12.3椭圆的标准方程
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
第十二章第三节椭圆的标准方程
§12.3椭圆的标准方程1、 已知两点()()3,0,3,0A B -,若10PA PB +=，那么点P 的轨迹方程是2、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为 ．3、F 1、F 2 为椭圆192522=+x y 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B += ，则AB = _____________．4、方程222123x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 三、典型例题例1、已知定点12(4,0)(4,0)F F -，和动点(,)M x y 求满足122(0)MF MF aa +=>，的动点M 的轨迹及其方程。
例2、已知圆055622=--+x y x ，动圆M 经过定点)0,3(-A ，且与已知圆相内切，求圆心M 的轨迹方程。
例3、已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；四、课后作业（一）基础题：1、已知1a b ==，焦点在y 轴上椭圆的标准方程为_____________2、若椭圆22136x y m +=的焦点在坐标轴上，焦距为6，则实数m 的值为__________ 3、的值为的一个焦点，则实数）为椭圆，若（k ky kx 134-022=+ 4、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x 5、已知在椭圆中，10,4a c a c +=-=，求椭圆的标准方程。
6、已知P 点在焦点为1F 、2F 的椭圆2214520x y +=上，若021=⋅F F ，求12PF PF ∙的值。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案
12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程； （2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。
三、教学辅助工具：PPT 课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。
四、教学过程：（一）创设情境，引入课题 1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。
2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？ 教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。
通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。
（二）实验探究、形成概念1、实验探究动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于21,F F 两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 12MF MF +的和是否变化？ (2) 12MF MF +与12F F 的大小关系是？M2F1F(3)若绳长与两定点12F F 、的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点12F F 、之间的距离吗？ 设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲； (2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。
2、形成概念 教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准公式可以通过几何性质和代数方程两种方式来描述。
下面我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看椭圆的几何性质。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴，焦距为2c。
点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，根据勾股定理可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
其次，我们来看椭圆的代数方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
根据椭圆的定义可得。
PF1+PF2=2a。
根据点到定点的距离公式可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
椭圆的标准方程中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，a>b。
椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆的形状为椭圆；当e>1时，椭圆的形状为双曲线。
椭圆的标准方程可以通过平移、旋转和缩放来得到不同形式的椭圆方程。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地求得椭圆的焦点、离心率、焦距、长轴、短轴等重要参数，从而更好地理解和研究椭圆的性质和特点。
总之，椭圆的标准公式是描述椭圆几何性质和代数方程的重要工具，通过标准公式我们可以更加深入地理解椭圆的形状、性质和特点，为进一步研究椭圆提供了重要的数学基础。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义和标准方程 教案
通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解。
标准方程
+ =1
1
图形
a,b,c关系
焦点坐标
焦点位置
在x轴上
在y轴上
总结椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足 。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
小结：求标准方程一般步骤：
1、定位：确定焦点位置
2、定量：确定a、b、c值
四、知识应用
例1:已知椭圆的焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点 ,求椭圆的标准方程.
思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点 到两个焦点 、 的距离之和为常数2 ）求出 值，再结合已知条件和 、 、 间的关系求出 的值，进而写出标准方程；
练习2：判断下列椭圆的焦点位置，求出焦点坐标和焦距？
1、 2、 3、 4、
例：求适合下列条件的椭圆标准方程
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；2.b=1， ，焦点在y轴上
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 4、焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点
小结：求标准方程一般步骤：
四、课堂检测：求适合下列条件的椭圆标准方程
学生思考，学生代表回答问题
启发学生建系方法，建立适当的直角坐标系。
探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案
带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。教学时，要注意说明这类方程的化简方法。
教师板书
学生填表记忆
教师引导学生思考、练习
学生反思本节课重点是否掌握
椭圆标准方程
椭圆标准方程椭圆是平面上的一个闭合曲线，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆在几何学和工程学中有着广泛的应用，因此了解椭圆的标准方程对于理解其性质和应用具有重要意义。
椭圆的标准方程是椭圆的一种数学表达形式，它可以简洁地描述椭圆的几何特征。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
在标准方程中，a大于b，因为椭圆在x轴上的半轴长通常大于在y轴上的半轴长。
椭圆的中心位于原点(0,0)处，F1和F2分别位于x轴上的(-c,0)和(c,0)处，其中c满足c^2 = a^2 b^2。
椭圆的标准方程可以帮助我们快速了解椭圆的形状和特征。
通过标准方程，我们可以得知椭圆的长轴、短轴、焦点位置等重要信息，从而更好地应用椭圆的性质和定理。
除了直角坐标系下的标准方程，椭圆还有参数方程、极坐标方程等不同的数学表达形式。
这些表达形式在不同的问题和应用中具有各自的优势，但标准方程作为最常见的表达形式之一，具有重要的地位和作用。
在实际问题中，我们经常需要根据具体的条件和要求来确定椭圆的标准方程。
通过已知的焦点、顶点、离心率等信息，我们可以利用椭圆的性质和定义来推导出其标准方程，从而更好地理解和应用椭圆的相关知识。
总之，椭圆的标准方程是描述椭圆几何特征的重要数学工具，它能够简洁地表达椭圆的形状和性质，为我们深入理解和应用椭圆提供了重要的数学支持。
通过学习和掌握椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，解决实际问题中的相关应用，并为进一步深入学习椭圆的相关知识打下坚实的数学基础。
12.3椭圆的标准方程
12.3 椭圆的标准方程一、典型例题 例题1已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离和为10，求它的标准方程.4,5,62,102:====b a c a 则解：由题意得所求标准方程为：11625116252222=+=+xyyx或例题2求焦点在x 轴上，焦距为62，且过点)2,3(的椭圆的标准方程. 解：法一、焦点为F 1),0,6(-F 2),0,6(c 2=6 +++=22)2()63(2a 22)2()63(+-则=24a 36即92=a所求标准方程为：13922=+yx法二、c 2=6，设椭圆的标准方程为162222=-+a yax点)2,3(代入方程得162322=-+a a解得92=a所求标准方程为：13922=+yx例题3已知定点1F （-4，0）、2F （4，0）和动点),(y x M ，求满足)0(221>=+a a MF MF 的动点M 的轨迹及其方程.解：为焦点的椭圆的轨迹为以时，动点214F F M a >，方程为1162222=-+a yax ；)44(0421≤≤-==x y F F M a ：为端点的线段，方程为的轨迹为以时，动点无轨迹时，动点M a 4<。
例题4已知椭圆12222=+by ax )0(>>b a ，P 为椭圆上任一点，θ=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积.解：21PF F ∆中，PF 12+ PF 22-2 PF 1 PF 2cos θ= F 1F 22即()-22a 2 PF 1 PF 2-2 PF 1 PF 2cos θ=(2c)2PF 1 PF 2=θθcos 12cos 122222+=+-bc a=∆21PF F S 21 PF 1 PF 2sin θ=21θcos 122+bsin θ=2tan 2θb例题5椭圆192522=+yx上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，求ON 的长. 解：ON =212MF =4二、变式训练1.已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程. 解：1716116252222=+=+xyyx或2．已知：椭圆经过点A(2, 3),B(-3, 27)，求它的标准方程.解：设AX 2+BY 2=1141622=+yx3．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为510-的椭圆的标准方程.解：（等腰直角三角形）151022=+yx4．在椭圆192522=+yx上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.解：F 1(-4,0),F 2（4，0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=++⇒⇒⎩⎨⎧==+64)4(8=PF4)4(2=PF 4/PF PF 10PF PF 2222211221y x y x P(-)473,415±5．在椭圆 14922=+yx上动点P(x,y)与定点M(m,0)(0<m<3)的距离的最小值为1，求m.解：PM 2=（x-m ）2+y 2=（x-m ）2+)91(42x-=95x 2-2mx+m 2+4=95(x-)59m2+4-254m0<m<3即0<m 59<5271）0<m 593≤即0<m ≤35时，PM 2min =4-254m =1( x=59m )可得m=±215（舍）2) 3<m 59<527即35<m<3时，PM 2min = m 2-6m+9=1 ( x=3) 可得m=2(m=4舍)6．已知圆()12:221=++y x C 和圆()492:222=+-y x C ，动圆P 与圆1C 外切，同时与圆2C 相内切, (1)求动圆圆心P 的轨迹方程; （2）过点（－2，0）作直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且线段MN 的中点到y 轴的距离为54，求直线l 的方程.解：（1） P 1C =1+r, PC 2=7-r 即P 1C + PC 2=8圆心P 的轨迹方程为1121622=+yx（2）设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2)0481616)34()2(1121622222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k k x k y yx ⇒21x x +=58=341622+k k⇒k 2=22⇒k=±22所求直线l 的方程为y=±22(x+2)。
椭圆的公式标准方程
椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。
椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。
首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。
椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。
椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。
通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。
首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。
其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。
椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。
我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。
以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。
我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。
首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。
其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。
短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。
椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。
首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。
然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。
同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。
在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。
例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。
另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。
除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。
参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。
这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。
总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。
椭圆的标准方程和性质
椭圆的标准方程和性质椭圆是平面上一个动点F到两定点A、B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
椭圆是一个非常重要的几何图形，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的标准方程和一些基本性质。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
设椭圆的两个焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
焦距c和半焦距ae之间的关系为c^2 = a^2 b^2。
接下来，我们来看一些椭圆的基本性质。
椭圆有许多独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到几何中心的距离与长轴的比值。
离心率是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
其次是椭圆的焦点性质。
椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状和大小。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的轨迹。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质是椭圆的定义之一。
最后是椭圆的对称性。
椭圆具有许多对称性，包括关于x轴、y轴和原点的对称性。
椭圆关于x轴对称，当y取相反数时，方程左边不变；关于y轴对称，当x 取相反数时，方程左边不变；关于原点对称，当x和y都取相反数时，方程左边不变。
这些对称性质使得椭圆在几何和物理问题中有着广泛的应用。
总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特征。
通过椭圆的标准方程和性质，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理学中的知识。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程概述椭圆是一种重要的几何形态，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛应用。
了解椭圆的标准方程对于解决与椭圆相关的问题非常重要。
本文将介绍椭圆的标准方程及其应用。
椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个定点的距离和为常数的点的集合。
两个定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆有两条对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的长度为两焦点之间的距离的两倍，短轴的长度为两焦点到椭圆上任意一点的距离的两倍。
椭圆的标准方程椭圆的标准方程是描述椭圆形状的数学表达式。
一般而言，椭圆的标准方程是$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆长轴和短轴的长度。
需要注意的是，当$a>b$时，椭圆的长轴与$x$轴平行；当$a<b$时，椭圆的长轴与$y$轴平行。
如果$a=b$，则椭圆是一个圆。
椭圆的参数方程可以通过参数方程来表示椭圆上的点的坐标。
椭圆的参数方程为$x = a \cdot \cos(\theta)$和$y = b \cdot \sin(\theta)$，其中$\theta$为参数的取值范围是$[0, 2\pi]$。
椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质，其中一些是：1. 椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越大，椭圆越扁平，离心率为0时，椭圆退化成一个点。
2. 椭圆的长轴、短轴和焦距之间有一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
3. 椭圆还具有对称性，可以通过旋转椭圆来得到不同的形状。
椭圆在很多领域有广泛的应用，例如天文学中的行星轨道、工程学中的椭圆隧道和物理学中的电荷分布等问题。
椭圆的标准方程和参数方程可以帮助我们理解和解决这些问题。
总结椭圆是一种重要且有广泛应用的几何形态。
了解椭圆的标准方程和参数方程对于解决与椭圆相关的问题非常重要。
椭圆的标准方程为$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，参数方程为$x = a \cdot \cos(\theta)$和$y = b \cdot \sin(\theta)$。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它是焦距与长轴长度之比的绝对值，即e=c/a，其中c为焦距。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程有两种形式：横轴为长轴和纵轴为长轴。
以横轴为长轴的椭圆为例，其标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
而以纵轴为长轴的椭圆的标准方程为：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1。
接下来，我们将分别介绍如何求解这两种形式的椭圆标准方程。
首先是横轴为长轴的椭圆。
对于这种情况，我们可以根据椭圆的定义和标准方程的形式来求解。
首先，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b。
然后，根据标准方程的形式，我们可以直接得到椭圆的标准方程。
具体来说，我们可以通过观察椭圆的图像或者已知条件来确定a和b的值，进而得到标准方程。
接着，我们来看纵轴为长轴的椭圆。
对于这种情况，求解标准方程的方法与横轴为长轴的情况类似，只是长轴和短轴的长度对调了位置。
同样地，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b，然后根据标准方程的形式来求解。
在实际问题中，我们可能需要根据给定的条件来求解椭圆的标准方程，这就需要我们灵活运用椭圆的定义和标准方程的形式，结合已知条件来进行求解。
在求解过程中，我们还需要注意椭圆的性质和特点，这样才能准确地得到椭圆的标准方程。
综上所述，椭圆的标准方程求解方法是我们学习解析几何中的重要知识点，通过掌握这一方法，我们可以更好地理解和运用椭圆的相关知识。
希望本文所介绍的内容能够帮助大家更好地理解椭圆的标准方程的求解方法。
12.3椭圆的标准方程
解: (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆.
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆.
(3)因|MF1 ||MF2 | 2 |F1F2 | 4，故点M的轨迹 不是椭圆。
二、椭圆标准方程的推导
思考： 如何建立椭圆的方程？
36 16 36 16
变式提高
x y 1 表示焦点在 x 轴上的 题1. 方程 a 3
椭圆，则 a 的取值范围是
2 2
2
2
(3, )
x y 变式：方程 1 表示椭圆，则a的取值 a 3
3)(3,+) 范围是 (0,
题2. 椭圆
距离等于3，则它到另一个焦点的距离为 x2 y 2 1的焦点 F1 (3, 0) 作直线 变式:过椭圆 25 16 L交椭圆于 A, B 两点，F2是另一个焦点，求 y ABF2的周长。 A
M
2
2
2
2
a
F1
F2
F2
a c M
x
O
c
2
x
O
F1
a c b
2
2
a c b
2 2
2
巩固应用
练习1：指出下列方程中，哪些是椭圆的方程？ 若是椭圆的方程，判定椭圆的焦点在哪个轴上， 求出 a, b, c 以及焦点坐标．
x y (1) 1 25 9
x2 y 2 (2) 1 2 2
2.当两个定点之间的距离等于绳长时，画出的图形 是什么？
线段F1F2
3.当绳长小于两定点间的距离时，能画出图形吗？
轨迹不存在
椭 圆 的 生成 ：
椭圆标准方程
椭圆标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的标准方程是椭圆的一般方程在适当的坐标变换下化为特殊形式的方程。
一、椭圆的标准方程。
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b（a>b>0），椭圆的中心为（h，k），则椭圆的标准方程为：（x-h）^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
其中，（h，k）为椭圆的中心坐标。
二、椭圆标准方程的推导。
1. 设椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的中心为（h，k），则有h=(F1+F2)/2=0，k=0，即椭圆的中心为原点O （0,0）。
2. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b（a>b>0），则有a=c+e，b=sqrt(a^2-c^2)，其中e为椭圆的离心率。
3. 根据椭圆的定义可得椭圆上任意一点P（x，y）到焦点F1的距离加上到焦点F2的距离等于常数2a，即有√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
4. 将上式两边平方得到(x+c)^2+y^2+a^2+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2+a^2=4a^2。
5. 化简上式得到2x^2/a^2+2y^2/b^2=1。
6. 综上所述，椭圆的标准方程为（x-h）^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
三、椭圆标准方程的性质。
1. 椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c（c^2=a^2-b^2）。
2. 椭圆的离心率e满足0<e<1。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长2a。
4. 椭圆的离心率e与椭圆的长轴长、短轴长的关系为e=sqrt(1-b^2/a^2)。
5. 椭圆的标准方程中，a和b分别表示椭圆的长轴长和短轴长，h和k分别表示椭圆的中心坐标。
四、椭圆标准方程的应用。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的形状。
其次，我们需要知道椭圆的标准方程是什么。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
通过椭圆的标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状和大小。
接下来，我们来介绍如何求解椭圆的标准方程。
首先，我们需要知道椭圆的焦点坐标和长轴短轴长度。
如果我们已知椭圆的焦点坐标为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么我们可以通过这些信息来求解椭圆的标准方程。
椭圆的焦点坐标和长短轴长度可以通过椭圆的参数方程来求解。
椭圆的参数方程为：x = acosθ。
y = bsinθ。
其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
通过参数方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而确定椭圆的形状和大小。
通过参数方程得到椭圆上任意一点的坐标后，我们可以利用这些点的坐标来确定椭圆的标准方程。
具体来说，我们可以将参数方程中的x和y代入椭圆的标准方程中，然后整理得到标准方程的形式。
最后，我们需要验证求解得到的标准方程是否正确。
我们可以通过将椭圆上几个特殊点的坐标代入标准方程中，来验证标准方程是否成立。
如果代入后等式成立，那么我们求解得到的椭圆标准方程就是正确的。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的焦点坐标和长短轴长度，然后利用椭圆的参数方程来求解标准方程，最后通过验证来确定求解结果的正确性。
掌握了这些方法，我们就能准确地求解椭圆的标准方程。
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A
课 题 椭圆及其标准方程
（湖北省示范高中利川一中、高二数学组）
主讲教师： 覃发武
三维目标
知识与技能：
掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程。
过程与方法：
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟
练掌握解决几何问题的方法——坐标法。
情感、态度与价值观：
通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问
题的本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想。
教学重点
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
教学难点
椭圆标准方程的推导，椭圆定义中常数加以限制的原因.
教学方法
选用引导―探究式的教学方法
教学手段
借助模型进行辅助教学
教学过程
Ⅰ.观察客观事物、复习引入：
1.观察客观存在的椭圆形物体、模型.
2.已知圆心和半径可以确定一个圆，那么椭圆又如何确定呢？
Ⅱ.讲授新课
探究: 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在纸板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板的两点处（如下图），套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，观察画出的轨迹是什么？
思考1: 在这个过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足什么几何条件吗？
思考2: 你能类比圆的定义给出椭圆的定义吗？
椭圆的定义：
子概念：(1)焦点
(2)焦距
思考3：①为什么要强调在平面内？
②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
例1：（1）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于10的点的轨迹是
（2）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于8的点的轨迹是 （3）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于6的点的轨迹是
练习1：“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个点的轨迹为椭圆”的
条件。
思考4：如何化简式子a y c x y c x 2)()(2222=+-++
+ ？
思考5：观察右下图， 你能从中找出表示22c a c a -，，的线段吗？
椭圆的标准方程：
例2：求例1中（1）的椭圆的标准方程
变式一:将上题焦点改为(0
，
-4)、(0，4), 其标准方程是
标准方程 相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标 探究定义
a 、
b 、
c 的关系 思考6: 如右图：如果焦点F 1、F 2在y
，(0，c)，a ，b 的意义
同上，那么此时椭圆的方程是什么？
椭圆的标准方程(另一形式)：
椭圆的标准方程的特点：
(1) (2) (3) (4)
例3：将例1中（1）中条件改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10，其标准方程是
例4：经过P(1,
2
2
)、Q(0,1)的椭圆标准方程 归纳 :椭圆的方程的统一形式：
四：知识整理形成系统
五：课堂小结
六：课堂练习
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？
2、已知椭圆方程为
116
252
2=+y x ，则(1)a= ，b= ， c= ； (2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 ；焦距为 。
(3)已知椭圆上一点 P 到左焦点F 1的距离等于6，则点P 到右焦点的距离是 ； (4)若CD 为过左焦点F 1的弦，则∆CF 1F 2的周长为 ，∆F 2CD 的周长为 。
3、若方程
1452
2=+k
y x 表示的曲线是椭圆，求k 的取值范围. 变式： (1)若方程
1452
2=+k y x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围. (2)若方程
1452
2=+k
y x 表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆，求k 的值. 七：课后巩固
P 42：练习： 1,2，3，4。
P 49：习题2.2(A 组) 1， 2。
F 2 F 1 o x y M。