江苏省姜堰市溱潼中学高三数学基础知识梳理 第8章 直线与平面
江苏省姜堰市蒋垛中学高二数学《平面性质》学案1
江苏省姜堰市蒋垛中学高二数学《平面性质》学案1一：知识网络二：教学目标1.初步了解平面的概念.2.了解平面的基本性质(公理1-3)3.能正确使用集合符号表示有关点 、线、面的位置关系.4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题 三：教学重点与难点正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质． 四：教学过程 自学1．平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果． 平面的特征： 2．平面的画法：平面平面的基本性质平面的概念平面的表示公理１公理2公理33．平面的表示方法：4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： （1）点与直线的位置关系： （2）点与平面的位置关系： （3）直线与平面的位置关系： 互学1．平面的基本性质： 公理1：文字语言描述为：符号语言表示为：公理2：文字语言描述为：符号语言表示为：公理3：文字语言描述为：符号语言表示为：辨析：（1）10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．（ ） （2）有一个平面的长是50米，宽是20米．（ ）（3）黑板面是平面．（ ）（4）平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．（ ） 2、把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．l 错误!未找到引用源。
Aa 错误!未找到引用源。
laAB 错误!未找到引用源。
3、把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m．导学例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点, 且直线EF和GH交于点P, 求证: B、D、P在同一条直线上.例2：如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB,AA1中点，求证：CE,D1F,DA三条直线交于一点。
江苏省姜堰市溱潼中学2020届高三数学基础知识梳理 第8章 直线与平面
第八章直线与平面基础知识梳理一．平面的性质公理一：公理二：公理三：推论1推论2推论3 二．异面直线公理四：（注：平行公理）等角定理异面直线的定义空间两条直线的位置关系有异面直线的判定定理异面直线所成角的定义异面直线的公垂线及距离的定义三．若干问题的证明方法㈠．共面（点、线）及异面问题1．如何证明若干条直线共面？⑴⑵（注：如何证明两个平面重合？）2．如何证明若干条直线共点或若干点共线？3．如何证明两条直线是异面直线？⑴直接证明，即用⑵间接证明：①②㈡．平行问题：1．如何证明线线平行？⑴⑵⑶⑷⑸2．如何证明线面平行？⑴⑵⑶3．如何证明面面平行？⑴⑵⑶⑷㈢．垂直问题：1．如何证明线线垂直？⑴⑵⑶⑷ 2．如何证明线面垂直？⑴⑵⑶⑷⑸⑹ 3．如何证明面面垂直？⑴⑵四．线面、面面平行或垂直的性质㈠．线面平行的性质：⒈⒉⒊⒋㈡．线面垂直的性质：⒈⒉㈢．面面平行的性质：⒈⒉⒊⒋⒌⒍㈣．面面垂直的性质：⒈⒉⒊⒋五．几个唯一性定理㈠．线面垂直的唯一性定理⒈2．㈡．面面平行的唯一性定理六．角㈠．异面直线所成角1．定义（见前）⒉范围3．求法⑴平移法；⑵中点法；⑶补形法；⑷利用异面直线上任意两点间的距离公式㈡．直线与平面所成的角1．斜线与平面所成的角的定义2．最小角定理3．范围⑴斜线与平面所成的角的范围⑵直线与平面所成的角的范围七．距离㈠．两点间的距离㈡．点到直线的距离㈢．两平行线间的距离㈣．异面直线间的距离的常见求法㈤．异面直线上任意两点间的距离公式㈥．点到平面的距离㈦．线面平行时，直线与平面的距离㈧．两平行平面间的距离八．几个重要结论㈠．正方体中体对角线与面对角线若异面，则它们必㈡．经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是㈢．斜线AB在平面α上的射影是AD，AC α，设∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，则有。
高中数学学业水平测试第八章 平面解析几何 知识点总结
第八章 平面解析几何一、复习内容必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式 必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系二、教学目标①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。
③.掌握圆的标准方程和一般方程.④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.三、教学过程（分四个教学单元节完成复习）第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【知识点】1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）斜截式下，若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔；② 12121l l k k ⊥⇔=-；③1212l l k k ⇔≠与相交 （2）一般式下，若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．【典型例题】 【巩固练习】第二节 直线的交点坐标与距离公式 【知识点】5．平面两点距离公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y 则22122121)()(||y y x x P P -+-=．x 轴上两点A,B 间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线， 可表示为00()()0A x x B y y -+-=． （2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线， 可表示为00()()0B x x A y y ---=． （3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =), 其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=, 其中,A B 是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程，为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解．【典型例题】 【巩固练习】第三节 圆的方程 【知识点】10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．（4）掌握用待定系数法求圆的方程。
高考数学总复习第八章 平面解析几何
＝m2＋1≥1，所以 ≤α＜ .故倾斜角
2－1
4
2
[ )π π
α 的取值范围是 ， . 42
2．经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则
直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，结合图形，若 l 与线段 AB 总有公共点，则
∴Error!得 k＜0.
( ) 1
11
∴S△AOB＝2·|OA|·|OB|＝2·
2－ k
·(1－2k)
( ) [ ( ) ] 1 1
1
1
＝ 4－ －4k ≥ 4＋2
2k
2
－ ·－4k k
1 ＝4，当且仅当－ ＝－4k，
k
1
1
即 k＝－ 时，△AOB 的面积有最小值 4，此时直线 l 的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x
2；令 x＝0，得 y＝－2，即 l1 与 y 轴的交点为(0，－2)，直线 l1 的倾斜角为 135°，∴直线 l2 的倾斜角为 135°－90°＝45°，∴l2 的斜率为 1，故 l2 的方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0.
答案：－2 x－y－2＝0
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，
[ ] [ ] π π π 5π
A. ， ∪ ， 62 2 6
[ ] [ ) π 5π
B. 0， ∪ ，π 66
[ ]5π
C. 0， 6
[ ] π 5π
D. ， 66
3 解析：选 B 设直线的倾斜角为 θ，则 tan θ＝－ cos α，
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线平面平行的判定及其性质教案理解析版
１．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（简记为线线平行⇒线面平行）错误!⇒a∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）错误!⇒l∥b２．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行错误!⇒a∥b[小题体验]１a与β内的所有直线平行；２a与β内无数条直线平行；３a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．答案：２２．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面３．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：１PD∥平面AMC；２OM∥平面PCD；３OM∥平面PDA；４OM∥平面PBA；５OM∥平面PBC.其中正确的个数有________．解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB 的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，故正确的个数为３．答案：３１．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．２．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．３．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[小题纠偏]１．在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有______个．解析：借助长方体的直观图易知，在长方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有２个．答案：２２．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一直线与平面平行的判定与性质错误![锁定考向]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．常见的命题角度有：（１）证明直线与平面平行；（２）线面平行性质定理的应用．[题点全练]角度一：证明直线与平面平行１．如图，在正方体ABCDA１B１C１D１中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C１D１的中点．求证：AP∥平面C１MN.证明：在正方体ABCDA１B１C１D１中，因为点M，P分别为棱AB，C１D１的中点，所以AM＝PC１.又AM∥CD，PC１∥CD，故AM∥PC１，所以四边形AMC１P为平行四边形，所以AP∥C１M.又AP⊄平面C１MN，C１M⊂平面C１MN，所以AP∥平面C１MN.角度二：线面平行性质定理的应用２．如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH .求证：GH∥EF.证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.[通法在握]证明直线与平面平行的３种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面[演练冲关]如图，在三棱柱ABCA１B１C１中，CC１＝４，M是棱CC１上的一点．若点N是AB的中点，且CN ∥平面AB１M，求CM的长．解：法一：如图，取AB１的中点P，连结NP，PM.又因为点N是AB的中点，所以NP∥BB１.因为CM∥BB１，所以NP∥CM，所以NP与CM共面．因为CN∥平面AB１M，平面CNPM∩平面AB１M＝PM，所以CN∥PM.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝错误!CC１＝２．法二：如图，取BB１的中点Q，连结N Q，C Q.因为点N是AB的中点，所以N Q∥AB１.因为N Q⊄平面AB１M，AB１⊂平面AB１M，所以N Q∥平面AB１M.因为CN∥平面AB１M，N Q∩CN＝N，N Q⊂平面N Q C，CN⊂平面N Q C，所以平面N Q C∥平面AB１M.又因为平面BCC１B１∩平面N Q C＝C Q，平面BCC１B１∩平面AB１M＝MB１，所以C Q∥MB１.因为BB１∥CC１，所以四边形C Q B１M是平行四边形，所以CM＝B１Q＝错误!CC１＝２．考点二平面与平面平行的判定与性质错误![典例引领]如图，在三棱柱ABCA１B１C１中，E，F，G，H分别是AB，AC，A１B１，A１C１的中点，求证：（１）B，C，H，G四点共面；（２）平面EFA１∥平面BCHG.证明：（１）因为GH是△A１B１C１的中位线，所以GH∥B１C１.又因为B１C１∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．（２）因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A１G綊EB，所以四边形A１EBG是平行四边形，所以A１E∥GB.因为A１E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A１E∥平面BCHG.因为A１E∩EF＝E，所以平面EFA１∥平面BCHG.[由题悟法]判定平面与平面平行的４种方法（１）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点；（２）面面平行的判定定理；（３）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（４）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．[即时应用]１．如图，平面α内有△ABC，AB＝５，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝２，过EB的中点B的平面β∥α，若β分别交EA，DC于点A１，C１，求△A１B１C１的面积．１解：因为α∥β，所以A１B１∥AB，B１C１∥BC，又因为∠A１B１C１与∠ABC同向．所以∠A１B１C１＝∠ABC.又因为cos∠ABC＝错误!＝错误!，所以∠ABC＝∠A１B１C１＝60°.又因为B１为EB的中点，所以B １A １是△EAB 的中位线， 所以B １A １＝错误!AB ＝错误!， 同理知B １C １为梯形BCDE 的中位线， 所以B １C １＝错误!（BC ＋DE ）＝５． 则S111A B C ＝错误!A １B １×B １C １×sin 60°＝错误!×错误!×５×错误!＝错误!. 故△A １B １C １的面积为错误!.２．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：（１）BE ∥平面DMF ； （２）平面BDE ∥平面MNG .证明：（１）如图，连结AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连结MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .（２）因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD∥平面MNG，又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.错误!错误![典例引领]如图所示，在三棱柱ABCA１B１C１中，D是棱CC１的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB１C１？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB１C１，如图，取BB１的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B１C１，又DF⊄平面AB１C１，B１C１⊂平面AB１C１，所以DF∥平面AB１C１，又DE∥平面AB１C１，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB１C１，因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB１C１，又因为EF⊂平面ABB１，平面ABB１∩平面AB１C１＝AB１，所以EF∥AB１，因为点F是BB１的中点，所以点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB１C１.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB１C１.证明如下：如图，取BB１的中点F，连结DF，则DF∥B１C１.因为DF⊄平面AB１C１，B１C１⊂平面AB１C１，所以DF∥平面AB１C１.因为AB的中点为E，连结EF，ED，则EF∥AB１.因为EF⊄平面AB１C１，AB１⊂平面AB１C１，所以EF∥平面AB１C１.因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB１C１.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB１C１.[由题悟法]探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．[即时应用]１．在正四棱柱ABCDA１B１C１D１中，O为底面ABCD的中心，点P为DD１的中点，设Q是CC上的点，则点Q满足条件________时，有平面D１B Q∥平面PAO.１解析：点Q为CC １的中点时，平面D１B Q∥平面PAO.因为点P为DD１的中点，所以Q B∥PA.又Q B⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，所以Q B∥平面PAO.连结DB，因为点P，O分别是DD１，DB的中点，所以D１B∥PO.又D１B⊄平面PAO，OP⊂平面PAO，所以D１B∥平面PAO.又D１B∩Q B＝B，D１B⊂平面D１B Q, Q B⊂平面D１B Q，所以平面D１B Q∥平面PAO.故点Q满足条件Q为CC１的中点时，有平面D１B Q∥平面PAO.答案：Q为CC１的中点２．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝４，E，F分别在BC，AD上，EF ∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE＝１，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且错误!＝λ错误!，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝错误!.理由如下：当λ＝错误!时，错误!＝错误!错误!，可知错误!＝错误!，如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连结EM，PC，则有错误!＝错误!＝错误!，又BE＝１，可得FD＝５，故MP＝３，又EC＝３，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，故有CP∥平面ABEF.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·汇龙中学测试）已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．答案：平行或直线b在平面α内２．（２0１8·南京模拟）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝１∶２，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．解析：如图，由错误!＝错误!得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.答案：AC∥平面DEF３．（２0１8·天星湖中学测试）在正方体ABCDA１B１C１D１中，下列四对截面中彼此平行的是________（填序号）．１平面A１BC１和平面ACD１；２平面BDC１和平面B１D１A；３平面B１D１D和平面BDA１；４平面ADC１和平面A１D１C.解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A１BC１∥平面ACD１，平面BDC１∥平面B１D１A.答案：１２４．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝２，CA＝３，CD＝１，则AB＝________.解析：因为α∥β，所以CD∥AB，则错误!＝错误!，所以AB＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN Q平行的是________．（填序号）解析：因为点M，N，Q分别为所在棱的中点，所以在１中AB与平面MN Q相交，在２３中均有AB∥M Q，在４中，有AB∥N Q，所以在２３４中均有AB与平面MN Q平行．答案：２３４二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·滨海期末）已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m，n ⊂γ，若增加一个条件就能得出m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．１m∥γ，n∥β；２α∥γ，n⊂β；３n∥β，m⊂γ.解析：对于１，若β∥γ，由m⊂β，满足m∥γ，由n⊂γ，满足n∥β，但m，n可为异面直线，则不成立；对于２，由α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得m∥n，则成立；对于３，n∥β，m⊂γ，则γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得n∥m，则成立．答案：２或３２．（２0１9·连云港调研）一条直线与两个平行平面中的一个成３0°角，且被两平面所截得的线段长为２，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d＝２sin ３0°＝１．答案：１３．（２0１8·前黄高级中学检测）已知正方体ABCDA１B１C１D１，下列结论中，正确的是________（填序号）．１AD１∥BC１；２平面AB１D１∥平面BDC１；３AD １∥DC１；４AD１∥平面BDC１.解析：如图，因为AB∥C１D１，AB＝C１D１，所以四边形AD１C１B为平行四边形，故AD１∥BC１，从而１正确；易证AB１∥DC１，BD∥B１D１，又AB１∩B１D１＝B１，BD∩DC＝D，故平面AB１D１∥平面BDC１，从而２正确；由图易知AD１与DC１异面，故３错误；因为AD１∥１BC１，AD１⊄平面BDC１，BC１⊂平面BDC１，所以AD１∥平面BDC１，故４正确．答案：１２４１没有水的部分始终呈棱柱形；２水面EFGH所在四边形的面积为定值；３棱A１D１始终与水面所在平面平行；４当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然１是正确的，２是错误的；对于３，因为A１D１∥BC，BC∥FG，所以A１D１∥FG且A１D１⊄平面EFGH，所以A１D１∥平面EFGH（水面）．所以３是正确的；对于４，因为水是定量的（定体积V），所以S△BEF·BC＝V，即错误!BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝错误!（定值），即４是正确的．答案：３５．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝３，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN为所求截面），且EF＝MN＝错误!AC＝２，FM＝EN＝错误!PB＝２，所以截面的周长为２×４＝8．答案：86．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：１a∥γ，b⊂β；２a∥γ，b∥β；３b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）．解析：由面面平行的性质定理可知，１正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，３正确．故应填入的条件为１或３.答案：１或３7．（２0１8·盐城期末）已知棱长为２的正方体ABCDA１B１C１D１，E为棱AD的中点，现有一只蚂蚁从点B１出发，在正方体ABCDA１B１C１D１表面上行走一周后再回到点B１，这只蚂蚁在行走过程中与平面A１EB的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCDA１B１C１D１上过B１作与平面A１EB平行的平面．取A１D１和BC的中点分别为F，G，连结B１F，FD，DG，GB１，则A１F綊ED，所以四边形A１FDE 是平行四边形，所以A１E∥FD.因为FD⊄平面A１EB，A１E⊂平面A１EB，所以FD∥平面A１EB.同理：DG∥平面A１EB.又FD∩DG＝D，所以平面DFB１G∥平面A１EB，则四边形DFB１G所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB１G为菱形，由正方体的棱长为２，得菱形DFB１G的边长为错误!，cos∠A１EB＝错误!，∴sin∠A１EB＝错误!，∵∠A１EB＝∠FDG，∴S菱形DFB１G＝错误!×错误!×sin∠FDG＝２错误!.答案：２错误!8．（２0１9·海安中学检测）如图，在棱长为１的正方体ABCDA１B１C１D１中，点E，F分别是棱BC，CC１的中点，P是侧面BCC１B１内一点，若A１P∥平面AEF，则线段A１P长度的取值范围是________．解析：取B１C１的中点M，BB１的中点N，连结A１M，A１N，MN，可以证明平面A１MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A１M＝A１N＝错误!＝错误!，MN＝错误!＝错误!，所以当点P位于M，N处时，A１P的长度最长，取MN的中点O，连结A１O，当P位于MN的中点O时，A１P的长度最短，此时A１O＝错误!＝错误!，所以A１O≤A１P≤A１M，即错误!≤A１P≤错误!，所以线段A１P长度的取值范围是错误!.答案：错误!9．如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝错误!AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：（１）AP∥平面BEF；（２）GH∥平面PAD.证明：（１）连结EC，因为AD∥BC，BC＝错误!AD，所以BC綊AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.（２）连结FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.１0．如图所示，在正方体ABCDA１B１C１D１中，E，F，G，H分别是BC，CC，C１D１，A１A的中点．求证：１（１）BF∥HD１；（２）EG∥平面BB１D１D；（３）平面BDF∥平面B１D１H.证明：（１）如图所示，取BB１的中点M，连结MH，MC１，易证四边形HMC１D１是平行四边形，所以HD１∥MC１.又因为MC１∥BF，所以BF∥HD１.（２）取BD的中点O，连结EO，D１O，则OE綊错误!DC，又D１G綊错误!DC，所以OE綊D１G，所以四边形OEGD１是平行四边形，所以GE∥D１O.又GE⊄平面BB１D１D，D１O⊂平面BB１D１D，所以EG∥平面BB１D１D.（３）由（１）知BF∥HD１，又BD∥B１D１，B１D１，HD１⊂平面B１D１H，BF，BD⊂平面BDF，且B１D１∩HD１＝D１，DB∩BF ＝B，所以平面BDF∥平面B１D１H.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·扬州期中）若半径为５的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为３和４，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为５的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为３和４，∴圆心到两个平面的距离分别为：错误!＝４，错误!＝３，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为４—３＝１，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为４＋３＝7．答案：１或7２．如图所示，设正方体ABCDA１B１C１D１的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝错误!，过B１，D１，P的平面交平面ABCD于P Q，Q在直线CD上，则P Q＝________.解析：因为平面A１B１C１D１∥平面ABCD，而平面B１D１P∩平面ABCD＝P Q，平面B１D１P∩平面A１B１C１D１＝B１D１，所以B１D１∥P Q.又因为B１D１∥BD，所以BD∥P Q，设P Q∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DP Q.所以错误!＝错误!＝２，即P Q＝２PM.又知△APM∽△ADB，所以错误!＝错误!＝错误!，所以PM＝错误!BD，又BD＝错误!a，所以P Q＝错误!a.答案：错误!a３．（２0１9·南通调研）如图，已知三棱柱ABCA１B１C１，E，F分别为CC１，BB１上的点，且EC ＝B１F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC１于点N.（１）若EC＝３BF，试确定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并说明理由；（２）若K，R分别为AA１，C１B１的中点，求证：KR∥平面AEF.解：（１）当错误!＝错误!＝错误!时，平面BMN∥平面AEF.理由如下：∵EN＝错误!EC，BF＝错误!EC，∴EN綊BF，∴四边形BFEN是平行四边形，∴BN∥EF.∵错误!＝错误!，∴MN∥AE，∵MN⊂平面BMN，BN⊂平面BMN，且MN∩BN＝N，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，且AE∩EF ＝E，∴当错误!＝错误!＝错误!时，平面BMN∥平面AEF.（２）证明：连结BC１，交FE于点Q，连结Q R.∵△B Q F≌△C１Q E，∴B Q＝C１Q，∴Q R∥BB１，且Q R＝错误!BB１，∴Q R綊AK.∴四边形AKR Q为平行四边形．连结A Q，则A Q∥KR，∵A Q⊂平面AEF，KR⊄平面AEF，∴KR∥平面AEF.。
高考数学第八章第9讲
第八章 平面解析几何
[解](1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(－1，0)，所以 c＝1. 将点 P(0，1)代入椭圆方程xa22＋by22＝1， 得b12＝1，即 b＝1， 所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C1 的方程为x22＋y2＝1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
(2)由题意可知，直线 l 的斜率显然存在且不等于 0，
有一解(含l与抛物线的对
l与C1的交点
无公共点
________
一个交点
b≠0
称轴平行(重合)或与双曲 ________
不相等
两个交点
线的渐近线平行)
一个交点
Δ＞0
两个________的解
_无_交__点____
a≠0 Δ＝0
两个相等的解
________
(2)几何法Δ：＜在0同一直角坐标无系实中数画解出圆锥曲线和_直__线__，__利_
第八章 平面解析几何
第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第八章 平面解析几何
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程 C1 与直线方程 l 联立消去 y，整 理得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
a＝0
方程ax2＋bx＋c＝0的解
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近 线)
都相交的充要条件是( D )
A．k＞－ba
B．k＜ba
C．k＞ba或 k＜－ba
D．－ba＜k＜ba
解析：由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．过点0，－12的直线 l 与抛物线 y＝－x2 交于 A、B 两点，
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何82直线的交点与距离公式课件苏教版
【解析】 (1)若 a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0 和 x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以 a≠0；
当 a≠0 时，两直线平行，则有a－1 1＝2a≠13，解得 a＝－1 或 2.
(2)因为 l1⊥l2，所以 k1k2＝－1. 即(－1)·－a2＝－1，解得 a＝－2.
方法技巧 1当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜 率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在 的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条 件. 2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论.
条平行直线间的距离，即|－6224＋－852|＝2190，所以|PQ|的最小值为2190.
3．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y＝x
＋4x(x>0)上的一个动点，则点 P 到直线 x＋y＝0 的距离的最小值 是______4________.
解析：解法 1：设 P(x，x＋4x)，x>0，则点 P 到直线 x＋y＝
得xy00＝ ＝yx－ ＋22， ，
由点 P′(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即 x－2y＋3＝0.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 两条直线的平行与垂直问题
【例 1】 (1)已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋
ay＋3＝0 平行，则 a 等于( D )
A．－1
B．2
C．0 或－2
D．－1 或 2
(2)已知两直线方程分别为 l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若 l1 ⊥l2，则 a＝___－__2___.
高中数学专题通关(8)——平面解析几何
cos360°－60°＝－cos－60°＝cos 60°＝ 3.因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)，所以倾斜 sin360°－60° sin－60° sin 60° 3
角为 30°，故选 C.
答案：C
2．(2019·柳州月考)已知直线 2x－y－3＝0 的倾斜角为θ，则 sin 2θ的值是( )
否则会造成失误．
2．直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式．
[小题纠偏]
1．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________．
解析：①若直线过原点，则 k＝－4， 3
所以 y＝－4x，即 4x＋3y＝0. 3
②若直线不过原点．
程即为 x＋y 或 x＋y＋2＝0.
(2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2，
－a＋1>0，
－a＋1＝0，
∴
或
∴a≤－1.
a－2≤0
a－2≤0.
综上可知，a 的取值范围是 a≤－1.
考点三 直线方程的综合应用 多维探究 题点多变考点——多角探明
[锁定考向] 直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相 结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题．(2)与导 数几何意义相结合的问题．(3)与圆相结合求直线方程问题．
所以直线 l 恒过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
第八章 平面解析几何 高考总复习 数学(文)5.一条直线经过点 A(2，－ 3)，并且它
的倾斜角等于直线 y＝ 1 x 的倾斜角的 2 倍，则这条直线的一般式方程是____________． 3
解析：∵直线 y＝ 1 x 的倾斜角为 30°， 3
江苏省姜堰市溱潼中学高中数学 2.1.2 直线的方程两点式学案 苏教版必修2
江苏省姜堰市溱潼中学高中数学 2.1.2 直线的方程两点式学案 苏
教版必修2
一 学生活动
探究 如果直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠，求直线l 的方程。
二 建构知识
1．直线的两点式方程：
（1）一般形式：
（2）适用条件：
思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()
00不全为，B A C By Ax =++的方程
来表示？
三 知识运用
例题
例1 三角形的顶点()()()303405 - -，，，，，C B A ，试求此三角形所在直线方程．
例2 求直线01553=-+ y x l ：
的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．
例3 设直线l 的方程为062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：
（1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1； （3）直线l 与y 轴平行．
2．设直线l 的方程为()
00不全为，B A C By Ax =++，根据下列条件， 求出C B A ，，应满足的条件：
（1）直线l 过原点； （2）直线l 垂直于x 轴；
（3）直线l 垂直于y 轴； （4）直线l 与两条坐标轴都相交．
四 回顾小结
掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．
五 学习评价
拓展延伸：
8.已知直线(31)(2)10a x a y -+--=且该直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
9.已知直线kx+y+2=0和以M （-2，1），N （3，2）为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质教师用书 文 苏
8.3 直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b【知识拓展】重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1.(教材改编)下列命题中不正确的有________.①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.答案①②③解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.2.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的______条件.答案必要不充分解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件.3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________.答案2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ， 且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ， 又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点， 由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， 所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.4.(教材改编)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.答案 平行解析 连结BD ，设BD ∩AC ＝O ，连结EO ，在△BDD 1中，O 为BD 的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线， 则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条.答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连结EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连结FH ，OH ，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·某某月考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连结AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连结OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形.证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 (2016·某某模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连结A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.(2016·某某模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.(1)证明由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高. 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，1111· 1.ABD A B D ABD V S AO 三棱柱－＝＝△ 题型三 平行关系的综合应用例4 (2016·某某模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1. 下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连结DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连结EF ，ED ， 则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， ∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ， ∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二 假设在棱AB 上存在点E ， 使得DE ∥平面AB 1C 1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.(2016·某某模拟)如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形.设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x ). ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立. 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大.5.立体几何中的探索性问题典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规X 解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形， 且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时， 可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连结CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X.1.(2016·某某模拟)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是________.答案 1解析 命题①，l 可以在平面α内，不正确；命题②，直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a 可以在平面α内，不正确；命题④正确.2.(2016·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点.在此几何体中，给出下列四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的序号为________. 答案 ②③解析 因为EF 綊12AD ，AD 綊BC ，所以EF 綊12BC ，所以E ，B ，C ，F 四点共面，所以BE 与CF共面，所以①错误；因为AF ⊂平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉直线AF ，B ∉平面PAD ，所以BE 与AF 是异面直线，所以②正确；因为EF ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，所以③正确；由于不能推出线面垂直，故平面BCE ⊥平面PAD 不成立，所以④错误. 3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是________. ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β. 答案 ②解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故①错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知②正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故③错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故④错.4.(2016·苏锡常联考)下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中假命题是________.(填序号) 答案 ③5.已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为______. 答案 24或245解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PBPD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.6.(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________. 答案 ②③④解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7.设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________.答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是______.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.10.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连结AE，BE.则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .11.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________. 答案452解析 如图，取AC 的中点G ，连结SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ， 故AC ⊥平面SGB ， 所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ， 则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 则H ，F 也为AS ，SC 的中点， 从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形. 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.12.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点.求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ， ∵OG 綊12B 1C 1，BE 綊12BC ，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 又EG ⊄平面BB 1D 1D ，OB ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .13.(2016·某某某某八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积.解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连结GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连结AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥. 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE ＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.14.(2016·某某模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值. 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连结A 1B ，交AB 1于点O ，连结OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1，word21 / 21 ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 理-人教版高三全
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4 直线、平面垂直的判定与性质理1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b 2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面错误!⇒l⊥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( ×)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( √)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ×)1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内任意一条直线垂直．答案④解析由直线与平面垂直的定义，可知④正确．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件．答案充分不必要解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．答案 5解析如图，∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.∴PO就是P到直线l的距离，∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形，PO＝12＋22＝ 5.4． PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________对．答案7解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 (2014·某某)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．(1)证明由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又因E ，F 分别为AC ，DC 的中点， 所以EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：PA ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ， 在Rt△ABC 中，由3AC ＝BC 得， ∠ABC ＝30°，设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3， 所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO . 因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面PAB ， 又PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥CD . 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ABD 沿对角线BD 折起，记折起后A 的位置为点P ，且使平面PBD ⊥平面BCD .求证：(1)CD ⊥平面PBD . (2)平面PBC ⊥平面PDC .证明 (1)∵AD ＝AB ，∠BAD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°， 又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝45°， 又∠DCB ＝45°，∴∠BDC ＝90°， 即BD ⊥DC .∵平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面PBD .(2)由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDC .思维升华 面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．(2015·某某)如图，三棱锥PABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．(1)证明 由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .又PE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面PFE . (2)解 设BC ＝x ，则在Rt△ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， 即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2. 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2. 由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高．在Rt△PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 体积V PDFBC ＝13·S DFBC ·PE＝13·718x 36－x 2·23＝7， 故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3. 题型三 线面角、二面角的求法例3 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A —PD —C 的正弦值．(1)解 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 从而AB ⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ， 从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt△PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，所以AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连结AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt△ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·AD PD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt△AEM 中，sin∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 思维升华 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．(2015·某某)如图，在三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE, ∠BAC ＝45° ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．(1)证明 方法一 如图，连结DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连结OH ，在三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形． 则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .方法二 如图，在三棱台DEFABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH .(2)解 如图，作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连结NH . 设AB ＝2，则CF ＝1.由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ， 所以HM ⊥平面ACFD .因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角． 在△BGC 中，HM ∥BG ，HM ＝12BG ＝22，由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GMGF，从而MN ＝66. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM⊥MN，因此tan∠MNH＝HMMN＝3，所以∠MNH＝60°，所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.16．立体几何证明问题中的转化思想典例(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规X解答证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.[12分]∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C . 又∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .[14分]温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规X ．[方法与技巧] 1．三类论证(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[失误与防X]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AD/∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．①AB∥m; ②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.答案④解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有④不一定成立．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.答案③解析①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．3．(2015·某某滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC .其中正确的是________．答案 ①②③解析 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．4．(2015·某某改编)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的____________条件．答案 必要而不充分解析 m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立．5．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)解析 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .6.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 由面积相等得2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ 222－332＝66. 由面积相等得66× x 2＋222＝22x ， 得x ＝12. 7．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．8．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．答案 ①②④解析 由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1⊂平面AD 1C ，直线BC 1⊄平面AD 1C ， 所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以点P 到平面AD 1C 的距离不变，11A D PC P AD C V V －－＝，所以体积不变．故①正确；如图，连结A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正确；连结DB1，因为直线AC⊥平面DB1，DB1⊂平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1⊂平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.9．(2014·某某)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)如图，连结AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连结AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .10.(2014·某某)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连结AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连结D 1N ，如图(2)．由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角．在Rt△BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得＝32.所以ND 1＝CD 21＋2＝152.在Rt△D 1中，cos∠D 1NC ＝D 1N ＝32152＝55，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.B组专项能力提升(时间：30分钟)11．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在__________________________________________．①直线AB上②直线BC上③直线AC上④△ABC内部答案①解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．14．(2015·某某)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连结DE 、BD 、BE . (1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．(1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)解 由已知得，PD 是阳马PABCD 的高，所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD . 由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE . 在Rt△PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE ＝4. 15．(2015·某某)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG ；(2)求二面角PADC 的正切值；(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．(1)证明 在△PDC 中，PD ＝PC 且E 为CD 的中点，∴PE ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥FG .(2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AD ，又AD ⊥CD ，PE ∩CD ＝E ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PD ，∴∠PDC 为二面角PADC 的平面角，在Rt△PDE 中，PD ＝4，DE ＝3，∴PE ＝16－9＝7，∴tan∠PDC ＝PE DE ＝73.即二面角PADC 的正切值为73.(3)解 如图，连结AC ，∵AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴AC ∥FG . ∴直线PA 与FG 所成角即直线PA 与AC 所成角∠PAC ， 在Rt△PDA 中，PA 2＝AD 2＋PD 2＝16＋9＝25，∴PA ＝5.又PC ＝4.AC 2＝CD 2＋AD 2＝36＋9＝45，∴AC ＝35，cos∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝25＋45－162×5×35＝925 5.即直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.。
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点2021高考各科温习资料2021年高三开学曾经有一段时间了，高三的同窗们是不是曾经投入了紧张的高考一轮温习中，数学网高考频道从高三开学季末尾为大家系列预备了2021年高考温习，2021年高考一轮温习，2021年高考二轮温习，2021年高考三轮温习都将继续系统的为大家推出。
①直线在平面内——有有数个公共点②直线战争面相交——有且只要一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规则：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线战争面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线战争面垂直直线战争面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的恣意一条直线都垂直，我们就说直线a战争面相互垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线战争面平行——没有公共点直线战争面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的判定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
江苏省姜堰市溱潼中学高中数学 2.1.3 两条直线的平行
江苏省姜堰市溱潼中学高中数学 2.1.3 两条直线的平行与垂直学案（2）苏教版必修2则m 的值为________________．3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？二 建构知识1.当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．2．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直的条件是12120A A B B +=， 与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay m -+=三 知识运用例题（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥；（2） 已知直线1l 的斜率为431=k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2+-a B a A ，， 且1l ⊥2l ，求实数a 的值．如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD所在的直线方程．例1 例2例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成ο120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到m 01.0）巩固练习1．求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________．3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 垂直，则a 的值为____________________．4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直， 则直线1l 的方程是_____________________________．5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．四 回顾小结两直线垂直的等价条件五 学习评价拓展延伸9.已知直线l 方程为34120x y +-=，l '与l 垂直，且l '与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l '的方程.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系教学案 苏教版-苏教版高三全册数学
第二节 两条直线的位置关系[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，假设其斜率分别为k 1，k 2，那么有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，那么有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，那么l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[常用结论]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1与l 2l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) 重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.( )(3) 假设两直线的方程组成的方程组有唯一解，那么两直线相交． ( )(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) [答案](1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材改编1．点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，那么a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]2．P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，那么m ＝.1 [由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.]3．假设三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，那么m 的值为．－9 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.]4．直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，那么它们之间的距离是．2 [由两直线平行可知36＝4m，即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0， 那么它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.]考点1 两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想〞1.设a ∈R ，那么“a ＝1〞是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y＋4＝0平行〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2， 假设l 1∥l 2，那么a (a ＋1)－2×1＝0， 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．假设直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，那么实数a 的值为( )A.12B.32C.14D.34D [由得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.]3．三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，那么实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D [∵三条直线不能构成一个三角形， ∴①当l 1∥l 3时，m ＝23；②当l 2∥l 3时，m ＝－43；③当l 1，l 2，l 3交于一点时，也不能构成一个三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，代入mx －y －1＝0，得m ＝－23.应选D.]直接运用“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行与垂直的充要条件解题〞可有效避免不必要的参数讨论．考点2 两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y－1＝0垂直的直线方程为(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，那么直线l 的方程为．(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 那么1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．]1.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算．[教师备选例题]1．三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0，x ＋y －7＝0,2x －7y －14＝0，求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程．[解] 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x ＋y －7)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0， 解得λ＝115，所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.2．求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A (－3,1)，B (5,7)等距离的直线方程．[解] 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0， 即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0， 由点A (－3,1)，B (5,7)到所求直线等距离，可得 |2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2＝|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.1.当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k的交点在第二象限．]2．假设P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，那么|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295C [因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.] 考点3 对称问题中心对称问题 中心对称问题的解法(1)点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，那么直线l 的方程为．x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，那么由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解． 假设直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．]轴对称问题 轴对称问题的解法(1)点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线，假设点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，那么点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)(2)入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，那么反射光线所在直线的方程为．(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，那么C (2,4)．(2)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，那么反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.]在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分〞，由“垂直〞列出一个方程，由“平分〞列出一个方程，联立求解．1.假设将一X 坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，那么m ＋n ＝.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.]2．直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． [解](1)设A ′(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，那么M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，那么P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，那么Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )， ∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.。
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。
①直线在平面内——有许多个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在那个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范畴为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：假如平面内的一条直线，与那个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：假如一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于那个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：假如一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和那个平面平行。
实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和那个平面内的一条直线平行，那么这条直线和那个平面平行。
高三数学基础知识剖析 平面解析几何.doc
高三数学基础知识、常见结论详解八、平面解析几何（一）直线与圆知识要点1．直线的倾斜角与斜率k=tg α，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0，π]，但斜率不一定存在。
牢记下列图像。
斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标2．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
3．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。
会判断两条直线的位置关系。
（斜率相等还有可能重合）4．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
5．点到直线的距离公式。
6．会用一元不等式表示区域。
能够解决简单的线性规划问题。
7．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
8．圆的标准方程：(x －a)2+(y －b)2=r 2圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。
圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
会求圆的相交弦、切线问题。
圆锥曲线方程（二）圆锥曲线1.椭圆及其标准方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==为三角函数问题。
点的坐标，把问题转化 可用参数方程设在椭圆上时，当点椭圆的参数方程，焦半径的几何意义，准线方程、、、椭圆的简单几何性质：哪个轴上）标准方程（注意焦点在第一定义、第二定义P b y a x e c b a ,sin ,cos )(θθ 2.双曲线及其标准方程：⎪⎩⎪⎨⎧)(，焦半径，渐近线的几何意义，准线方程、、、：双曲线的简单几何性质哪个轴上）标准方程（注意焦点在注意与椭圆相类比）第一定义、第二定义（e c b a 3．抛物线及其标准方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(与焦点有关的结论焦点坐标，准线方程，：抛物线的简单几何性质的几何意义）四种形式哪个轴上，开口方向，标准方程（注意焦点在化为到准线的距离。
）焦点的距离问题经常转 （抛物线上的点到中的灵活应用定义，以及定义在解题p 直线与圆锥曲线：⎪⎩⎪⎨⎧面积。
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第八章直线与平面基础知识梳理
一．平面的性质
公理一：
公理二：
公理三：
推论1
推论2
推论3 二．异面直线
公理四：
（注：平行公理）等角定理
异面直线的定义
空间两条直线的位置关系有
异面直线的判定定理
异面直线所成角的定义
异面直线的公垂线及距离的定义
三．若干问题的证明方法
㈠．共面（点、线）及异面问题
1．如何证明若干条直线共面？
⑴
⑵
（注：如何证明两个平面重合？）
2．如何证明若干条直线共点或若干点共线？
3．如何证明两条直线是异面直线？
⑴直接证明，即用
⑵间接证明：①
②
㈡．平行问题：
1．如何证明线线平行？
⑴⑵
⑶⑷
⑸
2．如何证明线面平行？
⑴⑵
⑶
3．如何证明面面平行？
⑴⑵
⑶⑷㈢．垂直问题：
1．如何证明线线垂直？
⑴⑵
⑶⑷ 2．如何证明线面垂直？
⑴⑵
⑶⑷
⑸⑹ 3．如何证明面面垂直？
⑴⑵四．线面、面面平行或垂直的性质
㈠．线面平行的性质：
⒈⒉
⒊⒋㈡．线面垂直的性质：
⒈⒉㈢．面面平行的性质：
⒈⒉
⒊⒋
⒌⒍
㈣．面面垂直的性质：
⒈⒉
⒊⒋
五．几个唯一性定理
㈠．线面垂直的唯一性定理⒈
2．
㈡．面面平行的唯一性定理
六．角
㈠．异面直线所成角
1．定义（见前）⒉范围
3．求法⑴平移法；⑵中点法；⑶补形法；⑷利用异面直线上任意两点间的距离公式
㈡．直线与平面所成的角
1．斜线与平面所成的角的定义
2．最小角定理
3．范围⑴斜线与平面所成的角的范围
⑵直线与平面所成的角的范围
七．距离
㈠．两点间的距离
㈡．点到直线的距离
㈢．两平行线间的距离
㈣．异面直线间的距离的常见求法
㈤．异面直线上任意两点间的距离公式
㈥．点到平面的距离
㈦．线面平行时，直线与平面的距离
㈧．两平行平面间的距离
八．几个重要结论
㈠．正方体中体对角线与面对角线若异面，则它们必
㈡．经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是
㈢．斜线AB在平面α上的射影是AD，AC α，设∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，则有。