Logistic回归模型及其研究进展

Ps =
s′ =1 s≠ s 0 s
β ( s′ ) γ ( s′ )] 1 + exp [α+ ∑
s′ =1 s≠ s 0
s
β ( s′ ) γ ( s′ )] exp [α i + ∑
Ps = P (y = 2| s)
s
也称随机效应 logistic 模型 , 是基本模型加入随机效应的 发展 , 模型按反应变量是否有序可分为 [ 10 ] : 311 无序反应分类 logistic 模型 模型形式为 : ( s) ( s) ( s) exp (β +β 0 1χij + u j π(ijs) = i- 1 (h) (h) (h) (h) 1 + ∑ (β +β + uj ) 0 1 χ ij
log it P j
(α )
(s) (r) (1 - γ 积分类 , uj(s) 意义同 ( 311) , 协方差矩阵为γ ij ij ) / nij , s≤ r。 参数估计有边际拟似然法 MQL ( marginal quasi2likelihood) 和预测性拟似然法 PQL (predictive quasi2likelihood) 两种方法 。 有学者认为 MQL 估计有估计偏性倾向 , 但是结果 较稳定 ; PQL 估计准确度较高 , 但是水平 2 的单位数较少时 , 有时难 于收敛 [ 11 ] 。有文献报告把两者结合起来计算 [ 12 ] 。 两模型适用于层次结构数据 ( hierarchically structured data)
i=1
β χ exp (α+ ∑ j j)
P=
j=1
P
β χ 1 + exp (α+ ∑ j j)
j=1 P
P
j = 1 , 2 , …, k 为反应变量 Y 的 K 个分类 , 设定第 K 分
条件 logistic 回归模型
Pi ( D | X )
类为参照类 , 与之有关的因素 X T = ( X 1 , X 2 , …, X p ) 。 logit 函数为 :
= ln
p Pj + 1 ( α ) ( α ) β =α + ∑ j i χ i i=1 Pj
α表示相邻之意 , j = 1 , 2 , …, K - 1 , 是在 ( 211 ) 的
logit 函数基础之上推导出的 。
时 , 解决了传统方法低估模型参数的问题 [ 13 ] 。反应变量为有 序分类时 , 迭代收敛快 , 结果易于解释 ; 但是反应变量为无序 分类时 , 如果分类较多则迭代较慢 , 甚至难于收敛 , 结果不易 解释 [ 14 ] , 张岩波等建议应采用不同类作为基本类 , 结合专业 选择合适的模型 , 作出合理的解释 [ 14 ] 。
h=1
=
α β ( s′ ) γ ( s′ )] 1 + exp [ i + ∑
i=1
p
K - 1 , P ( Y ≤j | X ) 为累积概率 , 该模
型也称比例比数模型 (proportional odds model) 。 其 logit 函数为 : P P ( Y ≤j | X) β χ log it [ P ( Y ≤j | X ) ] = ln =α j - ∑ i i i=1 1 - P ( Y ≤j | X) β j = 1 , 2 , …, K - 1 。 Y 值 i 表示 χ i 每提高一个单位 , 提高一个及一个以上等级之比数比的对数值 。模型假定 X j 在 [9 ] β 各级的效应参数β值相等 , 即 β 。 i1 = β i2 = … i ( K - 1) = β i0 该模型较好地解决了反应变量的有序分类对分析结果的影 响的问题 , 是目前公认的比较好的一种有序回归模型 [ 9 ] 。共相 对于用基本模型分析有序分类资料的信息损失情况得到了极大 的改善 , 同时在合并分类的切点选择合适的情况下两者结果相 近 , 估计误差较小 , 稳定性较高 [ 9 ] 。但是与立体模型 [ 6 ] 相比 较其在 “有序”的表现上是模糊的 , 且无法对各相邻组的类之 间作显著性检验 。 21212 立体模型 ( stereotype model) 模型形式为 :
无序反应 logistic 回归模型 [ 6～7 ] 。 211 无 序 反 应 分 类 logistic 模 型 ( Nominal/ unordered logistic model) 该模型要求各分类界限清楚 、不应具有某种自然顺序或等 级划分类别的资料 。 其模型形式为 : T exp (α j +β j X) P ( Y = j | X) = k- 1 T 1 + ∑exp (α i +β i X)
1 基本模型 (Binary logistic regression model) logistic 回归模型从数理统计上可分为 2 种形式 : 非条件 logistic 回归模型
在医学研究中反应变量为多分类的资料 , 应使用多值 lo2
gistic 回归模型 [ 3 ] , 按反应变量是否有序该类模型分为有序 、
4 模糊 logistic 回归模型 (fuzzy logistic regression model)
该模型重点比较有序反应变量的相邻两等级的率 , 此时β i 表示当 X 每提高一个等级 , Y 提高一个等级的比数比之对数 值 。此外可以通过分析第 i 个变量的β i1 , β i2 , …, β i (k - 1) k - 1 个值的趋势 , 分析 Xi 对 Y 的剂量 - 反应关系 [ 9 ] 。当分类较多 时 , 随解释变量个数 [ ( k - 1) (p + 1) ] 的增加 , 模型中需估 计的参数增加很快 , 导致参数估计的效率较低 , 且解释较为困 难[ 8 ] 。
i = 1 , 2 , …, n 为第 i 配对组 , 后者实为 1 ∶ n 配对资料
在 n = 1 时的特例 。 经过 L ogit 变换 , 上述模型分别化为 : β χ β χ logit ( P) =α+ ∑ j j 、 logit ( Pi ( D | X ) ) = α i + ∑ j ij 其中 P 代表阳性事件发生的概率 , D 代表阳性事件 , X j 为各危险因素 。此二式又称为模型的 logit 函数 。 模型参数的估计常采用最大似然法 , 条件 logistic 回归模 型引入条件概率乘法定理构造对数似然函数 ; 非条件 logistic 回归模型引入二项分布概率构造对数似然函数对参数进行估 计 。两模型参数的估计及检验方法完全相同 [ 1 ] , 其似然函数均 可采用 Fisher 得分算法或牛顿 — 纳福生 ( Newton2Rephson) 迭 [2 ] 代法计算 。 logistic 回归模型在医药卫生方面主要应用于 : 探索影响反 应变量的因素 ; 研究在某一定条件下个体呈现某种状态的概 率 ; 比较在不同自变量取值组合下个体呈现某种状态的相对危 险性等 [ 2 ] 。条件 logistic 回归模型主要用于配对资料分析 , 也 可用于可分层的成组资料分析 ; 非条件 logistic 回归模型主要 用于成组资料分析 , 也可用于配对资料 , 但此时会多估计 n 1 个参数 α i , 从而必然要减低估计的精度和可靠性 , 基于此情 况 , 条件 logistic 回归模型优于非条件 logistic 回归模型 。当每 一层的样本量很大时 , 两者的估计结果是近似的 [ 3 ] 。 模型要求资料为大样本 、反应变量为二值变量且相对危险 度是相乘模型的情况 , 当相对危险度为相加模型时 , 应采用 Thomas 提出的生存时间与配对病例 — 对照分析的一般相对危 险度模型 [ 1 ,4 ] ; 线性可分 [ 4 ] 及样本量较少的情况不宜用最大似 然法计算回归参数 [ 4～5 ] 。
预防医学情报杂志 2002 年第 18 卷第 5 期
Logistic 回归模型及其研究进展
刘启军1 综述 曾庆1 审校
[ 关键词 ] Logistic ; 回归模型 ; 研究进展 [ 中图分类号 ] O21211 [ 文献标识码 ] A [ 文献编号 ] 1006 - 4028 ( 2002) 05 - 417 - 03
3 多水平 logistic 统计模型 ( multilevel logistic statistical models)
在基本模型的基础上 , 刘韵源以状态代替变量 , 并在定量 变量模糊分级的基础 , 提出了模糊 logistic 回归模型 。同基本 模型一样有非条件和条件 logistic 回归模型 , 其模型分别为 [ 1 ] : β ( s′ ) γ ( s′ )] exp [α+ ∑
P ( Y = j| X)
=
T β exp (α X) j - σ j T β 1 + ∑exp (α X) i - σ i
i =1 K- 1
J Prev Med Inf , Oct 12002 , Vol118 , No 15
T T T β …, K - 1 , - Φ =β j j , β j 同无序模型, β {Φj } 为额外要估计的 K - 1 个参数 , βT = (β 1 , β 2, … p) 。 模型偏回归系数估计及检验同基本模型 , 但是对 Φi 的检验应
Logistic 回归模型从 19 世纪 80 年代提出以来 , 在离散型 资料的分析中起到了十分重要的作用 。20 世纪 70 年代以来随 着对该模型研究的深入 , 形成了多值 logistic 模型 ( 多项反应 分类 logistic 模型和有序反应分类 logistic 模型) 、多水平 logistic 模型和模糊 logistic 模型等回归模型 , 现将近年来有关 logistic 回归模型的研究概况综述如下 。
log it ( Pj ) = ln