地质统计学与随机建模原理4-随机模拟
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《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
序贯模拟
序贯模拟框架
所有的“序贯”方法都采用下图所示的基本算法：
(1)随机地选择一个还没有模拟值的网格节点。 (2)估计该处的局部条件概率分布(LCPD)。 (3)从局部条件概率分布中随机地抽取一个数值。 (4)使刚模拟的数值也作为条件化数据。 (5)重复步骤(1)～(4)，直到所有的网格节点都有 一个模拟值为止。
条件模拟在地质统计学中占有一个很重要的位置， 它与克立格估计配合使用，可以解决地质、石油、 矿业中的许多实际问题。
条件模拟的基本原理和方法
设Z(x)为满足二阶平稳假设的区域化变量， E[Z(x)]=m，并存在协方差函数C(h)及变差函数γ(h)。要 想求Z(x)的条件模拟Zsc(x)，就是要找出与z(x)同构的区 域化变量Zsc(x)的一个现实，且在实测点xa上模拟值等于 实测值，即:
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
各种序贯方法之间的主要区别在于： 估计局部条件概率分布的方式 任何一个能够生成局部条件概率分布估计量的方法 都可以作为序贯模拟的基础。
例如，多元高斯克里格可以产生局部条件概率分布的估计量，它是 通过假设该估计量服从经典的钟形正态分布来估计其均值和标准偏差来 实现的。如果将多元高斯克里格方法用于序贯模拟方法中，则该算法通 常称之为序贯高斯模拟（下图）。 又如，指示克里格也可以用于估计局部条件概率分布，采用这种方法 时就不用对分布形态作任何假设，它通过直接估计小于一系列门槛值的 概率或直接估计属于一系列离散区间的概率等来估计其局部条件概率分 布。若将该方法用于序贯模拟，则该算法通常称之为序贯指示模拟。
Zsc(xa) =Z(xa)
注：所谓Zsc(x) 与Z(x)同构，是指它们有相同的数学期望和相同的 分布直方图(或频率密度曲线)，以及相同的C(h)或γ(h)。
如何求得条件模拟Zsc(x)的计算公式呢？
---需要引入克立格估值和非条件模拟Zs（x）
Z(x)在任一点x处的真实值Z(x)可表为其克立格估值 与其误差之和，即
Z s ( x) a [ Z ( xa ) Z s ( xa )]
a 1
n
因此，要计算条件模拟Zsc（x），先要求出一个非条件模拟值 Zs(x)，再对实测点xa上的差值[Z(xa)- Zs(xa)]，a==1,2,…,n进 行克里格估计，最后再把这二者相加，即可得Zsc（x）。
该公式比较更为简单、实用，可减少一次解克立格方程组的运算。
用克立格法来估计，用条件模拟来重现波动性，二者结合 起来，体现地质统计学的全部威力。
传统模拟与地质统计学模拟
传统统计模拟要求伪随机数服从一定的概率分布，具有相 同的数学期望与方差。
地质统计学模拟除上述要求外，还要保持一定的的空间自 相关性，即保持与实际数据有相同的协力差函数或变差函 数。这是因为区域化变量不仅有随机性的一面，而且还有
Zsc(x) =Zk*(x)+ [Zs(x)-Z*sk(x)]
《线性地质统计学》（王仁铎等）
一旦生成了非条件模拟，就可在有数据的位置处进行采 样，再用它们进行克里格内插估值，进而比较内插结果与 非条件模拟的差异，该差异加上根据实际数据进行内插后 的结果就是一个条件模拟。它不仅具有正确的空间变异性， 而且正好也忠实于观察的实际值。
布尔模拟Boolean Simulation 估计加模拟误差ESE
转向带模拟 分形模拟
模拟退火Simulated Annealing 概率场模拟Probability Field Simulation LU矩阵分解模拟LU Simulation 迭代方法 混合方法 蒙特—卡洛法Monte Carlo Drawing
空间结构性的一面。保持上述性质的模拟在地质统计学中
称为非条件模拟。如果再增加一个条件，要求在各观测点 处的模拟值均等于该点处的实例值。这时的模拟就称为条 件模拟。
地质统计学条件模拟
条件模拟是地质统计学里特有的内容，可说是一 种新的蒙特—卡洛法。它比起传统的蒙特—卡洛 模拟有以下几个特点：
(1)它能保持变量的空间自相关函数(即指协方差图数 或变差函数)不变，因而更适用于区域化变量的模拟； （2)它wk.baidu.com使观测点处的模拟恒等于实测值，因而，观 测点越多，则模拟就越接近客观实际；
Z(x) = Zk*(x)+[Z(x)-Z*k(x)]= Zk*(x)+R(x)
其中误差R(x)是未知的。 可以证明（略），只要用一个与此误差同构且独立的非条 件模拟的克立格误差[Zs(x)-Z*sk(x)]来代替上述未知克立 格误差[Z(x)-Z*k(x)], 就可得到条件模拟Zcs(x)的计算公 式：
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
ESE方法（估计加 模拟误差法）用于 模拟孔隙度的例子
地统插值
该例中， 非条件模 拟是由白 噪的加权 滑动平均 生成的。
地统插值
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
条件模拟计算公式的另一种比较实用的表示法：由于Zs(x) 与Z(x) 有相同的变差函数，且求克立格估值Z*sk(x) 与Z*k(x)时数据构形 又相同，故其克立格方程组也一样。方
《线性地质统计学》（王仁铎等）
常见的随机模拟方法
序贯模拟Sequential Simulation
Sequential Gaussian Simulation Sequential Indicator Simulation Gaussian Truncated Simulation Sequential Indicator Simulation
程组的解也一样，即有相同的权系数λa，a=1,2,…，n。于是:
* Zk ( x ) a Z ( x a ) a 1 n * , Z sk ( x ) a Z s ( x a ) a 1 n
* * Z sc Z k ( x) [ Z s ( x) Z sk ( x)]
第四章 随机模拟（条件模拟）
估计和模拟
用克立格法来估值虽然有不少优点，但也有缺点，即它有圆滑(修匀) 效应。若用克立格估值的离散方差来估计真实品位的离散方差，则估 计往往偏小。而在编制采矿计划中很需要了解各种矿石特征(如品位 或矿化厚度等）真实值的离散方差，叫其波动性大小。 怎样才能更好地估计矿石特征真实值的离散方差呢？条件模拟的方 法来重现真实值的离散方差。因为，用条件模拟方法得出的模拟值不 但能保持与Z(x)的数学期望、方差和分布函数一样，而且还能保持协 方差函数或变差函数一样，同时在各实测点处的模拟位还等于该点的 实测值。 但是，如果要用模拟值来估计其一点处的品位值或矿体厚度则是不好 的，模拟值不是最优的估计值，因为其估计方差太大。 克立格估值曲线平均地说更接近于真实曲线，条件模拟曲线却较好地 再现真实曲线的被动性。
名义型变量的序贯指示模拟
孔隙度序贯高斯模拟
数据综合的模拟退火法
模拟退火法 示意图
砂、泥岩模型的退火程序：该模型的净毛比为70％，泥岩平均长度为60m，平均厚度为10m。
END
序贯模拟
序贯模拟框架
所有的“序贯”方法都采用下图所示的基本算法：
(1)随机地选择一个还没有模拟值的网格节点。 (2)估计该处的局部条件概率分布(LCPD)。 (3)从局部条件概率分布中随机地抽取一个数值。 (4)使刚模拟的数值也作为条件化数据。 (5)重复步骤(1)～(4)，直到所有的网格节点都有 一个模拟值为止。
条件模拟在地质统计学中占有一个很重要的位置， 它与克立格估计配合使用，可以解决地质、石油、 矿业中的许多实际问题。
条件模拟的基本原理和方法
设Z(x)为满足二阶平稳假设的区域化变量， E[Z(x)]=m，并存在协方差函数C(h)及变差函数γ(h)。要 想求Z(x)的条件模拟Zsc(x)，就是要找出与z(x)同构的区 域化变量Zsc(x)的一个现实，且在实测点xa上模拟值等于 实测值，即:
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
各种序贯方法之间的主要区别在于： 估计局部条件概率分布的方式 任何一个能够生成局部条件概率分布估计量的方法 都可以作为序贯模拟的基础。
例如，多元高斯克里格可以产生局部条件概率分布的估计量，它是 通过假设该估计量服从经典的钟形正态分布来估计其均值和标准偏差来 实现的。如果将多元高斯克里格方法用于序贯模拟方法中，则该算法通 常称之为序贯高斯模拟（下图）。 又如，指示克里格也可以用于估计局部条件概率分布，采用这种方法 时就不用对分布形态作任何假设，它通过直接估计小于一系列门槛值的 概率或直接估计属于一系列离散区间的概率等来估计其局部条件概率分 布。若将该方法用于序贯模拟，则该算法通常称之为序贯指示模拟。
Zsc(xa) =Z(xa)
注：所谓Zsc(x) 与Z(x)同构，是指它们有相同的数学期望和相同的 分布直方图(或频率密度曲线)，以及相同的C(h)或γ(h)。
如何求得条件模拟Zsc(x)的计算公式呢？
---需要引入克立格估值和非条件模拟Zs（x）
Z(x)在任一点x处的真实值Z(x)可表为其克立格估值 与其误差之和，即
Z s ( x) a [ Z ( xa ) Z s ( xa )]
a 1
n
因此，要计算条件模拟Zsc（x），先要求出一个非条件模拟值 Zs(x)，再对实测点xa上的差值[Z(xa)- Zs(xa)]，a==1,2,…,n进 行克里格估计，最后再把这二者相加，即可得Zsc（x）。
该公式比较更为简单、实用，可减少一次解克立格方程组的运算。
用克立格法来估计，用条件模拟来重现波动性，二者结合 起来，体现地质统计学的全部威力。
传统模拟与地质统计学模拟
传统统计模拟要求伪随机数服从一定的概率分布，具有相 同的数学期望与方差。
地质统计学模拟除上述要求外，还要保持一定的的空间自 相关性，即保持与实际数据有相同的协力差函数或变差函 数。这是因为区域化变量不仅有随机性的一面，而且还有
Zsc(x) =Zk*(x)+ [Zs(x)-Z*sk(x)]
《线性地质统计学》（王仁铎等）
一旦生成了非条件模拟，就可在有数据的位置处进行采 样，再用它们进行克里格内插估值，进而比较内插结果与 非条件模拟的差异，该差异加上根据实际数据进行内插后 的结果就是一个条件模拟。它不仅具有正确的空间变异性， 而且正好也忠实于观察的实际值。
布尔模拟Boolean Simulation 估计加模拟误差ESE
转向带模拟 分形模拟
模拟退火Simulated Annealing 概率场模拟Probability Field Simulation LU矩阵分解模拟LU Simulation 迭代方法 混合方法 蒙特—卡洛法Monte Carlo Drawing
空间结构性的一面。保持上述性质的模拟在地质统计学中
称为非条件模拟。如果再增加一个条件，要求在各观测点 处的模拟值均等于该点处的实例值。这时的模拟就称为条 件模拟。
地质统计学条件模拟
条件模拟是地质统计学里特有的内容，可说是一 种新的蒙特—卡洛法。它比起传统的蒙特—卡洛 模拟有以下几个特点：
(1)它能保持变量的空间自相关函数(即指协方差图数 或变差函数)不变，因而更适用于区域化变量的模拟； （2)它wk.baidu.com使观测点处的模拟恒等于实测值，因而，观 测点越多，则模拟就越接近客观实际；
Z(x) = Zk*(x)+[Z(x)-Z*k(x)]= Zk*(x)+R(x)
其中误差R(x)是未知的。 可以证明（略），只要用一个与此误差同构且独立的非条 件模拟的克立格误差[Zs(x)-Z*sk(x)]来代替上述未知克立 格误差[Z(x)-Z*k(x)], 就可得到条件模拟Zcs(x)的计算公 式：
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
ESE方法（估计加 模拟误差法）用于 模拟孔隙度的例子
地统插值
该例中， 非条件模 拟是由白 噪的加权 滑动平均 生成的。
地统插值
《随机建模和地质统计学：原理、方法和实例研究》
条件模拟计算公式的另一种比较实用的表示法：由于Zs(x) 与Z(x) 有相同的变差函数，且求克立格估值Z*sk(x) 与Z*k(x)时数据构形 又相同，故其克立格方程组也一样。方
《线性地质统计学》（王仁铎等）
常见的随机模拟方法
序贯模拟Sequential Simulation
Sequential Gaussian Simulation Sequential Indicator Simulation Gaussian Truncated Simulation Sequential Indicator Simulation
程组的解也一样，即有相同的权系数λa，a=1,2,…，n。于是:
* Zk ( x ) a Z ( x a ) a 1 n * , Z sk ( x ) a Z s ( x a ) a 1 n
* * Z sc Z k ( x) [ Z s ( x) Z sk ( x)]
第四章 随机模拟（条件模拟）
估计和模拟
用克立格法来估值虽然有不少优点，但也有缺点，即它有圆滑(修匀) 效应。若用克立格估值的离散方差来估计真实品位的离散方差，则估 计往往偏小。而在编制采矿计划中很需要了解各种矿石特征(如品位 或矿化厚度等）真实值的离散方差，叫其波动性大小。 怎样才能更好地估计矿石特征真实值的离散方差呢？条件模拟的方 法来重现真实值的离散方差。因为，用条件模拟方法得出的模拟值不 但能保持与Z(x)的数学期望、方差和分布函数一样，而且还能保持协 方差函数或变差函数一样，同时在各实测点处的模拟位还等于该点的 实测值。 但是，如果要用模拟值来估计其一点处的品位值或矿体厚度则是不好 的，模拟值不是最优的估计值，因为其估计方差太大。 克立格估值曲线平均地说更接近于真实曲线，条件模拟曲线却较好地 再现真实曲线的被动性。
名义型变量的序贯指示模拟
孔隙度序贯高斯模拟
数据综合的模拟退火法
模拟退火法 示意图
砂、泥岩模型的退火程序：该模型的净毛比为70％，泥岩平均长度为60m，平均厚度为10m。
END