高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计
人教版高中数学选修(2-1)-2.2《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程.（二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程（三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页.（2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： .2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（ ） A.2213635x y += B.2213635y x += C.221365x y += D.以上都不对 【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量.【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ） A.44m -≤≤ B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m <<【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<.【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题.【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ） A.221259x y += B.221(0)259y x y +=≠ C.221(0)169x y y +=≠ D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠.【思路点拨】利用椭圆的定义解题.【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A.10B.20C.D.【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==.【思路点拨】利用椭圆定义求解即可.【答案】D（二）课堂设计1.知识回顾（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程.2.新知讲解。
选修2-1教案2.2.1椭圆及其标准方程、几何性质
2.2.1圆及其标准方程教学要求：从具体情境中抽象出椭圆的模型，掌握椭圆的定义，标准方程 教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数. 二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .设(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，那么焦点12,F F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，又设M 与12,F F 的距离之和等于2a ，根据椭圆的定义，则有122MF MF a +=，用两点间的距离公式代入，画简后的222221x y a a c+=-，此时引入222b ac =-要讲清楚. 即椭圆的标准方程是()222210x y a b a b+=>>. 根据对称性，若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程是()222210x y a b b a+=>>.两个焦点坐标()()12,0,,0F c F c -.通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：122MF MF a +=和222b c a +=3. 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==（教师引导——学生回答） 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.（教师分析——学生演板——教师点评） 三、巩固练习：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 2. 作业：40P 第2题.2.2椭圆及其标准方程教学要求：掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用. 教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.关于椭圆的两个基本等式. 二、讲授新课：1. 例1 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程. 求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写）2. 练习：1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？ （教师分析——学生演板——教师点评）2.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为2的动点的轨迹方程. （教师分析——学生演板——教师点评）3. 例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.（教师引导——示范书写） 4. 练习： 1.47P 第7题.2.已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 5.知识小结：①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 三、作业： 40P 第4题 精讲精练第8练.2.2椭圆的简单几何性质教学要求：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图. 教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学难点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：1.范围——变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标a x a -<<；纵坐标b x b -<<.方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性——既是轴对称图形，关于x 轴对称，也关于y 轴对称；又是中心对称图形. 方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点，()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A aB b B b --.4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比c a 称为离心率.记ce a=. 可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.5.例题例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标. 提示：将一般方程化为标准方程. （学生回答——老师书写）练习：求椭圆22416x y +=和椭圆22981x y +=的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.（学生演板——教师点评）例5 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹.（教师分析——示范书写）三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=（学生口答，并说明原因）②求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点()(,P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） ③作业：47P 第4题.。
人教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(第二课时)公开课教学课件 (共21张PPT)
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 仍然成立.
【说明】由本题可知，△AF1B的周长为4a， △AF1F2,△BF1F2的周长等于2a+2c.
y A
.
F1
O
. F
2
x
B
当堂检测： 1.两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点
P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则 y0 x x 0 ，y . 2 ∵ P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上， ∴ x02 + y02 = 4
2 x y2 1 . x2 +4 y2 = 4 即 4
y
.P .M
O
D
x
将 x0 x ，y0 2 y 代入
得
∴
点M的轨迹是一个椭圆 .
(2) a b 0 ； (3) a c 0 .
y
F1
o
F2
M
x
（4）椭圆方程的鉴别：
形如 mx ny 1 的式子要表示椭圆，
2 2
当且仅当 m 0, n 0, 且 m n ;
（5）椭圆焦点位置的判断：标准方程中,x2, y2谁的分母大，
则焦点在其对应的坐标轴上.
变式：已知圆x 2 y 2 9, 从这个圆上任意一点P向x轴作 垂线段PP ' ,点M 在PP ' 上，并且PM 2MP ', 求点M的轨迹。
y P
M
o P’ x
x 2 y 1 9
2
例3 如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 -4/9 点M的轨迹方程。 y
高中数学《椭圆及其标准方程》精品公开课教案设计
椭圆及其标准方程(第1课时)一、内容和内容解析内容：椭圆的定义及其标准方程的推导．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－1第二章第2节《椭圆》第1课时内容．在此之前学习了曲线与方程以及圆的方程，初步具备了解析几何的思想和用坐标法研究曲线问题的经验．另外，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，是本节和本章的重点内容．故本节课的学习有着示范性的作用．教学中应当引起充分重视．椭圆的定义，较为抽象，用细绳画椭圆的方法将椭圆定义具体化．这对学生提出了较高的思维能力要求，这也是新课程标准中的数学核心素养要求之一．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力．（2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力．（3）理解椭圆标准方程的特征及参数a，b，c的几何意义，能根据条件利用椭圆定义法或方程的待定系数法，求出椭圆的标准方程．目标解析：（1）对椭圆的认识，先从直观感受再到理性认识，这与历史上对椭圆的研究历程是一致的．但椭圆的定义是发生式定义，较为抽象，故借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确实与印象中的椭圆是一致的．细绳画椭圆的方法既有利于对椭圆定义的理解，还有助于对椭圆对称性的理解与分析，在这过程中培养学生的思维能力．（2）通过类比圆方程最简洁形式时，圆与坐标系的对称关系，可以找到怎样根据椭圆的图形特征建立坐标系，使得椭圆方程更简洁，并能找到各参数对应的几何意义，从而也就能更好地说明椭圆标准方程之“标准”所在．另外，在化简过程中，到底是直接两边平方还是移项后再平方，可以通过分析得到初步判断，移项后两边平方只剩下一个根号和一次式，形式更简单．但直接两边平方，利用式子对称的结构特征进行运算的话，其实也不难．所以可以借此机会与学生强调，化简方程时利用式子的结构特征可以简化运算，提高运算能力．提升方程化简能力是提高数学运算能力的落脚点，这也是数学核心素养要求之一．（3）椭圆标准方程时建立在特定坐标系下的对应方程，此时参数a，b，c 都有对应的几何意义．那么反过来，利用参数的几何意义及椭圆的定义，就可以快速地求出椭圆的标准方程．也可以利用方程的思想，采用待定系数法求出椭圆的标准方程．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样将生活中对椭圆的认识与椭圆的定义联系起来，这是本节课的第一个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：从历史角度看，对椭圆的认识，先是借圆柱圆锥的斜截面边缘来定义，再上升到从点运动的轨迹来重新定义．但椭圆的定义是发生式定义，较为抽象，借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确实与印象中的椭圆是一致的，从而将生活中对椭圆的认识与椭圆定义联系起来．2．教学问题二：如何建立坐标系并理解椭圆标准方程之“标准”的意义，是第二个教学问题．其实任何一种建系方法都是可以求出对应的椭圆方程，但不同建系方法求得的方程复杂程度不同．怎么建立坐标系才能使得方程更简洁？解决方案：可以类比圆方程最简洁的形式所对应的坐标系——圆心在原点，圆关于F F所x轴、y轴、原点对称．根据细绳画椭圆的过程，可以得到椭圆关于两定点12在直线对称，关于线段F F的中垂线对称，且两对称轴的交点是椭圆对称中心，12从而确定了坐标系的建立方法．且经过换元，方程形式最简洁，还能找到参数a，b，c的几何意义，这就是标准之所在．32a，是第三个教学问题．学生目前化简方程能力是比较弱的，对于含根号的式子进行化简，常用两边平方法．到底是直接两边平方还是移项后两边平方更简便？解决方案：师生共同分析式子的结构特征，先选用移项后两边平方法进行化简，学生尝试化简，教师板书化简过程；然后教师再利用式子的结构特征进行直接两边平方进行化简，让学生感悟到利用好式子对称的结构特征，其实直接两边平方也可以快速化简的，还能提高学生的化简方程的能力．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视椭圆定义的理解，让学生体会到对椭圆的直观认识上升到理性认识，从直观几何到解析几何的变化．经历从形到数，再从数到形的过程，理解数形结合是解析几何的重要思想．同时，方程化简是提高数学运算能力的落脚点．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解椭圆的定义，推导椭圆的标准方程．教学难点：理解椭圆的定义及如何化简椭圆方程．教学准备：教师为每个小组准备一张白色卡纸，一条细绳；学生自备铅笔． 教学流程：。
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
教材：普通高中课程标准实验教科书选修2-1
章节：第二章 2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）
面向学生：高二年级
普通高中课程标准实验教科书选修2-1
椭圆及其标准方程（第一课时）
一、教学目标：
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
3.培养探索数学的兴趣，培养探索数学的兴趣，提升数学抽象、数学建模、数学运算的数学素养。
二、二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、三、教学过程设计。
高中数学选修2-1精品教案2：2.2.1 椭圆及其标准方程教学设计
课
学
习
二．新课讲解
1．通过老师演示椭圆的画法让学生总结概括椭圆的定义并板书
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于 的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.。
注：椭圆的标准方程：
形式一：
说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是 、 ，其中 。
形式二：
说明：①此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是 、 ，其中 。
②两种形式中，总有 ；
③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；
④ 始终满足 。
三．பைடு நூலகம்习领会
师生共同解答下列各例：
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） ，焦点在 轴上；
（2） ，焦点在 轴上；
（3） ；
（4）焦点是 ， 。
【例2】填空
（1）平面内到两定点 ， 距离之和等于8的动点轨迹方程是；
（2）平面内到两定点 ， 距离之和等于10的动点轨迹方程是；
（3）若点 是椭圆 上的一点（不在 轴上）， 是它的焦点。则 的周长是； 的最大值是。若 ， 是 的中点，则 。
练习反馈
学生作课本第42页练习1,2、3
课堂
小结
椭圆的方程及标准方程的推导
作业布置
课本第49页习题2.2 组第1、2题
练习调配
精讲精练P22随堂练习、P24随堂练习
教学内容
2.2.1 椭圆及其标准方程
三维目标
过程与方法
通过椭圆概念的讲解和椭圆标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲 线方程的方 法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
高中数学选修2-1 第二章 第二节《2.2椭圆》全套教案
2.2椭圆课时分配:1.第一课椭圆及其标准方程1个课时2.第二课椭圆的简单几何性质1个课时2.2.1椭圆及其标准方程【教材分析】圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容。
本节是整个解析几何部分的重要基础知识。
椭圆的定义与初中时学生学习的圆的定义具有相通之处，就是“点动成线”的原理。
通过学习，让学生理解当点运动的规则（遵循的几何关系）发生变化的时候，则画出的曲线的形状也会不同。
高中阶段，在《直线和圆的方程》的学习过程中，学生对坐标法（解析法）思想有了一定程度的认识；在“曲线与方程”和“方程与曲线”的概念中，学生进一步明确了坐标法及其研究曲线的方程的一般步骤。
从本节课开始，又将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好研究方法和研究思想的准备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前启后的作用。
【教学目标】知识与技能目标: 1．准确理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；过程与方法目标: 1．通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；在探索椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳和抽象概括问题的能力.2．提高运用坐标法解决几何问题的能力和运算求解和数据处理的能力。
情感态度与价值观目标:通过提炼归纳椭圆的定义的过程，让学生学会将问题抽象成数学问题，并透过运动的现象把握事物的本质；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
通过讨论椭圆方程推导的过程中养成学生扎实严谨的科学态度。
教学重点和难点1.重点：体会椭圆的形成过程，感受求曲线方程的基本方法，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导（尤其是遇到的根式化简的过程与方法）法与学法（一）教法为了使学生更主动地参与到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。
高中数学《椭圆及其标准方程》精品公开课教案设计
椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学内容解析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值. 基于以上分析确定了本节课的教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．二、教学目标设置：1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段，找到它们三者之间的联系，为后面研究椭圆做准备。
2.通过播放圆的研究过程的微课，让学生回忆起研究圆的基本流程，从而让学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。
3. 通过类比圆的标准方程的推导，小组合作给出椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。
4. 通过经历椭圆标准方程的推导, 对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美。
以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．三、学生学情分析：本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容; 但在推导椭圆的标准方程时，学生需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。
且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简也能是个问题。
高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学课件
建系、设点
以圆心为原点建系，设M(x,y)
代入
椭圆
……
|M F 1||M F2|2a
距 离
公
式
(x0)2 (y0)2 r
(xc)2y2(xc)2y22a
化简
x2 y2 r2
……
以境激情
合作探究
建构新知 概念辨析 范例学习 归纳总结 拓展延伸
建构新知—椭圆标准方程
yy
MM
FF11 oo FF22 xx
以境激情
合作探究
建构新知 概念辨析 范例学习 归纳总结 拓展延伸
概念辨析
1.已知椭圆的方程为： x 2 y 2 1，如果
100 36
椭圆上一点P到焦点F1的距离是6，那么点P到
另一个焦点F2的距离是 14 。
2 .椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为16，
a=10 ，那么椭圆的标准方程为
. 分类讨论
x2 y2 1 或
以境激情
开普勒第一定律： 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆
开普勒（德国） 1571——1630
以境激情
合作探究
建构新知 概念辨析 范例学习 归纳总结 拓展延伸
以境激情
美丽的建筑外观
镜子
吊坠
以境激情
合作探究
建构新知 概念辨析 范例学习 归纳总结 拓展延伸
2.2.1 椭圆及其标准方程
合作探究
图钉不动 笔尖滑动 绳长不变
(xc)2y2(xc)2y22a
y
F2
M
ox
F1
(yc)2x2(yc)2x22a
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
人教B版高中数学选修2-1《2.2.1椭圆的标准方程》教学设计
人教B版高中数学选修2-1《2.2.1椭圆的标准方程》教学设计
教材说明：人教B版普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）
课题：2.2.1 椭圆的标准方程
课型：新授课
课时：1课时
教学目标：
知识目标：使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。
能力目标：通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法。
情感目标：通过椭圆定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运
动变化、对立统一的思想。
教学重点与教学难点：
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。
教学方法：从学生的认知规律出发进行启发、诱导、探索，运用讲授法、讨论法，等充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。
在讲授过程中要善于解疑、设疑、激疑。
教学过程设计：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，
平面上到两定点，
以过两定点，的直线为
，.
焦点是（
a=4,c= -2，。
【说课稿】人教A版数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程 说课稿
在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。在定义方程的推导中增强学生主动探求科学知识的热情，体会数学的简洁美，增强学生之间的合作意识。
五、教学重点、难点
重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。
三、学生特征分析
1.智力因素方面：知识基础、认知结构变量、认知能力等
在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难
2.非智力因素方面：动机水平、归因类型、焦虑水平、学习风格等
本课主要是是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、实践的能力比较高，学生学起来有一定的难度，加上学生数学基础较差，理解能力，运算能力等参差不齐等。
四、教学目标
根据新课标以及对教材和学生情况的分析，我将本节课教学目标确定为:
1.知ห้องสมุดไป่ตู้与技能
掌握椭圆的定义及其标准方程；并在定义的归纳和方程的推导中体会探索的乐趣；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法。
《椭圆及其标准方程》说课稿
---人教A版选修2-1第二章2.2.1
一、背景介绍
椭圆是圆 锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础。坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，可采用学生自主探究学习的方式，使培养学生探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课的教学设计。
高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计
§2.2.1 椭圆及其标准方程■一、教学背景——————————————————————————————1.1 学生特征分析学生的知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。
学生的方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。
1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于将学科课程与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析从知识上来讲：椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。
对上一节来言，是运用坐标法研究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。
从方法上来讲：为后续双曲线和抛物线的学习奠定了理论基础，起示范的作用。
因此无论内容上还是方法上，本节都起着承上启下的作用。
■二、设计思想————————————————————————————————学生已经学习了直线和圆的方程，并且学习了曲线与方程的关系，初步理解求曲线方程的想法。
本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。
因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。
在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。
不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。
在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。
讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。
在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。
在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。
高中数学选修2-1精品教案8：2.2.1椭圆及其标准方程教学设计
2.2.1椭圆及其标准方程教学目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神．(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．重点难点重点：椭圆定义和标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石，因此给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实验使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．一、椭圆的定义问题导思1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？【答案】圆．2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？【答案】椭圆．3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？【答案】笔尖到两定点F1、F2的距离和等于常数(绳长)．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.二、椭圆的标准方程问题导思1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？【答案】以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？【答案】不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据x2与y2的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若x2项的分母大，则焦点在x轴上；若y2项的分母较大，则焦点在y 轴上．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2三、求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝5＋42＋5－42＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2＋－22b 2＝1－232a 2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2a2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－22a 2＋32b 2＝11a 2＋－232b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.规律方法1．利用待定系数法求椭圆的标准方程：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．变式训练求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)．解 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )． ∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧M ＝1N ＝14.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 四、与椭圆有关的轨迹问题图2－2－1例2如图2－2－1所示，圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且|P ′M |＝λ|PP ′|(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝λ|PP ′|， ∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆． 规律方法1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．代入法的主要步骤：①设所求轨迹上任意一点P (x ，y )，相对应的已知曲线上的点设为Q (x 1，y 1)；②建立关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝gx ，y ，y 1＝h x ，y(※)③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程． 变式训练动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则P 点与Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？ 解 设P (x 0，y 0)，PQ 的中点M (x ，y )则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. ∵P (x 0，y 0)在y ＝2x 2＋1上， ∴ 2(2x )2＋1＝2y ＋1， ∴y ＝4x 2.即PQ 中点的轨迹方程为：y ＝4x 2.五、当堂训练1．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．圆D ．以上都不对【解析】 |MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4， ∴点M 的轨迹为线段F 1F 2. 【答案】 B2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．10B ．8C ．5D ．4【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 【答案】 A3．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±56，0)D ．(±536，0)【解析】 椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为(±56，0)．【答案】 C4．已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 解 ∵b ＝3，c ＝4，∴b 2＝9，a 2＝b 2＋c 2＝9＋16＝25. (1)当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为 x 225＋y 29＝1. (2)当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为 x 29＋y 225＝1. 六、课堂小结1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法： (1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x ，y )后，可根据几何条件转换成x ，y 间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．。
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§2.2.1 椭圆及其标准方程
■一、教学背景——————————————————————————————
1.1 学生特征分析
学生的知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。
学生的方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。
1.2教师特点分析
自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于将学科课程与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析
从知识上来讲：椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。
对上一节来言，是运用坐标法研究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。
从方法上来讲：为后续双曲线和抛物线的学习奠定了理论基础，起示范的作用。
因此无论内容上还是方法上，本节都起着承上启下的作用。
■二、设计思想————————————————————————————————
学生已经学习了直线和圆的方程，并且学习了曲线与方程的关系，初步理解求曲线方程的想法。
本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。
因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。
在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。
不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。
在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。
讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。
在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。
在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。
■三、三维目标————————————————————————————————
（一）知识与技能
1. 掌握椭圆的定义和标准方程；
2. 会求简单的椭圆方程；
（二）过程与方法
1.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到
一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
3.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。
（三）情感、态度与价值观
1.充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、
反思，促进形成研究氛围和合作意识。
2.重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰
辛过程与创新的乐趣。
3.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。
4.通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美、数与形
的和谐美。
■四、教学重点与难点—————————————————————————————————1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用
2. 难点：标准方程的建立与推导
■五、教学方式————————————————————————————————————著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。
”考虑到椭圆在教材中的重要地位，在教学中采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出引导发现和探索讨论。
以便激发学生的学习兴趣，对知识进行主动建构，突破教学难点
■六、教学媒体————————————————————————————————————教具多媒体课件
■七、教学过程设计——————————————————————————————
设出动点，写出已知点坐标。
根据两点之间距离公式代入等量关系
设问11：如何化简去根号？
a b 22
221(
y x
a b a b
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请同学们课后完成。