为－6π．]
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 三角函数模型在物理学中的应用【例 1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋ ∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
l
gl ＝2π，gl ＝4π2，l＝4gπ2．]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式为____________．

5.7 三角函数的应用(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

所以，该船在1: 00至5: 00或13: 00至17: 00能安全
= 6 ，∴函数的表达式为 = 3sin 6 +
∴ sin 6 ≥ 2 ，∴
1，
∈ 2π +
π
6
, 2π +
5π
6
， = 0，
典型例题
题型三：数据拟合问题
【对点训练 3】某市某日气温（ ∘ C ）是时间 ( 0 ≤ ≤ 2 4，单位：小时 ) 的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
动时的位置变化、物体做简谐运动时
的位移变化、交变电流变化等，都可
用三角函数刻画。
三角函数在物理中的应用——简谐运动
问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单
位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于
时间的函数解析式．
t
y
0.00
0.05
6
由题意知当 ∈ [ 6 ,
=
2π
3
(s)时，小球在平衡位置，
π 7π
]且
6
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是 2cm，故小
因为(1,3) ⊆ [ 6 ,
球的最高点和最低点相距4cm，A错误；
以即 ℎ = 2sin( + 3 ) 递减，
π
小球在 = 0 时的高度 ℎ = 2sin 3 =
什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21

5.7三角函数的应用(第2课时)课件(人教版)

设在x h时货船的安全水深为y m，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．
从函数的解析式来看，满足y≥5.5-0.3(x-2)，即 2.5sin5π x+5≥5.5-0.3(x-2)时，该船能够进入港口；从图象31上看，就是函数y=2.5sin5π x+5的图象在
31
直线y=5.5-0.3(x-2)上方时，该船能够进入港口．
后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
随堂检测
1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为 0.7 s B．该质点的振幅为 5 cm C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度最大 D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度为零
情景导入
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象。
匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．
31
y=5.5上方时，该船能够进入港口．
利用信息技术绘出两个函数的图象,如下图.
2.5sin 5π x 5=5.5， 31
sin 5π x=0.2． 31
求得交点的横坐标分别为： xA≈0.3975，xB≈5.8025，xC≈12.7975，xD≈18.2025．
xC，xD也可由函数的周期性得到： xC≈12.4+0.3975=12.7975，

第五章-5.7-三角函数的应用高中数学必修第一册人教A版

π
2
0 < < ,函数图象如图5.7-1所示，则函数的解析式为 =________.
图5.7-1
【解析】根据图象，知
3

4
=
11
12
1
6
1
,0
6
，
11
,0
12
3
两点的距离刚好是个周期，所以
4
3
4
− = .
所以 = 1,则 =
因为当 =
2π

= 2π .
1
时，函数取得最大值，
6
1
6
π
2
30
6
5.［多选题］(2024·广东省深圳中学期末)健康成年人的收缩
压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳
动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收
缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数
图5.7-3
120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式
所以 = sin
50π

3
+ π ， ∈ ，
令 = 0，可得
50π

3
+ π = π ，， ∈ ，
则 = 0，0.06，0.12，0.18．
所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6，12，18．
例4 (2024·河北省沧州市期末)如图5.7-3所示，游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮
∴ sin
π
2
3
π
6
π
.
6
+ + 12 = 15,
+ = 1. ∴ = 2π , ∈ ,

高一上学期数学人教A版必修第一册5.7三角函数的应用课件

π
因为 ω>0，所以令 k＝1，得 150ωπ＋ 4 ＝2π－的最小值为120 .
【解析】由已知可得该函数的周期 T＝12，
2π π ∴ω＝ T ＝ 6 .
1 3
又∵当 t＝0 时，A2，
2
，
∴y＝sin π6 t＋π3 ，t∈[0，12].
可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].
4．电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的关系式是
I＝3sin 100πt＋π6 ，则当 t＝2100 时，电流 33
知识点二函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义
A
例1电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝A
sin (ωt＋φ)
.
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据
图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能同时取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是
π
12t＋φ
＋6.
又 f(2)＝8sin 1π2×2＋φ ＋6＝－2，即 sin π6 ＋φ ＝－1，
故π6 ＋φ＝－π2 ＋2kπ，k∈Z．又|φ|<π，所以 φ＝－23π ，
所以函数解析式为 f(t)＝8sin π 12t－23π ＋6.
(2)当 t＝9
时，y＝8sin
π 12
＋6<8sin
π 6
＋6＝10，气温低于 10℃，
满足开空调的条件，所以应该开空调．
1．函数 y＝12 sin 31x＋π5 的周期、振幅、初相分别是( B ) A．3π，12 ，π5 1π B．6π，2 ， 5 π C．3π，3，－ 5 π

人教A版高中数学必修第一册精品课件第5章三角函数 5.7 三角函数的应用

又当 t=0 时,y=10;当 t=3 时,ymax=13.
所以 b=10,A=13-10=3.

所以所求函数的解析式为 y=3sin t+10(0≤t≤24).

反思感悟
1.本题中没有明确函数的类型,可通过画散点图来拟合曲线.
2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数,再
转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.因为实际问题
【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运
动,B,C两点相距20 cm,初始时刻振子处在点B,经0.5 s振子首
先到达点C.求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及这时相对平衡位置的距离的大
小.
错解:(1)因为B,C两点相距20 cm,所以振幅A=20 cm.
次所需要的时间;

(3)简谐运动的频率由公式 f= =

给出,它是做简谐运动的物

体在单位时间内往复运动的次数;
(4)ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相.
3.y=sin
答案:-

的初相是
.
二、拟合函数模型
我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观
察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函
(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请
依据(1)的结论,判断一天内8:00至20:00之间,有多少时间可供
冲浪爱好者进行运动?
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用光滑的曲线连接起
来(如图),

高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用教学案新人教A版必修第一册

5.7 三角函数的应用(教师独具内容)课程标准：1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.【知识导学】知识点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义 (1)简谐运动的□01振幅就是□02A . (2)简谐运动的周期T ＝□032πω. (3)简谐运动的频率f ＝1T ＝□04ω2π.(4)□05ωx ＋φ称为相位． (5)□06x ＝0时的相位φ称为初相．知识点二三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中□01周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画□02周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三建立函数模型的一般步骤【新知拓展】运用三角函数模型解决问题的几种类型(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y ＝A sin(ωx ＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π.( )(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) 答案 (1)√ (2)× 2．做一做(1)某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π s B．π s C．0.5 s D ．1 s(3)电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为________．答案 (1)C (2)D (3)52 A题型一三角函数在物理中的应用例1 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300 s 时第一次获得最大值．金版点睛三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[跟踪训练1] 如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求t ＝5 s 时，该物体的位置．解 (1)设位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式为x ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，则由振幅为3 cm ，周期为3 s ，可得A ＝3，T ＝2πω＝3，得ω＝2π3.又物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时， ∴当t ＝0时，x ＝3sin φ＝3，∴sin φ＝1. ∵0≤φ＜2π，∴φ＝π2，从而所求的函数关系式是x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t .(2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故t ＝5 s 时，该物体在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．题型二三角函数模型的简单实际应用例 2 在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的表达式是D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12，其中t 表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，以此类推．(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？[解] (1)白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼最短．(2)D (t )>10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12>10.5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)>－12，t ∈[0,365]，所以49<t <292,292－49＝243.所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．金版点睛解三角函数应用问题的基本步骤[跟踪训练2] 某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)．(1)根据图中数据求函数解析式；(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？解 (1)由图象可知y max ＝900，y min ＝700，且A ＋b ＝y max ，－A ＋b ＝y min ，所以A ＝y max －y min 2＝900－7002＝100，b ＝y max ＋y min2＝800，且T ＝12＝2πω，所以ω＝π6.将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得π6×7＋φ＝π2.所以φ＝－2π3.因此所求的函数解析式为y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2π3＋800. (2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又T 2＝122＝6.所以从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个高峰或一个低谷.题型三数据拟合问题例3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cosπ6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0，2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3＜t ＜12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15. 金版点睛建立三角函数拟合模型的注意事项(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．[跟踪训练3] 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]答案 A解析对表中数据作近似处理，得下表：可见k ＝12，A ＝3，且T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝3时，y ＝15，代入选项检验得正确答案为A.1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6答案 C解析由图象，知A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝2πT ＝2π4π3＝32.由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝－3π4. 2．动点A (x ，y )在圆心为原点的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12，则ω＝2πT ＝π6.又当t ＝0时，A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，t ∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.4．如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4解析设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，由图象可知T ＝2×(0.5－0.1)＝45，∴ω＝2πT ＝5π2，∴5π2×0.1＋φ＝π2.∴φ＝π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4.5．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？解列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.。