2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(十八)(江西省专用)
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十)A(江西省专用)
专题限时集训(二十)A[第20讲 复数、算法与推理证明](时间：30分钟)1．在复平面内，复数i －1i的共轭复数的对应点在( ) A ．第二象限 B ．第一象限C ．第三象限D ．第四象限2．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋bi＝1＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝32，b ＝123．给出如图20－1所示的程序框图，那么输出的数是( )A ．2 450B ．2 550C ．5 150D ．4 900图20－14．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数5．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则复数a ＋bi ＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．－1－2iD ．1－2i6．如图20－2是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )图20－2A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97．如图20－3是一个程序框图，则输出结果为( )图20－3A ．22－1B ．2 C.10－1 D.11－1图20－48．阅读如图20－4所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．0B ．1＋ 2C ．1＋22D.2－19．将棋子摆成如图20－5的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝( )图20－5A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 01110．设i 为虚数单位，则1－i ＋i2－i3＋i4－…＋i20＝________________________________________________________________________.11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr2，观察发现S′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr2，三维测度(体积)V ＝43r3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度为V ＝8πr3，猜想其四维测度W ＝________．。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(九)(江西省专用)
专题限时集训(九)[第9讲 数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知数列{an}满足a1＝3，an ＋1＝2an －1，那么数列{an －1}( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列2．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝π4，则tan(a4＋a6)＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D ．－13．已知数列{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3，a9的等比中项，Sn 为{an}的前n 项和，则S10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有ap ＋q ＝ap ·aq ，则a8的值为( )A ．256B ．128C ．64D ．325．数列{an}中，an ≠0，且满足an ＝3an －13＋2an －1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是( ) A ．递增等差数列 B ．递增等比数列C ．递减数列D ．以上都不是6．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式an an －1＝n －1n (n≥2)给出，则a10等于( ) A.910 B.110C ．10D ．97．等差数列{an}的各项为正数，公差为2，前n 项和为Sn ，若{Sn}也是等差数列，则a1＝( )A ．1B ．2C ．3 D.328．已知数列{an}的通项公式an ＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12n －1－13，则{an}中( ) A ．最大项为a1，最小项为a3B ．最大项为a1，最小项为a4C ．最大项为a1，最小项不存在D ．最大项不存在，最小项为a4 9．已知数列{an}中，a1＝45an ＋1＝⎩⎨⎧2an ，0≤a n ≤12，2an －1，12<an ≤1，则a2 012等于( ) A.45 B.35C.25D.1510．观察下列等式1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第n 个等式为__________________．11．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________． 12．在一个数列中，如果任意n ∈N*，都有anan ＋1an ＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．13．在数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an ＝n －an(n ＝1，2，3，…)．(1)设bn ＝an －1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn ＝bn ·(n －n2)(n ＝1，2，3，…)，如果对任意n ∈N*，都有cn<t 5，求正整数t 的最小值．14．已知数列{an}中，a1＝2，an －an －1－2n ＝0(n≥2，n ∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝1an ＋1＋1an ＋2＋1an ＋3＋…＋1a2n ，求bn 的最大值．15．已知函数f(x)＝x 2x ＋1{an}满足a1＝1，an ＋1＝f(an)(n ∈N*)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等差数列； (2)记Sn ＝a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1，试比较2Sn 与1的大小．。
2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（）﹣2，代入已知化简即可．2×﹣=看做4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这B故所求的概率为：=5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）x=，时，代入＜，得到，显时，代入＜，显然不正确，排除＜7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5+9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物：：．过MNP=|MN|=|PM|﹣，=|MN|==：10．（5分）（2013•江西）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•江西）若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．=13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．|=||=|sin3x+cos3x|sin3x+cos3x=2sin3x+14．（5分）（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：15．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•江西）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=满足：==．．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．，，由（，∴=18．（12分）（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．，共的有，，，，，，，，，，，去唱歌的概率，﹣=19．（12分）（2013•江西）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．V=、E=2=3××d=从而得到=AB=DE=1BE===V=×，=2上的中线等于，=××=3××d==d=的距离为．20．（13分）（2013•江西）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．，所以的方程为；，得（，．（的方程为，解得（（的斜率为=．21．（14分）（2013•江西）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC 的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；[，]时，求（=（）﹣时，由=x≠时，由∈），故得x=时，由x=（=x=，（×=×（×[，[，]（=（。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(十三)A(江西省专用)
专题限时集训(十三)A[第13讲 直线与方程、圆与方程](时间：30分钟)1．“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，P ，Q 中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.13 B.23 C ．－32 D ．－133．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．已知圆x2＋y2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．25．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y2＝43 B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y2＝13 C ．x2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43 D ．x2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13 6．由动点P 向圆x2＋y2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x2＋y2＝4B ．x2＋y2＝3C ．x2＋y2＝2D ．x2＋y2＝17．直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y ＋a ＝0(a<3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2，3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝08．从原点向圆x2＋y2－12y ＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为( ) A.π6 B.π3C.π2D.2π39．由直线y ＝x ＋2上的点向圆(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.30 B.31C ．4 2 D.3310．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 211．直线l 过点(－4，0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，那么直线l 的方程为________．12．已知圆C ：x2＋y2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 被圆C 截得的弦为A B ，若以AB 为直径的圆过原点，则直线l 的方程为________．13．设P 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是左，右焦点，且焦距为2c ，则△PF1F2内切圆的圆心横坐标为________．。
江西省2013届高考压轴卷数学文试题(WORD解析版)
2013江西省高考压轴卷数学（文）试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：棱台的体积公式 11221()3V Sh S S S S =++ 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示梭台的高 球的表面积公式24R S π=球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第I 卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的．(1)已知集合{1,2},{,},aA B a b ==若1{}2AB =,则A B 为A ．1{,1,}2bB ．1{1,}2-C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-（ ）(2) 已知2ii(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b += (A)1- (B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3-(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若ba c 11+=，则c 的最值为 ( ) A ．最小值-1 B ．最小值-2C ．最大值-2D ．最大值-1（6）样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3a .若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）65(B)65 (C)2 (D)2(7)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．4(8)设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为(A)3,11- (B)3,11-- (C)11,3- (D)11,3 (10)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则a b=0B.ab=b aC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D. 2222(ab)+(ab)=|a||b| 第II 卷二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分． (11) 函数()sin sin()3f x x x π=-的最小正周期为 ．(12) 右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函 数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ，则输出的 函数()n f x 可化为___ __。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：作业手册详答(湖北省专用)doc资料
专题限时集训(一)A 【基础演练】1．A [解析] 依题意得B ＝{x|－2<x<1}，故A ∪B ＝{x|－2<x<4}．2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8. 3．B [解析] 根据特称命题的否定得命题綈p 应为：∀x ∈0，π2，sinx ≠12.4．D [解析] D 项中，当φ＝π2时，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，故D 项错误；A ，B ，C 项都易验证是正确的．故选D.【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图象可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 7．C [解析] 当“A>B”时，因为sinA －sinB ＝2cos A ＋B 2sin A －B 2，易知A ＋B 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，A －B2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos A ＋B 2>0，sin A －B 2>0.可以推得sinA>sinB.当“sinA>sinB ”时，有sinA －sinB ＝2cos A ＋B 2sin A －B 2>0，又由上得cos A ＋B 2>0，所以sin A －B 2>0，所以A －B 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，即A －B ∈(0，π)，可以推得A>B.故“A>B”是“sinA>sinB ”的充分必要条件．故选C. 8．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．9．B [解析] 对于①，显然m≠0，故由am2<bm2两边同时除以m2，得a<b.故①正确．对于②，因为x 是任意正数，所以不等式2x ＋a x ≥1等价于a≥x －2x2＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18.因为不等式恒成立，所以a≥18.故②正确．对于③，命题“∃x ∈R ，x2－x>0”的否定是“∀x ∈R ，x2－x≤0”，故③错误．对于④，若命题p ∧q 为假，则p 和q 至少有一个为假，不可以推得命题p ∨q 为假命题；但当命题p ∨q 为假时，则p 和q 都为假，可以推得命题p ∧q 为假命题；故“p ∧q 为假命题”是“p ∨q 为假命题”的必要不充分条件，故④错误．综上，正确的个数为2.故选B. 10．∀x ∈R ，x>1且x2≤4 [解析] 因为特称命题p ：∃x0∈M ，p(x0)的否定为綈p ：∀x ∈M ，綈p(x)，所以题中命题的否定为“∀x ∈R ，x>1且x2≤4”．11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．①④ [解析] 对于①，“∃x0∈R ，2x0>3”的否定是“∀x ∈R ，2x ≤3”，所以①正确；对于②，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3·cos2x＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x 0)＝0，故③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 专题限时集训(一)B 【基础演练】1．B [解析] (∁UM )∩N ＝{x|x ∈Z ，x≠－1，0，1}∩{0，1，3}＝{3}．故选B. 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}，则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}， 所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 因为a2－a ＋1＝a －122＋34≥34>0，所以由a －1a2－a ＋1<0得a<1，不能得到|a|<1；反过来，由|a|<1得－1<a<1，所以a －1a2－a ＋1<0.因此“a －1a2－a ＋1<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．4．D [解析] 对于A ，命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，选项B 不正确；对于C ，命题“∃x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“∀x ∈R ，使得x2＋x －1≥0”，因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”是真命题，因此它的逆否命题也为真命题，选项D 正确． 【提升训练】5．B [解析] A ＝{x|x2－x －6<0}＝{x|－2<x<3}，所以A∩B ＝{－1，1，2}，有三个元素．故选B.6．D [解析] 因为∀x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题．7．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.8．A [解析] 对于命题q ，函数f(x)＝x2＋mx ＋9存在零点，等价于Δ＝m2－4×9≥0，等价于m≥6或m≤－6，又{m|m>7}⊂{m|m ≥6}，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A. 9．C [解析] 若xyz ＝0，不妨设x ＝0，则由xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，得yOB →＝－zOC →，故OB →与OC →共线，又它们有公共点O ，所以点O 在直线BC 上．同理，当y ＝0或z ＝0可分别推得点O 在直线AC ，AB 上．故由“xyz ＝0”可以推得“点O 在△ABC 的边所在直线上”；若点O 在△ABC 的边所在直线上，不妨设点O 在直线BC 上，则一定存在实数λ，使得yOB →＋zOC →＝λOB →成立．又xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，所以xOA →＋λOB →＝0.因为OA →与OB →不共线，所以x ＝0，λ＝0.同理，当点O 在直线AC ，AB 上时，可以分别推得y ＝0，z ＝0.故由“点O 在△ABC 的边所在直线上”可以推得“xyz ＝0”．故“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的充要条件．故选C.10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2.11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】5．D [解析] 由题意，⎩⎨⎧2－x>0，lgx ≥0，解得1≤x<2.故选D.6．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图象是由函数y ＝logax 的图象向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图象．7．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 8．B [解析] 根据f(x)的图象知0<b<1，a>1，则函数g(x)单调递增，且是由函数h(x)＝logax 向左平移了b(0<b<1)个单位而得到的，故B 项符合． 9．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f （x ），得f(x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f(x)，知6为该函数的一个周期，所以f(107.5)＝⎝⎛⎭⎫6×18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1f ⎝⎛⎭⎫52＝－1f ⎝⎛⎭⎫－52＝－1－10＝110. 10．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.11．7 6 [解析] 因为f(22)＝loga((22)2－1)＝loga7＝1，所以a ＝7. 故f(f(2))＝f[log7(22－1)] ＝2×7log73＝2×3＝6.12．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．A [解析] f(27)＝11＋327＝14，f(f(27))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝0.故选A. 3．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．4．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)． 【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．A [解析] 本题考查函数的奇偶性，周期性，函数求值． f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12.故选A. 7．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．8．D [解析] 由题意，f(12，16)＝f(12，12＋4)＝14(12＋4)f(12，4)＝4f(4，12)＝4f(4，4＋8)＝4×18(4＋8)f(4，8)＝6f(4，4＋4)＝6×14(4＋4)f(4，4)＝12×4＝48.故选D.9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x －1)和y ＝t(|t|<1)的图象(如图)，由图象知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.11．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确． 12．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 本题考查函数零点所在区间的判断．因为f ⎝⎛⎭⎫－14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫－12＝e 12－1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫－14·f ⎝⎛⎭⎫－12<0.又函数f(x)的图象是连续的，所以由零点存在定理得函数f(x)＝e －x －4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫－12，－14.故选B. 2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图象可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图象应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图象，可得交点个数为3.【提升训练】5．D [解析] 由于f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13×1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f(1)＝13×1－ln1＝13>0，f(e)＝13×e －lne ＝13e －1<0，则知函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.6．C [解析] 易知f(a)＝0，函数f(x)＝lnx －log 12x 在(0，＋∞)上单调递增，因为0<x0<a ，所以f(x0)<f(a)＝0.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图象知，C 符合函数模型对应的图象．故选C. 8．D [解析] 因为函数f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0.又函数f(x)是周期为3的周期函数，所以f(6)＝f(3)＝f(0)＝0.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝sin πx ，所以f(1)＝0.所以f(4)＝f(1)＝f(－2)＝0.所以f(2)＝f(5)＝0.因为f ⎝⎛⎭⎫32＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫92＝0.综上，函数f(x)在区间[0，6]上的零点有0，1，32，2，3，4，92，5，6共9个．9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图象(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.11．40 [解析] 设相同时间间隔为t1小时，第10台投入工作至收割完成为t2小时，则第1，2，3，4，5，6，7，8，9台投入工作的时间依次为9t1＋t2，8t1＋t2，…，t1＋t2小时．因为采用第一种方案总共用24小时完成，所以每台收割机每小时完成收割任务的1240.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧9t1＋t2＝5t2，1240[（9t1＋t2）＋（8t1＋t2）＋…＋t2]＝1，解得t2＝8.故采用第二种方案时第一台收割机投入工作的时间为5t2＝40(小时)．12．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23， 则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t ≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14，g （0），14<a ≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a ≤12.∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标． 14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h ′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0， 即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]． 专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B. 2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2×(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] |x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，由题意，有4≤a 2－3a ，解得a≤－1，或a≥4. 6．A [解析] 依题意，a2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a2≤1，求得－1≤a≤1.7．B [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x －2y ＋3≥0，x≥0的可行域，如图中的阴影部分所示，设w ＝2x ＋y ，由图知，当取点A(1，2)时，w 取得最大值为2×1＋2＝4，此时z ＝2x ＋y ＋4的最大值为4＋4＝8.故选B.8．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12×2×1＝1.故选A.9．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ·3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127×2b a ·a b ＝257＋247＝7. 10．A [解析] 由f(x)是奇函数知f(0)＝lg(2＋a)＝0，解得a ＝－1，那么由f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1<0＝lg1，得21－x －1<1，即x x －1>0，解得x<0或x>1，又知其定义域为21－x －1>0，即x ＋1x －1<0，解得－1<x<1，综上可得－1<x<0.故选A.11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8.12．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析] 当x≤－1时，不等式可化为－(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x<－1；当－1<x<2时，不等式可化为(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x<－1，无解；当x≥2时，不等式可化为(x ＋1)＋(2x －4)>6，解得x>3；故不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．－18 6 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y2－x≤0，x ＋y≤2表示的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y2－x ＝0，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故两交点分别为A(1，1)，B(4，－2)．设z ＝2x ＋y ，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点B(4，－2)时，z ＝2x ＋y 有最大值，且zmax ＝6；当直线z ＝2x＋y 与抛物线y2－x ＝0相切时，z ＝2x ＋y 有最小值，此时由⎩⎪⎨⎪⎧y2－x ＝0，z ＝2x ＋y ，消去y 得4x2－(4z＋1)x ＋z2＝0，令Δ＝(4z ＋1)2－16z2＝0，解得z ＝－18.故zmin ＝－18.故2x ＋y 的最小值为－18，最大值为6. 专题限时集训(四)B 【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] |x －1|＋|x －6|≥|(x －1)－(x －6)|＝5，故要使不等式|x －1|＋|x －6|>m 恒成立，须满足m<5.3．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb . ∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb ，a>0，b<0.∴－ab >0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 不等式x2－x －6x －1>0可化为(x ＋2)(x －3)(x －1)>0，由数轴标根法可知，解集为{x|－2<x<1，或x>3}．6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x .故选C.8．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12×π×22＝2π.9．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋2 2.10．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] 由题意，对任意x ∈R ，|x －a|＋|x ＋2|>2恒成立，因为|x－a|＋|x ＋2|≥|(x －a)－(x ＋2)|＝|2＋a|，所以需满足|2＋a|>2，得2＋a>2，或2＋a<－2，解得a>0，或a<－4.11．10 [解析] 设应把楼房设计成x 层，每层的面积为y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y×400＋y×440＋…＋y×[400＋40（x －1）]xy ＝2 000x＋20x ＋380≥22 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x ＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．12．[－1，11] [解析] 作出x ，y 满足的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．当x≥0时，z ＝2x ＋y 在点C(6，－1)处取得最大值11，在点D(0，－1)处取最小值－1；当x≤0时，目标函数z ＝－2x ＋y 在点B (－2，－1)处取最大值3，在点D(0，－1)处取最小值－1，所以z ∈[－1，11]． 专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b ＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3，∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3， ∴0≤α<π2或2π3≤α<π.6．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 7．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x 在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图象先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图象符合要求．8．B [解析] f′(x)＝1x －x ＝1－x2x ，当x>1时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，故排除C ，D 项；因为f(1)＝－12<0，故排除A 项．9．D [解析] 根据二次函数图象知f(0)＝a ∈(0，1)，f(1)＝1－b ＋a ＝0，即b －a ＝1，所以b ∈(1，2)．又g′(x)＝2x ＋2x －b ，所以g′(b)＝2b ＋b≥22b ·b ＝22，当且仅当2b ＝b ，即b ＝2时取等号，故g′(b)min ＝2 2.故选D.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11.13 [解析] 本题考查函数的单调性，多项式函数的求导．f′(x)＝3kx2＋6(k －1)x(k>0)，由题意，f′(x)<0的解集是(0，4)，所以f′(0)＝0，f′(4)＝0，解得k ＝13.12．①1 ②h(0)<h(1)<h(－1) [解析] 本题考查二次函数和三次函数的导数及其图象，求值，比较大小等．①由题意，f′(x)是一次函数，g′(x)是二次函数．所以由图象可得f′(x)＝x ，g′(x)＝x2.设f(x)＝12x2＋c(c 为常数)．若f(1)＝1，则12×12＋c ＝1，解得c ＝12.所以f(x)＝12x2＋12.故f(－1)＝1.②由①得，可设f(x)＝12x2＋c1，g(x)＝13x3＋c2，则h(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋c1－13x3－c2＝－13x3＋12x2＋c3.所以h(－1)＝56＋c3，h(0)＝c3，h(1)＝16＋c3.所以h(0)<h(1)<h(－1)． 13．解：(1)当a ＝1时，f′(x)＝1＋1x ⇒f ′⎝⎛⎭⎫12＝3. (2)由题知f′(x)＝a ＋1x (x>0)，当a≥0时，f′(x)＝a ＋1x >0，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f′(x)＝a ＋1x >0⇒0<x<－1a ， ∴当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)， 当a<0时，f(x)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，－1a . (3)由题知对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0，1]，使得f(x1)<g(x2)，故f(x)max<g(x)max ，又g(x)＝2x 在区间[0，1]上递增，所以g(x)max ＝g(1)＝2， 即f(x)max<2，当a≥0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无最大值，显然不满足条件； 当a<0时，f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 所以f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 即－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a <2⇒a<－1e3，∴a<－1e3. 14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae ；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae . (2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)当x<1时，f ′(x)＝－3x2＋2ax ＋b.因为函数图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0. 所以切点坐标为(－2，12)，且⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝8＋4a －2b ＝12，f′（－2）＝－12－4a ＋b ＝－16，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，当x<1时，f(x)＝－x3＋x2， 令f ′(x)＝－3x2＋2x ＝0可得x ＝0或x ＝23，f(x)在(－1，0)和23，1上单调递减，在0，23上单调递增，对于x<1部分：f(x)的最大值为max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （－1），f 23＝f(－1)＝2；当1≤x≤2时，f(x)＝c·lnx ， 当c≤0时，c·lnx ≤0恒成立，f(x)≤0<2， 此时f(x)在[－1，2]上的最大值为f(－1)＝2；当c>0时，f(x)＝clnx 在[1，2]上单调递增，且f(2)＝c·ln2. 令c·ln2＝2，则c ＝2ln2，所以当c>2ln2时， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝c·ln2；当0<c≤2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为f(－1)＝2. 综上可知，当c≤2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为2；当c>2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为c·ln2.(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2（x<1），clnx （x≥1），根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设M(－t ，t3＋t2)，N(t ，f(t))，(t>0)．若t<1，则f(t)＝－t3＋t2，由∠MON 是直角得，OM →·ON →＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，即t4－t2＋1＝0.此时无解； 若t≥1，则f(t)＝c·lnt.由于MN 的中点在y 轴上，且∠MON ＝90°，所以N 点不可能在x 轴上，即t≠1.同理有OM →·ON →＝0，即－t2＋(t3＋t2)·clnt ＝0，c ＝1（t ＋1）lnt .由于函数g(t)＝1（t ＋1）lnt (t>1)的值域是(0，＋∞)，则实数c 的取值范围是(0，＋∞)． 专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°·cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22.方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22.2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2×3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C.7．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3，因为f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f π7，所以c<a<b.8．B [解析] 不妨设A>0，由图象可知，A ＝2，又函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，2，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z)．故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.所以f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1.故选B.9．D [解析] f(x)＝cosx ，f′(x)＝－sinx ，又f(x －m)＝cos(x －m)＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π2，由题意，－sinx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π2，所以－m －π2＝2k π，得m ＝－2k π－π2(k ∈Z)．则m 可以为3π2.故选D.10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx ＝13.故填13.11.74 [解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin ＝74.故填74.12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图象，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)由题得AC →＝(3cos α－4，3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4)． 由|AC →|＝|BC →|，得(3cos α－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α. 因为α∈(－π，0)， 所以α＝－3π4.(2)由AC →·BC →＝0，得3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716，所以2sin2α＋sin2α1＋tan α＝2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a. 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时， f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a.由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3， 列表如下：图象如图．(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ， 即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z. ∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z . 专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B. 2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．A [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－cos2x ，结合各选项可知其对称轴方程为x ＝－π2.故选A.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π－π6()k ∈Z .又φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.故选D.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．B [解析] 由图可知，A ＝10，函数I ＝Asin (ωt ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以2πω＝150，解得ω＝100π.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10，代入得sin ⎝⎛⎭⎫100π×1300＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又0<φ<π2，所以φ＝π6.故函数I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6.所以当t ＝150时，电流强度I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100π×150＋π6＝5.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13.11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565. 12．4 [解析] 由h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50知其最小正周期为T ＝2ππ6＝12，即摩天轮转动一周的时间为12 min.由h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50>70(0≤t≤12)，解得4<t<8.所以持续时间为4 min.13．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4.①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图象关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤.14．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形ABC 区域)如图所示， 其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．于是0≤θ≤π2.又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 15．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f(x)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32， ∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2，∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)．(2)y ＝f(x)的图象向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2， 解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．16．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3 ＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3， 又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1. 专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC ，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.2．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ·2RsinB ·sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.3．A [解析] 由sinC ＝23sinB 及正弦定理得c ＝23b ，代入a2－b2＝3bc 中，得a ＝7b.所以由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝b2＋（23b ）2－（7b ）22b ·23b ＝32，所以A ＝30°. 4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA ＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a ＝34. 7．A [解析] 设楼顶D 对应的楼底记为E ，过点D 作DC ∥BE ，则由AC CD ＝tan30°，即AC20＝33，解得AC ＝2033.由BC CD ＝tan45°，即BC20＝1，解得BC ＝20.所以AB ＝AC ＋BC ＝20⎝⎛⎭⎫1＋33 m.8．A [解析] 在Rt △ABC 中，由正切函数的定义，得tan β＝AB BC ，所以BC ＝ABtan β.同理，BD ＝AB tan α.所以BD －BC ＝AB tan α－ABtan β＝DC ＝a.所以AB ＝atan αtan βtan β－tan α＝asin αsin βsin （β－α）.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC 可得，a ∶b ∶c ＝si nA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22×2k ×3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ×BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ×BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝ACsinB 可得，AC ＝BC ·sinB sinA ＝10×101032＝233.12．解：(1)tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－23＋151－23×15＝－1， 又0<C<π， ∴C ＝3π4.(2)由已知和(1)知：c ＝13，b 为最小边长． ∵tanB ＝15， ∴sinB ＝2626， ∴b ＝csinBsinC ＝1， ∴最小的边长为1.13．解：(1)f(x)＝23cos2x 2＋2sin x 2cos x2 ＝3(1＋cosx)＋sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋3，∴f ⎝⎛⎭⎫17π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫17π12－π6＋3＝3－ 2.(2)f(C)＝2cos ⎝⎛⎭⎫C －π6＋3＝3＋1，∴cos ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π2，在Rt △ABC 中，∵b2＝ac ，c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋ac ⇒⎝⎛⎭⎫a c 2＋a c －1＝0， 解得a c ＝－1±52.∵0<sinA<1，∴sinA ＝ac ＝5－12.14．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQsin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t2 h ，小船速度为v1 km/h ， 则t1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t2＝PM v1＋MQ 66＝2.5v1＋3.366＝52v1＋120.由已知，得t2＋120＝t1，即52v1＋120＋120＝25，∴v1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165×33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165×5sin2α－（33－5cos α）cos αsin2α＝5－33cos α165sin2α，∴令t′＝0，得cos α＝533. 当cos α<533时，t′>0；当cos α>533时，t′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地． 专题限时集训(八) 【基础演练】1．A [解析] a －b ＋c －d ＝BA →＋DC →＝0.故选A.2．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°·4cos75°×32＝23sin150°＝ 3.故选B.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.故选C.6．C [解析] 依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＝|a||b|cos60°＝12.于是|a ＋3b|＝（a ＋3b ）2＝|a|2＋6a·b ＋9|b|2＝1＋6×12＋9＝13.故选C.7．A [解析] 连结AD ，BE ，CF 交于点O ，则点O 为正六边形ABCDEF 的中心．故AF →＋ED →＋CB →＝AF →＋(ED →＋EF →)＝AF →＋EO →＝0.故选A.8．C [解析] 由于λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，0)＝(λ＋2，2λ)，而λa ＋b 与c 共线，则有λ＋21＝2λ－2，解得λ＝－1.故选C. 9．A [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|可知，点O 到三角形三个顶点的距离相等，所以点O 是三角形的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得点N 在三角形各边的中线上，故点N 是三角形的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →，得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，所以PB →⊥CA →；同理，PC →⊥AB →，PA →⊥BC →，故点P 是三角形的垂心．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学试题 (文科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 [答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4[答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. 3sincos 2αα==若，则 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 A B.C. D.[答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01 [答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是（ ） A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+） [答案]：A[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A 。
2013江西数学高考文科试题含解析
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：z ＝i(－2－i)＝1－2i ，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2．(2013江西，文2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4 答案：A解析：当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时．由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.故选A.3．(2013江西，文3)若sin2α=，则cos α＝( )．A ．23-B ．13-C ．13D ．23答案：C解析：cos α＝212sin 2α-211233⎛=-⨯= ⎝⎭.故选C. 4．(2013江西，文4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．A ．23 B ．12 C ．13 D ．16答案：C解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163=.故选C. 5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依A ．答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案：A解析：原不等式等价于230,1,x x x >⎧⎨<<⎩①或230,1,x x x <⎧⎨>>⎩② ①无解，解②得x ＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜11 答案：B解析：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”．故选B.8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π 答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V ＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A. 9．(2013江西，文9)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )．A ．2B ．1∶2C ．1D ．1∶3 答案：C解析：射线F A 的方程为x ＋2y －2＝0(x ≥0)．如图所示，知tan α＝12，∴sin α.由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴||||sin||||5FM MG MN MN α====.故选C.10．(2013江西，文10)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为( )．答案：B解析：假设经过t 秒后，圆心移到O 1，则有∠EO 1F ＝2∠AO 1F ，且cos ∠AO 1F ＝1－t .而x ＝1·∠EO 1F ，∴y ＝cos x ＝cos ∠EO 1F ＝cos 2∠AO 1F ＝2cos 2∠AO 1F －1＝2(1－t )2－1＝2t 2－4t ＋1＝2(t －1)2－1，t ∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝2010--＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n＝212 12n(-)-＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)设f(x)3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f(x)x＋cos 3x＝2sinπ36x⎛⎫+⎪⎝⎭∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．答案：22325 (2)24 x y⎛⎫-++=⎪⎝⎭解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)．设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴32t=-，半径2254r=.所以圆C的方程为22325 (2)24 x y⎛⎫-++=⎪⎝⎭.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足：2n a －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令1(1)n nb n a =+，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2n a －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，1(1)n n b n a =+，则11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭，111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭ 111212(1)nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若2π3C =，求ab的值． 解：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B .由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由2π3C =，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ， 即有5ab －3b 2＝0，所以35a b =.18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA ·5OA，共1种； 数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA，共4种； 数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为1715p =； 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝41111515-=. 19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE在Rt △CFB 中，BC .在△BEC 中，因为BE ＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC .由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解：三棱锥EA 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111A B C S ∆.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1同理，EC 1，A 1E故11A C E S ∆＝设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11A C E S ∆，=，5d =.20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率2e =，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解：(1)因为ce a ==， 所以a =，b =.代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭，①①代入2214xy+=，解得P222824,4141k kk k⎛⎫--⎪++⎝⎭.直线AD的方程为：112y x=+.②①与②联立解得M424,2121k kk k+⎛⎫ ⎪--⎝⎭.由D(0,1)，P222824,4141k kk k⎛⎫--⎪++⎝⎭，N(x,0)三点共线知22241014182041kkk xk---+=---+，解得N42,021kk-⎛⎫⎪+⎝⎭.所以MN的斜率为m＝22404212121424222122142121kk k kkk k k kk k-(+)+-==+-(+)-(-)--+，则2m－k＝21122kk+-=(定值)．方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则02ykx=-，直线AD的方程为：1(2)2y x=+，直线BP的方程为：0(2)2yy xx=--，直线DP的方程为：011yy xx--=，令y＝0，由于y0≠1可得N0,01xy⎛⎫-⎪-⎝⎭，联立12,22,2y xyy xx⎧=(+)⎪⎪⎨⎪=(-)-⎪⎩解得M00000004244,2222y x yy x y x⎛⎫+-⎪-+-+⎝⎭，因此MN的斜率为m＝00000000422424221yy xy x xy x y-++-+-+-＝002200000414844y yy y x y x(-)-+-+＝00220000041484444y yy y x y y(-)-+-(-)+＝000122y y x -+-，所以2m －k ＝0000021222y yy x x (-)-+--＝0000000021222222y x y y x y x x (-)(-)-(+-)(+-)(-)＝20000000021222222y x y y x y x x (-)(-)--(-)(+-)(-)＝2000000001212(4)22222y x x y x y x x (-)(-)---(-)(+-)(-)＝12(定值)． 21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a ax a x a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)．(1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (a 2,0)，记△ABC 的面积为S (a )，求S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：(1)当12a =时，1233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)f (f (x ))＝22222210,1(),(1)1()1(1)1(1)1 1.(1)x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩，，，，，当0≤x ≤a 2时，由21x x a =解得x ＝0， 因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++∈(a 2，a )，因2222111111a a a f a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅=≠ ⎪-++-++-++-++⎝⎭，故21ax a a =-++为f (x )的二阶周期点：当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由211a (-)(x －a )＝x 解得12x a=-∈(a ，a 2－a ＋1)， 因111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 故12x a=-不是f (x )的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x ≤1时， 由1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++∈(a 2－a ＋1,1)，因211f a a ⎛⎫⎪-++⎝⎭＝2221111(1)111a a a a a a a a ⎛⎫⋅-=≠ ⎪--++-++-++⎝⎭， 故211x a a =-++为f (x )的二阶周期点．因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. (3)由(2)得A 22,11a a a a a a ⎛⎫⎪-++-++⎝⎭， B 2211,11a a a a ⎛⎫⎪-++-++⎝⎭， 则221(1)()21a a S a a a -=⋅-++，32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++， 因为a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有a 2＋a ＜1，所以32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++＝22221[111]>021a a a a a a a (+)(-)+(--)⋅(-++). (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2， g ′(a )＝3a 2－4a －2＝22333a a ⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭， 因a ∈(0,1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为15028g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故对于任意a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0，32221(222)'()02(1)a a a a S a a a --+=⋅>-++)，则S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故S(a)在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11333S⎛⎫=⎪⎝⎭，最大值为11220S⎛⎫=⎪⎝⎭.。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十三)(江西省专用)
专题限时集训(二十三)[第23讲 坐标系与参数方程](时间：30分钟)1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．2．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，圆ρ＝2的圆心到直线ρcos θ＋ρsin θ＝2的距离为________．[来源:学§科§网]4．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ与曲线θ＝π6的交点的极坐标为________．5．已知圆ρ＝3cos θ，则圆截直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)所得的弦长为________． 6．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．7．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2sin θ，过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4作曲线的切线，则切线长为________．8．曲线C1：y ＝|x|，C2：x ＝0，C3的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1－t(t 为参数)，那么C1，C2，C3围成的图形的面积为________．9．将圆M ：x2＋y2＝a(a>0)的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，正好与直线x －y －1＝0相切．若以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆M 的极坐标方程为________．10．直线l ：ρ＝a －2cos θ＋2sin θ(极轴与x 轴的正半轴重合，且单位长度相同)， 圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．若直线l 被圆C 截得的弦长为655，则a 的值为________． 11．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上，则|AB|的最小值为________．12．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)和曲线ρ＝12上，则|AB|的取值范围是________． 13．已知抛物线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2，y ＝8t (t 为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r ＝________．14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，经过点D ⎝⎛⎭⎫2，π3的圆，且曲线C1经过曲线C2的圆心．若点A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2在曲线C1上，则1ρ21＋1ρ2的值为________．。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十)(江西省专用)
专题限时集训(二十)[第20讲 分类与整合思想和化归与转化思想](时间：45分钟)1．若函数f(x)＝x －4mx2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫0，342．抛物线x2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知平面内的向量OA →，OB →满足：|OA →|＝2，(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝0，且OA →⊥OB →，又OP →＝λ1OA →＋λ2OB →，0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，则满足条件点P 所表示的图形面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．14．Sn 是数列{an}的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{an}为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx ＋c 在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈(－1，1)，x2∈(2，4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11，3)6．设a>0，a≠1，函数f(x)＝logax 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差小于1，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)∪(1，＋∞)B ．0，12∪(2，＋∞)C.12，1∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an ＋1＝|an －an －1|(n≥2)，则该数列前2 012项和等于( )A ．1 340B ．1 341C ．1 342D ．1 3438．设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x －3ax ＋3)，则使f(x)>0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(loga2，0)D ．(loga2，＋∞)9．若cos π2＋α＝2sin α－π2，则sin (α－2π)sin (α－π)－sin 5π2＋αsin 3π2－α＝________． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥x ，4x ＋3y≤12，则2y －3x ＋1的最大值为________． 11．如图20－1，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB ＝18，从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，则绳子的最短长度为________．图20－112．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．13．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q(a)．14．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(x ，y －2)，b ＝(kx ，y ＋2)(k ∈R)，若|a ＋b|＝|a －b|.(1)求动点M(x ，y)的轨迹T 的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当k ＝43时，已知F1(0，－1)，F2(0，1)，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，且满足|PF1|－|PF2|＝1，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问：是否存在以PQ 为直径的圆G 过点F2？若存在，求出圆G 的方程；若不存在，请说明理由．。
江西高考2013年数学试卷解析及考题分析详细介绍
江西高考2013年数学试卷解析及考题分析详细介绍Title: Analysis and Detailed Explanation of the Jiangxi College Entrance Examination 2013 Mathematics PaperIntroduction:The Jiangxi College Entrance Examination is a crucial test for high school students in Jiangxi province, China. In this article, we will provide a comprehensive analysis and detailed explanation of the 2013 Mathematics paper. By understanding the exam questions and their solutions, students can better prepare for future exams and improve their overall mathematical skills.题目：江西高考2013年数学试卷解析及考题分析详细介绍简介：江西高考对江西省的高中学生来说是一项至关重要的考试。
在本文中，我们将对2013年数学试卷进行全面的解析和详细的介绍。
通过了解考题及其解答，学生们可以更好地为将来的考试做准备，并提高他们的数学能力。
Analysis and Explanation:1. Multiple Choice Questions:The multiple-choice questions in the 2013 Mathematics paper covered various topics such as algebra, geometry, and calculus. These questions tested students' understanding of concepts, problem-solving skills, and ability to apply mathematical knowledge in real-life situations. It is important for students to carefully read and analyze each question before selecting the most appropriate answer.解析与说明：1. 选择题：2013年数学试卷中的选择题涵盖了代数、几何和微积分等各种主题。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：作业手册详答(湖北省专用)
专题限时集训(一)A 【基础演练】1．A [解析] 依题意得B ＝{x|－2<x<1}，故A ∪B ＝{x|－2<x<4}．2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8. 3．B [解析] 根据特称命题的否定得命题綈p 应为：∀x ∈0，π2，sinx ≠12.4．D [解析] D 项中，当φ＝π2时，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，故D 项错误；A ，B ，C 项都易验证是正确的．故选D.【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图象可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 7．C [解析] 当“A>B”时，因为sinA －sinB ＝2cos A ＋B 2sin A －B 2，易知A ＋B 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，A －B2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos A ＋B 2>0，sin A －B 2>0.可以推得sinA>sinB.当“sinA>sinB ”时，有sinA －sinB ＝2cos A ＋B 2sin A －B 2>0，又由上得cos A ＋B 2>0，所以sin A －B 2>0，所以A －B 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，即A －B ∈(0，π)，可以推得A>B.故“A>B”是“sinA>sinB ”的充分必要条件．故选C. 8．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．9．B [解析] 对于①，显然m≠0，故由am2<bm2两边同时除以m2，得a<b.故①正确．对于②，因为x 是任意正数，所以不等式2x ＋a x ≥1等价于a≥x －2x2＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18.因为不等式恒成立，所以a≥18.故②正确．对于③，命题“∃x ∈R ，x2－x>0”的否定是“∀x ∈R ，x2－x≤0”，故③错误．对于④，若命题p ∧q 为假，则p 和q 至少有一个为假，不可以推得命题p ∨q 为假命题；但当命题p ∨q 为假时，则p 和q 都为假，可以推得命题p ∧q 为假命题；故“p ∧q 为假命题”是“p ∨q 为假命题”的必要不充分条件，故④错误．综上，正确的个数为2.故选B. 10．∀x ∈R ，x>1且x2≤4 [解析] 因为特称命题p ：∃x0∈M ，p(x0)的否定为綈p ：∀x ∈M ，綈p(x)，所以题中命题的否定为“∀x ∈R ，x>1且x2≤4”．11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．①④ [解析] 对于①，“∃x0∈R ，2x0>3”的否定是“∀x ∈R ，2x ≤3”，所以①正确；对于②，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3·cos2x＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x 0)＝0，故③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 专题限时集训(一)B 【基础演练】1．B [解析] (∁UM )∩N ＝{x|x ∈Z ，x≠－1，0，1}∩{0，1，3}＝{3}．故选B. 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}，则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}， 所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 因为a2－a ＋1＝a －122＋34≥34>0，所以由a －1a2－a ＋1<0得a<1，不能得到|a|<1；反过来，由|a|<1得－1<a<1，所以a －1a2－a ＋1<0.因此“a －1a2－a ＋1<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．4．D [解析] 对于A ，命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，选项B 不正确；对于C ，命题“∃x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“∀x ∈R ，使得x2＋x －1≥0”，因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”是真命题，因此它的逆否命题也为真命题，选项D 正确． 【提升训练】5．B [解析] A ＝{x|x2－x －6<0}＝{x|－2<x<3}，所以A∩B ＝{－1，1，2}，有三个元素．故选B.6．D [解析] 因为∀x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题．7．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.8．A [解析] 对于命题q ，函数f(x)＝x2＋mx ＋9存在零点，等价于Δ＝m2－4×9≥0，等价于m≥6或m≤－6，又{m|m>7}⊂{m|m ≥6}，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A. 9．C [解析] 若xyz ＝0，不妨设x ＝0，则由xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，得yOB →＝－zOC →，故OB →与OC →共线，又它们有公共点O ，所以点O 在直线BC 上．同理，当y ＝0或z ＝0可分别推得点O 在直线AC ，AB 上．故由“xyz ＝0”可以推得“点O 在△ABC 的边所在直线上”；若点O 在△ABC 的边所在直线上，不妨设点O 在直线BC 上，则一定存在实数λ，使得yOB →＋zOC →＝λOB →成立．又xOA →＋yOB →＋zOC →＝0，所以xOA →＋λOB →＝0.因为OA →与OB →不共线，所以x ＝0，λ＝0.同理，当点O 在直线AC ，AB 上时，可以分别推得y ＝0，z ＝0.故由“点O 在△ABC 的边所在直线上”可以推得“xyz ＝0”．故“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的充要条件．故选C.10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2.11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】5．D [解析] 由题意，⎩⎨⎧2－x>0，lgx ≥0，解得1≤x<2.故选D.6．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图象是由函数y ＝logax 的图象向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图象．7．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 8．B [解析] 根据f(x)的图象知0<b<1，a>1，则函数g(x)单调递增，且是由函数h(x)＝logax 向左平移了b(0<b<1)个单位而得到的，故B 项符合． 9．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f （x ），得f(x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f(x)，知6为该函数的一个周期，所以f(107.5)＝⎝⎛⎭⎫6×18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1f ⎝⎛⎭⎫52＝－1f ⎝⎛⎭⎫－52＝－1－10＝110. 10．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.11．7 6 [解析] 因为f(22)＝loga((22)2－1)＝loga7＝1，所以a ＝7. 故f(f(2))＝f[log7(22－1)] ＝2×7log73＝2×3＝6.12．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．A [解析] f(27)＝11＋327＝14，f(f(27))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝0.故选A. 3．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．4．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)． 【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．A [解析] 本题考查函数的奇偶性，周期性，函数求值． f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12.故选A. 7．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．8．D [解析] 由题意，f(12，16)＝f(12，12＋4)＝14(12＋4)f(12，4)＝4f(4，12)＝4f(4，4＋8)＝4×18(4＋8)f(4，8)＝6f(4，4＋4)＝6×14(4＋4)f(4，4)＝12×4＝48.故选D.9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x －1)和y ＝t(|t|<1)的图象(如图)，由图象知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.11．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确． 12．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 本题考查函数零点所在区间的判断．因为f ⎝⎛⎭⎫－14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫－12＝e 12－1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫－14·f ⎝⎛⎭⎫－12<0.又函数f(x)的图象是连续的，所以由零点存在定理得函数f(x)＝e －x －4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫－12，－14.故选B. 2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图象可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图象应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图象，可得交点个数为3.【提升训练】5．D [解析] 由于f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13×1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f(1)＝13×1－ln1＝13>0，f(e)＝13×e －lne ＝13e －1<0，则知函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.6．C [解析] 易知f(a)＝0，函数f(x)＝lnx －log 12x 在(0，＋∞)上单调递增，因为0<x0<a ，所以f(x0)<f(a)＝0.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图象知，C 符合函数模型对应的图象．故选C. 8．D [解析] 因为函数f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0.又函数f(x)是周期为3的周期函数，所以f(6)＝f(3)＝f(0)＝0.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝sin πx ，所以f(1)＝0.所以f(4)＝f(1)＝f(－2)＝0.所以f(2)＝f(5)＝0.因为f ⎝⎛⎭⎫32＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫92＝0.综上，函数f(x)在区间[0，6]上的零点有0，1，32，2，3，4，92，5，6共9个．9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图象(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.11．40 [解析] 设相同时间间隔为t1小时，第10台投入工作至收割完成为t2小时，则第1，2，3，4，5，6，7，8，9台投入工作的时间依次为9t1＋t2，8t1＋t2，…，t1＋t2小时．因为采用第一种方案总共用24小时完成，所以每台收割机每小时完成收割任务的1240.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧9t1＋t2＝5t2，1240[（9t1＋t2）＋（8t1＋t2）＋…＋t2]＝1，解得t2＝8.故采用第二种方案时第一台收割机投入工作的时间为5t2＝40(小时)．12．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23， 则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t ≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14，g （0），14<a ≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a ≤12.∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标． 14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h ′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0， 即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]． 专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B. 2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2×(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] |x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，由题意，有4≤a 2－3a ，解得a≤－1，或a≥4. 6．A [解析] 依题意，a2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a2≤1，求得－1≤a≤1.7．B [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x －2y ＋3≥0，x≥0的可行域，如图中的阴影部分所示，设w ＝2x ＋y ，由图知，当取点A(1，2)时，w 取得最大值为2×1＋2＝4，此时z ＝2x ＋y ＋4的最大值为4＋4＝8.故选B.8．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12×2×1＝1.故选A.9．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ·3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127×2b a ·a b ＝257＋247＝7. 10．A [解析] 由f(x)是奇函数知f(0)＝lg(2＋a)＝0，解得a ＝－1，那么由f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1<0＝lg1，得21－x －1<1，即x x －1>0，解得x<0或x>1，又知其定义域为21－x －1>0，即x ＋1x －1<0，解得－1<x<1，综上可得－1<x<0.故选A.11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8.12．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析] 当x≤－1时，不等式可化为－(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x<－1；当－1<x<2时，不等式可化为(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x<－1，无解；当x≥2时，不等式可化为(x ＋1)＋(2x －4)>6，解得x>3；故不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．－18 6 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y2－x≤0，x ＋y≤2表示的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y2－x ＝0，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故两交点分别为A(1，1)，B(4，－2)．设z ＝2x ＋y ，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点B(4，－2)时，z ＝2x ＋y 有最大值，且zmax ＝6；当直线z ＝2x＋y 与抛物线y2－x ＝0相切时，z ＝2x ＋y 有最小值，此时由⎩⎪⎨⎪⎧y2－x ＝0，z ＝2x ＋y ，消去y 得4x2－(4z＋1)x ＋z2＝0，令Δ＝(4z ＋1)2－16z2＝0，解得z ＝－18.故zmin ＝－18.故2x ＋y 的最小值为－18，最大值为6. 专题限时集训(四)B 【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] |x －1|＋|x －6|≥|(x －1)－(x －6)|＝5，故要使不等式|x －1|＋|x －6|>m 恒成立，须满足m<5.3．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb . ∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb ，a>0，b<0.∴－ab >0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 不等式x2－x －6x －1>0可化为(x ＋2)(x －3)(x －1)>0，由数轴标根法可知，解集为{x|－2<x<1，或x>3}．6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x .故选C.8．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12×π×22＝2π.9．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋2 2.10．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] 由题意，对任意x ∈R ，|x －a|＋|x ＋2|>2恒成立，因为|x－a|＋|x ＋2|≥|(x －a)－(x ＋2)|＝|2＋a|，所以需满足|2＋a|>2，得2＋a>2，或2＋a<－2，解得a>0，或a<－4.11．10 [解析] 设应把楼房设计成x 层，每层的面积为y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y×400＋y×440＋…＋y×[400＋40（x －1）]xy ＝2 000x＋20x ＋380≥22 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x ＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．12．[－1，11] [解析] 作出x ，y 满足的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．当x≥0时，z ＝2x ＋y 在点C(6，－1)处取得最大值11，在点D(0，－1)处取最小值－1；当x≤0时，目标函数z ＝－2x ＋y 在点B (－2，－1)处取最大值3，在点D(0，－1)处取最小值－1，所以z ∈[－1，11]． 专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b ＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3，∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3， ∴0≤α<π2或2π3≤α<π.6．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 7．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x 在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图象先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图象符合要求．8．B [解析] f′(x)＝1x －x ＝1－x2x ，当x>1时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，故排除C ，D 项；因为f(1)＝－12<0，故排除A 项．9．D [解析] 根据二次函数图象知f(0)＝a ∈(0，1)，f(1)＝1－b ＋a ＝0，即b －a ＝1，所以b ∈(1，2)．又g′(x)＝2x ＋2x －b ，所以g′(b)＝2b ＋b≥22b ·b ＝22，当且仅当2b ＝b ，即b ＝2时取等号，故g′(b)min ＝2 2.故选D.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11.13 [解析] 本题考查函数的单调性，多项式函数的求导．f′(x)＝3kx2＋6(k －1)x(k>0)，由题意，f′(x)<0的解集是(0，4)，所以f′(0)＝0，f′(4)＝0，解得k ＝13.12．①1 ②h(0)<h(1)<h(－1) [解析] 本题考查二次函数和三次函数的导数及其图象，求值，比较大小等．①由题意，f′(x)是一次函数，g′(x)是二次函数．所以由图象可得f′(x)＝x ，g′(x)＝x2.设f(x)＝12x2＋c(c 为常数)．若f(1)＝1，则12×12＋c ＝1，解得c ＝12.所以f(x)＝12x2＋12.故f(－1)＝1.②由①得，可设f(x)＝12x2＋c1，g(x)＝13x3＋c2，则h(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋c1－13x3－c2＝－13x3＋12x2＋c3.所以h(－1)＝56＋c3，h(0)＝c3，h(1)＝16＋c3.所以h(0)<h(1)<h(－1)． 13．解：(1)当a ＝1时，f′(x)＝1＋1x ⇒f ′⎝⎛⎭⎫12＝3. (2)由题知f′(x)＝a ＋1x (x>0)，当a≥0时，f′(x)＝a ＋1x >0，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f′(x)＝a ＋1x >0⇒0<x<－1a ， ∴当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)， 当a<0时，f(x)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，－1a . (3)由题知对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0，1]，使得f(x1)<g(x2)，故f(x)max<g(x)max ，又g(x)＝2x 在区间[0，1]上递增，所以g(x)max ＝g(1)＝2， 即f(x)max<2，当a≥0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无最大值，显然不满足条件； 当a<0时，f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 所以f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 即－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a <2⇒a<－1e3，∴a<－1e3. 14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae ；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae . (2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)当x<1时，f ′(x)＝－3x2＋2ax ＋b.因为函数图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0. 所以切点坐标为(－2，12)，且⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝8＋4a －2b ＝12，f′（－2）＝－12－4a ＋b ＝－16，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，当x<1时，f(x)＝－x3＋x2， 令f ′(x)＝－3x2＋2x ＝0可得x ＝0或x ＝23，f(x)在(－1，0)和23，1上单调递减，在0，23上单调递增，对于x<1部分：f(x)的最大值为max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （－1），f 23＝f(－1)＝2；当1≤x≤2时，f(x)＝c·lnx ， 当c≤0时，c·lnx ≤0恒成立，f(x)≤0<2， 此时f(x)在[－1，2]上的最大值为f(－1)＝2；当c>0时，f(x)＝clnx 在[1，2]上单调递增，且f(2)＝c·ln2. 令c·ln2＝2，则c ＝2ln2，所以当c>2ln2时， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝c·ln2；当0<c≤2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为f(－1)＝2. 综上可知，当c≤2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为2；当c>2ln2时，f(x)在[－1，2]上的最大值为c·ln2.(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2（x<1），clnx （x≥1），根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设M(－t ，t3＋t2)，N(t ，f(t))，(t>0)．若t<1，则f(t)＝－t3＋t2，由∠MON 是直角得，OM →·ON →＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，即t4－t2＋1＝0.此时无解； 若t≥1，则f(t)＝c·lnt.由于MN 的中点在y 轴上，且∠MON ＝90°，所以N 点不可能在x 轴上，即t≠1.同理有OM →·ON →＝0，即－t2＋(t3＋t2)·clnt ＝0，c ＝1（t ＋1）lnt .由于函数g(t)＝1（t ＋1）lnt (t>1)的值域是(0，＋∞)，则实数c 的取值范围是(0，＋∞)． 专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°·cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22.方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22.2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2×3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C.7．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3，因为f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f π7，所以c<a<b.8．B [解析] 不妨设A>0，由图象可知，A ＝2，又函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，2，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z)．故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.所以f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1.故选B.9．D [解析] f(x)＝cosx ，f′(x)＝－sinx ，又f(x －m)＝cos(x －m)＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π2，由题意，－sinx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π2，所以－m －π2＝2k π，得m ＝－2k π－π2(k ∈Z)．则m 可以为3π2.故选D.10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx ＝13.故填13.11.74 [解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin ＝74.故填74.12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图象，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)由题得AC →＝(3cos α－4，3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4)． 由|AC →|＝|BC →|，得(3cos α－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α. 因为α∈(－π，0)， 所以α＝－3π4.(2)由AC →·BC →＝0，得3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716，所以2sin2α＋sin2α1＋tan α＝2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a. 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时， f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a.由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3， 列表如下：图象如图．(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ， 即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z. ∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z . 专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B. 2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．A [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－cos2x ，结合各选项可知其对称轴方程为x ＝－π2.故选A.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π－π6()k ∈Z .又φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.故选D.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．B [解析] 由图可知，A ＝10，函数I ＝Asin (ωt ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以2πω＝150，解得ω＝100π.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10，代入得sin ⎝⎛⎭⎫100π×1300＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又0<φ<π2，所以φ＝π6.故函数I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6.所以当t ＝150时，电流强度I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100π×150＋π6＝5.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13.11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565. 12．4 [解析] 由h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50知其最小正周期为T ＝2ππ6＝12，即摩天轮转动一周的时间为12 min.由h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50>70(0≤t≤12)，解得4<t<8.所以持续时间为4 min.13．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4.①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图象关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤.14．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形ABC 区域)如图所示， 其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．于是0≤θ≤π2.又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 15．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f(x)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32， ∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2，∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)．(2)y ＝f(x)的图象向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2， 解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．16．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3 ＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3， 又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1. 专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC ，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.2．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ·2RsinB ·sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.3．A [解析] 由sinC ＝23sinB 及正弦定理得c ＝23b ，代入a2－b2＝3bc 中，得a ＝7b.所以由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝b2＋（23b ）2－（7b ）22b ·23b ＝32，所以A ＝30°. 4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA ＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a ＝34. 7．A [解析] 设楼顶D 对应的楼底记为E ，过点D 作DC ∥BE ，则由AC CD ＝tan30°，即AC20＝33，解得AC ＝2033.由BC CD ＝tan45°，即BC20＝1，解得BC ＝20.所以AB ＝AC ＋BC ＝20⎝⎛⎭⎫1＋33 m.8．A [解析] 在Rt △ABC 中，由正切函数的定义，得tan β＝AB BC ，所以BC ＝ABtan β.同理，BD ＝AB tan α.所以BD －BC ＝AB tan α－ABtan β＝DC ＝a.所以AB ＝atan αtan βtan β－tan α＝asin αsin βsin （β－α）.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC 可得，a ∶b ∶c ＝si nA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22×2k ×3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ×BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ×BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝ACsinB 可得，AC ＝BC ·sinB sinA ＝10×101032＝233.12．解：(1)tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－23＋151－23×15＝－1， 又0<C<π， ∴C ＝3π4.(2)由已知和(1)知：c ＝13，b 为最小边长． ∵tanB ＝15， ∴sinB ＝2626， ∴b ＝csinBsinC ＝1， ∴最小的边长为1.13．解：(1)f(x)＝23cos2x 2＋2sin x 2cos x2 ＝3(1＋cosx)＋sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋3，∴f ⎝⎛⎭⎫17π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫17π12－π6＋3＝3－ 2.(2)f(C)＝2cos ⎝⎛⎭⎫C －π6＋3＝3＋1，∴cos ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π2，在Rt △ABC 中，∵b2＝ac ，c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋ac ⇒⎝⎛⎭⎫a c 2＋a c －1＝0， 解得a c ＝－1±52.∵0<sinA<1，∴sinA ＝ac ＝5－12.14．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQsin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t2 h ，小船速度为v1 km/h ， 则t1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t2＝PM v1＋MQ 66＝2.5v1＋3.366＝52v1＋120.由已知，得t2＋120＝t1，即52v1＋120＋120＝25，∴v1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165×33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165×5sin2α－（33－5cos α）cos αsin2α＝5－33cos α165sin2α，∴令t′＝0，得cos α＝533. 当cos α<533时，t′>0；当cos α>533时，t′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地． 专题限时集训(八) 【基础演练】1．A [解析] a －b ＋c －d ＝BA →＋DC →＝0.故选A.2．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°·4cos75°×32＝23sin150°＝ 3.故选B.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.故选C.6．C [解析] 依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＝|a||b|cos60°＝12.于是|a ＋3b|＝（a ＋3b ）2＝|a|2＋6a·b ＋9|b|2＝1＋6×12＋9＝13.故选C.7．A [解析] 连结AD ，BE ，CF 交于点O ，则点O 为正六边形ABCDEF 的中心．故AF →＋ED →＋CB →＝AF →＋(ED →＋EF →)＝AF →＋EO →＝0.故选A.8．C [解析] 由于λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，0)＝(λ＋2，2λ)，而λa ＋b 与c 共线，则有λ＋21＝2λ－2，解得λ＝－1.故选C. 9．A [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|可知，点O 到三角形三个顶点的距离相等，所以点O 是三角形的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得点N 在三角形各边的中线上，故点N 是三角形的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →，得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，所以PB →⊥CA →；同理，PC →⊥AB →，PA →⊥BC →，故点P 是三角形的垂心．。
2013年高考文科数学江西卷-答案
（Ⅱ）根据题意，可算出三棱锥 E A1B1C1 的体积．根据线面垂直的性质和勾股定理，分别算出 A1C1 EC1 ，
EA1 的值，从而得到等腰 S△A1C1E 3 5 ，设距离为 d 可得三棱锥 B1 EA1C1 的体积，由此即可解出点 B1 到
平面 EA1C1 的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面垂直的判定
在 BCE中，因为BE2 BC2 9 EC2 ，故 BE BC 由 BB1 平面 ABCD ，得 BE BB1 ，所以 BE 平面 BB1C1C ．
（Ⅱ）三棱锥 E
A1B1C1 的体积V
1 3
AA1
S△A1B1C1
2r
5/8
在 RtA1D1C1 中 A1C1 A1D12 D1C12 3 2 ，同理， EC1 EC2 CC12 3 2 ，
| HN | | OA | 2
点，建立直线与抛物线之间的位置关系，接着运用相似三角形的判定定理及性质，再求解线段长度的比例．
2/8
【考点】抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系 10.【答案】B 【解析】如图：
圆半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 ，则 x ，
如图所示， cos 1 t ，即 cos x 1 t ，则 y cos x 2cos2 x 1 2(1 t)2 1 2(t 1)2 1(0 t 1) ．
3/8
【解析】设 f (x)
3 sin 3x cos3x ，由于 f (x)
3 sin 3x
cos 3 x
2 sin
3
x
π 6
则|
f
(x) |
高考文科数学江西卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝i(－2－i)＝1－2i ，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2．(2013江西，文2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．0D ．0或4 答案：A解析：当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时．由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.故选A.3．(2013江西，文3)若sin2α=，则cos α＝( )．A ．23-B ．13-C ．13D ．23答案：C解析：cos α＝212sin2α-211233⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选C. 4．(2013江西，文4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．A ．23 B ．12 C ．13 D ．16答案：C解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163=.故选C. 5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D. 6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案：A解析：原不等式等价于230,1,x x x >⎧⎨<<⎩①或230,1,x x x <⎧⎨>>⎩② ①无解，解②得x ＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11答案：B解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B. 8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()．A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A.9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2B．1∶2 C．1D．1∶3答案：C解析：射线F A的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．如图所示，知tan α＝12，∴sin α由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴||||sin||||FM MG MN MN α====故选C. 10．(2013江西，文10)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为( )．答案：B解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F＝1－t.而x＝1·∠EO1F，∴y＝cos x＝cos ∠EO1F＝cos 2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t －1)2－1，t∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝2010--＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n＝21212n (-)-＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)设f (x )3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f (x )x ＋cos 3x ＝2sin π36x ⎛⎫+⎪⎝⎭∈[－2,2]，又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥2. 14．(2013江西，文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．答案：22325(2)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解析：圆心在直线x ＝2上，所以切点坐标为(2,1)． 设圆心坐标为(2，t )，由题意，可得4＋t 2＝(1－t )2，∴32t =-，半径2254r =. 所以圆C 的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO ⊥平面CED ，则EO ⊥CD ，FO 与正方体的侧棱平行，所以平面EOF 一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足：2n a －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令1(1)n nb n a =+，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2n a －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，1(1)n nb n a =+，则11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭，111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭L 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sinB ＋sin B sinC ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若2π3C =，求ab的值． 解：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B .由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由2π3C =，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ， 即有5ab －3b 2＝0，所以35a b =.18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r，共1种；数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·5OA u u u u r，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u u r ，4OA u u u u r ·6OA u u u u r ，共4种；数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u u r ·5OA u u u u r ，5OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为1715p =； 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝41111515-=. 19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE在Rt △CFB 中，BC .在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2， 故BE ⊥BC .由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解：三棱锥EA 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111A B C S ∆.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1.同理，EC 1A 1E故11A C E S ∆＝设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11A C E S ∆，=d =.20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率e =，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解：(1)因为2c e a ==， 所以a =，b =.代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭，① ①代入2214x y +=，解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为：112y x =+.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭.由D (0,1)，P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N (x,0)三点共线知222410141820041kk k x k ---+=---+，解得N 42,021k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以MN 的斜率为m ＝22404212121424222122142121kk k k k k k k k k k -(+)+-==+-(+)-(-)--+， 则2m －k ＝21122k k +-=(定值)．方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则002y k x =-，直线AD 的方程为：1(2)2y x =+，直线BP 的方程为：00(2)2y y x x =--， 直线DP 的方程为：0011y y x x --=，令y ＝0，由于y 0≠1可得N 00,01x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 联立0012,22,2y x y y x x ⎧=(+)⎪⎪⎨⎪=(-)-⎪⎩解得M 00000004244,2222y x y y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭，因此MN 的斜率为m ＝000000000422424221y y x y x x y x y -++-+-+-＝002200000414844y y y y x y x (-)-+-+ ＝00220000041484444y y y y x y y (-)-+-(-)+ ＝000122y y x -+-， 所以2m －k ＝0000021222y yy x x (-)-+-- ＝0000000021222222y x y y x y x x (-)(-)-(+-)(+-)(-)＝20000000021222222y x y y x y x x (-)(-)--(-)(+-)(-)＝2000000001212(4)22222y x x y x y x x (-)(-)---(-)(+-)(-)＝12(定值)． 21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a a x a x a⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)． (1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (a 2,0)，记△ABC 的面积为S (a )，求S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：(1)当12a =时，1233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)f (f (x ))＝22222210,1(),(1)1()1(1)1(1)1 1.(1)x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩，，，，， 当0≤x ≤a 2时，由21x x a=解得x ＝0， 因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++∈(a 2，a )， 因2222111111a a a f a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅=≠ ⎪-++-++-++-++⎝⎭， 故21a x a a =-++为f (x )的二阶周期点： 当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由211a (-)(x －a )＝x 解得12x a=-∈(a ，a 2－a ＋1)， 因111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 故12x a =-不是f (x )的二阶周期点； 当a 2－a ＋1≤x ≤1时， 由1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++∈(a 2－a ＋1,1)，因211f a a ⎛⎫ ⎪-++⎝⎭＝2221111(1)111a a a a a a a a ⎛⎫⋅-=≠ ⎪--++-++-++⎝⎭， 故211x a a =-++为f (x )的二阶周期点． 因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. (3)由(2)得A 22,11a a a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， B 2211,11a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， 则221(1)()21a a S a a a -=⋅-++，32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++， 因为a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有a 2＋a ＜1， 所以32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++ ＝22221[111]>021a a a a a a a (+)(-)+(--)⋅(-++). (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2，g ′(a )＝3a 2－4a －2＝3a a ⎛- ⎝⎭⎝⎭， 因a ∈(0,1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为15028g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 故对于任意a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0， 32221(222)'()02(1)a a a a S a a a --+=⋅>-++)， 则S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11333S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最大值为11220S ⎛⎫= ⎪⎝⎭.。
2013年高考数学真题(江西卷)文科精编解析word版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:D解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选D .2.(2013江西,文2)若集合A={x ∈R |ax 2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ). A.4 B.2 C.0 D.0或4答案:A解析:当a=0时,显然不成立;当a ≠0时.由Δ=a 2-4a=0,得a=4.故选A . 3.(2013江西,文3)若sin α2=√33,则cos α=( ).A.-23B.-13C.13D.23答案:C解析:cos α=1-2sin 2α2=1-2×(√33)2=13.故选C.4.(2013江西,文4)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( ).A.2 3B.12C.13D.16答案:C解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为26=13.故选C.5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01答案:D解析:所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x<1x<x2成立的x的取值范围是().A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案:A解析:原不等式等价于{x>0,x2<1<x3,①或{x<0,x2>1>x3,②①无解,解②得x<-1.故选A.7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是().A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11答案:B解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,结束.所以填入的条件是“S<9”.故选B.8.(2013江西,文8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为().A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π答案:A解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积V=4×10×5+12×π·32·2=200+9π.故选A .9.(2013江西,文9)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( ). A.2∶√5 B.1∶2C.1∶√5D.1∶3答案:C解析:射线FA 的方程为x+2y-2=0(x ≥0).如图所示,知tan α=12,∴sin α=√55.由抛物线的定义知|MF|=|MG|, ∴|FM ||MN |=|MG ||MN |=sin α=√55=√5.故选C .10.(2013江西,文10)如图,已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y 与时间t(0≤t ≤1,单位:s )的函数y=f(t)的图像大致为( ).答案:B解析:假设经过t 秒后,圆心移到O 1,则有∠EO 1F=2∠AO 1F,且cos ∠AO 1F=1-t.而x=1·∠EO 1F,∴y=cos x=cos ∠EO 1F=cos 2∠AO 1F=2cos 2∠AO 1F-1=2(1-t)2-1=2t 2-4t+1=2(t-1)2-1,t ∈[0,1].故选B .第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013江西,文11)若曲线y=x α+1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 答案:2解析:切线斜率k=2-01-0=2,又y'=αx α-1在点(1,2)处,y'|x=1=α,故α=2.12.(2013江西,文12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51,∴n ≥6.13.(2013江西,文13)设f(x)=√3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是 . 答案:[2,+∞)解析:∵f(x)=√3sin 3x+cos 3x=2sin (3x +π6)∈[-2,2],又∵|f (x )|≤a 恒成立,∴a ≥2.14.(2013江西,文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是 . 答案:(x-2)2+(y +32)2=254解析:圆心在直线x=2上,所以切点坐标为(2,1).设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t 2=(1-t)2,∴t=-32,半径r 2=254. 所以圆C 的方程为(x-2)2+(y +32)2=254.15.(2013江西,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .答案:4解析:作FO ⊥平面CED,则EO ⊥CD,FO 与正方体的侧棱平行,所以平面EOF 一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(2013江西,文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足:a n 2-(2n-1)a n -2n=0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =1(n+1)a n,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由a n 2-(2n-1)a n -2n=0,得(a n -2n)(a n +1)=0.由于{a n }是正项数列,所以a n =2n. (2)由a n =2n,b n =1(n+1)a n ,则b n =12n (n+1)=12(1n -1n+1), T n =12(1-12+12−13+…+1n -1−1n +1n −1n+1)=12(1-1n+1)=n2(n+1).17.(2013江西,文17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin A sin B+sin B sin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=2π3,求a b的值.解:(1)由已知得sin A sin B+sin B sin C=2sin 2B,因为sin B ≠0,所以sin A+sin C=2sin B. 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c 成等差数列. (2)由C=2π3,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a)2=a 2+b 2+ab , 即有5ab-3b 2=0,所以ab =35.18.(2013江西,文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. (1)写出数量积X 的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共1种; 数量积为-1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共6种; 数量积为0的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种; 数量积为1的有OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,共4种. 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为p 1=715;因为去唱歌的概率为p 2=415,所以小波不去唱歌的概率p=1-p 2=1-415=1115.19.(2013江西,文19)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=√2,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE ⊥平面BB 1C 1C; (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则BF=AD=√2,EF=AB-DE=1,FC=2.在Rt △BFE 中,BE=√3. 在Rt △CFB 中,BC=√6.在△BEC 中,因为BE 2+BC 2=9=EC 2, 故BE ⊥BC.由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1, 所以BE ⊥平面BB 1C 1C.(2)解:三棱锥E A 1B 1C 1的体积V=13AA 1·S △A 1B 1C 1=√2.在Rt △A 1D 1C 1中,A 1C 1=√A 1D 12+D 1C 12=3√2. 同理,EC 1=√EC 2+CC 12=3√2,A 1E=√A 1A 2+AD 2+DE 2=2√3. 故S △A 1C 1E =3√5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d,则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积 V=13·d ·S △A 1C 1E =√5d, 从而√5d=√2,d=√105.20.(2013江西,文20)(本小题满分13分)椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,a+b=3.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m.证明:2m-k 为定值.解:(1)因为e=√32=c a,所以a=√3c,b=√3c.代入a+b=3,得c=√3,a=2,b=1. 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)方法一:因为B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线BP 的方程为y=k(x-2)(k ≠0,k ≠±12),① ①代入x 2+y 2=1,解得P (8k 2-24k 2+1,-4k4k 2+1).直线AD 的方程为:y=12x+1.② ①与②联立解得M (4k+22k -1,4k2k -1).由D(0,1),P (8k 2-24k 2+1,-4k4k 2+1),N(x,0)三点共线知-4k 4k 2+1-18k 2-24k 2+1-0=0-1x -0,解得N (4k -22k+1,0). 所以MN 的斜率为m=4k2k -1-04k+22k -1-4k -22k+1=4k (2k+1)2(2k+1)2-2(2k -1)2=2k+14, 则2m-k=2k+12-k=12(定值). 方法二:设P(x 0,y 0)(x 0≠0,±2),则k=y 0x 0-2,直线AD 的方程为:y=12(x+2), 直线BP 的方程为:y=y 0x0-2(x-2),直线DP 的方程为:y-1=y 0-1x 0x,令y=0,由于y 0≠1可得N (-x 0y0-1,0), 联立{y =12(x +2),y =y 0x 0-2(x -2),解得M (4y 0+2x 0-42y-x0+2,4y 02y0-x 0+2),因此MN 的斜率为m=4y 02y 0-x 0+24y 0+2x 0-42y 0-x 0+2+x 0y 0-1=4y 0(y 0-1)4y 02-8y 0+4x 0y 0-x 02+4=4y 0(y 0-1)2-8y000-(4-4y 02)+4=y 0-100-2,所以2m-k=2(y 0-1)00-2−y 00-2=2(y 0-1)(x 0-2)-y 0(2y 0+x 0-2)(2y 00-2)(x 0-2)=2(y 0-1)(x 0-2)-2y 02-y 0(x 0-2)(2y 0+x 0-2)(x 0-2)=2(y 0-1)(x 0-2)-12(4-x 02)-y 0(x 0-2)(2y 00-2)(x 0-2)=12(定值).21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)={1ax ,0≤x ≤a ,11-a(1-x ),a <x ≤1.a 为常数且a ∈(0,1).(1)当a=12时,求f (f (13));(2)若x 0满足f(f(x 0))=x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3)对于(2)中的x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为S(a),求S(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值.解:(1)当a=12时,f (13)=23,f (f (13))=f (23)=2(1-23)=23.(2)f(f(x))={12x ,0≤x ≤a 2,1a (1-a )(a -x ),a 2<x ≤a ,1(1-a )2(x -a ),a <x <a 2-a +1,1a (1-a )(1-x ),a 2-a +1≤x ≤1.当0≤x ≤a 2时,由1a2x=x 解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当a 2<x ≤a 时,由1a (1-a )(a-x)=x 解得x=a-a 2+a+1∈(a 2,a), 因f (a-a 2+a+1)=1a ·a -a 2+a+1=1-a 2+a+1≠a-a 2+a+1, 故x=a-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点: 当a<x<a 2-a+1时,由1(1-a )2(x-a)=x 解得x=12-a ∈(a,a 2-a+1),因f (12-a )=11-a ·(1-12-a )=12-a ,故x=12-a 不是f(x)的二阶周期点; 当a 2-a+1≤x ≤1时, 由1a (1-a )(1-x)=x 解得x=1-a 2+a+1∈(a 2-a+1,1),因f (1-a 2+a+1)=1(1-a )·(1-1-a 2+a+1)=a -a 2+a+1≠1-a 2+a+1, 故x=1-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x 1=a-a 2+a+1,x 2=1-a 2+a+1. (3)由(2)得A (a-a 2+a+1,a-a 2+a+1), B (1-a 2+a+1,1-a 2+a+1), 则S(a)=12·a 2(1-a )-a 2+a+1,S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2, 因为a ∈[13,12],有a 2+a<1, 所以S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2=12·a [(a+1)(a -1)2+(1-a 2-a )](-a 2+a+1)2>0. (或令g(a)=a 3-2a 2-2a+2, g'(a)=3a 2-4a-2 =3(a -2-√103)(a -2+√103), 因a ∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间[13,12]上的最小值为g (12)=58>0,故对于任意a ∈[13,12],g(a)=a 3-2a 2-2a+2>0, S'(a)=12·a (a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2>0),则S(a)在区间[13,12]上单调递增,故S(a)在区间[13,12]上的最小值为S (13)=133,最大值为S (12)=120.。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二)B(江西省专用)
专题限时集训(二)B[第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：30分钟)1．函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( )A ．(0，8]B ．(2，8]C ．(－2，8]D ．[8，＋∞)2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝e|x|C ．y ＝－x2＋3D ．y ＝cosx3．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx ，则有( )A ．f 13<f(2)<f 12B ．f 12<f(2)<f 13C ．f 12<f 13<f(2)D ．f(2)<f 12<f 134．若动点P 的横坐标为x ，纵坐标为y ，使lgy ，lg|x|，lg y －x 2成公差不为0的等差数列，则动点P 的轨迹图形是( )图2－45．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2（8－x ），x≤0，f （x －1）－f （x －2），x>0，则f(3)的值为( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－36．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，f(1)>0，f(2)＝2m －3m ＋1，则m的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32B.⎝⎛⎭⎫－1，32 C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 7．已知x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且M ＝x·2x ＋sinx ·2sinx ，N ＝sinx ·2x ＋x·2sinx ，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤－1，－x ，－1<x<1，x －2，x≥1关于x 的方程f(x －1)＝t(其中|t|<1)的所有根的和为s ，则s 的取值范围是( )A ．(－4，－2)B ．(－3，3)C ．(－1，1)D ．(2，4)9．已知二次函数y ＝n(n ＋1)x2－(2n ＋1)x ＋1，当n 依次取1，2，3，4，…，10时，其图像在x 轴上所截得的线段的长度的总和为( )A ．1 B.1011 C.1211 D.111210．函数y ＝x sinx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图像可能是图2－5中的( )图2－511．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－2x ，x≤0，若f(a)＝3，a ＝________________________________________________________________________.12．已知1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >112log2(a －1)＋712对一切大于1的自然数n 都成立，则实数a 的取值范围是________．13．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，若在区间[－1，1]内至少存在一个实数c ，使f(c)>0，则实数p 的取值范围是________．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题限时集训(十八)
[第18讲 复数、算法与推理证明]
(时间：45分钟)
1．如图18－1，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )
图18－1
A ．12
B ．48
C ．60
D ．144
2．设z1＝1＋i ，z2＝1－i(i 是虚数单位)，则z1z2＋z2z1
＝( ) A ．－i B ．i
C ．0
D ．1
3．如图18－2给出的是计算1＋13＋15＋…＋139的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的
条件是( )
图18－2
A ．i>10
B ．i<10
C ．i>20
D ．i<20
4．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图18－3所示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )
图18－3
A ．4n ＋2
B ．4n －2
C ．2n ＋4
D ．3n ＋3
5．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号座位上(如图18－4)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 012次互换座位后，小兔的座位对应的是( )
图18－4
A ．编号1
B ．编号2
C ．编号3
D ．编号4
7．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，定义如框图18－5表述的运算(其中函数f －1(x)是函数f(x)
的反函数)，若输入x ＝－2，则输出y ＝14，若输入x ＝18
时，则输出y 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D. 3
18－5
18－6
8．算法流程图如图18－6所示，其输出结果是( )
A ．124
B ．125
C ．126
D ．127
9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，x ＋27x3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3
≥4，…，类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N*)，则a ＝( )
A ．n
B ．2n
C ．n2
D ．nn
10．如图18－7是一个程序框图，则输出结果为( )
图18－7
A ．22－1
B ．2 C.10－1 D.11－1
11．某程序框图如图18－8所示，该程序运行后输出的k 的值是( )
图18－8
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为( )
A ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为2R3
B ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为3R3
C ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为439
R3
D ．半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3
13．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 的值为________．
14．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
15．某程序框图如图18－9所示，现将输出(x ，y)值依次记为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)，…；若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝________．
图18－9
16．已知cos π
3＝
1
2，cos
π
5cos
2π
5＝
1
4，cos
π
7cos
2π
7cos
3π
7＝
1
8，…，根据以上等式，可猜
想出的一般结论是________．
17．若对于定义在R上的函数f(x)，其函数图像是连续的，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x成立，则称f(x)是λ－伴随函数．下列关于λ－伴随函数的叙述中不正确的是________．
①f(x)＝0是唯一一个常值λ－伴随函数；
②f(x)＝x2是一个λ－伴随函数；
③1
2－伴随函数至少有一个零点．。